Означаваме всеки ред на матрицата A e i = (a i 1 a i 2 ..., a in) (например,
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n) и т.н.). Всяка от тях е матрица на ред, която може да бъде умножена по число или добавена към друг ред по Общи правиладействия с матрици.
Линейна комбинацияна низове e l , e 2 ,...e k е сумата от произведенията на тези низове с произволни реални числа:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k , където l l , l 2 ,..., l k са произволни числа (коефициенти на линейна комбинация).
Извикват се матрични редове e l , e 2 ,...e m линейно зависими, ако има такива числа l l , l 2 ,..., l m , които не са едновременно равни на нула, така че линейната комбинация от матрични редове да е равна на нулевия ред:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, където 0 = (0 0...0).
Линейната зависимост на редовете на матрицата означава, че поне един ред на матрицата е линейна комбинация от останалите. Наистина, нека за определеност последният коефициент l m ¹ 0. След това, разделяйки двете страни на равенството на l m , получаваме израз за последния ред като линейна комбинация от останалите редове:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1 .
Ако линейна комбинация от редове е нула тогава и само ако всички коефициенти са нула, т.е. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, тогава линиите се наричат линейно независими.
Теорема за ранга на матрицата. Рангът на една матрица е равен на максималния брой нейни линейно независими редове или колони, по отношение на които всичките й други редове или колони могат да бъдат линейно изразени.
Нека докажем тази теорема. Нека m x n матрица A има ранг r (r(A) £ min (m; n)). Следователно съществува ненулев минор от порядък r. Всеки такъв непълнолетен ще бъде призован основен. Нека това е минор за определеност
Редовете на този минор също ще бъдат извикани основен.
Нека докажем, че тогава редовете на матрицата e l , e 2 ,...e r са линейно независими. Да приемем обратното, т.е. един от тези редове, например, r-тият ред, е линейна комбинация от останалите: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Тогава, ако извадим от r-ти елементиред елементи от 1-ви ред, умножени по l l, елементи от 2-ри ред, умножени по l 2 и т.н., накрая елементите от (r-1) ред, умножени по l r-1, след това r-ти редще стане нула. В същото време, според свойствата на детерминантата, горната детерминанта не трябва да се променя и в същото време трябва да бъде равна на нула. Получава се противоречие, доказана е линейната независимост на низовете.
Нека сега докажем, че всички (r+1) редове на матрица са линейно зависими, т.е. всеки низ може да бъде изразен чрез основни низове.
Нека допълним разглеждания по-рано минор с още един ред (i-ти) и още една колона (j-ти). В резултат на това получаваме минор от (r+1)-ти ред, който по дефиниция на ранга е равен на нула.
където са някои числа (някои или дори всички от тези числа могат да бъдат равни на нула). Това означава, че между елементите на колоните има следните равенства:
От (3.3.1) следва, че
Ако равенството (3.3.3) е вярно тогава и само ако , тогава редовете се наричат линейно независими. Съотношението (3.3.2) показва, че ако един от редовете е линейно изразен през останалите, то редовете са линейно зависими.
Също така е лесно да се види обратното: ако редовете са линейно зависими, тогава има ред, който е линейна комбинация от другите редове.
Нека, например, в (3.3.3) , тогава 
.
Определение. Нека някакъв минор от r-ти ред е избран в матрицата A и нека минорът от (r + 1)-ти ред на същата матрица напълно съдържа минора в себе си. Ще кажем, че в този случай минорът граничи с минор (или граничи за ).
Сега доказваме важна лема.
Лемаотносно граничещите непълнолетни. Ако минорът от порядък r на матрицата A= е различен от нула и всички минори, граничещи с него, са равни на нула, тогава всеки ред (колона) на матрицата A е линейна комбинация от нейните редове (колони), които съставляват .
Доказателство. Без да нарушаваме общността на разсъжденията, ще приемем, че ненулев минор от r-ти ред е вляво горен ъгълматрици A=:
.
За първите k реда на матрицата A твърдението на лемата е очевидно: достатъчно е в линейната комбинация да се включи един и същ ред с коефициент, равен на единица, а останалите с коефициенти, равни на нула.
Сега доказваме, че останалите редове на матрицата A са линейно изразени чрез първите k реда. За да направим това, конструираме минор от (r + 1)-ти ред, като добавим k-тия ред () към минора и л-та колона():
.
Полученият минор е нула за всички k и l. Ако , то е равно на нула, тъй като съдържа две еднакви колони. Ако , тогава полученият минор е граничещият минор за и следователно е равен на нула по хипотезата на лемата.
Нека разширим минора по отношение на елементите на последния л-та колона:
Ако приемем, получаваме:
 | (3.3.6) |
Израз (3.3.6) означава, че k-ти редматрица A се изразява линейно през първите r реда.
Тъй като стойностите на нейните минори не се променят, когато една матрица се транспонира (поради свойството на детерминантите), всичко доказано е вярно и за колоните. Теоремата е доказана.
Следствие I. Всеки ред (колона) на матрица е линейна комбинация от нейните основни редове (колони). Наистина, основният минор на матрицата е различен от нула и всички граничещи с него минори са равни на нула.
Следствие II. Детерминант от n-ти ред е равен на нула тогава и само ако съдържа линейно зависими редове (колони). Достатъчността на линейната зависимост на редове (колони) за равенството на детерминантата на нула беше доказана по-рано като свойство на детерминантите.
Нека докажем необходимостта. Нека е дадена квадратна матрица от n-ти ред, чийто единствен минор е равен на нула. От това следва, че рангът на тази матрица е по-малък от n, т.е. има поне един ред, който е линейна комбинация от базовите редове на тази матрица.
Нека докажем още една теорема за ранга на матрица.
Теорема.Максималният брой линейно независими редове на една матрица е равен на максималния брой нейни линейно независими колони и е равен на ранга на тази матрица.
Доказателство. Нека рангът на матрицата A= е равен на r. Тогава всеки от неговите k основни реда е линейно независим, в противен случай основният минор би бил равен на нула. От друга страна, всеки r+1 или повече редове са линейно зависими. Ако приемем противното, бихме могли да намерим ненулев минор с порядък, по-голям от r по следствие 2 от предишната лема. Последното противоречи на факта, че максималният ред на ненулевите минори е r. Всичко, което е доказано за редовете, е вярно и за колоните.
В заключение, представяме още един метод за намиране на ранга на матрица. Рангът на матрица може да се определи чрез намиране на минор от максимален ред, който е различен от нула.
На пръв поглед това изисква изчисление, макар и ограничено, но може би много Голям бройминори на тази матрица.
Следващата теорема обаче позволява да се направят значителни опростявания.
Теорема.Ако минорът на матрицата A е различен от нула и всички минори, граничещи с него, са равни на нула, тогава рангът на матрицата е r.
Доказателство. Достатъчно е да се покаже, че всяка подсистема от матрични редове за S>r ще бъде линейно зависима при условията на теоремата (от това ще следва, че r е максималният брой линейно независими матрични редове или който и да е от неговите второстепенни с порядък по-голям от k са равни на нула).
Да приемем обратното. Нека редовете са линейно независими. По силата на лемата за граничещите минори всеки от тях ще бъде линейно изразен чрез редове, в които се намира минорът и които поради факта, че е различен от нула, са линейно независими:
Сега разгледайте следната линейна комбинация:
или
Използвайки (3.3.7) и (3.3.8), получаваме
,
което противоречи на линейната независимост на низовете.
Следователно, нашето предположение е невярно и следователно всички S>r редове при условията на теоремата са линейно зависими. Теоремата е доказана.
Разгледайте правилото за изчисляване на ранга на матрица - методът на граничещи второстепенни, базиран на тази теорема.
Когато се изчислява ранга на матрица, трябва да се премине от минори от по-нисък ред към минори от по-висок ред. Ако ненулев минор от r-ти ред вече е намерен, тогава трябва да се изчислят само минорите от (r+1)-ти ред, граничещи с минора. Ако те са нула, тогава рангът на матрицата е r. Този метод се използва и ако не само изчисляваме ранга на матрицата, но и определяме кои колони (редове) съставляват базисния минор на матрицата.
Пример. Изчислете ранга на матрица по метода на периферните минори
Решение. Минорът от втори ред в горния ляв ъгъл на матрицата A е различен от нула:
.
Въпреки това, всички минори от трети ред около него са равни на нула:
 ;
|  ;
|
 ;
|  ;
|
 ;
|  .
|
Следователно рангът на матрица A е равен на две: .
Първият и вторият ред, първата и втората колона в тази матрица са основни. Останалите редове и колони са техните линейни комбинации. Наистина, следните равенства са валидни за низовете:
В заключение отбелязваме валидността на следните свойства:
1) рангът на произведението на матриците не е по-голям от ранга на всеки от факторите;
2) рангът на произведението на произволна матрица A отдясно или отляво на неособена квадратна матрица Q е равен на ранга на матрицата A.
Полиномиални матрици
Определение. Полиномиална матрица или -матрица е правоъгълна матрица, чиито елементи са полиноми в една променлива с числени коефициенти.
Елементарни трансформации могат да се извършват върху -матрици. Те включват:
Пермутация на два реда (колони);
Умножение на ред (колона) с ненулево число;
Добавяне към един ред (колона) на друг ред (колона), умножен по произволен полином.
Две -матрици и с еднакъв размер се наричат еквивалентни: ако е възможно да се премине от матрицата към използване на краен брой елементарни трансформации.
Пример. Докажете еквивалентността на матриците
 ,
|  .
|
1. Разменете първата и втората колона в матрицата:
.
2. От втория ред извадете първия, умножен по ():
.
3. Умножете втория ред по (-1) и отбележете това
.
4. Извадете от втората колона първата, умножена по , получаваме
.
Множеството от всички -матрици с дадени размери се разделя на непресичащи се класове от еквивалентни матрици. Еквивалентните една на друга матрици образуват един клас, а нееквивалентните – друг.
Всеки клас еквивалентни матрици се характеризира с канонична или нормална матрица с дадени размери.
Определение. Каноничната или нормална -матрица на измеренията е -матрицата, която има полиноми на главния диагонал, където p е по-малкото от числата m и n ( 
), а полиноми, които не са равни на нула, имат водещи коефициенти, равни на 1, и всеки следващ полином се дели на предходния. Всички елементи извън главния диагонал са 0.
От дефиницията следва, че ако сред полиномите има полиноми с нулева степен, то те са в началото на главния диагонал. Ако има нули, значи те са в края на главния диагонал.
Матрицата от предишния пример е канонична. Матрица
също каноничен.
Всеки клас -matrix съдържа уникална канонична -матрица, т.е. всяка -матрица е еквивалентна на единична канонична матрица, която се нарича канонична форма или нормална форма на дадената матрица.
Полиномите на главния диагонал на каноничната форма на дадената -матрица се наричат инвариантни фактори на дадената матрица.
Един от методите за изчисляване на инвариантни фактори е да се редуцира дадената -матрица до каноничната форма.
И така, за матрицата от предишния пример инвариантните фактори са
От казаното следва, че наличието на еднакъв набор от инвариантни фактори е необходимо и достатъчно условие за еквивалентността на -матриците.
Намаляването на -матриците до канонична форма се свежда до дефиницията на инвариантни фактори
, ; ,
където r е рангът на матрицата; - най-големият общ делител на малките от k-ти ред, взети с най-висок коефициент, равен на 1.
Пример. Нека -матрица
.
Решение. Очевидно най-големият общ делител от първи ред, т.е. .
Дефинираме непълнолетни от втори ред:
 ,
|  | и т.н. |
Вече тези данни са достатъчни, за да се направи заключение: следователно, .
Ние определяме
,
Следователно, 
.
Така каноничната форма на тази матрица е следната -матрица:
.
Матричен полином е израз на формата
където е променлива; - квадратни матрици от ред n с числови елементи.
Ако , тогава S се нарича степен на матричния полином, n е редът на матричния полином.
Всяка квадратна -матрица може да бъде представена като матричен полином. Очевидно е вярно и обратното твърдение, т.е. всеки матричен полином може да бъде представен като някаква квадратна матрица.
Валидността на тези твърдения ясно следва от свойствата на операциите върху матриците. Нека разгледаме следните примери:
Пример. Представете полиномиална матрица
под формата на матричен полином може да бъде както следва
.
Пример. Матричен полином
може да се представи като следната полиномиална матрица ( -матрица)
.
Тази взаимозаменяемост на матрични полиноми и полиномиални матрици играе съществена роля в математическия апарат на методите за факторен и компонентен анализ.
Матричните полиноми от същия ред могат да се събират, изваждат и умножават по същия начин като обикновените полиноми с числени коефициенти. Трябва обаче да се помни, че умножението на матрични полиноми, най-общо казано, не е комутативно, тъй като умножението на матрицата не е комутативно.
Два матрични полинома се наричат равни, ако коефициентите им са равни, т.е. съответните матрици за еднакви степени на променливата.
Сумата (разликата) на два матрични полинома е матричен полином, чийто коефициент на всяка степен на променливата е равен на сбора (разликата) на коефициентите на същата степен в полиномите и .
За да умножите матричен полином по матричен полином, трябва да умножите всеки член на матричния полином по всеки член на матричния полином, да добавите получените продукти и да донесете подобни членове.
Степента на матричен полином е произведение, по-малко или равно на сумата от степените на факторите.
Операциите върху матрични полиноми могат да се извършват с помощта на операции върху съответните -матрици.
За да добавите (извадите) матрични полиноми, е достатъчно да добавите (извадите) съответните -матрици. Същото важи и за умножението. -матрица на произведението на матрични полиноми е равна на произведението на -матрици от фактори.
 |  |
От друга страна, и могат да бъдат написани във формата
където B 0 е неособена матрица.
При деление на има уникално дефинирано дясно частно и десен остатък
където степента R 1 е по-малка от степента или (деление без остатък), както и лявото частно и левия остатък ако и само ако, където, ред
Помислете за произволна, не непременно квадратна, матрица A с размер mxn.
Ранг на матрицата.
Концепцията за ранг на матрица е свързана с концепцията за линейна зависимост (независимост) на редове (колони) на матрица. Разгледайте тази концепция за низове. За колоните е същото.
Означаваме поглътителите на матрицата A:
e 1 \u003d (a 11, a 12, ..., a 1n); e 2 \u003d (a 21, a 22, ..., a 2n); ..., e m \u003d (a m1, a m2, ..., a mn)
e k =e s ако a kj =a sj , j=1,2,…,n
Аритметични операциинад редовете на матрицата (събиране, умножение с число) се въвеждат като операции, извършвани елемент по елемент: λе k =(λа k1 ,λа k2 ,…,λа kn);
e k +e s =[(а k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(а kn +a sn)].
Линия e се нарича линейна комбинацияредове e 1 , e 2 ,…,e k , ако е равно на сумата от произведенията на тези редове с произволни реални числа:
e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k
Редовете e 1 , e 2 ,…,e m се наричат линейно зависими, ако има реални числа λ 1 ,λ 2 ,…,λ m , не всички равни на нула, че линейната комбинация от тези редове е равна на нулевия ред: λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ m e m = 0 ,където 0 =(0,0,…,0) (1)
Ако линейната комбинация е равна на нула тогава и само ако всички коефициенти λ i са равни на нула (λ 1 =λ 2 =…=λ m =0), тогава редовете e 1 , e 2 ,…,e m се наричат линейно независими.
Теорема 1. За да бъдат низовете e 1 ,e 2 ,…,e m линейно зависими, е необходимо и достатъчно един от тези низове да бъде линейна комбинация от другите низове.
Доказателство. Трябва. Нека низовете e 1 , e 2 ,…,e m са линейно зависими. Нека за категоричност (1) тогава λm ≠0
Че. низът e m е линейна комбинация от останалите низове. ч.т.д.
Адекватност. Нека един от редовете, например e m, е линейна комбинация от другите редове. Тогава има такива числа, че равенството е в сила, което може да се пренапише като ,
където поне 1 от коефициентите, (-1), е различен от нула. Тези. редовете са линейно зависими. ч.т.д.
Определение. Малък k-ти редматрица A с размер mxn се нарича детерминанта от k-ти ред с елементи, разположени в пресечната точка на всеки k реда и всеки k колони на матрица A. (k≤min(m,n)). .
Пример., второстепенни от 1-ви ред: =, =;
непълнолетни от 2-ри ред: , 3-ти ред
Матрицата от 3-ти ред има 9 минора от 1-ви ред, 9 минора от 2-ри ред и 1 минор от 3-ти ред (детерминантата на тази матрица).
Определение. Ранг на матрицата Ае най-високият порядък на ненулевите минори на тази матрица. Обозначение - rgA или r(A).
Свойства на ранга на матрицата.
1) рангът на матрицата A nxm не надвишава най-малкия от нейните измерения, т.е.
r(A)≤min(m,n).
2) r(A)=0, когато всички матрични елементи са равни на 0, т.е. А=0.
3) За квадратна матрица A от n-ти ред, r(A)=n, когато A е неизродена.
(Рангът на диагонална матрица е равен на броя на нейните ненулеви диагонални елементи).
4) Ако рангът на матрица е r, тогава матрицата има поне един минор от порядък r, който не е равен на нула, а всички минори от по-високи порядки са равни на нула.
За ранговете на матрицата са валидни следните отношения:
2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min(r(A),r(B));
3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(AT A)=r(A);
5) r(AB)=r(A), ако B е квадратна неособена матрица.
6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n, където n е броят колони на матрица A или редове на матрица B.
Определение.Извиква се ненулев минор от ред r(A). основен минор. (Матрица A може да има няколко базисни второстепенни). Редовете и колоните, в пресечната точка на които има базис минор, се наричат съответно базови линиии базови колони.
Теорема 2 (за основния минор).Основните редове (колони) са линейно независими. Всеки ред (всяка колона) на матрица A е линейна комбинация от основни редове (колони).
Доказателство. (За струни). Ако основните редове бяха линейно зависими, тогава според теорема (1) един от тези редове би бил линейна комбинация от други основни редове, тогава, без да променяте стойността на основния минор, можете да извадите определената линейна комбинация от този ред и получите нулев ред и това противоречи, тъй като основният минор е различен от нула. Че. базовите редове са линейно независими.
Нека докажем, че всеки ред от матрица A е линейна комбинация от основни редове. защото с произволни промени в редове (колони), детерминантът запазва свойството да бъде равен на нула, тогава, без загуба на общност, можем да приемем, че основният минор е в горния ляв ъгъл на матрицата
A=,тези. разположени на първите r реда и първите r колони. Нека 1£j£n, 1£i£m. Нека покажем, че детерминантата от (r+1)-ти ред
Ако j£r или i£r, тогава този детерминант е равен на нула, защото ще има две еднакви колони или два еднакви реда.
Ако j>r и i>r, тогава този детерминант е минор от (r + 1)-ия ред на матрицата A. Тъй като рангът на матрицата е r, така че всяко второстепенно от по-висок порядък е равно на 0.
Разширявайки го с елементите на последната (добавена) колона, получаваме
a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0, където последната алгебрична добавка A ij съвпада с основния минор М r и следователно A ij = М r ≠0.
Разделяйки последното равенство на A ij , можем да изразим елемента a ij като линейна комбинация: , където .
Фиксираме стойността i (i>r) и получаваме, че за всяко j (j=1,2,…,n) елементите i-ти ред e i са линейно изразени чрез елементи на реда e 1 , e 2 ,…,e r , т.е. i-ти реде линейна комбинация от основни редове: . ч.т.д.
Теорема 3. (необходимо и достатъчно условие детерминантата да е равна на нула).За да бъде детерминантата D от n-ти ред равна на нула, е необходимо и достатъчно нейните редове (колони) да са линейно зависими.
Доказателство (стр.40). Трябва. Ако детерминантата от n-ти ред D е равна на нула, тогава основният минор на нейната матрица е от порядък r Така един ред е линейна комбинация от останалите. Тогава, съгласно теорема 1, редовете на детерминантата са линейно зависими. Адекватност. Ако редовете D са линейно зависими, тогава съгласно теорема 1 един ред A i е линейна комбинация от другите редове. Изваждайки посочената линейна комбинация от линията A i, без да променяме стойността на D, получаваме нулева линия. Следователно, чрез свойствата на детерминантите, D=0. h.t.d. Теорема 4.При елементарни трансформации рангът на матрицата не се променя. Доказателство. Както беше показано при разглеждане на свойствата на детерминантите, при трансформиране на квадратни матрици техните детерминанти или не се променят, или се умножават по ненулево число, или променят знака. В този случай се запазва най-високият ред на ненулевите второстепенни на оригиналната матрица, т.е. рангът на матрицата не се променя. ч.т.д. Ако r(A)=r(B), тогава A и B са еквивалент: A~B. Теорема 5.Използвайки елементарни трансформации, може да се намали матрицата до стъпаловиден изглед.Матрицата се нарича стъпало, ако има формата: А=, където a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k. Условията r≤k винаги могат да бъдат постигнати чрез транспониране. Теорема 6.Рангът на стъпковата матрица е равен на броя на нейните ненулеви редове .
Тези. Рангът на стъпковата матрица е r, защото има ненулев минор от порядък r: Позволявам Колони на матрицата на размерите. Линейна комбинация от матрични колонисе нарича колонна матрица, докато - някои реални или комплексни числа, т.нар линейни комбинирани коефициенти. Ако в линейна комбинация вземем всички коефициенти равни на нула, тогава линейната комбинация е равна на нулевата колонна матрица. Колоните на матрицата се наричат линейно независими
, ако тяхната линейна комбинация е равна на нула само когато всички коефициенти на линейната комбинация са равни на нула. Колоните на матрицата се наричат линейно зависими
, ако има набор от числа, сред които поне едно е различно от нула, и линейната комбинация от колони с тези коефициенти е равна на нула По подобен начин могат да бъдат дадени дефиниции на линейна зависимост и линейна независимост на матрични редове. По-нататък всички теореми са формулирани за колоните на матрицата. Теорема 5
Ако сред колоните на матрицата има нула, то колоните на матрицата са линейно зависими.
Доказателство. Да разгледаме линейна комбинация, в която всички коефициенти са равни на нула за всички ненулеви колони и един за нулева колона. Той е равен на нула, а сред коефициентите на линейната комбинация има ненулев. Следователно колоните на матрицата са линейно зависими. Теорема 6
Ако
матрични колони
линейно зависими, тогава всички
колоните на матрицата са линейно зависими.
Доказателство. За категоричност ще приемем, че първите колони на матрицата Съставете линейна комбинация от всички колони на матрицата, включително останалите колони с нулеви коефициенти Но . Следователно всички колони на матрицата са линейно зависими. Последица. Сред линейно независимите колони на матрица всяка е линейно независима. (Това твърдение лесно се доказва чрез противоречие.) Теорема 7
За да бъдат колоните на матрицата линейно зависими, е необходимо и достатъчно поне една колона на матрицата да бъде линейна комбинация от останалите.
Доказателство. Трябва.Нека колоните на матрицата са линейно зависими, т.е. има набор от числа, сред които поне едно е различно от нула, а линейната комбинация от колони с тези коефициенти е равна на нула Приемете за категоричност, че. Тогава първата колона е линейна комбинация от останалите. Адекватност. Нека поне една колона от матрицата е линейна комбинация от останалите, например , където са някои числа. Тогава , т.е. линейната комбинация от колони е равна на нула и сред числата на линейната комбинация поне едно (за ) е различно от нула. Нека рангът на матрицата е . Извиква се всеки ненулев минор от порядък основен
. Наричат се редове и колони, в пресечната точка на които има основен минор основен
. Понятията линейна зависимост и линейна независимост се дефинират за редове и колони по същия начин. Следователно свойствата, свързани с тези понятия, формулирани за колони, разбира се, са валидни и за редове. 1.
Ако колонната система включва нулева колона, тогава тя е линейно зависима. 2.
Ако колонна система има две равни колони, тогава тя е линейно зависима. 3.
Ако колонна система има две пропорционални колони, тогава тя е линейно зависима. 4.
Система от колони е линейно зависима тогава и само ако поне една от колоните е линейна комбинация от останалите. 5.
Всички колони, включени в линейно независима система, образуват линейно независима подсистема. 6.
Колонна система, съдържаща линейно зависима подсистема, е линейно зависима. 7.
Ако системата от колони е линейно независима и след добавяне на колона към нея се окаже, че е линейно зависима, тогава колоната може да бъде разложена на колони и освен това по уникален начин, т.е. коефициентите на разширение се намират еднозначно. Нека докажем, например, последното свойство. Тъй като системата от колони е линейно зависима, има числа, които не всички са равни на 0, което в това равенство. Наистина, ако , тогава Следователно, нетривиална линейна комбинация от колони е равна на нулевата колона, което противоречи на линейната независимост на системата. Следователно, и тогава , т.е. колона е линейна комбинация от колони. Остава да се покаже уникалността на такова представяне. Да приемем обратното. Нека има две разширения и , и не всички коефициенти на разширение са съответно равни един на друг (например ). След това от равенството Получаваме (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o последователно линейната комбинация от колони е равна на нулевата колона. Тъй като не всички негови коефициенти са равни на нула (поне ), тази комбинация е нетривиална, което противоречи на условието за линейна независимост на колоните . Полученото противоречие потвърждава уникалността на разлагането. Пример 3.2.Докажете, че две ненулеви колони и са линейно зависими тогава и само ако са пропорционални, т.е. . Решение.Наистина, ако колоните и са линейно зависими, тогава има числа , които не са равни на нула в същото време, така че . И в това равенство. Наистина, ако приемем, че , получаваме противоречие, тъй като колоната също е различна от нула. Означава,. Следователно има число, такова че . Необходимостта е доказана. Обратно, ако , тогава . Получихме нетривиална линейна комбинация от колони, равна на нулевата колона. Така че колоните са линейно зависими. Пример 3.3.Разгледайте всички възможни системи, образувани от колони Разгледайте всяка система за линейна връзка. Помислете за системи, съдържащи по две колони: – всяка от четирите системи и е линейно зависима, тъй като съдържа нулева колона (свойство 1); – системата е линейно зависима, тъй като колоните са пропорционални (свойство 3): ; - всяка от петте системи и е линейно независима, тъй като колоните са непропорционални (виж твърдението на пример 3.2). Помислете за системи, съдържащи три колони: – всяка от шестте системи и е линейно зависима, тъй като съдържа нулева колона (свойство 1); – системите са линейно зависими, тъй като съдържат линейно зависима подсистема (свойство 6); са системи и са линейно зависими, тъй като последната колона е линейно изразена през останалите (свойство 4): и съответно. И накрая, системи от четири или пет колони са линейно зависими (по свойство 6). Ранг на матрицата В този раздел ще разгледаме друга важна числена характеристика на матрицата, свързана с това доколко нейните редове (колони) зависят един от друг. Определение 14.10Нека има матрица от размери и число, което не надвишава най-малкото от числата и : Пример 14.9Позволявам Минор от първи ред е всеки елемент от матрицата. Така че 2, са второстепенни от първи ред. Непълнолетни от втори ред: 1. вземете редове 1, 2, колони 1, 2, получаваме минор 2. вземете редове 1, 3, колони 2, 4, получаваме минор 3. вземете редове 2, 3, колони 1, 4, получаваме минор Непълнолетни от трети ред: редовете тук могат да бъдат избрани само по един начин, 1. вземете колони 1, 3, 4, вземете минор 2. вземете колони 1, 2, 3, вземете минор Оферта 14.23 Ако всички минори от порядъчната матрица са равни на нула, тогава всички минори от порядък , ако има такива, също са равни на нула. Доказателство. Вземете произволен минор от ред. Това е детерминантата на матрицата на реда. Нека го разширим с първия ред. Тогава, във всеки член на разширението, един от факторите ще бъде второстепенен от порядъка на оригиналната матрица. По предположение порядъкът на минорите е равен на нула. Следователно порядъкът минор също ще бъде равен на нула. Определение 14.11Рангът на матрицата е най-големият от ненулевите порядъци на второстепенните на матрицата. Рангът на нулевата матрица се счита за нула. Няма единна стандартна нотация за ранга на матрица. Следвайки урока, ние ще го наричаме. Пример 14.10Матрицата от пример 14.9 има ранг 3, защото има ненулев минор от трети ред, но няма минори от четвърти ред. Ранг на матрицата Рангът на неизродена квадратна матрица от ред е равен на , тъй като нейният детерминант е второстепенен от порядъка и неизродената матрица е различна от нула. Оферта 14.24 При транспониране на матрица нейният ранг не се променя, т.е. Доказателство. Транспонираният минор на оригиналната матрица ще бъде минорът на транспонираната матрица и обратното, всеки минор е транспонираният минор на оригиналната матрица. При транспониране детерминантата (минор) не се променя (твърдение 14.6). Следователно, ако всички минори от ред в оригиналната матрица са равни на нула, тогава всички минори от същия ред в също са равни на нула. Ако минорният ред в оригиналната матрица е различен от нула, тогава има ненулев минор от същия ред. Следователно, Определение 14.12Нека рангът на матрицата е . Тогава всеки ненулев порядък минор се нарича основен минор. Пример 14.11Позволявам Базов минор също е минор, разположен, да речем, в първия и третия ред, първата и третата колона: Минорът в първия и втория ред, втората и третата колона е равен на нула и следователно няма да бъде основен. Читателят може самостоятелно да провери кои други незначителни от втори ред са основни и кои не. Тъй като колоните (редовете) на матрицата могат да се добавят, умножават по числа, да образуват линейни комбинации, е възможно да се въведат определения за линейна зависимост и линейна независимост на системата от колони (редове) на матрицата. Тези дефиниции са подобни на същите дефиниции 10.14, 10.15 за вектори. Определение 14.13Система от колони (редове) се нарича линейно зависима, ако има такъв набор от коефициенти, от които поне един е различен от нула, че линейната комбинация от колони (редове) с тези коефициенти ще бъде равна на нула. Определение 14.14Система от колони (редове) е линейно независима, ако от равенството на нула на линейна комбинация от тези колони (редове) следва, че всички коефициенти на тази линейна комбинация са равни на нула. Следното твърдение, подобно на предложение 10.6, също е вярно. Оферта 14.25 Система от колони (редове) е линейно зависима тогава и само ако една от колоните (един от редовете) е линейна комбинация от други колони (редове) на тази система. Ние формулираме теорема, наречена основна малка теорема. Теорема 14.2 Всяка колона на матрица е линейна комбинация от колони, преминаващи през основния минор. Доказателството може да се намери в учебници по линейна алгебра, например в,. Оферта 14.26 Рангът на матрицата е равен на максималния брой нейни колони, които образуват линейно независима система. Доказателство. Нека рангът на матрицата е . Нека вземем колоните, минаващи през базисния минор. Да приемем, че тези колони образуват линейно зависима система. Тогава една от колоните е линейна комбинация от останалите. Следователно в основния минор една колона ще бъде линейна комбинация от другите колони. Съгласно твърдения 14.15 и 14.18, този основен минор трябва да е равен на нула, което противоречи на определението за основен минор. Следователно предположението, че колоните, минаващи през базисния минор, са линейно зависими, не е вярно. Така че максималният брой колони, образуващи линейно независима система, е по-голям или равен на . Да приемем, че колоните образуват линейно независима система. Нека направим матрица от тях. Всички матрични минори са матрични минори. Следователно основният минор на матрицата има порядък най-много . Съгласно теоремата за базовия минор, колона, която не преминава през основния минор на матрица, е линейна комбинация от колони, които минават през базовия минор, т.е. колоните на матрицата образуват линейно зависима система. Това противоречи на избора на колони, които формират матрицата. Следователно максималният брой колони, образуващи линейно независима система, не може да бъде по-голям от . Следователно е равно на , както е посочено. Оферта 14.27 Рангът на матрицата е равен на максималния брой нейни редове, които образуват линейно независима система. Доказателство. Съгласно предложение 14.24, рангът на матрицата не се променя при транспониране. Редовете на една матрица стават нейни колони. Максималният брой нови колони на транспонираната матрица (предишни редове на оригиналната), образуващи линейно независима система, е равен на ранга на матрицата. Оферта 14.28 Ако детерминантата на матрицата е равна на нула, тогава една от нейните колони (един от редовете) е линейна комбинация от останалите колони (редове). Доказателство. Нека редът на матрицата е . Детерминантата е единственият минор на квадратна матрица, който има ред. Тъй като е равно на нула, тогава . Следователно системата от колони (редове) е линейно зависима, тоест една от колоните (един от редовете) е линейна комбинация от останалите. Резултатите от твърдения 14.15, 14.18 и 14.28 дават следната теорема. Теорема 14.3 Детерминантата на матрица е нула, ако и само ако една от нейните колони (един от редовете) е линейна комбинация от другите колони (редове). Намирането на ранга на матрица чрез изчисляване на всички нейни минори изисква твърде много изчислителна работа. (Читателят може да провери, че има 36 минори от втори ред в квадратна матрица от четвърти ред.) Следователно се използва различен алгоритъм за намиране на ранга. За да го опишем, е необходима допълнителна информация. Определение 14.15Следните операции върху тях наричаме елементарни трансформации на матрици: 1) пермутация на редове или колони; Оферта 14.29 При елементарни трансформации рангът на матрицата не се променя. Доказателство. Нека рангът на матрицата е равен на , -- матрицата, получена от елементарното преобразуване. Помислете за пермутация на низове. Нека е минор на матрицата , тогава матрицата има минор , който или съвпада с, или се различава от него чрез пермутация на редове. И обратно, всеки матричен минор може да бъде свързан с матричен минор, който или съвпада с него, или се различава от него по реда на редовете. Следователно от факта, че в матрицата всички минори от този ред са равни на нула, следва, че в матрицата всички минори от този ред също са равни на нула. И тъй като матрицата има ненулев порядък минор, матрицата също има ненулев порядък минор, т.е. Помислете за умножаване на низ с различно от нула число. Минор от матрица съответства на минор от матрица, който или съвпада с нея, или се различава от нея само с един ред, който се получава от второстепенния ред чрез умножение по ненулево число. В последния случай. Във всички случаи или и са едновременно равни на нула или едновременно различни от нула. Следователно,.
линейно зависими. Тогава, по дефиницията на линейна зависимост, има набор от числа, сред които поне едно е различно от нула, а линейната комбинация от колони с тези коефициенти е равна на нула
Решение.
Помислете за пет системи, съдържащи по една колона. Съгласно параграф 1 от Забележки 3.1: системите са линейно независими, а системата, състояща се от една нулева колона, е линейно зависима.
. Да изберем произволно редовете и колоните на матрицата (номера на редовете може да се различават от номерата на колоните). Детерминантата на матрица, съставена от елементи в пресечната точка на избраните редове и колони, се нарича вторичен ред на матрицата.
.
;
;
;
.
е равно на 1, тъй като има ненулев минор от първи ред (елемент от матрицата), а всички минори от втори ред са равни на нула.
.
.
. Детерминантата на матрицата е нула, тъй като третият ред е равен на сумата от първите два. Минорът от втори ред, разположен в първите два реда и първите две колони, е 
. Следователно рангът на матрицата е равен на две, а разглежданият минор е основен.
. Основата ще бъде минорът във втория и третия ред, първата и третата колона: 
.
2) умножаване на ред или колона с различно от нула число;
3) добавяне към един от редовете на друг ред, умножен по число, или добавяне към една от колоните на друга колона, умножен по число.