Теоретичен минимум

Концепцията за граница, приложена към числови последователности, вече беше въведена в темата "".
Препоръчително е първо да прочетете съдържащия се там материал.

Обръщайки се към темата на тази тема, припомняме концепцията за функция. Функцията е друг пример за картографиране. Ще разгледаме най-простия случай
реална функция на един истински аргумент(каква е сложността на други случаи - ще бъде казано по-късно). Функцията в тази тема се разбира като
законът, според който на всеки елемент от множеството, върху което е дефинирана функцията, се приписват един или повече елемента
набор, наречен набор от стойности на функцията. Ако всеки елемент от обхвата на функция е свързан с един елемент
набор от стойности, тогава функцията се нарича еднозначна, в противен случай функцията се нарича многозначна. Тук за простота ще говорим само за
недвусмислени функции.

Веднага бих искал да подчертая фундаменталната разлика между функция и последователност: множествата, свързани чрез картографирането в тези два случая, са съществено различни.
За да избегнем необходимостта да използваме терминологията на общата топология, ние обясняваме разликата с помощта на неточни разсъждения. При обсъждане на лимита
последователности, говорихме само за един вариант: неограниченото нарастване на броя на елемента на последователността. С увеличаване на броя, самите елементи
последователностите се държаха много по-различно. Те биха могли да се "натрупват" в малък квартал от определен брой; те могат да растат за неопределено време и т.н.
Грубо казано, присвояването на последователност е присвояването на функция на отделен "домейн". Ако говорим за функцията, чиято дефиниция е дадена
в началото на темата, тогава трябва да се изгради по-внимателно понятието лимит. Има смисъл да говорим за границата на функцията когато неговият аргумент клони към определена стойност .
Такава формулировка на въпроса нямаше смисъл по отношение на последователностите. Необходимо е да се направят някои уточнения. Всички те са свързани с
как точно аргументът клони към въпросната стойност.

Нека да разгледаме няколко примера - засега мимоходом:


Тези функции ще ни позволят да разгледаме различни случаи. Представяме тук графиките на тези функции за по-голяма яснота на представянето.

Функцията има ограничение във всяка точка от домейна на дефиницията - това е интуитивно ясно. Която и точка от областта на дефиницията да вземем,
можете веднага да разберете към каква стойност клони функцията, когато аргументът клони към избраната стойност, и границата ще бъде крайна, освен ако аргументът
не отива до безкрайност. Графиката на функцията има прекъсване. Това засяга свойствата на функцията в точката на прекъсване, но от гледна точка на лимита
тази точка не е подчертана. Функцията вече е по-интересна: в момента не е ясно каква стойност на лимита да се присвои на функцията.
Ако се приближим до точката отдясно, тогава функцията клони към една стойност, ако отляво, функцията клони към друга стойност. В предишния
примери не бяха. Функцията, когато клони към нула, дори отляво, дори отдясно, се държи по същия начин, клонейки към безкрайност -
за разлика от функцията, която клони към безкрайност, тъй като аргументът клони към нула, но знакът за безкрайност зависи от това как
страна стигаме до нула. И накрая, функцията се държи при нула напълно неразбираемо.

Формализираме концепцията за граница, използвайки езика епсилон-делта. Основната разлика от дефиницията на ограничението на последователността ще бъде необходимостта
предписват желанието на аргумента на функцията на някаква стойност. Това изисква понятието гранична точка на множество, което е спомагателно в този контекст.
Точка се нарича гранична точка на набор, ако е в произволна околност съдържа безкраен брой точки,
принадлежащи и различни от . Малко по-късно ще стане ясно защо е необходимо такова определение.

И така, числото се нарича граница на функцията в точката, която е граничната точка на множеството, на която е дефинирано
функция ако

Нека анализираме това определение едно по едно. Тук отделяме частите, свързани с желанието на аргумента към стойността и желанието на функцията
към стойността. Трябва да се разбере общото значение на писменото изявление, което може да се тълкува приблизително по следния начин.
Функцията клони към когато , ако вземем число от достатъчно малка околност на точката , ние ще
вземете стойността на функцията от достатъчно малка околност на числото. И колкото по-малка ще бъде околността на точката, от която са взети стойностите
аргумент, толкова по-малка ще бъде околността на точката, където ще попаднат съответните стойности на функцията.

Нека се върнем отново към формалната дефиниция на границата и да я прочетем в светлината на току-що казаното. Положително число ограничава квартала
точка, от която ще вземем стойностите на аргумента. Освен това стойностите на аргумента, разбира се, са от обхвата на функцията и не съвпадат със самата функция.
точка: пишем стремеж, а не случайност! Така че, ако вземем стойността на аргумента от указаната -околност на точката,
тогава стойността на функцията ще попадне в -околността на точката .
Накрая събираме определението заедно. Колкото и малка да изберем -околност на точката, винаги ще има такава -околност на точката,
че при избора на стойностите на аргумента от него ще стигнем до околността на точката . Разбира се, размерът е околност на точка в този случай
зависи от това какъв квартал на точката е даден. Ако околността на стойността на функцията е достатъчно голяма, тогава съответното разпространение на стойностите
аргументът ще бъде голям. С намаляване на близостта до стойността на функцията, съответното разпространение в стойностите на аргумента също ще намалее (вижте Фиг. 2).

Остава да уточним някои подробности. Първо, изискването точката да бъде граница елиминира необходимостта да се грижим за точката
from -neighborhood обикновено принадлежи към домейна на функцията. Второ, участие в определянето на границата на условието означава
че аргументът може да се доближи до стойност отляво или отдясно.

За случая, когато аргументът на функцията клони към безкрайност, понятието гранична точка трябва да се дефинира отделно. наречен лимит
зададена точка, ако за всяко положително число интервалът съдържа неизброимо множество
точки от сета.

Да се ​​върнем към примерите. Функцията не представлява особен интерес за нас. Нека разгледаме по-отблизо другите функции.

Примери.

Пример 1 Графиката на функцията има пречупване.
функция въпреки сингулярността в дадена точка, тя има граница в тази точка. Сингулярността при нула е загубата на гладкост.

Пример 2 Едностранни ограничения.
Функцията в точка няма ограничение. Както вече беше отбелязано, за съществуването на лимит е необходимо кога
отляво и отдясно функцията се стремеше към една и съща стойност. Тук очевидно не е така. Все пак може да се въведе понятието едностранна граница.
Ако аргументът клони към дадена стойност от страна на по-големи стойности, тогава се говори за дясна граница; ако от страна на по-малки стойности -
относно лявата граница.
В случай на функция
- дясна граница Въпреки това, можем да дадем пример, когато безкрайните колебания на синуса не пречат на съществуването на границата (нещо повече, двустранна).
Пример за това е функцията . Графиката е по-долу; разбираемо го изгради докрай в квартала
произход не е възможен. Границата при е равна на нула.

Забележки.
1. Съществува подход за определяне на лимита на функция, който използва лимита на редица – т.нар. определение на Хайне. Там се конструира последователност от точки, която се сближава до търсената стойност
аргумент - тогава съответната последователност от стойности на функцията се сближава до границата на функцията за тази стойност на аргумента. Еквивалентност на определението на Хайне и езиковото определение
"епсилон-делта" е доказано.
2. Случаят с функции на два или повече аргумента се усложнява от факта, че за съществуването на граница в дадена точка се изисква стойността на границата да е една и съща за всеки начин, по който аргументът се стреми към
до необходимата стойност. Ако има само един аргумент, тогава можете да се стремите към необходимата стойност отляво или отдясно. В случай на повече променливи, броят на опциите се увеличава драстично. Случаят на функциите
сложна променлива и изисква отделно обсъждане.

texvc - кварталнабор във функционалния анализ и свързаните с него дисциплини е такъв набор, всяка точка от който е премахната от даден наборне повече от Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \varepsilon .

Дефиниции

• Позволявам Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): (X,\varrho)е метрично пространство, Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): x_0 \in X,И Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \varepsilon > 0. Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \varepsilon- квартал Не може да се анализира израз (изпълним файл texvc се нарича набор

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): U_(\varepsilon)(x_0) = \( x\in X \mid \varrho(x,x_0)< \varepsilon \}.

• Нека е дадено подмножество Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): A \subset X.Тогава Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \varepsilon-околността на това множество се нарича множество

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): U_(\varepsilon)(A) = \bigcup\limits_(x \in A) U_(\varepsilon)(x).

Забележки

• Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \varepsilon-околност на точка Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): x_0така наречената отворена топка с център Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): x_0и радиус Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \varepsilon.
• Пряко от определението следва, че

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): U_(\varepsilon)(A) = \( x\in X \mid \exists y\in A\; \varrho(x,y)< \varepsilon\}.

• Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \varepsilon-съседство е квартал и по-специално отворен набор.

Примери

Напишете рецензия за статията "Квартал Ипсилон"

Откъс, характеризиращ квартал Ипсилон

- Е, какво - слушай? Момиченцето ме побутна нетърпеливо.
Приближихме се... И усетих чудесно меко докосване на искряща вълна... Беше нещо невероятно нежно, изненадващо нежно и успокояващо, и в същото време, проникващо в самата "дълбочина" на моята изненадана и леко предпазлива душа... Тиха "музика" тичаше по крака ми, вибрираше в милиони различни нюанси и, издигайки се, започна да ме обгръща с нещо приказно красиво, нещо, което не можеше да се каже... Усетих, че летя, въпреки че нямаше полет не беше истински. Беше прекрасно!.. Всяка клетка се разтваряше и стопяваше в настъпващата нова вълна, а искрящото злато ме обливаше направо, отнасяйки всичко лошо и тъжно и оставяйки само чиста, първична светлина в душата ми...
Дори не усетих как влязох и се потопих почти с глава в това искрящо чудо. Просто беше невероятно хубаво и никога не исках да си тръгвам оттам...
- Добре, стига вече! Предстои ни работа! Напористият глас на Стела нахлу в сияещата красота. - Хареса ли ти?
- О, как! аз си отдъхнах. - Не исках да излизам!
- Точно! Така че малко „къпане“ до следващото въплъщение ... И тогава те вече не се връщат тук ...

Какви икони освен знаците за неравенство и модула знаете?

От курса по алгебра знаем следната нотация:

- универсалният квантор означава - "за всеки", "за всички", "за всеки", тоест записът трябва да се чете "за всеки положителен епсилон";

– екзистенциален квантор, – има стойност, принадлежаща към множеството от естествени числа.

- дълга вертикална пръчка се чете така: „такава“, „такава“, „такава“ или „такава“, в нашия случай, очевидно, говорим за число - следователно „такова“;

- за всички "en" по-големи от ;

- знакът на модула означава разстоянието, т.е. този запис ни казва, че разстоянието между стойностите е по-малко от епсилон.

Определяне на границата на последователност

Наистина, нека помислим малко - как да формулираме строга дефиниция на последователност? ... Първото нещо, което идва на ум в светлината практическо занятие: "границата на редицата е числото, до което членовете на редицата се приближават безкрайно."

Добре, нека напишем последователността:

Лесно се вижда, че подпоследователността е безкрайно близо до числото -1, а четните членове са близки до "едно".

Може би две граници? Но защо тогава една последователност не може да има десет или двадесет от тях? По този начин можете да стигнете далеч. В тази връзка е логично да се предположи, че ако една последователност има лимит, то тя е уникална.

Забележка: последователността няма ограничение, но две подпоследователности могат да бъдат разграничени от нея (вижте по-горе), всяка от които има собствена граница.

Така горното определение се оказва несъстоятелно. Да, работи за случаи като (които не използвах съвсем правилно в опростени обяснения на практически примери), но сега трябва да намерим строго определение.

Втори опит: „границата на една последователност е числото, до което се доближават ВСИЧКИ членове на последователността, с изключение може би на краен брой от тях.“ Това е по-близо до истината, но все още не е съвсем точно. Така например в последователност половината от членовете изобщо не се доближават до нула - те просто са равни на нея =) Между другото, "мигащата светлина" обикновено приема две фиксирани стойности.

Формулировката не е трудна за изясняване, но тогава възниква друг въпрос: как да напишем определението в математически термини? Научният свят се бори с този проблем дълго време, докато ситуацията не беше разрешена от известния маестро, който по същество формализира класическия математически анализ в цялата му строгост. Коши предложи да се оперира с квартали, което значително напредна в теорията.

Помислете за някаква точка и произволната й околност:

Стойността на "epsilon" винаги е положителна и освен това ние сме свободни да го изберем сами. Да предположим, че в даден квартал има набор от членове (не непременно всички) на някаква последователност. Как да запиша факта, че например десетият срок се е паднал в квартала? Нека е от дясната му страна. Тогава разстоянието между точките и трябва да бъде по-малко от "епсилон": . Ако обаче „x десетата“ се намира вляво от точката „a“, тогава разликата ще бъде отрицателна и следователно към нея трябва да се добави знакът на модула: .

Определение: числото се нарича граница на последователност, ако за някоя от неговите околности (предварително избрани) има естествено число - ТАКАВА, че ВСИЧКИ членове на последователността с по-високи числа ще бъдат вътре в околността:

Или по-кратко: ако

С други думи, без значение колко малка е стойността на "епсилон", която приемаме, рано или късно "безкрайната опашка" на последователността НАПЪЛНО ще бъде в този квартал.

Така, например, „безкрайната опашка" на последователността ще влезе НАПЪЛНО във всяка произволно малка околност на точката. Така тази стойност е границата на последователността по дефиниция. Напомням ви, че се извиква редица, чиято граница е нула безкрайно малък.

Трябва да се отбележи, че за последователност вече не може да се каже „ще влезе безкрайна опашка“ - членовете с нечетни числа всъщност са равни на нула и „не отиват никъде“ =) Ето защо глаголът „завършва ” се използва в определението. И, разбира се, членовете на такава последователност също "не отиват никъде". Между другото, проверете дали броят ще бъде неговият лимит.

Нека сега покажем, че последователността няма ограничение. Помислете, например, за околност на точката. Съвсем ясно е, че няма такова число, след което ВСИЧКИ членове ще бъдат в този квартал - нечетните винаги ще "скачат" на "минус едно". По подобна причина в точката няма ограничение.

Докажете, че границата на редицата е нула. Посочете числото , след което всички членове на редицата гарантирано са във всяка произволно малка околност на точката .

Забележка: за много последователности желаното естествено число зависи от стойността - оттук и обозначението.

Решение: разгледайте произволна околност на точката и проверете дали има число - такова, че ВСИЧКИ термини с по-високи числа ще бъдат в тази околност:

За да покажем съществуването на търсеното число, ние изразяваме по отношение на.

Тъй като за всяка стойност "en", тогава знакът за модул може да бъде премахнат:

Използваме "училищните" действия с неравенствата, които повторих в уроците Линейни неравенства и Област на дефиниране на функция. В този случай важно обстоятелство е, че "epsilon" и "en" са положителни:

Тъй като отляво говорим за естествени числа, а дясната страна обикновено е дробна, трябва да се закръгли:

Забележка: понякога единица се добавя отдясно за презастраховане, но всъщност това е излишно. Относително казано, ако също така отслабим резултата чрез закръгляване надолу, тогава най-близкото подходящо число („три“) все още ще отговаря на първоначалното неравенство.

А сега разглеждаме неравенството и си припомняме, че първоначално разглеждахме произволна околност, т.е. "epsilon" може да бъде равно на всяко положително число.

Заключение : за всяка произволно малка околност на точката е намерена такава стойност, че неравенството е валидно за всички по-големи числа. По този начин числото е границата на последователност по дефиниция. Q.E.D.

Между другото, от получения резултат ясно се вижда естествен модел: колкото по-малък е -съседството, толкова по-голямо е числото, след което ВСИЧКИ членове на последователността ще бъдат в този квартал. Но колкото и малък да е "ипсилонът", вътре винаги ще има "безкрайна опашка", а отвън - дори голям, но краен брой членове.

Разглежда се общата дефиниция на околност на точка от реалната права. Дефиниции на епсилон околности, лява, дясна и прободена околности на крайни точки и безкрайност. Квартален имот. Доказана е теорема за еквивалентността на използването на епсилон околност и произволна околност в дефиницията на границата на Коши на функция.

Съдържание

Определяне на околността на точка

Околност на реална точка x 0 Всеки отворен интервал, съдържащ тази точка, се нарича:
.
Тук ε 1 и ε 2 са произволни положителни числа.

Епсилон - околност на точка х 0 се нарича множеството от точки, разстоянието от които до точката х 0 по-малко от ε:
.

Пунктираната околност на точката x 0 се нарича околността на тази точка, от която е изключена самата точка x 0 :
.

Крайни точки на съседство

В самото начало беше дадено определение за околност на точка. Означава се като. Но можете изрично да посочите, че кварталът зависи от две числа, като използвате подходящите аргументи:
(1) .
Тоест околността е набор от точки, принадлежащи на отворен интервал.

Приравняване на ε 1 към ε 2 , получаваме епсилон - съседство:
(2) .
Епсилон - съседство - е набор от точки, принадлежащи на отворен интервал с равноотдалечени краища.
Разбира се, буквата епсилон може да бъде заменена с всяка друга и можем да разглеждаме δ - квартал, σ - квартал и т.н.

В теорията на границите може да се използва дефиницията на съседство, базирана както на множество (1), така и на множество (2). Използването на който и да е от тези квартали дава еквивалентни резултати (вижте ). Но определението (2) е по-просто, следователно често се използва епсилон - околността на точка, определена от (2).

Концепциите за лява, дясна и пунктирана околност на крайните точки също се използват широко. Представяме техните определения.

Лява околност на реална точка x 0 е полуотвореният интервал, разположен на реалната ос вляво от x 0 , включително самата точка:
;
.

Дясна околност на реална точка x 0 е полуотвореният интервал, разположен вдясно от x 0 , включително самата точка:
;
.

Пробити квартали на крайни точки

Пунктираните околности на точката x 0 са същите квартали, от които е изключена самата точка. Те се идентифицират с кръг над буквата. Представяме техните определения.

Пунктираната околност на точка x 0 :
.

Пробит епсилон - околност на точка x 0 :
;
.

Пробита лява махала:
;
.

Пробит десен квартал:
;
.

Окръжности на точки в безкрайност

Заедно с крайните точки се въвежда и понятието околност на безкрайни точки. Всички те са пробити, защото няма реално число в безкрайността (в безкрайността се определя като граница на безкрайно голяма последователност).

.
;
;
.

Възможно е да се определят околностите на безкрайно отдалечени точки и така:
.
Но вместо M, ние използваме, така че квартал с по-малко ε е подмножество на квартал с по-голямо ε, точно както за квартали на крайни точки.

квартален имот

След това използваме очевидното свойство на околността на точка (крайна или безкрайна). Той се крие във факта, че кварталите на точки с по-малки стойности на ε са подмножества на квартали с по-големи стойности на ε. Представяме по-строги формулировки.

Нека има крайна или безкрайно отдалечена точка. Остави .
Тогава
;
;
;
;
;
;
;
.

Обратните твърдения също са верни.

Еквивалентност на дефинициите на границата на функция по Коши

Сега ще покажем, че в дефиницията на границата на функция според Коши може да се използва както произволна околност, така и околност с равноотдалечени краища.

Теорема
Дефинициите на Коши за границата на функция, които използват произволни околности и околности с еднакво отдалечени краища, са еквивалентни.

Доказателство

Да формулираме първа дефиниция на границата на функция.
Число a е границата на функция в точка (крайна или безкрайна), ако за всякакви положителни числа съществуват числа, зависещи от и , така че за всички , принадлежи към съответната околност на точката a :
.

Да формулираме второ определение на границата на функция.
Числото a е границата на функцията в точката, ако за всяко положително число съществува число, зависещо от, така че за всички:
.

Доказателство 1 ⇒ 2

Нека докажем, че ако числото a е границата на функцията по 1-ва дефиниция, то е и граница по 2-ра дефиниция.

Нека първото определение е валидно. Това означава, че има такива функции и , така че за всякакви положителни числа е валидно следното:
в , където .

Тъй като числата и са произволни, ние ги приравняваме:
.
След това има функции и , така че за всеки важи следното:
в , където .

Забележи това .
Позволявам е най-малкото положително число и . Тогава, както беше отбелязано по-горе,
.
Ако, тогава.

Тоест, намерихме такава функция, така че за всеки да е вярно следното:
в , където .
Това означава, че числото a е границата на функцията и по второто определение.

Доказателство 2 ⇒ 1

Нека докажем, че ако числото a е граница на функцията по 2-ра дефиниция, то е и граница по 1-ва дефиниция.

Нека второто определение е валидно. Вземете две положителни числа и . И нека бъде най-малкият от тях. Тогава, според второто определение, има такава функция , така че за всяко положително число и за всички , следва, че
.

Но според . Следователно от това, което следва,
.

Тогава за всякакви положителни числа и намерихме две числа, така че за всички:
.

Това означава, че числото a също е границата по първото определение.

Теоремата е доказана.

Препратки:
Л.Д. Кудрявцев. Курс по математически анализ. Том 1. Москва, 2003 г.