волтажнарича се интензивността на действието на вътрешните сили в точка на тялото, т.е. напрежението е вътрешна сила на единица площ. По своята същност стресът е този, който възниква върху вътрешните повърхности на контакт между частите на тялото. Напрежението, както и интензивността на външното повърхностно натоварване, се изразява в единици сила на единица площ: Pa = N / m 2 (MPa = 10 6 N / m 2, kgf / cm 2 = 98 066 Pa ≈ 10 5 Pa, tf / m 2 и т.н.).

Изберете малка площ ∆A. Означаваме вътрешната сила, действаща върху него като ∆\vec(R). Общо средно напрежение на това място \vec(р) = ∆\vec(R)/∆A . Нека намерим границата на това отношение при ∆A \to 0 . Това ще бъде пълното напрежение на тази област (точка) на тялото.

\textstyle \vec(p) = \lim_(\Delta A \to 0) (\Delta\vec(R)\over \Delta A)

Общото напрежение \vec p, както и резултатът от вътрешните сили, приложени върху елементарната площ, е векторна величина и може да се разложи на два компонента: перпендикулярен на разглежданата площ - нормално напрежение σ nи тангенциално на площадката - напрежение на срязване \tau_n. Тук не нормалата към избраната област.

Напрежението на срязване от своя страна може да се разложи на две компоненти, успоредни на координатните оси x, y, свързани с напречното сечение - \tau_(nx), \tau_(ny). В името на напрежението на срязване първият индекс показва нормалата към площадката, вторият индекс показва посоката на напрежението на срязване.

$$\vec(p) = \left[\matrix(\sigma _n \\ \tau _(nx) \\ \tau _(nx)) \right]$$

Имайте предвид, че в това, което следва, ние ще се занимаваме главно не с общото напрежение \vec p , а с неговите компоненти σ_x,\tau _(xy), \tau _(xz) . В общия случай на площадката могат да възникнат два вида напрежения: нормални σ и тангенциални τ .

Тензор на напрежението

Когато се анализират напреженията в близост до разглежданата точка, безкрайно малък обемен елемент (паралелепипед със страни dx, dy, dz), върху всяка страна на която, като цяло, действат три напрежения, например за лице, перпендикулярно на оста x (място x) - σ_x,\tau _(xy), \tau _(xz)

Компонентите на напрежението по три перпендикулярни повърхности на елемента образуват система на напрежение, описана от специална матрица - тензор на напрежението

$$ T _\sigma = \left[\matrix(
\sigma _x & \tau _(yx) & \tau _(zx) \\
\tau _(xy) & \sigma _y & \tau _(zy) \\ \tau _(xz) & \tau _(yz) & \sigma _z
)\right]$$

Тук първата колона представлява компонентите на напрежението при подложките,
нормално на оста x, втората и третата съответно на осите y и z.

При завъртане на координатните оси, съвпадащи с нормалите към лицата на избрания
елемент, компонентите на напрежението се променят. Чрез завъртане на избрания елемент около координатните оси може да се намери такова положение на елемента, при което всички напрежения на срязване върху челата на елемента са равни на нула.

Областта, в която напреженията на срязване са равни на нула, се нарича основен сайт .

Нормалното напрежение на основното място се нарича основен стрес

Нормалният към основния сайт се извиква основна ос на напрежение .

Във всяка точка могат да бъдат начертани три взаимно перпендикулярни основни платформи.

При завъртане на координатните оси компонентите на напрежението се променят, но напрегнато-деформираното състояние на тялото (SSS) не се променя.

Вътрешните сили са резултат от привеждане в центъра на напречното сечение на вътрешните сили, приложени към елементарните области. Напреженията са мярка, която характеризира разпределението на вътрешните сили върху сечение.

Да предположим, че знаем напрежението във всяка елементарна област. След това можете да напишете:

Надлъжна сила на площадката dA: dN = σ z dA
Сила на срязване по оста x: dQ x = \tau (zx) dA
Сила на срязване по оста y: dQ y = \tau (zy) dA
Елементарни моменти наоколо оси x,y,z: $$\begin(array)(lcr) dM _x = σ _z dA \cdot y \\ dM _y = σ _z dA \cdot x \\ dM _z = dM _k = \tau _(zy) dA \cdot x - \tau _(zx) dA \cdot y \end(array)$$

След интегриране върху площта на напречното сечение получаваме:

Тоест всяка вътрешна сила е общият резултат от действието на напреженията върху цялото напречно сечение на тялото.

Напреженията се характеризират с числена стойност и посока, т.е. напрежението е вектор, наклонен под един или друг ъгъл спрямо разглежданото сечение.

Нека сила F действа в точка M от произволно сечение на тялото върху някаква малка площ A под определен ъгъл спрямо площта (фиг. 63, а). Разделяйки тази сила F на площ A, намираме средното напрежение, възникващо в точка M (фиг. 63, b):

Истинските напрежения в точката М се определят по време на прехода към границата

Векторно количество РНаречен пълно напрежениев точката.

пълно напрежение Рмогат да бъдат разложени на компоненти: по нормата (перпендикулярно) на място А и тангенциално към него (фиг. 63, в).

Компонентата на напрежението по нормалата се нарича нормално напрежение в дадена точка от сечението и се обозначава с гръцката буква (сигма); тангенциалната компонента се нарича напрежение на срязване и се означава с гръцката буква (тау).

Нормалното напрежение, насочено встрани от секцията, се счита за положително, насочено към секцията - отрицателно.

Нормалните напрежения възникват, когато под действието на външни сили частиците, разположени от двете страни на сечението, се стремят да се отдалечат една от друга или да се приближат една към друга. Напреженията на срязване възникват, когато частиците са склонни да се движат една спрямо друга в равнината на сечението.

Напрежението на срязване може да се разложи по координатните оси на две компоненти и (фиг. 1.6, в). Първият индекс при показва коя ос е перпендикулярна на сечението, вторият - успоредно на коя ос действа напрежението. Ако посоката на напрежението на срязване няма значение при изчисленията, тя се обозначава без индекси.

Съществува връзка между общото напрежение и неговите компоненти

Напрежението, при което настъпва разрушаването на материала или възникват забележими пластични деформации, се нарича ограничаващо напрежение.

Напрежението е мярка за разпределението на вътрешните сили върху сечение.

Където
- вътрешна сила, разкрита на корта
.

пълно напрежение
.

Нормално напрежение - проекцията на вектора на общото напрежение върху нормалата се означава със σ.
, където E е модулът на еластичност от първи род, ε е линейната деформация. Нормалното напрежение се причинява само от промяна в дължините на влакната, посоката на тяхното действие, а ъгълът на напречните и надлъжните влакна не се изкривява.

Напрежение на срязване - компоненти на напрежението в равнината на сечение.
, където
(за изотропен материал) - модул на срязване (модул на еластичност от втори род), μ - коефициент на Поасон (=0,3), γ - ъгъл на срязване.

7. Закон на Хук за едноосно напрегнато състояние в точка и закон на Хук за чисто срязване. Еластични модули от първи и втори род, тяхното физическо значение, математическо значение и графична интерпретация. Коефициент на Поасон.

- Закон на Хук за едноосно напрегнато състояние в точка.

E е коефициентът на пропорционалност (модул на еластичност от първи род). Модулът на еластичност е физическа константа на материала и се определя експериментално. Стойността на E се измерва в същите единици като σ, т.е. в kg / cm 2.

- Закон на Хук за смяната.

G е модулът на срязване (модул на еластичност от втори род). Размерът на модул G е същият като този на модул E, т.е. кг / см2.
.

μ е коефициентът на Поасон (коефициент на пропорционалност).
. Безразмерната стойност, характеризираща свойствата на материала и определена експериментално, е в диапазона от 0,25 до 0,35 и не може да надвишава 0,5 (за изотропен материал).

8. Централно напрежение (компресия) на права греда. Определяне на вътрешните надлъжни сили по метода на сечението. Правило за знаци за вътрешни надлъжни сили. Дайте примери за изчисляване на вътрешни надлъжни сили.

Гредата изпитва състояние на централно напрежение (компресия), ако в нейните напречни сечения възникнат централни надлъжни сили N z (т.е. вътрешна сила, чиято линия на действие е насочена по оста z), а останалите 5 фактора на сила са равни на нула (Q x = Q y =M x =M y =M z =0).

Правило за знак за N z: истинска сила на опън - "+", истинска сила на натиск - "-".

9. Централно напрежение (компресия) на права греда. Постановка и решение на задачата за определяне на напреженията в напречните сечения на гредата. Трите страни на проблема.

Твърдение: Права греда, изработена от хомогенен материал, разтегната (натисната) от централните надлъжни сили N. Определете напрежението, което възниква в напречните сечения на гредата, деформацията и изместването на напречните сечения на гредата в зависимост от координатите z от тези раздели.

10. Централно опъване (компресия) на права греда. Определяне на деформации и премествания. Коравина на гредата при опън (компресия). Дайте примери за подходящи изчисления.

Централно напрежение (компресирано) на права греда, вижте въпрос 8.

.

При централно напрежение (натиснат) на лъч в напречна посока възниква само нормално напрежение σ z в сечението, което е постоянно във всички точки на напречното сечение и равно на N z /F.
, където EF е якостта на опън (натиск) на гредата. Колкото по-голяма е твърдостта на гредата, толкова по-малко перлите се деформират със същата сила. 1/(EF) – податливост на гредата при опън (компресия).

11. Централно напрежение (компресия) на права греда. Статистически неопределени системи. Разкриване на статичната неопределеност. Влияние на температурата и монтажните фактори. Дайте примери за подходящи изчисления.

Централно напрежение (компресирано) на права греда, вижте въпрос 8.

Ако броят на линейно независимите уравнения на статиката е по-малък от броя на неизвестните, включени в системата от тези уравнения, тогава проблемът за определяне на тези неизвестни става статично неопределен.
(Колко се удължава едната част, колко се свива втората).

Нормални условия - 20º C.
.f(σ,ε,tº,t)=0 – функционална зависимост между 4 параметъра.

12. Експериментално изследване на механичните свойства на материалите при опън (натиск). Принцип на Сен-Венан. Примерна диаграма на опън. Разтоварване и презареждане. Втвърдяване. Основни механични, якостни и деформационни характеристики на материала.

Механичните свойства на материалите се изчисляват с помощта на машини за изпитване, които са лостови и хидравлични. При лостовата машина силата се създава с помощта на товар, действащ върху образеца чрез система от лостове, а при хидравличната машина с помощта на хидравлично налягане.

Принцип на Saint-Venant: Характерът на разпределението на напрежението в напречните сечения, достатъчно отдалечени (практически на разстояния, равни на характерния напречен размер на пръта) от мястото на прилагане на натоварванията, надлъжните сили не зависят от метода на прилагане на тези сили, ако имат еднакъв статичен еквивалент. Въпреки това, в зоната на натоварване законът за разпределение на напрежението може да се различава значително от закона за разпределение в достатъчно отдалечени участъци.

Ако тестовият образец се разтовари без счупване, тогава в процеса на разтоварване зависимостта между силата P и удължението Δl, образецът ще получи остатъчно удължение.

Ако пробата е била натоварена в зоната, където се наблюдава законът на Хук, и след това е разтоварена, тогава удължението ще бъде чисто еластично. При многократно зареждане междинното разтоварване ще изчезне.

Втвърдяването (работно втвърдяване) е явление на повишаване на еластичните свойства на материала в резултат на предварителна пластична деформация.

Границата на пропорционалност е максималното напрежение, до което материалът следва закона на Хук.

Границата на еластичност е максималното напрежение, до което материалът не получава остатъчни деформации.

Граница на провлачване е напрежението, при което настъпва увеличаване на деформацията без забележимо увеличение на натоварването.

Якостта на опън е максималното напрежение, което пробата може да издържи, без да се счупи.

13. Физическа и условна граница на провлачване на материалите при изпитване на образци на опън, граница на якост. Допустими напрежения при изчисляване на якостта на централно опъната (компресирана) греда. Нормативни и действителни коефициенти на безопасност. Дайте числени примери.

В случаите, когато на диаграмата няма ясно дефинирана граница на провлачване, границата на провлачане условно се приема за стойност на напрежението, при което остава остатъчната деформация ε rest = 0,002 или 0,2%. В някои случаи се задава граница ε rest =0,5%.

max|σz |=[σ].
,n>1(!) – нормативен коефициент на сигурност.

- действителен коефициент на безопасност.n>1(!).

14. Централно опъване (компресия) на права греда. Изчисления за якост и твърдост. якостно състояние. Състояние на твърдост. Три вида задачи при изчисляване на якостта.

Централно напрежение (компресирано) на права греда, вижте въпрос 8.

max|σz | разтягане ≤[σ] разтягане;макс|σ z | компресия ≤[σ] компресия.

15. Обобщен закон на Хук за триосно напрегнато състояние в точка. Относителна обемна деформация. Коефициентът на Поасон и неговите гранични стойности за хомогенен изотропен материал.

,
,
. Добавяйки тези уравнения, получаваме израза за обемна деформация:
. Този израз ви позволява да определите граничната стойност на коефициента на Поасон за всеки изотропен материал. Да разгледаме случая, когато σ x =σ y =σ z =р. В такъв случай:
. Ако p е положително, стойността на θ също трябва да е положителна; ако p е отрицателно, промяната в обема ще бъде отрицателна. Това е възможно само когато μ≤1/2. Следователно стойността на коефициента на Поасон за изотропен материал не може да надвишава 0,5.

16. Връзка между три еластични константи за изотропен материал (без извеждане на формула).

,
,
.

17. Изследване на напрегнато-деформираното състояние в точките на централно опъната (натисната) права греда. Законът за сдвояване на тангенциалните напрежения.

,
.

- законът за сдвояване на тангенциалните напрежения.

18. Централен опън (компресия) на прът от линейно еластичен материал. Потенциална енергия на еластична деформация на гредата и нейната връзка с работата на външните надлъжни сили, приложени към гредата.

A=U+K. (В резултат на работата потенциалната енергия на деформираното тяло U се натрупва, освен това работата отива за ускоряване на масата на тялото, т.е. тя се превръща в кинетична енергия).

Ако централното напрежение (компресия) на прът, изработен от линейно еластичен материал, се извършва много бавно, тогава скоростта на движение на центъра на масата на тялото ще бъде много малка. Такъв процес на зареждане се нарича статичен. Тялото винаги е в състояние на равновесие. В този случай A=U и работата на външните сили се превръща напълно в потенциална енергия на деформация.
,
,
.

Напрежението, създадено в твърдо тяло от външни натоварвания, е мярка (с измерението на силата на единица площ) на интензивността на вътрешните сили, действащи от една умствено отрязана част на тялото към другата останала (метод на сечението). Външните натоварвания причиняват деформация на тялото, т.е. променяйки размера и формата си. В съпротивлението на материалите се изучават връзките между натоварванията, напреженията и деформациите и изследванията се извършват, от една страна, чрез математическо извеждане на формули, свързващи натоварванията с напреженията и деформациите, които те причиняват, и от друга страна, чрез експериментално определяне на характеристиките на материалите, използвани в сградите и машините. Вижте същоМЕХАНИЧНИ СВОЙСТВА НА МЕТАЛИТЕ ; ИЗПИТВАНЕ НА МЕТАЛ. Според намерените формули, като се вземат предвид резултатите от изпитването на материалите, се изчисляват размерите на елементите на сградите и машините, които осигуряват устойчивост на определени натоварвания. Якостта на материалите не принадлежи към точните науки, тъй като много от нейните формули са извлечени от предположения за поведението на материалите, които не винаги са точно изпълнени. Въпреки това, използвайки ги, компетентен инженер може да създаде надеждни и икономични проекти.

Математическата теория на еластичността е тясно свързана със съпротивлението на материалите, което също отчита напреженията и деформациите. Тя ви позволява да решавате тези проблеми, които са трудни за решаване с конвенционалните методи за якост на материалите. Въпреки това, няма ясна граница между якостта на материалите и теорията на еластичността. Въпреки че почти всички проблеми с разпределението на напрежението са решени чрез методите на математическия анализ, с трудни условиятези решения изискват трудоемки изчисления. И тогава на помощ идват експерименталните методи за анализ на стреса.

СТРЕС И НАПРЕЖЕНИЕ

Видове напрежения.

Най-важната концепция в якостта на материалите е концепцията за напрежението като сила, действаща върху малка площ и свързана с площта на тази област. Има три вида напрежения: напрежение, натиск и срязване.

Ако товар е окачен на метален прът, както е показано на фиг. едно, а, тогава такъв прът се нарича опънат или работещ в напрежение. Волтаж Ссъздаден със сила Пв опъващ прът с площ на напречното сечение, равна на А, се дава от С = П/А. Ако теглото на товара е 50 000 N, тогава силата на опън също е 50 000 N. Освен това, ако ширината на пръта е 0,05 m и дебелината е 0,02 m, така че площта на напречното сечение е 0,001 m 2, тогава напрежението на опън е 50 000 / 0,001 \u003d 50 000 000 N / m 2 \u003d 50 MPa. Опънатият прът е по-дълъг, отколкото преди прилагането на силите на опън.

Помислете за къс цилиндър (фиг. 1, b), в горния край на който се поставя товарът. В този случай напрежението на натиск действа във всички напречни сечения на цилиндъра. Ако напрежението е равномерно разпределено по цялото напречно сечение, тогава формулата е валидна С = П/А. Компресираният цилиндър е по-къс, отколкото при липса на деформации.

Напрежението на срязване възниква, например, в болт (фиг. 2, а), върху който напрегнатият прът се поддържа от горния си край ABс натоварване от 50 000 N (фиг. 1, а). Болтът държи пръта, действайки със сила от 50 000 N, насочена нагоре върху тази част от пръта, която се намира точно над отвора в пръта, а прътът от своя страна притиска средната част на болта със сила от 50 000 N. Силите, действащи върху болта, се прилагат, както е показано на фиг. 2, b. Ако болтът е направен от материал с ниска якост на срязване, като например олово, тогава той ще бъде срязан по две вертикални равнини (фиг. 2, в). Ако болтът е стоманен и с достатъчно голям диаметър, тогава той няма да се срязва, но ще има напрежения на срязване в двете му вертикални напречни сечения. Ако напреженията на срязване са равномерно разпределени, тогава те се дават по формулата С = П/А. Общата сила на срязване, действаща във всяко от напречните сечения, е 25 000 N и ако диаметърът на болта е 0,02 m (площта на напречното сечение е приблизително 0,0003 m 2), тогава напрежението на срязване S sще бъде 25 000 N / 0,0003 m 2, т.е. малко над 80 MPa.

Напреженията на опън и натиск са насочени по нормалата (т.е. по перпендикуляра) към мястото, в което действат, а напрежението на срязване е успоредно на мястото. Следователно напреженията на опън и натиск се наричат ​​нормални, а напреженията на срязване - тангенциални.

Деформация.

Деформацията е промяна в размерите на тялото под действието на приложени върху него натоварвания. Деформацията, отнесена към пълния размер, се нарича относителна. Ако промяната във всеки малък елемент от дължината на тялото е еднаква, тогава относителната деформация се нарича равномерна. Относителното напрежение често се обозначава със символа д, а пълен - символ D. Ако относителната деформация е постоянна по цялата дължина Л, тогава д= D/ Л. Например, ако дължината на стоманен прът преди прилагане на натоварване на опън е 2,00 m, а след натоварването е 2,0015 m, тогава общата деформация D е 0,0015 m, а относителната д= 0,0015/2,00 = 0,00075 (m/m).

За почти всички материали, използвани в сгради и машини, относителната деформация е пропорционална на напрежението, докато надхвърли т.нар. граница на пропорционалност. Тази много важна връзка се нарича закон на Хук. Той е експериментално установен и формулиран през 1678 г. от английския изобретател и часовникар Р. Хук. Тази връзка между напрежение и деформация за всеки материал се изразява с формулата С = Изд, където де постоянен фактор, характеризиращ материала. Този коефициент се нарича модул на Юнг след Т. Йънг, който го въвежда през 1802 г., или модул на еластичност. От конвенционалните структурни материали стоманата има най-висок модул на еластичност; то е приблизително 200 000 MPa. В стоманен прът относителната деформация от 0,00075 от горния пример е причинена от напрежението С = Изд= 200 000 ґ 0,00075 = 150 MPa, което е по-малко от пропорционалната граница на конструкционната стомана. Ако прътът беше направен от алуминий с модул на еластичност от около 70 000 MPa, тогава напрежение от малко над 50 MPa би било достатъчно, за да причини същата деформация от 0,00075. От казаното става ясно, че еластичните деформации в конструкциите и машините са много малки. Дори при относително голямо напрежение от 150 MPa от горния пример, относителната деформация на стоманения прът не надвишава една хилядна. Такава висока твърдост на стоманата е нейното ценно качество.

За да визуализирате деформацията на срязване, помислете например за правоъгълна призма ABCD(фиг. 3). Долният му край е здраво закрепен в солидна основа. Ако върху върха на призмата действа хоризонтална външна сила Е, това причинява деформацията на срязване, показана с пунктирани линии. Изместване D е общата деформация по дължина (височина) Л. Относителна деформация на срязване де равно на D/ Л. За деформация на срязване законът на Хук също е изпълнен, при условие че напрежението не надвишава пропорционалната граница за срязване. Следователно, S s = E s d, където E sе модулът на срязване. За всеки материал, стойността E sпо-малко д. За стоманата е около 2/5 д, т.е. приблизително 80 000 MPa. Важен случай на деформация на срязване е деформацията във валове, подложени на външни усукващи моменти.

По-горе говорихме за еластични деформации, които се причиняват от напрежения, които не надвишават границата на пропорционалност. Ако напрежението надхвърли границата на пропорционалност, тогава деформацията започва да расте по-бързо от напрежението. Законът на Хук престава да бъде справедлив. В случай на конструкционна стомана в областта точно над пропорционалната граница, малко увеличение на напрежението води до увеличаване на напрежението, многократно по-голямо от напрежението, съответстващо на пропорционалната граница. Напрежението, при което започва такова бързо нарастване на деформацията, се нарича граница на провлачване. Материал, при който счупването е предшествано от голяма нееластична деформация, се нарича пластичен.

ДОПУСТИМИ НАПРЕЖЕНИЯ

Допустимо (допустимо) напрежение е стойността на напрежението, която се счита за максимално допустима при изчисляване на размерите на напречното сечение на елемента, изчислено за дадено натоварване. Можем да говорим за допустимите напрежения на опън, натиск и срязване. Допустимите напрежения се предписват или от компетентен орган (да речем отдела за мостове на железопътния контрол), или се избират от дизайнер, който добре познава свойствата на материала и условията за неговото използване. Допустимото напрежение ограничава максималното работно напрежение на конструкцията.

При проектирането на конструкции се цели да се създаде конструкция, която, като е надеждна, същевременно да бъде изключително лека и икономична. Надеждността се осигурява от факта, че на всеки елемент са дадени такива размери, при които максималното работно напрежение в него ще бъде до известна степен по-малко от напрежението, което причинява загуба на здравина на този елемент. Загубата на сила не означава непременно провал. Една машина или строителна конструкция се счита за повредена, когато не може да изпълнява задоволително своята функция. Част, изработена от пластмасов материал, като правило, губи сила, когато напрежението в нея достигне границата на провлачване, тъй като в този случай, поради твърде голяма деформация на частта, машината или конструкцията престава да бъде подходяща за предназначението си. Ако детайлът е направен от крехък материал, тогава той почти не се деформира и загубата на сила съвпада с разрушаването му.

Марж на безопасност.

Разликата между напрежението, при което материалът губи здравина, и допустимото напрежение е „границата на безопасност“, която трябва да се вземе предвид, като се вземе предвид възможността за случайно претоварване, неточности в изчисленията, свързани с опростяване на предположения и несигурни условия, наличието на неоткрити (или неоткриваеми) дефекти на материала и последващо намаляване на якостта поради корозия на метал, гниене на дърво и др.

запас фактор.

Коефициентът на безопасност на всеки структурен елемент е равен на съотношението на крайното натоварване, което причинява загуба на якост на елемента, към натоварването, което създава допустимото напрежение. В този случай загубата на якост се разбира не само като разрушаване на елемента, но и появата на остатъчни деформации в него. Следователно, за конструктивен елемент, изработен от пластмасов материал, крайното напрежение е границата на провлачване. В повечето случаи работните напрежения в конструктивните елементи са пропорционални на натоварванията, поради което коефициентът на безопасност се определя като съотношението на крайната якост към допустимото напрежение (коефициентът на безопасност за крайната якост). Така че, ако якостта на опън на конструкционната стомана е 540 MPa, а допустимото напрежение е 180 MPa, тогава коефициентът на безопасност е 3.

РАВНОМЕРНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА НАПРЕЖЕНИЕТО

В якостта на материалите се обръща голямо внимание на извеждането на връзките между дадените натоварвания, размерите и формата на конструктивен елемент, който носи тези натоварвания или ги издържа, и напреженията, които възникват в определени участъци на конструктивния елемент. По правило целта на изчисленията е да се намерят необходимите размери на елемента, при които максималното работно напрежение в него няма да надвишава допустимото.

В елементарния курс по якост на материалите се разглеждат редица типични случаи на равномерно разпределение на напрежението: опънати пръти, къси компресирани пръти, тънкостенни цилиндри, работещи под вътрешно налягане (котли и резервоари), занитени и заварени съединения, термични напрежения и такива статично неопределени системи като опъващи пръти от няколко различни материала.

Ако напрежението е еднакво във всички точки на напречното сечение, тогава С = П/А. Проектантът намира необходимата площ на напречното сечение, като раздели даденото натоварване на допустимото напрежение. Но човек трябва да може да прави разлика между случаите, в които стресът наистина е равномерно разпределен, от други подобни случаи, в които не е. Също така е необходимо (както в проблема с нитови съединения, в които съществуват напрежения и напрежения, компресии и срязвания) да се намерят равнини, в които действат напрежения от различни видове, и да се определят максималните локални напрежения.

Тънкостенен цилиндър.

Такъв резервоар се повреди (счупи), когато напрежението на опън в обвивката му стане равно на якостта на опън на материала. Формулата, свързваща дебелината на стената T, вътрешен диаметър на резервоара д, волтаж Си вътрешно налягане Р, може да се изведе чрез разглеждане на условията на равновесие за пръстен, изрязан от обвивката му от две напречни равнини, разделени на разстояние Л(фиг. 4, а). Вътрешното налягане действа върху вътрешната повърхност на полупръстона със сила нагоре, равна на продукта RDL, а напреженията в двете хоризонтални крайни секции на полукръга създават две насочени надолу сили, всяка от които е равна на tLS. Приравнявайки, получаваме

RDL = 2tLS, където С = RD/2T.

Нитова връзка.

На фиг. четири, bпредставена е двойно нитова връзка на две ленти със застъпване. Такава връзка може да се провали поради срязване на двата нита, разкъсване на една от лентите, където е отслабена от отвора за нита, или поради твърде високо напрежениесвиване по зоната на контакт между нита и лентата. Напрежението на свиване в нитово съединение се изчислява като натоварването на нит, разделено на диаметъра на нита и дебелината на лентата. Допустимото натоварване за такава връзка е най-малкото от натоварванията, съответстващи на допустимите напрежения от трите посочени вида.

Най-общо казано, напрежението, действащо в напречното сечение на опънат или къс сгъстен прът, може с основание да се счита за равномерно разпределено, ако се прилагат еднакви и противоположно насочени натоварвания, така че резултатът от всеки от тях да минава през центъра на тежестта на разглежданото напречно сечение . Но трябва да се има предвид, че редица проблеми (включително проблема с напреженията на смачкване в нитова връзка) се решават при предположението за равномерно разпределение на напрежението, въпреки че това очевидно не е вярно. Допустимостта на такъв подход се проверява експериментално.

РАВНОМЕРНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА НАПРЕЖЕНИЕТО

Много строителни елементи и машинни части са натоварени по такъв начин, че напреженията във всичките им напречни сечения са неравномерно разпределени. За да извлечете формули за изчисляване на напреженията при такива условия, психически изрежете елемента с равнина, която дава желаното напречно сечение на две части и разгледайте условията на равновесие за една от тях. Тази част се влияе от една или повече определени външни сили, както и сили, еквивалентни на напрежения в дадено напречно сечение. Работните напрежения трябва да отговарят на условията на равновесие и да съответстват на деформациите. Тези две изисквания формират основата за решаване на проблема. Второто от тях предполага валидността на закона на Хук. Типични елементи с неравномерно разпределение на напреженията са натоварени греди, валове под въздействието на усукващи сили, опънати или компресирани пръти с допълнително огъване и колони.

ГРЕДИ.

Гредата е дълъг прът с опори и товари, работещи главно при огъване. Напречното сечение на гредата обикновено е еднакво по цялата дължина. Силите, с които опорите действат върху гредата, се наричат ​​реакции на опорите. Най-често срещаните са два вида греди: конзолни (фиг. 5, а) и греда с две опори, наречена проста (фиг. 5, b). Под действието на натоварванията гредата се огъва. При това „влакната” от горната му страна се намаляват, а от долната се удължават. Очевидно е, че някъде между горната и долната страна на гредата има тънък слой, чиято дължина не се променя. Нарича се неутрален слой. Промяната в дължината на влакното, разположено между горната (или долната) страна на гредата и нейния неутрален слой, е пропорционална на разстоянието до неутралния слой. Ако законът на Хук е валиден, тогава напреженията също са пропорционални на това разстояние.

Формула на кривата.

На базата на посоченото разпределение на напреженията, допълнено от условията на статика, се получава т.нар. формула за огъване, в която напрежението се изразява чрез натоварвания и размери на гредата. Обикновено се представя под формата С = Мак/аз, където Се максималното напрежение в разглежданото напречно сечение, ° Се разстоянието от неутралния слой до най-напрегнатото влакно, М- момент на огъване, равен на сумата от моментите на всички сили, действащи от едната страна на това сечение, и аз- инерционният момент на напречното сечение (определена функция на формата и размерите на последното). Характерът на промяната на нормалните напрежения в напречното сечение на гредата е показан на фиг. 6.

В напречните сечения на гредите действат и срязващи напрежения. Те са причинени от резултата от всички вертикални сили, приложени от едната страна на напречното сечение на хоризонтална греда. Сумата от всички външни сили и реакции, действащи върху една от двете части на гредата, се нарича срязване в сечението на гредата и обикновено се означава с V. Напреженията на срязване са неравномерно разпределени по сечението: те са равни на нула в горния и долния ръб на сечението и почти винаги са максимални в неутралния слой.

Отклонение на лъча.

Често се изисква да се изчисли деформацията на греда, причинена от действието на товара, т.е. вертикално изместване на точка, разположена в неутралния слой. Това е много важна задача, тъй като отклонението и кривината на гредата трябва да се познават при решаване на задачи, свързани с широк спектър от т.нар. статически неопределени системи.

Още през 1757 г. Л. Ойлер извежда формула за кривината на извит лъч. В тази формула кривината на гредата се изразява като променлив момент на огъване. За да се намери ординатата на еластичната крива (деформация), е необходимо да се вземе двоен интеграл. През 1868 г. O.Mohr (Германия) предлага метод, базиран на диаграми на огъващи моменти. Този графично-аналитичен метод има огромно предимство пред предишните методи, тъй като ви позволява да намалите всички математически изчисления до относително прости аритметични изчисления. Позволява да се изчисли отклонението и наклона във всяка точка на гредата при всякакво натоварване.

Статично неопределени греди.

Много греди, използвани в сгради и машини, имат повече от два крака или само два крака, но със затворен един от краищата, което елиминира възможността за въртене. Такива греди се наричат ​​статично неопределени, тъй като уравненията на статиката не са достатъчни за определяне на реакциите в опорите и моментите в вграждането. Най-често се разглеждат такива греди от три типа: с един вграден (защипан) край и една опора, с двата вградени края и непрекъснати греди с повече от две опори (фиг. 7).

Първото решение на проблема за непрекъснатите греди е публикувано от френския инженер Б. Клапейрон през 1857 г. Той доказва т.нар. теорема за три момента. Уравнението на трите момента е съотношението между огъващите моменти в три последователни опори на една непрекъсната греда. Например, в случай на непрекъсната греда с равномерно натоварване на всеки участък, това уравнение има формата

М А Л 1 + 2М Б(Л 1 + Л 2) + M C L 2 = – (У 1 Л 1 3)/4 – (У 2 Л 2 3)/4.

Тук М А, М Би М С- огъващи моменти в три опори, Л 1 и Л 2 - дължини на левия и десния участък, 2 - натоварване на десния участък. Необходимо е да се напише такова уравнение за всяка двойка съседни участъци и след това да се реши получената система от уравнения. Ако броят на обхватите е н, тогава броят на уравненията ще бъде равен на н – 1.

През 1930 г. Х. Крос публикува своя метод за изчисляване на широк диапазон от статично неопределени рамки и непрекъснати греди. Неговият "метод на разпределение на моментите" ви позволява да правите без решаване на системи от уравнения, намалявайки всички изчисления до добавяне и изваждане на числа.

НАПРЕЖЕНИЕ НА УСУКВАНЕ.

Ако към краищата на вала се прилагат еднакви, но противоположно насочени външни усукващи моменти, тогава във всичките му напречни сечения съществуват само тангенциални напрежения, т.е. състоянието на напрежение в точките на усуканата пръчка е чисто срязване. В кръговото напречно сечение на вала деформациите на срязване и напреженията на срязване са равни на нула в центъра и са максимални на ръба; в междинните точки са пропорционални на разстоянието от центъра на тежестта на сечението. Обичайната формула за максимално напрежение на срязване при усукване е: С = Tc/Дж, където T- момент на усукване в единия край, ° Се радиусът на вала и Дже полярният момент на сечението. За кръг Дж = пр 4/2. Тази формула е приложима само в случай на кръгло напречно сечение. Формулите за валове с напречно сечение с различна форма се извеждат чрез решаване на съответните задачи с помощта на методите на математическата теория на еластичността, в някои случаи с помощта на методите на експерименталния анализ.

КОМПЛЕКСНА УСТОЙЧИВОСТ.

Често е необходимо да се проектират греди, които в допълнение към напречните натоварвания са подложени на надлъжни сили на опън или натиск, приложени към краищата. В такива случаи напрежението във всяка точка на напречното сечение е равно на алгебричната сума на нормалното напрежение, генерирано от надлъжното натоварване, и напрежението на огъване, генерирано от напречните товари. Обща формулаза напрежението в случай на съвместно действие на огъване и опън-натиск е както следва: С = ± ( П/А) ± ( Мак/аз), където знакът плюс се отнася до напрежението на опън.

КОЛОНИ.

Рамките на сградите и мостовите ферми се състоят главно от опъващи пръти, греди и колони. Колоните са дълги компресирани пръти, пример за които в рамката на сградите са вертикалните пръти, които носят междуетажните подове.

Ако дължината на компресиран прът е повече от 10–15 пъти по-голяма от неговата дебелина, тогава под действието на критични натоварвания, приложени към краищата му, той ще загуби стабилност и ще се огъне, дори ако натоварванията са номинално приложени по оста (надлъжно огъване). Поради това огъване товарът е ексцентричен. Ако ексцентрицитетът в средното сечение на колоната е д, тогава максималното напрежение на натиск в колоната ще бъде равно на ( П/А) + (PDc/аз). Това показва, че допустимото натоварване за колоната трябва да бъде по-малко, отколкото за къс компресиран прът.

Формулата за стабилността на гъвкавите колони е изведена през 1757 г. от Л. Ойлер. Максимално натоварване П, която може да се носи от гъвкава колона с вис Л, е равно на mEA/(Л/r) 2 , където ме постоянен фактор в зависимост от дизайна на основата, Ае площта на напречното сечение на колоната и r– най-малкият радиус на въртене на напречното сечение. Поведение Л/rнаречена гъвкавост (изкълчване). Лесно се вижда, че допустимото натоварване намалява бързо с увеличаване на гъвкавостта на колоната. В случай на колони с ниска гъвкавост, формулата на Ойлер е неподходяща и дизайнерите са принудени да използват емпирични формули.

В сградите често се срещат ексцентрично натоварени колони. В резултат на точен теоретичен анализ на такива колони бяха получени "секущи формули". Но изчисленията с помощта на тези формули са много трудоемки и затова често трябва да се прибягва до емпирични методи, които дават добри резултати.

СЛОЖНИ СТРЕСОВИ СЪСТОЯНИЯ

Напрежението във всяка точка на една или друга равнина на натовареното тяло, изчислено по обичайните формули, не е задължително да е най-голямо в тази точка. Следователно въпросът за връзката между напреженията в различни равнини, преминаващи през една точка, е от голямо значение. Такива отношения са предмет на клона на механиката, посветен на сложните напрегнати състояния.

Връзки между напреженията.

Състоянието на напрежение в дадена точка на всяко натоварено тяло може да бъде напълно характеризирано чрез представяне на напреженията, действащи върху лицето на елементарен куб в тази точка. Често има случаи, които включват разгледаните по-горе, на двуосно (равнинно) състояние на напрежение с напрежения, равни на нула, върху две противоположни страни на куба. Напреженията, съществуващи в точка на тялото, не са еднакви в равнини с различни наклони. Въз основа на основните положения на статиката могат да се направят редица важни изводи за връзката между напреженията в различни равнини. Ето три от тях:

1. Ако в дадена точка на дадена равнина има напрежение на срязване, то точно същото напрежение съществува в равнината, минаваща през тази точка и перпендикулярна на дадената.

2. Има равнина, в която нормалното напрежение е по-голямо, отколкото във всяка друга.

3. В равнина, перпендикулярна на тази равнина, нормалното напрежение е по-малко, отколкото във всяка друга.

Максималните и минималните нормални напрежения, посочени в параграфи 2 и 3, се наричат ​​главни напрежения, а съответните равнини се наричат ​​главни равнини.

Необходимостта да се анализират основните напрежения въз основа на тези зависимости не винаги възниква, тъй като простите формули, които инженерите обикновено използват, в повечето случаи дават точно максималните напрежения. Но в някои случаи, например, при изчисляване на вал, който издържа както на моменти на усукване, така и на огъване, не може да се направи без отношения за сложно състояние на напрежение.

ПО-ПРЕДИЗВИКАТЕЛНИ ПРЕДИЗВИКАТЕЛСТВА

В проблемите, обсъдени по-горе, напреженията се считат за равномерно разпределени или линейно променящи се с разстоянието от неутралната ос, където напрежението е нула. В много случаи обаче законът за промяна на напрежението е по-сложен.

Примери за проблеми с нелинейно разпределение на напрежението включват извити греди, дебелостенни съдове, работещи под високо вътрешно или външно налягане, валове с некръгло напречно сечение и натоварени тела с резки промени в напречното сечение (жлебове, рамена и др. .). За такива проблеми се изчисляват коефициентите на концентрация на напрежение.

В допълнение, горната дискусия беше само за статични натоварвания, постепенно прилагани и премахвани. Променливи и периодично променящи се натоварвания, многократно повтарящи се, могат да доведат до загуба на якост, дори ако не надвишават статичната якост на опън на въпросния материал. Такива откази се наричат ​​откази от умора и проблемът за тяхното предотвратяване стана важен в нашата епоха на машини и механизми, работещи в необичайно голям мащаб. високи скорости. Вижте също

Като мярка за интензивността на вътрешните сили, разпределени върху сеченията, напреженията са силите на единица площ на сечението. Изберете в близост до точката бмалка платформа Δ Е(фиг. 3.1). Позволявам Δ Ре резултантната на вътрешните сили, действащи на това място. След това средната стойност на вътрешните сили на единица площ Δ Еразглежданият сайт ще бъде равен на:

Ориз. 3.1. Средно напрежение на обекта

Стойност стрмНаречен средно напрежение. Той характеризира средния интензитет на вътрешните сили. Намаляване на размера на областта, в границата, която получаваме

Стойност стрсе нарича истинско напрежение или просто напрежение в дадена точка на дадено сечение.

Единицата за напрежение е паскал, 1 Pa \u003d 1 N / m 2. Тъй като реалните стойности на напрежението ще бъдат изразени в много големи числа, тогава трябва да се използват множество стойности на единици, например MPa (мегапаскал) 1 MPa \u003d 10 6 N / m 2.

Напреженията, както и силите, са векторни величини. Във всяка точка от разреза на тялото пълно напрежение стрможе да се разложи на два компонента (фиг. 3.2):

1) компонент, нормален към равнината на сечението. Този компонент се нарича нормално напрежениеи означено σ ;

2) компонент, лежащ (в равнината на сечението. Този компонент се обозначава τ и се обади напрежение на срязване. Тангенциалното напрежение, в зависимост от действащите сили, може да има произволна посока в равнината на сечението. За удобство τ представляват под формата на два компонента по посока на координатните оси. Приетите обозначения на напреженията не са показани нито на фиг. 3.2

Нормалното напрежение има индекс, показващ на коя координатна ос е успоредно напрежението. Нормалното напрежение на опън се счита за положително, напрежението на натиск е отрицателно.. Обозначенията на напреженията на срязване имат два индекса: първият от тях показва коя ос е успоредна на нормалата към зоната на действие на дадено напрежение, а втората показва на коя ос е успоредно самото напрежение. Разлагането на общото напрежение на нормални и тангенциални напрежения има определен физически смисъл. Нормално напрежение възниква, когато частиците на материала са склонни да се отдалечават една от друга или, обратно, да се приближат. Напреженията на срязване са свързани със срязването на материалните частици по равнината на сечението.

Ориз. 3.2. Разлагане на вектора на общото напрежение

Ако мислено изрежем около някаква точка от тялото елемент под формата на безкрайно малък куб, тогава напреженията, показани на фиг. 3.3. Наборът от напрежения върху всички елементарни области, които могат да бъдат начертани през всяка точка на тялотоНаречен напрегнато състояние в дадена точка.

Нека изчислим сумата от моментите на всички елементарни сили, действащи върху елемента (фиг. 3.3), спрямо координатните оси, така че, например, за оста хкато вземем предвид баланса на елемента, имаме: