Model komplexního systému, o kterém jsme hovořili dříve, je obecným matematickým modelovacím schématem. V praxi je pro formalizaci konceptuálních modelů řady systémů výhodnější použít standardní matematická modelovací schémata, která na jedné straně berou v úvahu způsob reprezentace času v modelu (spojitá proměnná nebo diskrétní) a dále na druhé straně míra náhodnosti simulovaných procesů. Na základě těchto charakteristik se rozlišují následující schémata matematického modelování (třídy MM).

Spojité - deterministické modely (D - schémata).

Diskrétní - deterministické modely (F - schémata).

Diskrétní - pravděpodobnostní modely (P - schémata).

Spojité - pravděpodobnostní modely (Q - schémata).

Síťové modely (N – schémata).

Agregátní modely (A – diagramy).

Kontinuálně deterministické modely. V těchto modelech čas t se předpokládá, že je spojitá proměnná a náhodné faktory v systému jsou zanedbávány. Matematickým aparátem modelů je teorie diferenciálních a integrálních rovnic, s jejichž pomocí se dosahuje adekvátního popisu dynamických systémů. Nejdůkladněji byla vyvinuta operátorská metoda popisu a studia procesů fungování dynamických systémů a jejich struktur.

Příkladem spojitě deterministického modelu jednokanálového automatického řídicího systému je nehomogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty.

V této rovnici x(t)- vstupní vliv; y(t)– výstupní hodnota charakterizující polohu řídicího objektu; - vnitřní parametry systému.

Pokud je dynamický systém popsán nelineární diferenciální rovnicí, pak je linearizován a řešen jako lineární.

Použití kontinuálně deterministických modelů umožňuje kvantitativně provádět nejen analýzu dynamických systémů, ale také jejich optimální syntézu.

Diskrétně-deterministické modely. V diskrétních deterministických (DD) modelech čas t je diskrétní proměnná, kde je krok vzorkování a jsou diskrétní časové okamžiky.

Hlavním matematickým aparátem používaným při konstrukci DD modelů je teorie diferenčních rovnic a aparát diskrétní matematiky, zejména teorie konečných automatů.

Diferenční rovnice je rovnice obsahující konečné rozdíly požadované funkce

kde jsou, v tomto pořadí, stav systému a vnější vliv v diskrétních okamžicích v čase.

V aplikovaných úlohách DD modely ve tvaru (2.6) často vznikají jako meziprodukty při studiu DD modelů na počítači, kdy nelze získat analytické řešení diferenciální rovnice a je nutné použít diferenční schémata.

Podívejme se krátce na teorii konečných automatů, která se používá k sestavení DD modelů.

Konečný automat je matematický model diskrétního systému, který pod vlivem vstupních signálů vytváří výstupní signály a který může mít některé proměnlivé vnitřní stavy; zde jsou konečné množiny.

Konečný automat je charakterizován: vstupní abecedou; výstupní abeceda; vnitřní abeceda států; výchozí stav; přechodová funkce; výstupní funkce.

Proces fungování konečného automatu je následující. V tém cyklu je vstupní signál přijímán na vstupu automatu, který je ve stavu, na který automat reaguje přechodem do stavu na t. ticku a vydáním výstupního signálu. Například Mealyho konečný automat je popsána následujícími rekurentními vztahy:

Diskrétně-pravděpodobnostní modely. Diskrétně-pravděpodobnostní model bere v úvahu náhodné prvky studovaného komplexního systému. Hlavním matematickým aparátem používaným při konstrukci a studiu DV modelů je teorie stochastických diferenčních rovnic a teorie pravděpodobnostních automatů.

Diferenční stochastická rovnice je rovnice, která obsahuje náhodné parametry nebo náhodné vstupy.

Nechť je na pravděpodobnostním prostoru definován náhodný vektor parametrů a náhodná sekvence vstupních akcí

Nelineární diferenční rovnice stochastického řádu má tvar , (2.8)

kde jsou dané počáteční stavy systému; daná funkce proměnných.

Řešením této rovnice je náhodná posloupnost stavů modelovaného systému definovaná na množině:

Pokud je funkce lineární v , pak (2.8) bude mít tvar:

(2.9)

kde je vektor parametrů.

Dalším matematickým aparátem pro konstrukci DV modelů komplexních systémů je teorie pravděpodobnostních automatů.

Pravděpodobnostní automat definovaný na množině je konečný automat, ve kterém přechodová funkce a výstupní funkce jsou náhodné funkce mající určitá rozdělení pravděpodobnosti.

Přijměme označení pro rozdělení pravděpodobnosti – počáteční rozdělení pravděpodobnosti, – pravděpodobnost události spočívající v tom, že automat, který je v tém cyklu ve stavu, pod vlivem vstupního signálu vytvoří výstupní signál a přejde do stavu t.

Matematický model pravděpodobnostního automatu je zcela určen pěti prvky: .

Spojité - pravděpodobnostní modely. Při konstrukci a studiu NV modelů se využívá teorie stochastických diferenciálních rovnic a teorie hromadné obsluhy.

Stochastická diferenciální rovnice (ve formě Ito) je:

kde je náhodný proces, který určuje stav systému v daném okamžiku; – standardní Wienerův náhodný proces; – koeficienty difúze a přenosu. Model NV se často používá při modelování stochastických řídicích systémů a výměnných procesů.

Teorie front rozvíjí a studuje matematické modely procesů fungování systémů, které se liší svou povahou, například: dodávky surovin a komponentů určitému podniku; úkoly přicházející do počítače ze vzdálených terminálů; volání na telefonní ústředny apod. Fungování takových systémů je charakterizováno stochasticitou: náhodností časů, kdy se objevují požadavky na službu atd.

Systém, označovaný jako systém řazení do front (QS), se skládá ze servisních zařízení. Obslužné zařízení sestává z akumulátoru reklamací, ve kterém mohou být reklamace současně, a kanálu pro obsluhu reklamací; – kapacita úložiště, tj. počet míst ve frontě pro obsluhu požadavků v kanálu.

Každý prvek zařízení přijímá proudy událostí; do jednotky - tok požadavků, do kanálu - tok „služeb“. Tok požadavků představuje posloupnost časových intervalů mezi okamžiky aplikací objevujících se na vstupu QS a tvoří podmnožinu neřízených proměnných QS. A tok je sled časových intervalů mezi začátkem a koncem servisních požadavků a tvoří podmnožinu řízených proměnných.

Požadavky obsluhované QS tvoří výstupní proud - posloupnost časových intervalů mezi okamžiky, kdy jsou požadavky vydány. Aplikace, které nebyly obsluhovány, ale z různých důvodů opustily QS, tvoří výstupní proud ztracených aplikací.

Síťové modely používá se k formalizaci vztahů příčin a následků ve složitých systémech s paralelními procesy. Tyto modely jsou založeny na Petriho síti. Při grafické interpretaci je Petriho síť speciální typ grafu sestávající ze dvou typů vrcholů - pozice A přechody, spojené orientovanými oblouky a každý oblouk může spojovat pouze různé typy vrcholů (pozice s přechodem nebo přechod s pozicí). Vrcholy polohy jsou označeny kroužky, vrcholy přechodů jsou označeny pomlčkami. Z věcného hlediska přechody odpovídají událostem, které jsou vlastní studovanému systému, a pozice odpovídají podmínkám jejich výskytu.

Sada přechodů, pozic a oblouků nám tedy umožňuje popsat vztahy příčina-následek vlastní systému, ale statickým způsobem. Aby Petriho síť „ožila“, zavádí se další typ síťového objektu – tzv bramborové hranolky nebo značky pozice, které se pohybují podél síťových přechodů v závislosti na přítomnosti štítku na vstupní pozici a nepřítomnosti štítku na výstupní pozici. Rozmístění čipů v pozicích sítě se nazývá síťové značení.

Agregátní modely. Analýza existujících problémů vede k závěru, že komplexní řešení problémů je možné pouze tehdy, pokud jsou modelovací systémy založeny na jednotném matematickém modelovacím schématu. Tento přístup k formalizaci procesu fungování složitého systému navrhl N. P. Buslenko. a je založen na konceptu „agregátu“.

Souhrnným popisem je komplexní systém rozdělen na subsystémy, přičemž jsou zachovány vazby, které zajišťují jejich interakci. Pokud se ukáže, že subsystém je složitý, pak proces členění pokračuje, dokud se nevytvoří subsystémy, které lze za podmínek uvažovaného problému považovat za vhodné pro matematický popis.

Výsledkem je získání víceúrovňové struktury z propojených prvků kombinovaných do subsystémů různých úrovní. Prvky agregačního modelu jsou agregáty. Spojení mezi jednotkami a vnějším prostředím se provádí pomocí konjugačních operátorů. Samotnou jednotku lze také považovat za agregovaný model, tedy rozdělený na prvky další úrovně.

Jakýkoli agregát je charakterizován souborem: okamžiků času T, vstup X a víkendy Y signály, stavy jednotek Z v každém okamžiku t. Proces činnosti jednotky sestává ze stavových skoků v okamžicích příjmu vstupních signálů X a změny stavů mezi těmito okamžiky a .

Okamžiky skoků, které nejsou okamžiky příchodu vstupních signálů, se nazývají speciální okamžiky v čase a stavy se nazývají speciální stavy agregačního obvodu. V mnoha státech Z vyberte podmnožinu, která pokud dosáhne , pak tento stav je okamžikem vydání výstupního signálu y.

MODELOVÁNÍ SYSTÉMŮ

PRACOVNÍ PROGRAM, METODICKÉ POKYNY

PRO SAMOSTATNÉ PRACOVNÍ A KONTROLNÍ ÚKOLY

Fakulty ELEKTROENERGETIKA, ZDO

Specialita 220201 - MANAGEMENT A INFORMAČNÍ VĚDA

TECHNICKÉ SYSTÉMY

Bakalářský titul 220200 - AUTOMATIZACE A ŘÍZENÍ

Modelování systémů: pracovní program, směrnice pro samostatnou práci a kontrolní úkoly. - Vologda: VoGTU, 2008. - 22 s.

Je uveden pracovní program oboru s uvedením témat hlavních oddílů, metodické pokyny s odkazy na zdroje informací, testové úkoly a seznam literatury.

Určeno pro studenty prezenční i kombinované formy studia ve směru: 220200 - automatizace a řízení a specializace 220201 - management a informatika v technických systémech a v bakalářském stupni: 220200 - automatizace a řízení.

Schváleno Redakční a vydavatelskou radou VoSTU

Sestavil: V.N. Tyukin, Ph.D. tech. vědy, docent

Recenzent: E.V. Nesgovorov, Ph.D. tech. vědy, docent

Katedra informatiky a informatiky VoSTU

Program vychází z požadavků Státního vzdělávacího standardu vyššího odborného vzdělávání pro minimální obsah a úroveň přípravy inženýrů v oboru 210100 - management a informatika v technických systémech, zavedeného 10. března 2000.

Požadavky na znalosti a dovednosti v oboru

V důsledku studia oboru musí studenti:

1. Student musí mít nápad:

O modelu a simulaci;

O úloze modelování ve výzkumu, návrhu a provozu systémů;

O účelu počítačů v modelovacích systémech;

O softwaru a hardwaru pro modelování systémů.

2. Student musí vědět:

Účel a požadavky na model;

Klasifikace typů systémového modelování;

Principy přístupu v systémovém modelování;

Matematická schémata pro modelování systémů;

Hlavní fáze modelování systému.

3. Student musí být schopen:

Získat matematické modely systémů;

Provádět formalizaci a algoritmizaci procesu fungování systémů;

Vytvářejte koncepční a strojové modely systémů;

Přijímat a interpretovat výsledky simulace.

Požadavky na minimální obsah disciplíny

Klasifikace modelů a typů modelování; příklady modelů systémů; základní ustanovení teorie podobnosti; etapy matematického modelování; principy konstrukce a základní požadavky na matematické modely systémů; cíle a cíle výzkumu matematických modelů systémů; obecné schéma pro vývoj matematických modelů; formalizace procesu fungování systému; koncept agregovaného modelu; formy reprezentace matematických modelů; metody studia matematických modelů systémů a procesů; simulační modelování; metody pro zjednodušení matematických modelů; technické a softwarové modelovací nástroje.

stůl 1

Rozdělení vyučovacích hodin podle forem vzdělávání a typů tříd

Typy činností	Prezenční vzdělávání	Korespondenční studia
	rodina 7		jen hodinu	rodina 9		jen hodinu.
Přednášky
Praktické lekce
Laboratoř. práce
Já Práce
Celkový
Finální kontrola	h, e.			z, e, 2 k.r.

Tabulka 2

Rozdělení hodin samostatné práce studentů podle druhu práce

PROGRAM KURZU

ÚVOD

V 1. Současný stav problematiky modelování systémů.

AT 2. Použití simulace ve výzkumu, designu a

správa systémů.

Literatura: s. 4-6.

1. ZÁKLADNÍ POJMY MODELOVÁNÍ SYSTÉMŮ

1.1. Definice modelu a simulace. Požadavky na model. Účel modelu.

1.2. Principy přístupu k modelování systémů.

1.3. Klasifikace typů systémového modelování.

1.4. Možnosti a efektivita modelování systémů na počítačích.

Literatura: s. 6-34.

2. MATEMATICKÉ SCHÉMA PRO MODELOVÁNÍ SYSTÉMŮ

2.1. Základní přístupy ke konstrukci matematických modelů systémů. Obecné matematické schéma.

2.2. Spojitě deterministické modely (D - schémata).

2.3. Diskrétně-deterministické modely (F - schémata).

2.4. Diskrétně-stochastické modely (P - schémata).

2.5. Spojité-stochastické modely (Q - schémata).

2.6. Zobecněné modely (A - diagramy).

Literatura: s. 35-67, s. 168-180.

3. FORMALIZACE A ALGORITMIZACE PROCESU

PROVOZ SYSTÉMŮ

3.1. Sled vývoje a strojové implementace modelů systémů.

3.2. Konstrukce konceptuálního modelu systému a jeho formalizace.

3.3. Algoritmizace modelu a jeho strojová implementace.

3.4. Získávání a interpretace výsledků simulace.

Literatura: s. 68-89.

4. MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ SYSTÉMŮ

4.1. Kanonické formy modelů dynamických systémů a metody jejich studia.

4.2. Simulační modelování.

4.3. Statistické modelování.

4.4. Nástroje pro modelování softwarových a hardwarových systémů.

Literatura: .

CÍL KURZU

"Porozumět znamená postavit model."

W. Thomson (Kelvin)

Reálná výrobní zařízení jsou zpravidla velké systémy, jejichž studium je velmi složitým úkolem. Hlavním cílem předmětu je vyvinout metodický přístup k problému modelování velkých systémů a jejich řídicích systémů. Tento hlavní úkol lze rozdělit do několika dílčích úkolů, které jsou také cílem kurzu:

Úvod do metod analýzy a principů přístupu k modelování systémů;

Studium základů matematického modelování systémů;

Studium principů a aparátu modelování systémů;

Úvod do metod modelování při návrhu a provozu systémů;

Studium nástrojů pro modelování softwarových a hardwarových systémů;

Získání praktických dovedností při konstrukci modelů velkých systémů a metod zpracování výsledků simulací.

METODICKÉ POKYNY

Kurz „Modelování řídicích systémů“ by měl poskytnout studentovi moderní výkonný inženýrský pracovní nástroj pro efektivní vývoj a provoz automatizovaných výrobních systémů. Modelování je prostředkem k řešení problému budování velkých systémů, které zahrnují moderní automatizovanou výrobu, bez kapitálových výdajů.

Význam studovaného předmětu spočívá také ve zvládnutí technik a technologií pro praktické řešení problémů modelování procesů fungování systémů na počítači.

Od studentů se očekává, že budou studovat látku z velké části sami. Přednášky jsou věnovány nejsložitějším problémům předmětu a také problémům, které nejsou dostatečně zpracovány v literatuře. Studenti získají praktické modelovací dovednosti v praktických a laboratorních hodinách. Studenti dálkového studia navíc při studiu kurzu absolvují test.

ÚVOD

Studium předmětu by mělo začít úvodem do moderní výroby, kterou lze považovat za komplexní systém vzájemně propojených a vzájemně se ovlivňujících prvků, ve kterém materiálový a výrobní systém působí jako technologický řídicí objekt a informační a řídicí systém hraje roli regulátor. Zvyšování efektivity zavádění procesů řízení ve výrobě vyžaduje plošné zavádění automatizovaných řídicích systémů vytvářených pomocí ekonomických a matematických metod a informační a výpočetní techniky. V současné době je kompletní a komplexní studie automatizovaných řídicích systémů ve všech fázích vývoje, počínaje prohlídkou řídicího objektu a vypracováním technických specifikací pro návrh a konče implementací systému do provozu, nemožná bez metod počítačového modelování. .

Je třeba pochopit, že metodologickým základem modelování je dialekticko-materialistická metoda poznávání a vědeckého bádání. Obecně lze modelování definovat jako metodu nepřímého poznávání, ve které je původní studovaný objekt v určité korespondenci s jiným modelovým objektem a model je schopen tak či onak nahradit původní v některých fázích kognitivního procesu. proces.

Základní principy modelování jsou.

Princip informační dostatečnosti. Určuje úroveň apriorních informací, na které lze vytvořit adekvátní model.

Princip proveditelnosti. Určeno pravděpodobností dosažení cíle modelování v konečném čase.

Princip více modelů. Vytvářený model musí odrážet především ty vlastnosti reálného systému, které ovlivňují zvolený ukazatel výkonnosti.

Princip agregace. Model objektu je reprezentován z jednotek (subsystémů), které jsou vhodné pro popis standardními matematickými schématy.

Princip parametrizace. Model musí obsahovat podsystémy charakterizované parametry.

Základní pojmy modelování systémů

„Definujte význam slov

A vysvobodíte lidskost

Z poloviny jeho přeludů.“

Při studiu této části je důležité porozumět základním pojmům, definicím, cílům a principům modelování.

Model je obraz originálu založený na přijatých hypotézách a analogiích a modelování je reprezentace objektu modelem za účelem získání informací o tomto objektu prováděním experimentů s jeho modelem.

Hlavním požadavkem, který musí model splňovat, je přiměřenost k objektu. Adekvátnost modelu závisí na účelu modelování a přijatých kritériích. Model je adekvátní objektu, pokud jsou potvrzeny výsledky modelování a může sloužit jako základ pro predikci procesů probíhajících ve studovaných objektech.

Modelování řeší problémy studia a zkoumání objektů, předpovídání jejich fungování, syntetizuje strukturu, parametry a algoritmy chování.

Při řízení modely umožňují odhadovat nepozorovatelné procesní proměnné, předpovídat stav procesu při existujících nebo vybraných řízeních a automaticky syntetizovat optimální strategie řízení.

Při navrhování a provozu automatizovaných systémů vyvstává řada úkolů, které vyžadují posouzení kvantitativních a kvalitativních vzorců procesů fungování systémů, provádění strukturální, algoritmické a parametrické syntézy. Řešení těchto problémů je v současnosti nemožné bez použití různých typů modelování, což je způsobeno vlastnostmi velkých systémů, jako je složitost struktur, stochasticita vazeb mezi prvky a vnějším prostředím, nejednoznačnost algoritmů chování, velké množství parametrů a proměnných, neúplnost a neurčitost výchozí informace. Matematické modelování může výrazně zkrátit dobu návrhu, v mnoha případech umožňuje najít optimální řešení, eliminovat metodu pokusů a omylů v plném rozsahu a přejít k paralelnímu procesu návrhu.

V současné době se při analýze a syntéze velkých systémů vyvinul systematický přístup, který zahrnuje důsledný přechod od obecného ke konkrétnímu, kdy základem úvahy je cíl a zkoumaný objekt je izolován od okolí. V tomto případě je model vytvořen pro daný problém a modelování spočívá v řešení problému cíle, problému konstrukce modelu, problému práce s modelem. Charakteristickým rysem správně zvoleného modelu je, že odhaluje pouze ty vzorce, které výzkumník potřebuje, a nebere v úvahu vlastnosti systému, které nejsou pro tuto studii podstatné.

Klasifikace typů systémového modelování je založena na různých vlastnostech, jako je stupeň úplnosti modelu, povaha matematického popisu. Důležité místo zaujímá matematické modelování, což je proces stanovení korespondence mezi daným reálným objektem a určitým matematickým objektem, nazývaný matematický model, a studium tohoto modelu, které umožňuje získat charakteristiky reálného objektu. předmětný předmět. Matematické modelování zahrnuje analytické a simulační. Simulační modelování je založeno na přímém popisu modelovaného objektu s využitím strukturální podobnosti objektu a modelu, tzn. Každý prvek objektu, který je významný z hlediska řešeného problému, je spojen s prvkem modelu.

Technickým prostředkem pro řešení inženýrských problémů na základě modelování je počítač. Strojový experiment s modelem umožňuje studovat proces fungování za jakýchkoli podmínek, zkracuje dobu trvání testů ve srovnání s experimentem v plném rozsahu, má flexibilitu měnit parametry, strukturu a algoritmy simulovaného systému a je jedinou prakticky proveditelnou metodou pro studium procesu fungování systémů ve fázi jejich návrhu.

Samotestovací otázky

1.Co je model a simulace?

2. Formulujte základní požadavky na model.

3.Jaká je role modelování ve výzkumu, návrhu a řízení systémů?

4.Uveďte definice systému, vnějšího prostředí a fungování systému.

5.Co znamená systémový přístup k modelování?

6. Vyjmenujte charakteristiky klasifikace typů systémového modelování.

7.Řekněte nám něco o matematickém modelování a jeho typech.

8.Jaký je rozdíl mezi analytickým a simulačním modelováním?

9.Co je kybernetické modelování?

10. Úloha a účel počítačů v modelování.

Matematická schémata pro modelování systémů

„Nejvyšším účelem matematiky je

Hledání řádu v chaosu

Která nás obklopuje."

Při studiu této části je v první řadě nutné věnovat pozornost pojmům schémat matematického modelování, obecným i typickým.

Matematické schéma je definováno jako spojnice přechodu od smysluplného k formálnímu popisu procesu fungování systému s přihlédnutím k vlivu vnějšího prostředí, tzn. existuje řetězec „popisný model – matematické schéma – matematický model“. Matematické schéma nám umožňuje považovat matematiku nikoli za metodu výpočtu, ale za metodu myšlení, za prostředek formulování pojmů, což je nejdůležitější při přechodu od slovního popisu systému k formální reprezentaci procesu. jeho fungování ve formě nějakého matematického modelu.

Model modelovacího objektu, tzn. systém lze reprezentovat jako soubor veličin, které popisují proces fungování reálného systému a tvoří obecně tyto podmnožiny: soubor vstupních vlivů na systém, soubor vnějších vlivů prostředí, soubor vnitřních ( vlastní) parametry systému a soubor výstupních charakteristik systému. Vstupní vlivy, vlivy vnějšího prostředí, vnitřní parametry jsou nezávislé (exogenní) proměnné a výstupní charakteristiky systému jsou závislé (endogenní) proměnné. Obecné matematické modelovací schéma je specifikováno operátorem, který transformuje exogenní proměnné na endogenní.

V modelovací praxi používá standardní matematická schémata, která nemají obecnost, ale mají výhody jednoduchosti a přehlednosti. Patří mezi ně deterministické, stochastické a agregované standardní modely. Diferenciální, integrální, integrodiferenciální a další rovnice se používají jako deterministické modely a diferenční rovnice a konečné automaty se používají k reprezentaci systémů pracujících v diskrétním čase. Pravděpodobnostní automaty se používají jako stochastické modely k reprezentaci systémů s diskrétním časem a systémy řazení do front se používají k reprezentaci systémů se spojitým časem. Agregátní modely odrážejí systémovou povahu objektů, které jsou rozděleny na konečný počet částí, při zachování vazeb, které zajišťují interakci částí.

Typická matematická schémata (D-,F-,P-,Q-,A-) umožňují formalizovat dosti širokou třídu velkých systémů, se kterými je třeba se v praxi výzkumu a návrhu výrobních problémů vypořádat.

Samotestovací otázky

1.Jaká je úloha schématu matematického modelování?

2.Co je to obecné matematické schéma?

3.Vyjmenujte hlavní formy zobrazení spojitě deterministických modelů.

4.Popište diskrétní konečný automat.

5. Vyjmenujte způsoby upřesnění činnosti F - automatů.

6. Jak definovat pravděpodobnostní automat.

7.Co je QS? Pojmenujte hlavní prvky QS.

8.Co je to transakce?

9. Řekněte nám o symbolice Q-obvodů. Jak jsou graficky znázorněny: zdroj požadavků, servisní kanál, akumulátor, ventil, toky událostí. Uveďte příklad obrazu QS v symbolice Q-schémat.

10.Jaká je struktura agregátního systému?

Výchozí informací při konstrukci matematických modelů procesů fungování systémů jsou údaje o účelu a provozních podmínkách studovaného (navrhovaného) systému, které určují hlavní cíl modelování a umožňují formulovat požadavky na vyvíjený matematický model. . Matematické schéma lze definovat jako vazbu při přechodu od smysluplného k formálnímu popisu procesu fungování systému s přihlédnutím k vlivu vnějšího prostředí, tzn. existuje řetězec „popisný model – matematické schéma – matematický [analytický a/nebo simulační] model“.

Model modelovacího objektu, tedy systému S, lze reprezentovat jako soubor veličin, které popisují proces fungování reálného systému a obecně tvoří následující podmnožiny:

· totalita vstupní vlivy na systém – x i;

· totalita vlivy prostředí– n l;

· totalita vnitřní (vlastní) parametry systémy – h k;

· totalita výstupní charakteristiky systémy – y j.

V tomto případě lze v uvedených podmnožinách rozlišit řízené a neovladatelné proměnné. Obecně x i, n l, h k, y j jsou prvky disjunktních podmnožin X, V, H, Y a obsahují jak deterministické, tak stochastické složky.

Při modelování systému S vstupní vlivy, vlivy prostředí E a vnitřní parametry systému jsou nezávislé (exogenní) proměnné, které ve vektorové podobě mají odpovídající tvar

a výstupní charakteristiky systému jsou závislé (endogenní) proměnné a ve vektorové podobě vypadají

Proces provozu systému S popsaný včas provozovatelem Fs , který obecně transformuje exogenní proměnné na endogenní v souladu se vztahy ve tvaru:

. (2.1)

Sada závislostí výstupních charakteristik systému na čase y j(t) pro všechny typy se nazývá výstupní cesta. Zavolá se závislost (2.1). zákon fungování systému S a je určeno Fs. Obecně zákon fungování systému F s mohou být specifikovány ve formě funkce, funkcionálních, logických podmínek, v algoritmické a tabulkové formě nebo ve formě slovního párovacího pravidla.

Velmi důležité pro popis a studium systému S je koncept funkční algoritmus A s, což je chápáno jako metoda pro získání výstupních charakteristik zohledňující vstupní vlivy , vlivy prostředí a vlastní systémové parametry . Je zřejmé, že stejný zákon fungování systému lze realizovat různými způsoby, tzn. pomocí mnoha různých algoritmů Tak jako.

Relace (2.1) jsou matematickým popisem chování modelujícího objektu (systému) v čase , těch. odráží jeho dynamické vlastnosti. Proto se obvykle nazývají matematické modely tohoto typu dynamické modely (systémy).

U statických modelů je matematický popis (2.1) mapováním mezi dvěma podmnožinami vlastností modelovaného objektu Y A [ X, V, H], který ve vektorové podobě lze zapsat jako

. (2.2)

Vztahy (2.1) a (2.2) lze specifikovat různými způsoby: analyticky (pomocí vzorců), graficky, tabulkově atd. Takové vztahy lze v některých případech získat prostřednictvím vlastností systému S v konkrétních okamžicích, tzv státy. Stav systému S charakterizované vektory

A ,

Kde z ’ 1 =z 1 (t ’),z ’ 2 =z 2 (t ’), …, z'k = z k ( t'), v tuto chvíli t ’’ Î( t 0 , T); z ’’ 1 =z 1 (t ’’), z ’’ 2 =z 2 (t ’’), …, z'' k = z k ( t'') v tuto chvíli t ’’ Î( t 0 , T) atd., .

Pokud vezmeme v úvahu proces fungování systému S jako postupná změna stavů z 1 (t), z 2 (t), ..., z k ( t), pak je lze interpretovat jako souřadnice bodu v k-rozměrný fázový prostor a každá realizace procesu bude odpovídat určité fázové trajektorii. Zavolá se množina všech možných stavových hodnot státní prostor modelovací objekt Z, a z k О Z.

Stavy systému S v určitém okamžiku t 0<t*£ T jsou zcela určeny výchozími podmínkami [Kde z 0 1 =z 1 (t 0), z 0 2 =z 2 (t 0), ..., z 0 k = z k ( t 0)], vstupní vlivy, vnitřní parametry a vnější vlivy prostředí, které probíhaly v určitém časovém období t*– t0, pomocí dvou vektorových rovnic:

; (2.3)

. (2.4)

První rovnice, založená na počátečním stavu a exogenních proměnných, určuje vektorovou funkci , a druhé podle získané hodnoty stavů jsou endogenní proměnné na výstupu systému . Řetězec rovnic objektu „vstup – stavy – výstup“ nám tedy umožňuje určit vlastnosti systému:

Obecně čas v modelu systému S lze uvažovat za modelovací interval (0, T) spojité i diskrétní, tzn. kvantováno do segmentů délky časových jednotek, kdy , kde je počet vzorkovacích intervalů.

Tedy pod matematický model objektu(reálný systém) rozumět konečné podmnožině proměnných spolu s matematickými souvislostmi mezi nimi a charakteristikami.

Pokud matematický popis modelovacího objektu neobsahuje náhodné prvky nebo se s nimi nepočítá, tzn. pokud můžeme předpokládat, že v tomto případě neexistují stochastické vlivy vnějšího prostředí a stochastické vnitřní parametry, pak se model nazývá deterministický v tom smyslu, že charakteristiky jsou jednoznačně určeny deterministickými vstupními vlivy

. (2.6)

Je zřejmé, že deterministický model je speciálním případem stochastického modelu.

Uvedené matematické vztahy představují obecná matematická schémata a umožňují popsat širokou třídu systémů. V praxi modelování objektů v oblasti systémového inženýrství a systémové analýzy je však v počátečních fázích systémového výzkumu racionálnější použít typická matematická schémata: diferenciální rovnice, konečné a pravděpodobnostní automaty, systémy řazení, Petriho sítě atd.

Typická matematická schémata, která nemají stejný stupeň obecnosti jako uvažované modely, mají výhody jednoduchosti a srozumitelnosti, ale s výrazným zúžením aplikačních možností. Jako deterministické modely, kdy se při studiu neberou v úvahu náhodné faktory, se k reprezentaci systémů pracujících v nepřetržitém čase používají diferenciální, integrální, integro-diferenciální a další rovnice a k reprezentaci systémů pracujících se používají konečné automaty a konečné automaty. v diskrétním čase.rozdílová schémata. Pravděpodobnostní automaty se používají jako stochastické modely (s přihlédnutím k náhodným faktorům) pro reprezentaci systémů s diskrétním časem a systémy řazení do front atd. pro reprezentaci systémů se spojitým časem.

Uvedená standardní matematická schémata si přirozeně nemohou tvrdit, že jsou schopna na jejich základě popsat všechny procesy probíhající ve velkých informačních a řídicích systémech. Pro takové systémy je v některých případech slibnější použití agregačních modelů. Agregátní modely (systémy) umožňují popsat širokou škálu výzkumných objektů, odrážejících systémovou povahu těchto objektů. Právě agregačním popisem je komplexní objekt (systém) rozdělen na konečný počet částí (subsystémů), přičemž jsou zachovány vazby, které zajišťují interakci částí.

Při konstrukci matematických modelů procesů fungování systémů lze tedy rozlišovat tyto hlavní přístupy: spojité-deterministické (například diferenciální rovnice); diskrétně-deterministické (konečné automaty); diskrétně-stochastické (pravděpodobnostní automaty); kontinuálně-stochastické (systémy řazení); zobecněné nebo univerzální (agregátní systémy).

Přednáška 5.

Spojitě deterministické modely (D-schéma)

Uvažujme o rysech spojitě deterministického přístupu na příkladu použití diferenciálních rovnic jako matematických modelů. Diferenciální rovnice Jedná se o rovnice, ve kterých jsou neznámé funkce jedné nebo více proměnných a rovnice zahrnuje nejen funkce, ale i jejich derivace různých řádů. Pokud jsou neznámé funkcemi mnoha proměnných, pak se nazývají rovnice parciální diferenciální rovnice, jinak se při uvažování funkce pouze jedné nezávislé proměnné volají rovnice obyčejné diferenciální rovnice(ODU) .

Typicky v takových matematických modelech čas slouží jako nezávislá proměnná, na které závisí neznámé neznámé funkce. t. Potom bude matematický vztah pro deterministické systémy (2.6) v obecném tvaru

Kde A - n-rozměrné vektory; - vektorová funkce, která je definována na nějakém ( n+ 1)-rozměrná množina a je spojitá. Jelikož matematická schémata tohoto typu odrážejí dynamiku studovaného systému, tzn. jeho chování v čase, nazývají se D-schémata(z anglického dynamic).

V nejjednodušším případě má ODR tvar:

,

Kde h 0 , h 1 , h 2 – parametry systému; z(t) – stavu systému v daném okamžiku t.

Pokud studovaný systém interaguje s vnějším prostředím E , pak se objeví vliv vstupu X(t) a spojitě deterministický model takového systému bude mít tvar:

.

Z hlediska obecného schématu matematického modelu X(t) je vstupní (řídicí) akce a stav systému S v tomto případě lze považovat za výstupní charakteristiku, tzn. předpokládejme, že výstupní proměnná se shoduje se stavem systému v daném čase y=z.

Při řešení problémů systémového inženýrství mají velký význam problémy řízení velkých systémů. Měli byste věnovat pozornost automatickým řídicím systémům - popsaný zvláštní případ dynamických systémů D- schémata a modely oddělené do samostatné třídy z důvodu jejich praktické specifičnosti. Při popisu procesů automatického řízení se obvykle drží zobrazení reálného objektu v podobě dvou systémů: řídícího a řízeného (řídicí objekt).

. Přednáška 6.

Diskrétní deterministické modely (F-schéma)

Budeme uvažovat o rysech diskrétně-deterministického přístupu ve fázi formalizace procesu fungování systému na příkladu použití teorie automatů jako matematického aparátu. Teorie automatů je obor teoretické kybernetiky, ve kterém se studují matematické modely - automaty. Na základě této teorie je systém reprezentován jako automat, který zpracovává diskrétní informace a mění své vnitřní stavy pouze v přijatelných časech. Pojem „automatický stroj“ se liší v závislosti na povaze konkrétních studovaných systémů, na přijaté úrovni abstrakce a na vhodném stupni obecnosti. Automat si lze představit jako zařízení (černou skříňku), do kterého jsou přiváděny vstupní signály a přijímány výstupní signály a které může mít nějaké vnitřní stavy. Konečný automat je automat, který má množinu vnitřních stavů, a tedy množinu výstupních signálů, které jsou konečnými množinami. Abstraktně lze konečný automat (z anglického finite automat) znázornit jako matematické schéma charakterizované šesti prvky: konečnou množinou X vstupní signály (vstupní abeceda); konečná množina Y výstupní signály (výstupní abeceda); konečná množina Z vnitřní stavy (vnitřní abeceda nebo abeceda států); výchozí stav z 0 Î Z; přechodová funkce j(z, x); výstupní funkce y(z, x).

Určený automat F-systém: – pracuje v diskrétním automatickém čase, jehož momenty jsou tikání, tzn. stejné časové intervaly vedle sebe, z nichž každý odpovídá konstantním hodnotám vstupních a výstupních signálů a vnitřních stavů. Označíme-li stav, stejně jako vstupní a výstupní signály odpovídající t- mu hodiny v t= 0, 1, 2, ..., přes z(t),X(t),y(t).V čem z(0)=z 0 , z(t)Î Z, X(t)Î X, y(t)Î Y. Abstraktní stavový automat má jeden vstupní a jeden výstupní kanál. V každém okamžiku diskrétního času F- stroj je v určitém stavu z(t) z mnoha Z stavu stroje a v počátečním okamžiku t=0 je vždy v počátečním stavu z(0)=z 0 V tuto chvíli t, být schopen z(t), stroj je schopen přijímat signál na vstupním kanálu X(t)Î X a výstup signálu na výstupní kanál na(t)=y[z(t), X(t)], přecházející ve stát z(t+1)=j[z(t), x(t)], X(t)Î X, y(t)Î Y. Abstraktní konečný stroj implementuje nějaké mapování množiny slov vstupní abecedy X pro mnoho slov výstupní abecedy Y. Jinými slovy, pokud je vstup konečného automatu nastaven na počáteční stav z 0 , zadejte písmena vstupní abecedy v určitém pořadí X(0),X(1),X(2),..., tzn. vstupní slovo, pak se na výstupu stroje objeví písmena výstupní abecedy na(0), y(1), na(2), ..., tvořící výstupní slovo. Provoz konečného automatu tedy probíhá podle následujícího schématu: v každém t- m cyklu na vstup stroje, který je ve stavu z(t), je dán nějaký signál X(t), na kterou reaguje přechodem na ( t+1)-tý zdvih do nového stavu z(t+1) a vytváří nějaký výstupní signál.

Na základě počtu stavů se konečné automaty rozlišují na konečné automaty s pamětí a bez paměti. Automaty s pamětí mají více než jeden stav, zatímco automaty bez paměti (kombinace nebo logické obvody) mají pouze jeden stav. Na základě povahy diskrétního počítání času se konečné automaty dělí na synchronní a asynchronní. V synchronním F U automatických strojů jsou časové okamžiky, ve kterých stroj „čte“ vstupní signály, určeny vynucenými synchronizačními signály. Asynchronní F- stroj čte vstupní signál nepřetržitě, a proto reaguje na dostatečně dlouhý vstupní signál konstantní hodnoty X, může několikrát změnit stav, produkovat odpovídající počet výstupních signálů, dokud se nestane stabilní, kterou již nelze změnit daným vstupním signálem.

Diskrétní-stochastické modely (P-schémata)

Uvažujme o rysech konstruování matematických schémat pomocí diskrétně-stochastického přístupu k formalizaci procesu fungování studovaného systému. Protože podstata časové diskretizace v tomto přístupu zůstává podobná těm, které jsou uvažovány v konečných automatech, budeme také sledovat vliv faktoru stochasticity na varianty takových automatů, konkrétně na pravděpodobnostní (stochastické) automaty.

Obecně lze pravděpodobnostní automat definovat jako diskrétní převodník informací hodinového cyklu s pamětí, jehož fungování v každém hodinovém cyklu závisí pouze na stavu paměti v něm a lze jej statisticky popsat. Využití obvodů pravděpodobnostních automatů je důležité pro vývoj metod pro návrh diskrétních systémů, které vykazují statisticky pravidelné náhodné chování, pro objasnění algoritmických schopností takových systémů a zdůvodnění hranic proveditelnosti jejich použití, jakož i pro řešení problémů syntézy podle na vybrané kritérium diskrétních stochastických systémů, které splňují daná omezení.

Pojďme si představit matematický pojem R- kulomet , pomocí pojmů zavedených pro F-automatický . Zvažte sadu G, jehož prvky jsou všechny možné dvojice ( x i, z s), kde x i, A z s– prvky vstupní podmnožiny X a podmnožiny stavů Z respektive. Pokud jsou takové funkce dvě j A y, pak se s jejich pomocí provádějí mapování G® Z A G® Y, pak to říkají definuje automat deterministického typu. Uveďme si obecnější matematické schéma. Nechat F– množina všech možných dvojic formuláře ( z k , y i) Kde y j– prvek výstupní podmnožiny Y. Požadujeme, aby jakýkoli prvek sady G indukované na place F nějaký distribuční zákon v následujícím tvaru:

Prvky od F … (z 1 , y 1) … (z 1 , y 2) … … (z K, y J -1) (z K, y J)

(x i z k) … b 11 b 12 … bK(J -1 ) b KJ

kde

Kde b kj– pravděpodobnost přechodu stroje do stavu z k a vzhled signálu na výstupu y j, kdyby byl schopen z s a v tomto okamžiku byl na jeho vstupu přijat signál x i. Počet takových distribucí, prezentovaných ve formě tabulek, se rovná počtu prvků množiny G. Označme množinu těchto tabulek pomocí V, pak čtyři prvky nazývá se pravděpodobnostní automat ( R-automatický) .

Přednáška 7.

Spojité-stochastické modely (Q-schémata)

Vlastnosti spojitého-stochastického přístupu budeme zvažovat na příkladu použití systémů hromadné obsluhy jako standardních matematických schémat, která budeme nazývat Q- schémata . Systémy řazení do front jsou třídou matematických schémat vyvinutých v teorii řazení a různých aplikacích k formalizaci procesů fungování systémů, které jsou v podstatě procesy služeb.

Jako obslužný proces mohou být zastoupeny procesy fungování ekonomických, výrobních, technických a jiných systémů, odlišných svou fyzikální podstatou, například aplikace pro zpracování počítačových informací ze vzdálených terminálů atp. Charakteristickým rysem provozu takových objektů je navíc náhodný výskyt aplikací (požadavek) na obsluhu a dokončení služby v náhodných časech, tzn. stochastický charakter procesu jejich fungování. V každém základním aktu doručení lze rozlišit dvě hlavní složky: očekávání doručení aplikací a skutečné doručení aplikace. To může být reprezentováno jako některé i servisní zařízení P i, skládající se z akumulátoru objednávek H i, který může současně obsahovat aplikace, kde L i H - kapacita iúložiště a požádat o servisní kanál (nebo jednoduše kanál) K i. Pro každý prvek servisního zařízení P i proudy událostí přicházejí: do úložiště H i - tok aplikací w i na kanál K i – tok služeb u i.

V praxi modelování systémů, které mají složitější strukturální vazby a algoritmy chování, se pro formalizaci nepoužívají jednotlivá servisní zařízení, ale Q- obvody tvořené složením mnoha elementárních obslužných zařízení P i(sítě ve frontě). Pokud kanály K i různá servisní zařízení jsou zapojena paralelně, pak probíhá vícekanálová služba (multikanál Q-systém) , a pokud zařízení P i a jejich paralelní kompozice jsou zapojeny do série, pak probíhá vícefázová služba (vícefázová Q- systém). Tedy za úkol Q-schémata musí používat operátor konjugace R, odrážející vztah konstrukčních prvků (kanálů a pohonů) mezi sebou. Existují otevřené a uzavřené Q-systém . Na otevřeném prostranství Q-schéma, výstupní proud obsluhovaných aplikací nemůže znovu dorazit k žádnému prvku, tj. neexistuje žádná zpětná vazba, a v uzavřeném Q- obvody mají zpětnovazební spoje, kterými se aplikace pohybují v opačném směru, než je pohyb vstup-výstup.

Možnosti hodnocení charakteristik pomocí analytických modelů teorie front jsou velmi omezené ve srovnání s požadavky praxe výzkumu a návrhu systémů, formalizovaných ve formě Q- schémata Simulační modely mají nesrovnatelně větší potenciál umožňující studium Q- schéma specifikované bez omezení.

Síťové modely (schéma N)

V praxi objektového modelování je často nutné řešit problémy spojené s formalizovaným popisem a analýzou vztahů příčina-následek ve složitých systémech, kde paralelně probíhá několik procesů současně. Nejběžnějším formalismem, který se v současnosti používá k popisu struktury a interakce paralelních systémů a procesů, jsou Petriho sítě.

Formálně Petriho síť ( N-schéma) je dáno čtyřnásobkem tvaru:

,

Kde V– konečná množina symbolů nazývaná pozice; D– konečná množina symbolů nazývaná přechody; já– vstupní funkce (funkce přímého dopadu); Ó- výstupní funkce (inverzní incidenční funkce). Tedy vstupní funkce já zobrazí přechod dj do mnoha výstupních pozic b iÎ já(dj) a výstupní funkce O zobrazí přechod dj do mnoha výstupních pozic b iÎ D(dj).

Graficky N-schéma je zobrazen jako bipartitně orientovaný multigraf, což je soubor pozic a přechodů. Graf N-obvody má dva typy uzlů: pozice a přechody, reprezentované 0 a 1 v tomto pořadí. Orientační oblouky spojují pozice a přechody, přičemž každý oblouk směřuje z prvku jedné sady (pozice nebo přechod) k prvku jiné sady (přechod nebo poloha). Graf N-obvody je multigraf, protože umožňuje existenci více oblouků z jednoho vrcholu do druhého.

Snížené zastoupení N-obvody lze použít pouze k vyjádření statiky simulovaného systému (vztah událostí a podmínek), ale neumožňuje modelu odrážet dynamiku fungování simulovaného systému. Pro reprezentaci dynamických vlastností objektu je zavedena značkovací (označovací) funkce M: B®(0, 1, 2, ...). Označení M existuje přiřazení určitých abstraktních objektů, nazývaných štítky (čipy), k pozicím N-obvody, Kromě toho se počet značek odpovídajících každé poloze může lišit. S grafickým úkolem N-obvody Označení se zobrazí umístěním odpovídajícího počtu bodů do vrcholových pozic (pokud je počet bodů velký, umístí se čísla). Označeno (označeno) N-schéma lze popsat jako pětku a je kombinací Petriho sítě a značení M.

Úkon N-obvody se projeví přechodem od označení k označení. Počáteční označení je označeno jako M 0:V®(0, 1, 2, ...). Rozvržení se změní v důsledku spuštění jednoho z přechodů djÎ D sítí. Nezbytná podmínka pro přechod do ohně dj je b iÎ já (d j){M(b i)3 1), kde M(b i)– označení polohy b i. Přechod dj, pro který je specifikovaná podmínka splněna, je definován jako ve stavu připravenosti ke střelbě nebo jako vybuzený přechod.

Kombinované modely (A-schémata)

Nejznámějším obecným přístupem k formálnímu popisu procesů fungování systému je přístup navržený Ya.P. Buslenko. Tento přístup umožňuje popsat chování spojitých a diskrétních, deterministických a stochastických systémů, tj. ve srovnání s těmi uvažovanými je zobecněný (univerzální) a je založen na konceptu agregační systém(z anglického agregačního systému), což je formální schéma obecného tvaru, kterému budeme říkat A-schéma.

Analýza existujících prostředků modelování systémů a problémů řešených metodou počítačového modelování nevyhnutelně vede k závěru, že komplexní řešení problémů vznikajících v procesu tvorby a počítačové implementace modelu je možné pouze tehdy, jsou-li modelovací systémy založeny na jediném modelu. formální matematické schéma, tzn. A-diagram. Takové schéma musí současně plnit několik funkcí: být adekvátním matematickým popisem modelovacího objektu, tedy systému S, slouží jako základ pro konstrukci algoritmů a programů pro strojovou implementaci modelu M, umožnit provádění analytických studií ve zjednodušené verzi (pro zvláštní případy).

Tyto požadavky jsou poněkud protichůdné. Nicméně v rámci zobecněného přístupu založeného na A-schémata je možné mezi nimi najít nějaký kompromis.

Podle tradice zavedené v matematice obecně a v aplikované matematice zvláště je u agregačního přístupu nejprve dána formální definice objektu modelování - agregativní systém, což je matematické schéma, které odráží systémovou povahu objektů. je studován. Agregačním popisem je komplexní objekt (systém) rozdělen na konečný počet částí (subsystémů), přičemž jsou zachovány vazby, které zajišťují jejich interakci. Pokud se některý z výsledných subsystémů ukáže jako poměrně složitý, pak proces jejich dělení pokračuje, dokud nevzniknou subsystémy, které lze za podmínek uvažovaného modelovacího problému považovat za vhodné pro matematický popis. V důsledku takového rozkladu je komplexní systém prezentován ve formě víceúrovňové struktury vzájemně propojených prvků, kombinovaných do subsystémů různých úrovní.

Jako prvek A-schémata působí agregát a spojení mezi agregáty (v rámci systému S a s vnějším prostředím E) se provádí pomocí operátoru konjugace R. Samotnou jednotku lze samozřejmě považovat za A-diagram, tj. lze jej rozdělit na prvky (agregáty) další úrovně. Jakýkoli agregát je charakterizován následujícími množinami: časové okamžiky T, vstup X a víkendy Y signály, stavy Z v každém okamžiku t. Stav jednotky v daném okamžiku tÎ T označený jako z(t)Î Z a vstupní a výstupní signály jsou jako X(t)Î X A na(t)Î Y respektive.

Existuje třída velkých systémů, které vzhledem ke své složitosti nelze formalizovat ve formě matematických schémat jednotlivých jednotek, takže jsou formalizovány nějakou konstrukcí jednotlivých jednotek. A n, kterému říkáme agregační systém resp A-schéma. Popsat nějaký skutečný systém S tak jako A-schémata je nutné mít popis obou jednotlivých jednotek A n a spojení mezi nimi.

Úkon A-schémata spojené se zpracováním informací. Všechny informace kolují dovnitř A-diagram, rozdělené na vnější a vnitřní. Vnější informace pocházejí z vnějších objektů, které nejsou prvky uvažovaného obvodu, a vnitřní informace jsou generovány jednotkami samotného obvodu. A-schémata. Výměna informací mezi A-schéma a vnější prostředí E se vyskytuje prostřednictvím agregátů zvaných póly A-schémata. V tomto případě se rozlišují vstupní póly A-schémata, což jsou jednotky, které přijímají X-zprávy a výstupní póly A-schémata, jehož výstupní informací je na-zprávy. Jednotky, které nejsou póly, se nazývají vnitřní.

1. Grafické modely

2. Simulační modely

3. Matematické modely

4. Modelování optimálních plánovacích procesů

5. Modelování globálních procesů

7. Modelování environmentálních systémů a procesů

8. Objektové informační modely

9. Systémová analýza

10. Statistické modely

11. Tabulkové modely

12. Formalizace a modelování

Školní kurz informatiky tradičně obsahuje podstatnou linii formalizace a modelování. Pojem model odkazuje na základní obecné vědecké koncepty a modelování je metoda porozumění realitě používaná různými vědami.

Téměř ve všech přírodních a společenských vědách je konstrukce a použití modelů mocným výzkumným nástrojem. Reálné objekty a procesy mohou být tak mnohostranné a složité, že nejlepším způsobem, jak je studovat, je sestavit model, který odráží jen nějakou část reality a je tedy mnohonásobně jednodušší než tato realita. Předmětem výzkumu a vývoje informatiky je metodologie informačního modelování spojená s využíváním výpočetní techniky a technologií. V tomto smyslu se o nich mluví počítačové modelování. Interdisciplinární význam informatiky se do značné míry projevuje zaváděním počítačového modelování v různých vědeckých a aplikovaných oborech: fyzice a technice, biologii a medicíně, ekonomii, managementu a mnoha dalších.

Počítačové modelování zahrnuje proces implementace informačního modelu na počítači a zkoumání modelovacího objektu pomocí tohoto modelu - provedení výpočetního experimentu. Pomocí počítačového modelování se řeší mnoho vědeckých a průmyslových problémů.

Informační modelování je spojeno s formalizací dat o modelovacím objektu (viz “ Formalizace a modelování"). Konstrukce informačního modelu začíná definováním cílů modelování a analýzou modelovacího objektu jako komplexního systému, ve kterém je nutné zvýraznit vlastnosti odrážející se v modelu a vztahy mezi nimi (viz „ Systémová analýza”). Informační modely se liší formou prezentace informací o modelovaném objektu. Matematické modelypoužít jazyk matematiky k reprezentaci modelovaného objektu. Samostatným typem matematických modelů jsou statistické modely- orientovaný na zpracování hromadná data(například populační průzkumy), ve kterých je prvek náhodnosti. Data o modelovacím objektu, uspořádaná v tabulkové formě, jsou tabulkový model. Ke konstrukci se používají grafické nástroje grafické modely. Objektově orientovaný přístup k programování, který se objevil na konci minulého století, dal vzniknout novému paradigmatu v informačním modelování: objektové informační modelování. Nazývají se počítačové modely, které reprodukují chování složitých systémů, pro které neexistuje jednoznačný matematický aparát simulační modely.

Počítačové informační modelování se používá k popisu a analýze procesů různé povahy. Největší zkušenosti v tomto ohledu mají fyzikální vědy (viz „ Modelování fyzikálních systémů a procesů“). Počítačové modelování pomáhá řešit důležité environmentální problémy (viz „ Modelování ekologických systémů a procesů“). Informační modelování hraje důležitou roli v ekonomice a managementu. Nejdůležitějšími úkoly v této oblasti jsou problémy s plánováním (viz „ Modelování optimálních plánovacích procesů“). Pomocí počítačového modelování se vědci snaží vyřešit i tak globální problém, jakým je osud lidské civilizace (viz „ Modelování globálních procesů").

1. Grafické modely

Rozmanitost grafických modelů je poměrně velká. Podívejme se na některé z nich.

Vizuální prostředek pro zobrazení složení a struktury systémů (viz „ Systemologie") jsou grafy.

Podívejme se na příklad. Existuje slovní popis nějaké oblasti: „Náš okres se skládá z pěti vesnic: Dedkino, Babkino, Repkino, Koshkino a Myshkino. Dálnice jsou položeny mezi: Dedkino a Babkino, Dedkino a Koshkino, Babkino a Myshkino, Babkino a Koshkino, Koshkino a Repkino. Z takového popisu je dost těžké si tuto oblast představit. Stejné informace lze mnohem snáze vnímat pomocí diagramu (viz obrázek). Toto není mapa oblasti. Nejsou zde zachovány světové strany a není zachováno měřítko. Tento diagram odráží pouze skutečnost existence pěti vesnic a silničního spojení mezi nimi. Takový diagram znázorňující elementární složení systému a strukturu spojů, volal počet.

Komponenty grafu jsou vrcholy A žebra. Na obrázku jsou vrcholy znázorněny jako kruhy - to je systémové prvky, a okraje jsou znázorněny čarami - to je komunikace(vztah) mezi prvky. Při pohledu na tento graf je snadné pochopit strukturu silničního systému v dané oblasti.

Sestrojený graf umožňuje například odpovědět na otázku: přes které vesnice musíte projet, abyste se dostali z Repkina do Myshkina? Je vidět, že jsou dvě možné cesty: 1) R K B M a) R K D B M. Můžeme z toho usoudit, že 1. cesta je kratší než 2.? Ne, nemůžeš. Tento graf neobsahuje kvantitativní charakteristiky. Nejedná se o mapu, kde je respektováno měřítko a je možné měřit vzdálenost.

Graf na následujícím obrázku obsahuje kvantitativní charakteristiky. Čísla u okrajů udávají délku silnic v kilometrech. To je příklad vážený graf. Vážený graf může obsahovat kvantitativní charakteristiky nejen spojení, ale i vrcholy. Vrcholy mohou například označovat populaci každé vesnice. Podle údajů váženého grafu se ukazuje, že první cesta je delší než druhá.

Takové grafy se také nazývají síť. Síť je charakterizována možnost mnoha různých cest pohybu po hranách mezi některými dvojicemi vrcholů. Sítě se také vyznačují přítomností uzavřených cest, které jsou tzv cykly. V tomto případě existuje cyklus: K D B K.

V diskutovaných diagramech každá hrana označuje přítomnost silničního spojení mezi dvěma body. Silniční spojení ale funguje stejně v obou směrech: pokud můžete jet po silnici z B do M, můžete po ní jet i z M do B (předpokládáme, že je obousměrný provoz). Takové grafy jsou neorientovaný, a jejich spojení se nazývají symetrický.

Kvalitativně odlišný příklad grafu je na následujícím obrázku.

Graf kompatibility krevní skupiny

Tento příklad se týká medicíny. Je známo, že různí lidé mají různé krevní skupiny. Existují čtyři krevní skupiny. Ukazuje se, že při transfuzi krve z jedné osoby na druhou nejsou všechny skupiny kompatibilní. Graf ukazuje možné možnosti krevní transfuze. Krevní skupiny jsou vrcholy grafu s odpovídajícími čísly a šipky označují možnost transfuze jedné krevní skupiny osobě s jinou krevní skupinou. Například z tohoto grafu je zřejmé, že krev skupiny I může být transfuzí podána komukoli a osoba s krevní skupinou I přijímá pouze krev své vlastní skupiny. Je také vidět, že člověku s krevní skupinou IV může být podána jakákoli krev, ale jeho vlastní krev může být podána pouze do stejné skupiny.

Spojení mezi vrcholy daného grafu asymetrické a jsou proto znázorněny jako směrované čáry se šipkami. Takové čáry se obvykle nazývají oblouky(oproti okrajům neorientovaných grafů). Graf s takovými vlastnostmi se nazývá orientované. Zavolá se čára opouštějící a vstupující do stejného vrcholu smyčka. V tomto příkladu jsou čtyři smyčky.

Není těžké porozumět výhodám zobrazení modelu krevního transfuzního systému jako grafu ve srovnání s verbálním popisem stejných pravidel. Graf je snadno pochopitelný a zapamatovatelný.

Strom - graf hierarchické struktury

Velmi častým typem systémů jsou systémy s hierarchickou strukturou. Hierarchická struktura přirozeně vzniká, když jsou objekty nebo některé jejich vlastnosti ve vztahu podřízenosti (vnoření, dědičnost). Systémy administrativního řízení mají zpravidla hierarchickou strukturu, mezi jejímiž prvky jsou vytvořeny vztahy podřízenosti. Například: ředitel závodu - vedoucí prodejny - vedoucí úseku - mistři - dělníci. Systémy mají také hierarchickou strukturu, mezi jejíž prvky existují vztahy jednoho vstupujícího do druhého.

Nazývá se graf hierarchické struktury strom. Hlavní vlastností stromu je, že mezi libovolnými dvěma jeho vrcholy je pouze jedna cesta. Stromy neobsahují cykly ani smyčky.

Podívejte se na graf odrážející hierarchickou správní strukturu našeho státu: Ruská federace je rozdělena do sedmi správních obvodů; Okresy se dělí na kraje (kraje a národní republiky), které zahrnují města a další sídla. Takový graf se nazývá strom.

Strom správní struktury Ruské federace

Strom má jeden hlavní vrchol, který se nazývá kořen stromu. Tento vrchol je znázorněn nahoře; pocházejí z ní větví strom. Úrovně stromu se začnou počítat od kořene. Vrcholy přímo spojené s kořenem tvoří první úroveň. Z nich jsou napojení na vrcholy druhé úrovně atp. Každý vrchol stromu (kromě kořene) má jeden originál vertex na předchozí úrovni a může jich mít mnoho vytvořené vrcholy na další úrovni. Tento princip spojení se nazývá „ jeden k mnoha" Jsou nazývány vrcholy, které nemají žádné potomky listy(v našem grafu jsou to vrcholy reprezentující města).

Grafické modelování výsledků vědeckého výzkumu

Obecný cíl vědecké grafiky lze formulovat následovně: učinit neviditelné a abstraktní „viditelným“. Poslední slovo je uzavřeno v uvozovkách, protože tento „vzhled“ je často velmi podmíněný. Je možné vidět rozložení teploty uvnitř nerovnoměrně zahřátého tělesa složitého tvaru, aniž bychom do něj zavedli stovky mikrosenzorů, tedy v podstatě jej zničili? - Ano, je to možné, pokud existuje vhodný matematický model a co je velmi důležité, shoda na vnímání určitých konvencí v kresbě. Je možné vidět distribuci kovových rud pod zemí bez výkopů? Struktura povrchu cizí planety na základě radarových výsledků? Odpověď na tyto a mnohé další otázky zní ano, je to možné, s pomocí počítačové grafiky a matematického zpracování, které tomu předchází.

Navíc lze „vidět“ něco, co, přísně vzato, obecně dobře neodpovídá slovu „vidět“. Věda, která se objevila na průsečíku chemie a fyziky – kvantová chemie – nám tedy dává možnost „vidět“ strukturu molekuly. Tyto obrazy jsou vrcholem abstrakce a systémem konvencí, protože v atomovém světě jsou naše obvyklé koncepty částic (jádra, elektrony atd.) zásadně nepoužitelné. Vícebarevný „obraz“ molekuly na obrazovce počítače však pro ty, kteří rozumí celému rozsahu jejích konvencí, přináší více výhod než tisíce čísel, která jsou výsledkem výpočtů.

izočáry

Standardní technikou zpracování výsledků výpočtového experimentu je sestrojení čar (ploch) tzv izočáry(isoplochy), podél kterého má nějaká funkce konstantní hodnotu. Toto je velmi běžná technika pro vizualizaci charakteristik nějakého skalárního pole v aproximaci spojitého prostředí: izotermy - čáry stejné teploty, izobary - čáry stejného tlaku, izočáry funkce proudění kapaliny nebo plynu, podél kterých se dokáže si snadno představit jejich toky, izočáry počtu ekologických populací na zemi, izočáry koncentrace škodlivých nečistot v životním prostředí atd.

Současné obrysy

Obrázek ukazuje izočáry funkce proudu nerovnoměrně ohřáté tekutiny v obdélníkové oblasti proudění. Z tohoto obrázku lze jasně soudit směr toků proudu a jejich intenzitu.

Podmíněné barvy, podmíněný kontrast

Další zajímavou technikou moderní vědecké grafiky je podmíněné barvení. Nachází široké uplatnění v široké škále vědeckých aplikací a je souborem technik pro nejpohodlnější vizualizaci výsledků počítačového modelování.

Při různých studiích teplotních polí vyvstává problém s vizuální reprezentací výsledků, například teplot na meteorologických mapách. Chcete-li to provést, můžete nakreslit izotermy na pozadí mapy oblasti. Ale můžete dosáhnout ještě větší jasnosti, protože většina lidí má tendenci vnímat červenou jako „horkou“ a modrou jako „studenou“. Přechod podél spektra od červené k modré odráží střední hodnoty teploty.

Totéž lze provést při znázornění teplotního pole jak na povrchu součásti zpracované na stroji, tak na povrchu vzdálené planety.

Při modelování složitých organických molekul může počítač vytvářet výsledky ve formě vícebarevného obrázku, na kterém jsou atomy vodíku znázorněny jednou barvou, uhlík jinou atd., a atom je reprezentován kuličkou (kruhem), ve které jsou hustota barvy se mění v souladu s rozložením hustoty elektronů. Při hledání minerálů pomocí leteckého snímkování z letadel nebo vesmírných družic vytvářejí počítače podmíněné barevné snímky rozložení hustoty pod zemským povrchem.

Obrázky v podmíněných barvách a kontrastech jsou mocnou technikou ve vědecké grafice. Umožňuje pochopit strukturu nejen plochých, ale i trojrozměrných (trojrozměrných) objektů a vkládá badateli do rukou jednu z pozoruhodných metod poznání.

Studium grafického informačního modelování by nemělo být zaměňováno se studiem technologií grafického zpracování informací. Když studenti začínají studovat modelování, většinou již znají základní technologie počítačové grafiky: umějí používat jednoduché grafické editory, umí vytvářet diagramy v tabulkovém procesoru nebo jiném vhodném programu.

Konstrukce jednoduchých grafických modelů ve formě grafů a hierarchických struktur je vhodná již v základním kurzu informatiky v rámci studia tématu „Formalizace a modelování“. Konstrukce rodokmenu, hierarchický systém řízení školy atd. je poměrně jednoduchá aktivita, která je dostupná většině studentů. V tomto případě je vhodné využít názorné možnosti počítačových grafických systémů.

Pokud jde o samostatnou implementaci vědeckých grafických modelů pomocí programování, jedná se o materiál se zvýšenou náročností, jehož praktické rozvíjení je vhodné ve specializovaném kurzu informatiky nebo v rámci volitelného předmětu zaměřeného na hloubkové studium modelování fyzikálních a jiných procesy.

2. Simulace modelu

Simulační model reprodukuje chování složitého systému vzájemně se ovlivňujících prvků. Simulační modelování je charakterizováno přítomností následujících okolností (všech nebo některých současně):

· objektem modelování je komplexní heterogenní systém;

· simulovaný systém obsahuje faktory náhodného chování;

· je nutné získat popis procesu, který se vyvíjí v průběhu času;

· bez použití počítače je v zásadě nemožné získat výsledky simulace.

Stav každého prvku simulovaného systému je popsán sadou parametrů, které jsou uloženy v paměti počítače ve formě tabulek. Interakce prvků systému jsou popsány algoritmicky. Modelování se provádí v režimu krok za krokem. V každém kroku modelování se mění hodnoty parametrů systému. Program, který implementuje simulační model, odráží změny stavu systému a vytváří hodnoty jeho požadovaných parametrů ve formě tabulek po časových krocích nebo v posloupnosti událostí probíhajících v systému. Pro vizualizaci výsledků modelování se často používá grafické znázornění vč. animovaný.

Deterministické modelování

Simulační model je založen na imitaci reálného procesu (imitace). Například při modelování změny (dynamiky) počtu mikroorganismů v kolonii můžete uvažovat o mnoha jednotlivých objektech a sledovat osud každého z nich a nastavit určité podmínky pro jeho přežití a reprodukci.
atd. Tyto podmínky jsou obvykle specifikovány slovně. Například: po určité době se mikroorganismus rozdělí na dvě části a po další (delší) době odumře. Splnění popsaných podmínek je v modelu implementováno algoritmicky.

Jiný příklad: modelování pohybu molekul v plynu, kdy každá molekula je reprezentována jako kulička s určitým směrem a rychlostí pohybu. Interakce dvou molekul nebo molekuly se stěnou nádoby probíhá podle zákonů absolutně elastické srážky a lze ji snadno algoritmicky popsat. Integrální (obecné, zprůměrované) charakteristiky systému jsou získávány na úrovni statistického zpracování výsledků modelování.

Takový počítačový experiment ve skutečnosti tvrdí, že reprodukuje experiment v plném rozsahu. Na otázku: "Proč to musíte udělat?" můžeme dát následující odpověď: simulace nám umožňuje izolovat „v čisté podobě“ důsledky hypotéz zakotvených v představách o mikroudálostech (tj. na úrovni prvků systému) a osvobodit je od nevyhnutelného vlivu jiných faktorů v experiment v plném rozsahu, o kterém možná ani nevíme, že je podezřelý. Pokud takové modelování zahrnuje i prvky matematického popisu procesů na mikroúrovni a pokud si výzkumník neklade za úkol najít strategii pro regulaci výsledků (například kontrola velikosti kolonie mikroorganismů), pak rozdíl mezi simulačním modelem a matematickým (popisným) modelem se ukazuje jako značně podmíněný.

Výše uvedené příklady simulačních modelů (evoluce kolonie mikroorganismů, pohyb molekul v plynu) vedou k deterministický popis systémů . Postrádají prvky pravděpodobnosti a náhodnosti událostí v simulovaných systémech. Uvažujme příklad modelování systému, který má tyto vlastnosti.

Modely náhodných procesů

Kdo nestál frontu a netrpělivě přemýšlel, zda stihne nakoupit (nebo zaplatit nájem, projet se na kolotoči atd.) v čase, který má k dispozici? Nebo když se snažíte zavolat na linku důvěry a několikrát narazíte na krátké pípnutí, znervózníte a zhodnotíte, zda mohu projít nebo ne? Z takto „jednoduchých“ problémů se na počátku 20. století zrodil nový obor matematiky – teorie fronty, s využitím aparátu teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky, diferenciálních rovnic a numerických metod. Následně se ukázalo, že tato teorie má četné důsledky v ekonomii, vojenských záležitostech, organizaci výroby, biologii a ekologii atd.

Počítačová simulace pro řešení problémů front, implementovaná ve formuláři statistická testovací metoda(metoda Monte Carlo) hraje důležitou roli. Možnosti analytických metod pro řešení reálných problémů front jsou velmi omezené, zatímco metoda statistického testování je univerzální a relativně jednoduchá.

Podívejme se na nejjednodušší problém této třídy. Je zde prodejna s jedním prodejcem, do které náhodně vstupují zákazníci. Pokud je prodávající volný, začne okamžitě obsluhovat kupujícího, pokud přijde několik kupujících současně, vytvoří se fronta. Existuje mnoho dalších podobných situací:

· opravná plocha ve vozovém parku motorových vozidel a autobusů, které opustily linku z důvodu poruchy;

· pohotovost a pacienti, kteří přišli na schůzku kvůli zranění (tj. bez systému objednávek);

· telefonní ústřednu s jedním vchodem (nebo jedním telefonním operátorem) a účastníky, kteří jsou řazeni do fronty, když je vchod obsazený (takový systém je někdy praktikován);

· lokální síťový server a osobní počítače na pracovišti, které odesílají zprávu na server schopný přijmout a zpracovat maximálně jednu zprávu najednou.

Proces příchodu zákazníků do obchodu je náhodný proces. Časové intervaly mezi příchody kterékoli po sobě jdoucí dvojice kupujících jsou nezávislé náhodné události distribuované podle nějakého zákona, které lze zjistit pouze četnými pozorováními (nebo se pro modelování použije nějaká jeho věrohodná verze). Druhým náhodným procesem v tomto problému, který nijak nesouvisí s prvním, je doba trvání služby pro každého zákazníka.

Účelem modelování systémů tohoto typu je získat odpovědi na řadu otázek. Poměrně jednoduchá otázka: jaká je průměrná doba, po kterou budete muset čekat ve frontě vzhledem k zákonům rozdělení výše uvedených náhodných veličin? Složitější otázka: jaké je rozložení čekacích dob na obsluhu ve frontě? Neméně obtížná otázka: při jakých poměrech parametrů vstupních rozvodů dojde ke krizi, do které nikdy nedosáhne obrat nově nastupujícího kupce? Když se zamyslíte nad tímto relativně jednoduchým úkolem, možné otázky se množí.

Metoda modelování vypadá obecně takto. Použité matematické vzorce jsou zákony rozdělení počátečních náhodných proměnných; použité číselné konstanty jsou empirické parametry zahrnuté v těchto vzorcích. Nejsou řešeny žádné rovnice, které by byly použity při analytickém studiu tohoto problému. Místo toho se simuluje fronta, která se hraje pomocí počítačových programů, které generují náhodná čísla s danými zákony rozdělení. Poté je provedeno statistické zpracování souboru získaných hodnot veličin stanovených danými cíli modelování. Například se najde optimální počet prodejců pro různá období provozu prodejny, což zajistí absenci front. Zde použitý matematický aparát je tzv metody matematické statistiky.

Článek „Modelování ekologických systémů a procesů“ 2 popisuje další příklad simulačního modelování: jeden z mnoha modelů systému „predátor-kořist“. Jedinci druhů, kteří jsou v naznačených vztazích, se podle určitých pravidel obsahujících prvky náhody pohybují, dravci jedí oběti, oba se rozmnožují atd. Takový model neobsahuje žádné matematické vzorce, ale vyžaduje statistické zpracování výsledků.

Příklad algoritmu deterministického simulačního modelu

Podívejme se na simulační model evoluce populace živých organismů, známý jako „Život“, který lze snadno implementovat v jakémkoli programovacím jazyce.

Chcete-li sestavit herní algoritmus, zvažte čtvercové pole n+ 1 sloupce a řádky s pravidelným číslováním od 0 do n. Pro usnadnění definujeme krajní hraniční sloupce a řádky jako „mrtvou zónu“, hrají pouze pomocnou roli.

Pro libovolnou vnitřní buňku pole se souřadnicemi ( i, j) můžete definovat 8 sousedů. Pokud je buňka „živá“, natřeme ji, pokud je buňka „mrtvá“, je prázdný.

Pojďme si stanovit pravidla hry. Pokud buňka ( i, j) je „živý“ a je obklopen více než třemi „živými“ buňkami, umírá (na přelidnění). „Živá“ buňka také umírá, pokud jsou v jejím prostředí méně než dvě „živé“ buňky (z osamění). „Mrtvá“ buňka ožije, pokud se kolem ní objeví tři „živé“ buňky.

Pro usnadnění zavádíme dvourozměrné pole A, jehož prvky mají hodnotu 0, pokud je odpovídající buňka prázdná, a 1, pokud je buňka „živá“. Poté algoritmus pro určení stavu buňky se souřadnicí ( i, j) lze definovat takto:

S:= A + A +

A + A

A+A+

A + A;

Pokud (A = 1) A((S > 3) Nebo

(S<)) Pak B:= 0;

Pokud (A = 0) A(S=3)

Potom B := 1;

Tady je pole B v další fázi určí souřadnice pole. Pro všechny vnitřní buňky od i= 1 až n– 1 a j= 1 až n– 1 výše uvedené platí. Všimněte si, že následující generace jsou definovány podobně, stačí provést postup změny přiřazení:

Pro já:= 1 Na N - 1 Dělat

Pro J:= 1 Na N - 1 Dělat

A := B;

Je vhodnější zobrazit stav pole na obrazovce displeje nikoli v maticové formě, ale v grafické podobě.

Zbývá pouze určit postup pro nastavení prvotní konfigurace hracího pole. Při náhodném určení počátečního stavu buněk je vhodný algoritmus

Pro já:= 1 Na K Dělat

Begin K1:= Random(N - 1);

K2:= náhodně (N - 1) + 1;

Pro uživatele je zajímavější nastavit si prvotní konfiguraci sám, což je jednoduché na implementaci. V důsledku experimentů s tímto modelem lze nalézt například stabilní sídla živých organismů, které nikdy neumírají, zůstávají nezměněny nebo mění svou konfiguraci po určitou dobu. Absolutně nestabilní (zaniká ve druhé generaci) je „křížové“ osídlení.

V základním kurzu informatiky mohou studenti realizovat simulační model „Život“ v rámci části „Úvod do programování“. K důkladnějšímu zvládnutí simulačního modelování může dojít na střední škole ve specializovaném nebo volitelném předmětu informatika. Tato možnost bude probrána níže.

Začátkem studia je přednáška o simulačním modelování náhodných procesů. V ruských školách se pojmy teorie pravděpodobnosti a matematická statistika teprve začínají zavádět do kurzů matematiky a učitel by měl být připraven provést úvod do této látky, která je nezbytná pro utváření světového názoru a matematické kultury. Zdůrazňujeme, že mluvíme o elementárním úvodu do okruhu diskutovaných pojmů; to lze provést za 1–2 hodiny.

Poté probereme technické problémy související s počítačovým generováním posloupností náhodných čísel s daným distribučním zákonem. V tomto případě se můžeme spolehnout na to, že každý univerzální programovací jazyk má senzor náhodných čísel rovnoměrně rozložený na intervalu od 0 do 1. V této fázi není vhodné zabývat se složitou otázkou principů jejího provádění. Na základě existujících senzorů náhodných čísel ukážeme, jak se zařídit

a) generátor rovnoměrně rozložených náhodných čísel na libovolném intervalu [ A, b];

b) generátor náhodných čísel podle téměř jakéhokoli distribučního zákona (například pomocí intuitivně jasné metody „výběr-odmítnutí“).

Výše popsaný problém řazení do fronty je vhodné začít probírat diskusí o historii řešení problémů s řazením do front (Erlangův problém obsluhy požadavků na telefonní ústředně). Následuje úvaha o nejjednodušším problému, který lze formulovat na příkladu tvorby a obsluhy fronty v obchodě s jedním prodejcem. Všimněte si, že v první fázi modelování lze předpokládat, že rozdělení náhodných veličin na vstupu je stejně pravděpodobné, což, i když to není reálné, odstraňuje řadu potíží (pro generování náhodných čísel můžete jednoduše použít senzor zabudovaný v programovací jazyk).

Upozorňujeme studenty na to, jaké otázky jsou kladeny jako první při modelování systémů tohoto typu. Za prvé je to výpočet průměrných hodnot (matematických očekávání) některých náhodných veličin. Jaká je například průměrná doba, po kterou musíte čekat ve frontě u přepážky? Nebo: zjistěte průměrnou dobu, kterou prodávající strávil čekáním na kupujícího.

Úkolem učitele je zejména vysvětlit, že výběrové prostředky samy o sobě jsou náhodné proměnné; v jiném vzorku stejné velikosti budou mít různé hodnoty (s velkými velikostmi vzorků - navzájem se příliš neliší). Jsou možné další možnosti: v připravenějším publiku můžete ukázat metodu pro odhad intervalů spolehlivosti, ve které se matematická očekávání odpovídajících náhodných proměnných nacházejí v daných pravděpodobnostech spolehlivosti (pomocí metod známých z matematické statistiky, aniž byste se je snažili zdůvodnit). Pro méně připravené publikum se můžeme omezit na čistě empirické tvrzení: pokud se v několika vzorcích stejné velikosti průměrné hodnoty shodují na určitém desetinném místě, pak je toto znaménko s největší pravděpodobností správné. Pokud simulace nedosáhne požadované přesnosti, měla by být velikost vzorku zvětšena.

Pro ještě matematicky připravenější publikum si lze položit otázku: jaké je rozdělení náhodných veličin, které jsou výsledky statistického modelování, při daném rozdělení náhodných veličin, které jsou jeho vstupními parametry? Protože prezentace odpovídající matematické teorie je v tomto případě nemožná, měli bychom se omezit na empirické techniky: konstrukci histogramů konečných rozdělení a jejich porovnání s několika typickými distribučními funkcemi.

Po zvládnutí počátečních dovedností tohoto modelování přecházíme k realističtějšímu modelu, ve kterém jsou vstupní toky náhodných událostí distribuovány např. podle Poissona. To bude vyžadovat, aby studenti navíc zvládli metodu generování posloupností náhodných čísel se zadaným distribučním zákonem.

V uvažovaném problému, stejně jako v každém složitějším problému s frontami, může nastat kritická situace, kdy fronta roste neomezeně s časem. Modelování přístupu ke kritické situaci při zvyšování jednoho z parametrů je zajímavým výzkumným úkolem pro nejpřipravenější studenty.

Na příkladu problému fronty se procvičuje několik nových konceptů a dovedností najednou:

· koncepty náhodných procesů;

· koncepty a jednoduché dovednosti simulačního modelování;

· konstrukce optimalizačních simulačních modelů;

· konstrukce multikriteriálních modelů (řešením problémů o co nejracionálnějším zákaznickém servisu v kombinaci se zájmy majitele prodejny).

3. Matematické modely

Matematický model - přibližný popis modelovaného objektu, vyjádřený pomocí matematických symbolů.

Matematické modely se objevily spolu s matematikou před mnoha staletími. Nástup počítačů dal obrovský impuls rozvoji matematického modelování. Použití počítačů umožnilo analyzovat a aplikovat v praxi mnoho matematických modelů, které dříve nebyly přístupné analytickému výzkumu. Počítačově implementovaný matematický model volal počítačový matematický model, A provádění cílených výpočtů pomocí počítačového modelu volal výpočetní experiment.

Fáze počítačového matematického modelování jsou znázorněny na obrázku. První etapa- stanovení cílů modelování. Tyto cíle mohou být různé:

1) model je potřebný k pochopení toho, jak je konkrétní objekt strukturován, jaká je jeho struktura, jeho základní vlastnosti, zákonitosti vývoje a interakce s vnějším světem (porozumění);

2) model je potřebný k tomu, abychom se naučili řídit objekt (nebo proces) a určili nejlepší metody řízení pro dané cíle a kritéria (řízení);

3) model je potřebný k predikci přímých a nepřímých důsledků implementace daných metod a forem ovlivnění objektu (prognózování).

Pojďme si to vysvětlit na příkladech. Nechť je předmětem studia interakce proudu kapaliny nebo plynu s tělesem, které je překážkou tohoto proudění. Zkušenost ukazuje, že síla odporu vůči proudění na části tělesa se zvyšuje s rostoucí rychlostí proudění, ale při nějaké dostatečně vysoké rychlosti tato síla prudce klesá, aby se s dalším zvýšením rychlosti opět zvýšila. Co způsobilo snížení odporové síly? Matematické modelování nám umožňuje získat jasnou odpověď: v okamžiku prudkého poklesu odporu se od něj začnou odtrhávat víry vzniklé v proudění kapaliny nebo plynu za proudnicovým tělesem a jsou proudem unášeny.

Příklad ze zcela jiné oblasti: populace dvou druhů jedinců, kteří pokojně koexistovali se stabilním počtem a měli společný přísun potravy, „najednou“ začnou prudce měnit své počty. A zde matematické modelování umožňuje (s jistou mírou spolehlivosti) stanovit příčinu (nebo alespoň vyvrátit určitou hypotézu).

Dalším možným cílem modelování je vypracování konceptu pro správu objektu. Jaký letový režim letadla bych měl zvolit, aby byl let bezpečný a ekonomicky nejziskovější? Jak naplánovat stovky druhů prací na stavbě velkého zařízení tak, aby byla dokončena v co nejkratším čase? Mnoho takových problémů systematicky vyvstává před ekonomy, designéry a vědci.

Konečně, predikce důsledků určitých dopadů na objekt může být jak relativně jednoduchou záležitostí v jednoduchých fyzikálních systémech, tak extrémně složitou – na hranici proveditelnosti – v biologických, ekonomických a sociálních systémech. Zatímco na otázku o změnách ve způsobu distribuce tepla v tenké tyči v důsledku změn její slitiny lze poměrně snadno odpovědět, je nesrovnatelně obtížnější vysledovat (předvídat) environmentální a klimatické důsledky stavby velkého vodní elektrárna nebo sociální důsledky změn daňové legislativy. Snad i zde v budoucnu výrazněji pomohou metody matematického modelování.

Druhá fáze: stanovení vstupních a výstupních parametrů modelu; rozdělení vstupních parametrů podle míry důležitosti vlivu jejich změn na výstup. Tento proces se nazývá hodnocení nebo oddělení podle pořadí (viz . “Formalizace a modelování”).

Třetí fáze: sestavení matematického modelu. V této fázi dochází k přechodu od abstraktní formulace modelu k formulaci, která má specifickou matematickou reprezentaci. Matematickým modelem jsou rovnice, soustavy rovnic, soustavy nerovnic, diferenciální rovnice nebo soustavy takových rovnic atd.

Čtvrtá fáze: výběr metody pro studium matematického modelu. Nejčastěji se zde používají numerické metody, které se dobře hodí k programování. Pro řešení stejného problému je zpravidla vhodné několik metod, které se liší přesností, stabilitou atd. Úspěch celého procesu modelování často závisí na správné volbě metody.

Pátá etapa: vývoj algoritmu, kompilace a ladění počítačového programu - proces, který se obtížně formalizuje. Mezi programovacími jazyky mnoho profesionálů preferuje FORTRAN pro matematické modelování: jak kvůli tradicím, tak kvůli nepřekonatelné efektivitě kompilátorů (pro výpočetní práci) a dostupnosti obrovských, pečlivě odladěných a optimalizovaných knihoven standardních programů pro matematické metody v něm napsané . Používají se také jazyky jako PASCAL, BASIC, C v závislosti na povaze úlohy a sklonech programátora.

Šestá fáze: testování programu. Fungování programu je testováno na testovacím problému s dříve známou odpovědí. Toto je jen začátek testovací procedury, kterou je obtížné popsat formálně komplexním způsobem. Testování obvykle končí, když uživatel na základě svých profesionálních charakteristik považuje program za správný.

Sedmá fáze: vlastní výpočetní experiment, při kterém se zjišťuje, zda model odpovídá skutečnému objektu (procesu). Model je dostatečně adekvátní reálnému procesu, pokud se některé charakteristiky procesu získané na počítači shodují s experimentálně získanými charakteristikami s danou mírou přesnosti. Pokud model neodpovídá reálnému procesu, vrátíme se do jedné z předchozích fází.

Klasifikace matematických modelů

Klasifikace matematických modelů může být založena na různých principech. Modely můžete klasifikovat podle vědních oborů (matematické modely ve fyzice, biologii, sociologii atd.). Lze klasifikovat podle použitého matematického aparátu (modely založené na použití obyčejných diferenciálních rovnic, parciálních diferenciálních rovnic, stochastických metod, diskrétních algebraických transformací atd.). Konečně, pokud vycházíme z obecných problémů modelování v různých vědách, bez ohledu na matematický aparát, je nejpřirozenější následující klasifikace:

· deskriptivní (deskriptivní) modely;

· optimalizační modely;

· multikriteriální modely;

· herní modely.

Pojďme si to vysvětlit na příkladech.

Popisné (deskriptivní) modely. Například modelování pohybu komety, která napadla sluneční soustavu, se provádí za účelem předpovědi její dráhy letu, vzdálenosti, ve které proletí od Země atd. V tomto případě jsou cíle modelování ve své podstatě popisné, protože neexistuje způsob, jak ovlivnit pohyb komety nebo na něm cokoliv změnit.

Optimalizační modely se používají k popisu procesů, které lze ovlivnit ve snaze dosáhnout daného cíle. V tomto případě model obsahuje jeden nebo více parametrů, které lze ovlivnit. Například při změně tepelného režimu na sýpce si můžete stanovit za cíl zvolit režim, který bude dosahovat maximální bezpečnosti obilí, tzn. optimalizovat proces skladování.

Vícekriteriální modely. Často je nutné optimalizovat proces podle několika parametrů současně a cíle mohou být značně protichůdné. Například při znalosti cen potravin a potřebě člověka na jídlo je nutné organizovat výživu pro velké skupiny lidí (v armádě, na dětském letním táboře atd.) fyziologicky správně a přitom levně jako možný. Je jasné, že tyto cíle se vůbec neshodují, tzn. Při modelování bude použito několik kritérií, mezi kterými je třeba hledat rovnováhu.

Herní modely se mohou týkat nejen počítačových her, ale i velmi vážných věcí. Například před bitvou musí velitel, pokud existují neúplné informace o nepřátelské armádě, vypracovat plán: v jakém pořadí uvést určité jednotky do bitvy atd., s přihlédnutím k možné reakci nepřítele. Existuje speciální odvětví moderní matematiky - teorie her -, které studuje metody rozhodování za podmínek neúplných informací.

Ve školním kurzu informatiky studenti v rámci základního kurzu získají počáteční znalosti o počítačovém matematickém modelování. Na střední škole lze matematické modelování do hloubky studovat ve všeobecně vzdělávacím kurzu pro hodiny fyziky a matematiky a také v rámci specializovaného volitelného kurzu.

Hlavními formami výuky počítačového matematického modelování na střední škole jsou přednášky, laboratorní a testovací hodiny. Práce na vytváření a přípravě ke studiu každého nového modelu obvykle trvá 3-4 lekce. Při prezentaci látky jsou stanoveny problémy, které musí studenti v budoucnu samostatně řešit, a obecně jsou nastíněny způsoby jejich řešení. Jsou formulovány otázky, na které je třeba získat odpovědi při plnění úkolů. Je uvedena další literatura, která vám umožní získat pomocné informace pro úspěšnější dokončení úkolů.

Formou organizace výuky při studiu nové látky bývá přednáška. Po absolvování diskuse o dalším modelu mají studenti k dispozici potřebné teoretické informace a sadu úkolů pro další práci. V rámci přípravy na splnění úkolu si studenti zvolí vhodnou metodu řešení a otestují vyvinutý program pomocí některého známého soukromého řešení. V případě docela možných obtíží při plnění úkolů je poskytnuta konzultace a návrh na podrobnější prostudování těchto částí v literárních pramenech.

Pro praktickou část výuky počítačového modelování je nejvhodnější projektová metoda. Úkol je formulován pro studenta ve formě výukového projektu a probíhá v několika vyučovacích hodinách, přičemž hlavní organizační formou je práce v počítačové laboratoři. Výukové modelování metodou vzdělávacího projektu lze realizovat na různých úrovních. První je problematická prezentace postupu při vyplňování projektu, který vede učitel. Druhým je realizace projektu studenty pod vedením pedagoga. Třetí je pro studenty, aby samostatně dokončili projekt pedagogického výzkumu.

Výsledky práce musí být prezentovány v číselné podobě, ve formě grafů a diagramů. Pokud je to možné, je proces prezentován na obrazovce počítače v dynamice. Po dokončení výpočtů a obdržení výsledků jsou analyzovány, porovnány se známými fakty z teorie, potvrzena spolehlivost a provedena smysluplná interpretace, která je následně promítnuta do písemné zprávy.

Pokud výsledky uspokojí studenta i učitele, je práce považována za dokončenou a její poslední fází je příprava zprávy. Zpráva obsahuje stručné teoretické informace ke zkoumanému tématu, matematickou formulaci problému, algoritmus řešení a jeho zdůvodnění, počítačový program, výsledky programu, analýzu výsledků a závěry a seznam literatury.

Po sestavení všech zpráv studenti během zkušební lekce podávají stručné zprávy o provedené práci a obhajují svůj projekt. Jedná se o efektivní formu zprávy od skupiny realizující projekt třídě, včetně zadání problému, sestavení formálního modelu, výběru metod pro práci s modelem, implementace modelu na počítači, práce s hotovým modelem, interpretace výsledky a předpovědi. V důsledku toho mohou studenti získat dvě známky: první - za vypracování projektu a úspěšnost jeho obhajoby, druhý - za program, optimalitu jeho algoritmu, rozhraní atd. Studenti také dostávají známky během teoretických kvízů.

Zásadní otázkou je, jaké nástroje použít ve školním kurzu informatiky pro matematické modelování? Počítačovou implementaci modelů lze provést:

· pomocí tabulkového procesoru (obvykle MS Excel);

· vytvářením programů v tradičních programovacích jazycích (Pascal, BASIC atd.), jakož i v jejich moderních verzích (Delphi, Visual Basic for Application atd.);

· používání speciálních aplikačních balíků pro řešení matematických úloh (MathCAD atd.).

Na úrovni základní školy se jeví jako vhodnější první metoda. Na střední škole, kdy je programování spolu s modelováním klíčovým tématem informatiky, je však vhodné jej používat jako modelovací nástroj. Během procesu programování jsou studentům k dispozici podrobnosti o matematických postupech; Navíc jsou prostě nuceni je ovládat, a to také přispívá k matematickému vzdělání. Pokud jde o použití speciálních softwarových balíků, je to vhodné ve specializovaném kurzu informatiky jako doplněk k dalším nástrojům.

4. Modelování globálních procesů

Modely používané v různých vědách (fyzika, biologie, ekonomie atd.) jsou matematickými obrazy relativně izolovaných procesů a jevů. Každý z nich umožňuje řešit problémy, které jsou důležité pro konkrétní vědu nebo typ činnosti. Ale to vše je ve své univerzální důležitosti nižší než ta nejdůležitější otázka pro lidi: jaká je bezprostřední budoucnost lidstva jako druhu jako celku? Jak se bude svět vyvíjet v dohledné době? Zdůrazněme, že se nebavíme o politických či ekonomických prognózách pro nějakou konkrétní zemi či společnost, ale o lidstvu jako celku – jakou má (my všichni žijící na Zemi) budoucnost?

Lidé ve svém současném životě mají mnoho specifických problémů a jsou málo nakloněni podobným obecným úvahám. Život jednotlivce je příliš krátký a jen před stoletím nebo dvěma byly globální změny ve světě během života jednoho člověka málo patrné, i když žil v dosti turbulentní době. Ale ve 20. století se tempo událostí zrychlilo jako nikdy předtím v historii lidstva. Předpovědi budoucích globálních katastrof jsou stále častější: smrt přírody v důsledku průmyslového znečištění, výskyt „ozónových děr“ ve stratosféře, která nás chrání před kosmickým zářením, vyčerpání prostředků pro reprodukci kyslíku v důsledku masivního odlesňování atd. I méně katastrofická událost – například vyčerpání přírodních zdrojů – může vést k radikálním změnám ve způsobu života lidstva, a to zejména v zemích, které jsou dnes nejvíce industrializované.

Budoucnost lidstva je určována obrovským množstvím procesů, zčásti jím řízených, zčásti ne, a tyto procesy jsou natolik propojené a mají tak rozporuplné důsledky, že pouze jejich matematické modelování v celé jejich rozumné totalitě, realizované na moderních počítačích, může poskytnout kvalitativně správnou předpověď. Bez ohledu na to, jak velké může být nevyhnutelné zhrubnutí reality s takovým modelováním, existuje tolik faktorů prvořadé důležitosti, že ani ta nejmocnější mysl nemůže vysledovat jejich interakci.

Odpovídající modely, tzv globální(všeobjímající), se poprvé objevil v 70. letech minulého století. Nejznámější modely jsou WORLD-1 (WORLD-1), WORLD-2, WORLD-3, formulované a studované skupinou zaměstnanců Massachusetts Institute of Technology (USA) pod vedením D.Kh. Meadows a D. Forrester. Výsledky jejich práce svého času vytvořily ve světě senzaci, protože většina scénářů možného vývoje událostí vedla ke koncům, které by se daly nazvat koncem světa (samozřejmě z pohledu lidstva). Autoři přitom opakovaně zdůrazňují, že nemluvíme o předem dané budoucnosti, ale o volbě cest rozvoje lidstva, mezi nimiž jsou i ty vedoucí ke stabilitě, k prosperující existenci lidstva.

Co by mohlo být příčinou případné nestability? Charakteristickým rysem lidského života v době po začátku průmyslové revoluce byl rychlý - často exponenciálně rychlý - růst mnoha ukazatelů. Období zdvojnásobení počtu obyvatel Země je přibližně 40 let (přítomnost takové konstantní periody je charakteristickým znakem exponenciálního růstu). Biologové a ekologové dobře vědí, že exponenciální nárůst velikosti populace končí nejčastěji katastrofou – zdroje, které podporují její existenci, jsou vyčerpány. Z hlediska existence druhu to není žádná tragédie (až na ojedinělé případy, kdy je daný druh celý zredukován na jednu populaci). V naší době však lidstvo vyčerpalo téměř všechny své zdroje k rozsáhlému růstu a expanzi. Objem průmyslové výroby se ve 20. století rovněž zvýšil téměř exponenciálně, s ročním tempem růstu v průměru 3,3 %. To vede k vyčerpání přírodních zdrojů – minerálů, čisté vody, čistého vzduchu. Atmosférický obsah jedné ze stabilních sloučenin uhlíku (dioxidu) se v důsledku spalování fosilních paliv a úbytku lesů od počátku století zvýšil o třetinu; potenciálně to vede ke globálnímu oteplování na Zemi s nejkatastrofičtějšími následky. Čím více lidí je, tím více potravin je potřeba a globální objem aplikovaných minerálních hnojiv exponenciálně roste s dobou zdvojnásobení asi 15 let. Je jasné, i bez jakéhokoli modelování, že takový život s nespoutaným růstem všeho a všech nemůže vydržet dlouho – a „dlouhý“ je nyní srovnatelný s životností dvou až tří generací.

Obtížnost sledování důsledků takového běhu událostí je také v tom, že každý jednotlivý globální proces nelze z hlediska jeho vlivu na osud lidstva jednoznačně nazvat „dobrý“ nebo „špatný“. Například zvýšení produkce hnojiv vede ke zvýšení produkce potravin - to je „dobré“. Ale „špatná věc“ je, že stejný proces vede ke snížení dodávek čisté sladké vody, kterou kazí hnojiva, která s deštěm propadají půdou do řek a podzemních pramenů. Nárůst výroby hnojiv navíc vede k potřebě zvýšit produkci energie a s tím spojené chemické a tepelné znečištění půdy, atmosféry atp. Dopad takových situací na vývoj lidstva je možné vážit pouze při současném zohlednění všech faktorů.

Existují možnosti, jak se vyhnout katastrofickým následkům pro lidský rozvoj? Výsledkem modelování byla formulována následující tři pravidla, jejichž dodržování je podle autorů modelů nezbytné pro globální udržitelnost:

1. U obnovitelných zdrojů (les, voda, ryby atd.) by míra spotřeby neměla překročit míru přirozené obnovy.

2. U neobnovitelných zdrojů (uhlí, ropa, rudy atd.) by míra spotřeby neměla překročit míru jejich nahrazování obnovitelnými (rozvoj solární a větrné energie, výsadba lesů atd.) a míra vývoje nových technologií pro zajištění náhradních zdrojů; aby po zániku např. ropy byl zajištěn příliv energie z nového zdroje.

3. U znečišťujících látek by maximální míra emisí neměla překročit rychlost, kterou jsou tyto látky zpracovávány nebo ztrácejí své vlastnosti škodlivé pro životní prostředí.

V současnosti se lidstvo těmito pravidly bohužel neřídí. Jestliže to v minulých staletích nepředstavovalo nebezpečí pro druh jako celek, dnes se situace změnila.

Pojďme si stručně popsat jeden z globálních modelů - WORLD-3 (WORLD-3). Model se skládá z pěti sektorů:

· trvalé znečištění;

· neobnovitelné zdroje;

· populace;

· zemědělství (produkce potravin, úrodnost půdy, rozvoj půdy);

· ekonomika (průmyslová výroba, výroba služeb, pracovní místa).

Počáteční jsou primární vztahy, jako například:

· populační a průmyslové kapitálové rezervy;

· počet obyvatel a rozloha obdělávané půdy;

· plocha obdělávané půdy a objem průmyslového kapitálu;

· obyvatelstvo a kapitál sektoru služeb;

· kapitál sektoru služeb a průmyslový kapitál atd.

V každém sektoru jsou všechny primární vztahy sledovány a vyjádřeny matematickými vztahy. Podle potřeby se berou v úvahu procesy materiálního a informačního zpoždění, protože reakce řekněme velikosti populace na zlepšení výživy není okamžitá, ale zpožděná. To je typické pro většinu zvažovaných procesů.

Model WORLD-3 má popisné a optimalizační funkce. Jeho hlavním účelem je představit možné způsoby, jak může ekonomika (v širokém slova smyslu) dosáhnout globální populace, která může být neomezeně podporována životním prostředím. Nepředpovídá vývoj konkrétní země a neřeší žádné lokální záležitosti. Model předpokládá, že na Zemi existuje globální komunita.

Populační dynamika je integrální charakteristikou, která zahrnuje všechny faktory. Čistě spekulativně jsou možné dva typy stabilní dynamiky (kontinuální růst nebo plynulé přibližování se k rovnováze) a tři typy nestabilních spojených s překročením přípustných mezí (oscilace s následným dosažením stacionárního stavu, chaotické oscilace a kolaps, tj. druh). Neustálý růst se zdá zcela nereálný, poslední z nestabilní dynamiky je pro lidstvo tragédií a za prudkými výkyvy, jak asi tušíte, stojí války, epidemie, hladomor – něco, co se ve skutečnosti často děje.

Typické vztahy pro model WORLD, které jsou vyjádřeny matematickými prostředky (diferenciální a „obyčejné“ rovnice), jsou znázorněny na obrázku. Ukazuje souvislosti mezi obyvatelstvem, průmyslovým kapitálem, výměrou orné půdy a znečištěním životního prostředí. Každá šipka na obrázku označuje přítomnost kauzálního vztahu, který může být okamžitý nebo opožděný, pozitivní nebo negativní.

Zpětnovazební smyčky obyvatelstva, kapitálu, zemědělské výroby a znečištění životního prostředí

Pojmy pozitivní a negativní zpětné vazby jsou převzaty z teorie automatického řízení (odvětví kybernetiky). Vztah příčiny a následku mezi dvěma prvky se nazývá negativní pokud se změna jednoho prvku přenese na druhý, vrátí se z něj na první a změní jej v opačném směru než původní (potlačí), a pozitivní, pokud tato změna, návrat k prvnímu, ji posiluje. Pokud nejsou dva, ale více prvků, pak o nich mluví zpětnovazební smyčka, kterým signál prochází v kruhu, vrací se ke zdroji a ovlivňuje jej.

Určitá množina takových obrazců graficky vyčerpává model WORLD. Za každou šipkou jsou však primární vztahy a za každou z nich jsou rovnice, které zahrnují řadu parametrů. Ve skutečnosti jsou to hodnoty těchto parametrů, které určují výsledky, proto je do jejich analýzy zapojena jak řada úzkých odborníků, tak mnoho empirických (statistických) dat shromážděných v desítkách referenčních knih, zpráv OSN a jednotlivých států. Počet vzájemně souvisejících proměnných v modelu WORLD-3 je 225 a parametrů je ještě více.

Výsledky globální simulace

Publikované „scénáře“ lidského rozvoje, vycházející z modelů SVĚTA, pokrývají období od roku 1900 do roku 2100. Prvních 100 let, které již uplynuly, nám umožňuje „vyladit“ model a určit míru jeho spolehlivosti.

První ze scénářů je založen na hypotéze, že vše se bude vyvíjet bez velkých změn, globálních politických kataklyzmat, bez zvláštního úsilí o zachování zdrojů a snížení znečištění životního prostředí. Model předpovídá katastrofické výsledky takového vývoje.

Model WORLD zároveň umožňuje nacházet cesty regulovaného vývoje, což vede k hladkému („esovitému“) chování hlavních proměnných. Tato cesta je spojena se sebeovládáním a přechodem na vylepšené průmyslové a zemědělské technologie.

5. Modelování optimálních plánovacích procesů

Formulace problému optimálního plánování

Plánování je nejdůležitější etapou ekonomické a manažerské činnosti. Předmětem plánování může být činnost divize nebo celého podniku, průmyslu nebo zemědělství, regionu a nakonec i státu.

Formulace plánovacího problému v obecném případě je následující:

Existuje několik plánovaných ukazatelů: X, Y, …;

· Existují některé zdroje: R 1, R 2, ..., díky čemuž lze těchto plánovaných ukazatelů dosáhnout;

· existuje určitý strategický cíl v závislosti na hodnotách plánovaných ukazatelů, na který by se mělo plánování orientovat.

Problém optimálního plánování spočívá ve stanovení hodnot plánovaných ukazatelů s přihlédnutím k omezeným zdrojům, s výhradou dosažení strategického cíle.

Uveďme příklady. Nechť je předmětem plánování mateřská škola. Omezíme se pouze na dva plánované ukazatele: počet dětí a počet učitelů. Hlavními zdroji pro činnost mateřské školy jsou výše finančních prostředků a velikost prostor. Jaké jsou strategické cíle? Jedním z nich je samozřejmě zachování a posílení zdraví dětí. Kvantitativním měřítkem tohoto cíle je minimalizace výskytu onemocnění u žáků mateřských škol.

Jiný příklad: plánování ekonomických aktivit státu. Na podrobnou analýzu je to samozřejmě příliš složitý úkol. Plánovaných ukazatelů je spousta: výroba různých druhů průmyslových a zemědělských produktů, školení specialistů, výroba elektřiny, platy pracovníků veřejného sektoru a mnoho dalšího. Mezi zdroje patří: počet obyvatel v produktivním věku, státní rozpočet, přírodní zdroje, energie, možnosti dopravních systémů atd. Každý z těchto typů zdrojů je samozřejmě omezený. Kromě toho je nejdůležitějším zdrojem čas vyhrazený na realizaci plánu.

Otázka strategických cílů je v tomto případě velmi složitá. Stát jich má mnoho, ale priority se mohou v různých obdobích historie měnit. Například v době války je hlavním cílem maximální obranyschopnost, vojenská síla země. V době míru v moderním civilizovaném státě by mělo být prioritním cílem dosažení maximální životní úrovně obyvatelstva.

Řešení problémů optimálního plánování je nejčastěji složité a nepřístupné pouze pomocí lidské zkušenosti (empirické metody). K řešení takových problémů je postaven matematický model, který vytváří spojení mezi parametry problému. Proto, optimální plánování se provádí pomocí matematického modelování. Takové modely pro reálné situace zpravidla nelze řešit analyticky, proto se používají numerické metody řešení implementované na počítači.

Příklad matematického modelu optimálního plánování

Podívejme se na jednoduchý příklad, který vám může pomoci získat představu o jedné z tříd problémů optimálního plánování.

Školní cukrárna připravuje koláče a dorty. Vzhledem k omezené kapacitě skladu lze denně připravit maximálně 700 produktů. Pracovní den v cukrárně trvá 8 hodin. Vzhledem k tomu, že výroba dortů je pracnější, pokud vyrábíte pouze je, můžete vyrobit maximálně 250 dortů za den, ale lze vyrobit 1000 dortů (pokud nevyrábíte dorty). Cena dortu je dvakrát vyšší než cena koláče. Je nutné sestavit denní plán výroby, který zajistí cukrárně největší tržby.

Zformulujme tento problém matematicky. Plánované ukazatele jsou:

x - denní plán vydávání koláčů;

y je denní plán pro vydávání dortů.

Výrobní zdroje jsou:

· délka pracovního dne - 8 hodin;

· skladovací kapacita - 700 míst.

Získáváme poměry vyplývající z podmínek omezené provozní doby dílny a kapacity skladu, tzn. celkový počet produktů. Ze zadání úlohy vyplývá, že výroba jednoho koláče zabere 4x více času než výroba 1 koláče. Pokud uvedete čas výroby koláče t min., pak je doba přípravy dortu 4 t min. Proto celková doba výroby X koláče a y koláče stejné tx + 4ty =(X+ 4y)t. Tato doba však nemůže být delší než délka pracovního dne. To znamená nerovnost ( X + 4y)t 8 ? 60, nebo ( X + 4y)t 480.

Vzhledem k tomu, že za pracovní den lze vyrobit 1000 koláčů, na jeden se stráví 480/1000 = 0,48 minuty. Dosazením této hodnoty do nerovnosti dostaneme: ( X + 4y) ? 0,48 480. Odtud X + 4y 1000. Omezení celkového počtu produktů dává zjevnou nerovnost X+ y 700.

Ke dvěma získaným nerovnostem bychom měli přidat podmínky pro kladné hodnoty veličin X A y(nemůže být záporný počet koláčů a koláčů). V důsledku toho jsme obdrželi systém nerovností:

X + 4y 1000,X + y 700, X 0, y 0 ()

Pojďme formalizovat strategický cíl: získání maximálních příjmů. Výnosy jsou náklady na všechny prodané produkty. Nechte cenu jednoho koláče r rublů Cena dortu je dle problému dvojnásobná, tzn. 2 r rublů Náklady na všechny produkty vyrobené za den se tedy rovnají rx + 2ry = r(X + 2y). Cílem výroby je získat maximální výnos. Písemný výraz budeme považovat za funkci X,y:F(x, y)= r(X + 2y). Protože r- konstantní, pak maximální hodnota F(x, y) bude dosaženo při maximální hodnotě výrazu X + 2y Proto jako funkci, jejíž maximum odpovídá strategickému cíli, můžeme vzít

F(X, y) = X + 2y ()

V důsledku toho bylo získání optimálního plánu zredukováno na následující matematický problém: najděte hodnoty plánovaných ukazatelů x a y, které splňují systém nerovností()a poskytnutí maximální hodnoty účelové funkci().

Výše uvedený příklad patří do třídy úloh lineární programování. V teorii optimálního plánování existuje několik tříd problémů, z nichž nejjednodušší je lineární programování. Studium matematických metod řešení takových problémů přesahuje cíle školního vzdělávání.

Zároveň by nebylo logické omezovat se pouze na teoretickou formulaci problémů optimálního plánování. Moderní informační technologie umožňují řešit některé problémy optimálního plánování (a zejména lineárního programování) bez pochopení podstaty používaných matematických metod. Zejména takové nástroje jsou k dispozici v tabulkovém procesoru Excel a na jejich základě je možné studentům demonstrovat řešení konkrétních problémů. Příslušný nástroj se nazývá Najít řešení a příslušný příkaz se nachází v nabídce Nástroje. Pojďme si stručně popsat, jak tento nástroj použít k vyřešení výše uvedeného problému.

Nejprve si připravíme tabulku pro řešení optimálního plánovacího problému.

Buňky B5 a C5 jsou rezervovány pro hodnoty X(plán výroby koláčů) a y(plán výroby dortů). Levé části nerovností jsou ve sloupci B, pravé části jsou ve sloupci D; znamení"<=” и т.д. в столбце С программой реально не используются. Целевая функция занесена в ячейку В15.

Zavoláme optimalizační program a řekneme mu, kde se data nacházejí. Chcete-li to provést, spusťte příkaz U Service U Hledat řešení. Na obrazovce se otevře odpovídající formulář. Budeme postupovat podle následujícího algoritmu:

1. Zadejte souřadnici buňky s cílovou funkcí. V našem případě je to B15. (Všimněte si, že pokud nejprve umístíte kurzor na buňku B15, zadání proběhne automaticky.)

2. Zaškrtněte políčko „Rovno maximální hodnotě“, tzn. Řekněme programu, že máme zájem najít maximum účelové funkce.

3. Do pole „Změna buněk“ zadejte B5:C5, tzn. Budeme vás informovat, jaký prostor je přidělen hodnotám proměnných - plánovaných ukazatelů.

4. Do pole „Omezení“ musíte zadat informace o nerovnostech-omezeních, které mají tvar: B10<=D10; B11<=D11; B12>=D12; B13>=D13. Omezení jsou zavedena takto:

· klikněte na tlačítko „Přidat“;

· v zobrazeném dialogovém okně „Přidání omezení“ zadejte odkaz na buňku B10, z nabídky vyberte znaménko nerovnosti „<=” и вводим ссылку на ячейку D10; снова щелкаем по кнопке “Добавить”, аналогично вводим второе ограничение B11<=D11 и т.д.

5. Zavřete dialogové okno „Přidat omezení“. Před námi je připravený formulář „Hledání řešení“.

6. Klikněte na tlačítko „Spustit“ - optimální řešení se objeví v buňkách B5 a C5 (čísla 600 a 100), stejně jako číslo 800 v buňce B15 - maximální hodnota účelové funkce.

6. Modelování fyzikálních systémů a procesů

Fyzikální věda je neoddělitelně spjata s matematickým modelováním již od dob Isaaca Newtona (XVII–XVIII století). I. Newton objevil základní zákony mechaniky, zákon univerzální gravitace, a popsal je jazykem matematiky. I. Newton (spolu s G. Leibnizem) vyvinul diferenciální a integrální počet, který se stal základem matematického aparátu fyziky. Všechny následné fyzikální objevy (v termodynamice, elektrodynamice, atomové fyzice atd.) byly prezentovány v podobě zákonů a principů popsaných matematickým jazykem, tzn. ve formě matematických modelů.

Můžeme říci, že teoreticky řešení jakéhokoli fyzikálního problému je matematické modelování. Možnost teoretického řešení problému je však omezena mírou složitosti jeho matematického modelu. Čím složitější je fyzikální proces popsaný s jeho pomocí, tím složitější je matematický model a tím problematičtější se stává použití takového modelu pro výpočty.

V nejjednodušší situaci lze řešení problému získat „ručně“ analyticky. Ve většině prakticky důležitých situací není možné najít analytické řešení kvůli matematické složitosti modelu. V tomto případě použijte numerické metodyřešení problémů, které lze efektivně implementovat pouze na počítači. Jinými slovy, fyzikální výzkum založený na komplexních matematických modelech se provádí pomocí počítačové matematické modelování. V tomto ohledu se ve dvacátém století spolu s tradičním rozdělením fyziky na teoretickou a experimentální objevil nový směr - „výpočetní fyzika“.

Studium fyzikálních procesů na počítači se nazývá výpočetní experiment. Výpočetní fyzika tak staví most mezi teoretickou fyzikou, ze které čerpá matematické modely, a experimentální fyzikou realizující virtuální fyzikální experiment na počítači. Využití počítačové grafiky při zpracování výsledků výpočtů zajišťuje přehlednost těchto výsledků, což je nejdůležitější podmínkou pro jejich vnímání a interpretaci výzkumníkem.

Příklad matematického modelování fyzikálního procesu

Základním zákonem mechaniky je druhý Newtonův zákon, který dává do souvislosti sílu působící na těleso, jeho hmotnost a zrychlení vyplývající ze síly. Ve školní fyzice je tento zákon prezentován takto:

To předpokládá, že síla a hmotnost jsou konstantní veličiny. V tomto případě bude zrychlení také konstantní hodnotou. V důsledku toho rovnice (1) modeluje rovnoměrně zrychlený pohyb tělesa s konstantní hmotností při působení konstantní síly.

Použitelnost tohoto modelu je omezená. Nelze jej použít k výpočtu pohybu těles s proměnnou hmotností a proměnnou silou. Například, když raketa letí, její hmotnost klesá v důsledku vyhoření paliva, tzn. hmotnost je funkcí času: m(t). V důsledku toho se zrychlení také stane proměnnou hodnotou a matematický model se změní:

Vezměme v úvahu, že zrychlení je derivací rychlosti ( proti) v čase a popište funkci změny hmoty v čase (ať je lineární); získáme následující matematický model pohybu:

(2)

Tady m 0 - počáteční hmotnost rakety, q(kg/s) - parametr, který určuje rychlost spalování paliva. Rovnice (2) je diferenciální rovnice, na rozdíl od lineární algebraické rovnice (1). Matematický model se stal složitějším! Řešení rovnice (2) je mnohem obtížnější než (1). Pokud vezmeme v úvahu i možnost změn síly v čase F(t) (tah raketového motoru během procesu startu je proměnná hodnota), pak bude model ještě složitější:

(3)

Při pohybu těles v atmosféře (nebo v kapalném prostředí) je nutné počítat s odporem prostředí – třecí silou. Třecí síla má dvě složky: úměrnou první mocnině rychlosti tělesa a úměrnou jeho druhé mocnině. Nyní bude mít pohybová rovnice tvar:

, (4), (5)

Tady k 1 A k 2 - empirické koeficienty. Rovnice (5) vztahuje rychlost k posunu. Model (4)–(5) se přiblížil fyzikálně reálné situaci, ale z matematického hlediska je složitější. Pomocí něj můžete získat odpovědi na prakticky důležité otázky. Například: pro daný F(t) určit, jak dlouho a v jaké výšce raketa dosáhne své první únikové rychlosti. Nebo vyřešit inverzní problém: jaká musí být přítlačná síla motoru, aby raketa dosáhla své první únikové rychlosti v dané výšce? Vezmeme-li v úvahu i fakt, že koeficienty k 1 A k 2 - proměnné hodnoty, protože závisí na hustotě atmosférického vzduchu, která klesá s výškou, matematický model (4)–(5) se stává poměrně složitým. Řešení výše formulovaných problémů na základě takového modelu vyžaduje použití numerických metod a počítače.

Aplikace numerických metod

Numerické metody jsou metody, které redukují řešení jakéhokoli matematického problému na aritmetické výpočty. Ukažme si aplikaci metody numerického řešení na příkladu jednoduššího mechanického problému, než je problém letu rakety. Uvažujme problém volného pádu tělesa konstantní hmotnosti m pod vlivem neustálé gravitace. Pohybové rovnice beroucí v úvahu odpor vzduchu (diskutované výše) mají tvar:

, (6)

Tady proti- vertikální složka vektoru rychlosti. Počáteční výška těla nad zemí nech být s 0 a počáteční rychlost je proti 0 .

Ukážeme si aplikaci metody zvané Eulerova metoda pro výpočet pohybu padajícího tělesa. Výpočet se provádí od počátečního bodu v čase t= 0 s malým konečným časovým krokem

(n = 0, 1, 2, …). (8)

Aplikací podobného přístupu k rovnici (7) získáme vzorec Eulerovy metody pro výpočet posunutí padajícího tělesa v čase:

S počátečními hodnotami rychlosti a posunu a pomocí vzorců (8), (9) můžete vypočítat hodnoty krok za krokem proti A s v po sobě jdoucích časech. Tento proces se snadno naprogramuje a získané výsledky jsou zobrazeny ve formě číselné tabulky a graficky znázorněny.

Analýza a interpretace výsledků

Na obrázku je výsledek grafického zpracování numericky získané závislosti rychlosti pádu tělesa na čase pro určitý soubor parametrů m, k 1 a k 2 .

Závislost pádové rychlosti na čase s přihlédnutím k odporu vzduchu

Závislost nemá nic společného s lineární změnou rychlosti, která se získá bez zohlednění odporu vzduchu. Rychlost dosahuje konstantní hodnoty, když se síla odporu vzduchu blíží gravitační síle. Když jsou si rovni, pohyb se stává jednotným.

Všimněte si, že rychlostní limit v ustáleném stavu lze vypočítat analyticky bez použití numerických metod. Rovnice ve vzorci (6) dv/dt(zrychlení) na nulu, zjistíme, že ustálená rychlost bude rovna

Na základě tohoto modelu je možné např. řešit optimalizační problém formulováním podmínky takto: výsadkář vyskočí z určité výšky a letí bez otevření padáku; V jaké výšce (nebo po jaké době) by měl otevřít padák, aby měl při přistání bezpečnou rychlost? Další problém: jak souvisí výška skoku s plochou průřezu padáku (zahrnuto v k 2) aby byla přistávací rychlost bezpečná?

Významným problémem při použití popsané numerické metody je volba velikosti časového kroku t. Na této hodnotě závisí přesnost získaných výsledků a stabilita výpočetního postupu. Všechny tyto problémy jsou studovány v matematické disciplíně zvané „Numerické metody“ nebo „Výpočtová matematika“.

Seznámení studentů s počítačovými modely fyzikálních procesů v základním kurzu informatiky může probíhat na úrovni demonstračních příkladů. Na obrázku je ukázka cvičného demonstračního programu, který simuluje let projektilu vystřeleného z kanónu. Úkolem, který je pro studenty stanoven, je vybrat parametry (počáteční rychlost a úhel výstřelu), které zajistí, že střela zasáhne cíl (tento program je zařazen do federální sbírky digitálních vzdělávacích zdrojů). Podobný vývoj je k dispozici v jiných vzdělávacích zdrojích.

Let projektilu vystřeleného z děla

Ve vyšších třídách fyziky a matematiky by měla být problematika modelování fyzikálních procesů zahrnuta do specializovaného vzdělávacího programu. Můžeme nabídnout následující seznam modelovacích objektů souvisejících s pohybem těles:

· pohyb těles zohledňující odpor prostředí (volný pád, pohyb tělesa vrženého šikmo k horizontu, start rakety apod.);

· kmitavý pohyb kyvadla zohledňující odpor média, vynucené kmity, rezonanci atd.;

· pohyb nebeských těles (problém dvou těles);

· pohyb nabitých částic v elektrických polích.

Další typy problémů, na jejichž základě je možné realizovat modelování fyzikálních procesů, jsou spojeny s popisem fyzikálních procesů v aproximaci kontinua a v elektromagnetických polích:

· modelování procesu tepelné vodivosti atd.;

· modelování rozložení statických - elektrických a magnetických - polí.

Výše jsme podrobně rozebrali příklad modelování volného pádu tělesa v atmosféře, ve kterém jsou použity diferenciální rovnice a numerické metody jejich řešení. Pokud matematická průprava studentů k pochopení tohoto přístupu nestačí, je možné sestavit matematický model okamžitě ve formě konečných rozdílů, bez použití diferenciálních rovnic. Pojďme si ukázat metodiku použití tohoto přístupu.

Připomeňme studentům, že zrychlení je zvýšení rychlosti za jednotku času a rychlost je zvýšení posunu za jednotku času: .

Známky přibližné rovnosti naznačují, že tyto vztahy jsou tím přesnější, čím je interval menší t; v limitu t 0 se stanou přesnými.

Pokud v určitém okamžiku t hodnota 0 s má význam Svatý 0) a hodnotu proti- význam v(t 0), poté později t 1 = t 0 + t budu mít:

Předpokládá se, že zrychlení se během daného časového období nezměnilo a zůstalo stejné A(t 0). I zde se používá označení F 0 = F(t 0), m = m(t 0), tj. To znamená, že síla a hmotnost v obecném případě mohou být proměnné veličiny.

Při výpočtu hodnot proti A s v následujících okamžicích můžete udělat totéž. Pokud jsou hodnoty známé v i A s i v tuto chvíli t i, Že

Tak se získají stejné vzorce Eulerovy metody, ale metodicky odlišné. V tomto případě se o diferenciálních rovnicích vůbec nemluví.

Při konstrukci tohoto a podobných modelů by studenti měli věnovat pozornost skutečnosti, že při dělení spojitého času na úseky délky t se projevuje jedna ze základních myšlenek informatiky o univerzálnosti diskrétní formy reprezentace informace, která se odráží jak v návrhu počítače, tak v mnoha aplikacích informatiky.

Všimněte si, že existuje mnoho počítačových programů, které simulují jednoduché fyzikální procesy. Implementují dialogové rozhraní, které umožňuje zadávat parametry a přijímat tabulky, grafy a pohyblivé obrázky na obrazovce. Při jejich použití však zůstávají skryty fyzikální zákony určující proces, omezení modelu a možnosti jeho vylepšení. Takové programy jsou užitečné spíše jako ilustrativní, úvodní. Je vhodné zaměřit studenty studující informatiku na specializované úrovni na podrobnou analýzu matematických modelů a samostatný vývoj programů.

Pro využití počítače při řešení aplikovaných úloh je nejprve nutné aplikovaný problém „přeložit“ do formálního matematického jazyka, tzn. pro skutečný objekt, proces nebo systém musí být postaven matematický model.

Matematické modely v kvantitativní podobě pomocí logických a matematických konstrukcí popisují základní vlastnosti objektu, procesu nebo systému, jeho parametry, vnitřní a vnější souvislosti.

Pro sestavení matematického modelu nutné:

1. pečlivě analyzovat skutečný objekt nebo proces;
2. zvýraznit jeho nejvýznamnější rysy a vlastnosti;
3. definovat proměnné, tzn. parametry, jejichž hodnoty ovlivňují hlavní rysy a vlastnosti objektu;
4. popsat závislost základních vlastností objektu, procesu nebo systému na hodnotách proměnných pomocí logicko-matematických vztahů (rovnice, rovnosti, nerovnice, logicko-matematické konstrukce);
5. zvýraznit interní komunikace objekt, proces nebo systém využívající omezení, rovnice, rovnosti, nerovnice, logické a matematické konstrukce;
6. identifikovat vnější souvislosti a popsat je pomocí omezení, rovnic, rovnosti, nerovnic, logických a matematických konstrukcí.

Matematické modelování, kromě studia objektu, procesu nebo systému a sestavení jejich matematického popisu také zahrnuje:

1. vytvoření algoritmu, který modeluje chování objektu, procesu nebo systému;
2. zkouška přiměřenost modelu a objekt, proces nebo systém založený na výpočetním a přirozeném experimentu;
3. úprava modelu;
4. pomocí modelu.

Matematický popis studovaných procesů a systémů závisí na:

1. povahy reálného procesu nebo systému a je sestaven na základě zákonů fyziky, chemie, mechaniky, termodynamiky, hydrodynamiky, elektrotechniky, teorie plasticity, teorie pružnosti atd.
2. požadovaná spolehlivost a přesnost studia a výzkumu reálných procesů a systémů.

Ve fázi výběru matematického modelu se stanoví: linearita a nelinearita objektu, procesu nebo systému, dynamičnost nebo statičnost, stacionarita nebo nestacionarita a také stupeň determinismu studovaného objektu nebo procesu. V matematickém modelování se záměrně abstrahuje od specifické fyzikální podstaty objektů, procesů nebo systémů a zaměřuje se především na studium kvantitativních závislostí mezi veličinami, které tyto procesy popisují.

Matematický model není nikdy zcela identický s daným objektem, procesem nebo systémem. Na základě zjednodušení, idealizace jde o přibližný popis objektu. Výsledky získané analýzou modelu jsou proto přibližné. Jejich přesnost je dána mírou přiměřenosti (shody) mezi modelem a objektem.

Obvykle začíná konstrukcí a analýzou nejjednoduššího, nejhrubšího matematického modelu daného objektu, procesu nebo systému. V budoucnu, pokud je to nutné, je model zpřesněn a jeho korespondence s objektem je kompletnější.

Vezměme si jednoduchý příklad. Je nutné určit povrch stolu. Obvykle se to provádí měřením jeho délky a šířky a následným vynásobením výsledných čísel. Tento elementární postup ve skutečnosti znamená následující: skutečný objekt (plocha stolu) je nahrazen abstraktním matematickým modelem - obdélníkem. Rozměry získané měřením délky a šířky povrchu stolu jsou přiřazeny k obdélníku a plocha takového obdélníku se přibližně považuje za požadovanou plochu stolu.

Obdélníkový model pro stůl je však nejjednodušší a nejhrubší model. Pokud k problému přistoupíte vážněji, před použitím obdélníkového modelu k určení oblasti stolu je třeba tento model zkontrolovat. Kontroly lze provádět následovně: změřte délky protilehlých stran stolu a také délky jeho úhlopříček a vzájemně je porovnejte. Pokud jsou s požadovanou mírou přesnosti délky protilehlých stran a délky úhlopříček stejné ve dvojicích, pak lze povrch stolu skutečně považovat za obdélník. V opačném případě bude muset být obdélníkový model odmítnut a nahrazen obecným čtyřúhelníkovým modelem. Při vyšším požadavku na přesnost může být nutné model ještě zpřesnit, například zohlednit zaoblení rohů stolu.

Na tomto jednoduchém příkladu se to ukázalo matematický model není jednoznačně určeno studovaným objektem, procesem nebo systémem. Pro stejnou tabulku můžeme použít buď obdélníkový model, nebo složitější model obecného čtyřúhelníku nebo čtyřúhelník se zaoblenými rohy. Výběr jednoho nebo druhého modelu je dán požadavkem na přesnost. Se vzrůstající přesností se model musí komplikovat, zohledňovat nové a nové vlastnosti studovaného objektu, procesu nebo systému.

Uvažujme další příklad: studium pohybu klikového mechanismu (obr. 2.1).

Rýže. 2.1.

Pro kinematickou analýzu tohoto mechanismu je nejprve nutné sestrojit jeho kinematický model. Pro tohle:

1. Mechanismus nahrazujeme jeho kinematickým schématem, kde jsou nahrazeny všechny články tvrdé vazby;
2. Pomocí tohoto diagramu odvodíme pohybovou rovnici mechanismu;
3. Jejich derivováním získáme rovnice rychlostí a zrychlení, což jsou diferenciální rovnice 1. a 2. řádu.

Napišme tyto rovnice:

kde C 0 je krajní pravá poloha jezdce C:

r – poloměr kliky AB;

l – délka ojnice BC;

– úhel natočení kliky;

Přijato transcendentální rovnice předložit matematický model pohybu plochého axiálního klikového mechanismu, založený na následujících zjednodušujících předpokladech:

1. nezajímaly nás konstrukční formy a uspořádání hmot obsažených v mechanismu těles a všechna tělesa mechanismu jsme nahradili přímými segmenty. Ve skutečnosti mají všechny články mechanismu hmotnost a poměrně složitý tvar. Například ojnice je složitá sestava, jejíž tvar a rozměry samozřejmě ovlivní pohyb mechanismu;
2. Při pohybu uvažovaného mechanismu jsme také nebrali v úvahu pružnost těles obsažených v mechanismu, tzn. všechny články byly považovány za abstraktní absolutně tuhá tělesa. Ve skutečnosti jsou všechna tělesa obsažená v mechanismu elastická tělesa. Při pohybu mechanismu se nějak zdeformují a může v nich docházet i k elastickým vibracím. To vše samozřejmě ovlivní i pohyb mechanismu;
3. nebrali jsme v úvahu výrobní chybu článků, mezery v kinematických dvojicích A, B, C atp.

Je tedy důležité ještě jednou zdůraznit, že čím vyšší jsou požadavky na přesnost výsledků řešení problému, tím větší je potřeba brát v úvahu při sestavení matematického modelu vlastnosti studovaného objektu, procesu nebo systému. Je však důležité se zde zastavit včas, protože je to obtížné matematický model se může změnit v těžko řešitelný problém.

Model je nejsnáze konstruován, když jsou dobře známé zákony, které určují chování a vlastnosti objektu, procesu nebo systému, a existují rozsáhlé praktické zkušenosti s jejich aplikací.

Složitější situace nastává, když naše znalosti o studovaném objektu, procesu nebo systému jsou nedostatečné. V tomto případě, kdy sestavení matematického modelu je nutné učinit další předpoklady, které mají povahu hypotéz, takový model se nazývá hypotetický. Závěry získané jako výsledek studia takového hypotetického modelu jsou podmíněné. Pro ověření závěrů je nutné porovnat výsledky studia modelu na počítači s výsledky celoplošného experimentu. Otázka použitelnosti určitého matematického modelu pro studium uvažovaného objektu, procesu nebo systému tedy není matematickou otázkou a nelze ji řešit matematickými metodami.

Hlavním kritériem pravdy je experiment, praxe v nejširším slova smyslu.

Sestavení matematického modelu v aplikovaných úlohách – jedna z nejsložitějších a nejkritičtějších fází práce. Zkušenosti ukazují, že výběr správného modelu v mnoha případech znamená vyřešení problému z více než poloviny. Obtížnost této fáze spočívá v tom, že vyžaduje kombinaci matematických a speciálních znalostí. Proto je velmi důležité, aby při řešení aplikovaných úloh měli matematici speciální znalosti o objektu a jejich partneři, specialisté, měli určitou matematickou kulturu, výzkumné zkušenosti ve svém oboru, znalost počítačů a programování.