Sestavte funkci

Upozorňujeme na službu vykreslování funkčních grafů online, ke které patří veškerá práva společnosti Desmos. Pro zadání funkcí použijte levý sloupec. Můžete jej zadat ručně nebo pomocí virtuální klávesnice ve spodní části okna. Chcete-li zvětšit okno grafu, můžete skrýt levý sloupec i virtuální klávesnici.

Výhody online mapování

• Vizuální zobrazení představených funkcí
• Vytváření velmi složitých grafů
• Vykreslování implicitně definovaných grafů (např. elipsa x^2/9+y^2/16=1)
• Možnost ukládat grafy a získat na ně odkaz, který bude dostupný všem na internetu
• Ovládání měřítka, barva čáry
• Schopnost vykreslovat grafy podle bodů, použití konstant
• Konstrukce několika grafů funkcí současně
• Vykreslování v polárních souřadnicích (použijte r a θ(\theta))

S námi je snadné vytvářet online grafy různé složitosti. Stavba je hotová okamžitě. Služba je žádaná pro vyhledání průsečíků funkcí, pro zobrazení grafů pro jejich další pohyb wordový dokument jako ilustrace při řešení problémů, pro analýzu behaviorálních rysů funkčních grafů. Optimální prohlížeč pro práci s grafy na této stránce webu je Google Chrome. Při použití jiných prohlížečů není zaručena správná funkce.

Seznámíme se s pojmem superpozice (neboli impozice) funkcí, který spočívá v tom, že místo argumentu dané funkce se dosadí nějaká funkce jiného argumentu. Například superpozice funkcí dává funkci, podobně se získávají funkce

Obecně předpokládejme, že funkce je definována v nějaké doméně a funkce je definována v doméně a všechny její hodnoty jsou obsaženy v doméně, pak proměnná z, jak se říká, přes y, je sama funkcí

Vzhledem k danému od nejprve najděte hodnotu y z Y, která mu odpovídá (podle pravidla charakterizovaného znaménkem), a poté nastavte odpovídající hodnotu y (podle pravidla,

charakterizován znaménkem a jeho hodnota je považována za odpovídající zvolenému x. Výsledná funkce z funkce nebo komplexní funkce je výsledkem superpozice funkcí

Předpoklad, že hodnoty funkce nepřesahují oblast Y, ve které je funkce definována, je velmi významný: pokud je vynechán, může dojít k absurditě. Například za předpokladu, že můžeme uvažovat pouze ty hodnoty x, pro které by jinak výraz nedával smysl.

Zde považujeme za užitečné zdůraznit, že charakterizace funkce jako komplexní nesouvisí s povahou funkční závislosti z na x, ale pouze se způsobem, jakým je tato závislost specifikována. Nechte například pro y pro Potom

Zde se ukázalo, že funkce je dána jako komplexní funkce.

Nyní, když je koncept superpozice funkcí plně objasněn, můžeme přesně charakterizovat nejjednodušší z těch tříd funkcí, které jsou studovány v analýze: jsou to především elementární funkce uvedené výše a poté všechny ty, které jsou získány z pomocí čtyř aritmetických operací a superpozic, postupně aplikovaných konečný počet časů. Říkají o nich, že jsou vyjádřeny prostřednictvím elementárních v konečné podobě; někdy se všem také říká elementární.

Následně po zvládnutí složitějšího analytického aparátu (nekonečné řady, integrály) se seznámíme i s dalšími funkcemi, které rovněž hrají důležitou roli v analýze, ale již přesahují třídu elementárních funkcí.

Nechť jsou 2 funkce:

: A→B a g: D→F

Nechť definiční obor D funkce g patří do definičního oboru funkce f (DB). Pak lze definovat nová vlastnost – superpozice (kompozice, komplexní funkce) funkce f a g: z= G( (X)).

Příklady. f(x)=x2, g(x)=ex. f:R→R, g:R→R .

(g(x))=e 2x, g((x))=.

Definice

Nechte dvě funkce. Pak je jejich složení funkcí definovanou rovností:

Vlastnosti složení

Složení je asociativní:

Pokud F= id X- mapování identity zapnuto X, to je

.

Pokud G= id Y- mapování identity zapnuto Y, to je

.

Další vlastnosti

Počitatelné a nepočitatelné množiny.

Dvě konečné množiny se skládají ze stejného počtu prvků, pokud lze mezi těmito množinami ustavit korespondenci jedna ku jedné. Počet prvků konečné množiny je mohutností množiny.

Pro nekonečnou množinu lze vytvořit vzájemnou korespondenci mezi celou množinou a její částí.

Nejjednodušší z nekonečných množin je množina N.

Definice. Množiny A a B se nazývají ekvivalent(AB), pokud mezi nimi lze navázat osobní korespondenci.

Pokud jsou dvě konečné množiny ekvivalentní, pak se skládají ze stejného počtu prvků.

Pokud jsou ekvivalentní množiny A a B libovolné, pak říkají, že A a B mají totéž Napájení. (moc = ekvivalence).

U konečných množin se pojem mohutnosti shoduje s pojmem počtu prvků množiny.

Definice. Sada se nazývá počitatelný pokud je možné stanovit vzájemnou korespondenci mezi ním a množinou přirozených čísel. (To znamená, že spočetná množina je nekonečná, ekvivalentní množině N).

(Tj. všechny prvky počitatelné množiny lze vyčíslit).

Vlastnosti vztahu ekvivalence.

1) AA - reflexivita.

2) AB, pak BA - symetrie.

3) AB a BC, pak AC je tranzitivita.

Příklady.

1) n→2n, 2,4,6,… - sudá přirozená čísla

2) n→2n-1, 1,3,5,… jsou lichá přirozená čísla.

Vlastnosti spočetných množin.

1. Nekonečné podmnožiny spočetné množiny jsou spočetné.

Důkaz. Protože A je spočetné, pak A: x 1, x 2, ... - zobrazeno A v N.

ВА, В: →1,→2,… - přiřazeno každému prvku В přirozené číslo, tzn. mapováno B na N. Proto je B spočetné. Ch.t.d.

2. Sjednocení konečné (spočetné) soustavy spočetných množin je spočetné.

Příklady.

1. Množina celých čísel Z je spočetná, protože množinu Z lze reprezentovat jako sjednocení spočetných množin A a B, kde A: 0,1,2, .. a B: -1, -2, -3, ...

2. Mnoho spořádaný páry ((m,n): m,nZ) (tj. (1,3)≠(3,1)).

3 (!) . Množina racionálních čísel je spočetná.

Q=. Mezi množinou ireducibilních zlomků Q a množinou uspořádaných dvojic lze vytvořit vzájemnou korespondenci:

Že. množina Q je ekvivalentní množině ((p,q))((m,n)).

Množina ((m,n)) - množina všech uspořádaných dvojic - je spočetná. V důsledku toho je množina ((p,q)) také spočetná, a tedy Q je spočetná.

Definice. Iracionální číslo je libovolné nekonečné desetinné číslo neperiodické zlomek, tzn.  0 , 1  2 …

Množina všech desetinných zlomků tvoří množinu reálná (reálná) čísla.

Množina iracionálních čísel je nepočitatelná.

Věta 1. Množina reálných čísel z intervalu (0,1) je nespočitatelná množina.

Důkaz. Předpokládejme opak, tj. že všechna čísla v intervalu (0,1) lze vyčíslit. Když pak tato čísla zapíšeme jako nekonečné desetinné zlomky, dostaneme posloupnost:

x 1 \u003d 0, a 11 a 12 ... a 1n ...

x 2 \u003d 0,a 21 a 22 ... a 2n ...

…………………..

x n = 0, a n 1 a n 2 …a nn …

……………………

Uvažujme nyní reálné číslo x=0,b 1 b 2 ... b n ..., kde b 1 je libovolné číslo jiné než a 11, (0 a 9), b 2 - jakékoli jiné číslo než a 22, (0 a 9) ,…, b n - jakákoli číslice jiná než a nn , (0 a 9).

Že. x(0,1), ale xx i (i=1,…,n), protože jinak b i =a ii . Došli k rozporu. Ch.t.d.

Věta 2. Jakýkoli interval reálné osy je nepočitatelná množina.

Věta 3. Množina reálných (reálných) čísel je nespočitatelná.

Říká se, že jakákoli množina, která je ekvivalentní množině reálných čísel kontinuální síly(lat. kontinuum - spojitý, spojitý).

Příklad. Ukažme, že interval má mohutnost kontinua.

Funkce y \u003d tg x: → R zobrazí interval na celé číselné ose (grafu).

Téma: „Funkce: pojem, způsoby přiřazení, hlavní charakteristiky. Inverzní funkce. Superpozice funkcí."

Epigraf lekce:

„Něco si nastuduj a nepřemýšlej o tom

naučený – naprosto k ničemu.

Přemýšlení o něčem bez studia

předběžný předmět myšlenky

Konfucius.

Účel a psychologické a pedagogické úkoly lekce:

1) Obecný vzdělávací (normativní) cíl: zopakujte se studenty definici a vlastnosti funkce. Zavést pojem superpozice funkcí.

2) Úkoly matematického rozvoje žáků: na nestandardním výukovém a matematickém materiálu pokračovat v rozvoji mentální zkušenosti žáků, smysluplné kognitivní struktury jejich matematické inteligence, včetně schopnosti logicko-deduktivního a induktivního, analytického a syntetického reverzibilního myšlení, k algebraickému a obrazovému grafické myšlení, ke smysluplnému zobecnění a konkretizaci, k reflexi a samostatnosti jako metakognitivní schopnosti žáků; pokračovat v rozvoji kultury písemného a ústního projevu jako psychologických mechanismů pedagogické a matematické inteligence.

3) Výchovné úkoly: pokračovat v osobním vzdělávání žáků kognitivního zájmu o matematiku, zodpovědnost, smysl pro povinnost, akademickou samostatnost, komunikativní schopnost spolupráce se skupinou, učitelem, spolužáky; autologická způsobilost pro soutěžní vzdělávací a matematickou činnost, usilující o její vysoké a nejvyšší výsledky (akmeický motiv).

Typ lekce: učení nové látky; dle kritéria hlavního matematického obsahu - praktická hodina; dle kritéria typu informační interakce mezi studenty a učitelem - hodina spolupráce.

Vybavení lekce:

1. Naučná literatura:

1) Kudryavtsev matematické analýzy: Proc. pro studenty vysokých škol a univerzit. Ve 3 svazcích T. 3. - 2. vyd., přepracováno. a doplňkové - M .: Vyšší. škola, 1989. - 352 s. : nemocný.

2) Demidovičovy úlohy a cvičení v matematické analýze. – 9. vyd. - M .: Nakladatelství "Nauka", 1977.

2. Ilustrace.

Během vyučování.

1. Vyhlášení tématu a hlavního vzdělávacího cíle hodiny; stimulace smyslu pro povinnost, zodpovědnost, kognitivní zájem studentů o přípravu na sezení.

2. Opakování látky na otázky.

a) Definujte funkci.

Jedním ze základních matematických pojmů je pojem funkce. Pojem funkce je spojen se stanovením vztahu mezi prvky dvou množin.

Nechť jsou dány dvě neprázdné množiny a. Zavolá se shoda f, která odpovídá každému prvku pouze jednomu prvku funkce a zapsáno y = f(x). Také říkají, že funkce f displeje nastavit nastavit.

https://pandia.ru/text/79/018/images/image003_18.gif" width="63" height="27">.gif" width="59" height="26"> se nazývá soubor hodnot funkce f a je označena E(f).

b) Číselné funkce. Funkční graf. Způsoby nastavení funkcí.

Nechť je dána funkce.

Jsou-li prvky množin a reálná čísla, pak se volá funkce f numerická funkce . Zavolá se proměnná x argument nebo nezávislá proměnná a y je funkce nebo závislá proměnná(od x). Pokud jde o samotné veličiny x a y, říká se, že jsou in funkční závislost.

Graf funkcí y = f(x) je množina všech bodů roviny Oxy, pro každý z nich x je hodnota argumentu a y je odpovídající hodnota funkce.

Chcete-li definovat funkci y = f(x), musíte zadat pravidlo, které umožňuje, když znáte x, najít odpovídající hodnotu y.

Existují tři nejběžnější způsoby, jak definovat funkci: analytická, tabulková, grafická.

Analytická metoda: Funkce je specifikována jako jeden nebo více vzorců nebo rovnic.

Například:

Pokud není uveden obor funkce y = f(x), předpokládá se, že se shoduje s množinou všech hodnot argumentu, pro které má odpovídající vzorec smysl.

Nejdokonalejší je analytická metoda definování funkce, protože je doprovázena metodami matematické analýzy, které umožňují plně prozkoumat funkci y = f(x).

Grafický způsob: Nastaví graf funkce.

Výhodou grafické úlohy je její viditelnost, nevýhodou její nepřesnost.

Tabulkový způsob: Funkce je určena tabulkou řady hodnot argumentů a odpovídajících hodnot funkcí. Například známé tabulky hodnot goniometrické funkce, logaritmické tabulky.

c) Hlavní charakteristiky funkce.

1. Zavolá se funkce y = f(x) definovaná na množině D dokonce , pokud jsou splněny podmínky a f(-x) = f(x); zvláštní , pokud jsou splněny podmínky a f(-x) = -f(x).

Graf sudé funkce je symetrický kolem osy Oy a lichá funkce je symetrická podle počátku. Například jsou sudé funkce; a y = sinx, https://pandia.ru/text/79/018/images/image014_3.gif" width="73" height="29"> jsou obecné funkce, tedy ani sudé, ani liché .

2. Nechť je funkce y = f(x) definována na množině D a nechť . Pokud pro jakékoli hodnoty argumentů nerovnost implikuje nerovnost: , pak se zavolá funkce vzrůstající na scéně; -li , pak se zavolá funkce neklesající na https://pandia.ru/text/79/018/images/image021_1.gif" width="117" height="28 src="> se funkce zavolá. ubývající na ; - nerostoucí .

Funkce zvýšení, nezvětšení, snížení a nesnížení na množině https://pandia.ru/text/79/018/images/image023_0.gif" width="13" height="13">hodnota D (x +T)D a platí rovnost f(x+T) = f(x).

K vynesení periodické funkce periody T stačí vynést ji na libovolný segment délky T a periodicky ji rozšířit na celý definiční obor.

Zaznamenáváme hlavní vlastnosti periodické funkce.

1) Algebraický součet periodických funkcí se stejnou periodou T je periodická funkce s periodou T.

2) Má-li funkce f(x) periodu T, pak funkce f(ax) má periodu T/a.

d) Inverzní funkce.

Nechť je zadána funkce y = f(x) s definičním oborem D a množinou hodnot E..gif" width="48" height="22">, pak funkce x = z(y) s definičním oborem E a množinou hodnot D Taková funkce z(y) se nazývá zvrátit na funkci f(x) a zapisuje se v následujícím tvaru: . Říká se, že funkce y = f(x) a x = z(y) jsou vzájemně inverzní. K nalezení funkce x = z(y) inverzní k funkci y = f(x) stačí vyřešit rovnici f(x) = y vzhledem k x.

Příklady:

1. Pro funkci y = 2x je inverzní funkcí funkce x = ½ y;

2. Pro funkci inverzní funkce je funkce .

Z definice inverzní funkce vyplývá, že funkce y = f(x) má inverzní právě tehdy, když f(x) definuje vzájemnou shodu mezi množinami D a E. Z toho vyplývá, že přísně monotónní funkce má inverzní . Navíc, pokud funkce roste (klesá), pak se zvyšuje (snižuje) i inverzní funkce.

3. Učení nového materiálu.

Složitá funkce.

Nechť je funkce y = f(u) definována na množině D a funkce u = z(x) na množině , a pro odpovídající hodnotu . Pak má množina funkci u = f(z(x)), která se nazývá komplexní funkce od x (nebo superpozice dané funkce, popř funkce z funkce ).

Zavolá se proměnná u = z(x). střední argument komplexní funkce.

Například funkce y = sin2x je superpozicí dvou funkcí y = sinu a u = 2x. Složitá funkce může mít více mezilehlých argumentů.

4. Řešení několika příkladů u tabule.

5. Závěr hodiny.

1) teoretické a aplikované výsledky praktické sezení; diferencované hodnocení úrovně duševních zkušeností studentů; úroveň jejich asimilace tématu, kompetence, kvalita ústního a písemného matematického projevu; úroveň projevené kreativity; úroveň nezávislosti a reflexe; míra iniciativy, kognitivní zájem o určité metody matematického myšlení; úrovně spolupráce, intelektuální konkurenceschopnosti, usilování o vysoký výkon vzdělávací a matematické činnosti apod.;

2) vyhlášení odůvodněných známek, bodů lekce.

Superpozice funkcí

Superpozice funkcí f1, …, fm je funkce f získaná vzájemným dosazením těchto funkcí a přejmenováním proměnných.

Nechť jsou dvě zobrazení a navíc neprázdná množina. Pak superpozice nebo složení funkcí je funkce definovaná rovností pro libovolné.

Definiční obor superpozice je množina.

Funkce se nazývá vnější a vnitřní funkce pro superpozici.

Funkce prezentované jako složení „jednodušších“ se nazývají komplexní funkce.

Příklady použití superpozice jsou: řešení soustavy rovnic substituční metodou; nalezení derivace funkce; nalezení hodnoty algebraického výrazu dosazením hodnot daných proměnných do něj.

Rekurzivní funkce

Rekurze je takový způsob definování funkce, ve kterém jsou hodnoty funkce definované pro libovolné hodnoty argumentů vyjádřeny známým způsobem prostřednictvím hodnot funkce definované pro menší hodnoty. z argumentů.

Primitivní rekurzivní funkce

Definice pojmu primitivní rekurzivní funkce je induktivní. Skládá se ze specifikace třídy základních primitivních rekurzivních funkcí a dvou operátorů (superpozice a primitivní rekurze), které umožňují vytvářet nové primitivní rekurzivní funkce založené na těch stávajících.

Mezi základní primitivní rekurzivní funkce patří následující tři typy funkcí:

Nula funkce -- funkcežádné argumenty, vždy se vrací 0 .

Funkce posloupnosti s jednou proměnnou, která přiřazuje libovolné přirozené číslo bezprostředně následujícímu přirozenému číslu.

Funkce, kde z n proměnných, které přiřazují libovolné uspořádané množině přirozených čísel číslo z této množiny.

Operátory substituce a primitivní rekurze jsou definovány takto:

Operátor superpozice (někdy substituční operátor). Nechť je funkcí m proměnných a je uspořádaná množina funkcí neproměnných. Pak výsledkem superpozice funkcí do funkce je funkce proměnných, která spojuje číslo s libovolnou uspořádanou množinou přirozených čísel.

Operátor primitivní rekurze. Nechť být funkcí n proměnných a být funkcí proměnných. Pak výsledkem aplikace primitivního rekurzního operátoru na dvojici funkcí je funkce proměnné typu;

V této definici lze proměnnou chápat jako iterační čítač, -- as původní funkce na začátku iteračního procesu, vydání určité sekvence funkcí proměnných, počínaje a -- jako operátor, který přijímá jako vstupní proměnné číslo iteračního kroku, funkci v tomto iteračním kroku a vrací funkci v další krok iterace.

Sada primitivních rekurzivních funkcí je minimální sada obsahující vše základní funkce a uzavřen pod specifikovanými operátory substituce a primitivní rekurze.

Z hlediska imperativního programování -- primitivní rekurzivní funkce odpovídají pouze programovým blokům, které používají aritmetické operace, stejně jako podmíněný operátor a operátor aritmetické smyčky (operátor smyčky, ve kterém je na začátku smyčky znám počet iterací). Pokud programátor začne používat operátor cyklu while, u kterého není počet iterací předem znám a v zásadě může být nekonečný, pak přechází do třídy částečně rekurzivních funkcí.

Uveďme řadu známých aritmetických funkcí, které jsou primitivně rekurzivní.

Funkce sčítání dvou přirozených čísel () může být považována za primitivní rekurzivní funkci dvou proměnných, získanou aplikací primitivního rekurzního operátoru na funkce a z nichž druhá se získá dosazením hlavní funkce do hlavní funkce:

Násobení dvou přirozených čísel lze považovat za primitivní rekurzivní funkci dvou proměnných, která se získá jako výsledek aplikace primitivního rekurzního operátoru na funkce a druhá z nich se získá dosazením hlavních funkcí a do funkce sčítání:

Symetrický rozdíl (absolutní hodnota rozdílu) dvou přirozených čísel () lze považovat za primitivní rekurzivní funkci dvou proměnných, získanou aplikací následujících substitucí a primitivních rekurzí: