Κυρτά σύνολα και οι ιδιότητές τους.Προκειμένου να μελετηθούν οι ιδιότητες ενός κυρτού συνόλου, είναι απαραίτητο να δοθεί ένας αυστηρός ορισμός του κυρτού συνόλου. Προηγουμένως, ένα κυρτό σύνολο ορίστηκε ως ένα σύνολο που, μαζί με οποιαδήποτε δύο σημεία του, περιέχει ένα τμήμα που τα συνδέει.
Μια γενίκευση της έννοιας ενός τμήματος για πολλά σημεία είναι ο κυρτός γραμμικός συνδυασμός τους.
Το σημείο Χ ονομάζεται κυρτός γραμμικός συνδυασμόςσημεία, εάν πληρούνται οι προϋποθέσεις
Το σύνολο των σημείων είναι κυρτός,εάν, μαζί με οποιαδήποτε δύο σημεία του, περιέχει τον αυθαίρετο κυρτό, γραμμικό συνδυασμό τους.
Μπορούμε να αποδείξουμε το ακόλουθο θεώρημα σχετικά με την παράσταση ενός κυρτού πολυέδρου.
Θεώρημα 1.1. Ένα κυρτό n-διάστατο πολύεδρο είναι ένας κυρτός γραμμικός συνδυασμός των γωνιακών σημείων του.
Από το Θεώρημα 1.1 προκύπτει ότι ένα κυρτό πολύεδρο δημιουργείται από τα γωνιακά σημεία ή κορυφές του: ένα τμήμα κατά δύο σημεία, ένα τρίγωνο κατά τρία, ένα τετράεδρο κατά τέσσερα σημεία κ.λπ. Ταυτόχρονα, μια κυρτή πολυεδρική περιοχή, που είναι ένα απεριόριστο σύνολο, δεν ορίζεται μοναδικά από τα γωνιακά της σημεία: κανένα από τα σημεία της δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας κυρτός γραμμικός συνδυασμός γωνιακών σημείων.
Ιδιότητες ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού.Προηγουμένως, εξετάστηκαν διάφορες μορφές ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού και αποδείχθηκε ότι οποιοδήποτε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να αναπαρασταθεί ως γενικό ή κανονικό πρόβλημα.
Για να τεκμηριωθούν οι ιδιότητες του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού και οι μέθοδοι επίλυσής του, είναι σκόπιμο να εξετάσουμε δύο ακόμη τύπους σημειογραφίας του κανονικού προβλήματος.
Φόρμα εγγραφής Matrix:
Εδώ ΜΕ– πίνακας γραμμών, ΕΝΑ– πίνακας συστήματος, Χ– μήτρα-στήλη μεταβλητών, ΣΕ– μήτρα-στήλη ελεύθερων μελών:
Διανυσματική μορφή εγγραφής:
όπου τα διανύσματα αντιστοιχούν στις στήλες των συντελεστών για τους αγνώστους.
Το παρακάτω θεώρημα διατυπώθηκε παραπάνω, αλλά δεν αποδείχθηκε σε γενική μορφή.
Θεώρημα 1.2. Το σύνολο όλων των εφικτών λύσεων στο σύστημα περιορισμών ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού είναι κυρτό.
Απόδειξη:Αφήνω - δύο εφικτές λύσεις του PLP, που δίνονται σε μορφή μήτρας. Επειτα . Ας εξετάσουμε έναν κυρτό γραμμικό συνδυασμό λύσεων, δηλ.
και να δείξετε ότι είναι επίσης αποδεκτή λύση του συστήματος (1.3). Πράγματι
δηλ. λύση Χικανοποιεί το σύστημα (1.3). Αλλά από τότε Χ>0, δηλ. η λύση ικανοποιεί τη συνθήκη μη αρνητικότητας.
Έτσι, έχει αποδειχθεί ότι το σύνολο όλων των εφικτών λύσεων σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού είναι κυρτό, ή πιο συγκεκριμένα, αντιπροσωπεύει ένα κυρτό πολύεδρο ή μια κυρτή πολυεδρική περιοχή, την οποία θα ονομάσουμε περαιτέρω με έναν όρο - πολύεδρο των διαλυμάτων.
Η απάντηση στο ερώτημα σε ποιο σημείο της λύσης το πολύεδρο είναι η βέλτιστη δυνατή λύση σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού δίνεται στο ακόλουθο θεμελιώδες θεώρημα.
Θεώρημα 1.3. Εάν ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού έχει μια βέλτιστη λύση, τότε η γραμμική συνάρτηση παίρνει τη μέγιστη τιμή της σε ένα από τα γωνιακά σημεία του πολυέδρου λύσης. Εάν μια γραμμική συνάρτηση λάβει μια μέγιστη τιμή σε περισσότερα από ένα γωνιακά σημεία, τότε την παίρνει σε οποιοδήποτε σημείο που είναι ένας κυρτός γραμμικός συνδυασμός αυτών των σημείων.
Απόδειξη:Θα υποθέσουμε ότι το πολύεδρο της λύσης είναι δεσμευμένο. Ας υποδηλώσουμε τα γωνιακά του σημεία με , και η βέλτιστη λύση είναι μέσω Χ*. Επειτα F(X*)³ F(X)για όλα τα σημεία Χπολύεδρο των διαλυμάτων. Αν Χ*είναι ένα γωνιακό σημείο, τότε το πρώτο μέρος του θεωρήματος αποδεικνύεται.
Ας το προσποιηθούμε Χ*δεν είναι γωνιακό σημείο, λοιπόν, με βάση το Θεώρημα 1.1 Χ*μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας κυρτός γραμμικός συνδυασμός των γωνιακών σημείων του πολυεδρικού διαλύματος, δηλ.
Επειδή F(X)είναι μια γραμμική συνάρτηση, παίρνουμε
Σε αυτή την αποσύνθεση, επιλέγουμε το μέγιστο μεταξύ των τιμών. Αφήστε το να αντιστοιχεί στο γωνιακό σημείο Xk(1 £ κ£ R); ας το χαρακτηρίσουμε με Μ,εκείνοι. . Ας αντικαταστήσουμε κάθε τιμή στην έκφραση (1.5) με αυτήν τη μέγιστη τιμή Μ.Επειτα
Με την υπόθεση Χ* είναι η βέλτιστη λύση, επομένως, αφενός, αλλά, αφετέρου, έχει αποδειχθεί ότι
F(X*)£ Μ,επομένως, , όπου Xk– γωνιακό σημείο. Υπάρχει λοιπόν ένα γωνιακό σημείο Xk, στην οποία η γραμμική συνάρτηση παίρνει τη μέγιστη τιμή της.
Για να αποδείξουμε το δεύτερο μέρος του θεωρήματος, ας υποθέσουμε ότι η αντικειμενική συνάρτηση παίρνει μια μέγιστη τιμή σε περισσότερα από ένα γωνιακά σημεία, για παράδειγμα, σε σημεία , Οπου , Επειτα
Αφήνω Χ– ένας κυρτός γραμμικός συνδυασμός αυτών των γωνιακών σημείων, δηλ.
Στην περίπτωση αυτή, δεδομένου ότι η συνάρτηση F(X)– γραμμικό, παίρνουμε
εκείνοι. γραμμική συνάρτηση φάπαίρνει τη μέγιστη τιμή σε ένα αυθαίρετο σημείο Χ, που είναι ένας κυρτός γραμμικός συνδυασμός γωνιακών σημείων.
Σχόλιο.Η απαίτηση ότι το πολύεδρο της λύσης είναι οριοθετημένο στο θεώρημα είναι ουσιαστική, καθώς στην περίπτωση μιας απεριόριστης πολυεδρικής περιοχής, όπως σημειώνεται στο Θεώρημα 1.1, δεν μπορεί να αναπαρασταθεί κάθε σημείο μιας τέτοιας περιοχής με έναν κυρτό γραμμικό συνδυασμό των γωνιακών σημείων της.
Το αποδεδειγμένο θεώρημα είναι θεμελιώδες, καθώς υποδεικνύει έναν θεμελιώδη τρόπο επίλυσης προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού. Πράγματι, σύμφωνα με αυτό το θεώρημα, αντί να μελετήσουμε ένα άπειρο σύνολο εφικτών λύσεων για να βρούμε την επιθυμητή βέλτιστη λύση μεταξύ τους, είναι απαραίτητο να μελετήσουμε μόνο έναν πεπερασμένο αριθμό γωνιακών σημείων του πολυεδρικού διαλύματος.
Το επόμενο θεώρημα είναι αφιερωμένο στην αναλυτική μέθοδο εύρεσης γωνιακών σημείων.
Θεώρημα 1.4. Κάθε αποδεκτή βασική λύση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού αντιστοιχεί σε ένα γωνιακό σημείο του πολυέδρου λύσης και αντίστροφα, σε κάθε γωνιακό σημείο του πολυέδρου λύσης αντιστοιχεί μια αποδεκτή βασική λύση.
Απόδειξη:Έστω μια αποδεκτή βασική λύση του συστήματος περιορισμών του LLP (1.4), στο οποίο η πρώτη Τσυνιστώσα είναι οι κύριες μεταβλητές και οι υπόλοιπες p - tσυστατικό – μη κύριες μεταβλητές ίσες με μηδέν στη βασική λύση (εάν αυτό δεν συμβαίνει, τότε οι αντίστοιχες μεταβλητές μπορούν να επαναριθμηθούν). Ας το δείξουμε Χ
Ας υποθέσουμε το αντίθετο, δηλ. Τι Χδεν είναι γωνιακό σημείο. Στη συνέχεια, τοποθετήστε το δείκτη Χμπορεί να αναπαρασταθεί από το εσωτερικό σημείο ενός τμήματος που συνδέει δύο διαφορετικά που δεν συμπίπτουν με Χ,σημεία
με άλλα λόγια, ένας κυρτός γραμμικός συνδυασμός σημείων πολύεδρο διαλυμάτων, δηλ.
όπου (υποθέτουμε ότι , γιατί αλλιώς το σημείο Χσυμπίπτει με το σημείο Χ 1 ή Χ 2).
Ας γράψουμε τη διανυσματική ισότητα (1.6) σε μορφή συντεταγμένων:
Επειδή Όλες οι μεταβλητές και οι συντελεστές είναι μη αρνητικές, τότε από την τελευταία p-tισότητες προκύπτει ότι , δηλ. στις αποφάσεις Χ 1 , Χ 2 και Χσύστημα εξισώσεων (1.4) τιμών p - tτα στοιχεία είναι ίσα με μηδέν σε αυτή την περίπτωση. Αυτά τα στοιχεία μπορούν να θεωρηθούν ως τιμές μη πρωταρχικών μεταβλητών. Αλλά οι τιμές των μη βασικών μεταβλητών καθορίζουν μοναδικά τις τιμές των κύριων, επομένως,
Όλα λοιπόν Πσυστατικό σε διαλύματα Χ 1 , Χ 2 και Χσυμπίπτουν και επομένως τα σημεία Χ 1 και Χ 2 συγχώνευση, η οποία έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση. Ως εκ τούτου, Χ– γωνιακό σημείο του πολυεδρικού διαλύματος.
Ας αποδείξουμε την αντίστροφη δήλωση. Έστω το γωνιακό σημείο του πολύεδρου της λύσης και το πρώτο του Τοι συντεταγμένες είναι θετικές. Ας το δείξουμε Χ– αποδεκτή βασική λύση. δεν είναι γωνιακό σημείο, κάτι που έρχεται σε αντίθεση με την κατάσταση. Επομένως, η υπόθεσή μας είναι εσφαλμένη, δηλ. τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και Χείναι μια αποδεκτή βασική λύση στο πρόβλημα (1.4).
Ένα σημαντικό συμπέρασμα προκύπτει απευθείας από τα Θεωρήματα 1.3 και 1.4: Εάν ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού έχει μια βέλτιστη λύση, τότε συμπίπτει με τουλάχιστον μία από τις εφικτές βασικές λύσεις του.
Ετσι, το βέλτιστο μιας γραμμικής συνάρτησης ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού θα πρέπει να αναζητηθεί σε έναν πεπερασμένο αριθμό από τις εφικτές βασικές λύσεις του.
Συστατικά του μαθηματικού μοντέλου
Η βάση για την επίλυση οικονομικών προβλημάτων είναι τα μαθηματικά μοντέλα.
Η κατάρτιση ενός μαθηματικού μοντέλου περιλαμβάνει:Μαθηματικό μοντέλοΤο πρόβλημα είναι ένα σύνολο μαθηματικών σχέσεων που περιγράφουν την ουσία του προβλήματος.
- επιλογή των μεταβλητών του προβλήματος
- κατάρτιση συστήματος περιορισμών
- επιλογή αντικειμενικής συνάρτησης
Μεταβλητές εργασιώνονομάζονται οι ποσότητες X1, X2, Xn, που χαρακτηρίζουν πλήρως την οικονομική διαδικασία. Συνήθως γράφονται ως διάνυσμα: X=(X1, X2,...,Xn).
Σύστημα περιορισμώνΤα προβλήματα είναι ένα σύνολο εξισώσεων και ανισοτήτων που περιγράφουν τους περιορισμένους πόρους στο υπό εξέταση πρόβλημα.
Αντικειμενική λειτουργίαΟι εργασίες ονομάζονται συνάρτηση μεταβλητών εργασιών που χαρακτηρίζει την ποιότητα της εργασίας και το άκρο της οποίας πρέπει να βρεθεί.
Γενικά, ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να γραφτεί ως εξής:
Αυτή η καταχώρηση σημαίνει τα εξής: βρείτε το άκρο της αντικειμενικής συνάρτησης (1) και τις αντίστοιχες μεταβλητές X=(X1, X2,...,Xn) με την προϋπόθεση ότι αυτές οι μεταβλητές ικανοποιούν το σύστημα των περιορισμών (2) και τη μη αρνητικότητα προϋποθέσεις (3).
Έγκυρη λύση(σχέδιο) ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού είναι οποιοδήποτε ν-διάνυσμα X=(X1, X2,...,Xn) που ικανοποιεί το σύστημα περιορισμών και συνθηκών μη αρνητικότητας.
Το σύνολο των εφικτών λύσεων (σχεδίων) του προβλήματος διαμορφώνεται περιοχή εφικτών λύσεων(ODR).
Παράδειγμα κατάρτισης μαθηματικού μοντέλουΤο πρόβλημα χρήσης πόρων (πρώτων υλών)Η βέλτιστη λύση(σχέδιο) ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού είναι μια τέτοια αποδεκτή λύση (σχέδιο) του προβλήματος στο οποίο η αντικειμενική συνάρτηση φτάνει σε ένα άκρο.
Κατάσταση:Για την παραγωγή n τύπων προϊόντων, χρησιμοποιούνται m τύποι πόρων. Δημιουργήστε ένα μαθηματικό μοντέλο.
Γνωστός:
- bi (i = 1,2,3,...,m) - αποθέματα κάθε i-ου τύπου πόρου.
- aij (i = 1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,n) - το κόστος κάθε i-ου τύπου πόρου για την παραγωγή μιας μονάδας όγκου τον j-ο τύπο προϊόντος.
- cj (j = 1,2,3,...,n) - κέρδος από την πώληση μονάδας όγκου του jου τύπου προϊόντος.
Απαιτείται η κατάρτιση σχεδίου παραγωγής που να εξασφαλίζει μέγιστο κέρδος υπό δεδομένους περιορισμούς στους πόρους (πρώτες ύλες).
Λύση:
Ας εισαγάγουμε ένα διάνυσμα μεταβλητών X=(X1, X2,...,Xn), όπου xj (j = 1,2,...,n) είναι ο όγκος παραγωγής του j-ου τύπου προϊόντος.
Το κόστος του i-ου τύπου πόρου για την παραγωγή ενός δεδομένου όγκου xj προϊόντων είναι ίσο με το aijxj, επομένως ο περιορισμός στη χρήση πόρων για την παραγωγή όλων των τύπων προϊόντων έχει τη μορφή:
Το κέρδος από την πώληση του jου τύπου προϊόντος είναι ίσο με cjxj, άρα η αντικειμενική συνάρτηση ισούται με:
Απάντηση- Το μαθηματικό μοντέλο μοιάζει με:
Κανονική μορφή προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού
Στη γενική περίπτωση, ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού γράφεται με τέτοιο τρόπο ώστε οι περιορισμοί να είναι και εξισώσεις και ανισότητες και οι μεταβλητές μπορεί να είναι είτε μη αρνητικές είτε αυθαίρετα μεταβαλλόμενες.
Στην περίπτωση που όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις και όλες οι μεταβλητές ικανοποιούν τη συνθήκη μη αρνητικότητας, το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού ονομάζεται κανονικός.
Μπορεί να αναπαρασταθεί με συμβολισμό συντεταγμένων, διανυσμάτων και μήτρας.
Το πρόβλημα κανονικού γραμμικού προγραμματισμού σε συμβολισμό συντεταγμένων έχει τη μορφή:
Το πρόβλημα κανονικού γραμμικού προγραμματισμού σε σημειογραφία πίνακα έχει τη μορφή:
- Α - πίνακας συντελεστών του συστήματος εξισώσεων
- X - μήτρα-στήλη μεταβλητών εργασιών
- Ао - μήτρα-στήλη των δεξιών τμημάτων του συστήματος περιορισμών
Συχνά χρησιμοποιούνται προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, που ονομάζονται συμμετρικά, τα οποία σε σημειογραφία πίνακα έχουν τη μορφή:
Αναγωγή ενός γενικού προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού σε κανονική μορφή
Στις περισσότερες μεθόδους για την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού, θεωρείται ότι το σύστημα περιορισμών αποτελείται από εξισώσεις και φυσικές συνθήκες για τη μη αρνητικότητα των μεταβλητών. Ωστόσο, κατά τη σύνταξη μοντέλων οικονομικών προβλημάτων, οι περιορισμοί σχηματίζονται κυρίως με τη μορφή συστήματος ανισοτήτων, επομένως είναι απαραίτητο να μπορούμε να μεταβούμε από ένα σύστημα ανισοτήτων σε ένα σύστημα εξισώσεων.
Αυτό μπορεί να γίνει ως εξής:Ας πάρουμε τη γραμμική ανισότητα a1x1+a2x2+...+anxn≤b και ας προσθέσουμε στην αριστερή της πλευρά μια ορισμένη τιμή xn+1, έτσι ώστε η ανίσωση να μετατραπεί στην ισότητα a1x1+a2x2+...+anxn+xn+1=b . Επιπλέον, αυτή η τιμή xn+1 είναι μη αρνητική.
Ας δούμε τα πάντα χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα 26.1Φέρτε το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού σε κανονική μορφή:
Λύση:
Ας προχωρήσουμε στο πρόβλημα της εύρεσης του μέγιστου της αντικειμενικής συνάρτησης.
Για να γίνει αυτό, αλλάζουμε τα πρόσημα των συντελεστών της αντικειμενικής συνάρτησης.
Για να μετατρέψουμε τη δεύτερη και την τρίτη ανισότητα του συστήματος των περιορισμών σε εξισώσεις, εισάγουμε μη αρνητικές πρόσθετες μεταβλητές x4 x5 (στο μαθηματικό μοντέλο αυτή η πράξη σημειώνεται με το γράμμα D).
Η μεταβλητή x4 εισάγεται στην αριστερή πλευρά της δεύτερης ανισότητας με το πρόσημο «+», αφού η ανισότητα έχει τη μορφή «≤».
Η μεταβλητή x5 εισάγεται στην αριστερή πλευρά της τρίτης ανισότητας με πρόσημο «-», αφού η ανισότητα έχει τη μορφή «≥».
Οι μεταβλητές x4 x5 εισάγονται στην αντικειμενική συνάρτηση με συντελεστή. ίσο με μηδέν.
Γράφουμε το πρόβλημα σε κανονική μορφή:
Γραμμικός προγραμματισμόςείναι κλάδος των μαθηματικών που μελετά μεθόδους εύρεσης του ελάχιστου ή του μέγιστου μιας γραμμικής συνάρτησης πεπερασμένου αριθμού μεταβλητών, υπό την προϋπόθεση ότι οι μεταβλητές ικανοποιούν έναν πεπερασμένο αριθμό περιορισμών με τη μορφή γραμμικών εξισώσεων ή γραμμικών ανισώσεων.
Έτσι, το γενικό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού (GLP) μπορεί να διατυπωθεί ως εξής.
Βρείτε τιμές πραγματικών μεταβλητών για τις οποίες αντικειμενική λειτουργία
παίρνει μια ελάχιστη τιμή στο σύνολο των σημείων των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν σύστημα περιορισμών
Ως γνωστόν, μια διατεταγμένη συλλογή αξιών nοι μεταβλητές , , … αντιπροσωπεύονται από ένα σημείο στον n-διάστατο χώρο. Σε αυτό που ακολουθεί θα υποδείξουμε αυτό το σημείο Χ=( , , … ).
Σε μορφή πίνακα, το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:
, ΕΝΑ– πίνακας μεγεθών,
Τελεία Χ=( , , … ), που ικανοποιεί όλες τις προϋποθέσεις, καλείται έγκυρο σημείο . Το σύνολο όλων των αποδεκτών σημείων ονομάζεται έγκυρη περιοχή .
Βέλτιστη λύση (βέλτιστο σχέδιο)ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού ονομάζεται λύση Χ=( , , … ), που ανήκει στην αποδεκτή περιοχή και για την οποία η γραμμική συνάρτηση Qπαίρνει τη βέλτιστη (μέγιστη ή ελάχιστη) τιμή.
Θεώρημα. Το σύνολο όλων των εφικτών λύσεων στο σύστημα περιορισμών ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού είναι κυρτό.
Το σύνολο των σημείων ονομάζεται κυρτός , αν μαζί με οποιαδήποτε δύο σημεία του περιέχει τον αυθαίρετο κυρτό γραμμικό συνδυασμό τους.
Τελεία Χπου ονομάζεται κυρτός γραμμικός συνδυασμός πόντους εάν πληρούνται οι προϋποθέσεις
Το σύνολο όλων των εφικτών λύσεων σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού είναι μια κυρτή πολυεδρική περιοχή, την οποία στο εξής θα ονομάζουμε πολύεδρο των διαλυμάτων .
Θεώρημα. Εάν το ZLP έχει μια βέλτιστη λύση, τότε η αντικειμενική συνάρτηση παίρνει τη μέγιστη (ελάχιστη) τιμή σε μία από τις κορυφές του πολυεδρικού διαλύματος. Εάν η αντικειμενική συνάρτηση λάβει μια μέγιστη (ελάχιστη) τιμή σε περισσότερα από ένα σημεία, τότε παίρνει αυτήν την τιμή σε οποιοδήποτε σημείο που είναι ένας κυρτός γραμμικός συνδυασμός αυτών των σημείων.
Ανάμεσα στις πολλές λύσεις του συστήματος Μγραμμικές εξισώσεις που περιγράφουν το πολύεδρο των λύσεων, διακρίνονται οι λεγόμενες βασικές λύσεις.
Βασική λύση του συστήματος Μγραμμικές εξισώσεις με n μεταβλητές είναι μια λύση στην οποία όλα n-mΟι μη βασικές μεταβλητές είναι μηδέν. Στα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού τέτοιες λύσεις ονομάζονται αποδεκτές βασικές λύσεις (σχέδια αναφοράς).
Θεώρημα. Κάθε αποδεκτή βασική λύση σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού αντιστοιχεί σε μια κορυφή του πολυέδρου λύσης και αντίστροφα, σε κάθε κορυφή του πολυέδρου λύσης αντιστοιχεί μια αποδεκτή βασική λύση.
Ένα σημαντικό συμπέρασμα προκύπτει από τα παραπάνω θεωρήματα:
Εάν ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού έχει μια βέλτιστη λύση, τότε συμπίπτει με τουλάχιστον μία από τις εφικτές βασικές λύσεις του.
Κατά συνέπεια, το βέλτιστο της γραμμικής συνάρτησης του στόχου ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού πρέπει να αναζητηθεί ανάμεσα στον πεπερασμένο αριθμό των εφικτών βασικών λύσεών του.
Ορισμός. Οποιαδήποτε λύση στο σύστημα περιορισμών ονομάζεται αποδεκτή λύση στο PLP.
Ορισμός. Μια εφικτή λύση στην οποία η αντικειμενική συνάρτηση φτάνει μια μέγιστη ή ελάχιστη τιμή ονομάζεται βέλτιστη λύση.
Λόγω αυτών των ορισμών, το πρόβλημα LP μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: μεταξύ όλων των σημείων μιας κυρτής περιοχής, που είναι λύση σε ένα σύστημα περιορισμών, επιλέξτε ένα του οποίου οι συντεταγμένες ελαχιστοποιούν (μεγιστοποιούν) τη γραμμική συνάρτηση φά = Με 1 Χ + Με 2 y.
Σημειώστε ότι οι μεταβλητές Χ, yστο ZLP, κατά κανόνα, λαμβάνουν μη αρνητικές τιμές ( Χ≥ 0, y≥ 0), επομένως η περιοχή βρίσκεται στο πρώτο τέταρτο του επιπέδου συντεταγμένων.
Θεωρήστε τη γραμμική συνάρτηση φά = Με 1 Χ + Με 2 yκαι να διορθώσετε μέρος της αξίας του φά. Ας, για παράδειγμα, φά= 0, δηλ. Με 1 Χ + Με 2 y= 0. Η γραφική παράσταση αυτής της εξίσωσης θα είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή των συντεταγμένων (0;0) (Εικ.).
Σχέδιο
Κατά την αλλαγή αυτής της σταθερής τιμής φά = ρε, ευθεία Με 1 Χ+ Με 2 y = dθα μετατοπιστεί παράλληλα και θα «περιγράψει» ολόκληρο το επίπεδο. Αφήνω ρε– πολύγωνο – πεδίο επίλυσης του συστήματος των περιορισμών. Όταν αλλάζει ρεευθεία Με 1 Χ + Με 2 y = ρε, σε κάποια τιμή ρε = ρε 1 θα φτάσει στο πολύγωνο ρε, ας ονομάσουμε αυτό το σημείο ΕΝΑ"σημείο εισόδου", και μετά, έχοντας περάσει το πολύγωνο, σε κάποια τιμή ρε = ρε 2 θα έχουμε το τελευταίο κοινό σημείο μαζί του ΣΕ, ας καλέσουμε ΣΕ«σημείο εξόδου».
Είναι προφανές ότι η αντικειμενική συνάρτηση έχει τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές της φά=Με 1 Χ + Με 2 yθα φτάσει στα σημεία εισόδου ΕΝΑκαι "έξοδος" ΣΕ.
Λαμβάνοντας υπόψη ότι η βέλτιστη τιμή στο σύνολο των εφικτών λύσεων, η αντικειμενική συνάρτηση παίρνει τις κορυφές της περιοχής ρε, μπορούμε να προτείνουμε το ακόλουθο σχέδιο για την επίλυση του προβλήματος:
- Κατασκευάστε το πεδίο λύσης του συστήματος περιορισμών.
- Κατασκευάστε μια ευθεία γραμμή που αντιστοιχεί στην αντικειμενική συνάρτηση και με παράλληλη μετάφραση αυτής της ευθείας γραμμής βρείτε το σημείο «εισόδου» ή «εξόδου» (ανάλογα με την απαίτηση ελαχιστοποίησης ή μεγιστοποίησης της αντικειμενικής συνάρτησης).
- να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες αυτού του σημείου και να υπολογίσετε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης σε αυτές.
Κατά την επίλυση του ZLP γραφικά, είναι δυνατές δύο περιπτώσεις που απαιτούν ειδική συζήτηση.
Περίπτωση 1
Εικόνα 6
Όταν κινείται μια ευθεία γραμμή Με 1 Χ + Με 2 y= ρεΗ «είσοδος» ή η «έξοδος» (όπως στο σχήμα) θα εμφανιστούν κατά μήκος της πλευράς του πολυγώνου. Αυτό θα συμβεί εάν το πολύγωνο έχει πλευρές παράλληλες με την ευθεία Με 1 Χ+ Με 2 στο = ρε .
Σε αυτήν την περίπτωση, υπάρχει ένας άπειρος αριθμός σημείων "εξόδου" ("είσοδος"), δηλαδή οποιοδήποτε σημείο στο τμήμα ΑΒ. Αυτό σημαίνει ότι η αντικειμενική συνάρτηση παίρνει τη μέγιστη (ελάχιστη) τιμή όχι σε ένα σημείο, αλλά σε όλα τα σημεία που βρίσκονται στην αντίστοιχη πλευρά του πολυγώνου ρε.
Περίπτωση 2
Ας εξετάσουμε την περίπτωση όταν το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών είναι απεριόριστο.
Στην περίπτωση ενός απεριόριστου τομέα, η αντικειμενική συνάρτηση μπορεί να καθοριστεί με τέτοιο τρόπο ώστε η αντίστοιχη ευθεία γραμμή να μην έχει σημείο «εξόδου» (ή «εισόδου»). Τότε η μέγιστη τιμή της συνάρτησης (ελάχιστη) δεν επιτυγχάνεται ποτέ - λένε ότι η συνάρτηση είναι απεριόριστη. 
Σχέδιο
Είναι απαραίτητο να βρεθεί η μέγιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης φά = 4Χ + 6y→ max , με σύστημα περιορισμών
Ας κατασκευάσουμε μια περιοχή με εφικτές λύσεις, δηλ. Ας λύσουμε το σύστημα των ανισώσεων γραφικά. Για να γίνει αυτό, κατασκευάζουμε κάθε ευθεία γραμμή και προσδιορίζουμε τα ημιεπίπεδα που ορίζονται από τις ανισότητες.
Χ + y = 18
|
Χ |
12 |
9 |
|
y |
6 |
9 |
0,5Χ + y = 12
|
Χ |
12 |
18 |
|
y |
6 |
3 |
Χ= 12 – παράλληλη προς τον άξονα OY ;
y= 9 – παράλληλη προς τον άξονα ΒΟΔΙ ;
Χ= 0 – άξονας OY ;
y = 0 – άξονας ΒΟΔΙ;
Χ OY;
y≥ 0 – ημιεπίπεδο πάνω από τον άξονα ΒΟΔΙ;
y≤ 9 – μισό επίπεδο κάτω y = 9;
Χ ≤ 12 – μισό επίπεδο προς τα αριστερά Χ = 12;
0,5Χ + yΧ + y = 12;
Χ + y Χ + y = 18.
Σχέδιο
Η τομή όλων αυτών των ημιεπιπέδων είναι προφανώς ένα πεντάγωνο OAVSD, με κορυφές στα σημεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ(0; 0), ΕΝΑ(0; 9), ΣΕ(6; 9), ΜΕ(12; 6), ρε(12; 0). Αυτό το πεντάγωνο αποτελεί την περιοχή των εφικτών λύσεων στο πρόβλημα.
φά = 4Χ + 6y→ μέγ.
|
Χ |
3 |
0 |
|
y |
–2 |
0 |
φά = 0: 4Χ + 6y Χ+ 6y ΜΕ(12; 6). Είναι μέσα σε αυτό φά = 4Χ + 6y
Οπότε πότε Χ = 12, y= 6 συνάρτηση φά φά= 4 ∙ 12 + 6 ∙ 6 = 84, ίσο με 84. Το σημείο με συντεταγμένες (12; 6) ικανοποιεί όλες τις ανισότητες του συστήματος περιορισμών και σε αυτό η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι βέλτιστη φά* = 84 (θα υποδηλώσουμε τη βέλτιστη τιμή ως "*").
Το πρόβλημα λύθηκε. Έτσι, είναι απαραίτητο να παραχθούν 12 προϊόντα τύπου Ι και 6 προϊόντα τύπου ΙΙ, με κέρδος 84 χιλιάδες ρούβλια.
Η γραφική μέθοδος χρησιμοποιείται για την επίλυση προβλημάτων που είχαν μόνο δύο μεταβλητές στο σύστημα περιορισμών. Αυτή η μέθοδος μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για συστήματα ανισοτήτων με τρεις μεταβλητές. Γεωμετρικά, η κατάσταση θα είναι διαφορετική, τον ρόλο των ευθειών θα παίζουν τα επίπεδα στον τρισδιάστατο χώρο και η λύση στην ανισότητα σε τρεις μεταβλητές θα είναι ένα μισό διάστημα που βρίσκεται στη μία πλευρά του επιπέδου. Το ρόλο των περιοχών θα παίζουν τα πολύεδρα, τα οποία αποτελούν τη διασταύρωση ημιχώρων.
Παράδειγμα Νο. 2. Το ορυχείο αναπτύσσει δύο ραφές. Η απόδοση του κορυφαίου για το πρώτο στρώμα είναι a1%. για το δεύτερο - a2%. Η μέγιστη παραγωγικότητα της επιφάνειας εργασίας για το πρώτο στρώμα είναι Β1 χιλιάδες τόνοι ετησίως, για το δεύτερο στρώμα - Β2 χιλιάδες τόνοι ετησίως. Σύμφωνα με την τεχνολογία εργασίας, η παραγωγή από το δεύτερο στρώμα δεν μπορεί να υπερβαίνει την παραγωγή από το πρώτο στρώμα. Η παραγωγή του λατομείου μέσω του ορυχείου δεν πρέπει να υπερβαίνει τους C1 χιλιάδες τόνους ετησίως. Το συνολικό φορτίο στα δύο στρώματα ανά έτος δεν πρέπει να είναι μικρότερο από C2 χιλιάδες τόνους ετησίως. Δημιουργήστε ένα μαθηματικό μοντέλο και κατασκευάστε ένα σύνολο επιτρεπόμενων τιμών φορτίου για το πρώτο και το δεύτερο στρώμα ανά έτος.
Παράδειγμα Νο. 3. Στο κατάστημα πωλούνται 2 είδη αναψυκτικών: κόλα και λεμονάδα. Το εισόδημα από ένα κουτάκι κόλα είναι 5 σεντ, ενώ το εισόδημα από ένα κουτάκι λεμονάδα είναι 7 σεντ. Κατά μέσο όρο, ένα κατάστημα δεν πουλάει περισσότερα από 500 κουτάκια και των δύο ποτών την ημέρα. Παρά το γεγονός ότι η κόλα παράγεται από μια γνωστή μάρκα, οι πελάτες προτιμούν τη λεμονάδα γιατί είναι πολύ φθηνότερη. Υπολογίζεται ότι ο όγκος πωλήσεων κόλα και λεμονάδας θα πρέπει να έχει αναλογία τουλάχιστον 2:1· επιπλέον, είναι γνωστό ότι το κατάστημα πουλάει τουλάχιστον 100 κουτάκια κόλα την ημέρα. Πόσα κουτιά από κάθε ποτό πρέπει να έχει το κατάστημα στην αρχή της ημέρας για να μεγιστοποιήσει τα έσοδα;
Παράδειγμα αρ. 4. Λύστε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού περίπου γραφικά, ακολουθούμενο από τον υπολογισμό της ακριβούς τιμής και της μέγιστης (ελάχιστη) τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης.
Παράδειγμα αρ. 5. Μια ταξιδιωτική εταιρεία δεν απαιτεί περισσότερα από λεωφορεία τριών τόνων και όχι περισσότερα από λεωφορεία πέντε τόνων. Η τιμή πώλησης των λεωφορείων της πρώτης μάρκας είναι 20.000 USD, της δεύτερης μάρκας είναι 40.000 USD. Μια ταξιδιωτική εταιρεία δεν μπορεί να διαθέσει περισσότερο από 1 $ για την αγορά λεωφορείων. Πόσα λεωφορεία κάθε μάρκας πρέπει να αγοραστούν χωριστά, ώστε η συνολική (συνολική) μεταφορική τους ικανότητα να είναι η μέγιστη. Λύστε το πρόβλημα γραφικά.
Παράδειγμα αρ. 6. Χρησιμοποιώντας τη γραφική μέθοδο, βρείτε το βέλτιστο σχέδιο παραγωγής στο πρόβλημα που δίνεται από τον πίνακα.
Παράδειγμα αρ. 7. Λύστε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού γραφικά, υποβάλλοντας το σύστημα περιορισμών του προβλήματος σε μετασχηματισμούς Jordan-Gauss. Το σύστημα περιορισμού προβλημάτων έχει τη μορφή:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 + a 15 x 5 = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 24 x 4 + a 25 x 5 = b 2
a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + a 34 x 4 + a 35 x 5 = b 3
Κατευθυντήριες γραμμές. Οι μετασχηματισμοί Jordano-Gaussian μπορούν να πραγματοποιηθούν χρησιμοποιώντας αυτήν την υπηρεσία ή μέσω της μελέτης SLAE.
Παράδειγμα αρ. 8. Η εταιρεία παράγει δύο είδη προϊόντων Α και Β, για την παραγωγή των οποίων χρησιμοποιούνται τρία είδη πρώτων υλών. Για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος Α, απαιτείται να δαπανηθούν πρώτες ύλες κάθε τύπου a1, a2, a3 kg, αντίστοιχα, και για μια μονάδα προϊόντος B - b1, b2, b3 kg. Η παραγωγή παρέχεται με πρώτες ύλες κάθε τύπου σε ποσότητα P1, P2, P3 kg, αντίστοιχα. Το κόστος μιας μονάδας προϊόντος Α είναι τρίψιμο C1, και το κόστος μιας μονάδας προϊόντος Β είναι τρίψιμο C2. Απαιτείται η κατάρτιση σχεδίου παραγωγής για τα προϊόντα Α και Β που να εξασφαλίζει το μέγιστο κόστος του τελικού προϊόντος.
Παράδειγμα Νο. 2. Είναι απαραίτητο να βρεθεί η μέγιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης φά = 4Χ + 6y→ max, με σύστημα περιορισμών:
Ας κατασκευάσουμε μια περιοχή με εφικτές λύσεις, δηλ. Ας λύσουμε το σύστημα των ανισώσεων γραφικά. Για να γίνει αυτό, επιλέγουμε τον αριθμό των περιορισμών ίσο με 4 (Εικόνα 1). 
Εικόνα 1
Στη συνέχεια συμπληρώνουμε τους συντελεστές για τις μεταβλητές και τους ίδιους τους περιορισμούς (Εικόνα 2). 
Σχήμα 2 
Εικόνα 3
Χ= 12 – παράλληλη προς τον άξονα OY;
y= 9 – παράλληλη προς τον άξονα ΒΟΔΙ;
Χ> = 0 – άξονας OY
y= 0 – άξονας ΒΟΔΙ;
Χ≥ 0 – ημιεπίπεδο στα δεξιά του άξονα OY;
y≥0 – ημιεπίπεδο πάνω από τον άξονα ΒΟΔΙ;
y≤ 9 – μισό επίπεδο κάτω y = 9;
Χ≤ 12 – μισό επίπεδο προς τα αριστερά Χ = 12;
0,5Χ + y≤ 12 – ημιεπίπεδο κάτω από την ευθεία 0,5 Χ + y = 12;
Χ + y≤ 18 – μισό επίπεδο κάτω από την ευθεία Χ + y = 18.
Η τομή όλων αυτών των ημιεπίπεδων είναι ένα πεντάγωνο ABCDE, με κορυφές στα σημεία ΕΝΑ(0; 0), σι(0;9), ντο(6; 9), ρε(12;6), μι(12;0). Αυτό το πεντάγωνο αποτελεί την περιοχή των εφικτών λύσεων στο πρόβλημα. 
Εξετάστε την αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος φά = 4Χ + 6y→ μέγ.
|
Χ |
3 |
0 |
|
y |
–2 |
0 |
Ας κατασκευάσουμε μια ευθεία γραμμή που αντιστοιχεί στην τιμή της συνάρτησης φά = 0: 4Χ + 6y= 0. Θα μετακινήσουμε αυτή τη γραμμή με παράλληλο τρόπο. Από όλη την οικογένεια των γραμμών 4 Χ + 6y= συνιστούν την τελευταία κορυφή από την οποία θα περάσει η ευθεία όταν φύγουμε από το όριο του πολυγώνου θα είναι η κορυφή ΜΕ(12; 6). Είναι μέσα σε αυτό φά = 4Χ + 6yθα φτάσει στη μέγιστη τιμή του. 
Οπότε πότε Χ = 12, y= 6 συνάρτηση φάφτάνει στη μέγιστη τιμή του φά= 4 ∙ 12 + 6 ∙ 6 = 84, ίσο με 84. Το σημείο με συντεταγμένες (12;6) ικανοποιεί όλες τις ανισότητες του συστήματος περιορισμών και σε αυτό η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι βέλτιστη φά* = 84.
Δοκιμή στον κλάδο "Έρευνα Επιχειρήσεων"
(οι σωστές απαντήσεις είναι οι πρώτες)
1. Ο όρος «έρευνα επιχειρήσεων» εμφανίστηκε...
κατά τον Δεύτερο Παγκόσμιο Πόλεμο
τη δεκαετία του '50 του ΧΧ αιώνα
στη δεκαετία του '60 του ΧΧ αιώνα
στη δεκαετία του '70 του ΧΧ αιώνα
τη δεκαετία του '90 του ΧΧ αιώνα
στις αρχές του 21ου αιώνα
2. Η επιχειρησιακή έρευνα αναφέρεται σε (επιλέξτε την καταλληλότερη επιλογή) ...
ένα σύνολο επιστημονικών μεθόδων για την επίλυση προβλημάτων αποτελεσματικής διαχείρισης οργανωτικών συστημάτων
ένα σύνολο μέτρων που λαμβάνονται για την υλοποίηση ορισμένων πράξεων
ένα σύνολο μεθόδων για την εφαρμογή του σχεδίου
επιστημονικές μεθόδους κατανομής των πόρων κατά την οργάνωση της παραγωγής
3. Παραγγείλετε τα στάδια από τα οποία συνήθως περνά οποιαδήποτε επιχειρησιακή έρευνα:
διατύπωση του προβλήματος
κατασκευή ενός ουσιαστικού (λεκτικού) μοντέλου του υπό εξέταση αντικειμένου (διαδικασίας).
κατασκευή μαθηματικού μοντέλου
επίλυση προβλημάτων που διατυπώνονται με βάση το κατασκευασμένο μαθηματικό μοντέλο
ελέγχοντας τα αποτελέσματα που προέκυψαν ως προς την επάρκεια της φύσης του υπό μελέτη συστήματος
εφαρμογή της λύσης που προκύπτει στην πράξη
4. Στην επιχειρησιακή έρευνα, λειτουργία σημαίνει...
κάθε εκδήλωση (σύστημα δράσεων) που ενώνεται με ένα ενιαίο σχέδιο και αποσκοπεί στην επίτευξη ενός στόχου
οποιοδήποτε ανεξέλεγκτο γεγονός
ένα σύνολο τεχνικών μέτρων για τη διασφάλιση της παραγωγής καταναλωτικών προϊόντων
5. Η λύση ονομάζεται βέλτιστη...
αν είναι, για τον ένα ή τον άλλο λόγο, προτιμότερο από άλλους
αν είναι λογικό
εάν συμφωνηθεί με τις αρχές
εφόσον εγκριθεί από τη γενική συνέλευση
6. Μαθηματικός προγραμματισμός...
ασχολείται με τη μελέτη ακραίων προβλημάτων και την ανάπτυξη μεθόδων επίλυσής τους
είναι η διαδικασία δημιουργίας προγραμμάτων ηλεκτρονικών υπολογιστών υπό την καθοδήγηση μαθηματικών
λύνει μαθηματικά προβλήματα σε υπολογιστή
7. Το πρόβλημα του γραμμικού προγραμματισμού είναι...
βρίσκοντας τη μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή μιας γραμμικής συνάρτησης παρουσία γραμμικών περιορισμών
δημιουργώντας ένα γραμμικό πρόγραμμα σε μια επιλεγμένη γλώσσα προγραμματισμού σχεδιασμένο να λύνει ένα δεδομένο πρόβλημα
περιγραφή ενός γραμμικού αλγορίθμου για την επίλυση ενός δεδομένου προβλήματος
8. Σε πρόβλημα τετραγωνικού προγραμματισμού...
η αντικειμενική συνάρτηση είναι τετραγωνική
η εφικτή περιοχή λύσης είναι ένα τετράγωνο
Οι περιορισμοί περιέχουν τετραγωνικές συναρτήσεις
9. Σε προβλήματα προγραμματισμού ακεραίων...
Οι άγνωστοι μπορούν να λάβουν μόνο ακέραιες τιμές
η συνάρτηση στόχος πρέπει απαραίτητα να λάβει μια ακέραια τιμή και οι άγνωστοι μπορεί να είναι οποιοσδήποτε
η αντικειμενική συνάρτηση είναι μια αριθμητική σταθερά
10. Σε προβλήματα παραμετρικού προγραμματισμού...
η αντικειμενική συνάρτηση ή/και το σύστημα περιορισμών περιέχει παραμέτρους
η περιοχή των εφικτών λύσεων είναι ένα παραλληλόγραμμο ή παραλληλεπίπεδο
ο αριθμός των μεταβλητών μπορεί να είναι μόνο ζυγός
11. Σε προβλήματα δυναμικού προγραμματισμού...
η διαδικασία εξεύρεσης λύσης είναι πολλαπλών σταδίων
Η παραγωγή δυναμίτη πρέπει να εξορθολογιστεί
πρέπει να βελτιστοποιηθεί η χρήση των ηχείων
12. Τίθεται το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού:
φά(Χ 1, Χ 2) = 5Χ 1 + 6Χ 2→ Μέγιστη
0.2Χ 1 + 0.3Χ 2 ≤ 1.8,
0.2Χ 1 + 0.1Χ 2 ≤ 1.2,
0.3Χ 1 + 0.3Χ 2 ≤ 2.4,
Χ 1 ≥ 0, Χ 2 ≥ 0.
Επιλέξτε μια εργασία που είναι ισοδύναμη με αυτήν την εργασία.
φά(Χ 1, Χ 2)= 5Χ 1 + 6Χ 2 → Μέγιστη,
2Χ 1 + 3Χ 2 ≤ 18,
2Χ 1 + Χ 2 ≤ 12,
Χ 1 + Χ 2 ≤ 8,
Χ 1 ≥ 0,
Χ 2 ≥ 0.
φά(Χ 1, Χ 2)= 6Χ 1 + 5Χ 2 → λεπτά,
2Χ 1 + 3Χ 2 ≤ 18,
2Χ 1 + Χ 2 ≤ 12,
Χ 1 + Χ 2 ≤ 8,
Χ 1 ≥ 0,
Χ 2 ≥ 0.
φά(Χ 1, Χ 2)= 50Χ 1 + 60Χ 2 → Μέγιστη,
2Χ 1 + 3Χ 2 ≤ 18,
2Χ 1 + Χ 2 ≤ 12,
Χ 1 + Χ 2 ≤ 8,
Χ 1 ≥ 0,
Χ 2 ≥ 0.
φά(Χ 1, Χ 2)= 5Χ 12 + 6Χ 22 → Μέγιστη,
2Χ 1 + 3Χ 2 ≤ 18,
2Χ 1 + Χ 2 ≤ 12,
3Χ 1 + Χ 2 ≤ 2.4,
Χ 1 ≥ 0,
Χ 2 ≥ 0.
13. Η αντικειμενική συνάρτηση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να είναι η συνάρτηση:
φά=12x1+20x2–3 0x3→ελάχ
φά= →ελάχ
φά=
→Μέγιστη
φά=→Μέγιστη.
14. Το σύστημα περιορισμών για ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να είναι το ακόλουθο σύστημα:
15. Η μέθοδος simplex είναι:
αναλυτική μέθοδος επίλυσης του βασικού προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού
μια μέθοδος για την εύρεση της περιοχής των εφικτών λύσεων σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού.
γραφική μέθοδος για την επίλυση του κύριου προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού.
μια μέθοδος για τη μείωση ενός γενικού προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού σε κανονική μορφή.
16. Το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού είναι:
βρίσκοντας τη μεγαλύτερη ή τη μικρότερη τιμή μιας γραμμικής συνάρτησης παρουσία γραμμικών περιορισμών
ανάπτυξη γραμμικού αλγορίθμου και εφαρμογή του σε υπολογιστή
σύνταξη και επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων
αναζήτηση μιας γραμμικής τροχιάς ανάπτυξης μιας διαδικασίας που περιγράφεται από ένα δεδομένο σύστημα περιορισμών.
17. Περιοχή εφικτών λύσεων στο πρόβλημα του γραμμικού προγραμματισμού δεν μπορώμοιάζει με αυτό:
18. Η αντικειμενική συνάρτηση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να είναι η συνάρτηση:
φά=12x1+20x2–3 0x3→ελάχ
φά= →ελάχ
φά=→Μέγιστη
φά=→Μέγιστη.
19. Το σύστημα περιορισμών για ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να είναι το σύστημα:
20. Η περιοχή των εφικτών λύσεων στο πρόβλημα του γραμμικού προγραμματισμού έχει τη μορφή:
φά(Χ 1, Χ 2)= 3Χ 1 + 5Χ 2 ίσον...
21. Η περιοχή των εφικτών λύσεων σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού έχει τη μορφή:
Στη συνέχεια, η μέγιστη τιμή της συνάρτησης φά(Χ 1, Χ 2)= 5Χ 1 + 3Χ 2 ίσον...
22. Η περιοχή των εφικτών λύσεων στο πρόβλημα του γραμμικού προγραμματισμού έχει τη μορφή:
Στη συνέχεια, η μέγιστη τιμή της συνάρτησης φά(Χ 1, Χ 2)= 2Χ 1 - 2Χ 2 ίσον...
23. Η περιοχή των εφικτών λύσεων στο πρόβλημα του γραμμικού προγραμματισμού έχει τη μορφή:
φά(Χ 1, Χ 2)= 2Χ 1 - 2Χ 2 ίσον...
24. Η περιοχή των εφικτών λύσεων στο πρόβλημα του μη γραμμικού προγραμματισμού έχει τη μορφή:
Στη συνέχεια, η μέγιστη τιμή της συνάρτησης φά(Χ 1, Χ 2)= Χ 2 – Χ 12 ίσον...
25. Μέγιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης φά(Χ 1, Χ 2)= 5Χ 1 + 2Χ 2 με περιορισμούς
Χ 1 + Χ 2 ≤ 6,
Χ 1 ≤ 4,
Χ 1 ≥ 0, Χ 2 ≥ 0, ισούται με...
26. Μια μικρή επιχείρηση παράγει δύο είδη προϊόντων. Η παραγωγή ενός προϊόντος τύπου Α απαιτεί 2 κιλά πρώτων υλών και η παραγωγή ενός προϊόντος τύπου Β απαιτεί 1 κιλό. Συνολικά υπάρχουν 60 κιλά πρώτων υλών. Απαιτείται η κατάρτιση σχεδίου παραγωγής που να εξασφαλίζει την είσπραξη των μεγαλύτερων εσόδων εάν η τιμή πώλησης ενός προϊόντος τύπου Α είναι 3 c.u., τύπου B - 1 c.u. Δηλαδή, δεν απαιτούνται περισσότερα από 25 προϊόντα τύπου Α και όχι περισσότερα από 30 τύπου Β.
Αυτό το καθήκον είναι...
πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού
Το πρόβλημα λύνεται με τη μέθοδο δυναμικού προγραμματισμού
πρόβλημα προγραμματισμού δικτύου.
27. Μια μικρή επιχείρηση παράγει δύο είδη προϊόντων. Η παραγωγή ενός προϊόντος τύπου Α απαιτεί 2 κιλά πρώτων υλών και η παραγωγή ενός προϊόντος τύπου Β απαιτεί 1 κιλό. Συνολικά υπάρχουν 60 κιλά πρώτων υλών. Απαιτείται η κατάρτιση σχεδίου παραγωγής που να εξασφαλίζει την είσπραξη των μεγαλύτερων εσόδων εάν η τιμή πώλησης ενός προϊόντος τύπου Α είναι 3 c.u., τύπου B - 1 c.u. Δηλαδή, δεν απαιτούνται περισσότερα από 25 προϊόντα τύπου Α και όχι περισσότερα από 30 τύπου Β.
Η αντικειμενική συνάρτηση αυτού του προβλήματος είναι η συνάρτηση...
φά(x1,x2)=3x1+x2→Μέγιστη
φά(x1,x2)=25x1+30Χ2→Μέγιστη
φά(x1,x2)=2x1+x2→Μέγιστη
φά(x1,x2)=60 -2x1 - x2→ελάχ
28. Μια μικρή επιχείρηση παράγει δύο είδη προϊόντων. Η παραγωγή ενός προϊόντος τύπου Α απαιτεί 2 κιλά πρώτων υλών και η παραγωγή ενός προϊόντος τύπου Β απαιτεί 1 κιλό. Συνολικά υπάρχουν 60 κιλά πρώτων υλών. Απαιτείται η κατάρτιση σχεδίου παραγωγής που να εξασφαλίζει την είσπραξη των μεγαλύτερων εσόδων εάν η τιμή πώλησης ενός προϊόντος τύπου Α είναι 3 c.u., τύπου B - 1 c.u. ε., και τα προϊόντα του τύπου Α πρέπει να παράγονται όχι περισσότερα από 25 και του τύπου Β - όχι περισσότερα από 30
Ένα έγκυρο σχέδιο για αυτήν την εργασία είναι το σχέδιο:
X=(20, 20)
X=(25, 15)
X=(20, 25)
X=(30, 10)
29. Σε δύο σημεία Α1 και Α2 υπάρχουν 60 και 160 μονάδες εμπορευμάτων, αντίστοιχα. Όλα τα εμπορεύματα πρέπει να μεταφέρονται στα σημεία Β1, Β2, Β3 σε ποσότητες 80, 70 και 70 μονάδων, αντίστοιχα. Ο πίνακας τιμολογίων έχει ως εξής: . Προγραμματίστε τη μεταφορά σας έτσι ώστε το κόστος της να είναι ελάχιστο.
Αυτό το καθήκον είναι...
έργο μεταφοράς
πρόβλημα μη γραμμικού προγραμματισμού
πρόβλημα ταξιδιώτη πωλητή
πρόβλημα ανάθεσης
30. Σε δύο σημεία Α1 και Α2 υπάρχουν 60 και 160 μονάδες εμπορευμάτων, αντίστοιχα. Όλα τα εμπορεύματα πρέπει να μεταφέρονται στα σημεία Β1, Β2, Β3 σε ποσότητες 80, 70 και 70 μονάδων, αντίστοιχα. Ο πίνακας τιμολογίων έχει ως εξής: . Προγραμματίστε τη μεταφορά σας έτσι ώστε το κόστος της να είναι ελάχιστο
Το βασικό σχέδιο για αυτήν την εργασία είναι το σχέδιο:
;
31. Σε δύο σημεία Α1 και Α2 υπάρχουν 60 και 160 μονάδες εμπορευμάτων, αντίστοιχα. Όλα τα εμπορεύματα πρέπει να μεταφέρονται στα σημεία Β1, Β2, Β3 σε ποσότητες 80, 70 και 70 μονάδων, αντίστοιχα. Ο πίνακας τιμολογίων έχει ως εξής: . Προγραμματίστε τη μεταφορά σας έτσι ώστε το κόστος της να είναι ελάχιστο.
Η αντικειμενική συνάρτηση αυτού του προβλήματος είναι η συνάρτηση:
φά=4x11+6x12+ 8x13+5x21+8x22+7x23→ελάχ
φά= →ελάχ
φά=60x1+160x2+ 80x3+70x4+705 →Μέγιστη
φά=60x1+160x2– 80x3– 70x4– 705 →ελάχ
32. Σε δύο σημεία Α1 και Α2 υπάρχουν 60 και 160 μονάδες εμπορευμάτων, αντίστοιχα. Όλα τα εμπορεύματα πρέπει να μεταφέρονται στα σημεία Β1, Β2, Β3 σε ποσότητες 80, 70 και 70 μονάδων, αντίστοιχα. Ο πίνακας τιμολογίων έχει ως εξής: . Προγραμματίστε τη μεταφορά σας έτσι ώστε το κόστος της να είναι ελάχιστο.
Το βέλτιστο σχέδιο για αυτό το πρόβλημα είναι το σχέδιο:
;
.
;
;
33. Πρόβλημα μεταφοράς
θα κλείσει αν...
34. Πρόβλημα μεταφοράς
είναι…
Άνοιξε
κλειστό
άλυτο
35. Πρόβλημα μεταφοράς
είναι…
κλειστό
Άνοιξε
άλυτο
36. Για να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα μεταφοράς
πρέπει να μπει...
πλασματικός καταναλωτής
πλασματικός προμηθευτής?
αποτελεσματικό τιμολόγιο
37. Για να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα μεταφοράς
πρέπει να μπει...
πλασματικός προμηθευτής?
πλασματικός καταναλωτής
αποτελεσματικό τιμολόγιο
πραγματικό επιτόκιο.
38. Μεταξύ αυτών των εργασιών μεταφοράς
είναι κλειστά...
39. Το αρχικό σχέδιο αναφοράς για ένα μεταφορικό πρόβλημα μπορεί να καταρτιστεί...
όλες τις παραπάνω μεθόδους
μέθοδος βορειοδυτικής γωνίας
μέθοδος ελάχιστης χρέωσης
μέθοδος διπλής προτίμησης
Μέθοδος προσέγγισης Vogel
40. Εάν η αντικειμενική συνάρτηση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού οριστεί στο μέγιστο, τότε... η αντικειμενική συνάρτηση ενός διπλού προβλήματος ορίζεται στο ελάχιστο
Δεν υπάρχει συνάρτηση στόχου στο διπλό πρόβλημα
το διπλό πρόβλημα δεν έχει λύσεις
το διπλό πρόβλημα έχει άπειρες λύσεις
41. Δεδομένου ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού:
φά(Χ 1, Χ 2)= 2Χ 1 + 7Χ 2 → Μέγιστη,
2Χ 1 + 3Χ 2 ≤ 14,
Χ 1 + Χ 2 ≤ 8,
Χ 1 ≥ 0, Χ 2 ≥ 0.
Το διπλό για αυτό το πρόβλημα είναι το εξής...
ΦΑ*(y1, y2)= 14y1 + 8y2 → ελάχ,
3 ετών 1 + y2 ³ 7,
y 1 ≥ 0, y2 ≥ 0.
ΦΑ*(y1, y2)= 2y1 + 7y2 → ελάχ,
2y1 + 3y2 ³ 14,
y 1 + y2 ³ 8,
y 1 £ 0, y2 £ 0.
ΦΑ*(y1, y2)= 2y1 + 7y2 → ελάχ,
3 y 1 + y2 ³ 7,
y 1 £ 0, y2 £ 0.
ΦΑ*(y1, y2)= 14y1 + 8y2 → ελάχ,
y 1 + y2 ³ 7,
y 1 ≥ 0, y2 ≥ 0.
42. Εάν ένα από ένα ζευγάρι διπλών προβλημάτων έχει ένα βέλτιστο σχέδιο, τότε...
και το άλλο έχει ένα βέλτιστο σχέδιο
ο άλλος δεν έχει βέλτιστο σχέδιο
ο άλλος δεν έχει εφικτές λύσεις
43. Εάν ένα από ένα ζευγάρι διπλών προβλημάτων έχει ένα βέλτιστο σχέδιο, τότε...
και το άλλο έχει ένα βέλτιστο σχέδιο και οι τιμές των αντικειμενικών συναρτήσεων με τα βέλτιστα σχέδια τους είναι ίσες μεταξύ τους
και το άλλο έχει ένα βέλτιστο σχέδιο, αλλά οι τιμές των αντικειμενικών συναρτήσεων για τα βέλτιστα σχέδιά τους δεν είναι ίσες μεταξύ τους
ένα άλλο πρόβλημα μπορεί να μην έχει βέλτιστο σχέδιο, αλλά να έχει εφικτές λύσεις
44. Εάν η αντικειμενική συνάρτηση ενός από ένα ζεύγος διπλών προβλημάτων δεν είναι περιορισμένη (για το μέγιστο πρόβλημα – από πάνω, για το ελάχιστο πρόβλημα – από κάτω), τότε
η άλλη εργασία δεν έχει έγκυρα σχέδια
ένα άλλο πρόβλημα έχει εφικτά σχέδια αλλά δεν έχει βέλτιστο σχέδιο
η αντικειμενική λειτουργία της άλλης εργασίας είναι επίσης απεριόριστη
45. Κατά την επίλυση ορισμένων προβλημάτων μη γραμμικού προγραμματισμού,...
Μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange
Γκαουσιανή μέθοδος
Μέθοδος προσέγγισης Vogel
Μέθοδος Gomori
46. Δίνεται ένα πρόβλημα μη γραμμικού προγραμματισμού
φά(Χ 1, Χ 2)= Χ 12 + Χ 22 → Μέγιστη,
Χ 1 + Χ 2 =6,
Χ 1 ≥ 0, Χ 2 ≥ 0.
φά(Χ 1, Χ 2) …
μη προσβάσιμο (+ ¥)
47. Δίνεται πρόβλημα μη γραμμικού προγραμματισμού
φά(Χ 1, Χ 2)= Χ 12 + Χ 22 → Μσε,
Χ 1 + Χ 2 =6,
Χ 1 ≥ 0, Χ 2 ≥ 0.
φά(Χ 1, Χ 2) …
48. Δίνεται πρόβλημα μη γραμμικού προγραμματισμού
φά(Χ 1, Χ 2)= Χ 12 + Χ 22 → Μέγιστη,
Χ 1 + Χ 2 =6,
Χ 1, Χ 2 - οποιοδήποτε.
Η μεγαλύτερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης φά(Χ 1, Χ 2) …
μη προσβάσιμο (+ ¥)
49. Δίνεται πρόβλημα μη γραμμικού προγραμματισμού
φά(Χ 1, Χ 2)= Χ 12 + Χ 22 → Μσε,
Χ 1 + Χ 2 =6,
Χ 1, Χ 2 - οποιοδήποτε.
Ελάχιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης φά(Χ 1, Χ 2) …
μη προσβάσιμο (- ¥)
50. Η περιοχή των εφικτών λύσεων σε ένα πρόβλημα μη γραμμικού προγραμματισμού έχει τη μορφή:
Στη συνέχεια, η μέγιστη τιμή της συνάρτησης φά(Χ 1, Χ 2)= Χ 12 +Χ 22 ισούται...
51. Η περιοχή των εφικτών λύσεων σε ένα πρόβλημα μη γραμμικού προγραμματισμού έχει τη μορφή:
Τότε η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης φά(Χ 1, Χ 2)= Χ 12 +Χ 22 ισούται...
52. Για την επίλυση ενός προβλήματος μεταφοράς, μπορεί να χρησιμοποιηθεί...
πιθανή μέθοδος
Μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange
Γκαουσιανή μέθοδος
μέθοδος αποπροσανατολισμού
53. Στο σύστημα περιορισμών ενός γενικού προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού...
54. Στο σύστημα περιορισμών ενός τυπικού (συμμετρικού) προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού...
μόνο ανισότητες μπορούν να υπάρχουν
μπορεί να υπάρχουν τόσο εξισώσεις όσο και ανισότητες
μόνο εξισώσεις μπορούν να υπάρχουν
55. Στο σύστημα περιορισμών του προβλήματος κανονικού (κύριου) γραμμικού προγραμματισμού...
μπορούν να υπάρχουν μόνο εξισώσεις (υπό την προϋπόθεση ότι οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές)
Μπορούν να υπάρχουν μόνο ανισότητες (υπό την προϋπόθεση ότι οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές)
Μπορεί να υπάρχουν τόσο εξισώσεις όσο και ανισότητες (υπό την προϋπόθεση ότι οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές)
56. Πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού
φά(Χ 1, Χ 2)= 2Χ 1 + 7Χ 2 → Μέγιστη,
2Χ 1 + 3Χ 2 ≤ 14,
Χ 1 + Χ 2 ≤ 8,
Χ 1 ≥ 0, Χ 2 ≥ 0.
καταγράφηκε σε...
τυπική (συμμετρική) μορφή
κανονική (βασική) μορφή
λεκτική μορφή
57. Για να καταγράψετε μια εργασία
φά(Χ 1, Χ 2)= 2Χ 1 + 7Χ 2 → Μέγιστη,
2Χ 1 + 3Χ 2 ≤ 14,
Χ 1 + Χ 2 ≤ 8,
Χ 1 ≥ 0, Χ 2 ≥ 0.
σε κανονική μορφή...
58. Για να καταγράψετε μια εργασία
φά(Χ 1, Χ 2)= 2Χ 1 + 7Χ 2 → Μέγιστη,
2Χ 1 + 3Χ 2 ≤ 14,
Χ 1 + Χ 2 ≤ 8,
Χ 1 + 4Χ 2 ≥ 10,
Χ 1 ≥ 0, Χ 2 ≥ 0.
σε κανονική μορφή...
πρέπει να εισαχθούν τρεις επιπλέον μη αρνητικές μεταβλητές
είναι απαραίτητο να εισαχθούν δύο επιπλέον μη αρνητικές μεταβλητές
πρέπει να εισαχθούν τέσσερις επιπλέον μη αρνητικές μεταβλητές
59. Για να καταγράψετε μια εργασία
φά(Χ 1, Χ 2)= 2Χ 1 + 7Χ 2 → Μέγιστη,
2Χ 1 + 3Χ 2 = 14,
Χ 1 + Χ 2 ≤ 8,
Χ 1 + 4Χ 2 ≥ 10,
Χ 1 ≥ 0, Χ 2 ≥ 0.
σε κανονική μορφή...
είναι απαραίτητο να εισαχθούν δύο επιπλέον μη αρνητικές μεταβλητές
πρέπει να εισαχθούν τρεις επιπλέον μη αρνητικές μεταβλητές
πρέπει να εισαχθούν τέσσερις επιπλέον μη αρνητικές μεταβλητές
πρέπει να εισαχθούν πέντε επιπλέον μη αρνητικές μεταβλητές
60. Κατά την επίλυση προβλημάτων προγραμματισμού ακεραίων, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει...
Μέθοδος Gomori
Μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange
Γκαουσιανή μέθοδος
Μέθοδος προσέγγισης Vogel
61. Η βάση για την επίλυση προβλημάτων με τη χρήση της μεθόδου δυναμικού προγραμματισμού είναι...
Η αρχή του ξυραφιού του Occam
η αρχή του «δόντι αντί για δόντι, οφθαλμός αντί οφθαλμού»
Αρχή Heisenberg
62. Μια κατάσταση στην οποία τα κόμματα των οποίων τα συμφέροντα αντιτίθενται πλήρως ή εν μέρει ονομάζεται...
(σύγκρουση, σύγκρουση, σύγκρουση, σύγκρουση)
63. Μια πραγματική ή επίσημη σύγκρουση στην οποία υπάρχουν τουλάχιστον δύο συμμετέχοντες (παίκτες), ο καθένας από τους οποίους προσπαθεί να επιτύχει τους δικούς του στόχους, ονομάζεται ...
(παιχνίδι, παιχνίδι)
64. Οι επιτρεπόμενες ενέργειες κάθε παίκτη που αποσκοπούν στην επίτευξη ενός συγκεκριμένου στόχου ονομάζονται...
(κανόνες παιχνιδιού, κανόνες παιχνιδιού)
65. Η ποσοτική αξιολόγηση των αποτελεσμάτων ενός παιχνιδιού ονομάζεται...
(πληρωμή, πληρωμή, πληρωμή)
66. Αν στο παιχνίδι συμμετέχουν μόνο δύο μέρη (δύο άτομα), τότε το παιχνίδι ονομάζεται...
(διπλό, διπλό, παιχνίδι διπλών, παιχνίδι διπλών)
67. Αν σε ένα παιχνίδι διπλού το άθροισμα των πληρωμών είναι μηδέν, δηλαδή η απώλεια του ενός παίκτη ισούται με το κέρδος του άλλου, τότε το παιχνίδι λέγεται παιχνίδι...
(μηδενικό άθροισμα)
68. Μια ξεκάθαρη περιγραφή της επιλογής ενός παίκτη σε καθεμία από τις πιθανές καταστάσεις στις οποίες πρέπει να κάνει μια προσωπική κίνηση ονομάζεται..
(στρατηγική παίκτη, στρατηγική παίκτη, στρατηγική, στρατηγική)
69. Εάν, όταν το παιχνίδι επαναλαμβάνεται πολλές φορές, μια στρατηγική παρέχει στον παίκτη τη μέγιστη δυνατή μέση νίκη (ελάχιστη δυνατή μέση απώλεια), τότε μια τέτοια στρατηγική ονομάζεται ...
(βέλτιστη, βέλτιστη, βέλτιστη στρατηγική, βέλτιστη στρατηγική)
70. Έστω a η χαμηλότερη τιμή και b η ανώτερη τιμή ενός παιχνιδιού μηδενικών ζευγών. Τότε η δήλωση είναι αληθινή...
71. Έστω a η χαμηλότερη τιμή και b η ανώτερη τιμή ενός παιχνιδιού μηδενικών ζευγών. Αν a = b = v, τότε ο αριθμός v ονομάζεται...
με το κόστος του παιχνιδιού
σημείο ισορροπίας
βέλτιστη στρατηγική
μικτή στρατηγική
72. Έστω a η χαμηλότερη τιμή και b η ανώτερη τιμή ενός παιχνιδιού μηδενικών ζευγών. Αν a = b, τότε το παιχνίδι ονομάζεται...
παιχνίδι πόντων σέλας
άλυτη σύγκρουση
ένα παιχνίδι χωρίς κανόνες
73. Ένα διάνυσμα, καθένα από τα συστατικά του οποίου δείχνει τη σχετική συχνότητα χρήσης της αντίστοιχης καθαρής στρατηγικής από τον παίκτη, ονομάζεται ...
μικτή στρατηγική
οδηγός διάνυσμα
κανονικό διάνυσμα
βαθμίδα
74. Η χαμηλότερη τιμή ενός παιχνιδιού matrix που δίνεται από τη μήτρα πληρωμής είναι...
Πιο χαμηλότερη τιμή
ίση με τη χαμηλότερη τιμή
δεν υπάρχει
81. Παιχνίδι Matrix που δίνεται από τη μήτρα πληρωμής, ...
έχει σημείο σέλας
δεν έχει σημείο σέλας
όχι ένα ζευγάρι
82. Η τιμή ενός παιχνιδιού που δίνεται από τη μήτρα πληρωμής είναι…
83. Παιχνίδι Matrix που δίνεται από τη μήτρα πληρωμής, ...
είναι ένα χαμάμ
έχει σημείο σέλας
όχι ένα ζευγάρι
84. Ένα παιχνίδι ζευγών μηδενικού αθροίσματος, που δίνεται από τον πίνακα πληρωμών του, μπορεί να μειωθεί σε...
πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού
πρόβλημα μη γραμμικού προγραμματισμού
ακέραιο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού
κλασικό πρόβλημα βελτιστοποίησης
85. Η χαμηλότερη τιμή ενός παιχνιδιού matrix που δίνεται από τη μήτρα πληρωμής είναι...
Πιο χαμηλότερη τιμή
ίση με τη χαμηλότερη τιμή
δεν υπάρχει
92. Παιχνίδι Matrix που δίνεται από τη μήτρα πληρωμής, ...
δεν έχει σημείο σέλας
έχει σημείο σέλας
όχι ένα ζευγάρι
93. Η τιμή του παιχνιδιού, που δίνεται από τον πίνακα πληρωμών, είναι εντός των ορίων...
94. Εάν σε μια ροή γεγονότων τα γεγονότα διαδέχονται το ένα το άλλο σε προκαθορισμένα και αυστηρά καθορισμένα χρονικά διαστήματα, τότε μια τέτοια ροή ονομάζεται ...
τακτικός
διοργάνωσε
95. Εάν η πιθανότητα οποιουδήποτε αριθμού γεγονότων να εμπίπτουν σε ένα χρονικό διάστημα εξαρτάται μόνο από τη διάρκεια αυτού του διαστήματος και δεν εξαρτάται από το πόσο μακριά βρίσκεται αυτό το διάστημα από την αρχή του χρόνου, τότε η αντίστοιχη ροή γεγονότων ονομάζεται:
ακίνητος
ροή χωρίς συνέπειες
το πιο απλό
Poisson
96. Εάν ο αριθμός των γεγονότων που εμπίπτουν σε ένα από τα αυθαίρετα επιλεγμένα χρονικά διαστήματα δεν εξαρτάται από τον αριθμό των γεγονότων που εμπίπτουν σε ένα άλλο, επίσης αυθαίρετα επιλεγμένο χρονικό διάστημα, με την προϋπόθεση ότι αυτά τα διαστήματα δεν τέμνονται, τότε η αντίστοιχη ροή γεγονότων καλείται ...
ροή χωρίς συνέπειες
τακτικός
ενδεικτικός
κανονικός
97. Εάν η πιθανότητα δύο ή περισσότερων γεγονότων να συμβούν ταυτόχρονα σε πολύ σύντομο χρονικό διάστημα είναι αμελητέα σε σύγκριση με την πιθανότητα να συμβεί μόνο ένα γεγονός, τότε η αντίστοιχη ροή γεγονότων ονομάζεται...
συνήθης
έκτακτος
κανονικός
Poisson
98. Εάν μια ροή γεγονότων έχει ταυτόχρονα τις ιδιότητες της σταθερότητας, της συνηθισμένης και της απουσίας συνεπειών, τότε ονομάζεται:
απλούστερο (Poisson)
κανονικός
99. Το μονοκάναλο QS με βλάβες είναι ένας καθημερινός σταθμός συντήρησης για το πλύσιμο αυτοκινήτων. Μια αίτηση - ένα αυτοκίνητο που φτάνει σε μια στιγμή που η θέση είναι κατειλημμένη - απορρίπτεται η εξυπηρέτηση. Ένταση ροής αυτοκινήτου λ=1,0 (αυτοκίνητο ανά ώρα). Η μέση διάρκεια υπηρεσίας είναι 1,8 ώρες. Η ροή του αυτοκινήτου και η ροή υπηρεσιών είναι τα πιο απλά. Στη συνέχεια σε σταθερή κατάσταση η σχετική απόδοση qίσος...
100. Το μονοκάναλο QS με βλάβες είναι ένας καθημερινός σταθμός συντήρησης για το πλύσιμο αυτοκινήτων. Μια αίτηση - ένα αυτοκίνητο που φτάνει σε μια στιγμή που η θέση είναι κατειλημμένη - απορρίπτεται η εξυπηρέτηση. Ένταση ροής αυτοκινήτου λ=1,0 (αυτοκίνητο ανά ώρα). Η μέση διάρκεια υπηρεσίας είναι 1,8 ώρες. Η ροή του αυτοκινήτου και η ροή υπηρεσιών είναι τα πιο απλά. Τότε, στη σταθερή κατάσταση, το ποσοστό των αυτοκινήτων που λαμβάνουν άρνηση σέρβις ισούται με...