Συμβολίζουμε κάθε σειρά του πίνακα A e i = (a i 1 a i 2 ..., a in) (για παράδειγμα,
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n), κ.λπ.). Κάθε ένα από αυτά είναι ένας πίνακας γραμμών που μπορεί να πολλαπλασιαστεί με έναν αριθμό ή να προστεθεί σε μια άλλη γραμμή κατά γενικοί κανόνεςενέργειες με πίνακες.
Γραμμικός συνδυασμόςτων συμβολοσειρών e l , e 2 ,...e k είναι το άθροισμα των γινομένων αυτών των συμβολοσειρών με αυθαίρετους πραγματικούς αριθμούς:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k , όπου l l , l 2 ,..., l k είναι αυθαίρετοι αριθμοί (γραμμικοί συντελεστές συνδυασμού).
Οι σειρές μήτρας e l , e 2 ,...e m ονομάζονται γραμμικά εξαρτώμενη, εάν υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί l l , l 2 ,..., l m , οι οποίοι δεν είναι ταυτόχρονα ίσοι με μηδέν, έτσι ώστε ο γραμμικός συνδυασμός των σειρών του πίνακα να είναι ίσος με τη μηδενική σειρά:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, όπου 0 = (0 0...0).
Η γραμμική εξάρτηση των σειρών του πίνακα σημαίνει ότι τουλάχιστον μία σειρά του πίνακα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων. Πράγματι, έστω, για βεβαιότητα, ο τελευταίος συντελεστής l m ¹ 0. Στη συνέχεια, διαιρώντας και τις δύο πλευρές της ισότητας με l m, λαμβάνουμε μια έκφραση για την τελευταία σειρά ως γραμμικό συνδυασμό των υπόλοιπων σειρών:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1.
Εάν ένας γραμμικός συνδυασμός σειρών είναι μηδέν εάν και μόνο εάν όλοι οι συντελεστές είναι μηδέν, δηλ. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, τότε οι ευθείες ονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητη.
Θεώρημα κατάταξης πίνακα. Η κατάταξη ενός πίνακα ισούται με τον μέγιστο αριθμό των γραμμικά ανεξάρτητων σειρών ή στηλών του, σύμφωνα με τον οποίο μπορούν να εκφραστούν γραμμικά όλες οι άλλες σειρές ή στήλες του.
Ας αποδείξουμε αυτό το θεώρημα. Έστω ένας m x n πίνακας A έχει κατάταξη r (r(A) £ min (m; n)). Επομένως, υπάρχει μια μη μηδενική ελάσσονα τάξης r. Κάθε τέτοιο ανήλικο θα κληθεί βασικός. Ας είναι αυτό ένα δευτερεύον για βεβαιότητα
Θα κληθούν επίσης οι σειρές αυτού του ανηλίκου βασικός.
Ας αποδείξουμε ότι τότε οι σειρές του πίνακα e l , e 2 ,...e r είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Υποθέστε το αντίθετο, δηλ. μία από αυτές τις σειρές, για παράδειγμα, η rη σειρά, είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Τότε, αν αφαιρέσουμε από r-ο στοιχείαΣτοιχεία σειράς της 1ης σειράς πολλαπλασιασμένα επί l l , στοιχεία της 2ης σειράς πολλαπλασιασμένα επί l 2 , κ.λπ., τέλος, τα στοιχεία της (r-1)ης σειράς πολλαπλασιασμένα επί l r-1 , τότε rth σειράθα γίνει μηδέν. Ταυτόχρονα, σύμφωνα με τις ιδιότητες της ορίζουσας, η παραπάνω ορίζουσα δεν θα πρέπει να αλλάζει, και ταυτόχρονα θα πρέπει να είναι ίση με το μηδέν. Λαμβάνεται μια αντίφαση, αποδεικνύεται η γραμμική ανεξαρτησία των χορδών.
Ας αποδείξουμε τώρα ότι οποιεσδήποτε (r+1) σειρές μήτρας εξαρτώνται γραμμικά, δηλ. οποιαδήποτε συμβολοσειρά μπορεί να εκφραστεί με όρους βασικών συμβολοσειρών.
Ας συμπληρώσουμε το ελάσσονα που θεωρήθηκε προηγουμένως με μία ακόμη σειρά (i-η) και μία ακόμη στήλη (j-th). Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε μια ελάσσονα της τάξης (r+1) ου, η οποία, εξ ορισμού της κατάταξης, ισούται με μηδέν.
πού είναι κάποιοι αριθμοί (μερικοί ή και όλοι αυτοί οι αριθμοί μπορεί να είναι ίσοι με μηδέν). Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν οι ακόλουθες ισότητες μεταξύ των στοιχείων των στηλών:
Από την (3.3.1) προκύπτει ότι
Εάν η ισότητα (3.3.3) είναι αληθής αν και μόνο αν , τότε οι σειρές ονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητες. Η σχέση (3.3.2) δείχνει ότι εάν μία από τις σειρές εκφράζεται γραμμικά ως προς τις άλλες, τότε οι σειρές εξαρτώνται γραμμικά.
Είναι επίσης εύκολο να δούμε το αντίθετο: αν οι σειρές εξαρτώνται γραμμικά, τότε υπάρχει μια σειρά που είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των άλλων σειρών.
Έστω, για παράδειγμα, στο (3.3.3) , τότε 
.
Ορισμός. Ας επιλεγεί κάποια ελάσσονα της rth τάξης στον πίνακα A και αφήστε την ελάσσονα της τάξης (r + 1) της ίδιας μήτρας να περιέχει πλήρως την ελάσσονα μέσα σε αυτόν. Θα πούμε ότι σε αυτή την περίπτωση η ελάσσονα συνορεύει με την ελάσσονα (ή είναι οριοθετημένη για ).
Αποδεικνύουμε τώρα ένα σημαντικό λήμμα.
Λήμμασχετικά με τους συνοριακούς ανηλίκους. Αν η ελάσσονα τάξης r του πίνακα A= είναι μη μηδενική και όλες οι δευτερεύουσες που συνορεύουν με αυτό είναι ίσες με μηδέν, τότε οποιαδήποτε σειρά (στήλη) του πίνακα A είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των σειρών (στήλων) του που αποτελούν .
Απόδειξη. Χωρίς να παραβιάσουμε τη γενικότητα του συλλογισμού, θα υποθέσουμε ότι ένα μη μηδενικό δευτερεύον της rης τάξης βρίσκεται στα αριστερά πάνω γωνίαπίνακες A=:
.
Για τις πρώτες k σειρές του πίνακα A, η δήλωση του λήμματος είναι προφανής: αρκεί να συμπεριλάβουμε στον γραμμικό συνδυασμό την ίδια σειρά με συντελεστή ίσο με ένα και τις υπόλοιπες με συντελεστές ίσους με μηδέν.
Τώρα αποδεικνύουμε ότι οι υπόλοιπες σειρές του πίνακα Α εκφράζονται γραμμικά ως προς τις πρώτες k σειρές. Για να γίνει αυτό, κατασκευάζουμε ένα δευτερεύον της τάξης (r + 1) προσθέτοντας την kth σειρά () στο δευτερεύον και μεγάλο-η στήλη():
.
Το δευτερεύον που προκύπτει είναι μηδέν για όλα τα k και l. Αν , τότε ισούται με μηδέν καθώς περιέχει δύο ίδιες στήλες. Αν , τότε η ελάσσονα που προκύπτει είναι η συνοριακή ελάσσονα για και, επομένως, ισούται με μηδέν από την υπόθεση του λήμματος.
Ας επεκτείνουμε το δευτερεύον ως προς τα στοιχεία του τελευταίου μεγάλο-η στήλη:
Υποθέτοντας, παίρνουμε:
 | (3.3.6) |
Η έκφραση (3.3.6) σημαίνει ότι k-η γραμμήΟ πίνακας Α εκφράζεται γραμμικά μέσω των πρώτων r σειρών.
Δεδομένου ότι οι τιμές των δευτερευόντων του δεν αλλάζουν όταν μεταφέρεται ένας πίνακας (λόγω της ιδιότητας των οριζόντιων παραγόντων), όλα όσα αποδεικνύονται ισχύουν και για τις στήλες. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Συμπέρασμα I. Οποιαδήποτε σειρά (στήλη) ενός πίνακα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των βασικών του σειρών (στήλες). Πράγματι, το βασικό ελάσσονα του πίνακα διαφέρει από το μηδέν και όλα τα ελάσσονα που τον συνορεύουν είναι ίσα με μηδέν.
Συμπέρασμα II. Μια ορίζουσα νης τάξης είναι ίση με μηδέν εάν και μόνο εάν περιέχει γραμμικά εξαρτώμενες σειρές (στήλες). Η επάρκεια της γραμμικής εξάρτησης σειρών (στηλών) για την ισότητα της ορίζουσας προς το μηδέν αποδείχθηκε νωρίτερα ως ιδιότητα των οριζόντων.
Ας αποδείξουμε την αναγκαιότητα. Έστω ένας τετράγωνος πίνακας της νης τάξης, του οποίου η μόνη ελάσσονα είναι ίση με μηδέν. Από αυτό προκύπτει ότι η κατάταξη αυτού του πίνακα είναι μικρότερη από n, δηλ. υπάρχει τουλάχιστον μία σειρά που είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των βασικών σειρών αυτού του πίνακα.
Ας αποδείξουμε ένα ακόμη θεώρημα για την κατάταξη ενός πίνακα.
Θεώρημα.Ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων σειρών ενός πίνακα είναι ίσος με τον μέγιστο αριθμό των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών του και είναι ίσος με την κατάταξη αυτού του πίνακα.
Απόδειξη. Έστω η κατάταξη του πίνακα A= ίση με r. Τότε οποιαδήποτε από τις k σειρές βάσης του είναι γραμμικά ανεξάρτητη, διαφορετικά η δευτερεύουσα βάση θα ήταν ίση με μηδέν. Από την άλλη πλευρά, οποιεσδήποτε r+1 ή περισσότερες σειρές εξαρτώνται γραμμικά. Υποθέτοντας το αντίθετο, θα μπορούσαμε να βρούμε μια μη μηδενική ελάσσονα τάξης μεγαλύτερη από το r από το συμπέρασμα 2 του προηγούμενου λήμματος. Το τελευταίο έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι η μέγιστη τάξη των μη μηδενικών δευτερευόντων είναι r. Όλα όσα έχουν αποδειχθεί για τις γραμμές ισχύουν και για τις στήλες.
Συμπερασματικά, παρουσιάζουμε μια ακόμη μέθοδο για την εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα. Η κατάταξη ενός πίνακα μπορεί να προσδιοριστεί βρίσκοντας ένα ελάσσονα μέγιστης τάξης που είναι διαφορετική από το μηδέν.
Με την πρώτη ματιά, αυτό απαιτεί έναν υπολογισμό, αν και πεπερασμένο, αλλά ίσως πολύ ένας μεγάλος αριθμόςανηλίκους αυτού του πίνακα.
Το παρακάτω θεώρημα επιτρέπει, ωστόσο, να γίνουν σημαντικές απλοποιήσεις.
Θεώρημα.Εάν η ελάσσονα του πίνακα Α είναι μη μηδενική και όλα τα ελάσσονα που τον συνορεύουν είναι ίσα με μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα είναι r.
Απόδειξη. Αρκεί να δείξουμε ότι οποιοδήποτε υποσύστημα σειρών μήτρας για S>r θα εξαρτάται γραμμικά υπό τις συνθήκες του θεωρήματος (από αυτό θα προκύψει ότι r είναι ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων σειρών μήτρας ή οποιαδήποτε από τις ελάσσονες σειρές του τάξης μεγαλύτερη από k είναι ίσα με μηδέν).
Ας υποθέσουμε το αντίθετο. Αφήστε τις σειρές να είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Με το λήμμα των συνοριακών ανηλίκων, καθένα από αυτά θα εκφράζεται γραμμικά ως προς τις σειρές στις οποίες βρίσκεται το δευτερεύον και οι οποίες, λόγω του γεγονότος ότι είναι διαφορετικό από το μηδέν, είναι γραμμικά ανεξάρτητες:
Τώρα εξετάστε τον ακόλουθο γραμμικό συνδυασμό:
ή
Χρησιμοποιώντας τα (3.3.7) και (3.3.8), λαμβάνουμε
,
που έρχεται σε αντίθεση με τη γραμμική ανεξαρτησία των χορδών.
Κατά συνέπεια, η υπόθεση μας είναι εσφαλμένη και, επομένως, οποιεσδήποτε σειρές S>r υπό τις συνθήκες του θεωρήματος είναι γραμμικά εξαρτημένες. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Εξετάστε τον κανόνα για τον υπολογισμό της κατάταξης ενός πίνακα - τη μέθοδο οριοθέτησης ανηλίκων, με βάση αυτό το θεώρημα.
Κατά τον υπολογισμό της κατάταξης ενός πίνακα, θα πρέπει κανείς να περάσει από ανηλίκους χαμηλότερης τάξης σε ανηλίκους υψηλότερης τάξης. Εάν έχει ήδη βρεθεί ένα μη μηδενικό δευτερεύον r-ης τάξης, τότε πρέπει να υπολογιστούν μόνο οι δευτερεύουσες (r+1)-th τάξης που συνορεύουν με το δευτερεύον. Εάν είναι μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα είναι r. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται επίσης εάν όχι μόνο υπολογίσουμε την κατάταξη του πίνακα, αλλά προσδιορίσουμε επίσης ποιες στήλες (γραμμές) αποτελούν το βασικό ελάσσονα του πίνακα.
Παράδειγμα. Υπολογίστε την κατάταξη ενός πίνακα με τη μέθοδο περιθωρίου ανηλίκων
Λύση. Το δευτερεύον δευτερεύον στοιχείο στην επάνω αριστερή γωνία του πίνακα Α είναι μη μηδενικό:
.
Ωστόσο, όλα τα ανήλικα τρίτης τάξης που το περιβάλλουν είναι ίσα με μηδέν:
 ;
|  ;
|
 ;
|  ;
|
 ;
|  .
|
Επομένως, η κατάταξη του πίνακα Α είναι ίση με δύο: .
Η πρώτη και η δεύτερη σειρά, η πρώτη και η δεύτερη στήλη σε αυτόν τον πίνακα είναι βασικές. Οι υπόλοιπες γραμμές και στήλες είναι οι γραμμικοί συνδυασμοί τους. Πράγματι, οι ακόλουθες ισότητες ισχύουν για τις χορδές:
Συμπερασματικά, σημειώνουμε την εγκυρότητα των ακόλουθων ιδιοτήτων:
1) η κατάταξη του γινομένου των πινάκων δεν είναι μεγαλύτερη από την κατάταξη καθενός από τους παράγοντες.
2) η κατάταξη του γινομένου ενός αυθαίρετου πίνακα A στα δεξιά ή στα αριστερά από έναν μη ενικό τετράγωνο πίνακα Q είναι ίση με την κατάταξη του πίνακα A.
Πολυωνυμικοί πίνακες
Ορισμός. Ένας πολυωνυμικός πίνακας ή -μήτρας είναι ένας ορθογώνιος πίνακας του οποίου τα στοιχεία είναι πολυώνυμα σε μία μεταβλητή με αριθμητικούς συντελεστές.
Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί μπορούν να πραγματοποιηθούν σε -πίνακες. Αυτά περιλαμβάνουν:
Μετάθεση δύο σειρών (στήλες).
Πολλαπλασιασμός μιας γραμμής (στήλης) με έναν μη μηδενικό αριθμό.
Προσθήκη σε μια σειρά (στήλη) άλλης σειράς (στήλη), πολλαπλασιαζόμενη με οποιοδήποτε πολυώνυμο.
Δύο πίνακες και ίδιου μεγέθους ονομάζονται ισοδύναμοι: εάν είναι δυνατό να περάσει από τον πίνακα στη χρήση πεπερασμένου αριθμού στοιχειωδών μετασχηματισμών.
Παράδειγμα. Να αποδείξετε την ισοδυναμία των πινάκων
 ,
|  .
|
1. Αλλάξτε την πρώτη και τη δεύτερη στήλη στον πίνακα:
.
2. Από τη δεύτερη γραμμή, αφαιρέστε την πρώτη, πολλαπλασιαζόμενη επί ():
.
3. Πολλαπλασιάστε τη δεύτερη σειρά με (-1) και σημειώστε ότι
.
4. Αφαιρούμε από τη δεύτερη στήλη την πρώτη, πολλαπλασιαζόμενη επί , παίρνουμε
.
Το σύνολο όλων των πινάκων δεδομένων μεγεθών χωρίζεται σε μη τέμνουσες κατηγορίες ισοδύναμων πινάκων. Πίνακες που είναι ισοδύναμοι μεταξύ τους σχηματίζουν μια κλάση, όχι ισοδύναμες - μια άλλη.
Κάθε κατηγορία ισοδύναμων πινάκων χαρακτηρίζεται από έναν κανονικό, ή κανονικό, -μήτρα δεδομένων διαστάσεων.
Ορισμός. Ο κανονικός, ή κανονικός, -μήτρας διαστάσεων είναι ο -μήτρας, ο οποίος έχει πολυώνυμα στην κύρια διαγώνιο, όπου p είναι ο μικρότερος από τους αριθμούς m και n ( 
), και πολυώνυμα που δεν είναι ίσα με μηδέν έχουν συντελεστές αιχμής ίσους με 1 και κάθε επόμενο πολυώνυμο διαιρείται με το προηγούμενο. Όλα τα στοιχεία έξω από την κύρια διαγώνιο είναι 0.
Από τον ορισμό προκύπτει ότι αν ανάμεσα στα πολυώνυμα υπάρχουν πολυώνυμα βαθμού μηδέν, τότε αυτά βρίσκονται στην αρχή της κύριας διαγωνίου. Εάν υπάρχουν μηδενικά, τότε βρίσκονται στο τέλος της κύριας διαγωνίου.
Ο πίνακας του προηγούμενου παραδείγματος είναι κανονικός. Μήτρα
επίσης κανονική.
Κάθε κλάση -matrix περιέχει μια μοναδική κανονική -μήτρα, δηλ. κάθε -μήτρας είναι ισοδύναμος με έναν απλό κανονικό πίνακα, ο οποίος ονομάζεται κανονική μορφή ή κανονική μορφή του δεδομένου πίνακα.
Τα πολυώνυμα στην κύρια διαγώνιο της κανονικής μορφής του δεδομένου πίνακα ονομάζονται αμετάβλητοι παράγοντες του δεδομένου πίνακα.
Μία από τις μεθόδους για τον υπολογισμό των αμετάβλητων παραγόντων είναι η αναγωγή του δεδομένου -μήτρας στην κανονική μορφή.
Έτσι, για τον πίνακα του προηγούμενου παραδείγματος, οι αμετάβλητοι παράγοντες είναι
Από όσα ειπώθηκαν προκύπτει ότι η παρουσία του ίδιου συνόλου αναλλοίωτων παραγόντων είναι απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για την ισοδυναμία των -πίνακες.
Η αναγωγή των πινάκων σε κανονική μορφή περιορίζεται στον ορισμό των αμετάβλητων παραγόντων
, ; ,
όπου r είναι η κατάταξη του πίνακα. - ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των δευτερευόντων k-ης τάξης, που λαμβάνεται με τον υψηλότερο συντελεστή ίσο με 1.
Παράδειγμα. Έστω -μήτρα
.
Λύση. Προφανώς, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης πρώτης τάξης, δηλ. .
Ορίζουμε ανηλίκους δεύτερης τάξης:
 ,
|  | και τα λοιπά. |
Ήδη αυτά τα στοιχεία είναι αρκετά για να βγάλουμε ένα συμπέρασμα: επομένως, .
Εμείς ορίζουμε
,
Συνεπώς, 
.
Έτσι, η κανονική μορφή αυτής της μήτρας είναι η ακόλουθη -μήτρα:
.
Ένα πολυώνυμο πίνακα είναι μια έκφραση της μορφής
πού είναι μια μεταβλητή? - τετράγωνοι πίνακες τάξης n με αριθμητικά στοιχεία.
Αν , τότε S ονομάζεται βαθμός του πολυωνύμου πίνακα, n είναι η τάξη του πολυωνύμου πίνακα.
Οποιοσδήποτε τετραγωνικός πίνακας μπορεί να αναπαρασταθεί ως πολυώνυμο πίνακα. Προφανώς, ισχύει και η αντίστροφη πρόταση, δηλ. οποιοδήποτε πολυώνυμο πίνακα μπορεί να αναπαρασταθεί ως τετράγωνος πίνακας.
Η εγκυρότητα αυτών των δηλώσεων προκύπτει σαφώς από τις ιδιότητες των πράξεων σε πίνακες. Ας δούμε τα ακόλουθα παραδείγματα:
Παράδειγμα. Να αναπαραστήσετε έναν πολυωνυμικό πίνακα
με τη μορφή πολυωνύμου πίνακα μπορεί να είναι ως εξής
.
Παράδειγμα. Πολυώνυμο μήτρας
μπορεί να αναπαρασταθεί ως ο ακόλουθος πολυωνυμικός πίνακας ( -μήτρας)
.
Αυτή η εναλλαξιμότητα πολυωνύμων πινάκων και πολυωνύμων πινάκων παίζει ουσιαστικό ρόλο στη μαθηματική συσκευή των μεθόδων ανάλυσης παραγόντων και συστατικών.
Τα πολυώνυμα μήτρας της ίδιας τάξης μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο τρόπο όπως τα συνηθισμένα πολυώνυμα με αριθμητικούς συντελεστές. Ωστόσο, θα πρέπει να θυμόμαστε ότι ο πολλαπλασιασμός των πολυωνύμων μήτρας, γενικά, δεν είναι ανταλλάξιμος, αφού Ο πολλαπλασιασμός μήτρας δεν είναι ανταλλάξιμος.
Δύο πολυώνυμα πίνακα ονομάζονται ίσα αν οι συντελεστές τους είναι ίσοι, δηλ. τους αντίστοιχους πίνακες για τις ίδιες δυνάμεις της μεταβλητής .
Το άθροισμα (διαφορά) δύο πολυωνύμων μήτρας είναι ένα πολυώνυμο πίνακα του οποίου ο συντελεστής σε κάθε βαθμό της μεταβλητής είναι ίσος με το άθροισμα (διαφορά) των συντελεστών στον ίδιο βαθμό στα πολυώνυμα και .
Για να πολλαπλασιάσετε ένα πολυώνυμο πίνακα με ένα πολυώνυμο πίνακα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε όρο του πολυωνύμου πίνακα με κάθε όρο του πολυωνύμου πίνακα, να προσθέσετε τα προκύπτοντα γινόμενα και να φέρετε παρόμοιους όρους.
Ο βαθμός ενός πολυωνύμου πίνακα είναι ένα γινόμενο μικρότερο ή ίσο με το άθροισμα των βαθμών των παραγόντων.
Οι πράξεις σε πολυώνυμα πινάκων μπορούν να εκτελεστούν χρησιμοποιώντας πράξεις στους αντίστοιχους πίνακες.
Για να προσθέσετε (αφαιρέσετε) πολυώνυμα μήτρας, αρκεί να προσθέσετε (αφαιρέσετε) τους αντίστοιχους -πίνακες. Το ίδιο ισχύει και για τον πολλαπλασιασμό. -πίνακας του γινομένου πολυωνύμων μήτρας είναι ίσος με το γινόμενο των -πίνακες παραγόντων.
 |  |
Από την άλλη πλευρά, και μπορεί να γραφτεί με τη μορφή
όπου B 0 είναι ένας μη ενικός πίνακας.
Κατά τη διαίρεση με, υπάρχει ένα μοναδικά καθορισμένο δεξιό πηλίκο και ένα δικαίωμα υπόλοιπο
όπου ο βαθμός R 1 είναι μικρότερος από τον βαθμό , ή (διαίρεση χωρίς υπόλοιπο), καθώς και το αριστερό πηλίκο και το αριστερό υπόλοιπο αν και μόνο αν, όπου, τάξη
Θεωρήστε έναν αυθαίρετο, όχι απαραίτητα τετράγωνο, πίνακα Α μεγέθους mxn.
Κατάταξη μήτρας.
Η έννοια της κατάταξης ενός πίνακα σχετίζεται με την έννοια της γραμμικής εξάρτησης (ανεξαρτησίας) σειρών (στήλων) ενός πίνακα. Σκεφτείτε αυτήν την έννοια για χορδές. Για τις στήλες είναι το ίδιο.
Να χαρακτηρίσετε τις καταβόθρες του πίνακα Α:
e 1 \u003d (a 11, a 12, ..., a 1n); e 2 \u003d (a 21, a 22, ..., a 2n); ..., e m \u003d (a m1, a m2, ..., a mn)
e k =e s εάν a kj =a sj , j=1,2,…,n
Αριθμητικές πράξειςπάνω από τις σειρές του πίνακα (πρόσθεση, πολλαπλασιασμός με έναν αριθμό) εισάγονται ως πράξεις που εκτελούνται στοιχείο προς στοιχείο: λе k =(ла k1 ,ла k2 ,…,ла kn);
e k +e s =[(а k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(а kn +a sn)].
Η γραμμή ε ονομάζεται γραμμικός συνδυασμόςσειρές e 1 , e 2 ,…,e k , αν είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων αυτών των σειρών με αυθαίρετους πραγματικούς αριθμούς:
e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k
Οι ευθείες e 1 , e 2 ,…,e m ονομάζονται γραμμικά εξαρτώμενη, αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί λ 1 , λ 2 ,…,λ m , όχι όλοι ίσοι με μηδέν, ότι ο γραμμικός συνδυασμός αυτών των σειρών είναι ίσος με τη μηδενική σειρά: λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ m e m = 0 ,όπου 0 =(0,0,…,0) (1)
Αν ο γραμμικός συνδυασμός είναι ίσος με μηδέν αν και μόνο αν όλοι οι συντελεστές λ i είναι ίσοι με μηδέν (λ 1 =λ 2 =…=λ m =0), τότε οι σειρές e 1 , e 2 ,…,e m ονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητη.
Θεώρημα 1. Για να εξαρτώνται γραμμικά οι συμβολοσειρές e 1 ,e 2 ,…,e m, είναι απαραίτητο και επαρκές μια από αυτές τις συμβολοσειρές να είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων συμβολοσειρών.
Απόδειξη. Χρειάζομαι. Έστω οι συμβολοσειρές e 1 , e 2 ,…,e m είναι γραμμικά εξαρτημένες. Ας, για βεβαιότητα, (1) λm ≠0, λοιπόν
Οτι. η συμβολοσειρά e m είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων χορδών. Ch.t.d.
Επάρκεια. Έστω μια από τις σειρές, για παράδειγμα e m , ένας γραμμικός συνδυασμός των άλλων σειρών. Στη συνέχεια, υπάρχουν αριθμοί τέτοιοι που να ισχύει η ισότητα, οι οποίοι μπορούν να ξαναγραφτούν ως ,
όπου τουλάχιστον 1 από τους συντελεστές, (-1), είναι μη μηδενικός. Εκείνοι. Οι σειρές εξαρτώνται γραμμικά. Ch.t.d.
Ορισμός. Μικρή k-η τάξηΟ πίνακας A μεγέθους mxn ονομάζεται ορίζουσα k-ης τάξης με στοιχεία που βρίσκονται στην τομή οποιωνδήποτε k σειρών και οποιωνδήποτε k στηλών του πίνακα A. (k≤min(m,n)). .
Παράδειγμα., ανήλικοι 1ης τάξης: =, =;
ανήλικοι 2ης τάξης: , 3ης τάξης
Ένας πίνακας 3ης τάξης έχει 9 δευτερεύοντα 1ης τάξης, 9 δευτερεύοντα δευτερεύοντα 2ης τάξης και 1 δευτερεύοντα 3ης τάξης (ο προσδιοριστικός παράγοντας αυτού του πίνακα).
Ορισμός. Κατάταξη μήτρας Αείναι η υψηλότερη τάξη των μη μηδενικών δευτερευόντων δευτερευόντων στοιχείων αυτού του πίνακα. Ονομασία - rgA ή r(A).
Ιδιότητες κατάταξης μήτρας.
1) η κατάταξη του πίνακα A nxm δεν υπερβαίνει τη μικρότερη από τις διαστάσεις του, δηλ.
r(A)≤min(m,n).
2) r(A)=0 όταν όλα τα στοιχεία του πίνακα είναι ίσα με 0, δηλ. Α=0.
3) Για τετράγωνο πίνακα A της νης τάξης, r(A)=n όταν το A είναι μη εκφυλισμένο.
(Η κατάταξη ενός διαγώνιου πίνακα είναι ίση με τον αριθμό των μη μηδενικών διαγώνιων στοιχείων του).
4) Εάν η κατάταξη ενός πίνακα είναι r, τότε ο πίνακας έχει τουλάχιστον ένα ελάσσονα τάξης r που δεν ισούται με μηδέν και όλα τα ελάσσονα υψηλότερων τάξεων είναι ίσα με μηδέν.
Για τις τάξεις του πίνακα, ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις:
2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min(r(A),r(B));
3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(A T A)=r(A);
5) r(AB)=r(A) αν το B είναι τετράγωνος μη ενικός πίνακας.
6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n, όπου n είναι ο αριθμός των στηλών του πίνακα Α ή των σειρών του πίνακα Β.
Ορισμός.Μια μη μηδενική ελάσσονα τάξης r(A) ονομάζεται βασικό μικρό. (Ο πίνακας Α μπορεί να έχει πολλά βασικά δευτερεύοντα). Οι γραμμές και οι στήλες στην τομή των οποίων υπάρχει δευτερεύουσα βάση καλούνται αντίστοιχα γραμμές βάσηςκαι στήλες βάσης.
Θεώρημα 2 (στη βασική ελάσσονα).Οι βασικές σειρές (στήλες) είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Οποιαδήποτε γραμμή (οποιαδήποτε στήλη) του πίνακα A είναι ένας γραμμικός συνδυασμός βασικών σειρών (στήλων).
Απόδειξη. (Για έγχορδα). Εάν οι βασικές σειρές ήταν γραμμικά εξαρτημένες, τότε με το Θεώρημα (1) μία από αυτές τις σειρές θα ήταν ένας γραμμικός συνδυασμός άλλων βασικών σειρών, τότε, χωρίς να αλλάξετε την τιμή της βασικής δευτερεύουσας σημασίας, μπορείτε να αφαιρέσετε τον καθορισμένο γραμμικό συνδυασμό από αυτήν τη σειρά και πάρτε μια μηδενική σειρά, και αυτό έρχεται σε αντίθεση επειδή η βασική ελάσσονα είναι διαφορετική από το μηδέν. Οτι. οι βασικές σειρές είναι γραμμικά ανεξάρτητες.
Ας αποδείξουμε ότι οποιαδήποτε σειρά του πίνακα Α είναι ένας γραμμικός συνδυασμός βασικών σειρών. Επειδή με αυθαίρετες αλλαγές σε σειρές (στήλες), η ορίζουσα διατηρεί την ιδιότητα να είναι ίση με το μηδέν, τότε, χωρίς απώλεια γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι η ελάσσονα βάση είναι στην επάνω αριστερή γωνία του πίνακα
Α=,εκείνοι. που βρίσκεται στις πρώτες r σειρές και στις πρώτες r στήλες. Έστω 1£j£n, 1£i£m. Ας δείξουμε ότι η ορίζουσα της (r+1) ης τάξης
Αν j£r ή i£r, τότε αυτή η ορίζουσα ισούται με μηδέν, γιατί θα έχει δύο ίδιες στήλες ή δύο ίδιες σειρές.
Αν j>r και i>r, τότε αυτή η ορίζουσα είναι ελάσσονα της (r + 1) ης τάξης του πίνακα A. η κατάταξη του πίνακα είναι r, επομένως κάθε δευτερεύον υψηλότερης τάξης είναι ίσο με 0.
Επεκτείνοντάς το κατά τα στοιχεία της τελευταίας (που προστέθηκε) στήλη, παίρνουμε
a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0, όπου η τελευταία αλγεβρική πρόσθεση A ij συμπίπτει με τη βασική δευτερεύουσα Μ r και επομένως A ij = М r ≠0.
Διαιρώντας την τελευταία ισότητα με A ij , μπορούμε να εκφράσουμε το στοιχείο a ij ως γραμμικό συνδυασμό: , όπου .
Διορθώνουμε την τιμή i (i>r) και παίρνουμε ότι για οποιαδήποτε j (j=1,2,…,n) τα στοιχεία i-η γραμμήΤο e i εκφράζεται γραμμικά ως στοιχεία σειράς e 1 , e 2 ,…,e r , δηλ. εγώ ρίχνωείναι ένας γραμμικός συνδυασμός βασικών σειρών: . Ch.t.d.
Θεώρημα 3. (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για να είναι η ορίζουσα ίση με μηδέν).Για να είναι ίση με μηδέν η ορίζουσα ν-ης τάξης D, είναι απαραίτητο και αρκετό οι σειρές (στήλες) της να είναι γραμμικά εξαρτημένες.
Απόδειξη (σελ.40). Χρειάζομαι. Αν η ορίζουσα ντης τάξης D είναι ίση με μηδέν, τότε η βασική ελάσσονα του πίνακα της είναι της τάξης r Έτσι, μια σειρά είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των άλλων. Στη συνέχεια, από το Θεώρημα 1, οι σειρές της ορίζουσας εξαρτώνται γραμμικά. Επάρκεια. Εάν οι σειρές D είναι γραμμικά εξαρτημένες, τότε σύμφωνα με το Θεώρημα 1 η μία σειρά A i είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των άλλων σειρών. Αφαιρώντας τον υποδεικνυόμενο γραμμικό συνδυασμό από τη γραμμή A i, χωρίς να αλλάξουμε την τιμή του D, παίρνουμε μια μηδενική γραμμή. Επομένως, κατά ιδιότητες οριζόντων, D=0. h.t.d. Θεώρημα 4.Κάτω από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, η κατάταξη του πίνακα δεν αλλάζει. Απόδειξη. Όπως φάνηκε κατά την εξέταση των ιδιοτήτων των οριζόντων, όταν μετασχηματίζονται τετραγωνικοί πίνακες, οι ορίζουσες τους είτε δεν αλλάζουν, είτε πολλαπλασιάζονται με έναν μη μηδενικό αριθμό, είτε αλλάζουν πρόσημο. Σε αυτήν την περίπτωση, διατηρείται η υψηλότερη τάξη των μη μηδενικών δευτερευόντων δευτερευόντων του αρχικού πίνακα, δηλ. η κατάταξη του πίνακα δεν αλλάζει. Ch.t.d. Αν r(A)=r(B), τότε τα Α και Β είναι ισοδύναμο: A~B. Θεώρημα 5.Χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, μπορεί κανείς να αναγάγει τον πίνακα σε κλιμακωτή όψη.Ο πίνακας ονομάζεται κλιμακώνεται αν έχει τη μορφή: А=, όπου a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k. Οι συνθήκες r≤k μπορούν πάντα να επιτευχθούν με μεταφορά. Θεώρημα 6.Η κατάταξη ενός πίνακα βημάτων είναι ίση με τον αριθμό των μη μηδενικών σειρών του .
Εκείνοι. Η κατάταξη του πίνακα βημάτων είναι r, επειδή υπάρχει μια μη μηδενική ελάσσονα τάξης r: Αφήνω Στήλες μήτρας διαστάσεων . Γραμμικός συνδυασμός στηλών μήτραςονομάζεται πίνακας στήλης, ενώ - ορισμένοι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί, καλούνται συντελεστές γραμμικού συνδυασμού. Εάν σε έναν γραμμικό συνδυασμό πάρουμε όλους τους συντελεστές ίσους με μηδέν, τότε ο γραμμικός συνδυασμός είναι ίσος με τον πίνακα μηδενικής στήλης. Οι στήλες του πίνακα καλούνται γραμμικά ανεξάρτητη
, αν ο γραμμικός συνδυασμός τους είναι ίσος με μηδέν μόνο όταν όλοι οι συντελεστές του γραμμικού συνδυασμού είναι ίσοι με μηδέν. Οι στήλες του πίνακα καλούνται γραμμικά εξαρτώμενη
, εάν υπάρχει ένα σύνολο αριθμών , μεταξύ των οποίων τουλάχιστον ένας είναι μη μηδενικός, και ο γραμμικός συνδυασμός στηλών με αυτούς τους συντελεστές είναι ίσος με μηδέν Ομοίως, μπορούν να δοθούν ορισμοί της γραμμικής εξάρτησης και της γραμμικής ανεξαρτησίας των σειρών μήτρας. Στη συνέχεια, διατυπώνονται όλα τα θεωρήματα για τις στήλες του πίνακα. Θεώρημα 5
Αν υπάρχει μηδέν μεταξύ των στηλών του πίνακα, τότε οι στήλες του πίνακα εξαρτώνται γραμμικά.
Απόδειξη. Θεωρήστε έναν γραμμικό συνδυασμό στον οποίο όλοι οι συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν για όλες τις μη μηδενικές στήλες και έναν για μια μηδενική στήλη. Είναι ίσο με μηδέν και μεταξύ των συντελεστών του γραμμικού συνδυασμού υπάρχει ένας μη μηδενικός. Επομένως, οι στήλες του πίνακα εξαρτώνται γραμμικά. Θεώρημα 6
Αν ένα
στήλες μήτρας
γραμμικά εξαρτώμενο, μετά όλα
Οι στήλες μήτρας εξαρτώνται γραμμικά.
Απόδειξη. Για λόγους βεβαιότητας, θα υποθέσουμε ότι οι πρώτες στήλες του πίνακα Συνθέστε έναν γραμμικό συνδυασμό όλων των στηλών του πίνακα, συμπεριλαμβανομένων των υπολοίπων στηλών με μηδενικούς συντελεστές Αλλά . Επομένως, όλες οι στήλες του πίνακα εξαρτώνται γραμμικά. Συνέπεια. Μεταξύ των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών ενός πίνακα, οποιαδήποτε είναι γραμμικά ανεξάρτητη. (Αυτός ο ισχυρισμός αποδεικνύεται εύκολα με αντίφαση.) Θεώρημα 7
Για να εξαρτώνται γραμμικά οι στήλες μήτρας, είναι απαραίτητο και επαρκές τουλάχιστον μία στήλη πίνακα να είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων.
Απόδειξη. Χρειάζομαι.Έστω οι στήλες του πίνακα γραμμικά εξαρτώμενες, δηλαδή, υπάρχει ένα σύνολο αριθμών, μεταξύ των οποίων τουλάχιστον ένας είναι διαφορετικός από το μηδέν και ο γραμμικός συνδυασμός στηλών με αυτούς τους συντελεστές είναι ίσος με μηδέν Ας υποθέσουμε για βεβαιότητα ότι . Τότε, δηλαδή, η πρώτη στήλη είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων. Επάρκεια. Ας είναι τουλάχιστον μία στήλη του πίνακα γραμμικός συνδυασμός των άλλων, για παράδειγμα, , όπου υπάρχουν ορισμένοι αριθμοί. Τότε, δηλαδή, ο γραμμικός συνδυασμός στηλών είναι ίσος με μηδέν, και μεταξύ των αριθμών του γραμμικού συνδυασμού, τουλάχιστον ένας (για ) είναι μη μηδενικός. Έστω η κατάταξη του πίνακα . Οποιοδήποτε μη μηδενικό ελάσσονα τάξης καλείται βασικός
. Οι γραμμές και οι στήλες στην τομή των οποίων υπάρχει βασικό δευτερεύον ονομάζονται βασικός
. Οι έννοιες της γραμμικής εξάρτησης και της γραμμικής ανεξαρτησίας ορίζονται για γραμμές και στήλες με τον ίδιο τρόπο. Επομένως, οι ιδιότητες που σχετίζονται με αυτές τις έννοιες, διαμορφωμένες για στήλες, φυσικά, ισχύουν και για γραμμές. 1.
Εάν το σύστημα στήλης περιλαμβάνει μηδενική στήλη, τότε εξαρτάται γραμμικά. 2.
Εάν ένα σύστημα στήλης έχει δύο ίσες στήλες, τότε εξαρτάται γραμμικά. 3.
Εάν ένα σύστημα στήλης έχει δύο αναλογικές στήλες, τότε εξαρτάται γραμμικά. 4.
Ένα σύστημα στηλών εξαρτάται γραμμικά εάν και μόνο εάν τουλάχιστον μία από τις στήλες είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων. 5.
Οποιεσδήποτε στήλες περιλαμβάνονται σε ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα σχηματίζουν ένα γραμμικά ανεξάρτητο υποσύστημα. 6.
Ένα σύστημα στήλης που περιέχει ένα γραμμικά εξαρτώμενο υποσύστημα εξαρτάται γραμμικά. 7.
Εάν το σύστημα των στηλών είναι γραμμικά ανεξάρτητο και αφού προστεθεί μια στήλη σε αυτό, αποδεικνύεται ότι είναι γραμμικά εξαρτώμενο, τότε η στήλη μπορεί να αποσυντεθεί σε στήλες και επιπλέον, με μοναδικό τρόπο, δηλ. Οι συντελεστές διαστολής βρίσκονται μοναδικά. Ας αποδείξουμε, για παράδειγμα, την τελευταία ιδιότητα. Δεδομένου ότι το σύστημα στηλών εξαρτάται γραμμικά, υπάρχουν αριθμοί που δεν είναι όλοι ίσοι με 0, οι οποίοι σε αυτή την ισότητα. Πράγματι, αν , τότε Ως εκ τούτου, ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός στηλών είναι ίσος με τη στήλη μηδέν, η οποία έρχεται σε αντίθεση με τη γραμμική ανεξαρτησία του συστήματος. Επομένως, και στη συνέχεια, δηλ. μια στήλη είναι ένας γραμμικός συνδυασμός στηλών. Μένει να δείξουμε τη μοναδικότητα μιας τέτοιας αναπαράστασης. Ας υποθέσουμε το αντίθετο. Έστω δύο επεκτάσεις και , και δεν είναι όλοι οι συντελεστές επέκτασης αντίστοιχα ίσοι μεταξύ τους (για παράδειγμα, ). Μετά από την ισότητα Λαμβάνουμε (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o διαδοχικά, ο γραμμικός συνδυασμός στηλών ισούται με τη μηδενική στήλη. Δεδομένου ότι δεν είναι όλοι οι συντελεστές του ίσοι με μηδέν (τουλάχιστον ), αυτός ο συνδυασμός είναι μη τετριμμένος, γεγονός που έρχεται σε αντίθεση με την προϋπόθεση της γραμμικής ανεξαρτησίας των στηλών. Η προκύπτουσα αντίφαση επιβεβαιώνει τη μοναδικότητα της αποσύνθεσης. Παράδειγμα 3.2.Να αποδείξετε ότι δύο μη μηδενικές στήλες και εξαρτώνται γραμμικά αν και μόνο αν είναι ανάλογες, δηλ. . Λύση.Πράγματι, αν οι στήλες και είναι γραμμικά εξαρτώμενες, τότε υπάρχουν αριθμοί , οι οποίοι δεν είναι ίσοι με το μηδέν ταυτόχρονα, έτσι ώστε . Και σε αυτή την ισότητα. Πράγματι, υποθέτοντας ότι , προκύπτει μια αντίφαση , αφού η στήλη είναι επίσης μη μηδενική. Που σημαίνει, . Επομένως, υπάρχει ένας αριθμός τέτοιος που . Η ανάγκη έχει αποδειχθεί. Αντίθετα, αν , τότε . Πήραμε έναν μη τετριμμένο γραμμικό συνδυασμό στηλών ίσο με τη στήλη μηδέν. Άρα οι στήλες εξαρτώνται γραμμικά. Παράδειγμα 3.3.Εξετάστε όλα τα πιθανά συστήματα που σχηματίζονται από στήλες Εξετάστε κάθε σύστημα για μια γραμμική σχέση. Εξετάστε συστήματα που περιέχουν δύο στήλες το καθένα: – καθένα από τα τέσσερα συστήματα και εξαρτάται γραμμικά, καθώς περιέχει μηδενική στήλη (ιδιότητα 1). – το σύστημα εξαρτάται γραμμικά, αφού οι στήλες είναι αναλογικές (ιδιότητα 3): ; - καθένα από τα πέντε συστήματα και είναι γραμμικά ανεξάρτητο, αφού οι στήλες είναι μη αναλογικές (δείτε τη δήλωση του παραδείγματος 3.2). Εξετάστε συστήματα που περιέχουν τρεις στήλες: – καθένα από τα έξι συστήματα και εξαρτάται γραμμικά, καθώς περιέχει μια στήλη μηδέν (ιδιότητα 1). – τα συστήματα εξαρτώνται γραμμικά, καθώς περιέχουν ένα γραμμικά εξαρτώμενο υποσύστημα (ιδιότητα 6). είναι συστήματα και εξαρτώνται γραμμικά, αφού η τελευταία στήλη εκφράζεται γραμμικά ως προς τα υπόλοιπα (ιδιότητα 4): και αντίστοιχα. Τέλος, συστήματα τεσσάρων ή πέντε στηλών εξαρτώνται γραμμικά (από την ιδιότητα 6). Κατάταξη μήτρας Σε αυτή την ενότητα, εξετάζουμε ένα άλλο σημαντικό αριθμητικό χαρακτηριστικό ενός πίνακα, που σχετίζεται με το πόσο εξαρτώνται μεταξύ τους οι σειρές (στήλες) του. Ορισμός 14.10Έστω να υπάρχει ένας πίνακας μεγεθών και ένας αριθμός που δεν υπερβαίνει τον μικρότερο από τους αριθμούς και : Παράδειγμα 14.9Αφήνω Ένα δευτερεύον πρώτου βαθμού είναι οποιοδήποτε στοιχείο του πίνακα. Άρα 2, , είναι ανήλικοι πρώτης τάξης. Ανήλικοι δεύτερης τάξης: 1. πάρτε τις γραμμές 1, 2, στήλες 1, 2, παίρνουμε ένα δευτερεύον 2. πάρτε τις γραμμές 1, 3, στήλες 2, 4, παίρνουμε ένα δευτερεύον 3. πάρτε τις γραμμές 2, 3, στήλες 1, 4, παίρνουμε ένα δευτερεύον Ανήλικοι τρίτης τάξης: οι σειρές εδώ μπορούν να επιλεγούν μόνο με έναν τρόπο, 1. πάρτε τις στήλες 1, 3, 4, πάρτε ένα μικρό 2. πάρτε τις στήλες 1, 2, 3, πάρτε ένα μικρό Προσφορά 14.23 Αν όλα τα ελάσσονα του πίνακα τάξης είναι ίσα με μηδέν, τότε όλα τα ελάσσονα τάξης , εάν υπάρχουν, είναι επίσης ίσα με μηδέν. Απόδειξη. Πάρτε ένα αυθαίρετο δευτερεύον της τάξης. Αυτός είναι ο προσδιοριστής του πίνακα τάξεων. Ας το επεκτείνουμε κατά την πρώτη γραμμή. Στη συνέχεια, σε κάθε όρο της επέκτασης, ένας από τους παράγοντες θα είναι δευτερεύων της τάξης του αρχικού πίνακα. Με την υπόθεση, οι δευτερεύουσες τάξεις είναι ίσες με μηδέν. Επομένως, η δευτερεύουσα τάξη θα είναι επίσης ίση με μηδέν. Ορισμός 14.11Η κατάταξη ενός πίνακα είναι η μεγαλύτερη από τις μη μηδενικές τάξεις των ανηλίκων του πίνακα. Η κατάταξη του μηδενικού πίνακα θεωρείται μηδέν. Δεν υπάρχει ενιαία, τυπική, σημειογραφία για την κατάταξη ενός πίνακα. Μετά το σεμινάριο, θα αναφερθούμε σε αυτό ως . Παράδειγμα 14.10Ο πίνακας του Παραδείγματος 14.9 έχει την 3η θέση επειδή υπάρχει ένα μη μηδενικό δευτερεύον τρίτης τάξης, αλλά δεν υπάρχουν δευτερεύοντα τέταρτης τάξης. Κατάταξη μήτρας Η κατάταξη ενός μη εκφυλισμένου τετραγωνικού πίνακα τάξης είναι ίση με , αφού η ορίζοντή του είναι δευτερεύουσα της τάξης και ο μη εκφυλισμένος πίνακας είναι μη μηδενικός. Προσφορά 14.24 Κατά τη μεταφορά ενός πίνακα, η κατάταξή του δεν αλλάζει, δηλαδή Απόδειξη. Το μεταφερόμενο ελάσσονα του αρχικού πίνακα θα είναι το ελάσσονα του μεταφερόμενου πίνακα και αντίστροφα, κάθε δευτερεύον είναι το μεταφερόμενο ελάσσονα του αρχικού πίνακα. Κατά τη μεταφορά, η ορίζουσα (ελάσσονος) δεν αλλάζει (Πρόταση 14.6). Επομένως, εάν όλα τα ελάσσονα τάξης στον αρχικό πίνακα είναι ίσα με μηδέν, τότε όλα τα δευτερεύοντα της ίδιας τάξης είναι επίσης ίσα με μηδέν. Εάν η δευτερεύουσα τάξη στον αρχικό πίνακα είναι μη μηδενική, τότε υπάρχει μια μη μηδενική ελάσσονα της ίδιας τάξης. Συνεπώς, Ορισμός 14.12Έστω η κατάταξη του πίνακα . Τότε κάθε δευτερεύον μη μηδενικής τάξης ονομάζεται βασικό ελάσσονα. Παράδειγμα 14.11Αφήνω Ένα βασικό δευτερεύον είναι επίσης ένα δευτερεύον που βρίσκεται, ας πούμε, στην πρώτη και τρίτη σειρά, πρώτη και τρίτη στήλη: Το δευτερεύον στην πρώτη και τη δεύτερη σειρά, τη δεύτερη και την τρίτη στήλη είναι ίσο με μηδέν και επομένως δεν θα είναι βασικό. Ο αναγνώστης μπορεί ανεξάρτητα να ελέγξει ποια άλλα ανήλικα δεύτερης τάξης είναι βασικά και ποια όχι. Δεδομένου ότι οι στήλες (γραμμές) του πίνακα μπορούν να προστεθούν, να πολλαπλασιαστούν με αριθμούς, να σχηματίσουν γραμμικούς συνδυασμούς, είναι δυνατό να εισαχθούν ορισμοί της γραμμικής εξάρτησης και της γραμμικής ανεξαρτησίας του συστήματος στηλών (γραμμών) του πίνακα. Αυτοί οι ορισμοί είναι παρόμοιοι με τους ίδιους ορισμούς 10.14, 10.15 για διανύσματα. Ορισμός 14.13Ένα σύστημα στηλών (γραμμών) ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενο εάν υπάρχει ένα τέτοιο σύνολο συντελεστών, εκ των οποίων τουλάχιστον ένας είναι μη μηδενικός, ώστε ο γραμμικός συνδυασμός στηλών (γραμμών) με αυτούς τους συντελεστές να είναι ίσος με μηδέν. Ορισμός 14.14Ένα σύστημα στηλών (γραμμών) είναι γραμμικά ανεξάρτητο εάν προκύπτει από την ισότητα προς το μηδέν ενός γραμμικού συνδυασμού αυτών των στηλών (γραμμών) ότι όλοι οι συντελεστές αυτού του γραμμικού συνδυασμού είναι ίσοι με μηδέν. Η ακόλουθη πρόταση, παρόμοια με την Πρόταση 10.6, είναι επίσης αληθής. Προσφορά 14.25 Ένα σύστημα στηλών (γραμμών) εξαρτάται γραμμικά εάν και μόνο εάν μία από τις στήλες (μία από τις σειρές) είναι ένας γραμμικός συνδυασμός άλλων στηλών (γραμμών) αυτού του συστήματος. Διατυπώνουμε ένα θεώρημα που ονομάζεται βασικό δευτερεύον θεώρημα. Θεώρημα 14.2 Οποιαδήποτε στήλη ενός πίνακα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός στηλών που διέρχονται από το βασικό ελάσσονα. Η απόδειξη μπορεί να βρεθεί σε εγχειρίδια για τη γραμμική άλγεβρα, για παράδειγμα, στο,. Προσφορά 14.26 Η κατάταξη ενός πίνακα είναι ίση με τον μέγιστο αριθμό των στηλών του που σχηματίζουν ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα. Απόδειξη. Έστω η κατάταξη του πίνακα . Ας πάρουμε τις στήλες που περνούν από το βασικό ελάσσονα. Ας υποθέσουμε ότι αυτές οι στήλες σχηματίζουν ένα γραμμικά εξαρτώμενο σύστημα. Τότε μια από τις στήλες είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των άλλων. Επομένως, στη βασική ελάσσονα, μια στήλη θα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των άλλων στηλών. Με τις προτάσεις 14.15 και 14.18, αυτή η βασική ελάσσονα πρέπει να είναι ίση με μηδέν, πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με τον ορισμό της βασικής ελάσσονος. Επομένως, η υπόθεση ότι οι στήλες που διέρχονται από τη βασική ελάσσονα εξαρτώνται γραμμικά δεν είναι αληθής. Άρα, ο μέγιστος αριθμός στηλών που σχηματίζουν ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα είναι μεγαλύτερος ή ίσος με . Ας υποθέσουμε ότι οι στήλες σχηματίζουν ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα. Ας φτιάξουμε μια μήτρα από αυτά. Όλα τα ελάσσονα μήτρας είναι ελάσσονα πίνακα. Επομένως, η βασική ελάσσονα του πίνακα έχει τάξη το πολύ . Σύμφωνα με το θεώρημα ελάσσονος βάσης, μια στήλη που δεν διέρχεται από το ελάσσονα βάσης ενός πίνακα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός στηλών που διέρχονται από το ελάσσονα βάσης, δηλαδή οι στήλες του πίνακα σχηματίζουν ένα γραμμικά εξαρτώμενο σύστημα. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με την επιλογή των στηλών που σχηματίζουν τον πίνακα. Επομένως, ο μέγιστος αριθμός στηλών που σχηματίζουν ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από . Ως εκ τούτου, είναι ίσο με , όπως αναφέρθηκε. Προσφορά 14.27 Η κατάταξη ενός πίνακα είναι ίση με τον μέγιστο αριθμό των σειρών του που σχηματίζουν ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα. Απόδειξη. Με την πρόταση 14.24, η κατάταξη ενός πίνακα δεν αλλάζει κατά τη μεταφορά. Οι σειρές ενός πίνακα γίνονται οι στήλες του. Ο μέγιστος αριθμός νέων στηλών του μετατιθέμενου πίνακα (πρώην σειρές του αρχικού) που σχηματίζουν ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα είναι ίσος με την κατάταξη του πίνακα. Προσφορά 14.28 Εάν η ορίζουσα μήτρας είναι ίση με μηδέν, τότε μία από τις στήλες της (μία από τις σειρές) είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων στηλών (γραμμών). Απόδειξη. Έστω η σειρά του πίνακα . Η ορίζουσα είναι η μόνη ελάσσονα ενός τετραγωνικού πίνακα που έχει τάξη . Αφού είναι ίσο με μηδέν, τότε . Επομένως, το σύστημα των στηλών (γραμμών) εξαρτάται γραμμικά, δηλαδή μια από τις στήλες (μία από τις σειρές) είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των άλλων. Τα αποτελέσματα των Προτάσεων 14.15, 14.18 και 14.28 δίνουν το ακόλουθο θεώρημα. Θεώρημα 14.3 Η ορίζουσα ενός πίνακα είναι μηδέν εάν και μόνο εάν μία από τις στήλες του (μία από τις γραμμές) είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων στηλών (γραμμών). Η εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα με τον υπολογισμό όλων των ανηλίκων του απαιτεί υπερβολική υπολογιστική εργασία. (Ο αναγνώστης μπορεί να επαληθεύσει ότι υπάρχουν 36 δευτερεύουσες δευτερεύουσες ομάδες σε έναν τετραγωνικό πίνακα τέταρτης τάξης.) Επομένως, χρησιμοποιείται ένας διαφορετικός αλγόριθμος για την εύρεση της κατάταξης. Για να το περιγράψουμε, απαιτούνται κάποιες πρόσθετες πληροφορίες. Ορισμός 14.15Ονομάζουμε τις ακόλουθες πράξεις σε αυτές στοιχειώδεις μετασχηματισμούς πινάκων: 1) μετάθεση γραμμών ή στηλών. Προσφορά 14.29 Κάτω από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, η κατάταξη του πίνακα δεν αλλάζει. Απόδειξη. Έστω η κατάταξη του πίνακα ίση με , -- ο πίνακας που προκύπτει από τον στοιχειώδη μετασχηματισμό. Σκεφτείτε μια μετάθεση χορδών. Έστω ελάσσονα του πίνακα , τότε ο πίνακας έχει ένα δευτερεύον , το οποίο είτε συμπίπτει είτε διαφέρει από αυτό με μια μετάθεση σειρών. Και αντίστροφα, κάθε ελάσσονος πίνακας μπορεί να συσχετιστεί με έναν ελάσσονα πίνακα που είτε συμπίπτει είτε διαφέρει από αυτόν ως προς τη σειρά των σειρών. Επομένως, από το γεγονός ότι στον πίνακα όλα τα ελάσσονα της τάξης είναι ίσα με μηδέν, προκύπτει ότι στον πίνακα όλα τα ελάσσονα αυτής της τάξης είναι επίσης ίσα με μηδέν. Και εφόσον ο πίνακας έχει ελάσσονα μη μηδενικής τάξης, ο πίνακας έχει επίσης ελάσσονα μη μηδενικής τάξης, δηλ. Σκεφτείτε να πολλαπλασιάσετε μια συμβολοσειρά με έναν μη μηδενικό αριθμό. Ένα δευτερεύον από έναν πίνακα αντιστοιχεί σε ένα ελάσσονα από έναν πίνακα που είτε συμπίπτει είτε διαφέρει από αυτόν κατά μία μόνο σειρά, η οποία προκύπτει από τη δευτερεύουσα σειρά πολλαπλασιάζοντας με έναν μη μηδενικό αριθμό. Στην τελευταία περίπτωση. Σε όλες τις περιπτώσεις, ή και είναι ταυτόχρονα ίσα με μηδέν, ή ταυτόχρονα διαφορετικά από το μηδέν. Συνεπώς, .
γραμμικά εξαρτώμενη. Στη συνέχεια, με τον ορισμό μιας γραμμικής εξάρτησης, υπάρχει ένα σύνολο αριθμών , μεταξύ των οποίων τουλάχιστον ένας είναι μη μηδενικός, και ο γραμμικός συνδυασμός στηλών με αυτούς τους συντελεστές είναι ίσος με μηδέν
Λύση.
Εξετάστε πέντε συστήματα που περιέχουν μία στήλη το καθένα. Σύμφωνα με την παράγραφο 1 των Παρατηρήσεων 3.1: τα συστήματα , είναι γραμμικά ανεξάρτητα και το σύστημα που αποτελείται από μία στήλη μηδέν , εξαρτάται γραμμικά.
. Ας επιλέξουμε αυθαίρετα τις σειρές και τις στήλες του πίνακα (οι αριθμοί των σειρών μπορεί να διαφέρουν από τους αριθμούς των στηλών). Η ορίζουσα ενός πίνακα που αποτελείται από στοιχεία στην τομή των επιλεγμένων γραμμών και στηλών ονομάζεται δευτερεύουσα τάξη πίνακα.
.
;
;
;
.
είναι ίσο με 1, αφού υπάρχει ένα μη μηδενικό δευτερεύον πρώτης τάξης (ένα στοιχείο του πίνακα), και όλα τα δευτερεύοντα δευτερεύοντα στοιχεία είναι ίσα με μηδέν.
.
.
. Η ορίζουσα του πίνακα είναι μηδέν, αφού η τρίτη σειρά είναι ίση με το άθροισμα των δύο πρώτων. Το δευτερεύον δευτερεύον στοιχείο, που βρίσκεται στις δύο πρώτες σειρές και στις δύο πρώτες στήλες, είναι 
. Επομένως, η κατάταξη του πίνακα είναι ίση με δύο και το θεωρούμενο δευτερεύον είναι βασικό.
. Η βάση θα είναι η δευτερεύουσα στη δεύτερη και τρίτη σειρά, η πρώτη και η τρίτη στήλη: 
.
2) πολλαπλασιασμός μιας γραμμής ή στήλης με έναν μη μηδενικό αριθμό.
3) προσθέτοντας σε μια από τις σειρές μια άλλη σειρά, πολλαπλασιασμένη με έναν αριθμό ή προσθέτοντας σε μια από τις στήλες μιας άλλης στήλης, πολλαπλασιασμένη με έναν αριθμό.