Το μοντέλο ενός σύνθετου συστήματος, που συζητήθηκε προηγουμένως, είναι ένα γενικό σχήμα μαθηματικής μοντελοποίησης. Στην πράξη, για την επισημοποίηση εννοιολογικών μοντέλων ενός αριθμού συστημάτων, είναι πιο κερδοφόρο να χρησιμοποιηθούν τυπικά σχήματα μαθηματικής μοντελοποίησης που λαμβάνουν υπόψη, αφενός, τον τρόπο που αναπαρίσταται ο χρόνος στο μοντέλο (συνεχής μεταβλητή ή διακριτή) και από την άλλη πλευρά, ο βαθμός τυχαίας των προσομοιωμένων διαδικασιών. Με βάση αυτά τα χαρακτηριστικά, διακρίνονται τα ακόλουθα σχήματα μαθηματικής μοντελοποίησης (τάξεις ΜΜ).

Συνεχή - ντετερμινιστικά μοντέλα (Δ - σχήματα).

Διακριτά - ντετερμινιστικά μοντέλα (F - σχήματα).

Διακριτά - πιθανοτικά μοντέλα (P - schemes).

Συνεχή - πιθανολογικά μοντέλα (Q - σχήματα).

Μοντέλα δικτύου (Ν – σχήματα).

Συγκεντρωτικά μοντέλα (Α – διαγράμματα).

Συνεχώς ντετερμινιστικά μοντέλα. Σε αυτά τα μοντέλα ο χρόνος tθεωρείται ότι είναι μια συνεχής μεταβλητή και οι τυχαίοι παράγοντες στο σύστημα παραμελούνται. Η μαθηματική συσκευή των μοντέλων είναι η θεωρία των διαφορικών και ολοκληρωτικών εξισώσεων, με τη βοήθεια της οποίας επιτυγχάνεται η επαρκής περιγραφή των δυναμικών συστημάτων. Η μέθοδος χειριστή για την περιγραφή και τη μελέτη των διαδικασιών λειτουργίας των δυναμικών συστημάτων και των δομών τους έχει αναπτυχθεί πλήρως.

Ένα παράδειγμα ενός συνεχώς ντετερμινιστικού μοντέλου ενός συστήματος αυτόματου ελέγχου μονού καναλιού είναι μια μη ομοιογενής διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές.

Σε αυτή την εξίσωση x(t)-επιρροή εισόδου? y(t)– τιμή εξόδου που χαρακτηρίζει τη θέση του αντικειμένου ελέγχου. - εσωτερικές παράμετροι του συστήματος.

Εάν ένα δυναμικό σύστημα περιγράφεται με μη γραμμική διαφορική εξίσωση, τότε γραμμικοποιείται και λύνεται ως γραμμικό.

Η χρήση συνεχώς ντετερμινιστικών μοντέλων καθιστά δυνατή την ποσοτική διεξαγωγή όχι μόνο της ανάλυσης των δυναμικών συστημάτων, αλλά και της βέλτιστης σύνθεσής τους.

Διακριτά-ντετερμινιστικά μοντέλα. Σε διακριτά ντετερμινιστικά (DD) μοντέλα, ο χρόνος tείναι μια διακριτή μεταβλητή, όπου είναι το βήμα δειγματοληψίας και είναι διακριτές χρονικές στιγμές.

Η κύρια μαθηματική συσκευή που χρησιμοποιείται στην κατασκευή μοντέλων DD είναι η θεωρία των εξισώσεων διαφοράς και η συσκευή των διακριτών μαθηματικών, ειδικότερα η θεωρία των πεπερασμένων αυτόματα.

Μια εξίσωση διαφοράς είναι μια εξίσωση που περιέχει πεπερασμένες διαφορές της επιθυμητής συνάρτησης

όπου βρίσκονται, αντίστοιχα, η κατάσταση του συστήματος και η εξωτερική επιρροή σε διακριτές χρονικές στιγμές.

Σε εφαρμοσμένα προβλήματα, τα μοντέλα DD της μορφής (2.6) εμφανίζονται συχνά ως ενδιάμεσα στη μελέτη μοντέλων DD σε υπολογιστή, όταν δεν μπορεί να επιτευχθεί αναλυτική λύση σε μια διαφορική εξίσωση και πρέπει να χρησιμοποιηθούν σχήματα διαφορών.

Ας εξετάσουμε εν συντομία τη θεωρία των μηχανών πεπερασμένης κατάστασης, η οποία χρησιμοποιείται για την κατασκευή μοντέλων DD.

Μια μηχανή πεπερασμένης κατάστασης είναι ένα μαθηματικό μοντέλο ενός διακριτού συστήματος που, υπό την επίδραση των σημάτων εισόδου, παράγει σήματα εξόδου και το οποίο μπορεί να έχει κάποιες μεταβλητές εσωτερικές καταστάσεις. εδώ είναι πεπερασμένα σύνολα.

Η μηχανή πεπερασμένης κατάστασης χαρακτηρίζεται από: αλφάβητο εισόδου. αλφάβητο εξόδου? εσωτερικό αλφάβητο των κρατών. αρχική κατάσταση; λειτουργία μετάβασης; λειτουργία εξόδου.

Η διαδικασία λειτουργίας μιας μηχανής πεπερασμένης κατάστασης είναι η εξής. Στον ου κύκλο, το σήμα εισόδου λαμβάνεται στην είσοδο του αυτόματου, το οποίο βρίσκεται στην κατάσταση, στην οποία το αυτόματο αντιδρά μεταβαίνοντας στην κατάσταση στο 8ο tick και εκδίδοντας ένα σήμα εξόδου. Για παράδειγμα, ένα πεπερασμένο αυτόματο Mealy περιγράφεται από τις ακόλουθες σχέσεις επανάληψης:

Διακριτά-πιθανοτικά μοντέλα. Το διακριτό-πιθανοτικό μοντέλο λαμβάνει υπόψη τα τυχαία στοιχεία του σύνθετου συστήματος που μελετάται. Η κύρια μαθηματική συσκευή που χρησιμοποιείται στην κατασκευή και τη μελέτη μοντέλων DV είναι η θεωρία των εξισώσεων στοχαστικών διαφορών και η θεωρία των πιθανοτικών αυτόματα.

Μια στοχαστική εξίσωση διαφοράς είναι αυτή που περιέχει τυχαίες παραμέτρους ή τυχαίες εισόδους.

Αφήστε ένα τυχαίο διάνυσμα παραμέτρων και μια τυχαία ακολουθία ενεργειών εισόδου να οριστεί στο χώρο πιθανοτήτων

Η εξίσωση στοχαστικής τάξης μη γραμμικής διαφοράς έχει τη μορφή , (2.8)

πού είναι οι δεδομένες αρχικές καταστάσεις του συστήματος; μια δεδομένη συνάρτηση μεταβλητών.

Η λύση αυτής της εξίσωσης είναι μια τυχαία ακολουθία καταστάσεων του μοντελοποιημένου συστήματος που ορίζεται στο σύνολο:

Εάν η συνάρτηση είναι γραμμική στο , τότε η (2.8) θα έχει τη μορφή:

(2.9)

όπου είναι το διάνυσμα των παραμέτρων.

Μια άλλη μαθηματική συσκευή για την κατασκευή μοντέλων DV πολύπλοκων συστημάτων είναι η θεωρία των πιθανοτικών αυτομάτων.

Ένα πιθανό αυτόματο που ορίζεται στο σύνολο είναι ένα πεπερασμένο αυτόματο στο οποίο η συνάρτηση μετάβασης και η συνάρτηση εξόδου είναι τυχαίες συναρτήσεις που έχουν κάποιες κατανομές πιθανοτήτων.

Ας δεχθούμε τη σημείωση για κατανομές πιθανοτήτων - αρχική κατανομή πιθανότητας, – η πιθανότητα ενός γεγονότος που συνίσταται στο γεγονός ότι ένα αυτόματο που βρίσκεται στον ου κύκλο στην κατάσταση, υπό την επίδραση ενός σήματος εισόδου, θα παράγει ένα σήμα εξόδου και θα μεταβεί στην κατάσταση στο 8ο σημάδι

Το μαθηματικό μοντέλο ενός πιθανολογικού αυτόματου καθορίζεται πλήρως από πέντε στοιχεία: .

Συνεχή – πιθανοτικά μοντέλα. Κατά την κατασκευή και τη μελέτη μοντέλων NV, χρησιμοποιείται η θεωρία των στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων και η θεωρία της ουράς.

Η στοχαστική διαφορική εξίσωση (σε μορφή Ito) είναι:

όπου είναι μια τυχαία διαδικασία που καθορίζει την κατάσταση του συστήματος σε μια χρονική στιγμή. – τυπική τυχαία διαδικασία Wiener. – συντελεστές διάχυσης και μεταφοράς. Το μοντέλο NV χρησιμοποιείται συχνά στη μοντελοποίηση συστημάτων στοχαστικού ελέγχου και διαδικασιών ανταλλαγής.

Η θεωρία ουρών αναπτύσσει και μελετά μαθηματικά μοντέλα διαδικασιών που λειτουργούν συστήματα που είναι διαφορετικής φύσης, για παράδειγμα: η προμήθεια πρώτων υλών και εξαρτημάτων σε μια συγκεκριμένη επιχείρηση. εργασίες που φτάνουν στον υπολογιστή από απομακρυσμένα τερματικά. καλώντας σε τηλεφωνικά κέντρα κ.λπ. Η λειτουργία τέτοιων συστημάτων χαρακτηρίζεται από στοχαστικότητα: τυχαιότητα των χρόνων κατά την οποία εμφανίζονται αιτήματα για εξυπηρέτηση κ.λπ.

Το σύστημα, που περιγράφεται ως σύστημα ουράς (QS), αποτελείται από συσκευές εξυπηρέτησης. Η συσκευή εξυπηρέτησης αποτελείται από έναν συσσωρευτή αξιώσεων, στον οποίο οι αξιώσεις μπορούν να βρίσκονται ταυτόχρονα, και ένα κανάλι εξυπηρέτησης αξιώσεων. – χωρητικότητα αποθήκευσης, δηλαδή ο αριθμός των θέσεων στην ουρά για τα αιτήματα εξυπηρέτησης στο κανάλι.

Κάθε στοιχείο της συσκευής λαμβάνει ροές συμβάντων. στη μονάδα δίσκου - τη ροή των αιτημάτων, στο κανάλι - τη ροή των "υπηρεσιών". Η ροή των αιτημάτων αντιπροσωπεύει μια ακολουθία χρονικών διαστημάτων μεταξύ των στιγμών των εφαρμογών που εμφανίζονται στην είσοδο του QS και σχηματίζει ένα υποσύνολο μη ελεγχόμενων μεταβλητών του QS. Και η ροή είναι μια ακολουθία χρονικών διαστημάτων μεταξύ της έναρξης και του τέλους των αιτημάτων εξυπηρέτησης και σχηματίζει ένα υποσύνολο ελεγχόμενων μεταβλητών.

Τα αιτήματα που εξυπηρετούνται από το QS σχηματίζουν μια ροή εξόδου - μια ακολουθία χρονικών διαστημάτων μεταξύ των στιγμών που εκδίδονται αιτήματα. Οι εφαρμογές που δεν εξυπηρετήθηκαν, αλλά εγκατέλειψαν το QS για διάφορους λόγους, αποτελούν τη ροή εξόδου των χαμένων εφαρμογών.

Μοντέλα δικτύουχρησιμοποιείται για την επισημοποίηση σχέσεων αιτίου και αποτελέσματος σε πολύπλοκα συστήματα με παράλληλες διαδικασίες. Αυτά τα μοντέλα βασίζονται σε ένα δίχτυ Petri. Όταν ερμηνεύεται γραφικά, ένα δίχτυ Petri είναι ένας ειδικός τύπος γραφήματος που αποτελείται από δύο τύπους κορυφών - θέσειςΚαι μεταβάσεις, που συνδέονται με προσανατολισμένα τόξα και κάθε τόξο μπορεί να συνδέσει μόνο διαφορετικούς τύπους κορυφών (θέση με μετάβαση ή μετάβαση με θέση). Οι κορυφές θέσης υποδεικνύονται με κύκλους, οι κορυφές μετάβασης με παύλες. Από ουσιαστική άποψη, οι μεταβάσεις αντιστοιχούν σε συμβάντα που είναι εγγενή στο υπό μελέτη σύστημα και οι θέσεις αντιστοιχούν στις συνθήκες εμφάνισής τους.

Έτσι, το σύνολο των μεταβάσεων, θέσεων και τόξων μας επιτρέπει να περιγράψουμε τις σχέσεις αιτίου-αποτελέσματος που είναι εγγενείς στο σύστημα, αλλά με στατικό τρόπο. Για να «ζωντανέψει» το δίκτυο Petri, εισάγεται ένας άλλος τύπος αντικειμένου δικτύου - το λεγόμενο πατατάκιαή ετικέτεςθέσεις που κινούνται κατά μήκος των μεταβάσεων δικτύου υπόκεινται στην παρουσία μιας ετικέτας στη θέση εισόδου και στην απουσία ετικέτας στη θέση εξόδου. Η διάταξη των τσιπ σε θέσεις του δικτύου ονομάζεται σήμανση δικτύου.

Συγκεντρωτικά μοντέλα. Η ανάλυση των υφιστάμενων προβλημάτων οδηγεί στο συμπέρασμα ότι μια ολοκληρωμένη λύση σε προβλήματα είναι δυνατή μόνο εάν τα συστήματα μοντελοποίησης βασίζονται σε ένα ενοποιημένο σχήμα μαθηματικής μοντελοποίησης. Αυτή η προσέγγιση για την επισημοποίηση της διαδικασίας λειτουργίας ενός σύνθετου συστήματος προτάθηκε από τον N.P. Buslenko. και βασίζεται στην έννοια του «αδρανούς».

Με μια συγκεντρωτική περιγραφή, ένα σύνθετο σύστημα χωρίζεται σε υποσυστήματα, διατηρώντας παράλληλα τις συνδέσεις που διασφαλίζουν την αλληλεπίδρασή τους. Εάν το υποσύστημα αποδειχθεί πολύπλοκο, τότε η διαδικασία της διάσπασης συνεχίζεται μέχρι να δημιουργηθούν υποσυστήματα που, υπό τις συνθήκες του υπό εξέταση προβλήματος, μπορούν να θεωρηθούν βολικά για μαθηματική περιγραφή.

Ως αποτέλεσμα, μια δομή πολλαπλών επιπέδων λαμβάνεται από διασυνδεδεμένα στοιχεία που συνδυάζονται σε υποσυστήματα διαφόρων επιπέδων. Τα στοιχεία ενός συγκεντρωτικού μοντέλου είναι συγκεντρωτικά στοιχεία. Οι συνδέσεις μεταξύ των μονάδων και του εξωτερικού περιβάλλοντος πραγματοποιούνται με χρήση τελεστών σύζευξης. Η ίδια η μονάδα μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως συγκεντρωτικό μοντέλο, δηλαδή χωρισμένη σε στοιχεία του επόμενου επιπέδου.

Οποιοδήποτε άθροισμα χαρακτηρίζεται από σύνολα: χρονικών στιγμών Τ, εισαγωγή Χκαι τα Σαββατοκύριακα Υσήματα, καταστάσεις μονάδας Ζσε κάθε στιγμή του χρόνου t. Η διαδικασία λειτουργίας της μονάδας αποτελείται από άλματα κατάστασης τις στιγμές λήψης των σημάτων εισόδου Χκαι αλλαγές στις καταστάσεις μεταξύ αυτών των στιγμών και .

Οι στιγμές άλματος που δεν είναι στιγμές άφιξης των σημάτων εισόδου ονομάζονται ειδικές χρονικές στιγμές και οι καταστάσεις ονομάζονται ειδικές καταστάσεις του συνολικού κυκλώματος. Σε πολλές πολιτείες Ζεπιλέξτε ένα υποσύνολο που αν φτάσει στο , τότε αυτή η κατάσταση είναι η στιγμή έκδοσης του σήματος εξόδου y.

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ

ΓΙΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΑΙ ΚΑΘΗΚΟΝΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ

Σχολές ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ, ZDO

Ειδικότητα 220201 - ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ

ΤΕΧΝΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Πτυχίο 220200 - ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ

Μοντελοποίηση συστημάτων: πρόγραμμα εργασίας, κατευθυντήριες γραμμές για ανεξάρτητη εργασία και εργασίες ελέγχου. - Vologda: VoGTU, 2008. - 22 σελ.

Δίνεται το πρόγραμμα εργασίας του κλάδου, υποδεικνύοντας τα θέματα των κύριων ενοτήτων, μεθοδολογικές οδηγίες με συνδέσμους σε πηγές πληροφοριών, δοκιμαστικές εργασίες και κατάλογο αναφορών.

Προορίζεται για φοιτητές πλήρους και μερικής φοίτησης που σπουδάζουν στην κατεύθυνση: 220200 - αυτοματισμός και έλεγχος και ειδικότητες 220201 - διαχείριση και πληροφορική στα τεχνικά συστήματα και στο πτυχίο: 220200 - αυτοματισμός και έλεγχος.

Εγκρίθηκε από το Συντακτικό και Εκδοτικό Συμβούλιο του VoSTU

Συντάκτης: V.N. Tyukin, Ph.D. τεχν. Επιστημών, Αναπληρωτής Καθηγητής

Κριτής: E.V. Nesgovorov, Ph.D. τεχν. Επιστημών, Αναπληρωτής Καθηγητής

Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών και Πληροφορικής του VoSTU

Το πρόγραμμα βασίζεται στις απαιτήσεις του κρατικού εκπαιδευτικού προτύπου της τριτοβάθμιας επαγγελματικής εκπαίδευσης για το ελάχιστο περιεχόμενο και επίπεδο κατάρτισης μηχανικών στην ειδικότητα 210100 - διαχείριση και επιστήμη υπολογιστών σε τεχνικά συστήματα, που εισήχθη στις 10 Μαρτίου 2000.

Απαιτήσεις για γνώσεις και δεξιότητες στον κλάδο

Ως αποτέλεσμα της μελέτης του κλάδου, οι μαθητές πρέπει:

1. Ο μαθητής πρέπει να έχει μια ιδέα:

Σχετικά με το μοντέλο και την προσομοίωση.

Σχετικά με το ρόλο της μοντελοποίησης στην έρευνα, το σχεδιασμό και τη λειτουργία συστημάτων.

Σχετικά με το σκοπό των υπολογιστών σε συστήματα μοντελοποίησης.

Σχετικά με το λογισμικό και το υλικό για συστήματα μοντελοποίησης.

2. Ο μαθητής πρέπει να γνωρίζει:

Σκοπός και απαιτήσεις για το μοντέλο.

Ταξινόμηση τύπων μοντελοποίησης συστημάτων;

Αρχές της προσέγγισης στη μοντελοποίηση συστημάτων.

Μαθηματικά σχήματα για συστήματα μοντελοποίησης.

Κύρια στάδια μοντελοποίησης συστήματος.

3. Ο μαθητής πρέπει να είναι σε θέση:

Αποκτήστε μαθηματικά μοντέλα συστημάτων.

Διεξαγωγή επισημοποίησης και αλγορίθμου της διαδικασίας λειτουργίας των συστημάτων.

Δημιουργία εννοιολογικών και μηχανικών μοντέλων συστημάτων.

Λήψη και ερμηνεία των αποτελεσμάτων προσομοίωσης.

Απαιτήσεις για το ελάχιστο περιεχόμενο του κλάδου

Ταξινόμηση μοντέλων και τύπων μοντελοποίησης. Παραδείγματα μοντέλων συστημάτων. βασικές διατάξεις της θεωρίας της ομοιότητας· στάδια της μαθηματικής μοντελοποίησης? Αρχές κατασκευής και βασικές απαιτήσεις για μαθηματικά μοντέλα συστημάτων. στόχους και στόχους της έρευνας σε μαθηματικά μοντέλα συστημάτων· γενικό σχέδιο για την ανάπτυξη μαθηματικών μοντέλων. επισημοποίηση της διαδικασίας λειτουργίας του συστήματος· την έννοια του συγκεντρωτικού μοντέλου· μορφές αναπαράστασης μαθηματικών μοντέλων. μέθοδοι για τη μελέτη μαθηματικών μοντέλων συστημάτων και διαδικασιών. μοντελοποίηση προσομοίωσης; Μέθοδοι για την απλοποίηση μαθηματικών μοντέλων· τεχνικά εργαλεία και εργαλεία μοντελοποίησης λογισμικού.

Τραπέζι 1

Κατανομή των ωρών του προγράμματος σπουδών ανά μορφές εκπαίδευσης και είδη τάξεων

Είδη δραστηριοτήτων	Εκπαίδευση πλήρους απασχόλησης	Μελέτες αλληλογραφίας
	οικογένεια 7		μόλις μια ώρα	οικογένεια 9		μόλις μια ώρα.
Διαλέξεις
Πρακτικά μαθήματα
Εργαστήριο. δουλειά
Εαυτός Δουλειά
Σύνολο
Τελικός έλεγχος	αυτός.			z, e, 2 k.r.

Πίνακας 2

Κατανομή ωρών ανεξάρτητης εργασίας των μαθητών ανά είδος εργασίας

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΣΕ 1. Τρέχουσα κατάσταση του προβλήματος της μοντελοποίησης συστήματος.

ΣΤΙΣ 2. Χρήση προσομοίωσης στην έρευνα, το σχεδιασμό και

διαχείριση συστημάτων.

Λογοτεχνία: σσ. 4-6.

1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΟΝΤΕΛΕΥΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

1.1. Ορισμός μοντέλου και προσομοίωσης. Απαιτήσεις για το μοντέλο. Σκοπός του μοντέλου.

1.2. Αρχές προσέγγισης μοντελοποίησης συστημάτων.

1.3. Ταξινόμηση τύπων μοντελοποίησης συστημάτων.

1.4. Δυνατότητες και αποτελεσματικότητα συστημάτων μοντελοποίησης σε υπολογιστές.

Λογοτεχνία: σσ. 6-34.

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

2.1. Βασικές προσεγγίσεις για την κατασκευή μαθηματικών μοντέλων συστημάτων. Γενικό μαθηματικό σχήμα.

2.2. Συνεχώς ντετερμινιστικά μοντέλα (Δ - σχήματα).

2.3. Διακριτά-ντετερμινιστικά μοντέλα (F - σχήματα).

2.4. Διακριτά-στοχαστικά μοντέλα (P - σχήματα).

2.5. Συνεχή-στοχαστικά μοντέλα (Q - σχήματα).

2.6. Γενικευμένα μοντέλα (Α - διαγράμματα).

Λογοτεχνία: σσ. 35-67, σσ. 168-180.

3. ΤΥΠΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ

ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

3.1. Ακολουθία ανάπτυξης και μηχανικής υλοποίησης μοντέλων συστημάτων.

3.2. Κατασκευή εννοιολογικού μοντέλου του συστήματος και επισημοποίησή του.

3.3. Αλγόριθμος του μοντέλου και μηχανική του υλοποίηση.

3.4. Λήψη και ερμηνεία αποτελεσμάτων προσομοίωσης.

Λογοτεχνία: σσ. 68-89.

4. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΕΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

4.1. Κανονικές μορφές μοντέλων δυναμικών συστημάτων και μέθοδοι μελέτης τους.

4.2. Μοντελοποίηση προσομοίωσης.

4.3. Στατιστική μοντελοποίηση.

4.4. Εργαλεία μοντελοποίησης συστημάτων λογισμικού και υλικού.

Βιβλιογραφία: .

ΣΤΟΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

«Το να κατανοείς σημαίνει να χτίζεις ένα μοντέλο».

W. Thomson (Kelvin)

Οι πραγματικές εγκαταστάσεις παραγωγής είναι, κατά κανόνα, μεγάλα συστήματα, η μελέτη των οποίων είναι ένα πολύ περίπλοκο έργο. Κύριος στόχος του μαθήματος είναι η ανάπτυξη μιας μεθοδολογικής προσέγγισης στο πρόβλημα της μοντελοποίησης μεγάλων συστημάτων και των συστημάτων ελέγχου τους. Αυτή η κύρια εργασία μπορεί να χωριστεί σε μια σειρά από δευτερεύουσες εργασίες, οι οποίες είναι και οι στόχοι του μαθήματος:

Εισαγωγή στις μεθόδους ανάλυσης και αρχές προσέγγισης της μοντελοποίησης συστημάτων.

Μελέτη των βασικών αρχών της μαθηματικής μοντελοποίησης συστημάτων.

Μελέτη των αρχών και των συσκευών μοντελοποίησης συστημάτων.

Εισαγωγή στις μεθόδους μοντελοποίησης στο σχεδιασμό και τη λειτουργία συστημάτων.

Μελέτη εργαλείων μοντελοποίησης συστημάτων λογισμικού και υλικού.

Απόκτηση πρακτικών δεξιοτήτων στην κατασκευή μοντέλων μεγάλων συστημάτων και μεθόδων επεξεργασίας αποτελεσμάτων προσομοίωσης.

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ

Το μάθημα «Μοντελοποίηση συστημάτων ελέγχου» θα πρέπει να παρέχει στον φοιτητή ένα σύγχρονο, ισχυρό εργαλείο εργασίας μηχανικού για την αποτελεσματική ανάπτυξη και λειτουργία αυτοματοποιημένων συστημάτων παραγωγής. Η μοντελοποίηση είναι ένα μέσο επίλυσης του προβλήματος της κατασκευής μεγάλων συστημάτων, που περιλαμβάνουν σύγχρονη αυτοματοποιημένη παραγωγή, χωρίς κεφαλαιουχικές δαπάνες.

Η σημασία του μαθήματος που μελετάται έγκειται επίσης στην κατάκτηση των τεχνικών και της τεχνολογίας για πρακτική επίλυση προβλημάτων μοντελοποίησης των διαδικασιών λειτουργίας συστημάτων σε υπολογιστή.

Οι μαθητές αναμένεται να μελετήσουν το υλικό του μαθήματος σε μεγάλο βαθμό μόνοι τους. Δίνονται διαλέξεις για τα πιο σύνθετα θέματα του μαθήματος, καθώς και για θέματα που δεν καλύπτονται επαρκώς στη βιβλιογραφία. Οι μαθητές αποκτούν πρακτικές δεξιότητες μοντελοποίησης σε πρακτικά και εργαστηριακά μαθήματα. Επιπλέον, ενώ μελετούν το μάθημα, οι μαθητές εξ αποστάσεως εκπαίδευσης ολοκληρώνουν ένα τεστ.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η μελέτη του μαθήματος θα πρέπει να ξεκινήσει με μια εισαγωγή στη σύγχρονη παραγωγή, η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύνθετο σύστημα διασυνδεδεμένων και αλληλεπιδρώντων στοιχείων, στο οποίο το υλικό και το σύστημα παραγωγής ενεργούν ως αντικείμενο τεχνολογικού ελέγχου και το σύστημα πληροφοριών και ελέγχου παίζει το ρόλο του ένας ρυθμιστής. Η αύξηση της αποτελεσματικότητας της εφαρμογής διαδικασιών διαχείρισης στην παραγωγή απαιτεί την ευρεία εισαγωγή αυτοματοποιημένων συστημάτων ελέγχου που δημιουργούνται με οικονομικές και μαθηματικές μεθόδους και τεχνολογία πληροφοριών και υπολογιστών. Επί του παρόντος, μια πλήρης και ολοκληρωμένη μελέτη των αυτοματοποιημένων συστημάτων ελέγχου σε όλα τα στάδια ανάπτυξης, ξεκινώντας από την επιθεώρηση του αντικειμένου ελέγχου και την κατάρτιση τεχνικών προδιαγραφών για το σχεδιασμό και τελειώνοντας με την εφαρμογή του συστήματος σε λειτουργία, είναι αδύνατη χωρίς μεθόδους μοντελοποίησης υπολογιστή. .

Είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε ότι η μεθοδολογική βάση της μοντελοποίησης είναι η διαλεκτικο-υλιστική μέθοδος γνωστικής και επιστημονικής έρευνας. Γενικά, η μοντελοποίηση μπορεί να οριστεί ως μια μέθοδος έμμεσης γνώσης, στην οποία το αρχικό αντικείμενο που μελετάται είναι σε κάποια αντιστοιχία με ένα άλλο αντικείμενο μοντέλου και το μοντέλο είναι ικανό με τον ένα ή τον άλλο τρόπο να αντικαταστήσει το πρωτότυπο σε ορισμένα στάδια του γνωστικού επεξεργάζομαι, διαδικασία.

Οι βασικές αρχές της μοντελοποίησης είναι.

Η αρχή της επάρκειας πληροφοριών.Καθορίζει το επίπεδο των a priori πληροφοριών στο οποίο μπορεί να δημιουργηθεί ένα κατάλληλο μοντέλο.

Η αρχή της σκοπιμότητας.Καθορίζεται από την πιθανότητα επίτευξης του στόχου μοντελοποίησης σε πεπερασμένο χρόνο.

Η αρχή των πολλαπλών μοντέλων.Το μοντέλο που δημιουργείται πρέπει να αντικατοπτρίζει, πρώτα απ 'όλα, εκείνες τις ιδιότητες του πραγματικού συστήματος που επηρεάζουν τον επιλεγμένο δείκτη απόδοσης.

Αρχή συνάθροισης.Ένα μοντέλο ενός αντικειμένου αναπαρίσταται από μονάδες (υποσυστήματα) που είναι κατάλληλα για περιγραφή με τυπικά μαθηματικά σχήματα.

Αρχή παραμετροποίησης.Το μοντέλο πρέπει να περιλαμβάνει υποσυστήματα που χαρακτηρίζονται από παραμέτρους.

Βασικές έννοιες μοντελοποίησης συστημάτων

«Προσδιορίστε τη σημασία των λέξεων

Και θα παραδώσεις την ανθρωπότητα

Από τις μισές αυταπάτες του».

Κατά τη μελέτη αυτής της ενότητας, είναι σημαντικό να κατανοήσετε τις βασικές έννοιες, τους ορισμούς, τους στόχους και τις αρχές της μοντελοποίησης.

Ένα μοντέλο είναι μια εικόνα του πρωτοτύπου που βασίζεται σε αποδεκτές υποθέσεις και αναλογίες και η μοντελοποίηση είναι μια αναπαράσταση ενός αντικειμένου από ένα μοντέλο για τη λήψη πληροφοριών σχετικά με αυτό το αντικείμενο πραγματοποιώντας πειράματα με το μοντέλο του.

Η κύρια απαίτηση που πρέπει να ικανοποιεί το μοντέλο είναι η επάρκεια του αντικειμένου. Η επάρκεια του μοντέλου εξαρτάται από τον σκοπό της μοντελοποίησης και τα κριτήρια που υιοθετούνται. Ένα μοντέλο είναι επαρκές για ένα αντικείμενο εάν επιβεβαιωθούν τα αποτελέσματα της μοντελοποίησης και μπορεί να χρησιμεύσει ως βάση για την πρόβλεψη των διεργασιών που συμβαίνουν στα υπό μελέτη αντικείμενα.

Η μοντελοποίηση επιλύει τα προβλήματα μελέτης και έρευνας αντικειμένων, πρόβλεψης της λειτουργίας τους, σύνθεσης δομής, παραμέτρων και αλγορίθμων συμπεριφοράς.

Στον έλεγχο, τα μοντέλα καθιστούν δυνατή την εκτίμηση μη παρατηρήσιμων μεταβλητών διεργασίας, την πρόβλεψη της κατάστασης της διαδικασίας κάτω από υπάρχοντες ή επιλεγμένους ελέγχους και την αυτόματη σύνθεση βέλτιστων στρατηγικών ελέγχου.

Κατά το σχεδιασμό και τη λειτουργία αυτοματοποιημένων συστημάτων, προκύπτουν πολυάριθμες εργασίες που απαιτούν την αξιολόγηση των ποσοτικών και ποιοτικών προτύπων των διαδικασιών λειτουργίας των συστημάτων, τη διεξαγωγή δομικής, αλγοριθμικής και παραμετρικής σύνθεσης. Η επίλυση αυτών των προβλημάτων είναι επί του παρόντος αδύνατη χωρίς τη χρήση διαφόρων τύπων μοντελοποίησης, η οποία οφείλεται στα χαρακτηριστικά μεγάλων συστημάτων, όπως η πολυπλοκότητα των δομών, η στοχαστικότητα των συνδέσεων μεταξύ στοιχείων και του εξωτερικού περιβάλλοντος, η ασάφεια των αλγορίθμων συμπεριφοράς, ο μεγάλος αριθμός των παραμέτρων και των μεταβλητών, η μη πληρότητα και η απροσδιοριστία των αρχικών πληροφοριών. Η μαθηματική μοντελοποίηση μπορεί να μειώσει σημαντικά τον χρόνο σχεδιασμού, σε πολλές περιπτώσεις σας επιτρέπει να βρείτε τη βέλτιστη λύση, να εξαλείψετε τη μέθοδο δοκιμής και λάθους πλήρους κλίμακας και να προχωρήσετε σε μια παράλληλη διαδικασία σχεδιασμού.

Επί του παρόντος, στην ανάλυση και σύνθεση μεγάλων συστημάτων, έχει αναπτυχθεί μια συστηματική προσέγγιση, η οποία περιλαμβάνει μια συνεπή μετάβαση από το γενικό στο ειδικό, όταν η βάση εξέτασης είναι ο στόχος και το υπό μελέτη αντικείμενο είναι απομονωμένο από το περιβάλλον. Σε αυτή την περίπτωση, το μοντέλο δημιουργείται για το πρόβλημα που τίθεται και η μοντελοποίηση συνίσταται στην επίλυση του προβλήματος του στόχου, του προβλήματος της κατασκευής του μοντέλου, του προβλήματος της εργασίας με το μοντέλο. Ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα ενός σωστά επιλεγμένου μοντέλου είναι ότι αποκαλύπτει μόνο εκείνα τα μοτίβα που χρειάζεται ο ερευνητής και δεν λαμβάνει υπόψη τις ιδιότητες του συστήματος που δεν είναι απαραίτητες για αυτήν τη μελέτη.

Η ταξινόμηση των τύπων μοντελοποίησης συστημάτων βασίζεται σε διάφορα χαρακτηριστικά, όπως ο βαθμός πληρότητας του μοντέλου, η φύση της μαθηματικής περιγραφής. Σημαντική θέση καταλαμβάνει η μαθηματική μοντελοποίηση, η οποία είναι η διαδικασία δημιουργίας μιας αντιστοιχίας μεταξύ ενός δεδομένου πραγματικού αντικειμένου και ενός συγκεκριμένου μαθηματικού αντικειμένου, που ονομάζεται μαθηματικό μοντέλο, και η μελέτη αυτού του μοντέλου, που επιτρέπει σε κάποιον να αποκτήσει τα χαρακτηριστικά του πραγματικού επίμαχο αντικείμενο. Η μαθηματική μοντελοποίηση περιλαμβάνει αναλυτική και προσομοίωση. Η μοντελοποίηση προσομοίωσης βασίζεται σε μια άμεση περιγραφή του μοντελοποιημένου αντικειμένου, χρησιμοποιώντας τη δομική ομοιότητα του αντικειμένου και του μοντέλου, δηλ. Κάθε στοιχείο του αντικειμένου που είναι σημαντικό από την άποψη του προβλήματος που επιλύεται σχετίζεται με ένα στοιχείο μοντέλου.

Το τεχνικό μέσο για την επίλυση προβλημάτων μηχανικής με βάση τη μοντελοποίηση είναι ένας υπολογιστής. Ένα πείραμα μηχανής με ένα μοντέλο καθιστά δυνατή τη μελέτη της διαδικασίας λειτουργίας υπό οποιεσδήποτε συνθήκες, μειώνει τη διάρκεια των δοκιμών σε σύγκριση με ένα πείραμα πλήρους κλίμακας, έχει την ευελιξία να μεταβάλλει τις παραμέτρους, τη δομή και τους αλγόριθμους του προσομοιωμένου συστήματος και είναι η μόνη πρακτικά εφικτή μέθοδος για τη μελέτη της διαδικασίας λειτουργίας των συστημάτων στο στάδιο του σχεδιασμού τους.

Ερωτήσεις αυτοδιαγνωστικού ελέγχου

1.Τι είναι το μοντέλο και η προσομοίωση;

2. Διατυπώστε τις βασικές απαιτήσεις για το μοντέλο.

3. Ποιος είναι ο ρόλος της μοντελοποίησης στην έρευνα, το σχεδιασμό και τον έλεγχο συστημάτων;

4. Δώστε ορισμούς του συστήματος, του εξωτερικού περιβάλλοντος και της λειτουργίας του συστήματος.

5. Ποιο είναι το νόημα μιας συστημικής προσέγγισης στη μοντελοποίηση;

6. Να αναφέρετε τα χαρακτηριστικά της ταξινόμησης των τύπων μοντελοποίησης συστημάτων.

7.Μιλήστε μας για τη μαθηματική μοντελοποίηση και τα είδη της.

8. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ αναλυτικής και προσομοίωσης μοντελοποίησης;

9.Τι είναι η κυβερνητική μοντελοποίηση;

10. Ο ρόλος και ο σκοπός των υπολογιστών στη μοντελοποίηση.

Μαθηματικά σχήματα για συστήματα μοντελοποίησης

«Ο υψηλότερος σκοπός των μαθηματικών είναι

Βρίσκοντας τάξη στο χάος

Αυτό που μας περιβάλλει».

Κατά τη μελέτη αυτής της ενότητας, πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να δοθεί προσοχή στις έννοιες των σχημάτων μαθηματικής μοντελοποίησης, τόσο γενικών όσο και τυπικών.

Ένα μαθηματικό σχήμα ορίζεται ως ένας σύνδεσμος στη μετάβαση από μια ουσιαστική σε μια επίσημη περιγραφή της διαδικασίας λειτουργίας ενός συστήματος, λαμβάνοντας υπόψη την επίδραση του εξωτερικού περιβάλλοντος, δηλ. υπάρχει μια αλυσίδα «περιγραφικό μοντέλο - μαθηματικό σχήμα - μαθηματικό μοντέλο». Το μαθηματικό σχήμα μας επιτρέπει να θεωρούμε τα μαθηματικά όχι ως μέθοδο υπολογισμού, αλλά ως μέθοδο σκέψης, ως μέσο διατύπωσης εννοιών, το οποίο είναι πιο σημαντικό στη μετάβαση από μια λεκτική περιγραφή ενός συστήματος σε μια επίσημη αναπαράσταση της διαδικασίας της λειτουργίας του με τη μορφή κάποιου μαθηματικού μοντέλου.

Μοντέλο του αντικειμένου μοντελοποίησης, π.χ. Το σύστημα μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα σύνολο μεγεθών που περιγράφουν τη διαδικασία λειτουργίας ενός πραγματικού συστήματος και σχηματίζουν, γενικά, τα ακόλουθα υποσύνολα: ένα σύνολο επιρροών εισόδου στο σύστημα, ένα σύνολο εξωτερικών περιβαλλοντικών επιρροών, ένα σύνολο εσωτερικών ( δικές) παραμέτρους του συστήματος και ένα σύνολο χαρακτηριστικών εξόδου του συστήματος. Οι επιρροές εισόδου, οι επιρροές του εξωτερικού περιβάλλοντος, οι εσωτερικές παράμετροι είναι ανεξάρτητες (εξωγενείς) μεταβλητές και τα χαρακτηριστικά εξόδου του συστήματος είναι εξαρτημένες (ενδογενείς) μεταβλητές. Ένα γενικό σχήμα μαθηματικής μοντελοποίησης καθορίζεται από έναν τελεστή που μετατρέπει εξωγενείς μεταβλητές σε ενδογενείς.

Στην πρακτική της μοντελοποίησης χρησιμοποιεί τυπικά μαθηματικά σχήματα που δεν έχουν γενικότητα, αλλά έχουν τα πλεονεκτήματα της απλότητας και της σαφήνειας. Αυτά περιλαμβάνουν ντετερμινιστικά, στοχαστικά και συγκεντρωτικά τυπικά μοντέλα. Διαφορικές, ολοκληρωτικές, ολοκληρωτικές και άλλες εξισώσεις χρησιμοποιούνται ως ντετερμινιστικά μοντέλα και οι εξισώσεις διαφοράς και τα πεπερασμένα αυτόματα χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση συστημάτων που λειτουργούν σε διακριτό χρόνο. Τα πιθανοτικά αυτόματα χρησιμοποιούνται ως στοχαστικά μοντέλα για την αναπαράσταση συστημάτων διακριτού χρόνου και τα συστήματα ουράς χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση συστημάτων συνεχούς χρόνου. Τα συγκεντρωτικά μοντέλα αντικατοπτρίζουν τη συστημική φύση των αντικειμένων, τα οποία χωρίζονται σε έναν πεπερασμένο αριθμό μερών, διατηρώντας παράλληλα συνδέσεις που διασφαλίζουν την αλληλεπίδραση των μερών.

Τα τυπικά μαθηματικά σχήματα (D-,F-,P-,Q-,A-) καθιστούν δυνατή την επισημοποίηση μιας αρκετά ευρείας κατηγορίας μεγάλων συστημάτων που πρέπει να αντιμετωπιστούν στην πρακτική της έρευνας και του σχεδιασμού προβλημάτων παραγωγής.

Ερωτήσεις αυτοδιαγνωστικού ελέγχου

1.Ποιος είναι ο ρόλος του σχήματος μαθηματικής μοντελοποίησης;

2.Τι είναι ένα γενικό μαθηματικό σχήμα;

3.Να ονομάσετε τις κύριες μορφές αναπαράστασης συνεχώς ντετερμινιστικών μοντέλων.

4.Δώστε μια περιγραφή μιας μηχανής διακριτής πεπερασμένης κατάστασης.

5. Καταγράψτε τους τρόπους για να καθορίσετε τη λειτουργία των F - automata.

6. Πώς να ορίσετε ένα πιθανό αυτόματο.

7.Τι είναι το QS; Ονομάστε τα κύρια στοιχεία ενός QS.

8.Τι είναι μια συναλλαγή;

9.Μιλήστε μας για τον συμβολισμό των κυκλωμάτων Q. Πώς απεικονίζονται γραφικά: πηγή αιτημάτων, κανάλι εξυπηρέτησης, συσσωρευτής, βαλβίδα, ροές συμβάντων. Δώστε ένα παράδειγμα μιας εικόνας ενός QS στον συμβολισμό των σχημάτων Q.

10. Ποια είναι η δομή του συγκεντρωτικού συστήματος;

Οι αρχικές πληροφορίες κατά την κατασκευή μαθηματικών μοντέλων διαδικασιών λειτουργίας συστημάτων είναι δεδομένα για το σκοπό και τις συνθήκες λειτουργίας του συστήματος που μελετάται (σχεδιάζεται), τα οποία καθορίζουν τον κύριο στόχο της μοντελοποίησης και μας επιτρέπουν να διατυπώσουμε απαιτήσεις για το μαθηματικό μοντέλο που αναπτύσσεται . Μαθηματικό σχήμαμπορεί να οριστεί ως ένας σύνδεσμος στη μετάβαση από μια ουσιαστική σε μια επίσημη περιγραφή της διαδικασίας λειτουργίας του συστήματος, λαμβάνοντας υπόψη την επιρροή του εξωτερικού περιβάλλοντος, δηλ. υπάρχει μια αλυσίδα «περιγραφικό μοντέλο – μαθηματικό σχήμα – μαθηματικό [αναλυτικό ή/και προσομοίωση] μοντέλο».

Μοντέλο του αντικειμένου μοντελοποίησης, δηλαδή του συστήματος ΜΙΚΡΟ,μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα σύνολο μεγεθών που περιγράφουν τη διαδικασία λειτουργίας ενός πραγματικού συστήματος και γενικά σχηματίζουν τα ακόλουθα υποσύνολα:

· ολότητα εισροές επιρροέςανά σύστημα - x i;

· ολότητα περιβαλλοντικές επιρροές– n l;

· ολότητα εσωτερικές (δικές) παραμέτρουςσυστήματα - η κ;

· ολότητα χαρακτηριστικά εξόδουσυστήματα - y j.

Σε αυτήν την περίπτωση, στα αναφερόμενα υποσύνολα, διακρίνονται ελεγχόμενες και μη ελεγχόμενες μεταβλητές. Γενικά x i, n l, η κ, y jείναι στοιχεία ασύνδετων υποσυνόλων X, V, H, Yκαι περιέχουν ντετερμινιστικές και στοχαστικές συνιστώσες.

Κατά τη μοντελοποίηση ενός συστήματος μικρόεισροές επιρροές, περιβαλλοντικές επιρροές μικαι οι εσωτερικές παράμετροι του συστήματος είναι ανεξάρτητες (εξωγενείς) μεταβλητές,που σε διανυσματική μορφή έχουν την αντίστοιχη μορφή

και τα χαρακτηριστικά εξόδου του συστήματος είναι εξαρτημένες (ενδογενείς) μεταβλητέςκαι σε διανυσματική μορφή μοιάζουν

Διαδικασία λειτουργίας συστήματος μικρόπεριγράφεται εγκαίρως από τον χειριστή φάμικρό , που γενικά μετατρέπει τις εξωγενείς μεταβλητές σε ενδογενείς σύμφωνα με σχέσεις της μορφής:

. (2.1)

Ένα σύνολο εξαρτήσεων των χαρακτηριστικών εξόδου του συστήματος έγκαιρα y j(t) για όλους τους τύπους καλείται διαδρομή εξόδου.Η εξάρτηση (2.1) ονομάζεται νόμος της λειτουργίας του συστήματος Sκαι ορίζεται Fs.Γενικά, ο νόμος της λειτουργίας του συστήματος F sμπορεί να καθοριστεί με τη μορφή συνάρτησης, λειτουργικών, λογικών συνθηκών, σε αλγοριθμικές και πινακοποιημένες μορφές ή με τη μορφή ενός κανόνα λεκτικής αντιστοίχισης.

Πολύ σημαντικό για την περιγραφή και τη μελέτη του συστήματος μικρόείναι η έννοια αλγόριθμος λειτουργίας A s, η οποία νοείται ως μέθοδος για την απόκτηση χαρακτηριστικών εξόδου λαμβάνοντας υπόψη τις επιρροές εισόδου , περιβαλλοντικές επιρροές και τις δικές του παραμέτρους συστήματος . Είναι προφανές ότι ο ίδιος νόμος λειτουργίας του συστήματος μπορεί να εφαρμοστεί με διαφορετικούς τρόπους, δηλ. χρησιμοποιώντας πολλούς διαφορετικούς αλγόριθμους Οπως και.

Οι σχέσεις (2.1) είναι μια μαθηματική περιγραφή της συμπεριφοράς του αντικειμένου μοντελοποίησης (συστήματος) στο χρόνο , εκείνοι. αντικατοπτρίζουν τις δυναμικές του ιδιότητες. Επομένως, συνήθως ονομάζονται μαθηματικά μοντέλα αυτού του τύπου δυναμικά μοντέλα (συστήματα).

Για στατικά μοντέλα, η μαθηματική περιγραφή (2.1) είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο υποσυνόλων των ιδιοτήτων του μοντελοποιημένου αντικειμένου ΥΚαι [ X, V, H], που σε διανυσματική μορφή μπορεί να γραφτεί ως

. (2.2)

Οι σχέσεις (2.1) και (2.2) μπορούν να προσδιοριστούν με διάφορους τρόπους: αναλυτικά (χρησιμοποιώντας τύπους), γραφικά, πινακικά κ.λπ. Τέτοιες σχέσεις σε ορισμένες περιπτώσεις μπορούν να ληφθούν μέσω των ιδιοτήτων του συστήματος μικρόσε συγκεκριμένα χρονικά σημεία, καλούνται πολιτείες.Κατάσταση του συστήματος μικρόχαρακτηρίζεται από φορείς

Και ,

Οπου z ’ 1 =z 1 (t ’),z ’ 2 =z 2 (t ’), …, z'k = zκ ( t'), αυτή τη στιγμή t ’’ Î( t 0 , Τ); z ’’ 1 =z 1 (t ’’), z ’’ 2 =z 2 (t ’’), …, z'' k = zκ ( t'') στη στιγμή t ’’ Î( t 0 , Τ) και τα λοιπά., .

Αν αναλογιστούμε τη διαδικασία λειτουργίας του συστήματος μικρόως διαδοχική αλλαγή καταστάσεων z 1 (t), z 2 (t), ..., zκ ( t), τότε μπορούν να ερμηνευτούν ως οι συντεταγμένες ενός σημείου στο κ-διαστατικός χώρος φάσης, και κάθε υλοποίηση της διαδικασίας θα αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη τροχιά φάσης. Καλείται το σύνολο όλων των πιθανών τιμών κατάστασης χώρος κατάστασηςαντικείμενο μοντελοποίησης Ζ, και z k О Ζ.

καταστάσεις συστήματος μικρόσε μια χρονική στιγμή t 0<t*£ Τκαθορίζονται πλήρως από τις αρχικές συνθήκες [Οπου z 0 1 =z 1 (t 0), z 0 2 =z 2 (t 0), ..., z 0 k = zκ ( t 0)], επιρροές εισόδου, εσωτερικές παράμετροι και εξωτερικές περιβαλλοντικές επιρροές που έλαβαν χώρα σε μια χρονική περίοδο t*– t0,χρησιμοποιώντας δύο διανυσματικές εξισώσεις:

; (2.3)

. (2.4)

Η πρώτη εξίσωση, με βάση την αρχική κατάσταση και τις εξωγενείς μεταβλητές, καθορίζει τη διανυσματική συνάρτηση , και η δεύτερη σύμφωνα με την λαμβανόμενη τιμή των καταστάσεων είναι ενδογενείς μεταβλητές στην έξοδο του συστήματος . Έτσι, η αλυσίδα των εξισώσεων του αντικειμένου «είσοδος – καταστάσεις – έξοδος» μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε τα χαρακτηριστικά του συστήματος:

Γενικά, ο χρόνος στο μοντέλο συστήματος μικρόμπορεί να θεωρηθεί για το διάστημα μοντελοποίησης (0, Τ) τόσο συνεχείς όσο και διακριτές, δηλ. κβαντισμένα σε τμήματα μήκους χρονικών μονάδων το καθένα, όταν , όπου είναι ο αριθμός των διαστημάτων δειγματοληψίας.

Έτσι, κάτω από μαθηματικό μοντέλο του αντικειμένου(πραγματικό σύστημα) κατανοούν ένα πεπερασμένο υποσύνολο μεταβλητών μαζί με τις μαθηματικές συνδέσεις μεταξύ τους και τα χαρακτηριστικά.

Εάν η μαθηματική περιγραφή του αντικειμένου μοντελοποίησης δεν περιέχει τυχαία στοιχεία ή δεν λαμβάνονται υπόψη, π.χ. αν μπορούμε να υποθέσουμε ότι σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχουν στοχαστικές επιρροές του εξωτερικού περιβάλλοντος και στοχαστικές εσωτερικές παράμετροι, τότε το μοντέλο ονομάζεται ντετερμινιστικήμε την έννοια ότι τα χαρακτηριστικά καθορίζονται μοναδικά από ντετερμινιστικές εισροές επιρροές

. (2.6)

Είναι προφανές ότι το ντετερμινιστικό μοντέλο είναι μια ειδική περίπτωση του στοχαστικού μοντέλου.

Οι παρουσιαζόμενες μαθηματικές σχέσεις αντιπροσωπεύουν γενικά μαθηματικά σχήματα και καθιστούν δυνατή την περιγραφή μιας ευρείας κατηγορίας συστημάτων. Ωστόσο, στην πρακτική της μοντελοποίησης αντικειμένων στον τομέα της μηχανικής συστημάτων και της ανάλυσης συστημάτων, στα αρχικά στάδια της έρευνας συστημάτων, είναι πιο ορθολογικό να χρησιμοποιείται τυπικά μαθηματικά σχήματα:διαφορικές εξισώσεις, πεπερασμένα και πιθανοτικά αυτόματα, συστήματα ουράς, δίκτυα Petri κ.λπ.

Χωρίς τον ίδιο βαθμό γενικότητας με τα μοντέλα που εξετάστηκαν, τα τυπικά μαθηματικά σχήματα έχουν τα πλεονεκτήματα της απλότητας και της σαφήνειας, αλλά με σημαντικό περιορισμό των δυνατοτήτων εφαρμογής. Ως ντετερμινιστικά μοντέλα, όταν δεν λαμβάνονται υπόψη τυχαίοι παράγοντες στη μελέτη, χρησιμοποιούνται διαφορικές, ολοκληρωτικές, ολοκλήρωμα-διαφορικές και άλλες εξισώσεις για την αναπαράσταση συστημάτων που λειτουργούν σε συνεχή χρόνο και πεπερασμένα αυτόματα και μηχανές πεπερασμένης κατάστασης χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση συστημάτων που λειτουργούν σε διακριτό χρόνο.σχήματα διαφοράς. Τα πιθανοτικά αυτόματα χρησιμοποιούνται ως στοχαστικά μοντέλα (λαμβάνοντας υπόψη τυχαίους παράγοντες) για την αναπαράσταση συστημάτων διακριτού χρόνου, και συστήματα ουράς, κ.λπ., για την αναπαράσταση συστημάτων συνεχούς χρόνου.

Τα αναφερόμενα τυπικά μαθηματικά σχήματα, φυσικά, δεν μπορούν να ισχυριστούν ότι μπορούν να περιγράψουν στη βάση τους όλες τις διεργασίες που συμβαίνουν σε μεγάλα συστήματα πληροφοριών και ελέγχου. Για τέτοια συστήματα, σε ορισμένες περιπτώσεις, η χρήση συγκεντρωτικών μοντέλων είναι πιο ελπιδοφόρα. Τα συγκεντρωτικά μοντέλα (συστήματα) καθιστούν δυνατή την περιγραφή ενός ευρέος φάσματος ερευνητικών αντικειμένων, αντανακλώντας τη συστημική φύση αυτών των αντικειμένων. Είναι με μια συγκεντρωτική περιγραφή που ένα σύνθετο αντικείμενο (σύστημα) χωρίζεται σε έναν πεπερασμένο αριθμό μερών (υποσυστήματα), ενώ διατηρεί τις συνδέσεις που διασφαλίζουν την αλληλεπίδραση των μερών.

Έτσι, κατά την κατασκευή μαθηματικών μοντέλων διαδικασιών λειτουργίας συστημάτων, μπορούν να διακριθούν οι ακόλουθες κύριες προσεγγίσεις: συνεχής-ντετερμινιστική (για παράδειγμα, διαφορικές εξισώσεις). διακριτές-ντετερμινιστικές (μηχανές πεπερασμένης κατάστασης). διακριτό-στοχαστικό (πιθανολογικά αυτόματα). συνεχής-στοχαστική (συστήματα αναμονής) γενικευμένη ή καθολική (συγκεντρωτικά συστήματα).

Διάλεξη 5.

Συνεχώς ντετερμινιστικά μοντέλα (σχήματα D)

Ας εξετάσουμε τα χαρακτηριστικά της συνεχώς ντετερμινιστικής προσέγγισης χρησιμοποιώντας το παράδειγμα χρήσης διαφορικών εξισώσεων ως μαθηματικών μοντέλων. Διαφορικές εξισώσειςΠρόκειται για εξισώσεις στις οποίες οι συναρτήσεις μιας ή περισσότερων μεταβλητών είναι άγνωστες και η εξίσωση περιλαμβάνει όχι μόνο συναρτήσεις, αλλά και τις παράγωγές τους διαφόρων τάξεων. Αν οι άγνωστοι είναι συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, τότε καλούνται οι εξισώσεις μερικές διαφορικές εξισώσεις,Διαφορετικά, όταν εξετάζουμε μια συνάρτηση μιας μόνο ανεξάρτητης μεταβλητής, καλούνται οι εξισώσεις συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις(ODU) .

Τυπικά, σε τέτοια μαθηματικά μοντέλα, ο χρόνος χρησιμεύει ως η ανεξάρτητη μεταβλητή από την οποία εξαρτώνται οι άγνωστες άγνωστες συναρτήσεις. t.Τότε η μαθηματική σχέση για ντετερμινιστικά συστήματα (2.6) σε γενική μορφή θα είναι

Οπου Και - n-διαστασιακά διανύσματα; - μια διανυσματική συνάρτηση που ορίζεται σε ορισμένα ( n+ 1)-διάστατο σύνολο και είναι συνεχής. Εφόσον τα μαθηματικά σχήματα αυτού του τύπου αντικατοπτρίζουν τη δυναμική του συστήματος που μελετάται, δηλ. τη συμπεριφορά του στο χρόνο, λέγονται Δ-σχήματα(από το αγγλικό δυναμικό).

Στην απλούστερη περίπτωση, η ΟΔΕ έχει τη μορφή:

,

Οπου η 0 , η 1 , η 2 – παράμετροι συστήματος. z(t) – κατάσταση του συστήματος σε μια χρονική στιγμή t.

Εάν το υπό μελέτη σύστημα αλληλεπιδρά με το εξωτερικό περιβάλλον μι , τότε εμφανίζεται η επιρροή εισόδου Χ(t) και το συνεχώς ντετερμινιστικό μοντέλο ενός τέτοιου συστήματος θα έχει τη μορφή:

.

Από τη σκοπιά του γενικού σχήματος του μαθηματικού μοντέλου Χ(t) είναι η ενέργεια εισόδου (ελέγχου) και η κατάσταση του συστήματος μικρόσε αυτή την περίπτωση μπορεί να θεωρηθεί ως χαρακτηριστικό εξόδου, δηλ. Ας υποθέσουμε ότι η μεταβλητή εξόδου συμπίπτει με την κατάσταση του συστήματος σε μια δεδομένη στιγμή y=z.

Κατά την επίλυση προβλημάτων μηχανικής συστημάτων, τα προβλήματα διαχείρισης μεγάλων συστημάτων έχουν μεγάλη σημασία. Θα πρέπει να δώσετε προσοχή στα συστήματα αυτόματου ελέγχου - μια ειδική περίπτωση δυναμικών συστημάτων που περιγράφεται ΡΕ-σχήματα και μοντέλα χωρίζονται σε ξεχωριστή κατηγορία λόγω της πρακτικής ιδιαιτερότητάς τους. Όταν περιγράφουν διαδικασίες αυτόματου ελέγχου, συνήθως τηρούν την αναπαράσταση ενός πραγματικού αντικειμένου με τη μορφή δύο συστημάτων: ελέγχου και ελεγχόμενου (αντικείμενο ελέγχου).

. Διάλεξη 6.

Διακριτά-ντετερμινιστικά μοντέλα (σχήματα F)

Θα εξετάσουμε τα χαρακτηριστικά της διακριτής-ντετερμινιστικής προσέγγισης στο στάδιο της επισημοποίησης της διαδικασίας λειτουργίας του συστήματος χρησιμοποιώντας το παράδειγμα χρήσης της θεωρίας των αυτομάτων ως μαθηματικού μηχανισμού. Η θεωρία των αυτομάτων είναι ένας κλάδος της θεωρητικής κυβερνητικής στον οποίο μελετώνται μαθηματικά μοντέλα - αυτόματα. Με βάση αυτή τη θεωρία, το σύστημα αναπαρίσταται ως ένα αυτόματο που επεξεργάζεται διακριτές πληροφορίες και αλλάζει τις εσωτερικές τους καταστάσεις μόνο σε αποδεκτούς χρόνους. Η έννοια της «αυτόματης μηχανής» ποικίλλει ανάλογα με τη φύση των συγκεκριμένων συστημάτων που μελετώνται, το επίπεδο αφαίρεσης που υιοθετείται και τον κατάλληλο βαθμό γενικότητας. Ένα αυτόματο μπορεί να θεωρηθεί ως μια συσκευή (ένα μαύρο κουτί) στην οποία παρέχονται σήματα εισόδου και λαμβάνονται σήματα εξόδου και η οποία μπορεί να έχει κάποιες εσωτερικές καταστάσεις. Ένα πεπερασμένο αυτόματο είναι ένα αυτόματο που έχει ένα σύνολο εσωτερικών καταστάσεων και, επομένως, ένα σύνολο σημάτων εξόδου που είναι πεπερασμένα σύνολα. Αφηρημένα, ένα πεπερασμένο αυτόματο (από το αγγλικό πεπερασμένο automat) μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα μαθηματικό σχήμα που χαρακτηρίζεται από έξι στοιχεία: ένα πεπερασμένο σύνολο Χσήματα εισόδου (αλφάβητο εισόδου). πεπερασμένο σύνολο Υσήματα εξόδου (αλφάβητο εξόδου). πεπερασμένο σύνολο Ζεσωτερικές καταστάσεις (εσωτερικό αλφάβητο ή αλφάβητο πολιτειών). αρχική κατάσταση z 0 Î Ζ; λειτουργία μετάβασης ι(z, x) λειτουργία εξόδου y(z, x).

Καθορίζεται αυτόματο φά-σχέδιο: – λειτουργεί σε διακριτό αυτόματο χρόνο, οι ροπές του οποίου είναι τικ, δηλ. ίσα χρονικά διαστήματα το ένα δίπλα στο άλλο, καθένα από τα οποία αντιστοιχεί σε σταθερές τιμές σημάτων εισόδου και εξόδου και εσωτερικών καταστάσεων. Αν ορίσουμε την κατάσταση, καθώς και τα σήματα εισόδου και εξόδου που αντιστοιχούν t-μου ρολόι στο t= 0, 1, 2, ..., έως z(t),Χ(t),y(t).Εν z(0)=z 0 , z(t)Î Ζ, Χ(t)Î X, y(t)Î Υ.Μια μηχανή αφηρημένης κατάστασης έχει ένα κανάλι εισόδου και ένα κανάλι εξόδου. Σε κάθε στιγμή διακριτού χρόνου φά- το μηχάνημα είναι σε συγκεκριμένη κατάσταση z(t) από πολλούς Ζκατάσταση της μηχανής και στην αρχική χρονική στιγμή t=0 είναι πάντα στην αρχική κατάσταση z(0)=z 0 . Στη στιγμή t,είμαι ικανός z(t), το μηχάνημα μπορεί να λαμβάνει σήμα στο κανάλι εισόδου Χ(t)Î Χκαι εξάγετε ένα σήμα στο κανάλι εξόδου στο(t)=y[z(t), Χ(t)], περνώντας στο κράτος z(t+1)=j[z(t), x(t)], Χ(t)Î X, y(t)Î Υ.Μια αφηρημένη πεπερασμένη μηχανή υλοποιεί κάποια χαρτογράφηση ενός συνόλου λέξεων του αλφαβήτου εισόδου Χγια πολλές λέξεις του αλφαβήτου εξόδου Υ. Με άλλα λόγια, εάν η είσοδος μιας μηχανής πεπερασμένης κατάστασης οριστεί στην αρχική κατάσταση z 0 , παρέχει γράμματα του αλφαβήτου εισόδου με κάποια σειρά Χ(0),Χ(1),Χ(2),..., δηλ. εισαγάγετε λέξη, τότε τα γράμματα του αλφαβήτου εξόδου θα εμφανιστούν στην έξοδο του μηχανήματος στο(0), y(1), στο(2), ..., σχηματίζοντας τη λέξη εξόδου. Έτσι, η λειτουργία της μηχανής πεπερασμένης κατάστασης συμβαίνει σύμφωνα με το ακόλουθο σχήμα: σε κάθε t- m κύκλο στην είσοδο του μηχανήματος, το οποίο βρίσκεται σε κατάσταση z(t), δίνεται κάποιο σήμα Χ(t), στο οποίο αντιδρά μεταβαίνοντας σε ( t+1)-η διαδρομή σε νέα κατάσταση z(t+1) και παράγει κάποιο σήμα εξόδου.

Με βάση τον αριθμό των καταστάσεων, οι μηχανές πεπερασμένων καταστάσεων διακρίνονται μεταξύ μηχανών πεπερασμένης κατάστασης με και χωρίς μνήμη. Τα αυτόματα με μνήμη έχουν περισσότερες από μία καταστάσεις, ενώ τα αυτόματα χωρίς μνήμη (συνδυασμός ή λογικά κυκλώματα) έχουν μόνο μία κατάσταση. Με βάση τη φύση της διακριτής μέτρησης χρόνου, οι μηχανές πεπερασμένης κατάστασης χωρίζονται σε σύγχρονες και ασύγχρονες. Σε συγχρονισμό φάΣτα αυτόματα μηχανήματα, οι χρονικές στιγμές κατά τις οποίες το μηχάνημα «διαβάζει» τα σήματα εισόδου καθορίζονται από σήματα εξαναγκασμένου συγχρονισμού. Ασύγχρονη ΦΑ-το μηχάνημα διαβάζει το σήμα εισόδου συνεχώς, και επομένως, ανταποκρίνεται σε ένα αρκετά μεγάλο σήμα εισόδου σταθερής τιμής Χ,μπορεί να αλλάξει κατάσταση πολλές φορές, παράγοντας τον αντίστοιχο αριθμό σημάτων εξόδου, μέχρι να γίνει σταθερό, το οποίο δεν μπορεί πλέον να αλλάξει από ένα δεδομένο σήμα εισόδου.

Διακριτά-στοχαστικά μοντέλα (σχήματα P)

Ας εξετάσουμε τα χαρακτηριστικά της κατασκευής μαθηματικών σχημάτων χρησιμοποιώντας μια διακριτή-στοχαστική προσέγγιση για την επισημοποίηση της διαδικασίας λειτουργίας του υπό μελέτη συστήματος. Δεδομένου ότι η ουσία της διακριτοποίησης χρόνου σε αυτή την προσέγγιση παραμένει παρόμοια με εκείνα που εξετάζονται στα πεπερασμένα αυτόματα, θα ανιχνεύσουμε επίσης την επίδραση του παράγοντα στοχαστικότητας στις ποικιλίες τέτοιων αυτόματα, δηλαδή στα πιθανολογικά (στοχαστικά) αυτόματα.

Σε γενικές γραμμές, ένα πιθανό αυτόματο μπορεί να οριστεί ως ένας διακριτός μετατροπέας πληροφοριών κύκλου ρολογιού με μνήμη, η λειτουργία του οποίου σε κάθε κύκλο ρολογιού εξαρτάται μόνο από την κατάσταση της μνήμης σε αυτό και μπορεί να περιγραφεί στατιστικά. Η χρήση πιθανοτικών κυκλωμάτων αυτόματα είναι σημαντική για την ανάπτυξη μεθόδων σχεδιασμού διακριτών συστημάτων που παρουσιάζουν στατιστικά κανονική τυχαία συμπεριφορά, για την αποσαφήνιση των αλγοριθμικών δυνατοτήτων τέτοιων συστημάτων και την αιτιολόγηση των ορίων της σκοπιμότητας της χρήσης τους, καθώς και για την επίλυση προβλημάτων σύνθεσης σύμφωνα με σε ένα επιλεγμένο κριτήριο διακριτών στοχαστικών συστημάτων που ικανοποιούν δεδομένους περιορισμούς.

Ας εισαγάγουμε τη μαθηματική έννοια R-πολυβόλο , χρησιμοποιώντας τις έννοιες που εισάγονται για φά-αυτόματο . Σκεφτείτε το σετ σολ, του οποίου τα στοιχεία είναι όλα πιθανά ζεύγη ( x i, z s), Οπου x i,Και z s– στοιχεία του υποσυνόλου εισόδου Χκαι υποσύνολα κρατών Ζαντίστοιχα. Αν υπάρχουν δύο τέτοιες λειτουργίες ιΚαι y,στη συνέχεια με τη βοήθειά τους πραγματοποιούνται χαρτογραφήσεις σολ® ΖΚαι σολ® Υ,τότε λένε ότι ορίζει ένα αυτόματο ντετερμινιστικού τύπου. Ας εισαγάγουμε ένα πιο γενικό μαθηματικό σχήμα. Αφήνω φά– το σύνολο όλων των πιθανών ζευγών της φόρμας ( z k , y i) Οπου y j– στοιχείο του υποσυνόλου εξόδου Υ. Απαιτούμε ότι οποιοδήποτε στοιχείο του συνόλου σολπου προκαλείται στο σετ φάκάποιο νόμο διανομής της ακόλουθης μορφής:

Στοιχεία από το F … (z 1 , y 1) … (z 1 , y 2) … … (z K, y J -1) (z K, y J)

(x i z k) … σι 11 σι 12 … bK(J -1 ) β KJ

Όπου,

Οπου b kj– η πιθανότητα μετάβασης της μηχανής στην κατάσταση z kκαι την εμφάνιση του σήματος στην έξοδο y j,αν μπορούσε z sκαι αυτή τη στιγμή ελήφθη ένα σήμα στην είσοδό του x i. Ο αριθμός τέτοιων κατανομών, που παρουσιάζονται με τη μορφή πινάκων, είναι ίσος με τον αριθμό των στοιχείων του συνόλου ΣΟΛ.Ας υποδηλώσουμε το σύνολο αυτών των πινάκων με ΣΕ, μετά τα τέσσερα στοιχεία που ονομάζεται πιθανοτικό αυτόματο ( R-αυτόματο) .

Διάλεξη 7.

Συνεχή-στοχαστικά μοντέλα (σχήματα Q)

Θα εξετάσουμε τα χαρακτηριστικά της συνεχούς-στοχαστικής προσέγγισης χρησιμοποιώντας το παράδειγμα χρήσης συστημάτων ουράς ως τυπικά μαθηματικά σχήματα, τα οποία θα ονομάσουμε Q-σχήματα . Τα συστήματα ουράς είναι μια κατηγορία μαθηματικών σχημάτων που αναπτύχθηκαν στη θεωρία ουρών αναμονής και σε διάφορες εφαρμογές για την επισημοποίηση των διαδικασιών λειτουργίας των συστημάτων, οι οποίες είναι ουσιαστικά διαδικασίες εξυπηρέτησης.

Ως διαδικασία υπηρεσίας, οι διαδικασίες λειτουργίας οικονομικών, παραγωγικών, τεχνικών και άλλων συστημάτων, διαφορετικών στη φυσική τους φύση, μπορούν να αντιπροσωπευτούν, για παράδειγμα, εφαρμογές για την επεξεργασία πληροφοριών υπολογιστή από απομακρυσμένα τερματικά κ.λπ. Ταυτόχρονα, χαρακτηριστικό της λειτουργίας τέτοιων αντικειμένων είναι η τυχαία εμφάνιση εφαρμογών (απαιτήσεων) για σέρβις και ολοκλήρωση της υπηρεσίας σε τυχαίους χρόνους, π.χ. στοχαστική φύση της διαδικασίας λειτουργίας τους. Σε κάθε στοιχειώδη πράξη υπηρεσίας, μπορούν να διακριθούν δύο κύρια στοιχεία: η προσδοκία εξυπηρέτησης από την εφαρμογή και η πραγματική εξυπηρέτηση της εφαρμογής. Αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί ως μερικά Εγώσυσκευή σέρβις Πι, που αποτελείται από έναν συσσωρευτή παραγγελιών Γεια, το οποίο μπορεί να περιέχει ταυτόχρονα εφαρμογές, όπου L i H -χωρητικότητα Εγώου αποθηκευτικού χώρου και αιτήματος εξυπηρέτησης καναλιού (ή απλώς καναλιού) K i.Για κάθε στοιχείο της συσκευής σέρβις Πιροές γεγονότων φτάνουν: στην αποθήκευση Γεια -ροή εφαρμογών w iανά κανάλι K i -ροή υπηρεσιών u i.

Στην πρακτική της μοντελοποίησης συστημάτων που έχουν πιο σύνθετες δομικές συνδέσεις και αλγόριθμους συμπεριφοράς, δεν χρησιμοποιούνται μεμονωμένες συσκευές εξυπηρέτησης για επισημοποίηση, αλλά Q-κυκλώματα που σχηματίζονται από τη σύνθεση πολλών στοιχειωδών συσκευών εξυπηρέτησης Πι(δίκτυα ουράς). Εάν τα κανάλια K iδιαφορετικές συσκευές σέρβις συνδέονται παράλληλα και στη συνέχεια πραγματοποιείται πολυκαναλική υπηρεσία (πολυκαναλική Q-σχέδιο) , και αν οι συσκευές Πικαι οι παράλληλες συνθέσεις τους συνδέονται σε σειρά, τότε πραγματοποιείται πολυφασική υπηρεσία (πολυφασική Q-σχέδιο). Έτσι, για το έργο Q-τα σχήματα πρέπει να χρησιμοποιούν τον τελεστή σύζευξης R,αντανακλώντας τη σχέση των δομικών στοιχείων (κανάλια και μονάδες κίνησης) μεταξύ τους. Υπάρχουν ανοιχτά και κλειστά Q-σχέδιο . Σε ανοιχτό Q-σχήμα, η ροή εξόδου των εξυπηρετούμενων εφαρμογών δεν μπορεί να φτάσει ξανά σε κανένα στοιχείο, δηλαδή δεν υπάρχει ανάδραση και σε κλειστό Q-Τα κυκλώματα έχουν συνδέσεις ανάδρασης μέσω των οποίων οι εφαρμογές κινούνται προς την αντίθετη κατεύθυνση από την κίνηση εισόδου-εξόδου.

Οι δυνατότητες αξιολόγησης χαρακτηριστικών με χρήση αναλυτικών μοντέλων θεωρίας ουρών είναι πολύ περιορισμένες σε σύγκριση με τις απαιτήσεις της πρακτικής έρευνας και σχεδιασμού συστημάτων, που επισημοποιούνται στη μορφή Q-συστήματα Τα μοντέλα προσομοίωσης έχουν ασύγκριτα μεγαλύτερες δυνατότητες, καθιστώντας δυνατή τη μελέτη Q-καθορίζεται χωρίς περιορισμούς.

Μοντέλα δικτύου (N-σχήματα)

Στην πρακτική της μοντελοποίησης αντικειμένων, είναι συχνά απαραίτητο να λυθούν προβλήματα που σχετίζονται με την τυπική περιγραφή και ανάλυση των σχέσεων αιτίας-αποτελέσματος σε πολύπλοκα συστήματα, όπου πολλές διεργασίες συμβαίνουν ταυτόχρονα ταυτόχρονα. Ο πιο συνηθισμένος φορμαλισμός που χρησιμοποιείται σήμερα για να περιγράψει τη δομή και την αλληλεπίδραση παράλληλων συστημάτων και διαδικασιών είναι τα Δίκτυα Petri.

Επίσημα, το δίχτυ Petri ( Ν-σχήμα) δίνεται από ένα τετράπτυχο της μορφής:

,

Οπου ΣΕ– ένα πεπερασμένο σύνολο συμβόλων που ονομάζονται θέσεις. ρε– ένα πεπερασμένο σύνολο συμβόλων που ονομάζονται μεταβάσεις. Εγώ– συνάρτηση εισόδου (συνάρτηση άμεσης πρόσπτωσης). Ο-συνάρτηση εξόδου (συνάρτηση αντίστροφης πρόσπτωσης). Άρα η συνάρτηση εισόδου Εγώεμφανίζει μετάβαση DJσε πολλές θέσεις εξόδου β iÎ Εγώ(DJ), και τη συνάρτηση εξόδου ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕεμφανίζει μετάβαση DJσε πολλές θέσεις εξόδου β iÎ ρε(DJ).

Γραφικά Ν-σχήμααπεικονίζεται ως ένα διμερές προσανατολισμένο πολύγραφο, το οποίο είναι ένα σύνολο θέσεων και μεταβάσεων. Γραφική παράσταση Ν-κυκλώματαέχει δύο τύπους κόμβων: θέσεις και μεταβάσεις, που αντιπροσωπεύονται από 0 και 1 αντίστοιχα. Τα τόξα προσανατολισμού συνδέουν θέσεις και μεταβάσεις, με κάθε τόξο να κατευθύνεται από ένα στοιχείο ενός συνόλου (θέση ή μετάβαση) σε ένα στοιχείο ενός άλλου συνόλου (μετάβαση ή θέση). Γραφική παράσταση Ν-κυκλώματαείναι πολύγραφος γιατί επιτρέπει την ύπαρξη πολλαπλών τόξων από τη μια κορυφή στην άλλη.

Μειωμένη εκπροσώπηση Ν-κυκλώματαμπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για να απεικονίσει τη στατική του προσομοιωμένου συστήματος (τη σχέση γεγονότων και συνθηκών), αλλά δεν επιτρέπει στο μοντέλο να αντικατοπτρίζει τη δυναμική της λειτουργίας του προσομοιωμένου συστήματος. Για την αναπαράσταση των δυναμικών ιδιοτήτων ενός αντικειμένου, εισάγεται μια συνάρτηση σήμανσης (σήμανση). Μ: B®(0, 1, 2, ...). Βαθμολόγηση Μυπάρχει μια αντιστοίχιση ορισμένων αφηρημένων αντικειμένων, που ονομάζονται ετικέτες (τσιπ), σε θέσεις Ν-κυκλώματα,Επιπλέον, ο αριθμός των βαθμών που αντιστοιχούν σε κάθε θέση μπορεί να ποικίλλει. Με μια γραφική εργασία Ν-κυκλώματαΗ σήμανση εμφανίζεται τοποθετώντας τον αντίστοιχο αριθμό σημείων μέσα στις θέσεις κορυφής (όταν ο αριθμός των σημείων είναι μεγάλος, τοποθετούνται αριθμοί). Επισημασμένο (επισημασμένο) Ν-σχήμαμπορεί να περιγραφεί ως πέντε και είναι ένας συνδυασμός διχτυού Petri και ετικέτας Μ.

Λειτουργία Ν-κυκλώματααντικατοπτρίζεται με τη μετάβαση από τη σήμανση σε σήμανση. Η αρχική σήμανση σημειώνεται ως Μ 0:ΣΕ®(0, 1, 2, ...). Η διάταξη αλλάζει ως αποτέλεσμα μιας από τις μεταβάσεις που ενεργοποιείται DJÎ ρεδίκτυα. Απαραίτητη προϋπόθεση για τη μετάβαση στη φωτιά DJείναι β iÎ I(dj){M(b i)³ 1), όπου M(b i)– σήμανση θέσης β i.Μετάβαση DJ, για την οποία ικανοποιείται η καθορισμένη συνθήκη, ορίζεται ότι βρίσκεται σε κατάσταση ετοιμότητας για πυρκαγιά ή ως διεγερμένη μετάβαση.

Συνδυασμένα μοντέλα (σχήματα Α)

Η πιο διάσημη γενική προσέγγιση για την επίσημη περιγραφή των διαδικασιών λειτουργίας του συστήματος είναι η προσέγγιση που προτείνει ο Ya.P. Μπουσλένκο. Αυτή η προσέγγιση καθιστά δυνατή την περιγραφή της συμπεριφοράς συνεχών και διακριτών, ντετερμινιστικών και στοχαστικών συστημάτων, δηλαδή, σε σύγκριση με αυτά που εξετάζονται, είναι γενικευμένη (καθολική) και βασίζεται στην έννοια σύστημα συνάθροισης(από το αγγλικό σύστημα συνολικών), το οποίο είναι ένα επίσημο σχήμα μιας γενικής μορφής, που θα ονομάσουμε Α-σχήμα.

Η ανάλυση των υφιστάμενων μέσων μοντελοποίησης συστημάτων και των προβλημάτων που επιλύονται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο υπολογιστικής μοντελοποίησης οδηγεί αναπόφευκτα στο συμπέρασμα ότι μια ολοκληρωμένη λύση στα προβλήματα που προκύπτουν κατά τη διαδικασία δημιουργίας και εφαρμογής υπολογιστή του μοντέλου είναι δυνατή μόνο εάν τα συστήματα μοντελοποίησης βασίζονται σε ένα ενιαίο επίσημο μαθηματικό σχήμα, δηλ. Α-διάγραμμα.Ένα τέτοιο σχήμα πρέπει να εκτελεί ταυτόχρονα πολλές λειτουργίες: να είναι μια επαρκής μαθηματική περιγραφή του αντικειμένου μοντελοποίησης, δηλαδή του συστήματος ΜΙΚΡΟ,χρησιμεύουν ως βάση για την κατασκευή αλγορίθμων και προγραμμάτων για μηχανική υλοποίηση του μοντέλου Μ,επιτρέπουν τη διεξαγωγή αναλυτικών μελετών σε απλοποιημένη έκδοση (για ειδικές περιπτώσεις).

Αυτές οι απαιτήσεις είναι κάπως αντιφατικές. Ωστόσο, στο πλαίσιο μιας γενικευμένης προσέγγισης που βασίζεται σε Α-σχήματαείναι πιθανό να βρεθεί κάποιος συμβιβασμός μεταξύ τους.

Σύμφωνα με την παράδοση που καθιερώθηκε στα μαθηματικά γενικά και στα εφαρμοσμένα μαθηματικά ειδικότερα, με τη συγκεντρωτική προσέγγιση, δίνεται πρώτα ένας επίσημος ορισμός του αντικειμένου της μοντελοποίησης - ένα αθροιστικό σύστημα, το οποίο είναι ένα μαθηματικό σχήμα που αντανακλά τη συστημική φύση των αντικειμένων υπό μελέτη. Με μια συγκεντρωτική περιγραφή, ένα σύνθετο αντικείμενο (σύστημα) χωρίζεται σε έναν πεπερασμένο αριθμό μερών (υποσυστήματα), διατηρώντας παράλληλα τις συνδέσεις που διασφαλίζουν την αλληλεπίδρασή τους. Εάν κάποια από τα προκύπτοντα υποσυστήματα αποδειχθούν αρκετά περίπλοκα, τότε η διαδικασία διάσπασής τους συνεχίζεται μέχρι να δημιουργηθούν υποσυστήματα που, υπό τις συνθήκες του υπό εξέταση προβλήματος μοντελοποίησης, μπορούν να θεωρηθούν βολικά για μαθηματική περιγραφή. Ως αποτέλεσμα μιας τέτοιας αποσύνθεσης, ένα σύνθετο σύστημα παρουσιάζεται με τη μορφή μιας δομής πολλαπλών επιπέδων διασυνδεδεμένων στοιχείων, συνδυασμένων σε υποσυστήματα διαφόρων επιπέδων.

Ως στοιχείο Α-σχήματατο σύνολο ενεργεί και η σύνδεση μεταξύ των αδρανών (εντός του συστήματος μικρόκαι με το εξωτερικό περιβάλλον μι) πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τον τελεστή σύζευξης R. Προφανώς, η ίδια η μονάδα μπορεί να θεωρηθεί ως Α-διάγραμμα, δηλαδή μπορεί να χωριστεί σε στοιχεία (συγκεντρωτικά στοιχεία) του επόμενου επιπέδου. Οποιοδήποτε άθροισμα χαρακτηρίζεται από τα ακόλουθα σύνολα: χρονικές στιγμές Τ, εισαγωγή Χκαι τα Σαββατοκύριακα Υσήματα, καταστάσεις Ζσε κάθε στιγμή του χρόνου t. Κατάσταση της μονάδας τη στιγμή του χρόνου tÎ Τσυμβολίζεται ως z(t)Î Ζ, και τα σήματα εισόδου και εξόδου είναι όπως Χ(t)Î ΧΚαι στο(t)Î Υαντίστοιχα.

Υπάρχει μια κατηγορία μεγάλων συστημάτων που, λόγω της πολυπλοκότητάς τους, δεν μπορούν να τυποποιηθούν με τη μορφή μαθηματικών σχημάτων μεμονωμένων μονάδων, επομένως επισημοποιούνται από κάποια κατασκευή μεμονωμένων μονάδων A n, που ονομάζουμε αθροιστικό σύστημα ή Α-σχήμα. Να περιγράψω κάποιο πραγματικό σύστημα μικρόόπως και Α-σχήματαείναι απαραίτητο να υπάρχει περιγραφή και των δύο επιμέρους ενοτήτων A n, και τις μεταξύ τους συνδέσεις.

Λειτουργία Α-σχήματασχετίζονται με την επεξεργασία πληροφοριών. Όλες οι πληροφορίες που κυκλοφορούν στο Α-διάγραμμα, χωρίζεται σε εξωτερικό και εσωτερικό. Οι εξωτερικές πληροφορίες προέρχονται από εξωτερικά αντικείμενα που δεν είναι στοιχεία του υπό εξέταση κυκλώματος και οι εσωτερικές πληροφορίες παράγονται από μονάδες του ίδιου του κυκλώματος. Α-σχήματα. Ανταλλαγή πληροφοριών μεταξύ Α-σχήμακαι το εξωτερικό περιβάλλον μιεμφανίζεται μέσω συσσωματωμάτων που ονομάζονται πόλοι Α-σχήματα. Στην περίπτωση αυτή, οι πόλοι εισόδου διακρίνονται Α-σχήματα, οι οποίες είναι μονάδες που λαμβάνουν Χ-μηνύματα και πόλοι εξόδου Α-σχήματα, του οποίου οι πληροφορίες εξόδου είναι στο- μηνύματα. Οι μονάδες που δεν είναι πόλοι ονομάζονται εσωτερικές.

1. Γραφικά μοντέλα

2. Μοντέλα προσομοίωσης

3. Μαθηματικά μοντέλα

4. Μοντελοποίηση βέλτιστων διαδικασιών σχεδιασμού

5. Μοντελοποίηση παγκόσμιων διαδικασιών

7. Μοντελοποίηση περιβαλλοντικών συστημάτων και διαδικασιών

8. Μοντέλα πληροφοριών αντικειμένων

9. Ανάλυση συστήματος

10. Στατιστικά μοντέλα

11. Πινακοποιημένα μοντέλα

12. Επισημοποίηση και μοντελοποίηση

Το σχολικό μάθημα επιστήμης υπολογιστών περιέχει παραδοσιακά μια ουσιαστική γραμμή επισημοποίησης και μοντελοποίησης. Η έννοια του μοντέλου αναφέρεται σε θεμελιώδεις γενικές επιστημονικές έννοιες και η μοντελοποίηση είναι μια μέθοδος κατανόησης της πραγματικότητας που χρησιμοποιείται από διάφορες επιστήμες.

Σε όλες σχεδόν τις φυσικές και κοινωνικές επιστήμες, η κατασκευή και η χρήση μοντέλων είναι ένα ισχυρό ερευνητικό εργαλείο. Τα πραγματικά αντικείμενα και οι διαδικασίες μπορεί να είναι τόσο πολύπλευρα και πολύπλοκα που ο καλύτερος τρόπος για να τα μελετήσεις είναι να χτίσεις ένα μοντέλο που αντικατοπτρίζει μόνο ένα μέρος της πραγματικότητας και επομένως είναι πολλές φορές απλούστερο από αυτήν την πραγματικότητα. Αντικείμενο έρευνας και ανάπτυξης της επιστήμης των υπολογιστών είναι η μεθοδολογία μοντελοποίησης πληροφοριών που σχετίζεται με τη χρήση εξοπλισμού και τεχνολογιών υπολογιστών. Με αυτή την έννοια μιλούν για μοντελοποίηση υπολογιστή. Η διεπιστημονική σημασία της επιστήμης των υπολογιστών εκδηλώνεται σε μεγάλο βαθμό μέσω της εισαγωγής της μοντελοποίησης υπολογιστών σε διάφορους επιστημονικούς και εφαρμοσμένους τομείς: φυσική και τεχνολογία, βιολογία και ιατρική, οικονομία, διαχείριση και πολλά άλλα.

Μοντελοποίηση υπολογιστή περιλαμβάνει τη διαδικασία υλοποίησης ενός μοντέλου πληροφοριών σε υπολογιστή και έρευνας ενός αντικειμένου μοντελοποίησης χρησιμοποιώντας αυτό το μοντέλο - διεξαγωγή ενός υπολογιστικού πειράματος. Με τη βοήθεια της υπολογιστικής μοντελοποίησης επιλύονται πολλά επιστημονικά και βιομηχανικά προβλήματα.

Η μοντελοποίηση πληροφοριών σχετίζεται με την τυποποίηση δεδομένων σχετικά με το αντικείμενο μοντελοποίησης (βλ. Επισημοποίηση και μοντελοποίηση»). Η κατασκευή ενός μοντέλου πληροφοριών ξεκινά με τον καθορισμό των στόχων της μοντελοποίησης και την ανάλυση του αντικειμένου μοντελοποίησης ως ένα σύνθετο σύστημα στο οποίο είναι απαραίτητο να επισημανθούν οι ιδιότητες που αντικατοπτρίζονται στο μοντέλο και οι σχέσεις μεταξύ τους (βλ. Ανάλυση συστήματος"). Τα μοντέλα πληροφοριών διαφέρουν ως προς τη μορφή παρουσίασης πληροφοριών σχετικά με το αντικείμενο μοντελοποίησης. Μαθηματικά μοντέλαχρησιμοποιήστε τη γλώσσα των μαθηματικών για να αναπαραστήσετε το αντικείμενο μοντελοποίησης. Ένας ξεχωριστός τύπος μαθηματικών μοντέλων είναι στατιστικά μοντέλα- προσανατολισμένη στην επεξεργασία μαζικά δεδομένα(για παράδειγμα, έρευνες πληθυσμού) στις οποίες υπάρχει ένα στοιχείο τυχαιότητας. Τα δεδομένα σχετικά με το αντικείμενο μοντελοποίησης, οργανωμένα σε μορφή πίνακα, είναι πινακοποιημένο μοντέλο. Για την κατασκευή χρησιμοποιούνται γραφικά εργαλεία γραφικά μοντέλα. Η αντικειμενοστραφής προσέγγιση στον προγραμματισμό που εμφανίστηκε στα τέλη του περασμένου αιώνα οδήγησε σε ένα νέο παράδειγμα στη μοντελοποίηση πληροφοριών: μοντελοποίηση πληροφοριών αντικειμένων. Τα μοντέλα υπολογιστών που αναπαράγουν τη συμπεριφορά πολύπλοκων συστημάτων για τα οποία δεν υπάρχει σαφής μαθηματική συσκευή ονομάζονται μοντέλα προσομοίωσης.

Η μοντελοποίηση πληροφοριών σε υπολογιστή χρησιμοποιείται για την περιγραφή και την ανάλυση διαδικασιών διαφόρων φύσεων. Οι φυσικές επιστήμες έχουν τη μεγαλύτερη εμπειρία από αυτή την άποψη (βλ. Μοντελοποίηση φυσικών συστημάτων και διαδικασιών»). Η μοντελοποίηση υπολογιστή βοηθά στην επίλυση σημαντικών περιβαλλοντικών προβλημάτων (βλ. Μοντελοποίηση οικολογικών συστημάτων και διαδικασιών»). Η μοντελοποίηση πληροφοριών διαδραματίζει σημαντικό ρόλο στα οικονομικά και τη διαχείριση. Τα πιο σημαντικά καθήκοντα σε αυτόν τον τομέα είναι τα προβλήματα προγραμματισμού (βλ. Μοντελοποίηση βέλτιστων διαδικασιών σχεδιασμού»). Χρησιμοποιώντας μοντελοποίηση υπολογιστή, οι επιστήμονες προσπαθούν να λύσουν ακόμη και ένα τέτοιο παγκόσμιο πρόβλημα όπως η μοίρα του ανθρώπινου πολιτισμού (βλ. Μοντελοποίηση παγκόσμιων διαδικασιών»).

1. Γραφικά μοντέλα

Η ποικιλία των μοντέλων γραφικών είναι αρκετά μεγάλη. Ας δούμε μερικά από αυτά.

Ένα οπτικό μέσο για την εμφάνιση της σύνθεσης και της δομής των συστημάτων (βλ. Συστημολογία") είναι γραφήματα.

Ας δούμε ένα παράδειγμα. Υπάρχει λεκτική περιγραφή κάποιας περιοχής: «Η συνοικία μας αποτελείται από πέντε χωριά: το Ντέντκινο, το Μπάμπκινο, το Ρέπκινο, το Κόσκινο και το Μύσκινο. Οι αυτοκινητόδρομοι χαράσσονται μεταξύ: Dedkino και Babkino, Dedkino και Koshkino, Babkino και Myshkino, Babkino και Koshkino, Koshkino και Repkino. Από μια τέτοια περιγραφή είναι αρκετά δύσκολο να φανταστεί κανείς αυτή την περιοχή. Οι ίδιες πληροφορίες είναι πολύ πιο εύκολο να γίνουν αντιληπτές με τη βοήθεια ενός διαγράμματος (βλ. σχήμα). Αυτός δεν είναι χάρτης της περιοχής. Οι βασικές κατευθύνσεις δεν διατηρούνται εδώ και η κλίμακα δεν διατηρείται. Αυτό το διάγραμμα αντικατοπτρίζει μόνο το γεγονός της ύπαρξης πέντε χωριών και την οδική σύνδεση μεταξύ τους. Τέτοιος διάγραμμα που δείχνει τη στοιχειακή σύνθεση του συστήματος και τη δομή των συνδέσεων, που ονομάζεται μετρώ.

Τα συστατικά του γραφήματος είναι κορυφέςΚαι παϊδάκια. Στο σχήμα, οι κορυφές απεικονίζονται ως κύκλοι - αυτό είναι στοιχεία του συστήματος, και οι άκρες απεικονίζονται με γραμμές - αυτό είναι διαβιβάσεις(σχέση) μεταξύ στοιχείων. Κοιτάζοντας αυτό το γράφημα, είναι εύκολο να κατανοήσουμε τη δομή του οδικού συστήματος σε μια δεδομένη περιοχή.

Το κατασκευασμένο γράφημα επιτρέπει, για παράδειγμα, να απαντήσετε στην ερώτηση: από ποια χωριά πρέπει να περάσετε για να φτάσετε από το Repkino στο Myshkino; Μπορεί να φανεί ότι υπάρχουν δύο πιθανά μονοπάτια: 1) R K B M και) R K D B M. Μπορούμε να συμπεράνουμε από αυτό ότι το 1ο μονοπάτι είναι μικρότερο από το 2ο; Οχι δεν μπορείς. Αυτό το γράφημα δεν περιέχει ποσοτικά χαρακτηριστικά. Αυτός δεν είναι ένας χάρτης όπου τηρείται η κλίμακα και είναι δυνατό να μετρηθεί η απόσταση.

Το γράφημα που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα περιέχει ποσοτικά χαρακτηριστικά. Οι αριθμοί κοντά στις άκρες δείχνουν το μήκος των δρόμων σε χιλιόμετρα. Αυτό είναι ένα παράδειγμα σταθμισμένο γράφημα. Ένα σταθμισμένο γράφημα μπορεί να περιέχει ποσοτικά χαρακτηριστικάόχι μόνο συνδέσεις, αλλά και κορυφές. Για παράδειγμα, οι κορυφές μπορεί να υποδεικνύουν τον πληθυσμό κάθε χωριού. Σύμφωνα με τα δεδομένα του σταθμισμένου γραφήματος, αποδεικνύεται ότι η πρώτη διαδρομή είναι μεγαλύτερη από τη δεύτερη.

Τέτοια γραφήματα ονομάζονται επίσης δίκτυο. Το δίκτυο χαρακτηρίζεται τη δυνατότητα πολλών διαφορετικών μονοπατιών κίνησης κατά μήκος των άκρων μεταξύ κάποιων ζευγών κορυφών. Τα δίκτυα χαρακτηρίζονται επίσης από την παρουσία κλειστών διαδρομών, τα οποία ονομάζονται κύκλους. Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει ένας κύκλος: K D B K.

Στα διαγράμματα που συζητήθηκαν, κάθε άκρη υποδηλώνει την παρουσία οδικής σύνδεσης μεταξύ δύο σημείων. Αλλά η οδική σύνδεση λειτουργεί εξίσου και προς τις δύο κατευθύνσεις: εάν μπορείτε να οδηγείτε κατά μήκος του δρόμου από το Β στο Μ, τότε μπορείτε επίσης να οδηγήσετε κατά μήκος του από το Μ στο Β (υποθέτουμε ότι υπάρχει αμφίδρομη κυκλοφορία). Τέτοια γραφήματα είναι μη προσανατολισμένος, και ονομάζονται οι συνδέσεις τους συμμετρικός.

Ένα ποιοτικά διαφορετικό παράδειγμα γραφήματος φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Γράφημα συμβατότητας ομάδας αίματος

Αυτό το παράδειγμα σχετίζεται με την ιατρική. Είναι γνωστό ότι διαφορετικοί άνθρωποι έχουν διαφορετικούς τύπους αίματος. Υπάρχουν τέσσερις τύποι αίματος. Αποδεικνύεται ότι όταν μεταγγίζεται αίμα από το ένα άτομο στο άλλο, δεν είναι όλες οι ομάδες συμβατές. Το γράφημα δείχνει πιθανές επιλογές μετάγγισης αίματος. Οι ομάδες αίματος είναι οι κορυφές του γραφήματος με τους αντίστοιχους αριθμούς και τα βέλη δείχνουν τη δυνατότητα μετάγγισης μιας ομάδας αίματος σε άτομο με διαφορετική ομάδα αίματος. Για παράδειγμα, από αυτό το γράφημα είναι σαφές ότι το αίμα της ομάδας Ι μπορεί να μεταγγιστεί σε οποιοδήποτε άτομο και ένα άτομο με ομάδα αίματος Ι δέχεται μόνο αίμα της δικής του ομάδας. Μπορεί επίσης να φανεί ότι ένα άτομο με ομάδα αίματος IV μπορεί να μεταγγιστεί με οποιοδήποτε αίμα, αλλά το δικό του αίμα μπορεί να μεταγγιστεί μόνο στην ίδια ομάδα.

Συνδέσεις μεταξύ των κορυφών ενός δεδομένου γραφήματος ασύμμετρηκαι επομένως απεικονίζονται ως κατευθυνόμενες γραμμές με βέλη. Τέτοιες γραμμές ονομάζονται συνήθως τόξα(σε αντίθεση με τις άκρες των μη κατευθυνόμενων γραφημάτων). Ένα γράφημα με τέτοιες ιδιότητες ονομάζεται προσανατολισμένη. Μια ευθεία που φεύγει και εισέρχεται στην ίδια κορυφή ονομάζεται βρόχος. Σε αυτό το παράδειγμα υπάρχουν τέσσερις βρόχοι.

Είναι εύκολο να κατανοήσουμε τα πλεονεκτήματα της απεικόνισης ενός μοντέλου ενός συστήματος μετάγγισης αίματος ως γραφήματος σε σύγκριση με την προφορική περιγραφή των ίδιων κανόνων. Το γράφημα είναι εύκολο να κατανοηθεί και να θυμηθεί.

Δέντρο - γράφημα ιεραρχικής δομής

Ένας πολύ κοινός τύπος συστημάτων είναι τα συστήματα με ιεραρχική δομή. Μια ιεραρχική δομή προκύπτει φυσικά όταν τα αντικείμενα ή ορισμένες από τις ιδιότητές τους βρίσκονται σε σχέση υποταγής (φωλιά, κληρονομικότητα). Κατά κανόνα, τα συστήματα διοικητικής διαχείρισης έχουν μια ιεραρχική δομή, μεταξύ των στοιχείων της οποίας δημιουργούνται σχέσεις υποταγής. Για παράδειγμα: διευθυντής εργοστασίου - διευθυντές καταστημάτων - υπεύθυνοι τμημάτων - εργοδηγοί - εργάτες. Τα συστήματα έχουν επίσης μια ιεραρχική δομή, μεταξύ των στοιχείων της οποίας υπάρχουν σχέσεις εισόδου του ενός στο άλλο.

Το γράφημα της ιεραρχικής δομής ονομάζεται δέντρο. Η κύρια ιδιότητα ενός δέντρου είναι ότι υπάρχει μόνο ένα μονοπάτι μεταξύ οποιωνδήποτε δύο κορυφών του. Τα δέντρα δεν περιέχουν κύκλους ή βρόχους.

Κοιτάξτε το γράφημα που αντικατοπτρίζει την ιεραρχική διοικητική δομή του κράτους μας: η Ρωσική Ομοσπονδία χωρίζεται σε επτά διοικητικές περιφέρειες. Οι περιφέρειες χωρίζονται σε περιφέρειες (περιφέρειες και εθνικές δημοκρατίες), οι οποίες περιλαμβάνουν πόλεις και άλλους οικισμούς. Ένα τέτοιο γράφημα ονομάζεται δέντρο.

Δέντρο της διοικητικής δομής της Ρωσικής Ομοσπονδίας

Ένα δέντρο έχει μια κύρια κορυφή, η οποία ονομάζεται ρίζα δέντρου. Αυτή η κορυφή απεικονίζεται στην κορυφή. προέρχονται από αυτήν κλαδια δεντρουδέντρο. Τα επίπεδα των δέντρων αρχίζουν να μετρούν από τη ρίζα. Οι κορυφές που συνδέονται άμεσα με τη ρίζα σχηματίζουν το πρώτο επίπεδο. Από αυτά υπάρχουν συνδέσεις με τις κορυφές του δεύτερου επιπέδου κ.λπ. Κάθε κορυφή του δέντρου (εκτός από τη ρίζα) έχει μία πρωτότυποκορυφή στο προηγούμενο επίπεδο και μπορεί να έχει πολλά δημιουργούνταικορυφές στο επόμενο επίπεδο. Αυτή η αρχή σύνδεσης ονομάζεται " ένα προς πολλά" Οι κορυφές που δεν έχουν παιδιά ονομάζονται φύλλα(στο γράφημά μας αυτές είναι οι κορυφές που αντιπροσωπεύουν πόλεις).

Γραφική μοντελοποίηση αποτελεσμάτων επιστημονικής έρευνας

Ο γενικός στόχος των επιστημονικών γραφικών μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: να κάνει το αόρατο και το αφηρημένο «ορατό». Η τελευταία λέξη περικλείεται σε εισαγωγικά, αφού αυτή η «εμφάνιση» είναι συχνά πολύ υπό όρους. Είναι δυνατόν να δούμε την κατανομή της θερμοκρασίας μέσα σε ένα ανομοιόμορφα θερμαινόμενο σώμα πολύπλοκου σχήματος χωρίς να εισαγάγουμε εκατοντάδες μικροαισθητήρες σε αυτό, δηλαδή να το καταστρέψουμε ουσιαστικά; - Ναι, είναι δυνατόν εάν υπάρχει ένα κατάλληλο μαθηματικό μοντέλο και, αυτό που είναι πολύ σημαντικό, μια συμφωνία για την αντίληψη ορισμένων συμβάσεων στο σχέδιο. Είναι δυνατόν να δούμε τη διανομή μεταλλευμάτων υπόγεια χωρίς εκσκαφές; Η δομή της επιφάνειας ενός εξωγήινου πλανήτη με βάση τα αποτελέσματα του ραντάρ; Η απάντηση σε αυτά και σε πολλά άλλα ερωτήματα είναι ναι, είναι δυνατή, με τη βοήθεια γραφικών υπολογιστή και τη μαθηματική επεξεργασία που προηγείται.

Επιπλέον, μπορεί κανείς να «δει» κάτι που, αυστηρά μιλώντας, γενικά δεν αντιστοιχεί καλά στη λέξη «βλέπω». Έτσι, η επιστήμη που αναδύθηκε στη διασταύρωση της χημείας και της φυσικής - η κβαντική χημεία - μας δίνει την ευκαιρία να «δούμε» τη δομή ενός μορίου. Αυτές οι εικόνες είναι το ύψος της αφαίρεσης και ένα σύστημα συμβάσεων, αφού στον ατομικό κόσμο οι συνήθεις έννοιες για τα σωματίδια (πυρήνες, ηλεκτρόνια κ.λπ.) είναι θεμελιωδώς ανεφάρμοστες. Ωστόσο, μια πολύχρωμη «εικόνα» ενός μορίου σε μια οθόνη υπολογιστή, για όσους κατανοούν την πλήρη έκταση των συμβάσεών του, φέρνει περισσότερα οφέλη από χιλιάδες αριθμούς που είναι τα αποτελέσματα των υπολογισμών.

Ισολίνες

Μια τυπική τεχνική για την επεξεργασία των αποτελεσμάτων ενός υπολογιστικού πειράματος είναι η κατασκευή γραμμών (επιφανειών) που ονομάζονται ισολίνες(ισοεπιφάνειες), κατά μήκος της οποίας κάποια συνάρτηση έχει σταθερή τιμή. Αυτή είναι μια πολύ κοινή τεχνική για την οπτικοποίηση των χαρακτηριστικών κάποιου βαθμωτού πεδίου στην προσέγγιση ενός συνεχούς μέσου: ισόθερμες - γραμμές ίσης θερμοκρασίας, ισοβαρείς - γραμμές ίσης πίεσης, ισόγραμμες της συνάρτησης ροής ενός υγρού ή αερίου, κατά μήκος των οποίων μπορεί εύκολα να φανταστεί τις ροές τους, τις ισογραμμές του αριθμού των οικολογικών πληθυσμών στο έδαφος, τις συγκεντρώσεις των επιβλαβών ακαθαρσιών στο περιβάλλον κ.λπ.

Τρέχοντα περιγράμματα

Το σχήμα δείχνει ισογραμμές της συνάρτησης ρεύματος ενός άνισα θερμαινόμενου ρευστού σε μια ορθογώνια περιοχή ροής. Από αυτή την εικόνα μπορεί κανείς να κρίνει ξεκάθαρα την κατεύθυνση των ροών του ρεύματος και την έντασή τους.

Χρώματα υπό όρους, αντίθεση υπό όρους

Μια άλλη ενδιαφέρουσα τεχνική των σύγχρονων επιστημονικών γραφικών είναι ο υπό όρους χρωματισμός. Βρίσκει ευρεία εφαρμογή σε μια μεγάλη ποικιλία επιστημονικών εφαρμογών και είναι ένα σύνολο τεχνικών για την πιο βολική απεικόνιση των αποτελεσμάτων της μοντελοποίησης υπολογιστή.

Σε διάφορες μελέτες πεδίων θερμοκρασίας, προκύπτει το πρόβλημα της οπτικής αναπαράστασης των αποτελεσμάτων, για παράδειγμα, θερμοκρασιών σε μετεωρολογικούς χάρτες. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να σχεδιάσετε ισόθερμες με φόντο έναν χάρτη της περιοχής. Αλλά μπορείτε να επιτύχετε ακόμη μεγαλύτερη διαύγεια, δεδομένου ότι οι περισσότεροι άνθρωποι τείνουν να αντιλαμβάνονται το κόκκινο ως «καυτό» και το μπλε ως «κρύο». Η μετάβαση κατά μήκος του φάσματος από το κόκκινο στο μπλε αντανακλά ενδιάμεσες τιμές θερμοκρασίας.

Το ίδιο μπορεί να γίνει όταν απεικονίζεται το πεδίο θερμοκρασίας τόσο στην επιφάνεια ενός τμήματος που έχει υποστεί επεξεργασία σε μια μηχανή όσο και στην επιφάνεια ενός απομακρυσμένου πλανήτη.

Κατά τη μοντελοποίηση σύνθετων οργανικών μορίων, ένας υπολογιστής μπορεί να παράγει αποτελέσματα με τη μορφή μιας πολύχρωμης εικόνας, στην οποία τα άτομα υδρογόνου απεικονίζονται με ένα χρώμα, ο άνθρακας σε ένα άλλο, κ.λπ., και το άτομο αντιπροσωπεύεται από μια μπάλα (κύκλο), εντός της οποίας η χρωματική πυκνότητα αλλάζει ανάλογα με την κατανομή της πυκνότητας ηλεκτρονίων. Κατά την αναζήτηση ορυκτών χρησιμοποιώντας αεροφωτογραφίες από αεροπλάνα ή διαστημικούς δορυφόρους, οι υπολογιστές δημιουργούν υπό όρους έγχρωμες εικόνες κατανομών πυκνότητας κάτω από την επιφάνεια της Γης.

Οι εικόνες σε χρώματα υπό όρους και αντιθέσεις είναι μια ισχυρή τεχνική στα επιστημονικά γραφικά. Επιτρέπει σε κάποιον να κατανοήσει τη δομή όχι μόνο επίπεδων, αλλά και τρισδιάστατων (τρισδιάστατων) αντικειμένων και δίνει μια από τις αξιοσημείωτες μεθόδους γνώσης στα χέρια του ερευνητή.

Η μελέτη της γραφικής μοντελοποίησης πληροφοριών δεν πρέπει να συγχέεται με τη μελέτη των τεχνολογιών επεξεργασίας γραφικών πληροφοριών. Όταν οι μαθητές αρχίζουν να σπουδάζουν μοντελοποίηση, συνήθως είναι ήδη εξοικειωμένοι με τις βασικές τεχνολογίες των γραφικών υπολογιστών: ξέρουν πώς να χρησιμοποιούν απλούς επεξεργαστές γραφικών, ξέρουν πώς να δημιουργούν διαγράμματα σε επεξεργαστή υπολογιστικών φύλλων ή άλλο κατάλληλο πρόγραμμα.

Η κατασκευή απλών γραφικών μοντέλων με τη μορφή γραφημάτων και ιεραρχικών δομών είναι κατάλληλη ήδη σε ένα βασικό μάθημα επιστήμης υπολογιστών ως μέρος της μελέτης του θέματος «Τυποποίηση και Μοντελοποίηση». Κατασκευή γενεαλογικού δέντρου, ιεραρχικό σύστημα διαχείρισης σχολείου κ.λπ. είναι μια σχετικά απλή δραστηριότητα που είναι προσβάσιμη στους περισσότερους μαθητές. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι σκόπιμο να χρησιμοποιηθούν οι επεξηγηματικές δυνατότητες των συστημάτων γραφικών υπολογιστών.

Όσον αφορά την ανεξάρτητη εφαρμογή επιστημονικών μοντέλων γραφικών μέσω προγραμματισμού, πρόκειται για υλικό αυξημένης δυσκολίας, η πρακτική ανάπτυξη του οποίου ενδείκνυται σε ένα εξειδικευμένο μάθημα πληροφορικής ή ως μέρος ενός μαθήματος επιλογής που στοχεύει στη σε βάθος μελέτη μοντελοποίησης φυσικών και άλλων διαδικασίες.

2. Προσομοίωση μοντέλου

Μοντέλο προσομοίωσης αναπαράγει τη συμπεριφορά ενός πολύπλοκου συστήματος αλληλεπιδρώντων στοιχείων. Η μοντελοποίηση προσομοίωσης χαρακτηρίζεται από την παρουσία των ακόλουθων περιστάσεων (όλες ή μερικές ταυτόχρονα):

· το αντικείμενο της μοντελοποίησης είναι ένα σύνθετο ετερογενές σύστημα.

· το προσομοιωμένο σύστημα περιέχει παράγοντες τυχαίας συμπεριφοράς.

· Απαιτείται να ληφθεί μια περιγραφή μιας διαδικασίας που αναπτύσσεται με την πάροδο του χρόνου.

· Είναι θεμελιωδώς αδύνατο να ληφθούν αποτελέσματα προσομοίωσης χωρίς τη χρήση υπολογιστή.

Η κατάσταση κάθε στοιχείου του προσομοιωμένου συστήματος περιγράφεται από ένα σύνολο παραμέτρων που αποθηκεύονται στη μνήμη του υπολογιστή με τη μορφή πινάκων. Οι αλληλεπιδράσεις των στοιχείων του συστήματος περιγράφονται αλγοριθμικά. Η μοντελοποίηση πραγματοποιείται σε λειτουργία βήμα προς βήμα. Σε κάθε βήμα μοντελοποίησης, οι τιμές των παραμέτρων του συστήματος αλλάζουν. Το πρόγραμμα που υλοποιεί το μοντέλο προσομοίωσης αντανακλά τις αλλαγές στην κατάσταση του συστήματος, παράγοντας τις τιμές των απαιτούμενων παραμέτρων του με τη μορφή πινάκων ανά χρονικά βήματα ή με τη σειρά των γεγονότων που συμβαίνουν στο σύστημα. Για την οπτικοποίηση των αποτελεσμάτων μοντελοποίησης, χρησιμοποιείται συχνά η γραφική αναπαράσταση, συμπεριλαμβανομένης. κινούμενα.

Ντετερμινιστική Μοντελοποίηση

Ένα μοντέλο προσομοίωσης βασίζεται στη μίμηση μιας πραγματικής διαδικασίας (μίμηση). Για παράδειγμα, κατά τη μοντελοποίηση της αλλαγής (δυναμικής) στον αριθμό των μικροοργανισμών σε μια αποικία, μπορείτε να εξετάσετε πολλά μεμονωμένα αντικείμενα και να παρακολουθήσετε τη μοίρα καθενός από αυτά, θέτοντας ορισμένες προϋποθέσεις για την επιβίωση και την αναπαραγωγή του
και τα λοιπά. Αυτές οι συνθήκες προσδιορίζονται συνήθως προφορικά. Για παράδειγμα: μετά από ένα ορισμένο χρονικό διάστημα, ο μικροοργανισμός χωρίζεται σε δύο μέρη και μετά από ένα άλλο (μεγαλύτερο) χρονικό διάστημα, πεθαίνει. Η εκπλήρωση των περιγραφόμενων συνθηκών υλοποιείται αλγοριθμικά στο μοντέλο.

Ένα άλλο παράδειγμα: μοντελοποίηση της κίνησης των μορίων σε ένα αέριο, όταν κάθε μόριο αναπαρίσταται ως μια μπάλα με μια συγκεκριμένη κατεύθυνση και ταχύτητα κίνησης. Η αλληλεπίδραση δύο μορίων ή ενός μορίου με το τοίχωμα ενός αγγείου συμβαίνει σύμφωνα με τους νόμους της απολύτως ελαστικής σύγκρουσης και περιγράφεται εύκολα αλγοριθμικά. Τα ολοκληρωτικά (γενικά, κατά μέσο όρο) χαρακτηριστικά του συστήματος λαμβάνονται στο επίπεδο της στατιστικής επεξεργασίας των αποτελεσμάτων μοντελοποίησης.

Ένα τέτοιο πείραμα υπολογιστή ισχυρίζεται στην πραγματικότητα ότι αναπαράγει ένα πείραμα πλήρους κλίμακας. Στην ερώτηση: "Γιατί χρειάζεται να το κάνετε αυτό;" μπορούμε να δώσουμε την ακόλουθη απάντηση: η προσομοίωση μας επιτρέπει να απομονώσουμε «στην καθαρή της μορφή» τις συνέπειες των υποθέσεων που είναι ενσωματωμένες σε ιδέες για μικροσυμβάντα (δηλαδή στο επίπεδο των στοιχείων του συστήματος), απελευθερώνοντάς τα από την αναπόφευκτη επιρροή άλλων παραγόντων σε ένα πείραμα πλήρους κλίμακας, το οποίο μπορεί να μην γνωρίζουμε καν για ύποπτο. Εάν μια τέτοια μοντελοποίηση περιλαμβάνει επίσης στοιχεία μαθηματικής περιγραφής διεργασιών σε μικροεπίπεδο και εάν ο ερευνητής δεν έχει ως στόχο να βρει μια στρατηγική για τη ρύθμιση των αποτελεσμάτων (για παράδειγμα, έλεγχος του μεγέθους μιας αποικίας μικροοργανισμών), τότε Η διαφορά μεταξύ ενός μοντέλου προσομοίωσης και ενός μαθηματικού (περιγραφικού) αποδεικνύεται ότι είναι αρκετά υπό όρους.

Τα παραπάνω παραδείγματα μοντέλων προσομοίωσης (εξέλιξη αποικίας μικροοργανισμών, κίνηση μορίων σε αέριο) οδηγούν σε ντετερμινιστικήπεριγραφή συστημάτων . Δεν έχουν στοιχεία πιθανότητας και τυχαίας γεγονότων σε προσομοιωμένα συστήματα. Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα μοντελοποίησης ενός συστήματος που έχει αυτές τις ιδιότητες.

Μοντέλα τυχαίων διαδικασιών

Ποιος δεν έχει σταθεί στην ουρά και δεν αναρωτήθηκε ανυπόμονα αν θα μπορούσε να κάνει μια αγορά (ή να πληρώσει ενοίκιο, να οδηγήσει ένα καρουζέλ κ.λπ.) στον χρόνο που έχει στη διάθεσή του; Ή, προσπαθώντας να καλέσετε τη γραμμή βοήθειας και συναντάτε σύντομα ηχητικά σήματα αρκετές φορές, νευριάζετε και αξιολογείτε εάν μπορώ να περάσω ή όχι; Από τέτοια «απλά» προβλήματα, ένας νέος κλάδος των μαθηματικών γεννήθηκε στις αρχές του 20ου αιώνα - θεωρία της ουράς, χρησιμοποιώντας τη συσκευή της θεωρίας πιθανοτήτων και μαθηματικών στατιστικών, διαφορικών εξισώσεων και αριθμητικών μεθόδων. Στη συνέχεια, αποδείχθηκε ότι αυτή η θεωρία έχει πολλές επιπτώσεις στα οικονομικά, τις στρατιωτικές υποθέσεις, την οργάνωση παραγωγής, τη βιολογία και την οικολογία κ.λπ.

Προσομοίωση υπολογιστή για την επίλυση προβλημάτων ουράς, υλοποιημένη στη φόρμα μέθοδος στατιστικής δοκιμής(μέθοδος Μόντε Κάρλο) παίζει σημαντικό ρόλο. Οι δυνατότητες των αναλυτικών μεθόδων για την επίλυση προβλημάτων της πραγματικής ουράς είναι πολύ περιορισμένες, ενώ η μέθοδος στατιστικών δοκιμών είναι καθολική και σχετικά απλή.

Ας εξετάσουμε το απλούστερο πρόβλημα αυτής της κατηγορίας. Υπάρχει ένα κατάστημα με έναν πωλητή, στο οποίο μπαίνουν τυχαία πελάτες. Εάν ο πωλητής είναι ελεύθερος, τότε αρχίζει να εξυπηρετεί τον αγοραστή αμέσως, αν έρθουν πολλοί αγοραστές ταυτόχρονα, σχηματίζεται ουρά. Υπάρχουν πολλές άλλες παρόμοιες καταστάσεις:

· Χώρος επισκευής στον στόλο μηχανοκίνητων οχημάτων και λεωφορείων που έχουν εγκαταλείψει τη γραμμή λόγω βλάβης.

· δωμάτιο έκτακτης ανάγκης και ασθενείς που ήρθαν για ραντεβού λόγω τραυματισμού (δηλαδή χωρίς σύστημα ραντεβού).

· ένα τηλεφωνικό κέντρο με μία είσοδο (ή έναν τηλεφωνητή) και συνδρομητές που τίθενται σε ουρά όταν η είσοδος είναι απασχολημένη (ένα τέτοιο σύστημα εφαρμόζεται μερικές φορές).

· Διακομιστής τοπικού δικτύου και προσωπικοί υπολογιστές στο χώρο εργασίας, οι οποίοι στέλνουν ένα μήνυμα σε διακομιστή ικανό να λάβει και να επεξεργαστεί όχι περισσότερα από ένα μηνύματα κάθε φορά.

Η διαδικασία προσέλευσης πελατών στο κατάστημα είναι μια τυχαία διαδικασία. Τα χρονικά διαστήματα μεταξύ των αφίξεων οποιουδήποτε διαδοχικού ζεύγους αγοραστών είναι ανεξάρτητα τυχαία γεγονότα που κατανέμονται σύμφωνα με κάποιον νόμο, ο οποίος μπορεί να καθοριστεί μόνο μέσω πολυάριθμων παρατηρήσεων (ή κάποια εύλογη εκδοχή του λαμβάνεται για μοντελοποίηση). Η δεύτερη τυχαία διαδικασία σε αυτό το πρόβλημα, που σε καμία περίπτωση δεν συνδέεται με το πρώτο, είναι η διάρκεια της υπηρεσίας για κάθε πελάτη.

Ο σκοπός των συστημάτων μοντελοποίησης αυτού του τύπου είναι να λάβουν απαντήσεις σε μια σειρά από ερωτήματα. Μια σχετικά απλή ερώτηση: ποιος είναι ο μέσος χρόνος που θα χρειαστεί να περιμένετε στην ουρά δεδομένων των νόμων κατανομής των παραπάνω τυχαίων μεταβλητών; Μια πιο δύσκολη ερώτηση: ποια είναι η κατανομή των χρόνων αναμονής για εξυπηρέτηση στην ουρά; Ένα εξίσου δύσκολο ερώτημα: σε ποιες αναλογίες των παραμέτρων των κατανομών εισροών θα συμβεί μια κρίση, στην οποία δεν θα φτάσει ποτέ η σειρά του νεοεισερχόμενου αγοραστή; Όταν σκέφτεστε αυτό το σχετικά απλό έργο, οι πιθανές ερωτήσεις πολλαπλασιάζονται.

Η μέθοδος μοντελοποίησης μοιάζει με αυτό σε γενικούς όρους. Οι μαθηματικοί τύποι που χρησιμοποιούνται είναι οι νόμοι κατανομής των αρχικών τυχαίων μεταβλητών. Οι αριθμητικές σταθερές που χρησιμοποιούνται είναι οι εμπειρικές παράμετροι που περιλαμβάνονται σε αυτούς τους τύπους. Δεν επιλύονται εξισώσεις που θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν στην αναλυτική μελέτη αυτού του προβλήματος. Αντίθετα, προσομοιώνεται μια ουρά, η οποία παίζεται χρησιμοποιώντας προγράμματα υπολογιστή που παράγουν τυχαίους αριθμούς με δεδομένους νόμους διανομής. Στη συνέχεια πραγματοποιείται στατιστική επεξεργασία του συνόλου των λαμβανόμενων τιμών των ποσοτήτων που προσδιορίζονται από τους δεδομένους στόχους μοντελοποίησης. Για παράδειγμα, βρίσκεται ο βέλτιστος αριθμός πωλητών για διαφορετικές περιόδους λειτουργίας του καταστήματος, γεγονός που θα εξασφαλίσει την απουσία ουρών. Η μαθηματική συσκευή που χρησιμοποιείται εδώ ονομάζεται μεθόδους μαθηματικής στατιστικής.

Το άρθρο «Μοντελοποίηση Οικολογικών Συστημάτων και Διαδικασιών» 2 περιγράφει ένα άλλο παράδειγμα μοντελοποίησης προσομοίωσης: ένα από τα πολλά μοντέλα του συστήματος «αρπακτικών-θηραμάτων». Άτομα των ειδών που βρίσκονται στις υποδεικνυόμενες σχέσεις, σύμφωνα με ορισμένους κανόνες που περιέχουν στοιχεία τύχης, μετακινούνται, τα αρπακτικά τρώνε θύματα, και τα δύο αναπαράγονται κ.λπ. Ένα τέτοιο μοντέλο δεν περιέχει μαθηματικούς τύπους, αλλά απαιτεί στατιστική επεξεργασία των αποτελεσμάτων.

Παράδειγμα αλγορίθμου ντετερμινιστικού μοντέλου προσομοίωσης

Ας εξετάσουμε ένα μοντέλο προσομοίωσης της εξέλιξης ενός πληθυσμού ζωντανών οργανισμών, γνωστό ως «Life», το οποίο είναι εύκολο να εφαρμοστεί σε οποιαδήποτε γλώσσα προγραμματισμού.

Για να κατασκευάσετε τον αλγόριθμο του παιχνιδιού, θεωρήστε ένα τετράγωνο πεδίο του n+ 1 στήλες και σειρές με κανονική αρίθμηση από το 0 έως το n. Για ευκολία, ορίζουμε τις ακραίες οριακές στήλες και γραμμές ως «νεκρή ζώνη»· παίζουν μόνο βοηθητικό ρόλο.

Για οποιοδήποτε εσωτερικό κελί του πεδίου με συντεταγμένες ( Εγώ, ι) μπορείτε να ορίσετε 8 γείτονες. Εάν το κελί είναι «ζωντανό», το ζωγραφίζουμε, αν το κελί είναι «νεκρό», είναι αδειάζω.

Ας βάλουμε τους κανόνες του παιχνιδιού. Αν το κελί ( Εγώ, ι) είναι «ζωντανό» και περιβάλλεται από περισσότερα από τρία «ζωντανά» κύτταρα, πεθαίνει (από υπερπληθυσμό). Ένα «ζωντανό» κύτταρο πεθαίνει επίσης εάν υπάρχουν λιγότερα από δύο «ζωντανά» κύτταρα στο περιβάλλον του (από τη μοναξιά). Ένα «νεκρό» κύτταρο ζωντανεύει εάν γύρω του εμφανιστούν τρία «ζωντανά» κύτταρα.

Για ευκολία, εισάγουμε έναν δισδιάστατο πίνακα ΕΝΑ, τα στοιχεία του οποίου λαμβάνουν την τιμή 0 εάν το αντίστοιχο κελί είναι κενό και 1 εάν το κελί είναι "ζωντανό". Στη συνέχεια, ο αλγόριθμος για τον προσδιορισμό της κατάστασης ενός κελιού με συντεταγμένες ( Εγώ, ι) μπορεί να οριστεί ως εξής:

Σ:= Α + Α +

Α + Α

Α+Α+

Α + Α;

Αν (A = 1) Και((S > 3) Ή

(ΜΙΚΡΟ<)) ΕπειταΒ := 0;

Αν (A = 0) Και(S=3)

Τότε B := 1;

Εδώ είναι ένας πίνακας σικαθορίζει τις συντεταγμένες πεδίου στο επόμενο στάδιο. Για όλα τα εσωτερικά κύτταρα από Εγώ= 1 έως n– 1 και ι= 1 έως n– 1 ισχύει το παραπάνω. Λάβετε υπόψη ότι οι επόμενες γενιές ορίζονται με παρόμοιο τρόπο, απλά πρέπει να εκτελέσετε τη διαδικασία εκ νέου ανάθεσης:

Για Ι:= 1 Προς τηνΝ - 1 Κάνω

Για J:= 1 Προς τηνΝ - 1 Κάνω

A := B;

Είναι πιο βολικό να εμφανίζεται η κατάσταση του πεδίου στην οθόνη προβολής όχι σε μορφή μήτρας, αλλά σε γραφική μορφή.

Το μόνο που μένει είναι να καθοριστεί η διαδικασία για τη ρύθμιση της αρχικής διαμόρφωσης του αγωνιστικού χώρου. Κατά τον τυχαίο προσδιορισμό της αρχικής κατάστασης των κελιών, ένας αλγόριθμος είναι κατάλληλος

Για Ι:= 1 Προς τηνκ Κάνω

Αρχή K1:= Τυχαία(N - 1);

K2:= Τυχαίο(N - 1) + 1;

Είναι πιο ενδιαφέρον για τον χρήστη να ορίσει μόνος του την αρχική διαμόρφωση, η οποία είναι εύκολη στην υλοποίηση. Ως αποτέλεσμα πειραμάτων με αυτό το μοντέλο, μπορεί κανείς να βρει, για παράδειγμα, σταθερούς οικισμούς ζωντανών οργανισμών που δεν πεθαίνουν ποτέ, παραμένουν αμετάβλητοι ή αλλάζουν τη διαμόρφωσή τους για μια συγκεκριμένη περίοδο. Απόλυτα ασταθής (που χάνεται στη δεύτερη γενιά) είναι «σταυρός» οικισμός.

Σε ένα βασικό μάθημα επιστήμης υπολογιστών, οι μαθητές μπορούν να εφαρμόσουν το μοντέλο προσομοίωσης «Life» ως μέρος της ενότητας «Εισαγωγή στον Προγραμματισμό». Μια πιο εμπεριστατωμένη γνώση της μοντελοποίησης προσομοίωσης μπορεί να συμβεί στο γυμνάσιο σε ένα εξειδικευμένο ή επιλεγμένο μάθημα στην επιστήμη των υπολογιστών. Αυτή η επιλογή θα συζητηθεί παρακάτω.

Η αρχή της μελέτης είναι μια διάλεξη για τη μοντελοποίηση προσομοίωσης τυχαίων διαδικασιών. Στα ρωσικά σχολεία, οι έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων και της μαθηματικής στατιστικής μόλις αρχίζουν να εισάγονται στα μαθήματα μαθηματικών και ο δάσκαλος πρέπει να είναι έτοιμος να κάνει μια εισαγωγή σε αυτό το υλικό, το οποίο είναι απαραίτητο για τη διαμόρφωση μιας κοσμοθεωρίας και μαθηματικής κουλτούρας. Τονίζουμε ότι μιλάμε για μια στοιχειώδη εισαγωγή στο φάσμα των εννοιών που συζητούνται. αυτό μπορεί να γίνει σε 1-2 ώρες.

Στη συνέχεια συζητάμε τεχνικά ζητήματα που σχετίζονται με την υπολογιστική δημιουργία ακολουθιών τυχαίων αριθμών με δεδομένο νόμο κατανομής. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορούμε να βασιστούμε στο γεγονός ότι κάθε καθολική γλώσσα προγραμματισμού έχει έναν αισθητήρα τυχαίων αριθμών ομοιόμορφα κατανεμημένους στο διάστημα από το 0 έως το 1. Σε αυτό το στάδιο δεν είναι σκόπιμο να υπεισέλθουμε στο περίπλοκο ζήτημα των αρχών εφαρμογής του. Με βάση τους υπάρχοντες αισθητήρες τυχαίων αριθμών, δείχνουμε πώς να τακτοποιήσουμε

α) μια γεννήτρια ομοιόμορφα κατανεμημένων τυχαίων αριθμών σε οποιοδήποτε διάστημα [ ένα, σι];

β) μια γεννήτρια τυχαίων αριθμών σύμφωνα με σχεδόν οποιονδήποτε νόμο διανομής (για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας τη διαισθητικά σαφή μέθοδο «επιλογής-απόρριψης»).

Συνιστάται να αρχίσετε να εξετάζετε το πρόβλημα της ουράς που περιγράφεται παραπάνω με μια συζήτηση για το ιστορικό επίλυσης προβλημάτων ουράς (πρόβλημα Erlang της εξυπηρέτησης αιτημάτων σε τηλεφωνικό κέντρο). Ακολουθεί η εξέταση του απλούστερου προβλήματος, το οποίο μπορεί να διαμορφωθεί χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του σχηματισμού και της εξυπηρέτησης μιας ουράς σε ένα κατάστημα με έναν πωλητή. Σημειώστε ότι στο πρώτο στάδιο της μοντελοποίησης, οι κατανομές των τυχαίων μεταβλητών στην είσοδο μπορούν να θεωρηθούν εξίσου πιθανές, κάτι που, αν και δεν είναι ρεαλιστικό, εξαλείφει μια σειρά από δυσκολίες (για να δημιουργήσετε τυχαίους αριθμούς, μπορείτε απλά να χρησιμοποιήσετε τον ενσωματωμένο αισθητήρα τη γλώσσα προγραμματισμού).

Εφιστούμε την προσοχή των μαθητών στο ποιες ερωτήσεις τίθενται πρώτα κατά τη μοντελοποίηση συστημάτων αυτού του τύπου. Πρώτον, είναι ο υπολογισμός των μέσων τιμών (μαθηματικές προσδοκίες) ορισμένων τυχαίων μεταβλητών. Για παράδειγμα, ποιος είναι ο μέσος χρόνος που πρέπει να περιμένετε στην ουρά στο γκισέ; Ή: βρείτε τον μέσο χρόνο που αφιερώνει ο πωλητής σε αναμονή του αγοραστή.

Το καθήκον του δασκάλου, ειδικότερα, είναι να εξηγήσει ότι τα ίδια τα μέσα του δείγματος είναι τυχαίες μεταβλητές. σε ένα άλλο δείγμα του ίδιου μεγέθους θα έχουν διαφορετικές τιμές (με μεγάλα μεγέθη δειγμάτων - όχι πολύ διαφορετικά μεταξύ τους). Είναι δυνατές και άλλες επιλογές: σε ένα πιο προετοιμασμένο κοινό, μπορείτε να εμφανίσετε μια μέθοδο για την εκτίμηση των διαστημάτων εμπιστοσύνης στα οποία οι μαθηματικές προσδοκίες των αντίστοιχων τυχαίων μεταβλητών εντοπίζονται σε δεδομένες πιθανότητες εμπιστοσύνης (χρησιμοποιώντας μεθόδους γνωστές από μαθηματικές στατιστικές χωρίς να προσπαθείτε να τις αιτιολογήσετε). Για ένα λιγότερο προετοιμασμένο κοινό, μπορούμε να περιοριστούμε σε μια καθαρά εμπειρική δήλωση: εάν σε πολλά δείγματα ίσου μεγέθους οι μέσες τιμές συμπίπτουν σε ένα συγκεκριμένο δεκαδικό ψηφίο, τότε αυτό το σημάδι είναι πιθανότατα σωστό. Εάν η προσομοίωση αποτύχει να επιτύχει την επιθυμητή ακρίβεια, το μέγεθος του δείγματος θα πρέπει να αυξηθεί.

Για ένα ακόμη πιο μαθηματικά προετοιμασμένο κοινό, μπορεί να τεθεί το ερώτημα: ποια είναι η κατανομή των τυχαίων μεταβλητών που είναι τα αποτελέσματα της στατιστικής μοντελοποίησης, δεδομένων των δεδομένων κατανομών τυχαίων μεταβλητών που είναι οι παράμετροι εισόδου του; Εφόσον η παρουσίαση της αντίστοιχης μαθηματικής θεωρίας σε αυτή την περίπτωση είναι αδύνατη, θα πρέπει να περιοριστούμε σε εμπειρικές τεχνικές: κατασκευή ιστογραμμάτων των τελικών κατανομών και σύγκρισή τους με αρκετές τυπικές συναρτήσεις κατανομής.

Αφού κατακτήσουμε τις αρχικές δεξιότητες αυτής της μοντελοποίησης, προχωράμε σε ένα πιο ρεαλιστικό μοντέλο, στο οποίο οι ροές εισόδου των τυχαίων γεγονότων κατανέμονται, για παράδειγμα, σύμφωνα με τον Poisson. Αυτό θα απαιτήσει από τους μαθητές να κατακτήσουν επιπλέον τη μέθοδο δημιουργίας ακολουθιών τυχαίων αριθμών με τον καθορισμένο νόμο κατανομής.

Στο εξεταζόμενο πρόβλημα, όπως και σε κάθε πιο περίπλοκο πρόβλημα σχετικά με τις ουρές, μπορεί να προκύψει μια κρίσιμη κατάσταση όταν η ουρά μεγαλώνει χωρίς περιορισμό με το χρόνο. Η μοντελοποίηση της προσέγγισης σε μια κρίσιμη κατάσταση καθώς μια από τις παραμέτρους αυξάνεται είναι μια ενδιαφέρουσα ερευνητική εργασία για τους πιο προετοιμασμένους μαθητές.

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα της ουράς ως παράδειγμα, πολλές νέες έννοιες και δεξιότητες εξασκούνται ταυτόχρονα:

· Έννοιες των τυχαίων διαδικασιών.

· Έννοιες και απλές δεξιότητες μοντελοποίησης προσομοίωσης.

· κατασκευή μοντέλων προσομοίωσης βελτιστοποίησης.

· κατασκευή μοντέλων πολλαπλών κριτηρίων (με επίλυση προβλημάτων σχετικά με την πιο ορθολογική εξυπηρέτηση πελατών σε συνδυασμό με τα συμφέροντα του ιδιοκτήτη του καταστήματος).

3. Μαθηματικά μοντέλα

Μαθηματικό μοντέλο - μια κατά προσέγγιση περιγραφή του αντικειμένου μοντελοποίησης, που εκφράζεται με χρήση μαθηματικών συμβόλων.

Τα μαθηματικά μοντέλα εμφανίστηκαν μαζί με τα μαθηματικά πολλούς αιώνες πριν. Η έλευση των υπολογιστών έδωσε τεράστια ώθηση στην ανάπτυξη της μαθηματικής μοντελοποίησης. Η χρήση των υπολογιστών κατέστησε δυνατή την ανάλυση και την εφαρμογή στην πράξη πολλών μαθηματικών μοντέλων που προηγουμένως δεν ήταν επιδεκτικά αναλυτικής έρευνας. Μαθηματικό μοντέλο που εφαρμόζεται σε υπολογιστήπου ονομάζεται μαθηματικό μοντέλο υπολογιστή, ΕΝΑ διεξαγωγή στοχευμένων υπολογισμών χρησιμοποιώντας ένα μοντέλο υπολογιστήπου ονομάζεται υπολογιστικό πείραμα.

Τα στάδια της μαθηματικής μοντελοποίησης σε υπολογιστή φαίνονται στο σχήμα. Πρώτο στάδιο- προσδιορισμός στόχων μοντελοποίησης. Αυτοί οι στόχοι μπορεί να είναι διαφορετικοί:

1) χρειάζεται ένα μοντέλο για να κατανοήσουμε πώς είναι δομημένο ένα συγκεκριμένο αντικείμενο, ποια είναι η δομή του, οι βασικές του ιδιότητες, οι νόμοι ανάπτυξης και αλληλεπίδρασης με τον έξω κόσμο (κατανόηση).

2) χρειάζεται ένα μοντέλο για να μάθουμε πώς να διαχειριζόμαστε ένα αντικείμενο (ή διαδικασία) και να προσδιορίζουμε τις καλύτερες μεθόδους διαχείρισης για δεδομένους στόχους και κριτήρια (διαχείριση).

3) το μοντέλο χρειάζεται για να προβλέψει τις άμεσες και έμμεσες συνέπειες της εφαρμογής δεδομένων μεθόδων και μορφών επιρροής στο αντικείμενο (πρόβλεψη).

Ας εξηγήσουμε με παραδείγματα. Έστω το αντικείμενο μελέτης η αλληλεπίδραση μιας ροής υγρού ή αερίου με ένα σώμα που αποτελεί εμπόδιο σε αυτή τη ροή. Η εμπειρία δείχνει ότι η δύναμη αντίστασης στη ροή από το μέρος του σώματος αυξάνεται με την αύξηση της ταχύτητας ροής, αλλά σε κάποια αρκετά υψηλή ταχύτητα αυτή η δύναμη μειώνεται απότομα για να αυξηθεί ξανά με περαιτέρω αύξηση της ταχύτητας. Τι προκάλεσε τη μείωση της δύναμης αντίστασης; Η μαθηματική μοντελοποίηση μας επιτρέπει να λάβουμε μια σαφή απάντηση: τη στιγμή της απότομης μείωσης της αντίστασης, οι δίνες που σχηματίζονται στη ροή υγρού ή αερίου πίσω από το εξορθολογισμένο σώμα αρχίζουν να αποσπώνται από αυτό και παρασύρονται από τη ροή.

Ένα παράδειγμα από μια εντελώς διαφορετική περιοχή: πληθυσμοί δύο ειδών ατόμων που είχαν συνυπάρξει ειρηνικά με σταθερούς αριθμούς και είχαν κοινή τροφή, «ξαφνικά» αρχίζουν να αλλάζουν απότομα τον αριθμό τους. Και εδώ η μαθηματική μοντελοποίηση επιτρέπει (με έναν ορισμένο βαθμό αξιοπιστίας) να εδραιώσει την αιτία (ή τουλάχιστον να αντικρούσει μια συγκεκριμένη υπόθεση).

Η ανάπτυξη μιας ιδέας για τη διαχείριση ενός αντικειμένου είναι ένας άλλος πιθανός στόχος της μοντελοποίησης. Ποιο τρόπο πτήσης αεροσκάφους πρέπει να επιλέξω για να διασφαλίσω ότι η πτήση είναι ασφαλής και οικονομικά αποδοτικότερη; Πώς να προγραμματίσετε εκατοντάδες είδη εργασιών για την κατασκευή μιας μεγάλης εγκατάστασης ώστε να ολοκληρωθεί στο συντομότερο δυνατό χρόνο; Πολλά τέτοια προβλήματα ανακύπτουν συστηματικά ενώπιον οικονομολόγων, σχεδιαστών και επιστημόνων.

Τέλος, η πρόβλεψη των συνεπειών ορισμένων επιπτώσεων σε ένα αντικείμενο μπορεί να είναι σχετικά απλή υπόθεση σε απλά φυσικά συστήματα και εξαιρετικά περίπλοκη - στα όρια της εφικτότητας - σε βιολογικά, οικονομικά και κοινωνικά συστήματα. Ενώ είναι σχετικά εύκολο να απαντηθεί το ερώτημα σχετικά με τις αλλαγές στον τρόπο κατανομής της θερμότητας σε μια λεπτή ράβδο λόγω αλλαγών στο κράμα που την αποτελείται, είναι ασύγκριτα πιο δύσκολο να εντοπιστούν (προβλεφθούν) οι περιβαλλοντικές και κλιματικές συνέπειες της κατασκευής ενός μεγάλου υδροηλεκτρικού σταθμού ή τις κοινωνικές συνέπειες των αλλαγών στη φορολογική νομοθεσία. Ίσως και εδώ, οι μέθοδοι μαθηματικής μοντελοποίησης να προσφέρουν πιο σημαντική βοήθεια στο μέλλον.

Δεύτερο στάδιο: προσδιορισμός των παραμέτρων εισόδου και εξόδου του μοντέλου. διαίρεση των παραμέτρων εισόδου ανάλογα με το βαθμό σημασίας της επίδρασης των αλλαγών τους στην έξοδο. Αυτή η διαδικασία ονομάζεται κατάταξη ή διαχωρισμός με κατάταξη (βλ . “Επισημοποίηση και μοντελοποίηση”).

Τρίτο στάδιο: κατασκευή μαθηματικού μοντέλου. Σε αυτό το στάδιο, υπάρχει μια μετάβαση από μια αφηρημένη διατύπωση του μοντέλου σε μια διατύπωση που έχει μια συγκεκριμένη μαθηματική αναπαράσταση. Ένα μαθηματικό μοντέλο είναι εξισώσεις, συστήματα εξισώσεων, συστήματα ανισώσεων, διαφορικές εξισώσεις ή συστήματα τέτοιων εξισώσεων κ.λπ.

Τέταρτο στάδιο: επιλογή μεθόδου για τη μελέτη ενός μαθηματικού μοντέλου. Τις περισσότερες φορές, εδώ χρησιμοποιούνται αριθμητικές μέθοδοι, οι οποίες προσφέρονται καλά στον προγραμματισμό. Κατά κανόνα, πολλές μέθοδοι είναι κατάλληλες για την επίλυση του ίδιου προβλήματος, που διαφέρουν ως προς την ακρίβεια, τη σταθερότητα κ.λπ. Η επιτυχία ολόκληρης της διαδικασίας μοντελοποίησης εξαρτάται συχνά από τη σωστή επιλογή της μεθόδου.

Πέμπτο στάδιο: ανάπτυξη αλγορίθμου, μεταγλώττιση και διόρθωση σφαλμάτων ενός προγράμματος υπολογιστή - μια δύσκολη διαδικασία για επισημοποίηση. Μεταξύ των γλωσσών προγραμματισμού, πολλοί επαγγελματίες προτιμούν το FORTRAN για μαθηματική μοντελοποίηση: τόσο λόγω των παραδόσεων όσο και λόγω της αξεπέραστης αποτελεσματικότητας των μεταγλωττιστών (για υπολογιστική εργασία) και της διαθεσιμότητας τεράστιων, προσεκτικά διορθωμένων και βελτιστοποιημένων βιβλιοθηκών τυπικών προγραμμάτων για μαθηματικές μεθόδους που είναι γραμμένες σε αυτό . Γλώσσες όπως PASCAL, BASIC, C χρησιμοποιούνται επίσης, ανάλογα με τη φύση της εργασίας και τις κλίσεις του προγραμματιστή.

Έκτο στάδιο: δοκιμή προγράμματος. Η λειτουργία του προγράμματος ελέγχεται σε ένα δοκιμαστικό πρόβλημα με μια προηγούμενη γνωστή απάντηση. Αυτή είναι μόνο η αρχή μιας διαδικασίας δοκιμής που είναι δύσκολο να περιγραφεί με επίσημα περιεκτικό τρόπο. Τυπικά, οι δοκιμές τελειώνουν όταν ο χρήστης, με βάση τα επαγγελματικά του χαρακτηριστικά, θεωρήσει το πρόγραμμα σωστό.

Έβδομο στάδιο: το πραγματικό υπολογιστικό πείραμα, κατά το οποίο προσδιορίζεται εάν το μοντέλο αντιστοιχεί σε πραγματικό αντικείμενο (διαδικασία). Το μοντέλο είναι επαρκώς επαρκές για την πραγματική διαδικασία εάν ορισμένα χαρακτηριστικά της διαδικασίας που λαμβάνεται σε έναν υπολογιστή συμπίπτουν με τα πειραματικά ληφθέντα χαρακτηριστικά με δεδομένο βαθμό ακρίβειας. Εάν το μοντέλο δεν αντιστοιχεί στην πραγματική διαδικασία, επιστρέφουμε σε ένα από τα προηγούμενα στάδια.

Ταξινόμηση μαθηματικών μοντέλων

Η ταξινόμηση των μαθηματικών μοντέλων μπορεί να βασίζεται σε διάφορες αρχές. Μπορείτε να ταξινομήσετε μοντέλα ανά κλάδους της επιστήμης (μαθηματικά μοντέλα στη φυσική, βιολογία, κοινωνιολογία κ.λπ.). Μπορεί να ταξινομηθεί σύμφωνα με τη μαθηματική συσκευή που χρησιμοποιείται (μοντέλα που βασίζονται στη χρήση συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων, μερικών διαφορικών εξισώσεων, στοχαστικών μεθόδων, διακριτών αλγεβρικών μετασχηματισμών κ.λπ.). Τέλος, αν προχωρήσουμε από τα γενικά προβλήματα μοντελοποίησης σε διάφορες επιστήμες, ανεξάρτητα από τη μαθηματική συσκευή, η ακόλουθη ταξινόμηση είναι πιο φυσική:

· Περιγραφικά (περιγραφικά) μοντέλα.

· μοντέλα βελτιστοποίησης.

· πολυκριτηριακά μοντέλα.

· μοντέλα παιχνιδιών.

Ας το εξηγήσουμε αυτό με παραδείγματα.

Περιγραφικά (περιγραφικά) μοντέλα. Για παράδειγμα, η μοντελοποίηση της κίνησης ενός κομήτη που έχει εισβάλει στο ηλιακό σύστημα πραγματοποιείται για να προβλεφθεί η διαδρομή πτήσης του, η απόσταση στην οποία θα περάσει από τη Γη κ.λπ. Σε αυτή την περίπτωση, οι στόχοι μοντελοποίησης είναι περιγραφικοί, αφού δεν υπάρχει τρόπος να επηρεαστεί η κίνηση του κομήτη ή να αλλάξει κάτι σε αυτόν.

Τα μοντέλα βελτιστοποίησης χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν τις διαδικασίες που μπορούν να επηρεαστούν σε μια προσπάθεια επίτευξης ενός δεδομένου στόχου. Σε αυτήν την περίπτωση, το μοντέλο περιλαμβάνει μία ή περισσότερες παραμέτρους που μπορούν να επηρεαστούν. Για παράδειγμα, όταν αλλάζετε το θερμικό καθεστώς σε έναν σιταποθήκη, μπορείτε να θέσετε ως στόχο να επιλέξετε ένα καθεστώς που θα επιτύχει τη μέγιστη ασφάλεια των κόκκων, δηλ. βελτιστοποίηση της διαδικασίας αποθήκευσης.

Πολυκριτηριακά μοντέλα. Είναι συχνά απαραίτητο να βελτιστοποιηθεί μια διαδικασία σε πολλές παραμέτρους ταυτόχρονα, και οι στόχοι μπορεί να είναι αρκετά αντιφατικοί. Για παράδειγμα, γνωρίζοντας τις τιμές των τροφίμων και τις ανάγκες ενός ατόμου για φαγητό, είναι απαραίτητο να οργανωθεί η διατροφή για μεγάλες ομάδες ανθρώπων (στο στρατό, στην παιδική κατασκήνωση κ.λπ.) σωστά φυσιολογικά και, ταυτόχρονα, τόσο φθηνά όσο δυνατόν. Είναι σαφές ότι αυτοί οι στόχοι δεν συμπίπτουν καθόλου, δηλ. Κατά τη μοντελοποίηση, θα χρησιμοποιηθούν διάφορα κριτήρια, μεταξύ των οποίων πρέπει να αναζητηθεί μια ισορροπία.

Τα μοντέλα παιχνιδιών μπορούν να σχετίζονται όχι μόνο με παιχνίδια στον υπολογιστή, αλλά και με πολύ σοβαρά πράγματα. Για παράδειγμα, πριν από μια μάχη, ένας διοικητής, εάν υπάρχουν ελλιπείς πληροφορίες για τον αντίπαλο στρατό, πρέπει να αναπτύξει ένα σχέδιο: με ποια σειρά θα εισαγάγουν ορισμένες μονάδες στη μάχη κ.λπ., λαμβάνοντας υπόψη την πιθανή αντίδραση του εχθρού. Υπάρχει ένας ειδικός κλάδος των σύγχρονων μαθηματικών - η θεωρία παιγνίων - που μελετά μεθόδους λήψης αποφάσεων υπό συνθήκες ελλιπούς πληροφόρησης.

Στο σχολικό μάθημα της επιστήμης των υπολογιστών, οι μαθητές λαμβάνουν μια αρχική κατανόηση της μαθηματικής μοντελοποίησης υπολογιστών ως μέρος του βασικού μαθήματος. Στο γυμνάσιο, η μαθηματική μοντελοποίηση μπορεί να μελετηθεί σε βάθος σε ένα μάθημα γενικής εκπαίδευσης για μαθήματα φυσικής και μαθηματικών, καθώς και ως μέρος ενός εξειδικευμένου μαθήματος επιλογής.

Οι κύριες μορφές διδασκαλίας της μαθηματικής μοντελοποίησης υπολογιστή στο γυμνάσιο είναι οι διαλέξεις, τα εργαστηριακά και τα τεστ. Συνήθως, η εργασία δημιουργίας και προετοιμασίας για τη μελέτη κάθε νέου μοντέλου διαρκεί 3-4 μαθήματα. Κατά την παρουσίαση της ύλης τίθενται προβλήματα που πρέπει να επιλύσουν οι μαθητές ανεξάρτητα στο μέλλον και σκιαγραφούνται γενικά τρόποι επίλυσής τους. Διατυπώνονται ερωτήσεις, οι απαντήσεις στις οποίες πρέπει να ληφθούν κατά την ολοκλήρωση των εργασιών. Υποδεικνύεται πρόσθετη βιβλιογραφία που σας επιτρέπει να λαμβάνετε βοηθητικές πληροφορίες για πιο επιτυχημένη ολοκλήρωση εργασιών.

Η μορφή οργάνωσης των μαθημάτων κατά τη μελέτη νέου υλικού είναι συνήθως μια διάλεξη. Μετά την ολοκλήρωση της συζήτησης του επόμενου μοντέλου, οι μαθητές έχουν στη διάθεσή τους τις απαραίτητες θεωρητικές πληροφορίες και ένα σύνολο εργασιών για περαιτέρω εργασία. Κατά την προετοιμασία για την ολοκλήρωση μιας εργασίας, οι μαθητές επιλέγουν μια κατάλληλη μέθοδο λύσης και δοκιμάζουν το αναπτυγμένο πρόγραμμα χρησιμοποιώντας κάποια γνωστή ιδιωτική λύση. Σε περίπτωση πολύ πιθανών δυσκολιών κατά την ολοκλήρωση των εργασιών, γίνεται διαβούλευση και γίνεται πρόταση για λεπτομερέστερη μελέτη αυτών των τμημάτων σε λογοτεχνικές πηγές.

Το πιο κατάλληλο για το πρακτικό μέρος της διδασκαλίας της μοντελοποίησης υπολογιστή είναι η μέθοδος έργου. Η εργασία διαμορφώνεται για τον μαθητή με τη μορφή εκπαιδευτικού έργου και πραγματοποιείται σε πολλά μαθήματα, με κύρια οργανωτική μορφή την εργασία στο εργαστήριο υπολογιστών. Η μοντελοποίηση διδασκαλίας με τη μέθοδο του εκπαιδευτικού έργου μπορεί να εφαρμοστεί σε διαφορετικά επίπεδα. Το πρώτο είναι μια προβληματική παρουσίαση της διαδικασίας ολοκλήρωσης του έργου, την οποία ηγείται ο δάσκαλος. Το δεύτερο είναι η υλοποίηση του έργου από μαθητές υπό την καθοδήγηση δασκάλου. Το τρίτο είναι να ολοκληρώσουν οι μαθητές ανεξάρτητα ένα εκπαιδευτικό ερευνητικό έργο.

Τα αποτελέσματα της εργασίας πρέπει να παρουσιάζονται σε αριθμητική μορφή, με τη μορφή γραφημάτων και διαγραμμάτων. Εάν είναι δυνατόν, η διαδικασία παρουσιάζεται στην οθόνη του υπολογιστή σε δυναμική. Με την ολοκλήρωση των υπολογισμών και τη λήψη των αποτελεσμάτων, αναλύονται, συγκρίνονται με γνωστά δεδομένα από τη θεωρία, επιβεβαιώνεται η αξιοπιστία και πραγματοποιείται ουσιαστική ερμηνεία, η οποία στη συνέχεια αποτυπώνεται σε γραπτή αναφορά.

Εάν τα αποτελέσματα ικανοποιούν μαθητή και δάσκαλο, τότε η εργασία θεωρείται ολοκληρωμένη και το τελικό της στάδιο είναι η προετοιμασία μιας έκθεσης. Η έκθεση περιλαμβάνει σύντομες θεωρητικές πληροφορίες για το υπό μελέτη θέμα, μαθηματική διατύπωση του προβλήματος, αλγόριθμο λύσης και την αιτιολόγησή του, πρόγραμμα υπολογιστή, τα αποτελέσματα του προγράμματος, ανάλυση των αποτελεσμάτων και συμπερασμάτων και κατάλογο αναφορών.

Όταν έχουν συνταχθεί όλες οι εκθέσεις, κατά τη διάρκεια του δοκιμαστικού μαθήματος, οι μαθητές δίνουν σύντομες αναφορές για την εργασία που έχουν γίνει και υπερασπίζονται το έργο τους. Αυτή είναι μια αποτελεσματική μορφή αναφοράς από την ομάδα που εκτελεί το έργο στην τάξη, συμπεριλαμβανομένης της ρύθμισης του προβλήματος, της δημιουργίας ενός επίσημου μοντέλου, της επιλογής μεθόδων εργασίας με το μοντέλο, της εφαρμογής του μοντέλου σε υπολογιστή, της εργασίας με το ολοκληρωμένο μοντέλο, της ερμηνείας τα αποτελέσματα και κάνοντας προβλέψεις. Ως αποτέλεσμα, οι μαθητές μπορούν να λάβουν δύο βαθμούς: τον πρώτο - για την επεξεργασία του έργου και την επιτυχία της υπεράσπισής του, τον δεύτερο - για το πρόγραμμα, τη βέλτιστη χρήση του αλγορίθμου, τη διεπαφή κ.λπ. Οι μαθητές λαμβάνουν επίσης βαθμούς κατά τη διάρκεια των θεωρητικών κουίζ.

Ένα ουσιαστικό ερώτημα είναι ποια εργαλεία να χρησιμοποιήσετε σε ένα σχολικό μάθημα επιστήμης υπολογιστών για μαθηματική μοντελοποίηση; Η εφαρμογή μοντέλων μέσω υπολογιστή μπορεί να πραγματοποιηθεί:

· χρήση επεξεργαστή υπολογιστικών φύλλων (συνήθως MS Excel).

· δημιουργώντας προγράμματα σε παραδοσιακές γλώσσες προγραμματισμού (Pascal, BASIC κ.λπ.), καθώς και στις σύγχρονες εκδόσεις τους (Δελφοί, Visual Basic για Εφαρμογή κ.λπ.)

· χρήση ειδικών πακέτων εφαρμογών για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων (MathCAD κ.λπ.).

Στο βασικό σχολικό επίπεδο, η πρώτη μέθοδος φαίνεται να είναι προτιμότερη. Ωστόσο, στο γυμνάσιο, όταν ο προγραμματισμός είναι, μαζί με το μοντελοποίηση, βασικό θέμα στην επιστήμη των υπολογιστών, καλό είναι να χρησιμοποιείται ως εργαλείο μοντελοποίησης. Κατά τη διάρκεια της διαδικασίας προγραμματισμού, οι λεπτομέρειες των μαθηματικών διαδικασιών γίνονται διαθέσιμες στους μαθητές. Επιπλέον, απλώς αναγκάζονται να τα κατακτήσουν, και αυτό συμβάλλει επίσης στη μαθηματική εκπαίδευση. Όσον αφορά τη χρήση ειδικών πακέτων λογισμικού, αυτό ενδείκνυται σε ένα εξειδικευμένο μάθημα πληροφορικής ως συμπλήρωμα σε άλλα εργαλεία.

4. Μοντελοποίηση παγκόσμιων διαδικασιών

Τα μοντέλα που χρησιμοποιούνται σε διάφορες επιστήμες (φυσική, βιολογία, οικονομία κ.λπ.) είναι μαθηματικές εικόνες σχετικά μεμονωμένων διαδικασιών και φαινομένων. Καθένα από αυτά σας επιτρέπει να λύσετε προβλήματα που είναι σημαντικά για μια συγκεκριμένη επιστήμη ή είδος δραστηριότητας. Αλλά όλα αυτά, στην οικουμενική τους σημασία, είναι κατώτερα από το πιο σημαντικό ερώτημα για τους ανθρώπους: ποιο είναι το άμεσο μέλλον της ανθρωπότητας ως ενός είδους συνολικά; Πώς θα εξελιχθεί ο κόσμος στο άμεσο μέλλον; Ας τονίσουμε ότι δεν μιλάμε για πολιτικές ή οικονομικές προβλέψεις για κάποια συγκεκριμένη χώρα ή κοινωνία, αλλά για την ανθρωπότητα συνολικά - τι μέλλον έχει (όλοι όσοι ζούμε στη Γη);

Οι άνθρωποι στην τρέχουσα ζωή τους έχουν πολλά συγκεκριμένα προβλήματα και είναι ελάχιστα διατεθειμένοι σε τέτοιους γενικούς προβληματισμούς. Η ζωή ενός μεμονωμένου ατόμου είναι πολύ σύντομη και μόλις πριν από έναν ή δύο αιώνες, οι παγκόσμιες αλλαγές στον κόσμο κατά τη διάρκεια της ζωής ενός ατόμου ήταν ελάχιστα αισθητές, ακόμα κι αν έζησε σε μια αρκετά ταραχώδη εποχή. Αλλά τον 20ο αιώνα, ο ρυθμός των γεγονότων επιταχύνθηκε όσο ποτέ άλλοτε στην ανθρώπινη ιστορία. Οι προβλέψεις για μελλοντικές παγκόσμιες καταστροφές γίνονται όλο και πιο κοινές: ο θάνατος της φύσης λόγω βιομηχανικής ρύπανσης, η εμφάνιση «τρυπών του όζοντος» στη στρατόσφαιρα που μας προστατεύουν από την κοσμική ακτινοβολία, η εξάντληση των μέσων αναπαραγωγής οξυγόνου λόγω της μαζικής αποψίλωσης των δασών κ.λπ. Ακόμη και ένα λιγότερο καταστροφικό γεγονός - για παράδειγμα, η εξάντληση των φυσικών πόρων - μπορεί να οδηγήσει σε ριζικές αλλαγές στον τρόπο ζωής της ανθρωπότητας, και ιδιαίτερα στις χώρες που είναι σήμερα οι πιο βιομηχανοποιημένες.

Το μέλλον της ανθρωπότητας καθορίζεται από έναν τεράστιο αριθμό διαδικασιών, εν μέρει ελεγχόμενες από αυτήν, εν μέρει όχι, και αυτές οι διαδικασίες είναι τόσο αλληλένδετες και έχουν τόσο αντιφατικές συνέπειες που μόνο η μαθηματική μοντελοποίησή τους σε ολόκληρη την λογική ολότητά τους, που εφαρμόζεται σε σύγχρονους υπολογιστές, μπορεί να δίνουν μια ποιοτικά σωστή πρόβλεψη. Ανεξάρτητα από το πόσο μεγάλη μπορεί να είναι η αναπόφευκτη τραχύτητα της πραγματικότητας με μια τέτοια μοντελοποίηση, υπάρχουν τόσοι πολλοί παράγοντες υψίστης σημασίας που ακόμη και το πιο ισχυρό μυαλό δεν μπορεί να εντοπίσει την αλληλεπίδρασή τους.

Τα αντίστοιχα μοντέλα, που ονομάζονται παγκόσμια(ολόκληρη), πρωτοεμφανίστηκε τη δεκαετία του '70 του περασμένου αιώνα. Τα πιο διάσημα μοντέλα είναι τα WORLD-1 (WORLD-1), WORLD-2, WORLD-3, που διαμορφώθηκαν και μελετήθηκαν από μια ομάδα εργαζομένων στο Τεχνολογικό Ινστιτούτο της Μασαχουσέτης (ΗΠΑ) υπό την ηγεσία του D.Kh. Meadows και D. Forrester. Τα αποτελέσματα της δουλειάς τους κάποτε δημιούργησαν μια αίσθηση στον κόσμο, επειδή τα περισσότερα σενάρια για την πιθανή εξέλιξη των γεγονότων οδήγησαν σε καταλήξεις που θα μπορούσαν να ονομαστούν το τέλος του κόσμου (φυσικά, από την άποψη της ανθρωπότητας). Ταυτόχρονα, οι συγγραφείς έχουν επανειλημμένα τονίσει ότι δεν μιλάμε για ένα προκαθορισμένο μέλλον, αλλά για την επιλογή οδών για την ανάπτυξη της ανθρωπότητας, μεταξύ των οποίων υπάρχουν εκείνες που οδηγούν στη σταθερότητα, στην ευημερούσα ύπαρξη της ανθρωπότητας.

Ποια θα μπορούσε να είναι η αιτία της πιθανής αστάθειας; Χαρακτηριστικό γνώρισμα της ανθρώπινης ζωής στην εποχή μετά την έναρξη της βιομηχανικής επανάστασης ήταν η ταχεία - συχνά εκθετικά ραγδαία - ανάπτυξη πολλών δεικτών. Η περίοδος διπλασιασμού του πληθυσμού της Γης είναι περίπου 40 χρόνια (η παρουσία μιας τέτοιας σταθερής περιόδου είναι χαρακτηριστικό γνώρισμα της εκθετικής ανάπτυξης). Οι βιολόγοι και οι οικολόγοι γνωρίζουν καλά ότι μια εκθετική αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού καταλήγει τις περισσότερες φορές σε καταστροφή - οι πηγές που υποστηρίζουν την ύπαρξή του εξαντλούνται. Από την άποψη της ύπαρξης ενός είδους, αυτό δεν είναι τραγωδία (εκτός από μοναδικές περιπτώσεις όπου ένα δεδομένο είδος περιορίζεται σε έναν πληθυσμό). Ωστόσο, στην εποχή μας, η ανθρωπότητα έχει εξαντλήσει σχεδόν όλους τους πόρους της για εκτεταμένη ανάπτυξη και επέκταση. Ο όγκος της βιομηχανικής παραγωγής τον 20ο αιώνα επίσης αυξήθηκε σχεδόν εκθετικά, με ετήσιο ρυθμό αύξησης κατά μέσο όρο 3,3%. Αυτό οδηγεί στην εξάντληση των φυσικών πόρων - ορυκτών, καθαρού νερού, καθαρού αέρα. Η ατμοσφαιρική περιεκτικότητα μιας από τις σταθερές ενώσεις του άνθρακα (διοξείδιο) ως αποτέλεσμα της καύσης ορυκτών καυσίμων και της εξάντλησης των δασών έχει αυξηθεί κατά ένα τρίτο από τις αρχές του αιώνα. ενδεχομένωςαυτό οδηγεί στην υπερθέρμανση του πλανήτη στη Γη με τις πιο καταστροφικές συνέπειες. Όσο περισσότεροι άνθρωποι υπάρχουν, τόσο περισσότερη τροφή χρειάζεται και ο παγκόσμιος όγκος των εφαρμοζόμενων ορυκτών λιπασμάτων αυξάνεται εκθετικά με μια περίοδο διπλασιασμού περίπου 15 ετών. Είναι σαφές, ακόμη και χωρίς καμία μοντελοποίηση, ότι μια τέτοια ζωή με την αχαλίνωτη ανάπτυξη των πάντων και όλων δεν μπορεί να διαρκέσει πολύ - και τώρα «μακριά» είναι συγκρίσιμη με τη διάρκεια ζωής δύο ή τριών γενεών.

Η δυσκολία παρακολούθησης των συνεπειών μιας τέτοιας πορείας γεγονότων έγκειται επίσης στο ότι κάθε μεμονωμένη παγκόσμια διαδικασία δεν μπορεί να αποκαλείται ξεκάθαρα «καλή» ή «κακή» από την άποψη της επιρροής της στη μοίρα της ανθρωπότητας. Για παράδειγμα, μια αύξηση της παραγωγής λιπασμάτων οδηγεί σε αύξηση της παραγωγής τροφίμων - αυτό είναι "καλό". Αλλά το «κακό» είναι ότι η ίδια διαδικασία οδηγεί σε μείωση της παροχής καθαρού γλυκού νερού, το οποίο αλλοιώνεται από τα λιπάσματα που πέφτουν μέσω του εδάφους με τη βροχή σε ποτάμια και υπόγειες πηγές. Επιπλέον, η αύξηση της παραγωγής λιπασμάτων οδηγεί στην ανάγκη αύξησης της παραγωγής ενέργειας και της σχετικής χημικής και θερμικής ρύπανσης του εδάφους, της ατμόσφαιρας κ.λπ. Είναι δυνατό να σταθμιστεί ο αντίκτυπος τέτοιων καταστάσεων στην ανάπτυξη της ανθρωπότητας μόνο λαμβάνοντας υπόψη όλους τους παράγοντες ταυτόχρονα.

Υπάρχουν ευκαιρίες για αποφυγή καταστροφικών συνεπειών για την ανθρώπινη ανάπτυξη; Ως αποτέλεσμα της μοντελοποίησης, διατυπώθηκαν οι ακόλουθοι τρεις κανόνες, η συμμόρφωση με τους οποίους, σύμφωνα με τους συντάκτες των μοντέλων, είναι απαραίτητη για την παγκόσμια βιωσιμότητα:

1. Για τους ανανεώσιμους πόρους (δάσος, νερό, ψάρια κ.λπ.), το ποσοστό κατανάλωσης δεν πρέπει να υπερβαίνει το ποσοστό φυσικής ανάκτησης.

2. Για τους μη ανανεώσιμους πόρους (άνθρακας, πετρέλαιο, μεταλλεύματα κ.λπ.), ο ρυθμός κατανάλωσης δεν πρέπει να υπερβαίνει το ποσοστό αντικατάστασής τους με ανανεώσιμες πηγές ενέργειας (ανάπτυξη ηλιακής και αιολικής ενέργειας, φύτευση δασών κ.λπ.) και το ποσοστό της ανάπτυξης νέων τεχνολογιών για τη διασφάλιση των πόρων αντικατάστασης· ώστε μετά την εξαφάνιση, για παράδειγμα, του πετρελαίου, να εξασφαλιστεί εισροή ενέργειας από έναν νέο πόρο.

3. Για τους ρύπους, το μέγιστο ποσοστό εκπομπών δεν πρέπει να υπερβαίνει τον ρυθμό με τον οποίο αυτές οι ουσίες υποβάλλονται σε επεξεργασία ή χάνουν τις επιβλαβείς για το περιβάλλον ιδιότητές τους.

Επί του παρόντος, η ανθρωπότητα, δυστυχώς, δεν καθοδηγείται από αυτούς τους κανόνες. Αν στους προηγούμενους αιώνες αυτό δεν αποτελούσε κίνδυνο για το είδος στο σύνολό του, σήμερα η κατάσταση έχει αλλάξει.

Ας περιγράψουμε εν συντομία ένα από τα παγκόσμια μοντέλα - WORLD-3 (WORLD-3). Το μοντέλο αποτελείται από πέντε τομείς:

· επίμονη ρύπανση.

· μη ανανεώσιμες πηγές;

· πληθυσμός;

· γεωργία (παραγωγή τροφίμων, γονιμότητα γης, ανάπτυξη γης).

· οικονομία (βιομηχανική παραγωγή, παραγωγή υπηρεσιών, θέσεις εργασίας).

Οι αρχικές είναι πρωταρχικές σχέσεις, όπως:

· πληθυσμιακά και βιομηχανικά αποθέματα κεφαλαίου.

· πληθυσμός και έκταση καλλιεργούμενης γης.

· έκταση καλλιεργούμενης γης και όγκος βιομηχανικού κεφαλαίου.

· πληθυσμός και κεφάλαιο του τομέα των υπηρεσιών.

· κεφάλαιο του τομέα των υπηρεσιών και βιομηχανικό κεφάλαιο κ.λπ.

Σε κάθε τομέα, όλες οι πρωτεύουσες σχέσεις ανιχνεύονται και εκφράζονται με μαθηματικές σχέσεις. Εφόσον είναι απαραίτητο, λαμβάνονται υπόψη οι διαδικασίες υστέρησης υλικού και πληροφοριών, καθώς η αντίδραση, ας πούμε, του μεγέθους του πληθυσμού στη βελτιωμένη διατροφή δεν είναι στιγμιαία, αλλά καθυστερημένη. Αυτό είναι χαρακτηριστικό για τις περισσότερες από τις εξεταζόμενες διαδικασίες.

Το μοντέλο WORLD-3 έχει χαρακτηριστικά περιγραφής και βελτιστοποίησης. Ο κύριος σκοπός του είναι να παρουσιάσει πιθανούς τρόπους ώστε η οικονομία (με την ευρεία έννοια του όρου) να επιτύχει έναν παγκόσμιο πληθυσμό που μπορεί να υποστηρίζεται από το περιβάλλον επ' αόριστον. Δεν προβλέπει την ανάπτυξη μιας συγκεκριμένης χώρας και δεν λύνει κανένα τοπικό ζήτημα. Το μοντέλο υποθέτει ότι υπάρχει μια παγκόσμια κοινότητα στη Γη.

Η δυναμική του πληθυσμού είναι ένα αναπόσπαστο χαρακτηριστικό που ενσωματώνει όλους τους παράγοντες. Καθαρά κερδοσκοπικά, είναι δυνατοί δύο τύποι σταθερής δυναμικής (συνεχής ανάπτυξη ή ομαλή προσέγγιση της ισορροπίας) και τρεις τύποι ασταθών που σχετίζονται με την υπέρβαση των επιτρεπτών ορίων (ταλαντώσεις που ακολουθούνται από την επίτευξη σταθερής κατάστασης, χαοτικές ταλαντώσεις και κατάρρευση, δηλ. εξαφάνιση του το είδος). Η συνεχής ανάπτυξη φαίνεται εντελώς μη ρεαλιστική, η τελευταία από τις ασταθείς δυναμικές είναι μια τραγωδία για την ανθρωπότητα και πίσω από τις έντονες διακυμάνσεις, όπως μπορείτε να μαντέψετε, υπάρχουν πόλεμοι, επιδημίες, λιμός - κάτι που συμβαίνει συχνά στην πραγματικότητα.

Τυπικές σχέσεις για το μοντέλο WORLD, οι οποίες εκφράζονται με μαθηματικά μέσα (διαφορικές και «συνηθισμένες» εξισώσεις), φαίνονται στο σχήμα. Καταδεικνύει τη σύνδεση μεταξύ πληθυσμού, βιομηχανικού κεφαλαίου, καλλιεργήσιμης γης και περιβαλλοντικής ρύπανσης. Κάθε βέλος στο σχήμα υποδεικνύει την ύπαρξη μιας αιτιώδους σχέσης, η οποία μπορεί να είναι άμεση ή καθυστερημένη, θετική ή αρνητική.

Βρόχοι ανατροφοδότησης πληθυσμού, κεφαλαίου, αγροτικής παραγωγής και περιβαλλοντικής ρύπανσης

Οι έννοιες της θετικής και αρνητικής ανάδρασης προέρχονται από τη θεωρία του αυτόματου ελέγχου (κλάδος της κυβερνητικής). Η σχέση αιτίου-αποτελέσματος μεταξύ δύο στοιχείων ονομάζεται αρνητικός, εάν μια αλλαγή σε ένα στοιχείο μεταδίδεται στο δεύτερο, επιστρέφει από αυτό στο πρώτο και το αλλάζει προς την αντίθετη κατεύθυνση από το αρχικό (καταστέλλει) και θετικός, αν αυτή η αλλαγή, επιστρέφοντας στην πρώτη, την ενισχύει. Αν δεν υπάρχουν δύο, αλλά περισσότερα στοιχεία, τότε μιλούν για βρόχος ανατροφοδότησης, από το οποίο το σήμα περνάει κυκλικά, επιστρέφοντας στην πηγή και επηρεάζοντας την.

Ένα συγκεκριμένο σύνολο τέτοιων αριθμών εξαντλεί γραφικά το ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ μοντέλο. Ωστόσο, πίσω από κάθε βέλος υπάρχουν πρωτεύουσες σχέσεις και πίσω από καθεμία από αυτές υπάρχουν εξισώσεις που περιλαμβάνουν έναν αριθμό παραμέτρων. Στην πραγματικότητα, είναι οι τιμές αυτών των παραμέτρων που καθορίζουν τα αποτελέσματα, επομένως, τόσο πολλοί στενοί ειδικοί όσο και πολλά εμπειρικά (στατιστικά) δεδομένα που συλλέγονται σε δεκάδες βιβλία αναφοράς, εκθέσεις του ΟΗΕ και μεμονωμένα κράτη συμμετέχουν στην ανάλυσή τους. Ο αριθμός των αλληλένδετων μεταβλητών στο μοντέλο WORLD-3 είναι 225 και υπάρχουν ακόμη περισσότερες παράμετροι.

Παγκόσμια αποτελέσματα προσομοίωσης

Τα δημοσιευμένα «σενάρια» για την ανθρώπινη ανάπτυξη, σύμφωνα με τα παγκόσμια μοντέλα, καλύπτουν τη χρονική περίοδο από το 1900 έως το 2100. Τα πρώτα 100 χρόνια που έχουν ήδη περάσει μας επιτρέπουν να «συντονίσουμε» το μοντέλο και να προσδιορίσουμε τον βαθμό αξιοπιστίας του.

Το πρώτο από τα σενάρια βασίζεται στην υπόθεση ότι όλα θα εξελιχθούν χωρίς μεγάλες αλλαγές, παγκόσμιους πολιτικούς κατακλυσμούς, χωρίς ιδιαίτερες προσπάθειες για τη διατήρηση των πόρων και τη μείωση της περιβαλλοντικής ρύπανσης. Το μοντέλο προβλέπει καταστροφικά αποτελέσματα από μια τέτοια εξέλιξη.

Ταυτόχρονα, το μοντέλο WORLD σάς επιτρέπει να βρείτε τρόπους ρυθμιζόμενης ανάπτυξης, γεγονός που οδηγεί σε ομαλή («σιγμοειδή») συμπεριφορά των κύριων μεταβλητών. Αυτός ο δρόμος συνδέεται με την αυτοσυγκράτηση και τη μετάβαση σε βελτιωμένες βιομηχανικές και γεωργικές τεχνολογίες.

5. Μοντελοποίηση βέλτιστων διαδικασιών σχεδιασμού

Διατύπωση του βέλτιστου προβλήματος προγραμματισμού

Ο προγραμματισμός είναι το πιο σημαντικό στάδιο της οικονομικής και διαχειριστικής δραστηριότητας. Το αντικείμενο του σχεδιασμού μπορεί να είναι οι δραστηριότητες ενός τμήματος ή μιας ολόκληρης επιχείρησης, μιας βιομηχανίας ή γεωργίας, μιας περιοχής και, τέλος, ενός κράτους.

Η διατύπωση του προβλήματος σχεδιασμού στη γενική περίπτωση έχει ως εξής:

Υπάρχουν ορισμένοι προγραμματισμένοι δείκτες: Χ, Υ, …;

· Υπάρχουν ορισμένοι πόροι: R 1, R 2, ..., λόγω των οποίων μπορούν να επιτευχθούν αυτοί οι προγραμματισμένοι δείκτες.

· υπάρχει ένας συγκεκριμένος στρατηγικός στόχος, ανάλογα με τις αξίες των προγραμματισμένων δεικτών, προς τους οποίους πρέπει να προσανατολιστεί ο σχεδιασμός.

Πρόβλημα βέλτιστου προγραμματισμού συνίσταται στον καθορισμό των τιμών των προγραμματισμένων δεικτών, λαμβάνοντας υπόψη περιορισμένους πόρους, με την επιφύλαξη της επίτευξης ενός στρατηγικού στόχου.

Ας δώσουμε παραδείγματα. Ας είναι το αντικείμενο του σχεδιασμού ένα νηπιαγωγείο. Θα περιοριστούμε σε δύο μόνο προγραμματισμένους δείκτες: τον αριθμό των παιδιών και τον αριθμό των δασκάλων. Οι κύριοι πόροι για τις δραστηριότητες του νηπιαγωγείου είναι το ύψος της χρηματοδότησης και το μέγεθος των χώρων. Ποιοι είναι οι στρατηγικοί στόχοι; Φυσικά, ένα από αυτά είναι η διατήρηση και η ενίσχυση της υγείας των παιδιών. Ένα ποσοτικό μέτρο αυτού του στόχου είναι η ελαχιστοποίηση της συχνότητας εμφάνισης ασθενειών μεταξύ των μαθητών του νηπιαγωγείου.

Άλλο παράδειγμα: ο σχεδιασμός των οικονομικών δραστηριοτήτων του κράτους. Φυσικά, αυτό είναι πολύ περίπλοκο έργο για λεπτομερή ανάλυση. Υπάρχουν πολλοί προγραμματισμένοι δείκτες: η παραγωγή διαφόρων τύπων βιομηχανικών και γεωργικών προϊόντων, η εκπαίδευση ειδικών, η παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας, ο μισθός των εργαζομένων του δημόσιου τομέα και πολλά άλλα. Οι πόροι περιλαμβάνουν: τον αριθμό του πληθυσμού σε ηλικία εργασίας, τον κρατικό προϋπολογισμό, τους φυσικούς πόρους, την ενέργεια, τις δυνατότητες των συστημάτων μεταφορών κ.λπ. Φυσικά, καθένας από αυτούς τους τύπους πόρων είναι περιορισμένος. Επιπλέον, ο πιο σημαντικός πόρος είναι ο χρόνος που διατίθεται για την υλοποίηση του σχεδίου.

Το ζήτημα των στρατηγικών στόχων σε αυτή την περίπτωση είναι πολύ περίπλοκο. Το κράτος έχει πολλά από αυτά, αλλά οι προτεραιότητες μπορεί να αλλάξουν σε διαφορετικές περιόδους της ιστορίας. Για παράδειγμα, σε καιρό πολέμου ο κύριος στόχος είναι η μέγιστη αμυντική ικανότητα, η στρατιωτική ισχύς της χώρας. Σε καιρό ειρήνης σε ένα σύγχρονο πολιτισμένο κράτος, στόχος προτεραιότητας πρέπει να είναι η επίτευξη του μέγιστου βιοτικού επιπέδου του πληθυσμού.

Η επίλυση προβλημάτων βέλτιστου σχεδιασμού είναι τις περισσότερες φορές πολύπλοκη και απρόσιτη χρησιμοποιώντας μόνο την ανθρώπινη εμπειρία (εμπειρικές μέθοδοι). Για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, είναι κατασκευασμένο μαθηματικό μοντέλο, το οποίο δημιουργεί μια σύνδεση μεταξύ των παραμέτρων του προβλήματος. Ως εκ τούτου, Ο βέλτιστος σχεδιασμός πραγματοποιείται με τη χρήση μαθηματικών μοντέλων.Κατά κανόνα, τέτοια μοντέλα για πραγματικές καταστάσεις δεν μπορούν να επιλυθούν αναλυτικά, επομένως χρησιμοποιούνται μέθοδοι αριθμητικής λύσης που εφαρμόζονται σε υπολογιστή.

Παράδειγμα μαθηματικού μοντέλου βέλτιστου σχεδιασμού

Ας εξετάσουμε ένα απλό παράδειγμα που μπορεί να σας βοηθήσει να πάρετε μια ιδέα για μια από τις κατηγορίες βέλτιστων προβλημάτων προγραμματισμού.

Το σχολικό ζαχαροπλαστείο ετοιμάζει πίτες και κέικ. Λόγω της περιορισμένης χωρητικότητας της αποθήκης, δεν μπορούν να παρασκευαστούν συνολικά περισσότερα από 700 προϊόντα την ημέρα. Μια εργάσιμη μέρα σε ένα ζαχαροπλαστείο διαρκεί 8 ώρες. Δεδομένου ότι η παραγωγή κέικ είναι πιο εντατική, εάν παράγετε μόνο αυτές, δεν μπορείτε να παράγετε περισσότερες από 250 πίτες την ημέρα, αλλά μπορούν να παραχθούν 1000 πίτες (αν δεν παράγετε κέικ). Το κόστος μιας τούρτας είναι διπλάσιο από μια πίτα. Είναι απαραίτητο να καταρτιστεί ένα ημερήσιο πλάνο παραγωγής που θα παρέχει στο ζαχαροπλαστείο τα μεγαλύτερα έσοδα.

Ας διατυπώσουμε αυτό το πρόβλημα μαθηματικά. Οι προγραμματισμένοι δείκτες είναι:

x - ημερήσιο σχέδιο για την απελευθέρωση πίτας.

y είναι το ημερήσιο σχέδιο για την κυκλοφορία των κέικ.

Οι πόροι παραγωγής είναι:

· διάρκεια της εργάσιμης ημέρας - 8 ώρες.

· χωρητικότητα αποθήκευσης - 700 θέσεις.

Τις αναλογίες τις παίρνουμε από τις συνθήκες περιορισμένου χρόνου λειτουργίας του συνεργείου και χωρητικότητας της αποθήκης, δηλ. συνολικός αριθμός προϊόντων. Από τη δήλωση του προβλήματος προκύπτει ότι χρειάζεται 4 φορές περισσότερος χρόνος για να φτιάξεις μια πίτα από ό,τι για να φτιάξεις 1 πίτα. Αν αναφέρετε την ώρα παρασκευής της πίτας tλεπτά, τότε ο χρόνος παρασκευής του κέικ είναι 4 tελάχ. Επομένως, ο συνολικός χρόνος παραγωγής Χπίτες και yκέικ ίσα tx + 4ty =(Χ+ 4y)t.Αλλά αυτός ο χρόνος δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από τη διάρκεια της εργάσιμης ημέρας. Αυτό συνεπάγεται την ανισότητα ( Χ + 4y)t 8 ? 60, ή ( Χ + 4y)t 480.

Δεδομένου ότι μπορούν να γίνουν 1000 πίτες ανά εργάσιμη ημέρα, δαπανώνται 480/1000 = 0,48 λεπτά για μία. Αντικαθιστώντας αυτή την τιμή με την ανισότητα, παίρνουμε: ( Χ + 4y) ? 0,48 480. Από εδώ Χ + 4y 1000. Ο περιορισμός του συνολικού αριθμού προϊόντων δίνει μια προφανή ανισότητα Χ+ y 700.

Στις δύο λαμβανόμενες ανισότητες θα πρέπει να προσθέσουμε τις προϋποθέσεις για τις θετικές τιμές των ποσοτήτων ΧΚαι y(δεν μπορεί να υπάρχει αρνητικός αριθμός πίτας και κέικ). Ως αποτέλεσμα, λάβαμε ένα σύστημα ανισοτήτων:

Χ + 4y 1000,Χ + y 700, Χ 0, y 0 ()

Ας επισημοποιήσουμε τον στρατηγικό στόχο: απόκτηση μέγιστων εσόδων. Τα έσοδα είναι το κόστος όλων των προϊόντων που πωλούνται. Αφήστε την τιμή μιας πίτας rρούβλια Σύμφωνα με το πρόβλημα, η τιμή της τούρτας είναι διπλάσια, δηλ. 2 rρούβλια Ως εκ τούτου, το κόστος όλων των προϊόντων που παράγονται ανά ημέρα είναι ίσο με rx + 2ry = r(Χ + 2y). Στόχος της παραγωγής είναι η απόκτηση μέγιστων εσόδων. Θα θεωρήσουμε τη γραπτή έκφραση ως συνάρτηση του Χ,y:φά(x, y)= r(Χ + 2y). Επειδή η r- σταθερά και μετά η μέγιστη τιμή φά(x, y) θα επιτευχθεί στη μέγιστη τιμή της έκφρασης Χ + 2y.Επομένως, ως συνάρτηση της οποίας το μέγιστο αντιστοιχεί στον στρατηγικό στόχο, μπορούμε να πάρουμε

φά(Χ, y) = Χ + 2y ()

Κατά συνέπεια, η απόκτηση του βέλτιστου σχεδίου περιορίστηκε στο ακόλουθο μαθηματικό πρόβλημα: βρείτε τις τιμές των προγραμματισμένων δεικτών x και y που ικανοποιούν το σύστημα των ανισοτήτων()και δίνοντας μέγιστη τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση().

Το παραπάνω παράδειγμα ανήκει στην κατηγορία εργασιών γραμμικός προγραμματισμός. Στη θεωρία του βέλτιστου σχεδιασμού, υπάρχουν πολλές κατηγορίες προβλημάτων, εκ των οποίων ο γραμμικός προγραμματισμός είναι η απλούστερη επιλογή. Η μελέτη των μαθηματικών μεθόδων για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων υπερβαίνει τους στόχους της σχολικής εκπαίδευσης.

Ταυτόχρονα, δεν θα ήταν λογικό να περιοριστούμε μόνο στη θεωρητική διατύπωση των βέλτιστων προβλημάτων προγραμματισμού. Οι σύγχρονες τεχνολογίες πληροφοριών καθιστούν δυνατή την επίλυση ορισμένων προβλημάτων βέλτιστου προγραμματισμού (και, ειδικότερα, γραμμικού προγραμματισμού) χωρίς να κατανοήσουμε την ουσία των μαθηματικών μεθόδων που χρησιμοποιούνται. Συγκεκριμένα, τέτοια εργαλεία είναι διαθέσιμα στον επεξεργαστή υπολογιστικών φύλλων Excel και στη βάση τους είναι δυνατό να δείξουμε στους μαθητές πώς να επιλύουν συγκεκριμένα προβλήματα. Το εν λόγω εργαλείο ονομάζεται Find a Solution.Η αντίστοιχη εντολή βρίσκεται στο μενού Εργαλεία. Ας περιγράψουμε εν συντομία πώς να χρησιμοποιήσετε αυτό το εργαλείο για να λύσετε το πρόβλημα που τέθηκε παραπάνω.

Αρχικά, ας ετοιμάσουμε έναν πίνακα για την επίλυση του βέλτιστου προβλήματος προγραμματισμού.

Τα κελιά B5 και C5 δεσμεύονται, αντίστοιχα, για τις τιμές Χ(σχέδιο παρασκευής πίτας) και y(πλάνο για την παρασκευή κέικ). Τα αριστερά μέρη των ανισώσεων βρίσκονται στη στήλη Β, τα δεξιά στη στήλη Δ. σημάδια»<=” и т.д. в столбце С программой реально не используются. Целевая функция занесена в ячейку В15.

Ας καλέσουμε το πρόγραμμα βελτιστοποίησης και ας του πούμε πού βρίσκονται τα δεδομένα. Για να το κάνετε αυτό, εκτελέστε την εντολή U Service U Αναζήτηση λύσης. Στην οθόνη θα ανοίξει η αντίστοιχη φόρμα. Θα προχωρήσουμε σύμφωνα με τον παρακάτω αλγόριθμο:

1. Εισαγάγετε τη συντεταγμένη του κελιού με την αντικειμενική συνάρτηση. Στην περίπτωσή μας είναι Β15. (Σημειώστε ότι εάν τοποθετήσετε πρώτα τον κέρσορα στο κελί B15, η καταχώρηση θα πραγματοποιηθεί αυτόματα.)

2. Ορίστε το πλαίσιο ελέγχου «Ίσο με τη μέγιστη τιμή», π.χ. Ας πούμε στο πρόγραμμα ότι μας ενδιαφέρει να βρούμε το μέγιστο της αντικειμενικής συνάρτησης.

3. Στο πεδίο «Αλλαγή κελιών», πληκτρολογήστε B5:C5, δηλ. Θα σας ενημερώσουμε τι χώρος διατίθεται για τις τιμές των μεταβλητών - προγραμματισμένους δείκτες.

4. Στο πεδίο «Περιορισμοί» πρέπει να εισάγετε πληροφορίες για ανισότητες-περιορισμούς, οι οποίες έχουν τη μορφή: Β10<=D10; B11<=D11; B12>=D12; Β13>=Δ13. Οι περιορισμοί εισάγονται ως εξής:

· Κάντε κλικ στο κουμπί "Προσθήκη".

· στο παράθυρο διαλόγου «Προσθήκη περιορισμού» που εμφανίζεται, εισαγάγετε έναν σύνδεσμο προς το κελί B10, επιλέξτε το σύμβολο ανισότητας « από το μενού<=” и вводим ссылку на ячейку D10; снова щелкаем по кнопке “Добавить”, аналогично вводим второе ограничение B11<=D11 и т.д.

5. Κλείστε το πλαίσιο διαλόγου "Προσθήκη περιορισμού". Μπροστά μας είναι ένα έτοιμο έντυπο «Αναζήτηση λύσης».

6. Κάντε κλικ στο κουμπί "Εκτέλεση" - η βέλτιστη λύση εμφανίζεται στα κελιά B5 και C5 (αριθμοί 600 και 100), καθώς και ο αριθμός 800 στο κελί B15 - η μέγιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης.

6. Μοντελοποίηση φυσικών συστημάτων και διαδικασιών

Η φυσική επιστήμη είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με τη μαθηματική μοντελοποίηση από την εποχή του Ισαάκ Νεύτωνα (XVII–XVIII αιώνες). Ο I. Newton ανακάλυψε τους θεμελιώδεις νόμους της μηχανικής, τον νόμο της παγκόσμιας έλξης, περιγράφοντάς τους στη γλώσσα των μαθηματικών. Ο I. Newton (μαζί με τον G. Leibniz) ανέπτυξε διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό, ο οποίος έγινε η βάση του μαθηματικού μηχανισμού της φυσικής. Όλες οι επόμενες φυσικές ανακαλύψεις (στη θερμοδυναμική, την ηλεκτροδυναμική, την ατομική φυσική κ.λπ.) παρουσιάστηκαν με τη μορφή νόμων και αρχών που περιγράφονται στη μαθηματική γλώσσα, δηλ. με τη μορφή μαθηματικών μοντέλων.

Μπορούμε να πούμε ότι η λύση σε οποιοδήποτε φυσικό πρόβλημα θεωρητικά είναι μαθηματική μοντελοποίηση. Ωστόσο, η δυνατότητα μιας θεωρητικής λύσης του προβλήματος περιορίζεται από τον βαθμό πολυπλοκότητας του μαθηματικού του μοντέλου. Όσο πιο περίπλοκη είναι η φυσική διαδικασία που περιγράφεται με τη βοήθειά της, τόσο πιο περίπλοκο είναι ένα μαθηματικό μοντέλο και τόσο πιο προβληματική γίνεται η χρήση ενός τέτοιου μοντέλου για υπολογισμούς.

Στην απλούστερη περίπτωση, η λύση του προβλήματος μπορεί να ληφθεί «χειροκίνητα» αναλυτικά. Στις περισσότερες πρακτικά σημαντικές καταστάσεις, δεν είναι δυνατό να βρεθεί μια αναλυτική λύση λόγω της μαθηματικής πολυπλοκότητας του μοντέλου. Σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιήστε αριθμητικές μεθόδουςλύσεις σε προβλήματα που μπορούν να εφαρμοστούν αποτελεσματικά μόνο σε υπολογιστή. Με άλλα λόγια, η φυσική έρευνα που βασίζεται σε πολύπλοκα μαθηματικά μοντέλα πραγματοποιείται από μαθηματική μοντελοποίηση υπολογιστή. Από αυτή την άποψη, τον εικοστό αιώνα, μαζί με την παραδοσιακή διαίρεση της φυσικής σε θεωρητική και πειραματική, προέκυψε μια νέα κατεύθυνση - "υπολογιστική φυσική".

Η μελέτη των φυσικών διεργασιών σε έναν υπολογιστή ονομάζεται υπολογιστικό πείραμα. Έτσι, η υπολογιστική φυσική χτίζει μια γέφυρα μεταξύ της θεωρητικής φυσικής, από την οποία αντλεί μαθηματικά μοντέλα, και της πειραματικής φυσικής, υλοποιώντας ένα εικονικό φυσικό πείραμα σε έναν υπολογιστή. Η χρήση γραφικών υπολογιστών κατά την επεξεργασία των αποτελεσμάτων υπολογισμού διασφαλίζει τη σαφήνεια αυτών των αποτελεσμάτων, η οποία είναι η σημαντικότερη προϋπόθεση για την αντίληψη και την ερμηνεία τους από τον ερευνητή.

Ένα παράδειγμα μαθηματικής μοντελοποίησης μιας φυσικής διαδικασίας

Ο θεμελιώδης νόμος της μηχανικής είναι ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα, ο οποίος συσχετίζει τη δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα, τη μάζα του και την επιτάχυνση που προκύπτει από τη δύναμη. Στη σχολική φυσική αυτός ο νόμος παρουσιάζεται ως εξής:

Αυτό προϋποθέτει ότι η δύναμη και η μάζα είναι σταθερά μεγέθη. Σε αυτή την περίπτωση, η επιτάχυνση θα είναι επίσης μια σταθερή τιμή. Κατά συνέπεια, η εξίσωση (1) μοντελοποιεί την ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση ενός σώματος με σταθερή μάζα υπό τη δράση μιας σταθερής δύναμης.

Η δυνατότητα εφαρμογής αυτού του μοντέλου είναι περιορισμένη. Δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της κίνησης σωμάτων με μεταβλητή μάζα και μεταβλητή δύναμη. Για παράδειγμα, όταν ένας πύραυλος πετάει, η μάζα του μειώνεται λόγω εξάντλησης καυσίμου, δηλ. Η μάζα είναι συνάρτηση του χρόνου: Μ(t). Ως αποτέλεσμα, η επιτάχυνση γίνεται επίσης μια μεταβλητή τιμή και το μαθηματικό μοντέλο θα αλλάξει:

Ας λάβουμε υπόψη ότι η επιτάχυνση είναι παράγωγο της ταχύτητας ( v) στο χρόνο και περιγράψτε τη συνάρτηση της αλλαγής μάζας με την πάροδο του χρόνου (ας είναι γραμμική). λαμβάνουμε το ακόλουθο μαθηματικό μοντέλο κίνησης:

(2)

Εδώ Μ 0 - αρχική μάζα του πυραύλου, q(kg/s) - μια παράμετρος που καθορίζει τον ρυθμό καύσης του καυσίμου. Η εξίσωση (2) είναι μια διαφορική εξίσωση, σε αντίθεση με μια γραμμική αλγεβρική εξίσωση (1). Το μαθηματικό μοντέλο έχει γίνει πιο περίπλοκο! Η επίλυση της εξίσωσης (2) είναι πολύ πιο δύσκολη από την (1). Αν λάβουμε υπόψη και την πιθανότητα μεταβολών της δύναμης με την πάροδο του χρόνου φά(t) (η ώθηση του κινητήρα του πυραύλου κατά τη διαδικασία εκτόξευσης είναι μια μεταβλητή τιμή), τότε το μοντέλο θα γίνει ακόμα πιο περίπλοκο:

(3)

Όταν κινούνται σώματα στην ατμόσφαιρα (ή σε υγρό μέσο), είναι απαραίτητο να λαμβάνεται υπόψη η αντίσταση του μέσου - η δύναμη τριβής. Η δύναμη τριβής έχει δύο συνιστώσες: ανάλογη με την πρώτη δύναμη της ταχύτητας του σώματος και ανάλογη με το τετράγωνό του. Τώρα η εξίσωση της κίνησης θα έχει τη μορφή:

, (4), (5)

Εδώ κ 1 Και κ 2 - εμπειρικοί συντελεστές. Η εξίσωση (5) συσχετίζει την ταχύτητα με τη μετατόπιση. Το μοντέλο (4)–(5) έχει γίνει πιο κοντά στη φυσική κατάσταση, αλλά πιο περίπλοκο από μαθηματική άποψη. Χρησιμοποιώντας το, μπορείτε να λάβετε απαντήσεις σε πρακτικά σημαντικές ερωτήσεις. Για παράδειγμα: για ένα δεδομένο φά(t) καθορίστε πόσο καιρό και σε ποιο ύψος ο πύραυλος θα φτάσει την πρώτη του ταχύτητα διαφυγής. Ή λύστε το αντίστροφο πρόβλημα: ποια πρέπει να είναι η δύναμη ώθησης του κινητήρα προκειμένου ο πύραυλος να φτάσει την πρώτη του ταχύτητα διαφυγής σε ένα δεδομένο ύψος; Αν λάβουμε υπόψη και το γεγονός ότι οι συντελεστές κ 1 Και κ 2 - μεταβλητές τιμές, καθώς εξαρτώνται από την πυκνότητα του ατμοσφαιρικού αέρα, η οποία μειώνεται με το ύψος, το μαθηματικό μοντέλο (4)–(5) γίνεται αρκετά περίπλοκο. Η επίλυση των προβλημάτων που διατυπώθηκαν παραπάνω με βάση ένα τέτοιο μοντέλο απαιτεί τη χρήση αριθμητικών μεθόδων και υπολογιστή.

Εφαρμογή αριθμητικών μεθόδων

Οι αριθμητικές μέθοδοι είναι μεθόδους που ανάγουν τη λύση οποιουδήποτε μαθηματικού προβλήματος σε αριθμητικούς υπολογισμούς. Ας δείξουμε την εφαρμογή της μεθόδου αριθμητικής λύσης χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός απλούστερου μηχανικού προβλήματος από το πρόβλημα της πτήσης πυραύλων. Ας εξετάσουμε το πρόβλημα της ελεύθερης πτώσης ενός σώματος σταθερής μάζας Μυπό την επίδραση της σταθερής βαρύτητας. Οι εξισώσεις κίνησης λαμβάνοντας υπόψη την αντίσταση του αέρα (που συζητήθηκαν παραπάνω) έχουν τη μορφή:

, (6)

Εδώ v- κατακόρυφη συνιστώσα του διανύσματος ταχύτητας. Έστω το αρχικό ύψος του σώματος πάνω από το έδαφος μικρό 0, και η αρχική ταχύτητα είναι v 0 .

Θα δείξουμε την εφαρμογή μιας μεθόδου που ονομάζεται μέθοδος Euler για τον υπολογισμό της κίνησης ενός σώματος που πέφτει. Ο υπολογισμός γίνεται από το αρχικό χρονικό σημείο t= 0 με ένα μικρό πεπερασμένο χρονικό βήμα

(n = 0, 1, 2, …). (8)

Εφαρμόζοντας παρόμοια προσέγγιση στην εξίσωση (7), λαμβάνουμε τον τύπο της μεθόδου Euler για τον υπολογισμό της μετατόπισης ενός σώματος που πέφτει με την πάροδο του χρόνου:

Έχοντας τις αρχικές τιμές της ταχύτητας και της μετατόπισης και χρησιμοποιώντας τους τύπους (8), (9), μπορείτε να υπολογίσετε τις τιμές βήμα προς βήμα vΚαι μικρόσε διαδοχικές φορές. Αυτή η διαδικασία είναι εύκολο να προγραμματιστεί και τα αποτελέσματα που λαμβάνονται εμφανίζονται με τη μορφή αριθμητικού πίνακα και παρουσιάζονται γραφικά.

Ανάλυση και ερμηνεία των αποτελεσμάτων

Το σχήμα δείχνει το αποτέλεσμα της γραφικής επεξεργασίας της αριθμητικά ληφθείσας εξάρτησης της ταχύτητας πτώσης ενός σώματος στην ώρα του για ένα συγκεκριμένο σύνολο παραμέτρων Μ, κ 1 και κ 2 .

Εξάρτηση της ταχύτητας πτώσης από το χρόνο, λαμβάνοντας υπόψη την αντίσταση του αέρα

Η εξάρτηση δεν έχει καμία σχέση με μια γραμμική αλλαγή στην ταχύτητα, η οποία επιτυγχάνεται χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η αντίσταση του αέρα. Η ταχύτητα φτάνει σε σταθερή τιμή καθώς η δύναμη αντίστασης του αέρα πλησιάζει τη δύναμη της βαρύτητας. Όταν είναι ίσα, η κίνηση γίνεται ομοιόμορφη.

Σημειώστε ότι το όριο ταχύτητας σε σταθερή κατάσταση μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά χωρίς να καταφύγουμε σε αριθμητικές μεθόδους. Εξίσωση στον τύπο (6) dv/dt(επιτάχυνση) στο μηδέν, βρίσκουμε ότι η σταθερή ταχύτητα θα είναι ίση με

Με βάση αυτό το μοντέλο, είναι δυνατόν, για παράδειγμα, να λυθεί ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης διατυπώνοντας την συνθήκη ως εξής: ένας αλεξιπτωτιστής πηδά από ένα ορισμένο ύψος και πετά χωρίς να ανοίξει το αλεξίπτωτο. Σε ποιο υψόμετρο (ή μετά από πόση ώρα) πρέπει να ανοίξει το αλεξίπτωτό του για να έχει ασφαλή ταχύτητα μέχρι να προσγειωθεί; Ένα άλλο πρόβλημα: πώς σχετίζεται το ύψος του άλματος με την περιοχή διατομής του αλεξίπτωτου (περιλαμβάνεται στο κ 2) για να είναι ασφαλής η ταχύτητα προσγείωσης;

Ένα σημαντικό πρόβλημα κατά τη χρήση της περιγραφόμενης αριθμητικής μεθόδου είναι η επιλογή του μεγέθους του χρονικού βήματος t. Η ακρίβεια των αποτελεσμάτων που λαμβάνονται και η σταθερότητα της υπολογιστικής διαδικασίας εξαρτώνται από αυτή την τιμή. Όλα αυτά τα προβλήματα μελετώνται σε έναν μαθηματικό κλάδο που ονομάζεται «Αριθμητικές Μέθοδοι» ή «Υπολογιστικά Μαθηματικά».

Η εισαγωγή των μαθητών στα μοντέλα υπολογιστών φυσικών διεργασιών σε ένα βασικό μάθημα επιστήμης υπολογιστών μπορεί να πραγματοποιηθεί σε επίπεδο παραδειγμάτων επίδειξης. Το σχήμα δείχνει ένα παράδειγμα προγράμματος εκπαίδευσης επίδειξης που προσομοιώνει την πτήση ενός βλήματος που εκτοξεύεται από ένα πυροβόλο. Η εργασία που έχει οριστεί για τους μαθητές είναι να επιλέξουν παραμέτρους (αρχική ταχύτητα και γωνία βολής) που διασφαλίζουν ότι το βλήμα χτυπά τον στόχο (αυτό το πρόγραμμα περιλαμβάνεται στην ομοσπονδιακή συλλογή ψηφιακών εκπαιδευτικών πόρων). Παρόμοιες εξελίξεις είναι διαθέσιμες και σε άλλες εκπαιδευτικές πηγές.

Πτήση βλήματος που εκτοξεύτηκε από πυροβόλο

Στις ανώτερες τάξεις της φυσικής και των μαθηματικών, τα θέματα μοντελοποίησης φυσικών διεργασιών θα πρέπει να περιλαμβάνονται στο εξειδικευμένο πρόγραμμα εκπαίδευσης. Μπορούμε να προσφέρουμε την ακόλουθη λίστα αντικειμένων μοντελοποίησης που σχετίζονται με την κίνηση των σωμάτων:

· κίνηση σωμάτων λαμβάνοντας υπόψη την αντίσταση του περιβάλλοντος (ελεύθερη πτώση, κίνηση σώματος που εκτινάσσεται υπό γωνία ως προς τον ορίζοντα, απογείωση πυραύλων κ.λπ.).

· ταλαντωτική κίνηση του εκκρεμούς λαμβάνοντας υπόψη την αντίσταση του μέσου, τις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, τον συντονισμό κ.λπ.

· κίνηση των ουράνιων σωμάτων (πρόβλημα δύο σωμάτων).

· κίνηση φορτισμένων σωματιδίων σε ηλεκτρικά πεδία.

Άλλοι τύποι προβλημάτων βάσει των οποίων είναι δυνατή η εφαρμογή της μοντελοποίησης φυσικών διεργασιών σχετίζονται με την περιγραφή των φυσικών διεργασιών στην προσέγγιση συνεχούς και στα ηλεκτρομαγνητικά πεδία:

· μοντελοποίηση της διαδικασίας θερμικής αγωγιμότητας, κ.λπ.

· μοντελοποίηση κατανομών στατικών - ηλεκτρικών και μαγνητικών - πεδίων.

Παραπάνω, συζητήσαμε λεπτομερώς ένα παράδειγμα μοντελοποίησης της ελεύθερης πτώσης ενός σώματος στην ατμόσφαιρα, στο οποίο χρησιμοποιούνται διαφορικές εξισώσεις και αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυσή τους. Εάν η μαθηματική εκπαίδευση των μαθητών δεν είναι αρκετή για την κατανόηση αυτής της προσέγγισης, τότε είναι δυνατό να κατασκευαστεί ένα μαθηματικό μοντέλο αμέσως σε μορφή πεπερασμένων διαφορών, χωρίς τη χρήση διαφορικών εξισώσεων. Ας δείξουμε τη μεθοδολογία για τη χρήση αυτής της προσέγγισης.

Ας υπενθυμίσουμε στους μαθητές ότι η επιτάχυνση είναι μια αύξηση της ταχύτητας ανά μονάδα χρόνου και η ταχύτητα είναι μια αύξηση της μετατόπισης ανά μονάδα χρόνου: .

Τα σημάδια της κατά προσέγγιση ισότητας δείχνουν ότι αυτές οι σχέσεις είναι πιο ακριβείς, όσο μικρότερο είναι το διάστημα t; στο όριο t 0 γίνονται ακριβείς.

Αν κάποια στιγμή t 0 τιμή μικρόέχει το νόημα s(t 0), και την τιμή v- νόημα v(t 0), στη συνέχεια σε επόμενο χρόνο t 1 = t 0 + tθα έχω:

Θεωρείται ότι η επιτάχυνση δεν άλλαξε κατά τη διάρκεια μιας δεδομένης χρονικής περιόδου και παρέμεινε ίση ένα(t 0). Ο συμβολισμός F χρησιμοποιείται επίσης εδώ 0 = φά(t 0), m = m(t 0), δηλ. Αυτό σημαίνει ότι η δύναμη και η μάζα στη γενική περίπτωση μπορεί να είναι μεταβλητά μεγέθη.

Κατά τον υπολογισμό των τιμών vΚαι μικρόσε επόμενα χρονικά σημεία μπορείτε να κάνετε το ίδιο. Εάν οι τιμές είναι γνωστές v iΚαι s iστη στιγμή t i, Οτι

Έτσι, λαμβάνονται οι ίδιοι τύποι της μεθόδου Euler, αλλά μεθοδικά διαφορετικά. Σε αυτή την περίπτωση, οι διαφορικές εξισώσεις δεν αναφέρονται καθόλου.

Κατά την κατασκευή αυτού και παρόμοιων μοντέλων, οι μαθητές θα πρέπει να δώσουν προσοχή στο γεγονός ότι κατά τη διαίρεση του συνεχούς χρόνου σε τμήματα μήκους tΜια από τις θεμελιώδεις ιδέες της επιστήμης των υπολογιστών σχετικά με την καθολικότητα μιας διακριτής μορφής αναπαράστασης πληροφοριών εκδηλώνεται, αντανακλάται τόσο στον σχεδιασμό του υπολογιστή όσο και σε πολλές εφαρμογές της επιστήμης των υπολογιστών.

Σημειώστε ότι υπάρχουν πολλά προγράμματα υπολογιστών που προσομοιώνουν απλές φυσικές διεργασίες. Υλοποιούν μια διεπαφή διαλόγου που σας επιτρέπει να εισάγετε παραμέτρους και να λαμβάνετε πίνακες, γραφήματα και κινούμενες εικόνες στην οθόνη. Ωστόσο, κατά τη χρήση τους, οι φυσικοί νόμοι που καθορίζουν τη διαδικασία, τους περιορισμούς του μοντέλου και τις δυνατότητες βελτίωσής του παραμένουν κρυφοί. Τέτοια προγράμματα είναι χρήσιμα μάλλον ως ενδεικτικά, εισαγωγικά. Συνιστάται η εστίαση των φοιτητών που σπουδάζουν επιστήμη των υπολογιστών σε εξειδικευμένο επίπεδο σε λεπτομερή ανάλυση μαθηματικών μοντέλων και ανεξάρτητη ανάπτυξη προγραμμάτων.

Για να χρησιμοποιήσετε έναν υπολογιστή στην επίλυση εφαρμοσμένων προβλημάτων, πρώτα απ 'όλα, το εφαρμοσμένο πρόβλημα πρέπει να «μεταφραστεί» σε μια επίσημη μαθηματική γλώσσα, δηλ. για ένα πραγματικό αντικείμενο, διαδικασία ή σύστημα πρέπει να κατασκευαστεί μαθηματικό μοντέλο.

Τα μαθηματικά μοντέλα σε ποσοτική μορφή, χρησιμοποιώντας λογικές και μαθηματικές κατασκευές, περιγράφουν τις βασικές ιδιότητες ενός αντικειμένου, διεργασίας ή συστήματος, τις παραμέτρους, τις εσωτερικές και εξωτερικές συνδέσεις του.

Για κατασκευή μαθηματικού μοντέλουαπαραίτητη:

1. να αναλύσει προσεκτικά ένα πραγματικό αντικείμενο ή διαδικασία.
2. επισημάνετε τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά και ιδιότητές του·
3. ορίζει μεταβλητές, δηλ. παραμέτρους των οποίων οι τιμές επηρεάζουν τα κύρια χαρακτηριστικά και ιδιότητες του αντικειμένου.
4. περιγράφουν την εξάρτηση των βασικών ιδιοτήτων ενός αντικειμένου, διεργασίας ή συστήματος από τις τιμές των μεταβλητών χρησιμοποιώντας λογικομαθηματικές σχέσεις (εξισώσεις, ισότητες, ανισότητες, λογικομαθηματικές κατασκευές).
5. αποκορύφωμα εσωτερικές επικοινωνίεςαντικείμενο, διαδικασία ή σύστημα που χρησιμοποιεί περιορισμούς, εξισώσεις, ισότητες, ανισότητες, λογικές και μαθηματικές κατασκευές.
6. να εντοπίσετε εξωτερικές συνδέσεις και να τις περιγράψετε χρησιμοποιώντας περιορισμούς, εξισώσεις, ισότητες, ανισότητες, λογικές και μαθηματικές κατασκευές.

Μαθηματική μοντελοποίηση, εκτός από τη μελέτη ενός αντικειμένου, διεργασίας ή συστήματος και τη σύνταξη της μαθηματικής περιγραφής τους, περιλαμβάνει επίσης:

1. κατασκευή ενός αλγορίθμου που μοντελοποιεί τη συμπεριφορά ενός αντικειμένου, διαδικασίας ή συστήματος.
2. εξέταση επάρκεια του μοντέλουκαι ένα αντικείμενο, διαδικασία ή σύστημα που βασίζεται σε υπολογιστικό και φυσικό πείραμα·
3. προσαρμογή μοντέλου?
4. χρησιμοποιώντας το μοντέλο.

Η μαθηματική περιγραφή των υπό μελέτη διεργασιών και συστημάτων εξαρτάται από:

1. τη φύση μιας πραγματικής διαδικασίας ή συστήματος και συντάσσεται με βάση τους νόμους της φυσικής, της χημείας, της μηχανικής, της θερμοδυναμικής, της υδροδυναμικής, της ηλεκτρικής μηχανικής, της θεωρίας πλαστικότητας, της θεωρίας ελαστικότητας κ.λπ.
2. την απαιτούμενη αξιοπιστία και ακρίβεια της μελέτης και της έρευνας πραγματικών διαδικασιών και συστημάτων.

Στο στάδιο της επιλογής ενός μαθηματικού μοντέλου διαπιστώνονται: γραμμικότητα και μη γραμμικότητα αντικειμένου, διαδικασίας ή συστήματος, δυναμισμός ή στατικότητα, σταθερότητα ή μη, καθώς και ο βαθμός ντετερμινισμού του υπό μελέτη αντικειμένου ή διαδικασίας. Στη μαθηματική μοντελοποίηση, κάποιος σκόπιμα αφαιρεί από τη συγκεκριμένη φυσική φύση αντικειμένων, διεργασιών ή συστημάτων και εστιάζει κυρίως στη μελέτη των ποσοτικών εξαρτήσεων μεταξύ των ποσοτήτων που περιγράφουν αυτές τις διαδικασίες.

Μαθηματικό μοντέλοδεν είναι ποτέ εντελώς πανομοιότυπο με το εν λόγω αντικείμενο, διαδικασία ή σύστημα. Με βάση την απλοποίηση, την εξιδανίκευση, είναι μια κατά προσέγγιση περιγραφή του αντικειμένου. Επομένως, τα αποτελέσματα που προκύπτουν από την ανάλυση του μοντέλου είναι κατά προσέγγιση. Η ακρίβειά τους καθορίζεται από τον βαθμό επάρκειας (συμμόρφωσης) μεταξύ του μοντέλου και του αντικειμένου.

Συνήθως ξεκινά με την κατασκευή και την ανάλυση του απλούστερου, πιο χονδροειδούς μαθηματικού μοντέλου του εν λόγω αντικειμένου, διαδικασίας ή συστήματος. Στο μέλλον, εάν χρειαστεί, το μοντέλο τελειοποιείται και η αντιστοιχία του με το αντικείμενο γίνεται πιο ολοκληρωμένη.

Ας πάρουμε ένα απλό παράδειγμα. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η επιφάνεια του γραφείου. Συνήθως, αυτό γίνεται μετρώντας το μήκος και το πλάτος του και, στη συνέχεια, πολλαπλασιάζοντας τους αριθμούς που προκύπτουν. Αυτή η στοιχειώδης διαδικασία σημαίνει στην πραγματικότητα το εξής: ένα πραγματικό αντικείμενο (επιφάνεια πίνακα) αντικαθίσταται από ένα αφηρημένο μαθηματικό μοντέλο - ένα ορθογώνιο. Οι διαστάσεις που λαμβάνονται με τη μέτρηση του μήκους και του πλάτους της επιφάνειας του τραπεζιού αντιστοιχίζονται στο ορθογώνιο και η περιοχή ενός τέτοιου ορθογωνίου θεωρείται περίπου η απαιτούμενη περιοχή του τραπεζιού.

Ωστόσο, το ορθογώνιο μοντέλο για ένα γραφείο είναι το απλούστερο, πιο ακατέργαστο μοντέλο. Εάν προσεγγίσετε πιο σοβαρά το πρόβλημα, πριν χρησιμοποιήσετε ένα ορθογώνιο μοντέλο για να προσδιορίσετε την περιοχή του πίνακα, αυτό το μοντέλο πρέπει να ελεγχθεί. Οι έλεγχοι μπορούν να πραγματοποιηθούν ως εξής: μετρήστε τα μήκη των απέναντι πλευρών του πίνακα, καθώς και τα μήκη των διαγωνίων του και συγκρίνετε τα μεταξύ τους. Εάν, με τον απαιτούμενο βαθμό ακρίβειας, τα μήκη των απέναντι πλευρών και τα μήκη των διαγωνίων είναι ίσα σε ζεύγη, τότε η επιφάνεια του τραπεζιού μπορεί πραγματικά να θεωρηθεί ως ορθογώνιο. Διαφορετικά, το μοντέλο ορθογωνίου θα πρέπει να απορριφθεί και να αντικατασταθεί με ένα γενικό τετράπλευρο μοντέλο. Με μεγαλύτερη απαίτηση ακρίβειας, μπορεί να είναι απαραίτητο να τελειοποιήσετε ακόμη περισσότερο το μοντέλο, για παράδειγμα, ώστε να ληφθεί υπόψη η στρογγυλοποίηση των γωνιών του τραπεζιού.

Με αυτό το απλό παράδειγμα φάνηκε ότι μαθηματικό μοντέλοδεν καθορίζεται μοναδικά από το αντικείμενο, τη διαδικασία ή το σύστημα που μελετάται. Για τον ίδιο πίνακα μπορούμε να υιοθετήσουμε είτε ένα ορθογώνιο μοντέλο, είτε ένα πιο σύνθετο μοντέλο γενικού τετράπλευρου ή ένα τετράπλευρο με στρογγυλεμένες γωνίες. Η επιλογή του ενός ή του άλλου μοντέλου καθορίζεται από την απαίτηση ακρίβειας. Με αυξανόμενη ακρίβεια, το μοντέλο πρέπει να είναι πολύπλοκο, λαμβάνοντας υπόψη τα νέα και νέα χαρακτηριστικά του αντικειμένου, της διαδικασίας ή του συστήματος που μελετάται.

Ας εξετάσουμε ένα άλλο παράδειγμα: μελέτη της κίνησης του μηχανισμού στροφάλου (Εικ. 2.1).

Ρύζι. 2.1.

Για την κινηματική ανάλυση αυτού του μηχανισμού, πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί το κινηματικό μοντέλο του. Για αυτό:

1. Αντικαθιστούμε τον μηχανισμό με το κινηματικό του διάγραμμα, όπου αντικαθίστανται όλοι οι σύνδεσμοι σκληρούς δεσμούς;
2. Χρησιμοποιώντας αυτό το διάγραμμα, εξάγουμε την εξίσωση κίνησης του μηχανισμού.
3. Διαφοροποιώντας το τελευταίο, λαμβάνουμε τις εξισώσεις ταχυτήτων και επιτάχυνσης, οι οποίες είναι διαφορικές εξισώσεις 1ης και 2ης τάξης.

Ας γράψουμε αυτές τις εξισώσεις:

όπου C 0 είναι η άκρα δεξιά θέση του ρυθμιστικού C:

r – ακτίνα στροφάλου AB;

l – μήκος μπιέλας BC;

– γωνία περιστροφής στροφάλου.

Ελήφθη υπερβατικές εξισώσειςπαρουσιάζουν ένα μαθηματικό μοντέλο της κίνησης ενός επίπεδου αξονικού μηχανισμού στροφάλου, με βάση τις ακόλουθες απλοποιητικές υποθέσεις:

1. Δεν μας ενδιέφεραν οι δομικές μορφές και η διάταξη των μαζών που περιλαμβάνονται στον μηχανισμό των σωμάτων και αντικαταστήσαμε όλα τα σώματα του μηχανισμού με ευθύγραμμα τμήματα. Στην πραγματικότητα, όλοι οι σύνδεσμοι του μηχανισμού έχουν μάζα και αρκετά περίπλοκο σχήμα. Για παράδειγμα, μια ράβδος σύνδεσης είναι ένα σύνθετο συγκρότημα, το σχήμα και οι διαστάσεις του οποίου, φυσικά, θα επηρεάσουν την κίνηση του μηχανισμού.
2. Κατά τη μετακίνηση του εξεταζόμενου μηχανισμού, δεν λάβαμε επίσης υπόψη την ελαστικότητα των σωμάτων που περιλαμβάνονται στον μηχανισμό, δηλ. όλοι οι σύνδεσμοι θεωρήθηκαν ως αφηρημένα απολύτως άκαμπτα σώματα. Στην πραγματικότητα, όλα τα σώματα που περιλαμβάνονται στον μηχανισμό είναι ελαστικά σώματα. Όταν ο μηχανισμός κινείται, θα παραμορφωθούν με κάποιο τρόπο και μπορεί να εμφανιστούν ακόμη και ελαστικοί κραδασμοί σε αυτά. Όλα αυτά φυσικά θα επηρεάσουν και την κίνηση του μηχανισμού.
3. δεν λάβαμε υπόψη το κατασκευαστικό λάθος των συνδέσμων, τα κενά στα κινηματικά ζεύγη Α, Β, Γ κ.λπ.

Επομένως, είναι σημαντικό να τονίσουμε για άλλη μια φορά ότι όσο υψηλότερες είναι οι απαιτήσεις για την ακρίβεια των αποτελεσμάτων της επίλυσης ενός προβλήματος, τόσο μεγαλύτερη είναι η ανάγκη να ληφθεί υπόψη όταν κατασκευή μαθηματικού μοντέλουχαρακτηριστικά του αντικειμένου, της διαδικασίας ή του συστήματος που μελετάται. Ωστόσο, είναι σημαντικό να σταματήσουμε εδώ εγκαίρως, αφού είναι δύσκολο μαθηματικό μοντέλομπορεί να μετατραπεί σε ένα δύσκολο πρόβλημα προς επίλυση.

Ένα μοντέλο κατασκευάζεται πιο εύκολα όταν οι νόμοι που καθορίζουν τη συμπεριφορά και τις ιδιότητες ενός αντικειμένου, διεργασίας ή συστήματος είναι ευρέως γνωστοί και υπάρχει εκτεταμένη πρακτική εμπειρία στην εφαρμογή τους.

Μια πιο περίπλοκη κατάσταση προκύπτει όταν οι γνώσεις μας για το αντικείμενο, τη διαδικασία ή το σύστημα που μελετάμε είναι ανεπαρκείς. Σε αυτή την περίπτωση, όταν κατασκευή μαθηματικού μοντέλουείναι απαραίτητο να γίνουν πρόσθετες υποθέσεις που έχουν τη φύση των υποθέσεων· ένα τέτοιο μοντέλο ονομάζεται υποθετικό. Τα συμπεράσματα που προκύπτουν ως αποτέλεσμα της μελέτης ενός τέτοιου υποθετικού μοντέλου είναι υπό όρους. Για την επαλήθευση των συμπερασμάτων, είναι απαραίτητο να συγκριθούν τα αποτελέσματα της μελέτης του μοντέλου σε υπολογιστή με τα αποτελέσματα ενός πειράματος πλήρους κλίμακας. Έτσι, το ζήτημα της δυνατότητας εφαρμογής ενός συγκεκριμένου μαθηματικού μοντέλου στη μελέτη του υπό εξέταση αντικειμένου, διεργασίας ή συστήματος δεν είναι μαθηματική ερώτηση και δεν μπορεί να λυθεί με μαθηματικές μεθόδους.

Το βασικό κριτήριο της αλήθειας είναι το πείραμα, η εξάσκηση με την ευρεία έννοια του όρου.

Κατασκευή μαθηματικού μοντέλουσε εφαρμοσμένες εργασίες – ένα από τα πιο σύνθετα και κρίσιμα στάδια εργασίας. Η εμπειρία δείχνει ότι σε πολλές περιπτώσεις η επιλογή του σωστού μοντέλου σημαίνει επίλυση του προβλήματος κατά περισσότερο από το ήμισυ. Η δυσκολία αυτού του σταδίου είναι ότι απαιτεί συνδυασμό μαθηματικών και ειδικών γνώσεων. Επομένως, είναι πολύ σημαντικό κατά την επίλυση εφαρμοσμένων προβλημάτων, οι μαθηματικοί να έχουν ειδικές γνώσεις για το αντικείμενο και οι συνεργάτες τους, ειδικοί, να έχουν μια συγκεκριμένη μαθηματική κουλτούρα, ερευνητική εμπειρία στον τομέα τους, γνώση υπολογιστών και προγραμματισμού.