Κατά τον υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz, είναι προτιμότερο να μην γίνεται αυστηρή διάκριση μεταξύ των σταδίων επίλυσης του προβλήματος (εύρεση του ολοκληρώματος αντιπαραγώγου, εύρεση της αύξησης του αντιπαραγώγου). Αυτή η προσέγγιση, η οποία χρησιμοποιεί, ειδικότερα, τους τύπους για την αλλαγή της μεταβλητής και την ολοκλήρωση από μέρη για ένα συγκεκριμένο ολοκλήρωμα, συνήθως καθιστά δυνατή την απλοποίηση της γραφής της λύσης.
ΘΕΩΡΗΜΑ. Έστω ότι η συνάρτηση φ(t) έχει συνεχή παράγωγο στο τμήμα [α,β], a=φ(α), b=φ(β) και η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής σε κάθε σημείο x της μορφής x. =φ(t), όπου t[α,β].
Τότε ισχύει η ακόλουθη ισότητα:
Αυτός ο τύπος ονομάζεται η αλλαγή του τύπου μεταβλητής σε ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα.
Όπως ακριβώς συνέβη στην περίπτωση του αόριστου ολοκληρώματος, η χρήση μιας αλλαγής μεταβλητής σάς επιτρέπει να απλοποιήσετε το ολοκλήρωμα, φέρνοντάς το πιο κοντά στον πίνακα (πίνακας). Σε αυτήν την περίπτωση, σε αντίθεση με το αόριστο ολοκλήρωμα, σε αυτήν την περίπτωση δεν υπάρχει ανάγκη επιστροφής στην αρχική μεταβλητή ολοκλήρωσης. Αρκεί να βρούμε τα όρια ολοκλήρωσης των α και β ως προς τη νέα μεταβλητή t ως λύση των εξισώσεων φ(t)=а και φ(t)=в ως προς τη μεταβλητή t. Στην πράξη, όταν αλλάζει κανείς μια μεταβλητή, συχνά ξεκινάει καθορίζοντας την έκφραση t=ψ(x) της νέας μεταβλητής μέσω της παλιάς. Στην περίπτωση αυτή, η εύρεση των ορίων ολοκλήρωσης ως προς τη μεταβλητή t απλοποιείται: α=ψ(a), β=ψ(c).
Παράδειγμα 19. Υπολογίστε 
Ας βάλουμε t=2-x 2 . Τότε dt=d(2-x 2)=(2-x 2)"dx=-2xdx και xdx=-dt. Αν x=0, τότε t=2-0 2 =2, και αν x=1, τότε t=2-1 2 = 1. Επομένως:
Παράδειγμα 20 Υπολογισμός
Ας χρησιμοποιήσουμε την αλλαγή της μεταβλητής. Στη συνέχεια και . Αν x=0 τότε t=1 και αν x=5 τότε t=4. Με την αντικατάσταση, παίρνουμε
Στρέφουμε στην εξέταση της γενικής περίπτωσης - τη μέθοδο αλλαγής μεταβλητών στο αόριστο ολοκλήρωμα.
Παράδειγμα 5
Ως παράδειγμα, πήρα το ολοκλήρωμα, το οποίο εξετάσαμε στην αρχή του μαθήματος. Όπως είπαμε ήδη, για να λύσουμε το ολοκλήρωμα, μας άρεσε ο τύπος του πίνακα και θα ήθελα να το αναγάγω ολόκληρο σε αυτό.
Η ιδέα πίσω από τη μέθοδο αντικατάστασης είναι να αντικαταστήστε μια σύνθετη έκφραση (ή κάποια συνάρτηση) με ένα γράμμα.
Σε αυτή την περίπτωση ρωτά:
Το δεύτερο πιο δημοφιλές γράμμα αντικατάστασης είναι το γράμμα.
Κατ 'αρχήν, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε άλλα γράμματα, αλλά εξακολουθούμε να τηρούμε τις παραδόσεις.
Ετσι: 
Αλλά κατά την αντικατάσταση, έχουμε μείνει! Πιθανώς, πολλοί έχουν μαντέψει ότι εάν γίνει μετάβαση σε μια νέα μεταβλητή, τότε στο νέο ολοκλήρωμα όλα πρέπει να εκφράζονται μέσω του γράμματος και δεν υπάρχει καθόλου θέση για το διαφορικό.
Ακολουθεί ένα λογικό συμπέρασμα ότι είναι απαραίτητο μετατραπεί σε κάποια έκφραση που εξαρτάται μόνο από.
Η δράση είναι η εξής. Αφού επιλέξουμε έναν αντικαταστάτη, αυτό το παράδειγμα, , πρέπει να βρούμε τη διαφορά . Με διαφοροποιήσεις, νομίζω, η φιλία έχει ήδη καθιερωθεί για όλους.
Από τότε
Μετά την αναμέτρηση με το διαφορικό, συνιστώ να ξαναγράψετε το τελικό αποτέλεσμα όσο το δυνατόν συνοπτικά:
Τώρα, σύμφωνα με τους κανόνες της αναλογίας, εκφράζουμε αυτό που χρειαζόμαστε:
Τελικά: 
Με αυτόν τον τρόπο: 
Και αυτό είναι ήδη το πιο πίνακα ολοκλήρωμα ( πίνακας ολοκληρωμάτων, φυσικά, ισχύει και για τη μεταβλητή ).
Συμπερασματικά, μένει να πραγματοποιηθεί η αντίστροφη αντικατάσταση. Το θυμόμαστε αυτό.
Ετοιμος.
Ο τελικός σχεδιασμός αυτού του παραδείγματος θα πρέπει να μοιάζει κάπως έτσι:
“
Ας αντικαταστήσουμε: 
“
Το εικονίδιο δεν φέρει καμία μαθηματική σημασία, σημαίνει ότι έχουμε διακόψει τη λύση για ενδιάμεσες επεξηγήσεις.
Όταν κάνετε ένα παράδειγμα σε ένα τετράδιο, είναι προτιμότερο να υπογράψετε την αντίστροφη αντικατάσταση με ένα απλό μολύβι.
Προσοχή!Στα ακόλουθα παραδείγματα, η εύρεση του διαφορικού δεν θα περιγραφεί λεπτομερώς.
Και τώρα ήρθε η ώρα να θυμηθούμε την πρώτη λύση: 
Ποιά είναι η διαφορά? Δεν υπάρχει θεμελιώδης διαφορά. Στην πραγματικότητα είναι το ίδιο πράγμα. Αλλά από την άποψη του σχεδιασμού της εργασίας, η μέθοδος να τεθεί η συνάρτηση κάτω από το σύμβολο του διαφορικού είναι πολύ πιο σύντομη.
Γεννιέται το ερώτημα. Εάν ο πρώτος τρόπος είναι πιο σύντομος, τότε γιατί να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο αντικατάστασης; Γεγονός είναι ότι για πολλά ολοκληρώματα δεν είναι τόσο εύκολο να "ταιριάξει" η συνάρτηση κάτω από το πρόσημο του διαφορικού.
Παράδειγμα 6
Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα. 
Ας κάνουμε μια αντικατάσταση: (είναι δύσκολο να σκεφτώ άλλη αντικατάσταση εδώ) 
Όπως μπορείτε να δείτε, ως αποτέλεσμα της αντικατάστασης, το αρχικό ολοκλήρωμα έχει απλοποιηθεί πολύ - μειωθεί σε μια συνηθισμένη συνάρτηση ισχύος. Αυτός είναι ο σκοπός της αντικατάστασης - να απλοποιήσει το ολοκλήρωμα.
Οι τεμπέληδες προχωρημένοι άνθρωποι μπορούν εύκολα να λύσουν αυτό το ολοκλήρωμα φέρνοντας τη συνάρτηση κάτω από το διαφορικό πρόσημο: 
Ένα άλλο πράγμα είναι ότι μια τέτοια λύση δεν είναι προφανής σε όλους τους μαθητές. Επιπλέον, ήδη σε αυτό το παράδειγμα, η χρήση της μεθόδου εισαγωγής μιας συνάρτησης κάτω από το διαφορικό πρόσημο αυξάνει σημαντικά τον κίνδυνο σύγχυσης στην απόφαση.
Παράδειγμα 7
Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα. Κάντε έναν έλεγχο.
Παράδειγμα 8
Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα. 
Αντικατάσταση:
Μένει να δούμε τι θα γίνει
Λοιπόν, εκφράσαμε, αλλά τι να κάνουμε με το "Χ" να παραμένει στον αριθμητή;!
Κατά καιρούς, κατά την επίλυση ολοκληρωμάτων, συμβαίνει το εξής κόλπο: θα εκφράσουμε από την ίδια αντικατάσταση ! 
Παράδειγμα 9
Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.
Αυτό είναι ένα παράδειγμα για ανεξάρτητη λύση. Απαντήστε στο τέλος του μαθήματος.
Παράδειγμα 10
Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.
Σίγουρα κάποιοι έχουν παρατηρήσει ότι ο πίνακας αναφοράς μου δεν έχει κανόνα αντικατάστασης μεταβλητών. Έγινε σκόπιμα. Ο κανόνας θα μπέρδευε την εξήγηση και την κατανόηση, αφού δεν εμφανίζεται ρητά στα παραπάνω παραδείγματα.
Ήρθε η ώρα να μιλήσουμε για τη βασική προϋπόθεση της χρήσης της μεθόδου αντικατάστασης μεταβλητών: το ολοκλήρωμα πρέπει να περιέχει κάποια συνάρτηση και το παράγωγό του : (οι λειτουργίες ενδέχεται να μην υπάρχουν στο προϊόν)
Από αυτή την άποψη, όταν βρίσκουμε ολοκληρώματα, πρέπει συχνά να κοιτάμε τον πίνακα των παραγώγων.
Σε αυτό το παράδειγμα, παρατηρούμε ότι ο βαθμός του αριθμητή είναι κατά ένα μικρότερος από τον βαθμό του παρονομαστή. Στον πίνακα των παραγώγων βρίσκουμε τον τύπο, ο οποίος απλώς μειώνει τον βαθμό κατά ένα. Και, επομένως, αν ορίσετε για τον παρονομαστή, τότε υπάρχουν μεγάλες πιθανότητες ο αριθμητής να μετατραπεί σε κάτι καλό.
Αντικατάσταση: 
Παρεμπιπτόντως, εδώ δεν είναι τόσο δύσκολο να φέρετε τη συνάρτηση κάτω από το διαφορικό σύμβολο:
Θα πρέπει να σημειωθεί ότι για κλάσματα όπως το , ένα τέτοιο κόλπο δεν θα λειτουργεί πλέον (ακριβέστερα, θα είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί όχι μόνο η τεχνική αντικατάστασης). Μπορείτε να μάθετε πώς να ενσωματώνετε μερικά κλάσματα στο μάθημα Ολοκλήρωση κάποιων κλασμάτων.
Ακολουθούν μερικά ακόμη χαρακτηριστικά παραδείγματα για μια ανεξάρτητη λύση από την ίδια όπερα:
Παράδειγμα 11
Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.
Παράδειγμα 12
Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.
Λύσεις στο τέλος του μαθήματος.
Παράδειγμα 13
Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα. 
Εξετάζουμε τον πίνακα των παραγώγων και βρίσκουμε το συνημίτονο τόξου μας: 
. Έχουμε στο ολοκλήρωμα την αρκοσίνη και κάτι παρόμοιο με το παράγωγό της.
Γενικός κανόνας:
Ανά δηλώνουν την ίδια τη συνάρτηση(και όχι το παράγωγό του).
Σε αυτήν την περίπτωση: . Μένει να μάθουμε σε τι θα μετατραπεί το υπόλοιπο integrand.
Σε αυτό το παράδειγμα, θα περιγράψω λεπτομερώς το εύρημα γιατί είναι μια σύνθετη συνάρτηση.
Ή πιο σύντομη: 
Σύμφωνα με τον κανόνα της αναλογίας, εκφράζουμε το υπόλοιπο που χρειαζόμαστε: 
Με αυτόν τον τρόπο:
Εδώ δεν είναι τόσο εύκολο να φέρεις τη συνάρτηση κάτω από το πρόσημο του διαφορικού.
Παράδειγμα 14
Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα. 
Ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση. Η απάντηση είναι πολύ κοντά.
Οι προσεκτικοί αναγνώστες θα παρατηρήσουν ότι έχω εξετάσει λίγα παραδείγματα με τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Και αυτό δεν είναι τυχαίο, γιατί ολοκληρώματα τριγωνομετρικών συναρτήσεωνδίνεται ξεχωριστό μάθημα. Επιπλέον, στο καθορισμένο μάθημα, δίνονται ορισμένες χρήσιμες οδηγίες για την αλλαγή μιας μεταβλητής, κάτι που είναι ιδιαίτερα σημαντικό για τα ανδρείκελα, τα οποία δεν καταλαβαίνουν πάντα και αμέσως τι είδους αντικατάσταση πρέπει να πραγματοποιηθεί σε ένα ή άλλο ολοκλήρωμα. Επίσης, ορισμένοι τύποι αντικαταστάσεων μπορείτε να βρείτε στο άρθρο Ορισμένο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεων.
Οι πιο έμπειροι μαθητές μπορούν να εξοικειωθούν με μια τυπική αντικατάσταση σε ολοκληρώματα με παράλογες συναρτήσεις. Η αντικατάσταση ολοκλήρωσης ρίζας είναι συγκεκριμένη και η τεχνική εκτέλεσής της διαφέρει από αυτή που εξετάσαμε σε αυτό το μάθημα.
Σου εύχομαι επιτυχία!
Παράδειγμα 3:Λύση
:
Παράδειγμα 4:Λύση
:
Παράδειγμα 7:Λύση
:
Παράδειγμα 9:Λύση
:
Αντικατάσταση: 
Παράδειγμα 11:Λύση
:
Ας αντικαταστήσουμε:
Παράδειγμα 12:Λύση
:
Ας αντικαταστήσουμε:
Παράδειγμα 14:Λύση
:
Ας αντικαταστήσουμε:
Ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα. Παραδείγματα λύσεων
Γεια σου και πάλι. Σήμερα στο μάθημα θα μάθουμε πώς να ενσωματώνουμε ανά μέρη. Η μέθοδος ολοκλήρωσης με μέρη είναι ένας από τους ακρογωνιαίους λίθους του ολοκληρωτικού λογισμού. Στο τεστ, στις εξετάσεις, ο μαθητής σχεδόν πάντα προσφέρεται να λύσει ολοκληρώματα των ακόλουθων τύπων: το απλούστερο ολοκλήρωμα (βλ. άρθροΑόριστο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεων ) ή ένα ολοκλήρωμα για την αλλαγή της μεταβλητής (βλ. άρθροΜέθοδος μεταβλητής μεταβολής σε αόριστο ολοκλήρωμα ) ή το αναπόσπαστο ακριβώς επάνω μέθοδος ολοκλήρωσης ανά εξαρτήματα.
Όπως πάντα, στο χέρι πρέπει να είναι: Πίνακας ολοκληρωμάτωνκαι Πίνακας παραγώγων. Αν πάλι δεν τα έχετε, επισκεφθείτε την αποθήκη του ιστότοπού μου: Μαθηματικοί τύποι και πίνακες. Δεν θα κουραστώ να επαναλαμβάνω - είναι καλύτερα να εκτυπώνετε τα πάντα. Θα προσπαθήσω να παρουσιάσω όλο το υλικό με συνεπή, απλό και προσιτό τρόπο· δεν υπάρχουν ιδιαίτερες δυσκολίες στην ενσωμάτωση ανά μέρη.
Τι πρόβλημα λύνει η ενσωμάτωση με εξαρτήματα; Η μέθοδος ενσωμάτωσης με εξαρτήματα λύνει ένα πολύ σημαντικό πρόβλημα, σας επιτρέπει να ενσωματώσετε ορισμένες λειτουργίες που δεν περιλαμβάνονται στον πίνακα, δουλειάλειτουργίες, και σε ορισμένες περιπτώσεις - και ιδιωτικές. Όπως θυμόμαστε, δεν υπάρχει βολική φόρμουλα: 
. Υπάρχει όμως αυτό: 
είναι ο τύπος για την ενσωμάτωση από εξαρτήματα αυτοπροσώπως. Ξέρω, ξέρω, είσαι ο μόνος - μαζί της θα δουλέψουμε όλο το μάθημα (είναι ήδη πιο εύκολο).
4), είναι αντίστροφα τριγωνομετρικές συναρτήσεις("καμάρες"), "καμάρες" πολλαπλασιαζόμενες με κάποιο πολυώνυμο.
Επίσης, μερικά κλάσματα λαμβάνονται σε μέρη, θα εξετάσουμε επίσης τα αντίστοιχα παραδείγματα λεπτομερώς.
Ολοκληρώματα λογαρίθμων
Παράδειγμα 1
Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.
Κλασσικός. Κατά καιρούς, αυτό το αναπόσπαστο μπορεί να βρεθεί σε πίνακες, αλλά δεν είναι επιθυμητό να χρησιμοποιήσετε μια έτοιμη απάντηση, καθώς ο δάσκαλος έχει μπέρι-μπέρι την άνοιξη και θα μαλώσει πολύ. Επειδή το ολοκλήρωμα που εξετάζουμε δεν είναι σε καμία περίπτωση πίνακα - λαμβάνεται σε μέρη. Εμείς αποφασίζουμε:
Διακόπτουμε τη λύση για ενδιάμεσες εξηγήσεις.
Χρησιμοποιούμε τον τύπο για την ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα:
Υπολογίστε ένα δεδομένο ολοκλήρωμα με άμεση ολοκλήρωση
δεν πετυχαίνει πάντα. Μία από τις πιο αποτελεσματικές μεθόδους
είναι μια μέθοδος αντικατάστασης ή αντικατάστασης μιας μεταβλητής ολοκλήρωσης.
Η ουσία αυτής της μεθόδου έγκειται στο γεγονός ότι με την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής ολοκλήρωσης, είναι δυνατό να μειωθεί το δεδομένο ολοκλήρωμα σε
νέο ολοκλήρωμα, το οποίο λαμβάνεται με άμεση ολοκλήρωση.
Εξετάστε αυτήν τη μέθοδο:
Έστω μια συνεχής συνάρτηση
πρέπει να βρείτε: (1)
Ας αλλάξουμε τη μεταβλητή ολοκλήρωσης:
όπου φ (t) είναι μια μονότονη συνάρτηση που έχει συνεχή παράγωγο
και υπάρχει μιγαδική συνάρτηση f(φ(t)).
Εφαρμόζοντας στο F (x) = F (φ (t)) τον τύπο διαφοροποίησης του συμπλόκου
λειτουργίες, παίρνουμε:
﴾F (φ (t))﴿′ = F′(x) ∙ φ′ (t)
Αλλά F (x) = f (x) = f (φ (t)), άρα
﴾F (φ (t))﴿′ = f (φ (t)) ∙ φ′ (t) (3)
Έτσι, η συνάρτηση F(φ (t)) είναι αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση
f (φ (t)) ∙ φ′ (t), άρα:
∫ f (φ (t)) ∙ φ′ (t) dt = F (φ (t)) + C (4)
Λαμβάνοντας υπόψη ότι το F (φ (t)﴿ = F (x), από τα (1) και (4) ακολουθεί τον τύπο αντικατάστασης
μεταβλητή στο αόριστο ολοκλήρωμα:
∫ f (x)dx = ∫ f(φ (t)) φ′ (t)dt (5)
Τυπικά, ο τύπος (5) προκύπτει αντικαθιστώντας το x με φ (t) και το dx με φ' (t)dt
Στο αποτέλεσμα που λαμβάνεται μετά την ενσωμάτωση με τον τύπο (5) ακολουθεί
επιστρέψτε στο x. Αυτό είναι πάντα δυνατό, αφού
θέση, η συνάρτηση x = φ (t) είναι μονότονη.
Μια καλή επιλογή αντικατάστασης αντιπροσωπεύει συνήθως γνωστές εργασίες.
ness. Για να τα ξεπεράσετε, είναι απαραίτητο να κατακτήσετε την τεχνική της διαφοροποίησης
παραθέτοντας και να γνωρίζουν καλά τα ολοκληρώματα του πίνακα.
Ωστόσο, μπορείτε ακόμα να ορίσετε γενικοί κανόνεςκαι μερικά κόλπα
ενσωμάτωση.
Κανόνες για την ενσωμάτωση με τη μέθοδο αντικατάστασης:
1. Προσδιορίστε σε ποιο ολοκλήρωμα πίνακα ανάγεται αυτό το ολοκλήρωμα (έχοντας προηγουμένως μετατρέψει το ολοκλήρωμα, εάν είναι απαραίτητο).
2. Προσδιορίστε ποιο τμήμα του ολοκληρωτή πρέπει να αντικατασταθεί
νέα μεταβλητή και καταγράψτε αυτήν την αντικατάσταση.
3. Βρείτε τα διαφορικά και των δύο μερών της εγγραφής και εκφράστε τη διαφορά
την παλιά μεταβλητή (ή μια έκφραση που περιέχει αυτό το διαφορικό
rencial) μέσω του διαφορικού της νέας μεταβλητής.
4. Κάντε μια αντικατάσταση κάτω από το ολοκλήρωμα.
5. Βρείτε το ολοκλήρωμα που προκύπτει.
6. Ως αποτέλεσμα, μεταβείτε στην παλιά μεταβλητή.
Παραδείγματα επίλυσης ολοκληρωμάτων με τη μέθοδο αντικατάστασης:
1. Βρείτε: ∫ x²(3+2x) dx
Λύση:
ας κάνουμε αντικατάσταση 3+2x = t
Βρείτε το διαφορικό και των δύο μερών της αντικατάστασης:
6x dx = dt, απ' όπου
Συνεπώς:
∫ x (3+2x ) dx = ∫ t ∙ dt = ∫ t dt = ∙ + C = t + C
Αντικαθιστώντας το t με την έκφραση αντικατάστασής του, παίρνουμε:
∫ x (3+2x) dx = (3+2x) + C
Λύση:
= ∫ = e = e + C = e + C
Λύση:
Λύση:
Λύση:
Η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος.
Η διαφορά στις τιμές για οποιαδήποτε αντιπαράγωγη συνάρτηση όταν το όρισμα αλλάζει από σε ονομάζεται ολοκλήρωμα αυτής της συνάρτησης στην περιοχή από a έως b και συμβολίζεται:
Τα α και β ονομάζονται κατώτερο και ανώτερο όριο ολοκλήρωσης.
Για να υπολογίσετε το οριστικό ολοκλήρωμα χρειάζεστε:
1. Να βρείτε το αντίστοιχο αόριστο ολοκλήρωμα
2. Αντικαταστήστε στην προκύπτουσα έκφραση αντί για x, πρώτα το ανώτερο όριο ολοκλήρωσης στο και μετά το κάτω όριο - α.
3. Αφαιρέστε το δεύτερο αποτέλεσμα από το αποτέλεσμα της πρώτης αντικατάστασης.
Εν συντομία, αυτός ο κανόνας γράφεται με τη μορφή τύπων ως εξής:
Αυτός ο τύπος ονομάζεται τύπος Newton-Leibniz.
Οι κύριες ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος:
1. , όπου Κ=κονστ
3. Αν , τότε
4. Εάν η συνάρτηση είναι μη αρνητική στο διάστημα , όπου , τότε
Κατά την αντικατάσταση της παλιάς μεταβλητής ολοκλήρωσης με μια νέα σε ένα συγκεκριμένο ολοκλήρωμα, είναι απαραίτητο να αντικατασταθούν τα παλιά όρια ολοκλήρωσης με νέα. Αυτά τα νέα όρια καθορίζονται από την επιλεγμένη αντικατάσταση.
Εφαρμογή ορισμένου ολοκληρώματος.
Περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από μια καμπύλη, έναν άξονα x και δύο ευθείες γραμμές καιυπολογίζεται με τον τύπο:
Ο όγκος ενός σώματος που σχηματίζεται από περιστροφή γύρω από τον άξονα της τετμημένης ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς, που οριοθετείται από μια καμπύλη που δεν αλλάζει το πρόσημά της από , τον άξονα της τετμημένης και δύο ευθείες γραμμές καιυπολογίζεται με τον τύπο:
Μια σειρά από φυσικά προβλήματα μπορούν επίσης να λυθούν με τη βοήθεια ενός ορισμένου ολοκληρώματος.
Για παράδειγμα:
Εάν η ταχύτητα ενός ευθύγραμμα κινούμενου σώματος είναι γνωστή συνάρτηση του χρόνου t, τότε η διαδρομή S που διανύει αυτό το σώμα από το χρόνο t \u003d t 1 έως το χρόνο t \u003d t 2 προσδιορίζεται από τον τύπο:
Εάν η μεταβλητή δύναμη είναι γνωστή συνάρτηση της διαδρομής S (υποτίθεται ότι η κατεύθυνση της δύναμης δεν αλλάζει), τότε το έργο Α που εκτελείται από αυτή τη δύναμη στη διαδρομή από έως καθορίζεται από τον τύπο:
Παραδείγματα:
1. Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές:
y = ; y = (x-2) 2; 0x.
Λύση:
α) Ας φτιάξουμε γραφήματα συναρτήσεων: y = ; y=(x-2)2
β) Προσδιορίστε το σχήμα του οποίου το εμβαδόν θέλετε να υπολογίσετε.
γ) Να προσδιορίσετε τα όρια ολοκλήρωσης λύνοντας την εξίσωση: = (x-2) 2 ; x = 1
δ) Υπολογίστε το εμβαδόν του συγκεκριμένου σχήματος:
S = dx + 2 dx = 1 μονάδα 2
2. Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από γραμμές:
Υ = x 2 ; x = y 2 .
Λύση:
x 2 = ; x 4 \u003d x;
x (x 3 - 1) = 0
x 1 = 0; x2 = 1
S = - x 2) dx = ( x 3 \ 2 - ) │ 0 1 = μονάδα 2
3. Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που προκύπτει περιστρέφοντας γύρω από τον άξονα 0x του σχήματος που οριοθετείται από ευθείες: y = ; x = 1.
Λύση:
V = π dx = π ) 2 dx = π = π │ = π/2 μονάδες 3
Σπίτι δοκιμήμαθηματικά
Επιλογές εργασιών.
Αριθμός επιλογής 1
y = (x + 1) 2 ; y \u003d 1 - x; 0x
Επιλογή αριθμός 2
1. Λύστε το σύστημα των εξισώσεων με τρεις τρόπους:
2. Υπολογίστε τα ολοκληρώματα αλλάζοντας τη μεταβλητή:
3. Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από γραμμές:
y \u003d 6 - x; y=x2+4
Αριθμός επιλογής 3.
1. Λύστε το σύστημα των εξισώσεων με τρεις τρόπους:
2. Υπολογίστε τα ολοκληρώματα αλλάζοντας τη μεταβλητή:
3. Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από γραμμές:
y \u003d - x 2 + 5; y=x+3
Αριθμός επιλογής 4.
1. Λύστε το σύστημα των εξισώσεων με τρεις τρόπους:
2. Υπολογίστε τα ολοκληρώματα αλλάζοντας τη μεταβλητή:
3. Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από γραμμές:
y=x2; x = 3 ; Βόδι
Αριθμός επιλογής 5.
1. Λύστε το σύστημα των εξισώσεων με τρεις τρόπους:
2. Υπολογίστε τα ολοκληρώματα αλλάζοντας τη μεταβλητή:
3. Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από γραμμές:
y \u003d 3 + 2x - x 2; Βόδι
Αριθμός επιλογής 6.
1. Λύστε το σύστημα των εξισώσεων με τρεις τρόπους:
2. Υπολογίστε τα ολοκληρώματα αλλάζοντας τη μεταβλητή:
3. Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από γραμμές:
y = x + 6 y = 8 + 2x – x2
Αριθμός επιλογής 7
1. Λύστε το σύστημα των εξισώσεων με τρεις τρόπους:
2. Υπολογίστε τα ολοκληρώματα αλλάζοντας τη μεταβλητή:
3. Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που σχηματίζεται από την περιστροφή γύρω από το Ox του σχήματος που οριοθετείται από ευθείες:
y = αμαρτία x ; y = 0 x = 0 x = π
Αριθμός επιλογής 8.
1. Λύστε το σύστημα των εξισώσεων με τρεις τρόπους:
2. Υπολογίστε τα ολοκληρώματα αλλάζοντας τη μεταβλητή:
Βιβλιογραφία
1. Γραπτή Δ.Τ. Περίληψη διαλέξεων για τα ανώτερα μαθηματικά Μέρη 1, 2. Μ. AIRIS PRESS, 2006.
2. Grigoriev V.P., Dubinsky Yu.A. Στοιχεία ανώτερων μαθηματικών. M. Academy, 2008
3. Vygodsky M.Ya. Εγχειρίδιο ανώτερων μαθηματικών. M. Science, 2001
4. Shipachev V.S. Ανώτερα μαθηματικά. Μ. Ανώτατο Σχολείο, 2005
5. Shipachev V.S. Βιβλίο προβλημάτων για τα ανώτερα μαθηματικά. Μ. Ανώτατο Σχολείο, 2005
Η αλλαγή της μεταβλητής στο αόριστο ολοκλήρωμα χρησιμοποιείται για την εύρεση ολοκληρωμάτων στα οποία μία από τις συναρτήσεις είναι η παράγωγος μιας άλλης συνάρτησης. Έστω ένα αναπόσπαστο $ \int f(x) dx $, ας κάνουμε την αντικατάσταση $ x=\phi(t) $. Σημειώστε ότι η συνάρτηση $ \phi(t) $ είναι διαφοροποιήσιμη, επομένως μπορεί να βρεθεί η $ dx = \phi"(t) dt $.
Τώρα αντικαθιστούμε το $ \begin(vmatrix) x = \phi(t) \\ dx = \phi"(t) dt \end(vmatrix) $ στο ολοκλήρωμα και παίρνουμε ότι:
$$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi"(t) dt $$
Αυτό είναι τύπος αλλαγής μεταβλητής σε αόριστο ολοκλήρωμα.
Αλγόριθμος μεθόδου αντικατάστασης μεταβλητής
Έτσι, εάν δίνεται ένα ολοκλήρωμα της φόρμας στο πρόβλημα: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx $$ Συνιστάται να αντικαταστήσετε τη μεταβλητή με μια νέα: $ $ t = \phi(x) $ $ $$ dt = \phi"(t) dt $$
Μετά από αυτό, το ολοκλήρωμα θα παρουσιαστεί σε μια μορφή που είναι εύκολο να ληφθεί με τις κύριες μεθόδους ολοκλήρωσης: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx = \int f(t) dt $$
Μην ξεχάσετε επίσης να ορίσετε ξανά την αντικατασταθείσα μεταβλητή σε $x$.
Παραδείγματα λύσεων
| Παράδειγμα 1 |
|
Βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα με τη μέθοδο αλλαγής της μεταβλητής: $$ \int e^(3x) dx $$ |
| Λύση |
|
Αλλάζουμε τη μεταβλητή στο ολοκλήρωμα σε $ t = 3x, dt = 3dx $: $$ \int e^(3x) dx = \int e^t \frac(dt)(3) = \frac(1)(3) \int e^t dt = $$ Το εκθετικό ολοκλήρωμα παραμένει το ίδιο σύμφωνα με τον πίνακα ολοκλήρωσης, αν και το $ t $ γράφεται αντί για το $ x $: $$ = \frac(1)(3) e^t + C = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ Εάν δεν μπορείτε να λύσετε το πρόβλημά σας, στείλτε το σε εμάς. Θα δώσουμε μια λεπτομερή λύση. Θα μπορείτε να εξοικειωθείτε με την πρόοδο του υπολογισμού και να συλλέξετε πληροφορίες. Αυτό θα σας βοηθήσει να πάρετε μια πίστωση από τον δάσκαλο εγκαίρως! |
| Απάντηση |
| $$ \int e^(3x) dx = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ |
Η μέθοδος βασίζεται στον ακόλουθο τύπο: ò f(x)dx = ò f(j(t)) j`(t) dt, όπου x = j(t) είναι μια συνάρτηση διαφοροποιήσιμη στο εξεταζόμενο διάστημα.
Απόδειξη. Να βρείτε τις παραγώγους ως προς τη μεταβλητή t από το αριστερό και το δεξί μέρος του τύπου.
Σημειώστε ότι η αριστερή πλευρά περιέχει μια σύνθετη συνάρτηση της οποίας το ενδιάμεσο όρισμα είναι x = j(t). Επομένως, για να το διαφοροποιήσουμε ως προς το t, διαφοροποιούμε πρώτα το ολοκλήρωμα ως προς το x και μετά παίρνουμε την παράγωγο του ενδιάμεσου ορίσματος ως προς το t.
(ò f(x)dx)` t = (ò f(x)dx)` x *x` t = f(x) j`(t)
Παράγωγο της δεξιάς πλευράς:
(ò f(j(t)) j`(t) dt)` t = f(j(t)) j`(t) = f(x) j`(t)
Δεδομένου ότι αυτές οι παράγωγοι είναι ίσες, από μια συνέπεια του θεωρήματος του Lagrange, το αριστερό και το δεξί μέρος του τύπου που αποδεικνύεται διαφέρουν κατά κάποια σταθερά. Εφόσον τα ίδια τα αόριστα ολοκληρώματα ορίζονται μέχρι έναν αόριστο σταθερό όρο, αυτή η σταθερά μπορεί να παραλειφθεί στον τελικό συμβολισμό. Αποδεδειγμένος.
Μια επιτυχημένη αλλαγή μεταβλητής μας επιτρέπει να απλοποιήσουμε το αρχικό ολοκλήρωμα και στις απλούστερες περιπτώσεις να το μειώσουμε σε πίνακα. Στην εφαρμογή της μεθόδου αυτής διακρίνονται οι μέθοδοι γραμμικής και μη γραμμικής υποκατάστασης.
α) Εξετάστε τη μέθοδο γραμμικής αντικατάστασης χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα 1. Έστω t = 1 – 2x, τότε
dx = d(½ - ½ t) = - ½ dt
Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η νέα μεταβλητή δεν χρειάζεται να διαγραφεί ρητά. Σε τέτοιες περιπτώσεις μιλάμε για μετασχηματισμό μιας συνάρτησης υπό το πρόσημο του διαφορικού, ή για εισαγωγή σταθερών και μεταβλητών κάτω από το πρόσημο του διαφορικού, δηλ. σχετικά με σιωπηρή αντικατάσταση μεταβλητής.
Παράδειγμα 2Για παράδειγμα, ας βρούμε το òcos(3x + 2)dx. Σύμφωνα με τις ιδιότητες του διαφορικού
dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), μετά òcos(3x + 2)dx = ò(1/3)cos(3x + 2)d(3x +
+ 2) = (1/3)òcos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) + C.
Και στα δύο εξεταζόμενα παραδείγματα, η γραμμική αντικατάσταση t = kx + b (k 1 0) χρησιμοποιήθηκε για την εύρεση των ολοκληρωμάτων.
Στη γενική περίπτωση ισχύει το ακόλουθο θεώρημα.
Θεώρημα γραμμικής υποκατάστασης. Έστω F(x) κάποια αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση f(x). Τότε òf(kx + b)dx = (1/k)F(kx + b) + C, όπου k και b είναι μερικές σταθερές, k ¹ 0.
Απόδειξη.
Με τον ορισμό του ολοκληρώματος, òf(kx + b)d(kx + b) = F(kx + b) + C. Ho
d(kx + b)= (kx + b)`dx = kdx. Βγάζουμε τον σταθερό παράγοντα k από το ακέραιο πρόσημο: kòf(kx + b)dx = F(kx + b) + C. Τώρα μπορούμε να διαιρέσουμε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της ισότητας με το k και να λάβουμε τον ισχυρισμό που πρέπει να αποδειχθεί μέχρι τη σημειογραφία ενός σταθερού όρου.
Αυτό το θεώρημα δηλώνει ότι εάν η παράσταση (kx + b) αντικατασταθεί στον ορισμό του ολοκληρώματος ò f(x)dx = F(x) + C, τότε αυτό θα οδηγήσει στην εμφάνιση ενός πρόσθετου παράγοντα 1/k μπροστά. του αντιπαραγώγου.
Χρησιμοποιώντας το αποδεδειγμένο θεώρημα, λύνουμε τα ακόλουθα παραδείγματα.
Παράδειγμα 3
Ας βρούμε . Εδώ kx + b = 3 – x, δηλ. k = -1, b = 3. Τότε
Παράδειγμα 4
Ας βρούμε . Εδώ kx + b = 4x + 3, δηλ. k = 4, b = 3. Τότε
Παράδειγμα 5
Ας βρούμε . Εδώ kx + b = -2x + 7, δηλ. k = -2, b = 7. Τότε
.
Παράδειγμα 6Ας βρούμε . Εδώ kx + b = 2x + 0, δηλ. k = 2, b = 0.
.
Ας συγκρίνουμε το ληφθέν αποτέλεσμα με το παράδειγμα 8, το οποίο επιλύθηκε με τη μέθοδο της αποσύνθεσης. Λύνοντας το ίδιο πρόβλημα με άλλη μέθοδο, πήραμε την απάντηση 
. Ας συγκρίνουμε τα ληφθέντα αποτελέσματα: . Έτσι, αυτές οι εκφράσεις διαφέρουν μεταξύ τους με έναν σταθερό όρο, δηλ. οι απαντήσεις που ελήφθησαν δεν έρχονται σε αντίθεση μεταξύ τους.
Παράδειγμα 7Ας βρούμε 
. Επιλέγουμε ένα πλήρες τετράγωνο στον παρονομαστή.
Σε ορισμένες περιπτώσεις, η αλλαγή της μεταβλητής δεν μειώνει το ολοκλήρωμα απευθείας σε πίνακα, αλλά μπορεί να απλοποιήσει τη λύση καθιστώντας δυνατή την εφαρμογή της μεθόδου αποσύνθεσης στο επόμενο βήμα.
Παράδειγμα 8Για παράδειγμα, ας βρούμε . Ας αντικαταστήσουμε t = x + 2, μετά dt = d(x + 2) = dx. Επειτα
,
όπου C \u003d C 1 - 6 (όταν αντικαθιστούμε αντί για t την έκφραση (x + 2) αντί για τους δύο πρώτους όρους, παίρνουμε ½x 2 -2x - 6).
Παράδειγμα 9Ας βρούμε . Έστω t = 2x + 1, μετά dt = 2dx; dx = ½ dt; x = (t - 1)/2.
Αντικαθιστούμε την έκφραση (2x + 1) αντί για t, ανοίγουμε τις αγκύλες και δίνουμε παρόμοιες.
Σημειώστε ότι στη διαδικασία των μετασχηματισμών περάσαμε σε έναν άλλο σταθερό όρο, γιατί η ομάδα των σταθερών όρων στη διαδικασία των μετασχηματισμών θα μπορούσε να παραλειφθεί.
β) Ας εξετάσουμε τη μέθοδο της μη γραμμικής υποκατάστασης χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα 1. Έστω t = - x 2 . Επιπλέον, θα μπορούσε κανείς να εκφράσει το x έως το t, στη συνέχεια να βρει μια έκφραση για το dx και να εφαρμόσει μια αλλαγή μεταβλητής στο επιθυμητό ολοκλήρωμα. Αλλά σε αυτή την περίπτωση είναι πιο εύκολο να γίνει διαφορετικά. Βρείτε dt = d(-x 2) = -2xdx. Σημειώστε ότι η έκφραση xdx είναι ένας παράγοντας του ολοκληρώματος του απαιτούμενου ολοκληρώματος. Το εκφράζουμε από την ισότητα που προκύπτει xdx = - ½ dt. Επειτα
= ò (- ½)e t dt = (- ½)ò e t dt = (- ½)e t + C = (- ½) + C
Ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα.
Παράδειγμα 2Ας βρούμε . Έστω t = 1 - x 2 . Επειτα
Παράδειγμα 3Ας βρούμε . Έστω t = . Επειτα
;
Παράδειγμα 4Στην περίπτωση της μη γραμμικής αντικατάστασης, είναι επίσης βολικό να χρησιμοποιείται σιωπηρή αντικατάσταση μεταβλητής.
Για παράδειγμα, ας βρούμε . Ας γράψουμε xdx =
= (-1/4)d(3 - 2x 2) (αντικαταστάθηκε σιωπηρά από τη μεταβλητή t = 3 - 2x 2). Επειτα
Παράδειγμα 5Ας βρούμε 
. Εδώ εισάγουμε επίσης μια μεταβλητή κάτω από το διαφορικό πρόσημο: 
(σιωπηρή αλλαγή t = 3 + 5x 3). Επειτα
Παράδειγμα 6Ας βρούμε . Επειδή η ,
Παράδειγμα 7Ας βρούμε . Γιατί, λοιπόν
Ας εξετάσουμε πολλά παραδείγματα στα οποία καθίσταται απαραίτητος ο συνδυασμός διαφορετικών αντικαταστάσεων.
Παράδειγμα 8Ας βρούμε 
. Αφήνω
t = 2x + 1, μετά x = (t – 1)/2; dx = ½ dt.
Παράδειγμα 9Ας βρούμε 
. Αφήνω
t = x - 2, μετά x = t + 2; dx=dt.