Κάθε τριγωνομετρική συνάρτηση για μια δεδομένη γωνία (ή αριθμό) α αντιστοιχεί σε ένα ορισμένο έννοιααυτή τη λειτουργία. Από τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημιτίου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης, είναι σαφές ότι η τιμή του ημιτόνου της γωνίας α είναι η τεταγμένη του σημείου στο οποίο διέρχεται το αρχικό σημείο του μοναδιαίου κύκλου αφού περιστραφεί από τη γωνία α, η τιμή του συνημιτόνου είναι η τετμημένη αυτού του σημείου, η τιμή της εφαπτομένης είναι ο λόγος της τεταγμένης προς την τεταγμένη και η τιμή της συνεφαπτομένης είναι η αναλογία της τετμημένης προς την τεταγμένη.

Αρκετά συχνά, κατά την επίλυση προβλημάτων, καθίσταται απαραίτητο να βρεθούν οι τιμές των ημιτόνων, των συνημιτόνων, των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων των υποδεικνυόμενων γωνιών. Για ορισμένες γωνίες, όπως 0, 30, 45, 60, 90, ... μοίρες, είναι δυνατό να βρεθούν ακριβείς τιμές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, για άλλες γωνίες, η εύρεση ακριβών τιμών είναι προβληματική και πρέπει να αρκεστούμε σε κατά προσέγγιση τιμές.

Σε αυτό το άρθρο, θα καταλάβουμε ποιες αρχές πρέπει να ακολουθούνται κατά τον υπολογισμό της τιμής του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης ή της συνεφαπτομένης. Ας τα απαριθμήσουμε με τη σειρά.

  • Η κατά προσέγγιση τιμή της καθορισμένης τριγωνομετρικής συνάρτησης μπορεί να βρεθεί εξ ορισμού. Και για γωνίες 0, ±90, ±180 κ.λπ. Ο ορισμός των μοιρών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σάς επιτρέπει να καθορίσετε τις ακριβείς τιμές του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης.
  • Οι λόγοι μεταξύ των πλευρών και των γωνιών σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο σάς επιτρέπουν να βρείτε τις τιμές του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης για τις "βασικές" γωνίες 30, 45, 60 μοιρών.
  • Εάν η γωνία είναι εκτός του εύρους από 0 έως 90 μοίρες, τότε θα πρέπει πρώτα να χρησιμοποιήσετε τους τύπους μείωσης, οι οποίοι θα σας επιτρέψουν να προχωρήσετε στον υπολογισμό της τιμής των τριγωνομετρικών συναρτήσεων με όρισμα από 0 έως 90 μοίρες.
  • Εάν η τιμή μιας από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις για μια δεδομένη γωνία α είναι γνωστή, τότε μπορούμε πάντα να υπολογίσουμε την τιμή οποιασδήποτε άλλης τριγωνομετρικής συνάρτησης της ίδιας γωνίας. Αυτό μας επιτρέπει να κάνουμε βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες.
  • Μερικές φορές είναι δυνατός ο υπολογισμός της τιμής μιας δεδομένης τριγωνομετρικής συνάρτησης για μια δεδομένη γωνία, ξεκινώντας από τις τιμές των συναρτήσεων για τις κύριες γωνίες και χρησιμοποιώντας τους κατάλληλους τύπους τριγωνομετρίας. Για παράδειγμα, δεδομένης της γνωστής τιμής του ημιτόνου των 30 μοιρών και του τύπου μισής γωνίας για το ημίτονο, μπορείτε να βρείτε την τιμή του ημιτόνου των 15 μοιρών.
  • Τέλος, μπορείτε πάντα να βρείτε την κατά προσέγγιση τιμή μιας δεδομένης τριγωνομετρικής συνάρτησης για μια δεδομένη γωνία ανατρέχοντας σε αυτήν που χρειάζεστε από τους πίνακες ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων.

Τώρα ας εξετάσουμε λεπτομερώς καθεμία από τις αναφερόμενες αρχές για τον υπολογισμό των τιμών των ημιτόνων, των συνημιτόνων, των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Εύρεση των τιμών του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης εξ ορισμού

Με βάση τον ορισμό του ημιτόνου και του συνημιτόνου, μπορείτε να βρείτε τις τιμές του ημιτόνου και του συνημιτόνου μιας δεδομένης γωνίας α. Για να γίνει αυτό, πρέπει να πάρετε έναν κύκλο μονάδας, να περιστρέψετε το σημείο εκκίνησης A (1, 0) κατά γωνία α, μετά την οποία θα πάει στο σημείο A 1. Τότε οι συντεταγμένες του σημείου Α 1 θα δώσουν, αντίστοιχα, το συνημίτονο και το ημίτονο της δεδομένης γωνίας α. Η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη της γωνίας α μπορούν στη συνέχεια να υπολογιστούν υπολογίζοντας τους λόγους της τεταγμένης προς την τεταγμένη και της τετμημένης προς την τεταγμένη, αντίστοιχα.

Εξ ορισμού, μπορούμε να υπολογίσουμε τις ακριβείς τιμές του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης των γωνιών 0, ±90, ±180, ±270, ±360, …βαθμούς ( 0, ±π/2, ±π, ±3π/2, ±2π, …ακτίνια). Ας χωρίσουμε αυτές τις γωνίες σε τέσσερις ομάδες: 360 z μοίρες (2π z rad), 90+360 z μοίρες (π/2+2π z rad), 180+360 z μοίρες (π+2π z rad) και 270+360 z μοίρες (3π/2+2π z rad), όπου z είναι οποιοδήποτε . Ας απεικονίσουμε στα σχήματα όπου θα βρίσκεται το σημείο Α 1, που προκύπτει από την περιστροφή του σημείου εκκίνησης Α από αυτές τις γωνίες (αν χρειάζεται, μελετήστε το υλικό του αντικειμένου τη γωνία περιστροφής).

Για καθεμία από αυτές τις ομάδες γωνιών, βρίσκουμε τις τιμές του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης χρησιμοποιώντας τους ορισμούς.

Όσο για τις άλλες γωνίες εκτός 0, ±90, ±180, ±270, ±360, …μοίρες, τότε εξ ορισμού μπορούμε να βρούμε μόνο κατά προσέγγιση τιμές ημιτόνου, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης. Για παράδειγμα, ας βρούμε το ημίτονο, το συνημίτονο, την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη της γωνίας −52 μοιρών.

Ας χτίσουμε.

Σύμφωνα με το σχέδιο, βρίσκουμε ότι η τετμημένη του σημείου Α 1 είναι περίπου 0,62 και η τεταγμένη είναι περίπου −0,78. Με αυτόν τον τρόπο, και . Απομένει να υπολογίσουμε τις τιμές της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης, έχουμε και .

Είναι σαφές ότι όσο ακριβέστερα εκτελούνται οι κατασκευές, τόσο ακριβέστερα θα βρεθούν οι κατά προσέγγιση τιμές του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας δεδομένης γωνίας. Είναι επίσης σαφές ότι η εύρεση των τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, εξ ορισμού, δεν είναι βολική στην πράξη, καθώς δεν είναι βολικό να πραγματοποιηθούν οι περιγραφόμενες κατασκευές.

Γραμμές ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων

Συνοπτικά, αξίζει να σταθούμε στα λεγόμενα γραμμές ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων. Οι γραμμές ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων ονομάζονται γραμμές που απεικονίζονται μαζί με έναν κύκλο μονάδας, με σημείο αναφοράς και μονάδα μέτρησης ίση με ένα στο εισαγόμενο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, αντιπροσωπεύουν σαφώς όλα τα πιθανές τιμέςημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένες και συνεφαπτομένες. Τους απεικονίζουμε στο παρακάτω σχέδιο.

Τιμές ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων γωνιών 30, 45 και 60 μοιρών

Για γωνίες 30, 45 και 60 μοιρών, είναι γνωστές οι ακριβείς τιμές του ημιτόνου, του συνημιτίου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης. Μπορούν να ληφθούν από τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημιτίου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο χρησιμοποιώντας Πυθαγόρεια θεωρήματα.

Για να λάβετε τις τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων για γωνίες 30 και 60 μοιρών, θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με αυτές τις γωνίες και πάρτε το έτσι ώστε το μήκος της υποτείνουσας να είναι ίσο με ένα. Είναι γνωστό ότι το πόδι απέναντι από τη γωνία των 30 μοιρών είναι το μισό της υποτείνουσας, επομένως, το μήκος του είναι 1/2. Βρίσκουμε το μήκος του άλλου σκέλους χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα: .

Εφόσον το ημίτονο μιας γωνίας είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους προς την υποτείνουσα, τότε και . Με τη σειρά του, το συνημίτονο είναι η αναλογία του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα, λοιπόν και . Η εφαπτομένη είναι η αναλογία του απέναντι σκέλους προς το διπλανό σκέλος και η συνεφαπτομένη είναι η αναλογία του διπλανού σκέλους προς το αντίθετο σκέλος, επομένως, και , καθώς και .

Απομένει να λάβουμε τις τιμές του ημιτονοειδούς, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης για γωνία 45 μοιρών. Ας στρίψουμε σε ορθογώνιο τρίγωνο με γωνίες 45 μοιρών (θα είναι ισοσκελές) και υποτείνουσα ίση με ένα. Στη συνέχεια, με το Πυθαγόρειο θεώρημα, είναι εύκολο να ελέγξουμε ότι τα μήκη των ποδιών είναι ίσα. Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε τις τιμές του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης ως ο λόγος των μηκών των αντίστοιχων πλευρών του θεωρούμενου ορθογωνίου τριγώνου. Έχουμε και .

Οι λαμβανόμενες τιμές του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης των γωνιών 30, 45 και 60 μοιρών θα χρησιμοποιηθούν πολύ συχνά στην επίλυση διαφόρων γεωμετρικών και τριγωνομετρικών προβλημάτων, γι' αυτό σας συνιστούμε να τις θυμάστε. Για ευκολία, θα τα παραθέσουμε στον πίνακα με τις βασικές τιμές του ημιτονοειδούς, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης.

Συμπερασματικά αυτής της παραγράφου, θα δώσουμε μια απεικόνιση των τιμών του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης των γωνιών 30, 45 και 60 χρησιμοποιώντας τον μοναδιαίο κύκλο και τις ευθείες ημιτονοειδούς, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης.


Ισοπέδωση σε γωνία από 0 έως 90 μοίρες

Σημειώνουμε αμέσως ότι είναι βολικό να βρίσκουμε τις τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων όταν η γωνία είναι στην περιοχή από 0 έως 90 μοίρες (από μηδέν έως π στο μισό rad). Εάν το όρισμα της τριγωνομετρικής συνάρτησης, την τιμή της οποίας πρέπει να βρούμε, υπερβαίνει τα όρια από 0 έως 9 0 μοίρες, τότε μπορούμε πάντα να χρησιμοποιήσουμε τους τύπους αναγωγής για να βρούμε την τιμή της τριγωνομετρικής συνάρτησης, το όρισμα της οποίας θα να είναι εντός των καθορισμένων ορίων.

Για παράδειγμα, ας βρούμε την τιμή του ημιτόνου των 210 μοιρών. Αντιπροσωπεύοντας το 210 ως 180+30 ή ως 270−60, οι αντίστοιχοι τύποι αναγωγής μειώνουν το πρόβλημά μας από την εύρεση του ημιτόνου των 210 μοιρών στην εύρεση της τιμής του ημιτόνου των 30 μοιρών ή του συνημίτονος των 60 μοιρών.

Ας συμφωνήσουμε για το μέλλον όταν βρίσκουμε τις τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, χρησιμοποιώντας πάντα τους τύπους μείωσης, πηγαίνουμε σε γωνίες από το διάστημα από 0 έως 90 μοίρες, εκτός αν φυσικά η γωνία είναι ήδη εντός αυτών των ορίων.

Αρκεί να γνωρίζουμε την τιμή μιας από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Οι βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες καθορίζουν σχέσεις μεταξύ του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης της ίδιας γωνίας. Έτσι, με τη βοήθειά τους, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη γνωστή τιμή μιας από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις για να βρούμε την τιμή οποιασδήποτε άλλης συνάρτησης της ίδιας γωνίας.

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα λύσης.

Παράδειγμα.

Να προσδιορίσετε ποιο είναι το ημίτονο της γωνίας pi επί οκτώ, αν .

Λύση.

Αρχικά, βρείτε ποια είναι η συνεφαπτομένη αυτής της γωνίας:

Τώρα χρησιμοποιώντας τον τύπο , μπορούμε να υπολογίσουμε με ποιο ίσο είναι το τετράγωνο του ημιτόνου της γωνίας pi επί οκτώ και επομένως η επιθυμητή τιμή του ημιτόνου. Εχουμε

Μένει μόνο να βρούμε την αξία του ημιτονοειδούς. Δεδομένου ότι η γωνία pi επί οκτώ είναι η γωνία του πρώτου τετάρτου συντεταγμένων, τότε το ημίτονο αυτής της γωνίας είναι θετικό (αν χρειάζεται, βλέπε την ενότητα για τη θεωρία των σημείων ημιτονοειδούς, συνημιτονοειδούς, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης κατά τέταρτα). Με αυτόν τον τρόπο, .

Απάντηση:

.

Εύρεση τιμών με χρήση τριγωνομετρικών τύπων

Στις δύο προηγούμενες παραγράφους, έχουμε ήδη αρχίσει να καλύπτουμε το θέμα της εύρεσης των τιμών του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης χρησιμοποιώντας τύπους τριγωνομετρίας. Εδώ θέλουμε απλώς να πούμε ότι μερικές φορές είναι δυνατός ο υπολογισμός της απαιτούμενης τιμής μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς τύπους και γνωστές τιμές ημιτονοειδούς, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης (για παράδειγμα, για γωνίες 30, 45 και 60 μοίρες).

Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς τύπους, υπολογίζουμε την τιμή της εφαπτομένης της γωνίας pi κατά οκτώ, την οποία χρησιμοποιήσαμε στην προηγούμενη παράγραφο για να βρούμε την τιμή του ημιτόνου.

11 βαθμοί; Η ερώτηση είναι πολύ δύσκολη.

Ωστόσο, οι ακριβείς τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στην πράξη συχνά δεν είναι τόσο απαραίτητες. Οι κατά προσέγγιση τιμές με κάποιο απαιτούμενο βαθμό ακρίβειας είναι συνήθως επαρκείς. Υπάρχουν πίνακες τιμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων, από όπου μπορούμε πάντα να βρούμε την κατά προσέγγιση τιμή του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης ή της συνεφαπτομένης μιας δεδομένης γωνίας που χρειαζόμαστε. Παραδείγματα τέτοιων πινάκων είναι οι πίνακες ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων του V. M. Bradis. Αυτοί οι πίνακες περιέχουν τις τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων με ακρίβεια τεσσάρων δεκαδικών ψηφίων.

Βιβλιογραφία.

  • Αλγεβρα: Proc. για 9 κύτταρα. μέσος όρος σχολείο / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Εκδ. S. A. Telyakovsky.- M.: Διαφωτισμός, 1990.- 272 σελ.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
  • Αλγεβρακαι η αρχή της ανάλυσης: Proc. για 10-11 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn και άλλοι; Εκδ. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 σελ.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
  • Μπασμάκοφ Μ.Ι.Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης: Proc. για 10-11 κύτταρα. μέσος όρος σχολείο - 3η έκδ. - Μ.: Διαφωτισμός, 1993. - 351 σελ.: εικ. - ISBN 5-09-004617-4.
  • Gusev V. A., Mordkovich A. G.Μαθηματικά (εγχειρίδιο για υποψήφιους σε τεχνικές σχολές): Proc. επίδομα.- Μ.; Πιο ψηλά σχολείο, 1984.-351 σ., εικ.

Πίνακας τιμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Σημείωση. Αυτός ο πίνακας τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων χρησιμοποιεί το σύμβολο √ για να δηλώσει την τετραγωνική ρίζα. Για να δηλώσετε ένα κλάσμα - το σύμβολο "/".

δείτε επίσηςχρήσιμα υλικά:

Για τον προσδιορισμό της τιμής μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης, να το βρείτε στην τομή της ευθείας που δείχνει την τριγωνομετρική συνάρτηση. Για παράδειγμα, ένα ημίτονο 30 μοιρών - ψάχνουμε για μια στήλη με την επικεφαλίδα sin (sine) και βρίσκουμε την τομή αυτής της στήλης του πίνακα με τη γραμμή "30 μοίρες", στη διασταύρωση τους διαβάζουμε το αποτέλεσμα - ένα δεύτερος. Ομοίως, βρίσκουμε συνημίτονο 60βαθμούς, ημιτονο 60μοίρες (για άλλη μια φορά, στη διασταύρωση της στήλης sin (sine) και της σειράς 60 μοιρών, βρίσκουμε την τιμή sin 60 = √3/2), κ.λπ. Με τον ίδιο τρόπο, βρίσκονται οι τιμές των ημιτόνων, των συνημιτόνων και των εφαπτομένων άλλων «δημοφιλών» γωνιών.

Ημίτονο του π, συνημίτονο του π, εφαπτομένη του π και άλλες γωνίες σε ακτίνια

Ο παρακάτω πίνακας συνημίτονων, ημιτόνων και εφαπτομένων είναι επίσης κατάλληλος για την εύρεση της τιμής των τριγωνομετρικών συναρτήσεων των οποίων το όρισμα είναι δίνεται σε ακτίνια. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τη δεύτερη στήλη τιμών γωνίας. Χάρη σε αυτό, μπορείτε να μετατρέψετε την τιμή των δημοφιλών γωνιών από μοίρες σε ακτίνια. Για παράδειγμα, ας βρούμε τη γωνία των 60 μοιρών στην πρώτη γραμμή και ας διαβάσουμε την τιμή της σε ακτίνια κάτω από αυτήν. Οι 60 μοίρες είναι ίσες με π/3 ακτίνια.

Ο αριθμός pi εκφράζει μοναδικά την εξάρτηση της περιφέρειας ενός κύκλου από το μέτρο της μοίρας της γωνίας. Άρα pi ακτίνια ισούται με 180 μοίρες.

Οποιοσδήποτε αριθμός εκφράζεται σε pi (ακτίνιο) μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε μοίρες αντικαθιστώντας τον αριθμό pi (π) με 180.

Παραδείγματα:
1. sine pi.
sin π = αμαρτία 180 = 0
Έτσι, το ημίτονο του π είναι ίδιο με το ημίτονο των 180 μοιρών και ισούται με μηδέν.

2. συνημίτονο π.
cos π = cos 180 = -1
Έτσι, το συνημίτονο του pi είναι ίδιο με το συνημίτονο των 180 μοιρών και ισούται με μείον ένα.

3. Εφαπτομένη π
tg π = tg 180 = 0
Έτσι, η εφαπτομένη του pi είναι ίδια με την εφαπτομένη των 180 μοιρών και ισούται με μηδέν.

Πίνακας τιμών ημιτόνου, συνημιτόνου, εφαπτομένης για γωνίες 0 - 360 μοίρες (συχνές τιμές)

γωνία α
(βαθμοί)

γωνία α
σε ακτίνια

(μέσω pi)

 αμαρτία
(κόλπος) 		cos
(συνημίτονο) 		tg
(εφαπτομένος) 		ctg
(συνεφαπτομένη) 		δευτ
(διατέμνων) 		αιτία
(συντεμνούσα)
0 0 0 1 0 - 1 -
15 π/12 2 - √3 2 + √3
30 π/6 1/2 √3/2 1/√3 √3 2/√3 2
45 π/4 √2/2 √2/2 1 1 √2 √2
60 π/3 √3/2 1/2 √3 1/√3 2 2/√3
75 5π/12 2 + √3 2 - √3
90 π/2 1 0 - 0 - 1
105 7π/12 -
 - 2 - √3 √3 - 2
120 2π/3 √3/2 -1/2 -√3 -√3/3
135 3π/4 √2/2 -√2/2 -1 -1 -√2 √2
150 5π/6 1/2 -√3/2 -√3/3 -√3
180 π 0 -1 0 - -1 -
210 7π/6 -1/2 -√3/2 √3/3 √3
240 4π/3 -√3/2 -1/2 √3 √3/3
270 3π/2 -1 0 - 0 - -1
360 2π 0 1 0 - 1 -

Εάν στον πίνακα τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, αντί για την τιμή της συνάρτησης, εμφανίζεται μια παύλα (εφαπτομένη (tg) 90 μοίρες, συνεφαπτομένη (ctg) 180 μοίρες), τότε για μια δεδομένη τιμή του μέτρου του βαθμού η γωνία, η συνάρτηση δεν έχει καθορισμένη τιμή. Εάν δεν υπάρχει παύλα, το κελί είναι κενό, επομένως δεν έχουμε εισαγάγει ακόμα την επιθυμητή τιμή. Μας ενδιαφέρει για ποια αιτήματα έρχονται οι χρήστες σε εμάς και συμπληρώνουν τον πίνακα με νέες τιμές, παρά το γεγονός ότι τα τρέχοντα δεδομένα για τις τιμές των συνημιτόνων, των ημιτόνων και των εφαπτομένων των πιο κοινών τιμών γωνίας είναι αρκετά για να λύσουν τα περισσότερα προβλήματα.

Πίνακας τιμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων sin, cos, tg για τις πιο δημοφιλείς γωνίες
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 μοίρες
(αριθμητικές τιμές "σύμφωνα με τους πίνακες Bradis")

τιμή γωνίας α (μοίρες) τιμή της γωνίας α σε ακτίνια αμαρτία (sine) cos (συνημίτονο) tg (εφαπτομένη) ctg (συνεφαπτομένη)
0 0
15

0,2588

0,9659

0,2679

30

0,5000

0,5774

45

0,7071

0,7660

60

0,8660

0,5000

1,7321

7π/18

Με απλά λόγια, πρόκειται για λαχανικά μαγειρεμένα σε νερό σύμφωνα με ειδική συνταγή. Θα εξετάσω δύο αρχικά συστατικά (σαλάτα λαχανικών και νερό) και το τελικό αποτέλεσμα - μπορς. Γεωμετρικά, αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα ορθογώνιο στο οποίο η μία πλευρά δηλώνει μαρούλι, η άλλη πλευρά σημαίνει νερό. Το άθροισμα αυτών των δύο πλευρών θα δηλώνει μπορς. Η διαγώνιος και το εμβαδόν ενός τέτοιου ορθογωνίου "μπορς" είναι καθαρά μαθηματικές έννοιες και δεν χρησιμοποιούνται ποτέ σε συνταγές με μπορς.


Πώς το μαρούλι και το νερό μετατρέπονται σε μπορς όσον αφορά τα μαθηματικά; Πώς μπορεί το άθροισμα δύο τμημάτων να μετατραπεί σε τριγωνομετρία; Για να το καταλάβουμε αυτό, χρειαζόμαστε συναρτήσεις γραμμικής γωνίας.


Δεν θα βρείτε τίποτα για τις συναρτήσεις γραμμικής γωνίας στα σχολικά βιβλία μαθηματικών. Αλλά χωρίς αυτά δεν μπορούν να υπάρξουν μαθηματικά. Οι νόμοι των μαθηματικών, όπως και οι νόμοι της φύσης, λειτουργούν είτε γνωρίζουμε ότι υπάρχουν είτε όχι.

Οι γραμμικές γωνιακές συναρτήσεις είναι οι νόμοι της πρόσθεσης.Δείτε πώς η άλγεβρα μετατρέπεται σε γεωμετρία και η γεωμετρία σε τριγωνομετρία.

Είναι δυνατόν να γίνει χωρίς γραμμικές γωνιακές συναρτήσεις; Μπορείς, γιατί οι μαθηματικοί εξακολουθούν να τα καταφέρνουν χωρίς αυτούς. Το κόλπο των μαθηματικών έγκειται στο γεγονός ότι πάντα μας λένε μόνο για εκείνα τα προβλήματα που μπορούν να λύσουν οι ίδιοι και ποτέ δεν μας λένε για εκείνα τα προβλήματα που δεν μπορούν να λύσουν. Βλέπω. Αν γνωρίζουμε το αποτέλεσμα της πρόσθεσης και ενός όρου, χρησιμοποιούμε την αφαίρεση για να βρούμε τον άλλο όρο. Τα παντα. Δεν γνωρίζουμε άλλα προβλήματα και δεν είμαστε σε θέση να τα λύσουμε. Τι να κάνουμε αν γνωρίζουμε μόνο το αποτέλεσμα της πρόσθεσης και δεν γνωρίζουμε και τους δύο όρους; Σε αυτή την περίπτωση, το αποτέλεσμα της πρόσθεσης πρέπει να αποσυντεθεί σε δύο όρους χρησιμοποιώντας γραμμικές γωνιακές συναρτήσεις. Επιπλέον, εμείς οι ίδιοι επιλέγουμε ποιος μπορεί να είναι ένας όρος και οι γραμμικές γωνιακές συναρτήσεις δείχνουν ποιος πρέπει να είναι ο δεύτερος όρος προκειμένου το αποτέλεσμα της πρόσθεσης να είναι ακριβώς αυτό που χρειαζόμαστε. Μπορεί να υπάρχει άπειρος αριθμός τέτοιων ζευγών όρων. Στην καθημερινή ζωή τα πάμε πολύ καλά χωρίς να αποσυνθέσουμε το άθροισμα· μας αρκεί η αφαίρεση. Αλλά στις επιστημονικές μελέτες των νόμων της φύσης, η επέκταση του αθροίσματος σε όρους μπορεί να είναι πολύ χρήσιμη.

Ένας άλλος νόμος της πρόσθεσης για τον οποίο οι μαθηματικοί δεν αρέσει να μιλούν (άλλο ένα κόλπο τους) απαιτεί οι όροι να έχουν την ίδια μονάδα μέτρησης. Για το μαρούλι, το νερό και το μπορς, αυτά μπορεί να είναι μονάδες βάρους, όγκου, κόστους ή μονάδας μέτρησης.

Το σχήμα δείχνει δύο επίπεδα διαφοράς για τα μαθηματικά. Το πρώτο επίπεδο είναι οι διαφορές στο πεδίο των αριθμών, οι οποίες υποδεικνύονται ένα, σι, ντο. Αυτό κάνουν οι μαθηματικοί. Το δεύτερο επίπεδο είναι οι διαφορές στην περιοχή των μονάδων μέτρησης, οι οποίες εμφανίζονται σε αγκύλες και υποδεικνύονται με το γράμμα U. Αυτό κάνουν οι φυσικοί. Μπορούμε να κατανοήσουμε το τρίτο επίπεδο - τις διαφορές στο εύρος των περιγραφόμενων αντικειμένων. Διαφορετικά αντικείμενα μπορεί να έχουν τον ίδιο αριθμό ίδιων μονάδων μέτρησης. Πόσο σημαντικό είναι αυτό, μπορούμε να το δούμε στο παράδειγμα της τριγωνομετρίας μπορς. Αν προσθέσουμε δείκτες στον ίδιο συμβολισμό για τις μονάδες μέτρησης διαφορετικών αντικειμένων, μπορούμε να πούμε ακριβώς ποια μαθηματική ποσότητα περιγράφει ένα συγκεκριμένο αντικείμενο και πώς αλλάζει με την πάροδο του χρόνου ή σε σχέση με τις ενέργειές μας. γράμμα WΘα σημαδέψω το νερό με το γράμμα μικρόΘα σημαδέψω τη σαλάτα με το γράμμα σι- μπορς. Δείτε πώς θα φαίνονται οι συναρτήσεις γραμμικής γωνίας για το μπορς.

Αν πάρουμε λίγο από το νερό και λίγο από τη σαλάτα, μαζί θα γίνουν μια μερίδα μπορς. Εδώ σας προτείνω να κάνετε ένα μικρό διάλειμμα από το μπορς και να θυμηθείτε τα μακρινά παιδικά σας χρόνια. Θυμάστε πώς μας έμαθαν να βάζουμε κουνελάκια και πάπιες μαζί; Ήταν απαραίτητο να βρούμε πόσα ζώα θα βγουν. Τότε τι μας έμαθαν να κάνουμε; Μας έμαθαν να διαχωρίζουμε τις μονάδες από τους αριθμούς και να προσθέτουμε αριθμούς. Ναι, οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να προστεθεί σε οποιονδήποτε άλλο αριθμό. Αυτός είναι ένας άμεσος δρόμος προς τον αυτισμό των σύγχρονων μαθηματικών - δεν καταλαβαίνουμε τι, δεν είναι ξεκάθαρο γιατί, και καταλαβαίνουμε πολύ άσχημα πώς αυτό σχετίζεται με την πραγματικότητα, λόγω των τριών επιπέδων διαφοράς, οι μαθηματικοί λειτουργούν μόνο σε ένα. Θα είναι πιο σωστό να μάθετε πώς να μετακινηθείτε από τη μια μονάδα μέτρησης στην άλλη.

Και τα κουνελάκια, και οι πάπιες και τα ζωάκια μπορούν να μετρηθούν σε κομμάτια. Μια κοινή μονάδα μέτρησης για διαφορετικά αντικείμενα μας επιτρέπει να τα προσθέσουμε μαζί. Αυτή είναι μια παιδική εκδοχή του προβλήματος. Ας δούμε ένα παρόμοιο πρόβλημα για ενήλικες. Τι κερδίζετε όταν προσθέτετε κουνελάκια και χρήματα; Υπάρχουν δύο πιθανές λύσεις εδώ.

Πρώτη επιλογή. Καθορίζουμε την αγοραία αξία των κουνελιών και την προσθέτουμε στα διαθέσιμα μετρητά. Πήραμε τη συνολική αξία του πλούτου μας σε χρήματα.

Δεύτερη επιλογή. Μπορείτε να προσθέσετε τον αριθμό των κουνελιών στον αριθμό των τραπεζογραμματίων που έχουμε. Θα πάρουμε το ποσό της κινητής περιουσίας σε κομμάτια.

Όπως μπορείτε να δείτε, ο ίδιος νόμος πρόσθεσης σας επιτρέπει να έχετε διαφορετικά αποτελέσματα. Όλα εξαρτώνται από το τι ακριβώς θέλουμε να μάθουμε.

Αλλά πίσω στο μπορς μας. Τώρα μπορούμε να δούμε τι συμβαίνει πότε διαφορετικές έννοιεςγωνία γραμμικών γωνιακών συναρτήσεων.

Η γωνία είναι μηδέν. Έχουμε σαλάτα αλλά όχι νερό. Δεν μπορούμε να μαγειρέψουμε μπορς. Η ποσότητα του μπορς είναι επίσης μηδενική. Αυτό δεν σημαίνει καθόλου ότι το μηδέν μπορς είναι ίσο με μηδέν νερό. Το μηδέν μπορς μπορεί επίσης να είναι σε μηδενική σαλάτα (ορθή γωνία).


Για μένα προσωπικά, αυτή είναι η κύρια μαθηματική απόδειξη του γεγονότος ότι . Το μηδέν δεν αλλάζει τον αριθμό όταν προστίθεται. Αυτό συμβαίνει επειδή η ίδια η προσθήκη είναι αδύνατη εάν υπάρχει μόνο ένας όρος και ο δεύτερος λείπει. Μπορείτε να το αντιμετωπίσετε όπως θέλετε, αλλά να θυμάστε - τα πάντα μαθηματικές πράξειςΟι ίδιοι οι μαθηματικοί βρήκαν το μηδέν, οπότε πετάξτε τη λογική σας και στριμώξτε βλακωδώς τους ορισμούς που επινοούν οι μαθηματικοί: «η διαίρεση με το μηδέν είναι αδύνατη», «οποιοσδήποτε αριθμός πολλαπλασιαζόμενος με το μηδέν ισούται με μηδέν», «πίσω από το σημείο μηδέν» και άλλες ανοησίες. Αρκεί να θυμάστε μια φορά ότι το μηδέν δεν είναι αριθμός και δεν θα έχετε ποτέ την ερώτηση αν το μηδέν είναι φυσικός αριθμός ή όχι, γιατί μια τέτοια ερώτηση γενικά χάνει κάθε νόημα: πώς μπορεί κανείς να θεωρήσει έναν αριθμό που δεν είναι αριθμός . Είναι σαν να ρωτάς σε ποιο χρώμα να αποδώσεις ένα αόρατο χρώμα. Η προσθήκη μηδέν σε έναν αριθμό είναι σαν να ζωγραφίζεις με μπογιά που δεν υπάρχει. Κουνούσαν ένα στεγνό πινέλο και λένε σε όλους ότι «χρωματίσαμε». Αλλά ξεφεύγω λίγο.

Η γωνία είναι μεγαλύτερη από το μηδέν αλλά μικρότερη από σαράντα πέντε μοίρες. Έχουμε πολλά μαρούλια, αλλά λίγο νερό. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ένα παχύ μπορς.

Η γωνία είναι σαράντα πέντε μοίρες. Έχουμε ίσες ποσότητες νερού και μαρούλι. Αυτό είναι το τέλειο μπορς (να με συγχωρέσουν οι μάγειρες, είναι απλά μαθηματικά).

Η γωνία είναι μεγαλύτερη από σαράντα πέντε μοίρες αλλά μικρότερη από ενενήντα μοίρες. Έχουμε πολύ νερό και λίγο μαρούλι. Πάρτε υγρό μπορς.

Ορθή γωνία. Έχουμε νερό. Απομένουν μόνο αναμνήσεις από το μαρούλι, καθώς συνεχίζουμε να μετράμε τη γωνία από τη γραμμή που κάποτε χαρακτήριζε το μαρούλι. Δεν μπορούμε να μαγειρέψουμε μπορς. Η ποσότητα του μπορς είναι μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση, κρατηθείτε και πιείτε νερό όσο είναι διαθέσιμο)))

Εδώ. Κάτι σαν αυτό. Μπορώ να πω άλλες ιστορίες εδώ που θα είναι περισσότερο από κατάλληλες εδώ.

Οι δύο φίλοι είχαν τις μετοχές τους στην κοινή επιχείρηση. Μετά τη δολοφονία του ενός, όλα πήγαν στον άλλον.

Η εμφάνιση των μαθηματικών στον πλανήτη μας.

Όλες αυτές οι ιστορίες λέγονται στη γλώσσα των μαθηματικών χρησιμοποιώντας γραμμικές γωνιακές συναρτήσεις. Κάποια άλλη φορά θα σας δείξω την πραγματική θέση αυτών των συναρτήσεων στη δομή των μαθηματικών. Στο μεταξύ, ας επιστρέψουμε στην τριγωνομετρία του μπορς και ας εξετάσουμε τις προβολές.

Σάββατο 26 Οκτωβρίου 2019

Είδα ένα ενδιαφέρον βίντεο σχετικά με Η σειρά του Grandi Ένα μείον ένα συν ένα μείον ένα - Numberphile. Οι μαθηματικοί λένε ψέματα. Δεν έκαναν τεστ ισότητας στο σκεπτικό τους.

Αυτό αντηχεί με το σκεπτικό μου για το .

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στα σημάδια ότι οι μαθηματικοί μας απατούν. Στην αρχή του συλλογισμού, οι μαθηματικοί λένε ότι το άθροισμα της ακολουθίας ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ από το αν ο αριθμός των στοιχείων σε αυτήν είναι ζυγός ή όχι. Αυτό είναι ένα ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΑ ΤΕΚΜΕΝΟ ΓΕΓΟΝΟΣ. Τι συμβαίνει μετά?

Στη συνέχεια, οι μαθηματικοί αφαιρούν την ακολουθία από την ενότητα. Σε τι οδηγεί αυτό; Αυτό οδηγεί σε αλλαγή στον αριθμό των στοιχείων της ακολουθίας - ένας ζυγός αριθμός αλλάζει σε περιττό, ένας περιττός αριθμός αλλάζει σε ζυγό. Μετά από όλα, έχουμε προσθέσει ένα στοιχείο ίσο με ένα στην ακολουθία. Παρ' όλη την εξωτερική ομοιότητα, η ακολουθία πριν από τον μετασχηματισμό δεν είναι ίση με την ακολουθία μετά τον μετασχηματισμό. Ακόμα κι αν μιλάμε για άπειρη ακολουθία, πρέπει να θυμόμαστε ότι μια άπειρη ακολουθία με περιττό αριθμό στοιχείων δεν είναι ίση με μια άπειρη ακολουθία με ζυγό αριθμό στοιχείων.

Βάζοντας ένα πρόσημο ίσου μεταξύ δύο ακολουθιών διαφορετικών ως προς τον αριθμό των στοιχείων, οι μαθηματικοί ισχυρίζονται ότι το άθροισμα της ακολουθίας ΔΕΝ ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ από τον αριθμό των στοιχείων της ακολουθίας, κάτι που έρχεται σε αντίθεση με ένα ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΑ ΤΕΚΜΕΝΟ ΓΕΓΟΝΟΣ. Περαιτέρω συλλογισμός σχετικά με το άθροισμα μιας άπειρης ακολουθίας είναι ψευδής, επειδή βασίζεται σε μια ψευδή ισότητα.

Αν δείτε ότι οι μαθηματικοί τοποθετούν αγκύλες στην πορεία των αποδείξεων, αναδιατάσσουν τα στοιχεία μιας μαθηματικής έκφρασης, προσθέτουν ή αφαιρούν κάτι, να είστε πολύ προσεκτικοί, πιθανότατα προσπαθούν να σας εξαπατήσουν. Όπως οι μάγοι καρτών, οι μαθηματικοί αποσπούν την προσοχή σας με διάφορους χειρισμούς έκφρασης για να σας γλιστρήσουν τελικά ψευδές αποτέλεσμα. Εάν δεν μπορείτε να επαναλάβετε το κόλπο της κάρτας χωρίς να γνωρίζετε το μυστικό της εξαπάτησης, τότε στα μαθηματικά όλα είναι πολύ πιο απλά: δεν υποψιάζεστε καν τίποτα για την εξαπάτηση, αλλά η επανάληψη όλων των χειρισμών με μια μαθηματική έκφραση σας επιτρέπει να πείσετε τους άλλους για το ορθότητα του αποτελέσματος, όπως όταν σε έπεισε.

Ερώτηση από το κοινό: Και το άπειρο (όπως ο αριθμός των στοιχείων στην ακολουθία S), είναι ζυγό ή περιττό; Πώς μπορείς να αλλάξεις την ισοτιμία σε κάτι που δεν έχει ισοτιμία;

Το άπειρο για τους μαθηματικούς είναι σαν το βασίλειο των ουρανών για τους ιερείς - κανείς δεν έχει πάει ποτέ εκεί, αλλά όλοι ξέρουν ακριβώς πώς λειτουργούν όλα εκεί))) Συμφωνώ, μετά το θάνατο θα αδιαφορείς για το αν ζήσατε ζυγό ή μονό αριθμό ημερών , αλλά... Προσθέτοντας μόνο μία μέρα στην αρχή της ζωής σας, θα έχουμε ένα εντελώς διαφορετικό άτομο: το επώνυμο, το όνομα και το πατρώνυμο του είναι ακριβώς τα ίδια, μόνο η ημερομηνία γέννησης είναι εντελώς διαφορετική - γεννήθηκε ένα μέρα πριν από εσάς.

Και τώρα στο θέμα))) Ας υποθέσουμε ότι μια πεπερασμένη ακολουθία που έχει ισοτιμία χάνει αυτήν την ισοτιμία όταν πηγαίνει στο άπειρο. Τότε κάθε πεπερασμένο τμήμα μιας άπειρης ακολουθίας πρέπει επίσης να χάσει την ισοτιμία. Δεν το παρατηρούμε αυτό. Το γεγονός ότι δεν μπορούμε να πούμε με βεβαιότητα αν ο αριθμός των στοιχείων σε μια άπειρη ακολουθία είναι άρτιος ή περιττός δεν σημαίνει καθόλου ότι η ισοτιμία έχει εξαφανιστεί. Η ισοτιμία, αν υπάρχει, δεν μπορεί να εξαφανιστεί στο άπειρο χωρίς ίχνος, όπως στο μανίκι ενός αιχμηρού φύλλου. Υπάρχει μια πολύ καλή αναλογία για αυτή την περίπτωση.

Έχετε ρωτήσει ποτέ έναν κούκο που κάθεται σε ένα ρολόι προς ποια κατεύθυνση περιστρέφεται ο δείκτης του ρολογιού; Για αυτήν, το βέλος περιστρέφεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από αυτό που λέμε "δεξιόστροφα". Μπορεί να ακούγεται παράδοξο, αλλά η φορά περιστροφής εξαρτάται αποκλειστικά από ποια πλευρά παρατηρούμε την περιστροφή. Και έτσι, έχουμε έναν τροχό που περιστρέφεται. Δεν μπορούμε να πούμε σε ποια κατεύθυνση συμβαίνει η περιστροφή, αφού μπορούμε να την παρατηρήσουμε τόσο από τη μία πλευρά του επιπέδου περιστροφής όσο και από την άλλη. Μπορούμε μόνο να καταθέσουμε το γεγονός ότι υπάρχει εναλλαγή. Πλήρης αναλογία με την ισοτιμία μιας άπειρης ακολουθίας μικρό.

Τώρα ας προσθέσουμε έναν δεύτερο περιστρεφόμενο τροχό, το επίπεδο περιστροφής του οποίου είναι παράλληλο με το επίπεδο περιστροφής του πρώτου περιστρεφόμενου τροχού. Ακόμα δεν μπορούμε να πούμε ακριβώς ποια κατεύθυνση περιστρέφονται αυτοί οι τροχοί, αλλά μπορούμε να πούμε με απόλυτη βεβαιότητα εάν και οι δύο τροχοί περιστρέφονται προς την ίδια κατεύθυνση ή προς αντίθετες κατευθύνσεις. Συγκρίνοντας δύο άπειρες ακολουθίες μικρόκαι 1-S, έδειξα με τη βοήθεια των μαθηματικών ότι αυτές οι ακολουθίες έχουν διαφορετική ισοτιμία και το να βάλεις ίσο μεταξύ τους είναι λάθος. Προσωπικά, πιστεύω στα μαθηματικά, δεν εμπιστεύομαι τους μαθηματικούς))) Παρεμπιπτόντως, για να κατανοήσουμε πλήρως τη γεωμετρία των μετασχηματισμών άπειρων ακολουθιών, είναι απαραίτητο να εισαγάγουμε την έννοια "συγχρονισμός". Αυτό θα πρέπει να σχεδιαστεί.

Τετάρτη 7 Αυγούστου 2019

Ολοκληρώνοντας τη συζήτηση για το , πρέπει να εξετάσουμε ένα άπειρο σύνολο. Δεδομένου ότι η έννοια του «άπειρου» δρα στους μαθηματικούς, όπως ο βόας σε ένα κουνέλι. Η τρέμουσα φρίκη του απείρου στερεί από τους μαθηματικούς την κοινή λογική. Εδώ είναι ένα παράδειγμα:

Η αρχική πηγή βρίσκεται. Το άλφα δηλώνει έναν πραγματικό αριθμό. Το πρόσημο ίσου στις παραπάνω εκφράσεις δείχνει ότι αν προσθέσετε έναν αριθμό ή άπειρο στο άπειρο, τίποτα δεν θα αλλάξει, το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο άπειρο. Αν πάρουμε ένα άπειρο σύνολο φυσικών αριθμών ως παράδειγμα, τότε τα εξεταζόμενα παραδείγματα μπορούν να αναπαρασταθούν ως εξής:

Για να αποδείξουν οπτικά την υπόθεσή τους, οι μαθηματικοί έχουν βρει πολλές διαφορετικές μεθόδους. Προσωπικά, βλέπω όλες αυτές τις μεθόδους σαν τους χορούς των σαμάνων με τα ντέφια. Ουσιαστικά, όλοι καταλήγουν στο γεγονός ότι είτε κάποια από τα δωμάτια δεν είναι κατειλημμένα και εγκαθίστανται νέοι επισκέπτες, είτε ότι κάποιοι από τους επισκέπτες πετιούνται στο διάδρομο για να κάνουν χώρο για τους καλεσμένους (πολύ ανθρώπινα). Παρουσίασα την άποψή μου για τέτοιες αποφάσεις με τη μορφή μιας φανταστικής ιστορίας για την Ξανθιά. Σε τι βασίζεται το σκεπτικό μου; Η μετακίνηση ενός άπειρου αριθμού επισκεπτών απαιτεί άπειρο χρόνο. Αφού αδειάσουμε το πρώτο δωμάτιο επισκεπτών, ένας από τους επισκέπτες θα περπατά πάντα κατά μήκος του διαδρόμου από το δωμάτιό του στο επόμενο μέχρι το τέλος του χρόνου. Φυσικά, ο παράγοντας χρόνος μπορεί να αγνοηθεί βλακωδώς, αλλά αυτό θα είναι ήδη από την κατηγορία του «ο νόμος δεν είναι γραμμένος για ανόητους». Όλα εξαρτώνται από το τι κάνουμε: προσαρμογή της πραγματικότητας στις μαθηματικές θεωρίες ή το αντίστροφο.

Τι είναι ένα «άπειρο ξενοδοχείο»; Το Infinite Hotel είναι ένα ξενοδοχείο που έχει πάντα οποιονδήποτε αριθμό ελεύθερες θέσεις, ανεξάρτητα από το πόσα δωμάτια είναι κατειλημμένα. Αν όλα τα δωμάτια στον ατελείωτο διάδρομο «για επισκέπτες» είναι κατειλημμένα, υπάρχει ένας άλλος ατελείωτος διάδρομος με δωμάτια για «καλεσμένους». Θα υπάρχει άπειρος αριθμός τέτοιων διαδρόμων. Ταυτόχρονα, το «άπειρο ξενοδοχείο» έχει άπειρους ορόφους σε άπειρο αριθμό κτιρίων σε άπειρο αριθμό πλανητών σε άπειρα σύμπαντα που δημιουργήθηκαν από ένα ατελείωτο ποσόΘεοί. Οι μαθηματικοί, από την άλλη, δεν μπορούν να απομακρυνθούν από τα κοινά καθημερινά προβλήματα: ο Θεός-Αλλάχ-Βούδας είναι πάντα μόνο ένας, το ξενοδοχείο είναι ένα, ο διάδρομος είναι μόνο ένας. Έτσι, οι μαθηματικοί προσπαθούν να κάνουν ταχυδακτυλουργικά τους σειριακούς αριθμούς των δωματίων του ξενοδοχείου, πείθοντάς μας ότι είναι δυνατό να «σπρώξουμε το ασπρώξιμο».

Θα σας δείξω τη λογική του συλλογισμού μου χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός άπειρου συνόλου φυσικών αριθμών. Πρώτα πρέπει να απαντήσετε σε μια πολύ απλή ερώτηση: πόσα σύνολα φυσικών αριθμών υπάρχουν - ένα ή πολλά; Δεν υπάρχει σωστή απάντηση σε αυτή την ερώτηση, αφού εμείς οι ίδιοι εφεύραμε τους αριθμούς, δεν υπάρχουν αριθμοί στη Φύση. Ναι, η φύση ξέρει να μετράει τέλεια, αλλά για αυτό χρησιμοποιεί άλλα μαθηματικά εργαλεία που δεν μας είναι οικεία. Όπως νομίζει η Φύση, θα σας το πω άλλη φορά. Εφόσον εφεύραμε τους αριθμούς, εμείς οι ίδιοι θα αποφασίσουμε πόσα σύνολα φυσικών αριθμών υπάρχουν. Εξετάστε και τις δύο επιλογές, όπως αρμόζει σε έναν πραγματικό επιστήμονα.

Επιλογή μία. «Ας μας δοθεί» ένα ενιαίο σύνολο φυσικών αριθμών, που βρίσκεται γαλήνια σε ένα ράφι. Παίρνουμε αυτό το σετ από το ράφι. Αυτό ήταν, δεν έχουν μείνει άλλοι φυσικοί αριθμοί στο ράφι και δεν υπάρχει που να τους πάρεις. Δεν μπορούμε να προσθέσουμε ένα σε αυτό το σύνολο, αφού το έχουμε ήδη. Τι γίνεται αν το θέλεις πραγματικά; Κανένα πρόβλημα. Μπορούμε να πάρουμε μια μονάδα από το σετ που έχουμε ήδη πάρει και να την επιστρέψουμε στο ράφι. Μετά από αυτό, μπορούμε να πάρουμε μια μονάδα από το ράφι και να την προσθέσουμε σε ότι μας έχει απομείνει. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε και πάλι ένα άπειρο σύνολο φυσικών αριθμών. Μπορείτε να γράψετε όλους τους χειρισμούς μας ως εξής:

Έχω σημειώσει τις πράξεις στην αλγεβρική σημειογραφία και στη σημειογραφία της θεωρίας συνόλων, παραθέτοντας λεπτομερώς τα στοιχεία του συνόλου. Ο δείκτης υποδεικνύει ότι έχουμε ένα και μοναδικό σύνολο φυσικών αριθμών. Αποδεικνύεται ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών θα παραμείνει αμετάβλητο μόνο αν αφαιρεθεί ένας από αυτό και προστεθεί ο ίδιος.

Επιλογή δύο. Έχουμε πολλά διαφορετικά άπειρα σύνολα φυσικών αριθμών στο ράφι. Τονίζω - ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ, παρά το γεγονός ότι πρακτικά δεν διακρίνονται. Παίρνουμε ένα από αυτά τα σετ. Στη συνέχεια παίρνουμε έναν από ένα άλλο σύνολο φυσικών αριθμών και τον προσθέτουμε στο σύνολο που έχουμε ήδη πάρει. Μπορούμε ακόμη να προσθέσουμε δύο σύνολα φυσικών αριθμών. Να τι παίρνουμε:

Οι δείκτες "ένα" και "δύο" υποδεικνύουν ότι αυτά τα στοιχεία ανήκαν σε διαφορετικά σύνολα. Ναι, αν προσθέσετε ένα σε ένα άπειρο σύνολο, το αποτέλεσμα θα είναι επίσης ένα άπειρο σύνολο, αλλά δεν θα είναι το ίδιο με το αρχικό σύνολο. Εάν ένα άπειρο σύνολο προστεθεί σε ένα άλλο άπειρο σύνολο, το αποτέλεσμα είναι ένα νέο άπειρο σύνολο που αποτελείται από τα στοιχεία των δύο πρώτων συνόλων.

Το σύνολο των φυσικών αριθμών χρησιμοποιείται για μέτρηση με τον ίδιο τρόπο όπως ένας χάρακας για μετρήσεις. Τώρα φανταστείτε ότι έχετε προσθέσει ένα εκατοστό στον χάρακα. Αυτή θα είναι ήδη μια διαφορετική γραμμή, όχι ίση με την αρχική.

Μπορείτε να αποδεχτείτε ή να μην αποδεχτείτε το σκεπτικό μου - αυτό είναι δική σας υπόθεση. Αν όμως συναντήσετε ποτέ μαθηματικά προβλήματα, σκεφτείτε αν βρίσκεστε στο μονοπάτι της ψευδούς συλλογιστικής, που την έχουν πατήσει γενιές μαθηματικών. Άλλωστε, τα μαθήματα των μαθηματικών, πρώτα απ 'όλα, σχηματίζουν ένα σταθερό στερεότυπο σκέψης μέσα μας και μόνο τότε μας προσθέτουν νοητικές ικανότητες (ή το αντίστροφο, μας στερούν την ελεύθερη σκέψη).

pozg.ru

Κυριακή 4 Αυγούστου 2019

Έγραφα ένα υστερόγραφο σε ένα άρθρο και είδα αυτό το υπέροχο κείμενο στη Wikipedia:

Διαβάζουμε: «... η πλούσια θεωρητική βάση των μαθηματικών της Βαβυλώνας δεν είχε ολιστικό χαρακτήρα και περιορίστηκε σε ένα σύνολο ετερόκλητων τεχνικών, χωρίς κοινό σύστημα και βάση στοιχείων».

Ουάου! Πόσο έξυπνοι είμαστε και πόσο καλά μπορούμε να δούμε τις ελλείψεις των άλλων. Είναι αδύναμο για εμάς να δούμε τα σύγχρονα μαθηματικά στο ίδιο πλαίσιο; Παραφράζοντας ελαφρώς το παραπάνω κείμενο, προσωπικά πήρα το εξής:

Η πλούσια θεωρητική βάση των σύγχρονων μαθηματικών δεν έχει ολιστικό χαρακτήρα και περιορίζεται σε ένα σύνολο ανόμοιων τμημάτων, χωρίς κοινό σύστημα και αποδεικτική βάση.

Δεν θα πάω μακριά για να επιβεβαιώσω τα λόγια μου - έχει μια γλώσσα και σύμβολα που είναι διαφορετικά από τη γλώσσα και σύμβολαπολλούς άλλους κλάδους των μαθηματικών. Τα ίδια ονόματα σε διαφορετικούς κλάδους των μαθηματικών μπορεί να έχουν διαφορετική σημασία. Θέλω να αφιερώσω έναν ολόκληρο κύκλο δημοσιεύσεων στις πιο προφανείς γκάφες των σύγχρονων μαθηματικών. Τα λέμε σύντομα.

Σάββατο 3 Αυγούστου 2019

Πώς να χωρίσετε ένα σύνολο σε υποσύνολα; Για να γίνει αυτό, πρέπει να εισαγάγετε μια νέα μονάδα μέτρησης, η οποία υπάρχει σε ορισμένα από τα στοιχεία του επιλεγμένου συνόλου. Εξετάστε ένα παράδειγμα.

Μακάρι να έχουμε πολλούς ΑΛΛΑπου αποτελείται από τέσσερα άτομα. Αυτό το σύνολο σχηματίζεται με βάση τα "άνθρωποι" Ας ορίσουμε τα στοιχεία αυτού του συνόλου μέσω του γράμματος ένα, ο δείκτης με ένα ψηφίο θα δείχνει σε σειριακός αριθμόςκάθε άτομο σε αυτό το σετ. Ας εισαγάγουμε μια νέα μονάδα μέτρησης «σεξουαλικό χαρακτηριστικό» και ας το υποδηλώσουμε με το γράμμα σι. Δεδομένου ότι τα σεξουαλικά χαρακτηριστικά είναι εγγενή σε όλους τους ανθρώπους, πολλαπλασιάζουμε κάθε στοιχείο του συνόλου ΑΛΛΑγια το φύλο σι. Παρατηρήστε ότι το σετ "άνθρωποι" μας έχει γίνει πλέον το σετ "άτομα με φύλο". Μετά από αυτό, μπορούμε να χωρίσουμε τα σεξουαλικά χαρακτηριστικά σε αρσενικά bmκαι γυναικεία bwχαρακτηριστικά του φύλου. Τώρα μπορούμε να εφαρμόσουμε ένα μαθηματικό φίλτρο: επιλέγουμε ένα από αυτά τα σεξουαλικά χαρακτηριστικά, δεν έχει σημασία ποιο είναι αρσενικό ή θηλυκό. Αν υπάρχει σε ένα άτομο, τότε το πολλαπλασιάζουμε με ένα, αν δεν υπάρχει τέτοιο ζώδιο, το πολλαπλασιάζουμε με το μηδέν. Και μετά εφαρμόζουμε τα συνηθισμένα σχολικά μαθηματικά. Δείτε τι έγινε.

Μετά τον πολλαπλασιασμό, τις αναγωγές και τις ανακατατάξεις, έχουμε δύο υποσύνολα: το αρσενικό υποσύνολο bmκαι ένα υποσύνολο γυναικών bw. Περίπου με τον ίδιο τρόπο συλλογίζονται οι μαθηματικοί όταν εφαρμόζουν τη θεωρία συνόλων στην πράξη. Αλλά δεν μας αφήνουν να μπούμε στις λεπτομέρειες, αλλά μας δίνουν το τελικό αποτέλεσμα - «πολλοί άνθρωποι αποτελούνται από ένα υποσύνολο ανδρών και ένα υποσύνολο γυναικών». Φυσικά, μπορεί να έχετε μια ερώτηση, πόσο σωστά εφαρμόστηκαν τα μαθηματικά στους παραπάνω μετασχηματισμούς; Τολμώ να σας διαβεβαιώσω ότι στην πραγματικότητα οι μετασχηματισμοί γίνονται σωστά, αρκεί να γνωρίζουμε τη μαθηματική αιτιολόγηση της αριθμητικής, της άλγεβρας Boole και άλλων τμημάτων των μαθηματικών. Τι είναι? Κάποια άλλη φορά θα σας το πω.

Όσον αφορά τα υπερσύνολα, είναι δυνατό να συνδυαστούν δύο σύνολα σε ένα υπερσύνολο επιλέγοντας μια μονάδα μέτρησης που υπάρχει στα στοιχεία αυτών των δύο συνόλων.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι μονάδες μέτρησης και τα κοινά μαθηματικά κάνουν τη θεωρία συνόλων παρελθόν. Ένα σημάδι ότι δεν πάνε όλα καλά με τη θεωρία συνόλων είναι ότι οι μαθηματικοί έχουν βρει τη δική τους γλώσσα και σημειογραφία για τη θεωρία συνόλων. Οι μαθηματικοί έκαναν ό,τι έκαναν κάποτε οι σαμάνοι. Μόνο οι σαμάνοι ξέρουν να εφαρμόζουν «σωστά» τη «γνώση» τους. Αυτή τη «γνώση» μας διδάσκουν.

Εν κατακλείδι, θέλω να σας δείξω πώς χειραγωγούν οι μαθηματικοί
Ας πούμε ότι ο Αχιλλέας τρέχει δέκα φορές πιο γρήγορα από τη χελώνα και είναι χίλια βήματα πίσω από αυτήν. Κατά τη διάρκεια του χρόνου που ο Αχιλλέας τρέχει αυτή την απόσταση, η χελώνα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Όταν ο Αχιλλέας έχει τρέξει εκατό βήματα, η χελώνα θα σέρνεται άλλα δέκα βήματα, και ούτω καθεξής. Η διαδικασία θα συνεχιστεί επ' αόριστον, ο Αχιλλέας δεν θα προλάβει ποτέ τη χελώνα.

Αυτό το σκεπτικό έγινε ένα λογικό σοκ για όλες τις επόμενες γενιές. Ο Αριστοτέλης, ο Διογένης, ο Καντ, ο Χέγκελ, ο Γκίλμπερτ... Όλοι αυτοί, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, θεωρούσαν τις απορίας του Ζήνωνα. Το σοκ ήταν τόσο δυνατό που " ... οι συζητήσεις συνεχίζονται αυτή τη στιγμή, η επιστημονική κοινότητα δεν έχει καταφέρει ακόμη να καταλήξει σε κοινή γνώμη για την ουσία των παραδόξων ... μαθηματική ανάλυση, θεωρία συνόλων, νέες φυσικές και φιλοσοφικές προσεγγίσεις συμμετείχαν στη μελέτη του θέματος ; κανένα από αυτά δεν έγινε μια παγκοσμίως αποδεκτή λύση στο πρόβλημα ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Όλοι καταλαβαίνουν ότι τους κοροϊδεύουν, αλλά κανείς δεν καταλαβαίνει ποια είναι η απάτη.

Από τη σκοπιά των μαθηματικών, ο Ζήνων στην απορία του έδειξε ξεκάθαρα τη μετάβαση από την τιμή στο. Αυτή η μετάβαση συνεπάγεται εφαρμογή αντί για σταθερές. Από όσο καταλαβαίνω, η μαθηματική συσκευή για την εφαρμογή μεταβλητών μονάδων μέτρησης είτε δεν έχει ακόμη αναπτυχθεί, είτε δεν έχει εφαρμοστεί στην απορία του Ζήνωνα. Η εφαρμογή της συνήθους λογικής μας οδηγεί σε παγίδα. Εμείς, με την αδράνεια της σκέψης, εφαρμόζουμε σταθερές μονάδες χρόνου στο αντίστροφο. Από φυσική άποψη, μοιάζει να επιβραδύνεται ο χρόνος μέχρι να σταματήσει εντελώς τη στιγμή που ο Αχιλλέας προλαβαίνει τη χελώνα. Αν ο χρόνος σταματήσει, ο Αχιλλέας δεν μπορεί πλέον να προσπεράσει τη χελώνα.

Αν γυρίσουμε τη λογική που έχουμε συνηθίσει, όλα μπαίνουν στη θέση τους. Ο Αχιλλέας τρέχει με σταθερή ταχύτητα. Κάθε επόμενο τμήμα της διαδρομής του είναι δέκα φορές μικρότερο από το προηγούμενο. Αντίστοιχα, ο χρόνος που δαπανάται για την αντιμετώπισή του είναι δέκα φορές μικρότερος από τον προηγούμενο. Εάν εφαρμόσουμε την έννοια του «άπειρου» σε αυτή την κατάσταση, τότε θα ήταν σωστό να πούμε «Ο Αχιλλέας θα προσπεράσει απείρως γρήγορα τη χελώνα».

Πώς να αποφύγετε αυτή τη λογική παγίδα; Παραμείνετε σε σταθερές μονάδες χρόνου και μην μεταβείτε σε αντίστροφες τιμές. Στη γλώσσα του Ζήνωνα, μοιάζει με αυτό:

Στον χρόνο που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει χίλια βήματα, η χελώνα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Στο επόμενο χρονικό διάστημα, ίσο με το πρώτο, ο Αχιλλέας θα τρέξει άλλα χίλια βήματα και η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα. Τώρα ο Αχιλλέας είναι οκτακόσια βήματα μπροστά από τη χελώνα.

Αυτή η προσέγγιση περιγράφει επαρκώς την πραγματικότητα χωρίς λογικά παράδοξα. Αλλά αυτό δεν είναι μια πλήρης λύση στο πρόβλημα. Η δήλωση του Αϊνστάιν για το ανυπέρβλητο της ταχύτητας του φωτός μοιάζει πολύ με την απορία του Ζήνωνα «Ο Αχιλλέας και η χελώνα». Πρέπει ακόμη να μελετήσουμε, να ξανασκεφτούμε και να λύσουμε αυτό το πρόβλημα. Και η λύση πρέπει να αναζητηθεί όχι σε απείρως μεγάλους αριθμούς, αλλά σε μονάδες μέτρησης.

Μια άλλη ενδιαφέρουσα απορία του Ζήνωνα λέει για ένα ιπτάμενο βέλος:

Ένα ιπτάμενο βέλος είναι ακίνητο, αφού σε κάθε στιγμή του χρόνου είναι σε ηρεμία, και αφού είναι σε ηρεμία σε κάθε στιγμή του χρόνου, είναι πάντα σε ηρεμία.

Σε αυτήν την απορία, το λογικό παράδοξο ξεπερνιέται πολύ απλά - αρκεί να διευκρινίσουμε ότι σε κάθε στιγμή το ιπτάμενο βέλος βρίσκεται σε ηρεμία σε διαφορετικά σημεία του χώρου, που στην πραγματικότητα είναι κίνηση. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ένα άλλο σημείο. Από μια φωτογραφία ενός αυτοκινήτου στο δρόμο, είναι αδύνατο να προσδιοριστεί ούτε το γεγονός της κίνησής του ούτε η απόσταση από αυτό. Για να προσδιοριστεί το γεγονός της κίνησης του αυτοκινήτου, χρειάζονται δύο φωτογραφίες που έχουν ληφθεί από το ίδιο σημείο σε διαφορετικά χρονικά σημεία, αλλά δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό της απόστασης. Για να προσδιορίσετε την απόσταση από το αυτοκίνητο, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες που λαμβάνονται από διαφορετικά σημεία του χώρου ταυτόχρονα, αλλά δεν μπορείτε να προσδιορίσετε το γεγονός της κίνησης από αυτά (φυσικά, χρειάζεστε επιπλέον δεδομένα για υπολογισμούς, η τριγωνομετρία θα σας βοηθήσει) . Αυτό που θέλω να επισημάνω συγκεκριμένα είναι ότι δύο σημεία στο χρόνο και δύο σημεία στο χώρο είναι δύο διαφορετικά πράγματα που δεν πρέπει να συγχέονται καθώς παρέχουν διαφορετικές ευκαιρίες για εξερεύνηση.
Θα δείξω τη διαδικασία με ένα παράδειγμα. Επιλέγουμε "κόκκινο στερεό σε σπυράκι" - αυτό είναι το "σύνολο". Ταυτόχρονα, βλέπουμε ότι αυτά τα πράγματα είναι με τόξο, και υπάρχουν χωρίς τόξο. Μετά από αυτό, επιλέγουμε ένα μέρος του «όλου» και σχηματίζουμε ένα σύνολο «με φιόγκο». Έτσι τρέφονται οι σαμάνοι συνδέοντας τη θεωρία των συνόλων τους με την πραγματικότητα.

Τώρα ας κάνουμε ένα μικρό κόλπο. Ας πάρουμε «στερεό σε σπυράκι με φιόγκο» και ας ενώσουμε αυτά τα «ολόκληρα» ανά χρώμα, επιλέγοντας κόκκινα στοιχεία. Πήραμε πολύ «κόκκινο». Τώρα μια δύσκολη ερώτηση: τα σετ "με φιόγκο" και "κόκκινα" είναι το ίδιο σετ ή δύο διαφορετικά σετ; Μόνο οι σαμάνοι γνωρίζουν την απάντηση. Πιο συγκεκριμένα, οι ίδιοι δεν ξέρουν τίποτα, αλλά όπως λένε, ας είναι.

Αυτό το απλό παράδειγμα δείχνει ότι η θεωρία συνόλων είναι εντελώς άχρηστη όταν πρόκειται για την πραγματικότητα. Ποιο είναι το μυστικό; Σχηματίσαμε ένα σετ «κόκκινο συμπαγές σπυράκι με φιόγκο». Ο σχηματισμός έγινε σύμφωνα με τέσσερις διαφορετικές μονάδες μέτρησης: χρώμα (κόκκινο), αντοχή (συμπαγές), τραχύτητα (σε χτύπημα), διακοσμήσεις (με φιόγκο). Μόνο ένα σύνολο μονάδων μέτρησης καθιστά δυνατή την επαρκή περιγραφή πραγματικών αντικειμένων στη γλώσσα των μαθηματικών. Εδώ είναι πώς φαίνεται.

Το γράμμα "α" με διαφορετικούς δείκτες υποδηλώνει διαφορετικές μονάδεςΜετρήσεις. Σε παρένθεση επισημαίνονται μονάδες μέτρησης, σύμφωνα με τις οποίες το «σύνολο» κατανέμεται στο προκαταρκτικό στάδιο. Η μονάδα μέτρησης, σύμφωνα με την οποία διαμορφώνεται το σετ, βγαίνει από αγκύλες. Η τελευταία γραμμή δείχνει το τελικό αποτέλεσμα - ένα στοιχείο του σετ. Όπως μπορείτε να δείτε, αν χρησιμοποιήσουμε μονάδες για να σχηματίσουμε ένα σύνολο, τότε το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από τη σειρά των ενεργειών μας. Και αυτό είναι μαθηματικά, και όχι οι χοροί των σαμάνων με τα ντέφια. Οι σαμάνοι μπορούν «διαισθητικά» να καταλήξουν στο ίδιο αποτέλεσμα, υποστηρίζοντάς το με «προφανή», επειδή οι μονάδες μέτρησης δεν περιλαμβάνονται στο «επιστημονικό» τους οπλοστάσιο.

Με τη βοήθεια μονάδων μέτρησης, είναι πολύ εύκολο να σπάσετε ένα ή να συνδυάσετε πολλά σετ σε ένα υπερσύνολο. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στην άλγεβρα αυτής της διαδικασίας.