Θεωρητικό ελάχιστο

Η έννοια του ορίου όπως εφαρμόζεται στις αριθμητικές ακολουθίες έχει ήδη εισαχθεί στο θέμα "".
Συνιστάται να διαβάσετε πρώτα το υλικό που περιέχεται εκεί.

Περνώντας στο θέμα αυτού του θέματος, υπενθυμίζουμε την έννοια της συνάρτησης. Η συνάρτηση είναι ένα άλλο παράδειγμα χαρτογράφησης. Θα εξετάσουμε την απλούστερη περίπτωση
πραγματική λειτουργία του ενός πραγματικό επιχείρημα(ποια είναι η πολυπλοκότητα των άλλων περιπτώσεων - θα ειπωθεί αργότερα). Η λειτουργία σε αυτό το θέμα κατανοείται ως
ο νόμος σύμφωνα με τον οποίο σε κάθε στοιχείο του συνόλου στο οποίο ορίζεται η συνάρτηση εκχωρείται ένα ή περισσότερα στοιχεία
σύνολο που ονομάζεται σύνολο τιμών συνάρτησης. Αν κάθε στοιχείο του εύρους μιας συνάρτησης συσχετίζεται με ένα στοιχείο
σύνολο τιμών, τότε η συνάρτηση ονομάζεται απλής τιμής, διαφορετικά η συνάρτηση ονομάζεται πολλαπλών τιμών. Εδώ, για λόγους απλότητας, θα μιλήσουμε μόνο
ξεκάθαρες λειτουργίες.

Θα ήθελα αμέσως να τονίσω τη θεμελιώδη διαφορά μεταξύ μιας συνάρτησης και μιας ακολουθίας: τα σύνολα που συνδέονται με την αντιστοίχιση σε αυτές τις δύο περιπτώσεις είναι ουσιαστικά διαφορετικά.
Για να αποφύγουμε την ανάγκη χρήσης της ορολογίας της γενικής τοπολογίας, εξηγούμε τη διαφορά με τη βοήθεια ανακριβούς συλλογισμού. Όταν συζητάμε το όριο
ακολουθίες, μιλήσαμε για μία μόνο επιλογή: την απεριόριστη αύξηση του αριθμού του στοιχείου της ακολουθίας. Καθώς ο αριθμός αυξάνεται, τα ίδια τα στοιχεία
οι σεκάνς συμπεριφέρθηκαν πολύ πιο διαφορετικά. Θα μπορούσαν να «συσσωρευτούν» σε μια μικρή γειτονιά ενός συγκεκριμένου αριθμού. θα μπορούσαν να αναπτυχθούν επ 'αόριστον, και ούτω καθεξής.
Σε γενικές γραμμές, η ανάθεση μιας ακολουθίας είναι η ανάθεση μιας συνάρτησης σε ένα διακριτό "τομέα". Αν μιλάμε για τη συνάρτηση, ο ορισμός της οποίας δίνεται
στην αρχή του θέματος, τότε η έννοια του ορίου θα πρέπει να χτιστεί πιο προσεκτικά. Είναι λογικό να μιλάμε για το όριο της συνάρτησης όταν το επιχείρημά του τείνει σε μια ορισμένη τιμή .
Μια τέτοια διατύπωση της ερώτησης δεν είχε νόημα σε σχέση με τις ακολουθίες. Χρειάζεται να γίνουν κάποιες διευκρινίσεις. Όλα αυτά σχετίζονται με
πώς ακριβώς το επιχείρημα τείνει στην εν λόγω τιμή.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα - προς το παρόν εν συντομία:


Αυτές οι λειτουργίες θα μας επιτρέψουν να εξετάσουμε μια ποικιλία περιπτώσεων. Παρουσιάζουμε εδώ τα γραφήματα αυτών των συναρτήσεων για μεγαλύτερη σαφήνεια παρουσίασης.

Η συνάρτηση έχει ένα όριο σε οποιοδήποτε σημείο στον τομέα ορισμού - αυτό είναι διαισθητικά σαφές. Όποιο σημείο του τομέα ορισμού και αν πάρουμε,
μπορείτε να πείτε αμέσως σε ποια τιμή τείνει η συνάρτηση όταν το όρισμα τείνει στην επιλεγμένη τιμή και το όριο θα είναι πεπερασμένο, εκτός εάν το όρισμα
δεν πάει στο άπειρο. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει διάλειμμα. Αυτό επηρεάζει τις ιδιότητες της συνάρτησης στο σημείο διακοπής, αλλά από την άποψη του ορίου
αυτό το σημείο δεν τονίζεται. Η συνάρτηση είναι ήδη πιο ενδιαφέρουσα: στο σημείο αυτό δεν είναι σαφές ποια τιμή του ορίου να εκχωρηθεί στη συνάρτηση.
Αν πλησιάσουμε το σημείο στα δεξιά, τότε η συνάρτηση τείνει σε μια τιμή, αν στα αριστερά, η συνάρτηση τείνει σε μια άλλη τιμή. Στο προηγούμενο
παραδείγματα δεν ήταν. Η συνάρτηση, όταν τείνει στο μηδέν, ακόμη και στα αριστερά, ακόμη και στα δεξιά, συμπεριφέρεται με τον ίδιο τρόπο, τείνει στο άπειρο -
σε αντίθεση με τη συνάρτηση, η οποία τείνει στο άπειρο καθώς το όρισμα τείνει στο μηδέν, αλλά το πρόσημο του απείρου εξαρτάται από το πώς
πλευρά φτάνουμε στο μηδέν. Τέλος, η συνάρτηση συμπεριφέρεται στο μηδέν εντελώς ακατανόητα.

Επισημοποιούμε την έννοια του ορίου χρησιμοποιώντας τη γλώσσα έψιλον-δέλτα. Η κύρια διαφορά από τον ορισμό του ορίου ακολουθίας θα είναι η ανάγκη
να ορίσετε την επιθυμία του ορίσματος της συνάρτησης σε κάποια τιμή. Αυτό απαιτεί την έννοια ενός οριακού σημείου ενός συνόλου, το οποίο είναι βοηθητικό σε αυτό το πλαίσιο.
Ένα σημείο ονομάζεται οριακό σημείο ενός συνόλου εάν βρίσκεται σε οποιαδήποτε γειτονιά περιέχει άπειρο αριθμό σημείων,
που ανήκει και διαφέρει από . Λίγο αργότερα θα γίνει σαφές γιατί απαιτείται ένας τέτοιος ορισμός.

Άρα, ο αριθμός ονομάζεται όριο της συνάρτησης στο σημείο , το οποίο είναι το οριακό σημείο του συνόλου , στο οποίο ορίζεται
λειτουργία εάν

Ας αναλύσουμε αυτόν τον ορισμό έναν προς έναν. Εδώ ξεχωρίζουμε τα μέρη που σχετίζονται με την επιθυμία του επιχειρήματος προς την τιμή και την επιθυμία της συνάρτησης
στην αξία. Κάποιος πρέπει να κατανοήσει τη γενική έννοια της γραπτής δήλωσης, η οποία μπορεί να ερμηνευθεί κατά προσέγγιση ως εξής.
Η συνάρτηση τείνει όταν , αν πάρουμε έναν αριθμό από μια αρκετά μικρή γειτονιά του σημείου , θα το κάνουμε
λάβετε την τιμή της συνάρτησης από μια αρκετά μικρή γειτονιά του αριθμού. Και τόσο μικρότερη θα είναι η γειτονιά του σημείου από το οποίο λαμβάνονται οι τιμές
όρισμα, τόσο μικρότερη θα είναι η γειτονιά του σημείου όπου θα πέσουν οι αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης.

Ας επιστρέψουμε ξανά στον επίσημο ορισμό του ορίου και ας τον διαβάσουμε υπό το φως των όσων μόλις ειπώθηκαν. Ένας θετικός αριθμός περιορίζει τη γειτονιά
σημείο από το οποίο θα πάρουμε τις τιμές του ορίσματος. Επιπλέον, οι τιμές του ορίσματος, φυσικά, προέρχονται από το εύρος της συνάρτησης και δεν συμπίπτουν με την ίδια τη συνάρτηση.
τελεία: φιλοδοξία γράφουμε, όχι τυχαίο! Αν λοιπόν πάρουμε την τιμή του ορίσματος από την καθορισμένη -γειτονιά του σημείου,
τότε η τιμή της συνάρτησης θα πέσει στη -γειτονιά του σημείου .
Τέλος, συγκεντρώνουμε τον ορισμό. Όσο μικρή κι αν διαλέξουμε -γειτονιά του σημείου, πάντα θα υπάρχει τέτοια -γειτονιά του σημείου,
ότι όταν επιλέγουμε τις τιμές του ορίσματος από αυτό, θα φτάσουμε στη γειτονιά του σημείου. Φυσικά, το μέγεθος είναι μια γειτονιά ενός σημείου σε αυτή την περίπτωση
εξαρτάται από το ποια γειτονιά του σημείου δόθηκε. Αν η γειτονιά της τιμής της συνάρτησης είναι αρκετά μεγάλη, τότε το αντίστοιχο spread των τιμών
το επιχείρημα θα είναι μεγάλο. Με μείωση της γειτνίασης της τιμής της συνάρτησης, η αντίστοιχη διαφορά στις τιμές του ορίσματος θα μειωθεί επίσης (βλ. Εικ. 2).

Μένει να διευκρινιστούν κάποιες λεπτομέρειες. Πρώτον, η απαίτηση ότι το σημείο είναι ένα όριο εξαλείφει την ανάγκη να φροντίσουμε ότι το σημείο
από -γειτονιά ανήκει γενικά στον τομέα της συνάρτησης. Δεύτερον, συμμετοχή στον καθορισμό του ορίου της προϋπόθεσης που σημαίνει
ότι ένα όρισμα μπορεί να προσεγγίσει μια τιμή είτε από τα αριστερά είτε από τα δεξιά.

Για την περίπτωση που το όρισμα συνάρτησης τείνει στο άπειρο, η έννοια του οριακού σημείου θα πρέπει να οριστεί ξεχωριστά. ονομάζεται όριο
σημείο ρύθμισης εάν για οποιονδήποτε θετικό αριθμό το διάστημα περιέχει ένα μη μετρήσιμο σύνολο
πόντους από το σετ.

Ας επιστρέψουμε στα παραδείγματα. Η λειτουργία δεν μας ενδιαφέρει ιδιαίτερα. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε άλλα χαρακτηριστικά.

Παραδείγματα.

Παράδειγμα 1 Το γράφημα της συνάρτησης έχει μια συστροφή.
Λειτουργία παρά τη μοναδικότητα σε ένα σημείο, έχει ένα όριο σε αυτό το σημείο. Η μοναδικότητα στο μηδέν είναι η απώλεια ομαλότητας.

Παράδειγμα 2 Μονόπλευρα όρια.
Η συνάρτηση σε ένα σημείο δεν έχει όριο. Όπως ήδη σημειώθηκε, για την ύπαρξη ορίου απαιτείται όταν
στα αριστερά και στα δεξιά, η συνάρτηση προσδοκούσε την ίδια τιμή. Αυτό προφανώς δεν ισχύει εδώ. Ωστόσο, μπορεί κανείς να εισαγάγει την έννοια του μονόπλευρου ορίου.
Εάν το όρισμα τείνει σε μια δεδομένη τιμή από την πλευρά των μεγαλύτερων τιμών, τότε μιλάμε για ένα δεξιό όριο. εάν από την πλευρά των μικρότερων τιμών -
σχετικά με το αριστερό όριο.
Σε περίπτωση λειτουργίας
- δεξιό όριο Ωστόσο, μπορούμε να δώσουμε ένα παράδειγμα όταν οι άπειρες διακυμάνσεις του ημιτονοειδούς δεν παρεμβαίνουν στην ύπαρξη του ορίου (εξάλλου, διπλής όψης).
Ένα παράδειγμα θα ήταν η συνάρτηση . Το διάγραμμα είναι παρακάτω. κατανοητό να το χτίσεις μέχρι το τέλος στη γειτονιά
προέλευση δεν είναι δυνατή. Το όριο στο είναι ίσο με μηδέν.

Παρατηρήσεις .
1. Υπάρχει μια προσέγγιση για τον προσδιορισμό του ορίου μιας συνάρτησης που χρησιμοποιεί το όριο μιας ακολουθίας - το λεγόμενο. ορισμός του Heine. Εκεί, κατασκευάζεται μια ακολουθία σημείων που συγκλίνει στην απαιτούμενη τιμή
όρισμα - τότε η αντίστοιχη ακολουθία τιμών συνάρτησης συγκλίνει στο όριο της συνάρτησης για αυτήν την τιμή ορίσματος. Ισοδυναμία του ορισμού του Heine και του γλωσσικού ορισμού
Το «έψιλον-δέλτα» είναι αποδεδειγμένο.
2. Η περίπτωση των συναρτήσεων δύο ή περισσότερων ορισμάτων περιπλέκεται από το γεγονός ότι για την ύπαρξη ορίου σε ένα σημείο, απαιτείται η τιμή του ορίου να είναι ίδια για οποιονδήποτε τρόπο το όρισμα τείνει να
στην απαιτούμενη τιμή. Εάν υπάρχει μόνο ένα όρισμα, τότε μπορείτε να προσπαθήσετε για την απαιτούμενη τιμή από αριστερά ή δεξιά. Στην περίπτωση περισσότερων μεταβλητών, ο αριθμός των επιλογών αυξάνεται δραματικά. Η περίπτωση των συναρτήσεων
σύνθετη μεταβλητή και απαιτεί ξεχωριστή συζήτηση.

textvc - γειτονιάΤο σύνολο στη λειτουργική ανάλυση και σε συναφείς κλάδους είναι ένα τέτοιο σύνολο, κάθε σημείο του οποίου αφαιρείται δεδομένο σύνολοόχι περισσότερο από Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \varepsilon .

Ορισμοί

• Αφήνω Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): (X,\varrho)είναι ένας μετρικός χώρος, Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε τα μαθηματικά/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): x_0 \σε X,Και Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \varepsilon > 0. Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \varepsilon-γειτονιά Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvc ονομάζεται σύνολο

Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε τα μαθηματικά/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): U_(\varepsilon)(x_0) = \( x\in X \mid \varrho(x,x_0)< \varepsilon \}.

• Ας δοθεί ένα υποσύνολο Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε τα μαθηματικά/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): A \υποσύνολο X.Επειτα Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \varepsilon-γειτονιά αυτού του συνόλου ονομάζεται σύνολο

Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε τα μαθηματικά/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): U_(\varepsilon)(A) = \bigcup\limits_(x \in A) U_(\varepsilon)(x).

Παρατηρήσεις

• Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \varepsilon-γειτονιά ενός σημείου Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): x_0ονομάζεται έτσι μια ανοιχτή μπάλα με κέντρο στο Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): x_0και ακτίνα Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \varepsilon.
• Από τον ορισμό προκύπτει άμεσα ότι

Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε τα μαθηματικά/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): U_(\varepsilon)(A) = \( x\in X \mid \υπάρχει y\σε A\; \varrho(x,y)< \varepsilon\}.

• Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \varepsilon-η γειτονιά είναι μια γειτονιά και, συγκεκριμένα, ένα ανοιχτό σύνολο.

Παραδείγματα

Γράψε μια αξιολόγηση για το άρθρο "Γειτονιά Έψιλον"

Ένα απόσπασμα που χαρακτηρίζει τη γειτονιά του Έψιλον

- Λοιπόν, τι - άκου; Το κοριτσάκι με έσπρωξε ανυπόμονα.
Πλησιάσαμε... Και ένιωσα ένα υπέροχα απαλό άγγιγμα ενός αστραφτερού κύματος... Ήταν κάτι απίστευτα απαλό, εκπληκτικά στοργικό και καταπραϋντικό, και ταυτόχρονα, που διεισδύει στο πολύ «βάθος» του έκπληκτου και ελαφρώς επιφυλακτικού μου ψυχή... Ήσυχη «μουσική» έτρεχε στο πόδι μου, δονούμενη σε εκατομμύρια διαφορετικές αποχρώσεις, και, σηκώνοντας, άρχισε να με τυλίγει με κάτι υπέροχα όμορφο, κάτι που αψηφούσε κάθε λέξη... Ένιωσα ότι πετούσα, αν και δεν υπήρχε πτήση δεν ήταν αληθινό. Ήταν υπέροχο!.. Κάθε κύτταρο διαλύθηκε και έλιωσε στο επερχόμενο νέο κύμα, και ο αστραφτερός χρυσός ξεπλύθηκε μέσα μου, αφαιρώντας κάθε τι κακό και λυπηρό και αφήνοντας μόνο αγνό, αρχέγονο φως στην ψυχή μου...
Δεν ένιωσα καν πώς μπήκα και βούτηξα σε αυτό το αστραφτερό θαύμα σχεδόν με το κεφάλι μου. Ήταν απλά απίστευτα καλό και δεν ήθελα ποτέ να φύγω από εκεί...
- Εντάξει, φτάνει ήδη! Έχουμε δουλειά μπροστά μας! Η διεκδικητική φωνή της Στέλλας ξέσπασε στη λαμπερή ομορφιά. - Σου άρεσε?
- Α, πώς! ανάσασα. - Δεν ήθελα να βγω έξω!
- Ακριβώς! Έτσι λίγο «μπάνιο» μέχρι την επόμενη ενσάρκωση… Και μετά δεν επιστρέφουν πια εδώ…

Ποια εικονίδια εκτός από τα σημάδια ανισότητας και το μέτρο συντελεστή γνωρίζετε;

Από την πορεία της άλγεβρας, γνωρίζουμε τον ακόλουθο συμβολισμό:

- ο καθολικός ποσοτικός σημαίνει - "για οποιοδήποτε", "για όλους", "για τον καθένα", δηλαδή, το λήμμα πρέπει να διαβάζεται "για κάθε θετικό έψιλον".

– υπαρξιακός ποσοτικός, – υπάρχει μια τιμή που ανήκει στο σύνολο των φυσικών αριθμών.

- ένα μακρύ κατακόρυφο ραβδί διαβάζεται ως εξής: "έτσι αυτό", "τέτοιο αυτό", "τέτοιο αυτό" ή "τέτοιο αυτό", στην περίπτωσή μας, προφανώς, μιλάμε για έναν αριθμό - επομένως "τέτοιο".

- για όλα τα "en" μεγαλύτερα από ;

- το πρόσημο του συντελεστή σημαίνει την απόσταση, δηλ. αυτό το λήμμα μας λέει ότι η απόσταση μεταξύ των τιμών είναι μικρότερη από το epsilon.

Προσδιορισμός του ορίου μιας ακολουθίας

Πράγματι, ας σκεφτούμε λίγο - πώς να διατυπώσετε έναν αυστηρό ορισμό μιας ακολουθίας; ... Το πρώτο πράγμα που έρχεται στο μυαλό στο φως πρακτική συνεδρία: "το όριο μιας ακολουθίας είναι ο αριθμός στον οποίο πλησιάζουν άπειρα τα μέλη της ακολουθίας."

Εντάξει, ας γράψουμε τη σειρά:

Είναι εύκολο να δούμε ότι η υποακολουθία είναι απείρως κοντά στον αριθμό -1 και οι ζυγοί όροι είναι κοντά στο "ένα".

Ίσως δύο όρια; Αλλά τότε γιατί δεν μπορεί κάποια ακολουθία να έχει δέκα ή είκοσι από αυτά; Με αυτόν τον τρόπο μπορείτε να πάτε μακριά. Από αυτή την άποψη, είναι λογικό να υποθέσουμε ότι εάν μια ακολουθία έχει ένα όριο, τότε είναι μοναδική.

Σημείωση: η ακολουθία δεν έχει όριο, αλλά δύο υποακολουθίες μπορούν να διακριθούν από αυτήν (βλ. παραπάνω), καθεμία από τις οποίες έχει το δικό της όριο.

Έτσι, ο παραπάνω ορισμός αποδεικνύεται αβάσιμος. Ναι, λειτουργεί για περιπτώσεις όπως (τις οποίες δεν χρησιμοποίησα σωστά σε απλοποιημένες επεξηγήσεις πρακτικών παραδειγμάτων), αλλά τώρα πρέπει να βρούμε έναν αυστηρό ορισμό.

Δεύτερη προσπάθεια: "το όριο μιας ακολουθίας είναι ο αριθμός που προσεγγίζουν ΟΛΑ τα μέλη της ακολουθίας, εκτός ίσως από έναν πεπερασμένο αριθμό από αυτά." Αυτό είναι πιο κοντά στην αλήθεια, αλλά εξακολουθεί να μην είναι απολύτως ακριβές. Έτσι, για παράδειγμα, σε μια ακολουθία, οι μισοί όροι δεν πλησιάζουν καθόλου το μηδέν - είναι απλώς ίσοι με αυτό =) Παρεμπιπτόντως, το "φως που αναβοσβήνει" παίρνει γενικά δύο σταθερές τιμές.

Η διατύπωση δεν είναι δύσκολο να διευκρινιστεί, αλλά στη συνέχεια τίθεται ένα άλλο ερώτημα: πώς να γράψουμε τον ορισμό με μαθηματικούς όρους; Ο επιστημονικός κόσμος πάλεψε με αυτό το πρόβλημα για μεγάλο χρονικό διάστημα, έως ότου η κατάσταση επιλύθηκε από τον διάσημο μαέστρο, ο οποίος, στην ουσία, επισημοποίησε την κλασική μαθηματική ανάλυση με όλη της την αυστηρότητα. Ο Cauchy πρότεινε να λειτουργήσει με γειτονιές, κάτι που προώθησε σημαντικά τη θεωρία.

Εξετάστε κάποιο σημείο και την αυθαίρετη γειτονιά του:

Η αξία του «έψιλον» είναι πάντα θετική και, επιπλέον, είμαστε ελεύθεροι να το επιλέξουμε μόνοι μας. Ας υποθέσουμε ότι σε μια δεδομένη γειτονιά υπάρχει ένα σύνολο μελών (όχι απαραίτητα όλα) κάποιας ακολουθίας. Πώς να γράψετε το γεγονός ότι, για παράδειγμα, η δέκατη θητεία έπεσε στη γειτονιά; Αφήστε το να είναι στη δεξιά πλευρά του. Τότε η απόσταση μεταξύ των σημείων και θα πρέπει να είναι μικρότερη από «έψιλον»: . Ωστόσο, εάν το "x δέκατο" βρίσκεται στα αριστερά του σημείου "a", τότε η διαφορά θα είναι αρνητική και επομένως πρέπει να προστεθεί το σύμβολο της ενότητας: .

Ορισμός: ένας αριθμός ονομάζεται όριο μιας ακολουθίας εάν για οποιαδήποτε από τις γειτονιές του (που επιλέχτηκε προηγουμένως) υπάρχει ένας φυσικός αριθμός - ΕΤΣΙ που ΟΛΑ τα μέλη της ακολουθίας με μεγαλύτερους αριθμούς θα βρίσκονται μέσα στη γειτονιά:

Ή πιο σύντομη: αν

Με άλλα λόγια, όσο μικρή κι αν πάρουμε την αξία του «έψιλον», αργά ή γρήγορα η «άπειρη ουρά» της ακολουθίας θα είναι ΠΛΗΡΩΣ σε αυτή τη γειτονιά.

Έτσι, για παράδειγμα, η "άπειρη ουρά" της ακολουθίας θα μπει ΠΛΗΡΩΣ σε οποιαδήποτε αυθαίρετα μικρή γειτονιά του σημείου.Έτσι, αυτή η τιμή είναι το όριο της ακολουθίας εξ ορισμού. Υπενθυμίζω ότι ονομάζεται μια ακολουθία της οποίας το όριο είναι μηδέν απείρως μικρό.

Πρέπει να σημειωθεί ότι για μια ακολουθία δεν είναι πλέον δυνατό να πούμε «θα μπει άπειρη ουρά» - τα μέλη με περιττούς αριθμούς είναι στην πραγματικότητα ίσα με μηδέν και «δεν πάω πουθενά» =) Γι' αυτό το ρήμα «καταλήγω " χρησιμοποιείται στον ορισμό. Και, φυσικά, τα μέλη μιας τέτοιας ακολουθίας όπως επίσης «δεν πάνε πουθενά». Παρεμπιπτόντως, ελέγξτε αν ο αριθμός θα είναι το όριο του.

Ας δείξουμε τώρα ότι η ακολουθία δεν έχει όριο. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, μια γειτονιά του σημείου . Είναι ξεκάθαρο ότι δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός, μετά τον οποίο ΟΛΑ τα μέλη θα βρίσκονται σε αυτήν τη γειτονιά - τα μονά μέλη θα "πηδούν" πάντα στο "μείον ένα". Για παρόμοιο λόγο, δεν υπάρχει όριο στο σημείο .

Να αποδείξετε ότι το όριο της ακολουθίας είναι μηδέν. Υποδείξτε τον αριθμό, μετά τον οποίο όλα τα μέλη της ακολουθίας είναι εγγυημένα ότι βρίσκονται μέσα σε οποιαδήποτε αυθαίρετα μικρή γειτονιά του σημείου.

Σημείωση: για πολλές ακολουθίες, ο επιθυμητός φυσικός αριθμός εξαρτάται από την τιμή - εξ ου και ο συμβολισμός.

Λύση: εξετάστε μια αυθαίρετη -γειτονιά του σημείου και ελέγξτε αν υπάρχει αριθμός - έτσι ώστε ΟΛΟΙ οι όροι με μεγαλύτερους αριθμούς να βρίσκονται εντός αυτής της γειτονιάς:

Για να δείξουμε την ύπαρξη του απαιτούμενου αριθμού εκφράζουμε με όρους .

Εφόσον για οποιαδήποτε τιμή "en", τότε το σύμβολο συντελεστή μπορεί να αφαιρεθεί:

Χρησιμοποιούμε τις «σχολικές» ενέργειες με ανισώσεις, τις οποίες επανέλαβα στα μαθήματα Γραμμικές ανισώσεις και Τομέας ορισμού συνάρτησης. Σε αυτή την περίπτωση, μια σημαντική περίσταση είναι ότι το «έψιλον» και το «εν» είναι θετικά:

Δεδομένου ότι στα αριστερά μιλάμε για φυσικούς αριθμούς και η δεξιά πλευρά είναι γενικά κλασματική, πρέπει να στρογγυλοποιηθεί:

Σημείωση: μερικές φορές προστίθεται μια μονάδα στο δικαίωμα για αντασφάλιση, αλλά στην πραγματικότητα πρόκειται για υπερβολή. Σχετικά μιλώντας, αν αποδυναμώσουμε επίσης το αποτέλεσμα στρογγυλοποιώντας προς τα κάτω, τότε ο πλησιέστερος κατάλληλος αριθμός («τρία») θα εξακολουθεί να ικανοποιεί την αρχική ανισότητα.

Και τώρα κοιτάμε την ανισότητα και θυμίζουμε ότι αρχικά θεωρούσαμε μια αυθαίρετη -γειτονιά, δηλ. Το "έψιλον" μπορεί να είναι ίσο με οποιονδήποτε θετικό αριθμό.

συμπέρασμα : για οποιαδήποτε αυθαίρετα μικρή γειτονιά του σημείου, βρέθηκε μια τιμή τέτοια ώστε η ανισότητα να ισχύει για όλους τους μεγαλύτερους αριθμούς. Έτσι, ένας αριθμός είναι το όριο μιας ακολουθίας εξ ορισμού. Q.E.D.

Παρεμπιπτόντως, από το αποτέλεσμα που λήφθηκε, ένα φυσικό μοτίβο είναι σαφώς ορατό: όσο μικρότερη είναι η -γειτονιά, τόσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός μετά τον οποίο ΟΛΑ τα μέλη της ακολουθίας θα βρίσκονται σε αυτήν τη γειτονιά. Αλλά όσο μικρό κι αν είναι το «έψιλον», θα υπάρχει πάντα μια «άπειρη ουρά» μέσα και έξω - ακόμη και ένας μεγάλος, αλλά πεπερασμένος αριθμός μελών.

Εξετάζεται ο γενικός ορισμός μιας γειτονιάς ενός σημείου στην πραγματική ευθεία. Ορισμοί γειτονιών έψιλον, αριστερόχειρες, δεξιόχειρες και διάτρητες γειτονιές τελικών σημείων και στο άπειρο. Περιουσία της γειτονιάς. Αποδεικνύεται ένα θεώρημα για την ισοδυναμία της χρήσης μιας γειτονιάς έψιλον και μιας αυθαίρετης γειτονιάς στον ορισμό του ορίου Cauchy μιας συνάρτησης.

Περιεχόμενο

Προσδιορισμός της γειτονιάς ενός σημείου

Γειτονιά πραγματικού σημείου x 0 Κάθε ανοιχτό διάστημα που περιέχει αυτό το σημείο ονομάζεται:
.
Εδώ ε 1 και ε 2 είναι αυθαίρετοι θετικοί αριθμοί.

Έψιλον - γειτονιά σημείου x 0 ονομάζεται το σύνολο των σημείων, η απόσταση από τα οποία μέχρι το σημείο x 0 μικρότερο από ε:
.

Η τρυπημένη γειτονιά του σημείου x 0 ονομάζεται γειτονιά αυτού του σημείου, από το οποίο έχει εξαιρεθεί το ίδιο το σημείο x 0 :
.

Καταληκτικά σημεία γειτονιάς

Στην αρχή δόθηκε ο ορισμός της γειτονιάς ενός σημείου. Ορίζεται ως . Αλλά μπορείτε να προσδιορίσετε ρητά ότι μια γειτονιά εξαρτάται από δύο αριθμούς χρησιμοποιώντας τα κατάλληλα ορίσματα:
(1) .
Δηλαδή, μια γειτονιά είναι ένα σύνολο σημείων που ανήκουν σε ένα ανοιχτό διάστημα.

Εξισώνοντας ε 1 προς ε 2 , παίρνουμε έψιλον - γειτονιά:
(2) .
Το Έψιλον - μια γειτονιά - είναι ένα σύνολο σημείων που ανήκουν σε ένα ανοιχτό διάστημα με ίσα άκρα.
Φυσικά, το γράμμα έψιλον μπορεί να αντικατασταθεί με οποιοδήποτε άλλο και μπορούμε να θεωρήσουμε δ - γειτονιά, σ - γειτονιά κ.ο.κ.

Στη θεωρία των ορίων, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει τον ορισμό της γειτονιάς που βασίζεται τόσο στο σύνολο (1) όσο και στο σύνολο (2). Η χρήση οποιασδήποτε από αυτές τις γειτονιές δίνει ισοδύναμα αποτελέσματα (βλ. ). Αλλά ο ορισμός (2) είναι απλούστερος, επομένως, είναι το έψιλον που χρησιμοποιείται συχνά - η γειτονιά ενός σημείου που καθορίζεται από το (2).

Οι έννοιες των αριστερόχειρων, δεξιόχειρων και διάτρητων γειτονιών τελικών σημείων χρησιμοποιούνται επίσης ευρέως. Παρουσιάζουμε τους ορισμούς τους.

Αριστερή γειτονιά πραγματικού σημείου x 0 είναι το μισάνοιχτο διάστημα που βρίσκεται στον πραγματικό άξονα στα αριστερά του x 0 , συμπεριλαμβανομένης της ίδιας της κουκκίδας:
;
.

Δεξιά γειτονιά πραγματικού σημείου x 0 είναι το μισάνοιχτο διάστημα που βρίσκεται στα δεξιά του x 0 , συμπεριλαμβανομένης της ίδιας της κουκκίδας:
;
.

Διάτρητες γειτονιές τελικού σημείου

Τρυπημένες γειτονιές του σημείου x 0 είναι οι ίδιες γειτονιές, από τις οποίες εξαιρείται το ίδιο το σημείο. Ταυτίζονται με έναν κύκλο πάνω από το γράμμα. Παρουσιάζουμε τους ορισμούς τους.

Τρυπημένη γειτονιά του σημείου x 0 :
.

Τρυπημένο έψιλον - γειτονιά σημείου x 0 :
;
.

Τρυπημένη αριστερή γειτονιά:
;
.

Τρυπημένη δεξιά γειτονιά:
;
.

Γειτονιές σημείων στο άπειρο

Μαζί με τα τελικά σημεία, εισάγεται και η έννοια της γειτονιάς σημείων στο άπειρο. Είναι όλα τρυπημένα επειδή δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός στο άπειρο (στο άπειρο ορίζεται ως το όριο μιας απείρως μεγάλης ακολουθίας).

.
;
;
.

Ήταν δυνατό να προσδιοριστούν οι γειτονιές απείρως απομακρυσμένων σημείων και έτσι:
.
Αλλά αντί για M, χρησιμοποιούμε , έτσι ώστε μια γειτονιά με μικρότερο ε να είναι ένα υποσύνολο μιας γειτονιάς με μεγαλύτερο ε , όπως και για τις γειτονιές των τελικών σημείων.

ιδιοκτησία της γειτονιάς

Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε την προφανή ιδιότητα της γειτονιάς ενός σημείου (πεπερασμένο ή στο άπειρο). Βρίσκεται στο γεγονός ότι γειτονιές σημείων με μικρότερες τιμές ε είναι υποσύνολα γειτονιών με μεγαλύτερες τιμές ε . Παρουσιάζουμε πιο αυστηρές συνθέσεις.

Ας υπάρχει ένα πεπερασμένο ή απείρως μακρινό σημείο. Αστο να πάει .
Επειτα
;
;
;
;
;
;
;
.

Αληθεύουν και οι αντίστροφοι ισχυρισμοί.

Ισοδυναμία ορισμών του ορίου μιας συνάρτησης σύμφωνα με τον Cauchy

Τώρα θα δείξουμε ότι στον ορισμό του ορίου μιας συνάρτησης σύμφωνα με τον Cauchy, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει τόσο μια αυθαίρετη γειτονιά όσο και μια γειτονιά με ίσα άκρα.

Θεώρημα
Οι ορισμοί του Cauchy του ορίου μιας συνάρτησης που χρησιμοποιεί αυθαίρετες γειτονιές και γειτονιές με ίσα άκρα είναι ισοδύναμοι.

Απόδειξη

Ας διατυπώσουμε πρώτος ορισμός του ορίου μιας συνάρτησης.
Ένας αριθμός α είναι το όριο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο (πεπερασμένο ή στο άπειρο) εάν για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς υπάρχουν αριθμοί που εξαρτώνται από και, τέτοιοι ώστε για όλα , να ανήκει στην αντίστοιχη γειτονιά του σημείου a :
.

Ας διατυπώσουμε δεύτερος ορισμός του ορίου μιας συνάρτησης.
Ο αριθμός a είναι το όριο της συνάρτησης στο σημείο , εάν για οποιονδήποτε θετικό αριθμό υπάρχει ένας αριθμός ανάλογα με το , τέτοιο ώστε για όλους :
.

Απόδειξη 1 ⇒ 2

Ας αποδείξουμε ότι αν ο αριθμός a είναι το όριο της συνάρτησης από τον 1ο ορισμό, τότε είναι και το όριο του 2ου ορισμού.

Αφήστε τον πρώτο ορισμό να ισχύει. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν τέτοιες συναρτήσεις και , άρα για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς ισχύει το εξής:
εκεί όπου .

Επειδή οι αριθμοί είναι αυθαίρετοι, τους εξισώνουμε:
.
Στη συνέχεια, υπάρχουν συναρτήσεις και , έτσι ώστε για οποιαδήποτε ισχύει το εξής:
εκεί όπου .

Σημειώσε ότι .
Αφήνω είναι ο μικρότερος θετικός αριθμός και . Στη συνέχεια, όπως αναφέρθηκε παραπάνω,
.
Αν τότε .

Δηλαδή, βρήκαμε μια τέτοια συνάρτηση , ώστε για οποιαδήποτε να ισχύει το εξής:
εκεί όπου .
Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός a είναι το όριο της συνάρτησης και από τον δεύτερο ορισμό.

Απόδειξη 2 ⇒ 1

Ας αποδείξουμε ότι αν ο αριθμός a είναι το όριο της συνάρτησης από τον 2ο ορισμό, τότε είναι και το όριο του 1ου ορισμού.

Αφήστε τον δεύτερο ορισμό να ισχύει. Πάρτε δύο θετικούς αριθμούς και . Και ας είναι το μικρότερο από αυτά. Στη συνέχεια, σύμφωνα με τον δεύτερο ορισμό, υπάρχει μια τέτοια συνάρτηση, έτσι ώστε για κάθε θετικό αριθμό και για όλους, προκύπτει ότι
.

Αλλά σύμφωνα με . Επομένως, από όσα ακολουθούν,
.

Τότε για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς και , βρήκαμε δύο αριθμούς , άρα για όλους :
.

Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός a είναι επίσης το όριο από τον πρώτο ορισμό.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Βιβλιογραφικές αναφορές:
L.D. Kudryavtsev. Μάθημα μαθηματικής ανάλυσης. Τόμος 1. Μόσχα, 2003.