Σπίτι Χρήση Παραδείγματα συνάρτησης ορίου πολλών μεταβλητών. §2 Όριο συνάρτησης δύο μεταβλητών. Όριο συνάρτησης πολλών μεταβλητών. Επαναλάβετε τα όρια

Παραδείγματα συνάρτησης ορίου πολλών μεταβλητών. §2 Όριο συνάρτησης δύο μεταβλητών. Όριο συνάρτησης πολλών μεταβλητών. Επαναλάβετε τα όρια

Οι έννοιες των συναρτήσεων δύο ή τριών μεταβλητών που εξετάστηκαν παραπάνω μπορούν να γενικευθούν στην περίπτωση των μεταβλητών.

Ορισμός.Λειτουργία μεταβλητές
ονομάζεται συνάρτηση, τομέας ορισμού
που ανήκει
, και το εύρος είναι ο πραγματικός άξονας.

Μια τέτοια συνάρτηση για κάθε σύνολο μεταβλητών
από
ταιριάζει με έναν μόνο αριθμό .

Στη συνέχεια, για λόγους βεβαιότητας, θα εξετάσουμε τις συναρτήσεις
μεταβλητές, αλλά όλες οι δηλώσεις που διατυπώνονται για τέτοιες συναρτήσεις παραμένουν αληθείς για συναρτήσεις μεγαλύτερου αριθμού μεταβλητών.

Ορισμός.Αριθμός ονομάζεται όριο της συνάρτησης

στο σημείο
αν για τον καθένα
υπάρχει τέτοιος αριθμός
αυτό για όλους
από τη γειτονιά
, εκτός από αυτό το σημείο, η ανισότητα

Αν το όριο της συνάρτησης
στο σημείο
ισοδυναμεί , τότε αυτό συμβολίζεται ως

Σχεδόν όλες οι ιδιότητες των ορίων που θεωρήσαμε νωρίτερα για συναρτήσεις μιας μεταβλητής παραμένουν έγκυρες για τα όρια συναρτήσεων πολλών μεταβλητών, ωστόσο, δεν θα ασχοληθούμε με την πρακτική εύρεση τέτοιων ορίων.

Ορισμός.Λειτουργία
λέγεται συνεχής σε ένα σημείο
εάν πληρούνται τρεις προϋποθέσεις:

1) υπάρχει

2) υπάρχει μια τιμή της συνάρτησης στο σημείο

3) αυτοί οι δύο αριθμοί είναι ίσοι μεταξύ τους, δηλ. .

Στην πράξη, η συνέχεια μιας συνάρτησης μπορεί να διερευνηθεί χρησιμοποιώντας το παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα.Οποιαδήποτε στοιχειώδη λειτουργία
είναι συνεχής σε όλα τα εσωτερικά (δηλαδή, μη συνοριακά) σημεία του πεδίου ορισμού του.

Παράδειγμα.Βρείτε όλα τα σημεία όπου η συνάρτηση

συνεχής.

Όπως σημειώθηκε παραπάνω, αυτή η συνάρτηση ορίζεται σε κλειστό κύκλο

Τα εσωτερικά σημεία αυτού του κύκλου είναι τα ζητούμενα σημεία συνέχειας της συνάρτησης, δηλ. λειτουργία
συνεχής σε ανοιχτό κύκλο
.

Ορισμός της έννοιας της συνέχειας στα οριακά σημεία του πεδίου ορισμού
λειτουργίες είναι δυνατές, αλλά δεν θα ξοδέψουμε αυτήν την ερώτηση στο μάθημα.

1.3 Μερικές προσαυξήσεις και μερικοί παράγωγοι

Σε αντίθεση με τις συναρτήσεις μιας μεταβλητής, οι συναρτήσεις πολλών μεταβλητών έχουν διαφορετικούς τύπους προσαυξήσεων. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι μετατοπίσεις στο επίπεδο
από ένα σημείο
μπορεί να πραγματοποιηθεί προς διάφορες κατευθύνσεις.

Ορισμός.Με ιδιωτική προσαύξηση λειτουργίες
στο σημείο
αύξηση
λέγεται διαφορά

Αυτή η αύξηση είναι ουσιαστικά η αύξηση μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής
που προέρχεται από μια συνάρτηση
σε σταθερή τιμή
.

Ομοίως, μια ιδιωτική προσαύξηση κατά στο σημείο
λειτουργίες
αύξηση
λέγεται διαφορά

Αυτή η προσαύξηση υπολογίζεται σε μια σταθερή τιμή
.

Παράδειγμα.Αφήνω

,
,
. Ας βρούμε μερικές αυξήσεις αυτής της συνάρτησης κατά και από

Σε αυτό το παράδειγμα, με ίσες τιμές των προσαυξήσεων των ορισμάτων
Και
, οι μερικές αυξήσεις της συνάρτησης αποδείχθηκαν διαφορετικές. Αυτό συμβαίνει επειδή το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με πλευρές
Και
όταν η πλευρά μεγεθύνεται επί
αυξάνεται κατά το ποσό
, και όταν η πλευρά είναι αυξημένη επί
αυξάνεται κατά
(βλ. εικ. 4).

Από το γεγονός ότι μια συνάρτηση δύο μεταβλητών έχει δύο είδη προσαυξήσεων, προκύπτει ότι μπορούν να οριστούν δύο είδη παραγώγων για αυτήν.

Ορισμός. Μερικό παράγωγο σε σχέση με λειτουργίες
στο σημείο
ονομάζεται όριο του λόγου μερικής αύξησης σε αυτής της συνάρτησης στο καθορισμένο σημείο προς αύξηση
διαφωνία εκείνοι.

. (1)

Τέτοια μερικά παράγωγα υποδηλώνονται με τα σύμβολα ,,,. Στις τελευταίες περιπτώσεις, το στρογγυλό γράμμα " ” – “" σημαίνει η λέξη "ιδιωτικό".

Ομοίως, η μερική παράγωγος ως προς στο σημείο
καθορίζεται χρησιμοποιώντας το όριο

. (2)

Άλλες σημειώσεις για αυτήν τη μερική παράγωγο: ,,.

Μερικές παράγωγοι συναρτήσεων βρίσκονται σύμφωνα με τους γνωστούς κανόνες για τη διαφοροποίηση μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής, ενώ όλες οι μεταβλητές, εκτός από αυτήν με την οποία διαφοροποιείται η συνάρτηση, θεωρούνται σταθερές. Κατά την εύρεση λοιπόν μεταβλητός λαμβάνεται ως σταθερά, και όταν βρεθεί - σταθερό .

Παράδειγμα.Ας βρούμε τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης
.

,
.

Παράδειγμα.Να βρείτε τις μερικές παραγώγους μιας συνάρτησης τριών μεταβλητών

;
;
.

Μερικές παράγωγες συναρτήσεις
χαρακτηρίζουν το ρυθμό μεταβολής αυτής της συνάρτησης στην περίπτωση που μία από τις μεταβλητές είναι σταθερή.

Παράδειγμα στα οικονομικά.

Η κύρια έννοια της θεωρίας κατανάλωσης είναι η συνάρτηση χρησιμότητας
. Αυτή η συνάρτηση εκφράζει ένα μέτρο της χρησιμότητας ενός συνόλου
, όπου x η ποσότητα των εμπορευμάτων Χ, y η ποσότητα των αγαθών Υ. Στη συνέχεια τα μερικά παράγωγα
θα ονομάζονται οριακές βοηθητικές εφαρμογές x και y, αντίστοιχα. Οριακό ποσοστό αντικατάστασης
το ένα εμπόρευμα προς το άλλο ισούται με την αναλογία των οριακών τους χρησιμότητας:

. (8)

Εργασία 1. Βρείτε τον οριακό ρυθμό αντικατάστασης h για y για τη συνάρτηση χρησιμότητας στο σημείο A(3,12).

Λύση:με τον τύπο (8) λαμβάνουμε

Η οικονομική σημασία του οριακού ποσοστού υποκατάστασης έγκειται στην αιτιολόγηση του τύπου
, Οπου -Τιμή του είδους Χ - η τιμή των αγαθών U.

Ορισμός.Αν η συνάρτηση έχει
υπάρχουν μερικές παράγωγοι, τότε οι μερικές διαφορικές του ονομάζονται εκφράσεις

Και

Εδώ
Και
.

Τα μερικά διαφορικά είναι διαφορικά συναρτήσεων μιας μεταβλητής που λαμβάνονται από μια συνάρτηση δύο μεταβλητών
στο σταθερό ή .

Παραδείγματα από την οικονομία. Εξετάστε τη συνάρτηση Cobb-Douglas ως παράδειγμα.

αξία - μέση παραγωγικότητα της εργασίας, καθώς αυτή είναι η ποσότητα των προϊόντων (σε όρους αξίας) που παράγονται από έναν εργαζόμενο.

αξία
- μέση απόδοση των περιουσιακών στοιχείων - ο αριθμός των προϊόντων ανά μηχανή.

αξία
- μέση αναλογία κεφαλαίου-εργασίας - το κόστος των κεφαλαίων ανά μονάδα πόρων εργασίας.

Άρα η μερική παράγωγος
ονομάζεται οριακή παραγωγικότητα της εργασίας επειδή είναι ίση με την προστιθέμενη αξία του προϊόντος που παράγεται από έναν ακόμη εργάτη.

Επίσης,
- οριακή απόδοση των περιουσιακών στοιχείων.

Στα οικονομικά, τίθεται συχνά το ερώτημα: κατά πόσο θα αλλάξει η παραγωγή εάν αυξηθεί ο αριθμός των εργαζομένων κατά 1% ή εάν αυξηθούν τα κεφάλαια κατά 1%; Απαντήσεις σε τέτοιες ερωτήσεις δίνονται από τις έννοιες της ελαστικότητας μιας συνάρτησης ως προς το όρισμα ή τη σχετική παράγωγο. Βρείτε την ελαστικότητα της παραγωγής σε σχέση με την εργασία
. Αντικαθιστώντας στον αριθμητή τη μερική παράγωγο που υπολογίστηκε παραπάνω , παίρνουμε
. Η παράμετρος λοιπόν έχει σαφή οικονομική σημασία - είναι η ελαστικότητα της παραγωγής σε σχέση με την εργασία.

Η παράμετρος έχει την ίδια σημασία. είναι η ελαστικότητα της παραγωγής προς τα κεφάλαια.

Όριο συνάρτησης δύο μεταβλητών.
Έννοια και παραδείγματα λύσεων

Καλώς ήρθατε στο τρίτο μάθημα σχετικά με το θέμα FNP, όπου όλοι οι φόβοι σας άρχισαν τελικά να γίνονται πραγματικότητα =) Όπως πολλοί υποπτεύονταν, η έννοια του ορίου επεκτείνεται επίσης σε μια συνάρτηση ενός αυθαίρετου αριθμού επιχειρημάτων, τα οποία πρέπει να καταλάβουμε σήμερα. Ωστόσο, υπάρχουν κάποια αισιόδοξα νέα. Συνίσταται στο γεγονός ότι στο , το όριο είναι αφηρημένο σε κάποιο βαθμό και οι αντίστοιχες εργασίες είναι εξαιρετικά σπάνιες στην πράξη. Από αυτή την άποψη, η προσοχή μας θα επικεντρωθεί στα όρια μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών ή, όπως το γράφουμε συχνά: .

Πολλές ιδέες, αρχές και μέθοδοι μοιάζουν με τη θεωρία και την πράξη των «συνηθισμένων» ορίων, πράγμα που σημαίνει ότι αυτή τη στιγμήεσυ πρεπει να μπορεί να βρει όριακαι το πιο σημαντικό, ΚΑΤΑΛΑΒΕ τι όριο συνάρτησης μιας μεταβλητής. Και, αφού η μοίρα σας έφερε σε αυτή τη σελίδα, τότε, πιθανότατα, έχετε ήδη καταλάβει και ξέρετε πώς να κάνετε πολλά. Και αν όχι, δεν πειράζει, όλα τα κενά μπορούν πραγματικά να καλυφθούν σε λίγες ώρες και ακόμη και λεπτά.

Τα γεγονότα αυτού του μαθήματος εκτυλίσσονται στον τρισδιάστατο κόσμο μας, και ως εκ τούτου θα ήταν απλά μια τεράστια παράλειψη να μην λάβουμε μέρος ζωντανά σε αυτά. Ας κατασκευάσουμε πρώτα το γνωστό Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο διάστημα. Ας σηκωθούμε και ας περπατήσουμε στο δωμάτιο για λίγο... ...το πάτωμα στο οποίο περπατάτε είναι επίπεδο. Ας βάλουμε κάπου έναν άξονα ... καλά, για παράδειγμα, σε οποιαδήποτε γωνία, για να μην παρεμβαίνουμε στο δρόμο. Εξαιρετική. Τώρα, σηκώστε το βλέμμα και φανταστείτε ότι υπάρχει μια κουβέρτα που κρέμεται εκεί. Αυτό επιφάνεια, που δίνεται από τη συνάρτηση . Η κίνησή μας στο πάτωμα, όπως είναι εύκολα κατανοητό, μιμείται μια αλλαγή σε ανεξάρτητες μεταβλητές, και μπορούμε να κινηθούμε μόνο κάτω από τα σκεπάσματα, δηλ. V τομείς μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών. Αλλά η διασκέδαση μόλις αρχίζει. Ακριβώς πάνω από την άκρη της μύτης σου, μια μικρή κατσαρίδα σέρνεται πάνω στην κουβέρτα, όπου είσαι, εκεί είναι. Ας τον πούμε Φρέντι. Η κίνησή του προσομοιώνει την αλλαγή των αντίστοιχων τιμών της συνάρτησης (εκτός εάν η επιφάνεια ή τα θραύσματά της είναι παράλληλα με το επίπεδο και το ύψος δεν αλλάζει). Αγαπητέ αναγνώστη με το όνομα Freddie, μην προσβάλλεσαι, είναι απαραίτητο για την επιστήμη.

Ας πάρουμε ένα σουβλί στα χέρια μας και τρυπάμε την κουβέρτα σε ένα αυθαίρετο σημείο, το ύψος του οποίου συμβολίζουμε με , μετά το οποίο κολλάμε το εργαλείο στο πάτωμα αυστηρά κάτω από την τρύπα - αυτό θα είναι ένα σημείο. Τώρα ας ξεκινήσουμε απείρως κοντάπροσεγγίσει αυτό το σημείο , και έχουμε το δικαίωμα να προσεγγίσουμε ΣΕ ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ τροχιά (κάθε σημείο του οποίου, φυσικά, περιλαμβάνεται στον τομέα του ορισμού). Αν σε ΟΛΕΣ τις περιπτώσεις ο Φρέντυ απείρως κοντάσύρετε μέχρι το τρύπημα σε ύψος και ΑΚΡΙΒΩΣ ΣΕ ΑΥΤΟ ΤΟ ΥΨΟΣ, τότε η συνάρτηση έχει όριο σε ένα σημείο στο :

Εάν, υπό τις καθορισμένες συνθήκες, το σημείο διάτρησης βρίσκεται στην άκρη της κουβέρτας, τότε το όριο θα εξακολουθεί να υπάρχει - είναι σημαντικό να αυθαίρετα μικρή γειτονιάοι άκρες του σουβλί ήταν τουλάχιστον μερικά σημεία από την περιοχή ορισμού συνάρτησης. Επιπλέον, όπως στην περίπτωση του όριο συνάρτησης μιας μεταβλητής, δεν έχει σημασίαείτε η συνάρτηση ορίζεται στο σημείο είτε όχι. Δηλαδή, η παρακέντησή μας μπορεί να καλυφθεί με τσίχλα (Σκέψου ότι η συνάρτηση δύο μεταβλητών είναι συνεχής) και αυτό δεν θα επηρεάσει την κατάσταση - θυμηθείτε ότι η ίδια η ουσία του ορίου συνεπάγεται απείρως στενή προσέγγιση, και όχι «ακριβής προσέγγιση» στο σημείο.

Ωστόσο, η χωρίς σύννεφα ζωή αμαυρώνεται από το γεγονός ότι σε αντίθεση με τον μικρό του αδερφό, το όριο είναι πολύ πιο συχνά ανύπαρκτο. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι συνήθως υπάρχουν πολλά μονοπάτια προς ένα συγκεκριμένο σημείο στο αεροπλάνο και καθένα από αυτά θα πρέπει να οδηγεί τον Freddie αυστηρά σε μια παρακέντηση (προαιρετικά «κολλάει με τσίχλα»)και αυστηρά στο ύψος. Και υπάρχουν περισσότερες από αρκετές παράξενες επιφάνειες με όχι λιγότερο περίεργες ασυνέχειες, γεγονός που οδηγεί σε παραβίαση αυτής της αυστηρής συνθήκης σε ορισμένα σημεία.

Οργανώνουμε το απλούστερο παράδειγμα- πάρτε ένα μαχαίρι στα χέρια μας και κόψτε την κουβέρτα έτσι ώστε το τρυπημένο σημείο να βρίσκεται στη γραμμή κοπής. Σημειώστε ότι το όριο υπάρχει ακόμα, το μόνο είναι ότι έχουμε χάσει το δικαίωμα να πατάμε σημεία κάτω από τη γραμμή κοπής, αφού αυτή η περιοχή "έπεσε" από εύρος λειτουργίας. Τώρα ανασηκώστε απαλά την αριστερή πλευρά της κουβέρτας κατά μήκος του άξονα και μετακινήστε τη δεξιά πλευρά, αντίθετα, προς τα κάτω ή ακόμα και αφήστε την στη θέση της. Τι άλλαξε; Αλλά το εξής έχει αλλάξει θεμελιωδώς: αν τώρα πλησιάσουμε το σημείο στα αριστερά, τότε ο Φρέντι θα είναι σε υψηλότερο ύψος από ό,τι αν πλησιάζαμε αυτό το σημείο στα δεξιά. Επομένως, δεν υπάρχει όριο.

Και φυσικά, υπέροχα όρια, όπου χωρίς αυτά. Εξετάστε ένα διδακτικό παράδειγμα από κάθε άποψη:

Παράδειγμα 11

Χρησιμοποιούμε τον οδυνηρά γνωστό τριγωνομετρικό τύπο, όπου οργανώνουμε με μια τυπική τεχνητή τεχνική πρώτα υπέροχα όρια :

Ας προχωρήσουμε στις πολικές συντεταγμένες:
Αν τότε

Φαίνεται ότι η απόφαση καταλήγει σε φυσικό αποτέλεσμα και τίποτα δεν προμηνύει πρόβλημα, αλλά στο τέλος υπάρχει μεγάλος κίνδυνος να γίνει ένα σοβαρό ελάττωμα, τη φύση του οποίου έχω ήδη υπαινιχθεί στο Παράδειγμα 3 και περιέγραψα λεπτομερώς μετά Παράδειγμα 6. Πρώτα, το τέλος και μετά το σχόλιο:

Ας δούμε γιατί θα ήταν κακό να γράφουμε απλώς «άπειρο» ή «συν άπειρο». Ας δούμε τον παρονομαστή: αφού , τότε η πολική ακτίνα τείνει να απείρως μικρόθετική τιμή: . Εκτός, . Έτσι, το πρόσημο του παρονομαστή και ολόκληρο το όριο εξαρτάται μόνο από το συνημίτονο:
αν η πολική γωνία (2ο και 3ο τρίμηνο συντεταγμένων: );
αν η πολική γωνία (1ο και 4ο τέταρτο συντεταγμένων: ).

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι αν προσεγγίσουμε την αρχή από αριστερά, τότε την επιφάνεια που δίνει η συνάρτηση , εκτείνεται μέχρι το άπειρο:

Τμήμα: Ανώτερα Μαθηματικά

Εκθεση ΙΔΕΩΝ

στο γνωστικό αντικείμενο "Ανώτατα Μαθηματικά"

Θέμα: "Όριο και συνέχεια συναρτήσεων πολλών μεταβλητών"

Togliatti, 2008

Εισαγωγή

Η έννοια της συνάρτησης μιας μεταβλητής δεν καλύπτει όλες τις εξαρτήσεις που υπάρχουν στη φύση. Ακόμη και στα πιο απλά προβλήματα, υπάρχουν ποσότητες των οποίων οι τιμές καθορίζονται από έναν συνδυασμό τιμών πολλών ποσοτήτων.

Για τη μελέτη τέτοιων εξαρτήσεων, εισάγεται η έννοια της συνάρτησης πολλών μεταβλητών.

Η έννοια της συνάρτησης πολλών μεταβλητών

Ορισμός.αξία uονομάζεται συνάρτηση πολλών ανεξάρτητων μεταβλητών ( Χ, y, z, …, t), εάν κάθε σύνολο τιμών αυτών των μεταβλητών σχετίζεται με μια συγκεκριμένη τιμή της ποσότητας u.

Αν μια μεταβλητή είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών ΧΚαι στο, τότε συμβολίζεται η λειτουργική εξάρτηση

z = φά (Χ, y).

Σύμβολο φάορίζει εδώ ένα σύνολο ενεργειών ή έναν κανόνα για τον υπολογισμό μιας τιμής zγια ένα δεδομένο ζεύγος τιμών ΧΚαι στο.

Έτσι, για τη λειτουργία z = Χ 2 + 3xy

στο Χ= 1 και στο= 1 έχουμε z = 4,

στο Χ= 2 και στο= 3 έχουμε z = 22,

στο Χ= 4 και στο= 0 έχουμε z= 16 κ.λπ.

Η ποσότητα ονομάζεται παρόμοια uσυνάρτηση τριών μεταβλητών Χ, y, z, εάν δοθεί ένας κανόνας, όπως για τη δεδομένη τριάδα τιμών Χ, yΚαι zυπολογίστε την αντίστοιχη τιμή u:

u = φά (Χ, y, z).

Εδώ σύμβολο φάορίζει ένα σύνολο ενεργειών ή έναν κανόνα για τον υπολογισμό μιας τιμής uπου αντιστοιχούν σε δεδομένες τιμές Χ, yΚαι z.

Έτσι, για τη λειτουργία u = xy + 2xz – 3yz

στο Χ = 1, στο= 1 και z= 1 έχουμε u = 0,

στο Χ = 1, στο= -2 και z= 3 έχουμε u = 22,

στο Χ = 2, στο= -1 και z= -2 έχουμε u = -16 κλπ.

Έτσι, εάν, δυνάμει κάποιου νόμου κάθε συλλογής Παριθμοί ( Χ, y, z, …, t) από κάποιο σετ μιεκχωρεί μια συγκεκριμένη τιμή σε μια μεταβλητή u, τότε και uονομάζεται συνάρτηση του Πμεταβλητές Χ, y, z, …, tορίζεται στο σετ μι, και συμβολίζεται

u = φά(Χ, y, z, …, t).

Μεταβλητές Χ, y, z, …, tονομάζονται ορίσματα συνάρτησης, το σύνολο μι– πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Η ιδιωτική τιμή μιας συνάρτησης είναι η τιμή της συνάρτησης σε κάποιο σημείο Μ 0 (Χ 0 , y 0 , z 0 , …, t 0) και συμβολίζεται φά (Μ 0) = φά (Χ 0 , y 0 , z 0 , …, t 0).

Ο τομέας μιας συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των τιμών ορισμάτων που αντιστοιχούν σε οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές της συνάρτησης.

Συνάρτηση δύο μεταβλητών z = φά (Χ, y) στο διάστημα αντιπροσωπεύεται από κάποια επιφάνεια. Όταν δηλαδή ένα σημείο με συντεταγμένες Χ, στοδιατρέχει ολόκληρο το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, που βρίσκεται στο επίπεδο hoy, το αντίστοιχο χωρικό σημείο, μιλώντας γενικά, περιγράφει την επιφάνεια.

Συνάρτηση τριών μεταβλητών u = φά (Χ, y, z) θεωρείται ως συνάρτηση ενός σημείου κάποιου συνόλου σημείων στον τρισδιάστατο χώρο. Ομοίως, η συνάρτηση Πμεταβλητές u = φά(Χ, y, z, …, t) θεωρείται ως συνάρτηση σημείου ορισμένων Π-διαστατικός χώρος.

Όριο συνάρτησης πολλών μεταβλητών

Για να δώσουμε την έννοια του ορίου μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών, περιοριζόμαστε στην περίπτωση δύο μεταβλητών ΧΚαι στο. Εξ ορισμού, η συνάρτηση φά (Χ, y) έχει ένα όριο στο σημείο ( Χ 0 , στο 0) ίσο με τον αριθμό ΕΝΑ, σημειώνεται ως εξής:

(1)

(γράφουν περισσότερα φά (Χ, y) →ΕΝΑστο (Χ, y) → (Χ 0 , στο 0)) αν ορίζεται σε κάποια γειτονιά του σημείου ( Χ 0 , στο 0), εκτός ίσως από αυτό το ίδιο το σημείο και αν υπάρχει όριο

(2)

οτιδήποτε τείνει να ( Χ 0 , στο 0) ακολουθία σημείων ( x k, y k).

Ακριβώς όπως στην περίπτωση μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής, μπορούμε να εισαγάγουμε έναν άλλο ισοδύναμο ορισμό του ορίου μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών: συνάρτηση φάέχει στο σημείο ( Χ 0 , στο 0) όριο ίσο με ΕΝΑ, αν ορίζεται σε κάποια γειτονιά του σημείου ( Χ 0 , στο 0) με πιθανή εξαίρεση αυτού του σημείου, και για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε

| φά (Χ, y) – ΕΝΑ| < ε(3)

για όλα (Χ, y) ικανοποιώντας τις ανισότητες

< δ. (4)

Αυτός ο ορισμός, με τη σειρά του, είναι ισοδύναμος με το ακόλουθο: για κάθε ε > 0, υπάρχει μια δ-γειτονιά του σημείου ( Χ 0 , στο 0) έτσι ώστε για όλους ( Χ, y) από αυτήν τη γειτονιά εκτός από ( Χ 0 , στο 0), ισχύει η ανισότητα (3).

Επειδή οι συντεταγμένες ενός αυθαίρετου σημείου ( Χ, y) γειτονιά του σημείου ( Χ 0 , στο 0) μπορεί να γραφτεί ως x = x 0 + Δ Χ, y = y 0 + Δ στο, τότε η ισότητα (1) είναι ισοδύναμη με την ακόλουθη ισότητα:

Εξετάστε κάποια συνάρτηση που ορίζεται σε μια γειτονιά του σημείου ( Χ 0 , στο 0), εκτός ίσως από αυτό το ίδιο το σημείο.

Έστω ω = (ω Χ, ω στο) είναι ένα αυθαίρετο διάνυσμα μήκους ένα (|ω| 2 = ω Χ 2 + w στο 2 = 1) και t> 0 είναι βαθμωτή. Προβολή σημείων

(Χ 0 + tω Χ, y 0 + tω στο) (0 < t)

σχηματίζουν μια δέσμη που βγαίνει από ( Χ 0 , στο 0) προς την κατεύθυνση του διανύσματος ω. Για κάθε ω, μπορούμε να θεωρήσουμε τη συνάρτηση

φά(Χ 0 + tω Χ, y 0 + tω στο) (0 < t< δ)

από μια βαθμωτή μεταβλητή t, όπου δ είναι ένας αρκετά μικρός αριθμός.

Το όριο αυτής της συνάρτησης (μία μεταβλητή t)

φά(Χ 0 + tω Χ, y 0 + tω στο),

αν υπάρχει, είναι φυσικό να ονομαστεί το όριο φάστο σημείο ( Χ 0 , στο 0) προς την κατεύθυνση ω.

Παράδειγμα 1Λειτουργίες

ορίζεται στο αεροπλάνο ( Χ, y) εκτός από το σημείο Χ 0 = 0, στο 0 = 0. Έχουμε (λάβετε υπόψη ότι

Και ):

(για ε > 0 θέτουμε δ = ε/2 και μετά | φά (Χ, y) | < ε, если

< δ).

από το οποίο φαίνεται ότι το όριο φ στο σημείο (0, 0) είναι γενικά διαφορετικό σε διαφορετικές κατευθύνσεις (το μοναδιαίο διάνυσμα της ακτίνας y = kx, Χ> 0 έχει τη μορφή

Παράδειγμα 2Σκεφτείτε το R 2 λειτουργία

(Χ 4 + στο 2 ≠ 0).

Αυτή η συνάρτηση στο σημείο (0, 0) σε οποιαδήποτε γραμμή y = kxη διέλευση από την αρχή έχει όριο ίσο με μηδέν:

στο Χ → 0.

Ωστόσο, αυτή η συνάρτηση δεν έχει όριο στα σημεία (0, 0), γιατί για y = x 2

Και

Θα γράψω

εάν η συνάρτηση φάορίζεται σε κάποια γειτονιά του σημείου ( Χ 0 , στο 0), με πιθανή εξαίρεση το ίδιο το σημείο ( Χ 0 , στο 0) και για οποιαδήποτε Ν> 0, υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε

|φά (Χ, y) | > Ν,

μόλις 0<

< δ.

Μπορείτε επίσης να μιλήσετε για το όριο φά, Οταν Χ, στο → ∞:

(5)

Για παράδειγμα, στην περίπτωση ενός πεπερασμένου αριθμού ΕΝΑΗ ισότητα (5) πρέπει να γίνει κατανοητή με την έννοια ότι για οποιοδήποτε ε > 0 υπάρχει τέτοιο Ν> 0, που είναι για όλους Χ, στο, για το οποίο | Χ| > Ν, |y| > Ν, λειτουργία φάορίζεται και η ανισότητα

Σκεφτείτε ένα επίπεδο και ένα σύστημα Oxy Καρτεσιανές ορθογώνιες συντεταγμένες σε αυτό (μπορούν να ληφθούν υπόψη και άλλα συστήματα συντεταγμένων).

Από την αναλυτική γεωμετρία γνωρίζουμε ότι κάθε διατεταγμένο ζεύγος αριθμών (x, y) μπορεί να ταιριάζει με ένα μόνο σημείο Μ επίπεδο και αντίστροφα, κάθε σημείο Μ το επίπεδο αντιστοιχεί σε ένα μόνο ζεύγος αριθμών.

Επομένως, στο μέλλον, μιλώντας για ένα σημείο, θα εννοούμε συχνά το ζεύγος των αριθμών που αντιστοιχεί σε αυτό (x, y) και αντίστροφα.

Ορισμός 1.2 Σύνολο ζευγών αριθμών (x, y) η ικανοποίηση των ανισώσεων λέγεται ορθογώνιο (ανοιχτό).

Στο επίπεδο, θα απεικονιστεί ως ορθογώνιο (Εικ. 1.2) με πλευρές παράλληλες προς τους άξονες συντεταγμένων και κεντραρισμένο στο σημείο Μ 0 (Χ 0 y 0 ) .

Ένα ορθογώνιο συνήθως συμβολίζεται με το ακόλουθο σύμβολο:

Ας εισαγάγουμε μια σημαντική έννοια για περαιτέρω παρουσίαση: τη γειτονιά ενός σημείου.

Ορισμός 1.3 Ορθογώνιο δ - γειτονιά ( γειτονιά δέλτα ) σημεία Μ 0 (Χ 0 y 0 ) ονομάζεται ορθογώνιο

με κέντρο σε ένα σημείο Μ 0 και με πλευρές ίδιου μήκους 2δ .

Ορισμός 1.4 Εγκύκλιος δ - γειτονιά του σημείου Μ 0 (Χ 0 y 0 ) ονομάζεται κύκλος ακτίνας δ με κέντρο σε ένα σημείο Μ 0 , δηλαδή το σύνολο των σημείων M(xy) , του οποίου οι συντεταγμένες ικανοποιούν την ανισότητα:

Μπορείτε να εισαγάγετε τις έννοιες των γειτονιών και άλλων τύπων, αλλά για τους σκοπούς της μαθηματικής ανάλυσης τεχνικών προβλημάτων, χρησιμοποιούνται κυρίως μόνο ορθογώνιες και κυκλικές γειτονιές.

Ας εισαγάγουμε την ακόλουθη έννοια του ορίου μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών.

Αφήστε τη λειτουργία z = f(x, y) ορίζεται σε κάποια περιοχή ζ Και Μ 0 (Χ 0 y 0 ) - ένα σημείο που βρίσκεται μέσα ή στα όρια αυτής της περιοχής.

Ορισμός 1.5 Πεπερασμένος αριθμός ΕΝΑ που ονομάζεται όριο της συνάρτησης f (x, y) στο

εάν για οποιονδήποτε θετικό αριθμό ε μπορείτε να βρείτε έναν θετικό αριθμό δ αυτή η ανισότητα

εκτελούνται για όλα τα σημεία M(x, y) από την περιοχή ζ , άλλο από Μ 0 (Χ 0 y 0 ) , των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν τις ανισότητες:

Η έννοια αυτού του ορισμού είναι ότι οι τιμές της συνάρτησης f(x, y) αυθαίρετα ελάχιστα διαφέρουν από τον αριθμό Α σε σημεία μιας αρκετά μικρής γειτονιάς του σημείου Μ 0 .

Εδώ, ο ορισμός βασίζεται σε ορθογώνιες γειτονιές Μ 0 . Θα μπορούσε κανείς να θεωρήσει κυκλικές γειτονιές ενός σημείου Μ 0 και τότε θα ήταν απαραίτητο να απαιτηθεί η εκπλήρωση της ανισότητας

σε όλα τα σημεία M(x, y) περιοχές ζ , άλλο από Μ 0 και πληρούν την προϋπόθεση:

Απόσταση μεταξύ σημείων Μ Και Μ 0 .

Χρησιμοποιούνται τα ακόλουθα σύμβολα ορίου:

Δεδομένου του ορισμού του ορίου μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών, μπορεί κανείς να μεταφέρει τα βασικά οριακά θεωρήματα για συναρτήσεις μιας μεταβλητής σε συναρτήσεις δύο μεταβλητών.

Για παράδειγμα, θεωρήματα για το όριο του αθροίσματος, του γινομένου και του πηλίκου δύο συναρτήσεων.

§3 Συνέχεια συνάρτησης δύο μεταβλητών

Αφήστε τη λειτουργία z = f(x,y) ορίζεται στο σημείο Μ 0 (Χ 0 y 0 ) και το περιβάλλον του.

Ορισμός 1.6 Μια συνάρτηση ονομάζεται συνεχής σε ένα σημείο Μ 0 (Χ 0 y 0 ) , Αν

Εάν η συνάρτηση f(x,y) συνεχής στο σημείο Μ 0 (Χ 0 y 0 ) , Οτι

Επειδή η

Αν δηλαδή η συνάρτηση f(x,y) συνεχής στο σημείο Μ 0 (Χ 0 y 0 ) , τότε οι απειροελάχιστες αυξήσεις ορισμάτων σε αυτήν την περιοχή αντιστοιχούν σε μια απειροελάχιστη προσαύξηση Δz λειτουργίες z .

Η αντίστροφη πρόταση ισχύει επίσης: εάν μια απειροελάχιστη αύξηση των ορισμάτων αντιστοιχεί σε μια απειροελάχιστη αύξηση της συνάρτησης, τότε η συνάρτηση είναι συνεχής

Μια συνάρτηση που είναι συνεχής σε κάθε σημείο της περιοχής ονομάζεται συνεχής στην περιοχή. Για συνεχείς συναρτήσεις δύο μεταβλητών, καθώς και για συνάρτηση μιας μεταβλητής, συνεχής σε ένα τμήμα, ισχύουν τα θεμελιώδη θεωρήματα των Weierstrass και Bolzano-Cauchy.

Αναφορά: Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) - Γερμανός μαθηματικός. Bernard Bolzano (1781 - 1848) - Τσέχος μαθηματικός και φιλόσοφος. Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) - Γάλλος μαθηματικός, πρόεδρος της Γαλλικής Ακαδημίας Επιστημών (1844 - 1857).

Παράδειγμα 1.4. Διερεύνηση για συνέχεια μιας συνάρτησης

Αυτή η συνάρτηση ορίζεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών Χ Και y , εκτός από την προέλευση, όπου ο παρονομαστής εξαφανίζεται.

Πολυώνυμος Χ 2 +y 2 είναι συνεχής παντού, και επομένως η τετραγωνική ρίζα μιας συνεχούς συνάρτησης είναι επίσης συνεχής.

Το κλάσμα θα είναι συνεχές παντού εκτός από τα σημεία όπου ο παρονομαστής είναι ίσος με μηδέν. Δηλαδή, η εξεταζόμενη συνάρτηση είναι συνεχής σε ολόκληρο το επίπεδο συντεταγμένων Ωχ εξαιρουμένης της προέλευσης.

Παράδειγμα 1.5. Διερεύνηση για συνέχεια μιας συνάρτησης z=tg(x,y) . Η εφαπτομένη είναι καθορισμένη και συνεχής για όλες τις πεπερασμένες τιμές του ορίσματος, εκτός από τιμές ίσες με περιττό αριθμό μεγέθους π/2 , δηλ. εκτός από τα σημεία όπου

Για κάθε διορθωμένο "κ" Η εξίσωση (1.11) ορίζει μια υπερβολή. Επομένως, η υπό εξέταση συνάρτηση είναι μια συνεχής συνάρτηση x και y , εξαιρουμένων των σημείων που βρίσκονται στις καμπύλες (1.11).

Για να δώσουμε την έννοια του ορίου μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών, περιοριζόμαστε στην περίπτωση δύο μεταβλητών ΧΚαι στο. Εξ ορισμού, η συνάρτηση f(x, y)έχει ένα όριο στο σημείο ( Χ 0 , στο 0) ίσο με τον αριθμό ΕΝΑ, σημειώνεται ως εξής:

(γράφουν περισσότερα f(x, y)>ΕΝΑστο (x, y)> (Χ 0 , στο 0)) αν ορίζεται σε κάποια γειτονιά του σημείου ( Χ 0 , στο 0), εκτός ίσως από αυτό το ίδιο το σημείο και αν υπάρχει όριο

οτιδήποτε τείνει να ( Χ 0 , στο 0) ακολουθία σημείων ( Χ κ , y κ).

Ακριβώς όπως στην περίπτωση μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής, μπορούμε να εισαγάγουμε έναν άλλο ισοδύναμο ορισμό του ορίου μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών: συνάρτηση φάέχει στο σημείο ( Χ 0 , στο 0) όριο ίσο με ΕΝΑ, αν ορίζεται σε κάποια γειτονιά του σημείου ( Χ 0 , στο 0) με πιθανή εξαίρεση αυτού του σημείου, και για οποιοδήποτε e > 0 υπάρχει q > 0 τέτοιο ώστε

| f(x, y) - ΕΝΑ | < е (3)

για όλα (x, y)

0 < < д. (4)

Αυτός ο ορισμός, με τη σειρά του, είναι ισοδύναμος με τον ακόλουθο: για κάθε e > 0 υπάρχει q-γειτονιά του σημείου ( Χ 0 , στο 0) έτσι ώστε για όλους ( x, y) από αυτήν τη γειτονιά εκτός από ( Χ 0 , στο 0), ισχύει η ανισότητα (3).

Επειδή οι συντεταγμένες ενός αυθαίρετου σημείου ( x, y) γειτονιά του σημείου ( Χ 0 , στο 0) μπορεί να γραφτεί ως x = x 0 + ρε Χ, y = y 0 + Δ στο, τότε η ισότητα (1) είναι ισοδύναμη με την ακόλουθη ισότητα:

Έστω u = (u Χ, sch στο) είναι ένα αυθαίρετο διάνυσμα μήκους ένα (|w| 2 = w Χ 2 + w στο 2 = 1) και t> 0 είναι βαθμωτή. Προβολή σημείων ( Χ 0 + t sch Χ , y 0 + t sch στο) (0 < t)

σχηματίζουν μια δέσμη που βγαίνει από ( Χ 0 , στο 0) προς την κατεύθυνση του διανύσματος w. Για κάθε u μπορούμε να εξετάσουμε τη συνάρτηση

φά (Χ 0 + t sch Χ , y 0 + t sch στο) (0 < t < д)

από μια βαθμωτή μεταβλητή t, όπου q είναι ένας αρκετά μικρός αριθμός.

Το όριο αυτής της συνάρτησης (μία μεταβλητή t)

φά (Χ 0 + t sch Χ , y 0 + t sch στο),

φάστο σημείο ( Χ 0 , στο 0) προς την κατεύθυνση w.

Παράδειγμα 1Λειτουργίες

ορίζεται στο αεροπλάνο ( x, y) εκτός από το σημείο Χ 0 = 0, στο 0 = 0. Έχουμε (λάβετε υπόψη ότι και):

(για e > 0 βάζουμε q = e/2 και μετά | f(x, y)| < е, если < д).

από το οποίο μπορεί να φανεί ότι το όριο u στο σημείο (0, 0) είναι γενικά διαφορετικό σε διαφορετικές κατευθύνσεις (το μοναδιαίο διάνυσμα της ακτίνας y=kx, Χ> 0 έχει τη μορφή

Παράδειγμα 2Σκεφτείτε το R 2 λειτουργία

(Χ 4 + στο 2 ? 0).

Αυτή η συνάρτηση στο σημείο (0, 0) σε οποιαδήποτε γραμμή y=kxη διέλευση από την αρχή έχει όριο ίσο με μηδέν:

στο Χ > 0.

Ωστόσο, αυτή η συνάρτηση δεν έχει όριο στα σημεία (0, 0), γιατί για y = x 2

Θα γράψουμε εάν η συνάρτηση φάορίζεται σε κάποια γειτονιά του σημείου ( Χ 0 , στο 0), με πιθανή εξαίρεση το ίδιο το σημείο ( Χ 0 , στο 0) και για οποιαδήποτε Ν> 0 υπάρχει q > 0 τέτοιο ώστε

| f(x, y)| > Ν,

μόλις 0< < д.

Μπορείτε επίσης να μιλήσετε για το όριο φά, Οταν Χ, στο > ?:

ΕΝΑΗ ισότητα (5) πρέπει να γίνει κατανοητή με την έννοια ότι για οποιοδήποτε e > 0 υπάρχει τέτοιο Ν> 0, που είναι για όλους Χ, στο, για το οποίο | Χ| > Ν, |y| > Ν, λειτουργία φάορίζεται και η ανισότητα

| f(x, y) - ΕΝΑ| < е.

Οι ισότητες είναι δίκαιες

που μπορεί να είναι Χ > ?, στο>?. Επιπλέον, ως συνήθως, τα (πεπερασμένα) όρια στην αριστερή τους πλευρά υπάρχουν εάν υπάρχουν όρια φάκαι γ.

Ας αποδείξουμε για παράδειγμα (7).

ας ( Χ κ , y κ) > (Χ 0 , στο 0) ((Χ κ , y κ) ? (Χ 0 , στο 0)); Επειτα

Έτσι, το όριο στην αριστερή πλευρά του (9) υπάρχει και είναι ίσο με τη δεξιά πλευρά του (9), και αφού η ακολουθία ( Χ κ , y κ) τείνει να ( Χ 0 , στο 0) σύμφωνα με οποιονδήποτε νόμο, τότε αυτό το όριο είναι ίσο με το όριο της συνάρτησης f(x, y)ντο (x, y)στο σημείο ( Χ 0 , στο 0).

Θεώρημα.εάν η λειτουργία f(x, y)έχει μη μηδενικό όριο στο σημείο ( Χ 0 , στο 0), δηλ.

τότε υπάρχει q > 0 τέτοιο ώστε για όλα Χ, στοικανοποιώντας τις ανισότητες

0 < < д, (10)

ικανοποιεί την ανισότητα

Επομένως, για τέτοια (x, y)

εκείνοι. ισχύει η ανισότητα (11). Από την ανισότητα (12) για τα υποδεικνυόμενα (x, y)προκύπτει από πού Α> 0 και σε

ΕΝΑ < 0 (сохранение знака).

Εξ ορισμού, η συνάρτηση f(x) = f(x 1 , …, Χ n ) = Αέχει ένα όριο στο σημείο

Χ 0 = , ίσο με τον αριθμό ΕΝΑ, σημειώνεται ως εξής:

(γράφουν περισσότερα f(x) > ΕΝΑ (Χ > Χ 0)) αν ορίζεται σε κάποια γειτονιά του σημείου Χ 0 , εκτός ίσως από τον εαυτό της, και αν υπάρχει όριο

όποια και αν είναι η προσπάθεια για ΧΑκολουθία 0 σημείων Χ καπό την καθορισμένη γειτονιά ( κ= 1, 2, ...) εκτός από Χ 0 .

Ένας άλλος ισοδύναμος ορισμός είναι ο εξής: συνάρτηση φάέχει στο σημείο Χ 0 όριο ίσο με ΕΝΑ, αν ορίζεται σε κάποια γειτονιά του σημείου Χ 0 , με την πιθανή εξαίρεση του εαυτού του, και για κάθε e > 0 υπάρχει q > 0 τέτοιο ώστε

για όλα Χικανοποιώντας τις ανισότητες

0 < |x-x 0 | < д.

Αυτός ο ορισμός είναι με τη σειρά του ισοδύναμος με τον ακόλουθο: για οποιοδήποτε e > 0 υπάρχει μια γειτονιά U(x 0 ) σημεία Χ 0 τέτοια που για όλους xU(x 0 ) , Χ ? Χ 0, η ανισότητα (13) ικανοποιείται.

Προφανώς, αν ο αριθμός ΕΝΑυπάρχει ένα όριο f(x) V Χ 0, λοιπόν ΕΝΑυπάρχει όριο λειτουργίας f(x 0 + η)από ηστο σημείο μηδέν:

και αντίστροφα.

Σκεφτείτε κάποια λειτουργία φά, δίνεται σε όλα τα σημεία της γειτονιάς του σημείου Χ 0 , εκτός ίσως από την τελεία Χ 0; ας u = (u 1 , ..., u Π) είναι ένα αυθαίρετο διάνυσμα μήκους ένα (|w| = 1) και t> 0 είναι βαθμωτή. Προβολή σημείων Χ 0 + t u (0< t) σχηματίζουν την εξερχόμενη Χ 0 ακτίνα προς την κατεύθυνση του διανύσματος w. Για κάθε u μπορούμε να εξετάσουμε τη συνάρτηση

(0 < t < д щ)

από μια βαθμωτή μεταβλητή t, όπου q u είναι ένας αριθμός που εξαρτάται από το u. Το όριο αυτής της συνάρτησης (από μία μεταβλητή t)

αν υπάρχει, είναι φυσικό να ονομαστεί το όριο φάστο σημείο Χ 0 προς την κατεύθυνση του διανύσματος w.

Θα γράψουμε εάν η συνάρτηση φάορίζεται σε κάποια γειτονιά Χ 0, εκτός ίσως Χ 0, και για οποιαδήποτε Ν> 0 υπάρχει q > 0 τέτοιο ώστε | f(x)| > Ν, μόλις 0< |x-x 0 | < д.

Μπορείτε να μιλήσετε για το όριο φά, Οταν Χ > ?:

Για παράδειγμα, στην περίπτωση ενός πεπερασμένου αριθμού ΕΝΑΗ ισότητα (14) πρέπει να γίνει κατανοητή με την έννοια ότι για οποιοδήποτε e > 0 μπορεί κανείς να προσδιορίσει τέτοιο Ν> 0, που για πόντους Χ, για το οποίο | Χ| > Ν, λειτουργία φάορίζεται και ισχύει η ανισότητα.

Άρα το όριο της συνάρτησης f(x) = f(x 1 , ..., Χ Π ) από ΠΟι μεταβλητές ορίζονται αναλογικά με τον ίδιο τρόπο όπως για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών.

Έτσι, στραφούμε στον ορισμό του ορίου μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών.

Αριθμός ΕΝΑονομάζεται όριο της συνάρτησης f(M)στο Μ > Μ 0 αν για οποιονδήποτε αριθμό e > 0 υπάρχει πάντα ένας αριθμός q > 0 τέτοιος ώστε για οποιαδήποτε σημεία Μ, άλλο από Μ 0 και ικανοποιεί την προϋπόθεση | ΜΜ 0 | < д, будет иметь место неравенство | f(M) - ΕΝΑ | < е.