Το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.
Το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου είναι απλό πράγμα. Και σε νόημα και σε τύπο. Αλλά υπάρχουν όλα τα είδη εργασιών σε αυτό το θέμα. Από στοιχειώδες έως αρκετά συμπαγές.
Αρχικά, ας ασχοληθούμε με τη σημασία και τον τύπο του αθροίσματος. Και μετά θα αποφασίσουμε. Για τη δική σας ευχαρίστηση.) Η έννοια του αθροίσματος είναι τόσο απλή όσο το χαμήλωμα. Για να βρείτε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, χρειάζεται απλώς να προσθέσετε προσεκτικά όλα τα μέλη της. Εάν αυτοί οι όροι είναι λίγοι, μπορείτε να προσθέσετε χωρίς τύπους. Αλλά αν υπάρχουν πολλά, ή πολλά ... η προσθήκη είναι ενοχλητική.) Σε αυτήν την περίπτωση, ο τύπος σώζει.
Ο τύπος του αθροίσματος είναι απλός:
Ας μάθουμε τι είδους γράμματα περιλαμβάνονται στον τύπο. Αυτό θα ξεκαθαρίσει πολλά.
S n είναι το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου. Αποτέλεσμα προσθήκης όλαμέλη, με πρώταεπί τελευταίος.Είναι σημαντικό. Προσθέστε ακριβώς όλαμέλη στη σειρά, χωρίς κενά και άλματα. Και, ακριβώς, ξεκινώντας από πρώτα.Σε προβλήματα όπως η εύρεση του αθροίσματος του τρίτου και του όγδοου όρων ή του αθροίσματος των όρων πέντε έως εικοστού, η άμεση εφαρμογή του τύπου θα είναι απογοητευτική.)
Α'1 - ο πρώτοςμέλος της προόδου. Όλα είναι ξεκάθαρα εδώ, είναι απλό πρώτααριθμός σειράς.
a n- τελευταίοςμέλος της προόδου. Ο τελευταίος αριθμός της σειράς. Δεν είναι πολύ γνωστό όνομα, αλλά, όταν εφαρμόζεται στην ποσότητα, είναι πολύ κατάλληλο. Τότε θα το δείτε μόνοι σας.
n είναι ο αριθμός του τελευταίου μέλους. Είναι σημαντικό να καταλάβουμε ότι στον τύπο αυτός ο αριθμός συμπίπτει με τον αριθμό των προστιθέμενων όρων.
Ας ορίσουμε την έννοια τελευταίοςμέλος a n. Συμπληρωματική ερώτηση: τι είδους μέλος θα τελευταίος,αν δοθεί ατελείωτεςαριθμητική πρόοδος;
Για μια σίγουρη απάντηση, πρέπει να κατανοήσετε τη στοιχειώδη σημασία μιας αριθμητικής προόδου και ... να διαβάσετε προσεκτικά την εργασία!)
Στην εργασία εύρεσης του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου, εμφανίζεται πάντα ο τελευταίος όρος (άμεσα ή έμμεσα), που θα πρέπει να περιοριστεί.Διαφορετικά, ένα πεπερασμένο, συγκεκριμένο ποσό απλά δεν υπάρχει.Για τη λύση, δεν έχει σημασία τι είδους εξέλιξη δίνεται: πεπερασμένη ή άπειρη. Δεν έχει σημασία πώς δίνεται: από μια σειρά αριθμών, ή από τον τύπο του nου μέλους.
Το πιο σημαντικό είναι να κατανοήσουμε ότι ο τύπος λειτουργεί από τον πρώτο όρο της προόδου στον όρο με τον αριθμό n.Στην πραγματικότητα, το πλήρες όνομα του τύπου μοιάζει με αυτό: το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας αριθμητικής προόδου.Ο αριθμός αυτών των πρώτων μελών, δηλ. n, καθορίζεται αποκλειστικά από την εργασία. Στην εργασία, όλες αυτές οι πολύτιμες πληροφορίες είναι συχνά κρυπτογραφημένες, ναι ... Αλλά τίποτα, στα παρακάτω παραδείγματα θα αποκαλύψουμε αυτά τα μυστικά.)
Παραδείγματα εργασιών για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.
Πρωτίστως, ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ:
Η κύρια δυσκολία στις εργασίες για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου είναι ο σωστός προσδιορισμός των στοιχείων του τύπου.
Οι συντάκτες των εργασιών κρυπτογραφούν αυτά τα στοιχεία με απεριόριστη φαντασία.) Το κύριο πράγμα εδώ είναι να μην φοβάστε. Κατανοώντας την ουσία των στοιχείων, αρκεί απλώς να τα αποκρυπτογραφήσουμε. Ας ρίξουμε μια ματιά σε μερικά παραδείγματα λεπτομερώς. Ας ξεκινήσουμε με μια εργασία που βασίζεται σε ένα πραγματικό GIA.
1. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη: a n = 2n-3,5. Βρείτε το άθροισμα των 10 πρώτων όρων.
Καλή δουλειά. Εύκολο.) Για να προσδιορίσουμε την ποσότητα σύμφωνα με τον τύπο, τι πρέπει να γνωρίζουμε; Πρώτο Μέλος Α'1, τελευταίος όρος a n, ναι ο αριθμός του τελευταίου όρου n.
Πού να βρείτε τον τελευταίο αριθμό μέλους n? Ναι, στο ίδιο μέρος, στην κατάσταση! Λέει βρείτε το άθροισμα τα πρώτα 10 μέλη.Λοιπόν, τι αριθμός θα είναι τελευταίος,δέκατο μέλος;) Δεν θα το πιστέψετε, ο αριθμός του είναι δέκατος!) Επομένως, αντί για a nθα αντικαταστήσουμε στον τύπο ένα 10, αλλά ανταυτού n- δέκα. Και πάλι, ο αριθμός του τελευταίου μέλους είναι ίδιος με τον αριθμό των μελών.
Μένει να καθοριστεί Α'1και ένα 10. Αυτό υπολογίζεται εύκολα από τον τύπο του nου όρου, που δίνεται στη δήλωση προβλήματος. Δεν ξέρετε πώς να το κάνετε; Επισκεφθείτε το προηγούμενο μάθημα, χωρίς αυτό - τίποτα.
Α'1= 2 1 - 3,5 = -1,5
ένα 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5
S n = S 10.
Ανακαλύψαμε τη σημασία όλων των στοιχείων του τύπου για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου. Απομένει να τα αντικαταστήσουμε και να μετρήσουμε:
Αυτό είναι το μόνο που υπάρχει σε αυτό. Απάντηση: 75.
Μια άλλη εργασία που βασίζεται στο GIA. Λίγο πιο περίπλοκο:
2. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος (a n), η διαφορά της οποίας είναι 3,7. a 1 \u003d 2.3. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 15 όρων.
Γράφουμε αμέσως τον τύπο αθροίσματος:
Αυτός ο τύπος μας επιτρέπει να βρούμε την τιμή οποιουδήποτε μέλους με τον αριθμό του. Ψάχνουμε για μια απλή αντικατάσταση:
a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1
Απομένει να αντικαταστήσουμε όλα τα στοιχεία του τύπου για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου και να υπολογίσουμε την απάντηση:
Απάντηση: 423.
Παρεμπιπτόντως, εάν στον τύπο αθροίσματος αντί για a nΑπλώς αντικαταστήστε τον τύπο του nου όρου, παίρνουμε:
Δίνουμε παρόμοια, παίρνουμε έναν νέο τύπο για το άθροισμα των μελών μιας αριθμητικής προόδου:
 |
Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει καμία ανάγκη ντο μέλος a n. Σε ορισμένες εργασίες, αυτός ο τύπος βοηθάει πολύ, ναι... Μπορείτε να θυμηθείτε αυτόν τον τύπο. Και μπορείτε απλά να το αποσύρετε την κατάλληλη στιγμή, όπως εδώ. Εξάλλου, ο τύπος για το άθροισμα και ο τύπος για τον nο όρο πρέπει να θυμόμαστε με κάθε τρόπο.)
Τώρα η εργασία με τη μορφή μιας σύντομης κρυπτογράφησης):
3. Να βρείτε το άθροισμα όλων των θετικών διψήφιων αριθμών που είναι πολλαπλάσια του τριών.
Πως! Κανένα πρώτο μέλος, κανένα τελευταίο, καμία εξέλιξη... Πώς να ζήσεις!;
Θα πρέπει να σκεφτείτε με το κεφάλι σας και να βγάλετε από τη συνθήκη όλα τα στοιχεία του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου. Τι είναι οι διψήφιοι αριθμοί - ξέρουμε. Αποτελούνται από δύο αριθμούς.) Ποιος διψήφιος αριθμός θα πρώτα? 10, πιθανώς.) το τελευταίο πράγμαδιψήφιος αριθμός; 99, φυσικά! Οι τριψήφιοι θα τον ακολουθήσουν...
Πολλαπλάσια των τριών... Χμ... Είναι αριθμοί που διαιρούνται ομοιόμορφα με το τρία, εδώ! Το δέκα δεν διαιρείται με το τρία, το 11 δεν διαιρείται... Το 12... διαιρείται! Άρα, κάτι προκύπτει. Μπορείτε ήδη να γράψετε μια σειρά σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Αυτή η σειρά θα είναι μια αριθμητική πρόοδος; Φυσικά! Κάθε όρος διαφέρει από τον προηγούμενο αυστηρά κατά τρεις. Εάν προστεθεί 2 ή 4 στον όρο, ας πούμε, το αποτέλεσμα, δηλ. ένας νέος αριθμός δεν θα διαιρείται πλέον με το 3. Μπορείτε να προσδιορίσετε αμέσως τη διαφορά της αριθμητικής προόδου στο σωρό: d = 3.Χρήσιμος!)
Έτσι, μπορούμε να γράψουμε με ασφάλεια ορισμένες παραμέτρους προόδου:
Ποιος θα είναι ο αριθμός nτελευταίο μέλος; Όποιος πιστεύει ότι το 99 κάνει μοιραία λάθος ... Αριθμοί - πηγαίνουν πάντα στη σειρά και τα μέλη μας ξεπερνούν τους τρεις πρώτους. Δεν ταιριάζουν.
Εδώ υπάρχουν δύο λύσεις. Ένας τρόπος είναι για τους σούπερ εργατικούς. Μπορείτε να ζωγραφίσετε την πρόοδο, ολόκληρη τη σειρά των αριθμών και να μετρήσετε τον αριθμό των όρων με το δάχτυλό σας.) Ο δεύτερος τρόπος είναι για τους σκεπτόμενους. Πρέπει να θυμάστε τον τύπο για τον nο όρο. Εάν εφαρμοστεί ο τύπος στο πρόβλημά μας, παίρνουμε ότι το 99 είναι το τριακοστό μέλος της προόδου. Εκείνοι. n = 30.
Εξετάζουμε τον τύπο για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου:
Κοιτάμε και χαιρόμαστε.) Βγάλαμε όλα τα απαραίτητα για τον υπολογισμό του ποσού από την κατάσταση του προβλήματος:
Α'1= 12.
ένα 30= 99.
S n = S 30.
Αυτό που μένει είναι η στοιχειώδης αριθμητική. Αντικαταστήστε τους αριθμούς στον τύπο και υπολογίστε:
Απάντηση: 1665
Ένας άλλος τύπος δημοφιλών παζλ:
4. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Βρείτε το άθροισμα των όρων από τον εικοστό έως τον τριακοστό τέταρτο.
Κοιτάμε τον τύπο του αθροίσματος και ... στεναχωριόμαστε.) Ο τύπος, να σας θυμίσω, υπολογίζει το άθροισμα από την πρώτημέλος. Και στο πρόβλημα πρέπει να υπολογίσετε το άθροισμα από τον εικοστό...Ο τύπος δεν θα λειτουργήσει.
Μπορείτε, φυσικά, να ζωγραφίσετε ολόκληρη την εξέλιξη σε μια σειρά και να βάλετε τα μέλη από 20 έως 34. Αλλά ... κατά κάποιο τρόπο αποδεικνύεται ανόητα και για μεγάλο χρονικό διάστημα, σωστά;)
Υπάρχει μια πιο κομψή λύση. Ας χωρίσουμε τη σειρά μας σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος θα από τον πρώτο όρο έως τον δέκατο ένατο.Το δεύτερο μέρος - είκοσι έως τριάντα τέσσερα.Είναι σαφές ότι αν υπολογίσουμε το άθροισμα των όρων του πρώτου μέρους S 1-19, ας το προσθέσουμε στο άθροισμα των μελών του δεύτερου μέρους S 20-34, παίρνουμε το άθροισμα της προόδου από τον πρώτο όρο στον τριακοστό τέταρτο S 1-34. Σαν αυτό:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Αυτό δείχνει ότι για να βρείτε το άθροισμα S 20-34μπορεί να γίνει με απλή αφαίρεση
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Λαμβάνονται υπόψη και τα δύο ποσά στη δεξιά πλευρά από την πρώτημέλος, δηλ. Ο τυπικός τύπος αθροίσματος είναι αρκετά εφαρμόσιμος σε αυτά. Ξεκινάμε;
Εξάγουμε τις παραμέτρους προόδου από την συνθήκη εργασίας:
d = 1,5.
Α'1= -21,5.
Για να υπολογίσουμε τα αθροίσματα των πρώτων 19 και των πρώτων 34 όρων, θα χρειαστούμε τον 19ο και τον 34ο όρο. Τις μετράμε σύμφωνα με τον τύπο του nου όρου, όπως στο πρόβλημα 2:
ένα 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
ένα 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
Δεν έμεινε τίποτα. Αφαιρέστε το άθροισμα των 19 όρων από το άθροισμα των 34 όρων:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Απάντηση: 262,5
Μια σημαντική σημείωση! Υπάρχει μια πολύ χρήσιμη δυνατότητα για την επίλυση αυτού του προβλήματος. Αντί για άμεσο υπολογισμό τι χρειάζεστε (S 20-34),μετρήσαμε τι, φαίνεται, δεν χρειάζεται - S 1-19.Και μετά αποφάσισαν S 20-34, απορρίπτοντας τα περιττά από το πλήρες αποτέλεσμα. Μια τέτοια "προσποίηση με τα αυτιά" συχνά σώζει σε κακούς γρίφους.)
Σε αυτό το μάθημα, εξετάσαμε προβλήματα για τα οποία αρκεί να κατανοήσουμε την έννοια του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου. Λοιπόν, πρέπει να γνωρίζετε μερικούς τύπους.)
Πρακτικές συμβουλές:
Όταν λύνετε οποιοδήποτε πρόβλημα για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, συνιστώ να γράψετε αμέσως τους δύο κύριους τύπους από αυτό το θέμα.
Τύπος του nου όρου:
Αυτοί οι τύποι θα σας πουν αμέσως τι να αναζητήσετε, προς ποια κατεύθυνση να σκεφτείτε για να λύσετε το πρόβλημα. Βοηθάει.
Και τώρα τα καθήκοντα για ανεξάρτητη λύση.
5. Να βρείτε το άθροισμα όλων των διψήφιων αριθμών που δεν διαιρούνται με το τρία.
Καλό;) Η υπόδειξη είναι κρυμμένη στη σημείωση για το πρόβλημα 4. Λοιπόν, το πρόβλημα 3 θα βοηθήσει.
6. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 24 όρων.
Ασυνήθιστο;) Αυτή είναι μια επαναλαμβανόμενη φόρμουλα. Μπορείτε να διαβάσετε σχετικά στο προηγούμενο μάθημα. Μην αγνοήσετε τον σύνδεσμο, τέτοια παζλ βρίσκονται συχνά στο GIA.
7. Η Βάσια μάζεψε χρήματα για τις διακοπές. Μέχρι και 4550 ρούβλια! Και αποφάσισα να χαρίσω στον πιο αγαπημένο άνθρωπο (τον εαυτό μου) λίγες μέρες ευτυχίας). Ζήστε όμορφα χωρίς να αρνηθείτε τίποτα στον εαυτό σας. Ξοδέψτε 500 ρούβλια την πρώτη μέρα και ξοδέψτε 50 ρούβλια περισσότερα κάθε επόμενη μέρα από την προηγούμενη! Μέχρι να τελειώσουν τα λεφτά. Πόσες μέρες ευτυχίας είχε η Βάσια;
Είναι δύσκολο;) Μια πρόσθετη φόρμουλα από την εργασία 2 θα βοηθήσει.
Απαντήσεις (σε αταξία): 7, 3240, 6.
Αν σας αρέσει αυτό το site...
Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)
Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)
μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.
Απάντηση: η σειρά αποκλίνει.
Παράδειγμα #3
Βρείτε το άθροισμα της σειράς $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.
Εφόσον το κατώτερο όριο άθροισης είναι 1, ο κοινός όρος της σειράς γράφεται κάτω από το πρόσημο αθροίσματος: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Να συνθέσετε το νιο μερικό άθροισμα της σειράς, δηλ. άθροισμα των πρώτων $n$ μελών της δεδομένης αριθμητικής σειράς:
$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$
Το γιατί γράφω ακριβώς $\frac(2)(3\cdot 5)$, και όχι $\frac(2)(15)$, θα φανεί από την περαιτέρω αφήγηση. Ωστόσο, η καταγραφή ενός μερικού ποσού δεν μας έφερε ούτε ένα γιώτα πιο κοντά στον στόχο. Εξάλλου, πρέπει να βρούμε το $\lim_(n\to\infty)S_n$, αλλά αν απλώς γράψουμε:
$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$
τότε αυτός ο δίσκος, απόλυτα σωστός σε μορφή, δεν θα μας δώσει τίποτα στην ουσία. Για να βρεθεί το όριο, η έκφραση μερικού αθροίσματος πρέπει πρώτα να απλοποιηθεί.
Υπάρχει ένας τυπικός μετασχηματισμός για αυτό, ο οποίος συνίσταται στην αποσύνθεση του κλάσματος $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, που αντιπροσωπεύει τον κοινό όρο της σειράς, σε στοιχειώδη κλάσματα. Ένα ξεχωριστό θέμα είναι αφιερωμένο στο ζήτημα της αποσύνθεσης των ορθολογικών κλασμάτων σε στοιχειώδη (βλ., για παράδειγμα, το παράδειγμα Νο. 3 σε αυτήν τη σελίδα). Επεκτείνοντας το κλάσμα $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ σε στοιχειώδη κλάσματα, έχουμε:
$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$
Εξισώνουμε τους αριθμητές των κλασμάτων στην αριστερή και τη δεξιά πλευρά της ισότητας που προκύπτει:
$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$
Υπάρχουν δύο τρόποι για να βρείτε τις τιμές των $A$ και $B$. Μπορείτε να ανοίξετε τις αγκύλες και να αναδιατάξετε τους όρους ή μπορείτε απλώς να αντικαταστήσετε κάποιες κατάλληλες τιμές αντί για $n$. Απλά για μια αλλαγή, σε αυτό το παράδειγμα θα πάμε στον πρώτο τρόπο και στον επόμενο - θα αντικαταστήσουμε τις ιδιωτικές τιμές $n$. Επεκτείνοντας τις αγκύλες και αναδιατάσσοντας τους όρους, παίρνουμε:
$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$
Στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, το $n$ προηγείται του μηδέν. Εάν θέλετε, η αριστερή πλευρά της ισότητας μπορεί να αναπαρασταθεί για λόγους σαφήνειας ως $0\cdot n+ 2$. Εφόσον στην αριστερή πλευρά της ισότητας $n$ προηγείται το μηδέν, και στη δεξιά πλευρά της ισότητας $2A+2B$ προηγείται της $n$, έχουμε την πρώτη εξίσωση: $2A+2B=0$. Αμέσως διαιρούμε και τα δύο μέρη αυτής της εξίσωσης με 2 και μετά παίρνουμε $A+B=0$.
Εφόσον ο ελεύθερος όρος στην αριστερή πλευρά της ισότητας είναι ίσος με 2 και στη δεξιά πλευρά της ισότητας ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με $3A+B$, τότε $3A+B=2$. Έτσι έχουμε ένα σύστημα:
$$ \αριστερά\(\αρχή(στοίχιση) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(στοίχιση)\δεξιά. $$
Η απόδειξη θα γίνει με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής. Στο πρώτο βήμα, πρέπει να ελέγξουμε αν η απαιτούμενη ισότητα $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ισχύει για $n=1$. Γνωρίζουμε ότι $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, αλλά η έκφραση $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ θα δώσει την τιμή $\frac( 2 )(15)$ εάν το $n=1$ αντικατασταθεί σε αυτό; Ας ελέγξουμε:
$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$
Άρα, για $n=1$ η ισότητα $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ικανοποιείται. Αυτό ολοκληρώνει το πρώτο βήμα της μεθόδου της μαθηματικής επαγωγής.
Ας υποθέσουμε ότι για $n=k$ ισχύει η ισότητα, δηλ. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Ας αποδείξουμε ότι η ίδια ισότητα θα ισχύει για $n=k+1$. Για να το κάνετε αυτό, σκεφτείτε $S_(k+1)$:
$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$
Αφού $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, τότε $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Σύμφωνα με την παραπάνω υπόθεση $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, οπότε ο τύπος $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ παίρνει η μορφή:
$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$
Συμπέρασμα: ο τύπος $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ισχύει για $n=k+1$. Επομένως, σύμφωνα με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής, ο τύπος $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ισχύει για κάθε $n\σε N$. Η ισότητα έχει αποδειχθεί.
Σε ένα τυπικό μάθημα στα ανώτερα μαθηματικά, συνήθως αρκείται κανείς στη «διαγραφή» των ακυρωτικών όρων, χωρίς να απαιτείται καμία απόδειξη. Έχουμε λοιπόν μια έκφραση για η μερικήαθροίσματα: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Βρείτε την τιμή του $\lim_(n\to\infty)S_n$:
Συμπέρασμα: η δεδομένη σειρά συγκλίνει και το άθροισμά της είναι $S=\frac(1)(3)$.
Ο δεύτερος τρόπος είναι να απλοποιήσετε τον τύπο για το μερικό άθροισμα.
Για να είμαι ειλικρινής, προτιμώ αυτή τη μέθοδο ο ίδιος :) Ας γράψουμε το μερικό άθροισμα σε συντομογραφία:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$
Πήραμε νωρίτερα ότι $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, οπότε:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\αριστερά (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\δεξιά). $$
Το άθροισμα $S_n$ περιέχει έναν πεπερασμένο αριθμό όρων, οπότε μπορούμε να τους αναδιατάξουμε όπως θέλουμε. Θέλω πρώτα να προσθέσω όλους τους όρους της φόρμας $\frac(1)(2k+1)$ και μόνο μετά να πάω στους όρους της φόρμας $\frac(1)(2k+3)$. Αυτό σημαίνει ότι θα αντιπροσωπεύσουμε το μερικό άθροισμα σε αυτήν τη μορφή:
$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$
Φυσικά, η διευρυμένη σημείωση είναι εξαιρετικά άβολη, επομένως η παραπάνω ισότητα μπορεί να γραφτεί πιο συμπαγή:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$
Τώρα μετατρέπουμε τις εκφράσεις $\frac(1)(2k+1)$ και $\frac(1)(2k+3)$ στην ίδια μορφή. Νομίζω ότι είναι βολικό να το κάνεις να μοιάζει με μεγαλύτερο κλάσμα (αν και μπορείς να χρησιμοποιήσεις μικρότερο, είναι θέμα γούστου). Εφόσον $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (όσο μεγαλύτερος είναι ο παρονομαστής, τόσο μικρότερο είναι το κλάσμα), θα μειώσουμε το κλάσμα $\frac(1)(2k+ 3) $ στη μορφή $\frac(1)(2k+1)$.
Θα παρουσιάσω την έκφραση στον παρονομαστή του κλάσματος $\frac(1)(2k+3)$ ως εξής:
$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$
Και το άθροισμα $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ μπορεί τώρα να γραφτεί ως εξής:
$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1 )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$
Αν η ισότητα $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) Το $ δεν εγείρει ερωτήσεις, τότε ας πάμε παρακάτω. Εάν υπάρχουν ερωτήσεις, επεκτείνετε τη σημείωση.
Πώς λάβαμε το μετατρεπόμενο ποσό; εμφάνιση απόκρυψη
Είχαμε τη σειρά $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Ας εισαγάγουμε μια νέα μεταβλητή αντί για $k+1$ - για παράδειγμα, $t$. Άρα $t=k+1$.
Πώς άλλαξε η παλιά μεταβλητή $k$; Και άλλαξε από 1 σε $n$. Ας μάθουμε πώς θα αλλάξει η νέα μεταβλητή $t$. Αν $k=1$, τότε $t=1+1=2$. Αν $k=n$, τότε $t=n+1$. Άρα η έκφραση $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ είναι τώρα: $\sum\limits_(t=2)^(n + 1)\frac(1)(2t+1)$.
$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$
Έχουμε το άθροισμα $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Ερώτηση: έχει σημασία ποιο γράμμα θα χρησιμοποιηθεί σε αυτό το άθροισμα; :) Γράφοντας τυπικά το γράμμα $k$ αντί για $t$, παίρνουμε το εξής:
$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$
Έτσι είναι η ισότητα $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1) λαμβάνεται \frac(1)(2k+1)$.
Έτσι, το μερικό άθροισμα μπορεί να αναπαρασταθεί με την ακόλουθη μορφή:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). $$
Σημειώστε ότι τα αθροίσματα $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ και $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ διαφέρουν μόνο στα όρια άθροισης. Ας κάνουμε αυτά τα όρια ίδια. "Λαμβάνοντας" το πρώτο στοιχείο από το άθροισμα $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ παίρνουμε:
$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$
"Λαμβάνοντας" το τελευταίο στοιχείο από το άθροισμα $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, παίρνουμε:
$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$
Τότε η έκφραση για το μερικό άθροισμα θα έχει τη μορφή:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$
Εάν παραλείψετε όλες τις επεξηγήσεις, τότε η διαδικασία εύρεσης ενός συντομευμένου τύπου για το ν-ο μερικό άθροισμα θα έχει την ακόλουθη μορφή:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$
Να σας υπενθυμίσω ότι μειώσαμε το κλάσμα $\frac(1)(2k+3)$ στη μορφή $\frac(1)(2k+1)$. Φυσικά, μπορείτε να κάνετε το αντίθετο, δηλ. αντιπροσωπεύστε το κλάσμα $\frac(1)(2k+1)$ ως $\frac(1)(2k+3)$. Η τελική έκφραση για το μερικό άθροισμα δεν θα αλλάξει. Σε αυτήν την περίπτωση, θα κρύψω τη διαδικασία εύρεσης μερικού ποσού κάτω από ένα σημείωμα.
Πώς να βρείτε το $S_n$, εάν φέρετε τη μορφή ενός διαφορετικού κλάσματος; εμφάνιση απόκρυψη
$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). $$
Άρα $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Βρείτε το όριο $\lim_(n\to\infty)S_n$:
$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$
Η δεδομένη σειρά συγκλίνει και το άθροισμά της είναι $S=\frac(1)(3)$.
Απάντηση: $S=\frac(1)(3)$.
Η συνέχεια του θέματος της εύρεσης του αθροίσματος μιας σειράς θα εξεταστεί στο δεύτερο και τρίτο μέρος.
Πριν αρχίσουμε να αποφασίζουμε προβλήματα αριθμητικής προόδου, σκεφτείτε τι είναι μια αριθμητική ακολουθία, αφού μια αριθμητική πρόοδος είναι μια ειδική περίπτωση μιας αριθμητικής ακολουθίας.
Αριθμητική ακολουθία είναι ένα σύνολο αριθμών, κάθε στοιχείο του οποίου έχει το δικό του σειριακός αριθμός . Τα στοιχεία αυτού του συνόλου ονομάζονται μέλη της ακολουθίας. Ο τακτικός αριθμός ενός στοιχείου ακολουθίας υποδεικνύεται από έναν δείκτη:
Το πρώτο στοιχείο της ακολουθίας.
Το πέμπτο στοιχείο της ακολουθίας.
- «η» στοιχείο της ακολουθίας, δηλ. το στοιχείο "στέκεται στην ουρά" στον αριθμό n.
Υπάρχει μια εξάρτηση μεταξύ της τιμής ενός στοιχείου ακολουθίας και του τακτικού του αριθμού. Επομένως, μπορούμε να θεωρήσουμε μια ακολουθία ως συνάρτηση της οποίας το όρισμα είναι ο τακτικός αριθμός ενός στοιχείου της ακολουθίας. Με άλλα λόγια, αυτό μπορεί να το πει κανείς η ακολουθία είναι συνάρτηση του φυσικού ορίσματος:
Η σειρά μπορεί να καθοριστεί με τρεις τρόπους:
1 . Η σειρά μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας έναν πίνακα.Σε αυτήν την περίπτωση, ορίζουμε απλώς την τιμή κάθε μέλους της ακολουθίας.
Για παράδειγμα, Κάποιος αποφάσισε να κάνει προσωπική διαχείριση χρόνου και, αρχικά, να υπολογίσει πόσο χρόνο ξοδεύει στο VKontakte κατά τη διάρκεια της εβδομάδας. Γράφοντας την ώρα σε έναν πίνακα, θα πάρει μια ακολουθία που αποτελείται από επτά στοιχεία:
Η πρώτη γραμμή του πίνακα περιέχει τον αριθμό της ημέρας της εβδομάδας, η δεύτερη - την ώρα σε λεπτά. Βλέπουμε ότι, δηλαδή, τη Δευτέρα Κάποιος πέρασε 125 λεπτά στο VKontakte, δηλαδή την Πέμπτη - 248 λεπτά, και, δηλαδή, την Παρασκευή, μόνο 15.
2 . Η αλληλουχία μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο nth μέλους.
Σε αυτήν την περίπτωση, η εξάρτηση της τιμής ενός στοιχείου ακολουθίας από τον αριθμό του εκφράζεται απευθείας ως τύπος.
Για παράδειγμα, αν , τότε
Για να βρούμε την τιμή ενός στοιχείου ακολουθίας με έναν δεδομένο αριθμό, αντικαθιστούμε τον αριθμό του στοιχείου στον τύπο για το nο μέλος.
Κάνουμε το ίδιο εάν πρέπει να βρούμε την τιμή μιας συνάρτησης εάν η τιμή του ορίσματος είναι γνωστή. Αντικαθιστούμε την τιμή του ορίσματος στην εξίσωση της συνάρτησης:
Αν, για παράδειγμα, 
, έπειτα
Για άλλη μια φορά, σημειώνω ότι σε μια ακολουθία, σε αντίθεση με μια αυθαίρετη αριθμητική συνάρτηση, μόνο ένας φυσικός αριθμός μπορεί να είναι όρισμα.
3 . Η ακολουθία μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας έναν τύπο που εκφράζει την εξάρτηση της τιμής του μέλους της ακολουθίας με τον αριθμό n από την τιμή των προηγούμενων μελών. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν αρκεί να γνωρίζουμε μόνο τον αριθμό ενός μέλους ακολουθίας για να βρούμε την τιμή του. Πρέπει να καθορίσουμε το πρώτο μέλος ή τα πρώτα μέλη της ακολουθίας.
Για παράδειγμα, εξετάστε τη σειρά 
, 
Μπορούμε να βρούμε τις τιμές των μελών μιας ακολουθίας σε ακολουθία, ξεκινώντας από το τρίτο:
Δηλαδή, κάθε φορά για να βρούμε την τιμή του ντος μέλους της ακολουθίας, επιστρέφουμε στα δύο προηγούμενα. Αυτός ο τρόπος αλληλουχίας ονομάζεται επαναλαμβανόμενος, από τη λατινική λέξη επανάληψη- ελα πισω.
Τώρα μπορούμε να ορίσουμε μια αριθμητική πρόοδο. Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια απλή ειδική περίπτωση μιας αριθμητικής ακολουθίας.
Αριθμητική πρόοδος ονομάζεται αριθμητική ακολουθία, κάθε μέλος της οποίας, ξεκινώντας από τη δεύτερη, ισούται με την προηγούμενη, που προστίθεται με τον ίδιο αριθμό.
Ο αριθμός καλείται η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου. Η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να είναι θετική, αρνητική ή μηδενική.
Αν title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} αυξανόμενη.
Για παράδειγμα, 2; 5; οκτώ; έντεκα;...
Αν , τότε κάθε όρος της αριθμητικής προόδου είναι μικρότερος από τον προηγούμενο, και η πρόοδος είναι φθίνουσα.
Για παράδειγμα, 2; -ένας; -τέσσερα; -7;...
Αν , τότε όλα τα μέλη της προόδου είναι ίσα με τον ίδιο αριθμό, και η πρόοδος είναι ακίνητος.
Για παράδειγμα, 2;2;2;2;...
Η κύρια ιδιότητα μιας αριθμητικής προόδου:
Ας δούμε την εικόνα.
Το βλέπουμε αυτό
, και ταυτόχρονα
Προσθέτοντας αυτές τις δύο ισότητες, παίρνουμε:
.
Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 2:
Άρα, κάθε μέλος της αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από το δεύτερο, ισούται με τον αριθμητικό μέσο όρο δύο γειτονικών:
Επιπλέον, επειδή
, και ταυτόχρονα
, έπειτα
, και ως εκ τούτου
Κάθε μέλος της αριθμητικής προόδου που ξεκινά με title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
ο τύπος μέλους.
Βλέπουμε ότι για τα μέλη της αριθμητικής προόδου ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις:
και τελικά
Πήραμε τύπος του ν ου όρου.
ΣΠΟΥΔΑΙΟΣ!Οποιοδήποτε μέλος μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να εκφραστεί με όρους και . Γνωρίζοντας τον πρώτο όρο και τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου, μπορείτε να βρείτε οποιοδήποτε από τα μέλη του.
Το άθροισμα n μελών μιας αριθμητικής προόδου.
Σε μια αυθαίρετη αριθμητική πρόοδο, τα αθροίσματα των όρων που απέχουν ίσα από τους ακραίους είναι ίσα μεταξύ τους:
Θεωρήστε μια αριθμητική πρόοδο με n μέλη. Έστω το άθροισμα των n μελών αυτής της προόδου ίσο με .
Τακτοποιήστε τους όρους της προόδου πρώτα σε αύξουσα σειρά αριθμών και μετά σε φθίνουσα σειρά:
Ας το ζευγαρώσουμε:
Το άθροισμα σε κάθε παρένθεση είναι , ο αριθμός των ζευγών είναι n.
Παίρνουμε:
Ετσι, Το άθροισμα των n μελών μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τους τύπους:
Σκεφτείτε επίλυση προβλημάτων αριθμητικής προόδου.
1 . Η ακολουθία δίνεται από τον τύπο του nου όρου: . Να αποδείξετε ότι αυτή η ακολουθία είναι μια αριθμητική πρόοδος.
Ας αποδείξουμε ότι η διαφορά μεταξύ δύο γειτονικών μελών της ακολουθίας είναι ίση με τον ίδιο αριθμό.
Καταλήξαμε ότι η διαφορά δύο γειτονικών μελών της ακολουθίας δεν εξαρτάται από τον αριθμό τους και είναι σταθερά. Επομένως, εξ ορισμού, αυτή η ακολουθία είναι μια αριθμητική πρόοδος.
2 . Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος -31; -27;...
α) Να βρείτε τους 31 όρους της προόδου.
β) Προσδιορίστε αν ο αριθμός 41 περιλαμβάνεται σε αυτή την εξέλιξη.
ένα)Βλέπουμε ότι ?
Ας γράψουμε τον τύπο για τον nο όρο για την πρόοδό μας.
Γενικά 
Στην περίπτωσή μας 
, να γιατί 