هر ردیف از ماتریس را A e i = (a i 1 a i 2 ...، a in) نشان می دهیم (به عنوان مثال،
e 1 = (a 11 a 12 ...، a 1 n)، e 2 = (a 21 a 22 ...، a 2 n) و غیره). هر یک از آنها یک ماتریس ردیفی است که می توان آن را در یک عدد ضرب کرد یا به سطر دیگر در آن اضافه کرد قوانین عمومیاقدامات با ماتریس

ترکیب خطیاز رشته ها e l , e 2 ,...e k مجموع حاصلضرب این رشته ها توسط اعداد واقعی دلخواه است:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k , که در آن l l , l 2 ,..., l k اعداد دلخواه هستند (ضرایب ترکیب خطی).

سطرهای ماتریسی e l , e 2 ,...e m نامیده می شوند وابسته خطیاگر اعداد l l , l 2 ,..., l m وجود داشته باشند که همزمان برابر با صفر نباشند، به طوری که ترکیب خطی ردیف های ماتریس برابر با ردیف صفر باشد:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0، که در آن 0 = (0 0...0).

وابستگی خطی ردیف های ماتریس به این معنی است که حداقل یک ردیف از ماتریس ترکیبی خطی از بقیه است. در واقع، برای قطعیت، آخرین ضریب l m ¹ 0 را بگذارید. سپس، با تقسیم هر دو طرف تساوی بر l m، عبارتی را برای ردیف آخر به عنوان ترکیب خطی سطرهای باقی مانده به دست می آوریم:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1 .

اگر ترکیب خطی سطرها صفر باشد اگر و فقط اگر همه ضرایب صفر باشند، یعنی. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k، سپس خطوط نامیده می شوند مستقل خطی.

قضیه رتبه ماتریس. رتبه یک ماتریس برابر با حداکثر تعداد سطرها یا ستون های مستقل خطی آن است که می توان تمام سطرها یا ستون های دیگر آن را به صورت خطی بیان کرد.

بیایید این قضیه را ثابت کنیم. فرض کنید یک m x n ماتریس A دارای رتبه r (r(A) £ min (m; n)) باشد. بنابراین، یک مینور غیر صفر از مرتبه r وجود دارد. هر گونه خردسالی فراخوانی خواهد شد پایه ای. بگذارید این یک جزئی برای قطعیت باشد

ردیف های این مینور نیز فراخوانی خواهند شد پایه ای.

اجازه دهید ثابت کنیم که سطرهای ماتریس e l , e 2 ,...e r مستقل خطی هستند. برعکس را فرض کنید، یعنی. یکی از این ردیف ها، مثلاً ردیف r، ترکیبی خطی از بقیه است: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. سپس، اگر از آن کم کنیم عناصر r-امعناصر ردیف اول ضرب در l l، عناصر ردیف دوم ضرب در l 2 و غیره، در نهایت، عناصر ردیف (r-1) در l r-1 ضرب می شوند، سپس خط rthصفر خواهد شد. در عین حال با توجه به خواص دترمینان، تعیین کننده فوق نباید تغییر کند و در عین حال باید برابر با صفر باشد. یک تناقض به دست می آید، استقلال خطی رشته ها ثابت می شود.

اجازه دهید ثابت کنیم که هر ردیف ماتریس (r+1) به صورت خطی وابسته است، یعنی. هر رشته ای را می توان در قالب رشته های اصلی بیان کرد.

بیایید جزئی را که قبلاً در نظر گرفته شده بود با یک ردیف دیگر (i-th) و یک ستون دیگر (j-th) تکمیل کنیم. در نتیجه یک مینور از مرتبه (r+1)ام بدست می آوریم که طبق تعریف رتبه برابر با صفر است.

برخی از اعداد کجا هستند (بعضی یا حتی همه این اعداد می توانند برابر با صفر باشند). این بدان معنی است که برابری های زیر بین عناصر ستون ها وجود دارد:

از (3.3.1) چنین است که

اگر برابری (3.3.3) اگر و فقط اگر درست باشد، سطرها مستقل خطی نامیده می شوند. رابطه (3.3.2) نشان می دهد که اگر یکی از سطرها به صورت خطی بر حسب بقیه بیان شود، آنگاه سطرها به صورت خطی وابسته هستند.

همچنین به راحتی می توان عکس آن را مشاهده کرد: اگر ردیف ها به صورت خطی وابسته باشند، ردیفی وجود دارد که ترکیبی خطی از ردیف های دیگر است.

اجازه دهید، برای مثال، در (3.3.3)، سپس .

تعریف. اجازه دهید مقداری جزئی از مرتبه r در ماتریس A انتخاب شود و اجازه دهید مینور از مرتبه (r + 1) همان ماتریس کاملاً حاوی مینور داخل آن باشد. می گوییم که در این مورد مینور با مینور هم مرز است (یا برای ).

اکنون یک لم مهم را ثابت می کنیم.

لمادر مورد خردسالان مرزی اگر مینور مرتبه r ماتریس A= غیر صفر باشد و تمام مینورهای حاشیه آن برابر با صفر باشند، هر سطر (ستون) ماتریس A ترکیبی خطی از سطرها (ستون های) آن است که تشکیل می دهند. .

اثبات بدون نقض کلیات استدلال، فرض می کنیم که یک مینور غیر صفر از مرتبه r در سمت چپ است. گوشه بالاییماتریس A=:

.

برای k ردیف اول ماتریس A، عبارت لم واضح است: کافی است همان ردیف را با ضریب یک در یک ترکیب خطی، و بقیه را با ضرایب برابر با صفر وارد کنیم.

اکنون ثابت می کنیم که سطرهای باقی مانده از ماتریس A به صورت خطی بر حسب k ردیف اول بیان می شوند. برای انجام این کار، با اضافه کردن ردیف kth () به مینور، یک مینور از مرتبه (r + 1) می سازیم و لستون -امین ():

.

مینور حاصل برای همه k و l صفر است. اگر، آنگاه برابر با صفر است که شامل دو ستون یکسان است. اگر، آنگاه مینور حاصل، مینور مرزی برای است و بنابراین، با فرضیه لم برابر با صفر است.

اجازه دهید جزئی را از نظر عناصر دومی گسترش دهیم لستون -ام:

با فرض، دریافت می کنیم:

(3.3.6)

عبارت (3.3.6) به این معنی است خط k-امماتریس A به صورت خطی از طریق ردیف های r اول بیان می شود.

از آنجایی که مقادیر جزئی آن هنگام جابجایی یک ماتریس تغییر نمی کند (به دلیل خاصیت عوامل تعیین کننده)، همه چیز ثابت شده برای ستون ها نیز صادق است. قضیه ثابت شده است.

نتیجه I. هر سطر (ستون) ماتریس ترکیبی خطی از سطرهای اصلی آن (ستون) است. در واقع، مینور پایه ماتریس با صفر متفاوت است و تمام مینورهای حاشیه آن برابر با صفر هستند.

نتیجه دوم. یک تعیین کننده مرتبه n برابر با صفر است اگر و فقط در صورتی که دارای ردیف‌ها (ستون‌ها) وابسته خطی باشد. کفایت وابستگی خطی ردیف‌ها (ستون‌ها) برای برابری تعیین‌کننده به صفر، قبلاً به عنوان ویژگی تعیین‌کننده‌ها ثابت شده بود.

بیایید ضرورت را ثابت کنیم. اجازه دهید یک ماتریس مربع از مرتبه n داده شود که تنها مینور آن برابر با صفر است. نتیجه این است که رتبه این ماتریس کمتر از n است، یعنی، حداقل یک ردیف وجود دارد که ترکیبی خطی از ردیف های پایه این ماتریس است.

اجازه دهید یک قضیه دیگر را در مورد رتبه یک ماتریس ثابت کنیم.

قضیه.حداکثر تعداد ردیف های مستقل خطی یک ماتریس برابر با حداکثر تعداد ستون های مستقل خطی آن و برابر با رتبه این ماتریس است.

اثبات بگذارید رتبه ماتریس A= برابر با r باشد. سپس هر یک از k ردیف های پایه آن به صورت خطی مستقل هستند، در غیر این صورت مینور پایه برابر با صفر خواهد بود. از طرف دیگر، هر ردیف r+1 یا بیشتر به صورت خطی وابسته هستند. با فرض برعکس، می‌توانیم یک مینور غیر صفر از مرتبه بزرگتر از r را با نتیجه 2 از لم قبلی پیدا کنیم. مورد اخیر با این واقعیت که حداکثر ترتیب مینورهای غیر صفر r است در تضاد است. هر چیزی که برای ردیف ها ثابت شده است برای ستون ها نیز صادق است.

در نتیجه، یک روش دیگر برای یافتن رتبه یک ماتریس ارائه می‌کنیم. رتبه یک ماتریس را می توان با یافتن یک ماکزیمم مرتبه متفاوت از صفر تعیین کرد.

در نگاه اول، این نیاز به یک محاسبه دارد، هرچند محدود، اما شاید بسیار تعداد زیادیخردسالان این ماتریس

با این حال، قضیه زیر اجازه می دهد تا ساده سازی های قابل توجهی انجام شود.

قضیه.اگر مینور ماتریس A غیر صفر باشد و تمام مینورهای حاشیه آن برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس r است.

اثبات کافی است نشان دهیم که هر زیر سیستمی از ردیف های ماتریس برای S>r تحت شرایط قضیه به صورت خطی وابسته خواهد بود (از اینجا نتیجه می شود که r حداکثر تعداد ردیف های ماتریس مستقل خطی یا هر یک از مینورهای آن از مرتبه بزرگتر است. k برابر با صفر هستند).

بیایید برعکس فرض کنیم. بگذارید ردیف ها مستقل خطی باشند. با لم مربوط به مینورهای مرزی، هر یک از آنها به صورت خطی بر حسب ردیف هایی که مینور در آنها قرار دارد و به دلیل تفاوت آن با صفر، مستقل خطی هستند بیان می شود:

حالا ترکیب خطی زیر را در نظر بگیرید:

یا

با استفاده از (3.3.7) و (3.3.8) به دست می آوریم

,

که با استقلال خطی رشته ها در تضاد است.

در نتیجه، فرض ما نادرست است و بنابراین، هر ردیف S>r تحت شرایط قضیه به صورت خطی وابسته هستند. قضیه ثابت شده است.

قانون محاسبه رتبه یک ماتریس - روش مرزبندی مینورها را بر اساس این قضیه در نظر بگیرید.

هنگام محاسبه رتبه یک ماتریس، باید از مینورهای درجه‌های پایین‌تر به فرعی‌های درجه‌های بالاتر عبور کرد. اگر یک مینور مرتبه r غیر صفر قبلاً پیدا شده باشد، آنگاه فقط مینورهای مرتبه (r+1) -ام که در مرز مینور قرار دارند باید محاسبه شوند. اگر آنها صفر باشند، رتبه ماتریس r است. این روش همچنین اگر نه تنها رتبه ماتریس را محاسبه کنیم، بلکه تعیین کنیم که کدام ستون ها (ردیف ها) پایه ماتریس را تشکیل می دهند نیز استفاده می شود.

مثال. رتبه یک ماتریس را با روش فرینگ مینورها محاسبه کنید

راه حل. مینور مرتبه دوم در گوشه سمت چپ بالای ماتریس A غیر صفر است:

.

با این حال، همه فرعی‌های مرتبه سوم اطراف آن برابر با صفر هستند:

;	;
;	;
;	.

بنابراین، رتبه ماتریس A برابر با دو است: .

ردیف های اول و دوم، ستون های اول و دوم در این ماتریس پایه هستند. سطرها و ستون های باقی مانده ترکیب خطی آنها هستند. در واقع، برابری های زیر برای رشته ها برقرار است:

در پایان، اعتبار ویژگی های زیر را یادآور می شویم:

1) رتبه حاصلضرب ماتریس ها از رتبه هر یک از عوامل بیشتر نباشد.

2) رتبه حاصلضرب یک ماتریس دلخواه A در سمت راست یا چپ توسط یک ماتریس مربع غیر مفرد Q برابر با رتبه ماتریس A است.

ماتریس های چند جمله ای

تعریف. ماتریس چند جمله ای یا ماتریس - یک ماتریس مستطیلی است که عناصر آن چند جمله ای در یک متغیر با ضرایب عددی هستند.

تبدیل های ابتدایی را می توان بر روی ماتریس ها انجام داد. این شامل:

جایگشت دو ردیف (ستون)؛

ضرب یک ردیف (ستون) در یک عدد غیر صفر؛

افزودن به یک سطر (ستون) سطر دیگر (ستون)، ضرب در هر چند جمله ای.

دو ماتریس و با اندازه یکسان معادل نامیده می شوند: اگر بتوان از ماتریس به استفاده از تعداد متناهی تبدیل های ابتدایی عبور کرد.

مثال. هم ارزی ماتریس ها را ثابت کنید

,

.

1. ستون های اول و دوم را در ماتریس جابه جا کنید:

.

2. از خط دوم، خط اول را در ():

.

3. ردیف دوم را در (-1) ضرب کنید و توجه داشته باشید

.

4. از ستون دوم، ستون اول را با ضرب در می‌گیریم

.

مجموعه همه ماتریس های اندازه های داده شده به کلاس های غیر متقاطع از ماتریس های معادل تقسیم می شود. ماتریس هایی که با یکدیگر معادل هستند یک کلاس را تشکیل می دهند، نه معادل - کلاس دیگر.

هر کلاس از ماتریس های معادل با یک ماتریس متعارف یا عادی با ابعاد معین مشخص می شود.

تعریف. ماتریس متعارف یا معمولی ابعاد، ماتریس - است که دارای چند جمله‌ای در قطر اصلی است، جایی که p کوچکتر از اعداد m و n است. ) و چندجمله ای هایی که برابر با صفر نیستند دارای ضرایب اول برابر با 1 هستند و هر چند جمله ای بعدی بر ضرایب قبلی تقسیم می شود. همه عناصر خارج از مورب اصلی 0 هستند.

از تعریف چنین بر می آید که اگر در بین چندجمله ای ها چند جمله ای درجه صفر وجود داشته باشد، آنها در ابتدای قطر اصلی قرار دارند. اگر صفر وجود داشته باشد، در انتهای مورب اصلی قرار دارند.

ماتریس مثال قبلی متعارف است. ماتریس

همچنین متعارف

هر کلاس ماتریس حاوی یک ماتریس متعارف منحصر به فرد است، به عنوان مثال. هر ماتریس معادل یک ماتریس متعارف است که به آن شکل متعارف یا شکل عادی ماتریس داده شده می گویند.

چند جمله ای های روی قطر اصلی شکل متعارف ماتریس داده شده را عوامل ثابت ماتریس داده شده می نامند.

یکی از روش‌های محاسبه فاکتورهای ثابت، کاهش ماتریس داده‌شده به شکل متعارف است.

بنابراین، برای ماتریس مثال قبلی، عوامل ثابت هستند

از آنچه گفته شد برمی‌آید که وجود همان مجموعه عوامل ثابت شرط لازم و کافی برای هم ارزی ماتریس‌ها است.

کاهش ماتریس ها به شکل متعارف به تعریف عوامل ثابت کاهش می یابد

, ; ,

جایی که r رتبه ماتریس است. - بزرگترین مقسوم علیه مینورهای مرتبه k که با بالاترین ضریب برابر با 1 گرفته می شود.

مثال. اجازه دهید ماتریس

.

راه حل. بدیهی است که بزرگترین مقسوم علیه مشترک مرتبه اول، یعنی. .

ما خردسالان مرتبه دوم را تعریف می کنیم:

,

و غیره.

در حال حاضر این داده ها برای نتیجه گیری کافی است: بنابراین، .

تعریف می کنیم

,

در نتیجه، .

بنابراین، شکل متعارف این ماتریس به صورت ماتریس زیر است:

.

چند جمله ای ماتریسی بیانی از فرم است

یک متغیر کجاست. - ماتریس های مربعی مرتبه n با عناصر عددی.

اگر S درجه چند جمله ای ماتریس نامیده می شود، n مرتبه چند جمله ای ماتریس است.

هر ماتریس درجه دوم را می توان به عنوان یک چند جمله ای ماتریس نشان داد. بدیهی است که گزاره معکوس نیز صادق است، یعنی. هر چند جمله ای ماتریسی را می توان به عنوان یک ماتریس مربعی نشان داد.

اعتبار این عبارات به وضوح از ویژگی های عملیات روی ماتریس ها ناشی می شود. بیایید به نمونه های زیر نگاه کنیم:

مثال. یک ماتریس چند جمله ای را نشان دهید

در قالب یک چند جمله ای ماتریسی می توان به صورت زیر باشد

.

مثال. چند جمله ای ماتریسی

را می توان به عنوان ماتریس چند جمله ای زیر نشان داد (-matrix)

.

این قابلیت تعویض چندجمله ای های ماتریسی و ماتریس های چند جمله ای نقش اساسی در دستگاه ریاضی روش های تحلیل عاملی و مؤلفه ای ایفا می کند.

چندجمله‌ای‌های ماتریسی هم‌ترتیب را می‌توان به همان روشی که چند جمله‌ای معمولی با ضرایب عددی اضافه، تفریق و ضرب کرد. با این حال، باید به خاطر داشت که ضرب چند جمله ای های ماتریس، به طور کلی، جابجایی نیست، زیرا ضرب ماتریس جابجایی نیست.

دو چند جمله‌ای ماتریسی اگر ضرایب آن‌ها برابر باشد، برابر نامیده می‌شوند. ماتریس های مربوط به همان توان های متغیر .

مجموع (تفاوت) دو چند جمله‌ای ماتریسی، چند جمله‌ای ماتریسی است که ضریب آن در هر درجه از متغیر برابر است با مجموع (تفاوت) ضرایب در همان درجه در چند جمله‌ای و .

برای ضرب یک چند جمله‌ای ماتریس در یک چند جمله‌ای ماتریس، باید هر یک از اعضای چند جمله‌ای ماتریس را در هر عضو چند جمله‌ای ماتریس ضرب کنید، محصولات حاصل را اضافه کنید و عبارت‌های مشابه را بیاورید.

درجه یک چند جمله ای ماتریسی حاصل ضربی کمتر یا مساوی با مجموع درجات عوامل است.

عملیات روی چند جمله ای های ماتریس را می توان با استفاده از عملیات روی ماتریس های مربوطه انجام داد.

برای جمع (تفریق) چند جمله ای های ماتریس، کافی است ماتریس های مربوطه را جمع (تفریق) کنیم. همین امر در مورد ضرب نیز صدق می کند. -ماتریس حاصل ضرب چند جمله ای های ماتریس برابر است با حاصلضرب ماتریس های عوامل.

از سوی دیگر، و می توان در فرم نوشت

که در آن B 0 یک ماتریس غیر منفرد است.

هنگام تقسیم بر، یک ضریب راست و یک باقیمانده راست وجود دارد

که در آن درجه R 1 کمتر از درجه است، یا (تقسیم بدون باقیمانده)، و همچنین ضریب چپ و باقیمانده چپ اگر و فقط اگر، کجا، ترتیب

یک ماتریس دلخواه و نه لزوما مربعی A به اندازه mxn را در نظر بگیرید.

رتبه ماتریسی

مفهوم رتبه یک ماتریس با مفهوم وابستگی خطی (استقلال) ردیف ها (ستون ها) یک ماتریس مرتبط است. این مفهوم را برای رشته ها در نظر بگیرید. برای ستون ها هم همینطور است.

سینک های ماتریس A را مشخص کنید:

e 1 \u003d (a 11، a 12، ...، a 1n)؛ e 2 \u003d (a 21, a 22, ..., a 2n)؛ ..., e m \u003d (a m1, a m2, ..., a mn)

e k =e s اگر a kj =a sj , j=1,2,…,n

عملیات حسابیروی ردیف‌های ماتریس (جمع، ضرب در یک عدد) به‌عنوان عملیاتی که عنصر به عنصر انجام می‌شود، معرفی می‌شوند:

e k +e s =[(а k1 +a s1)، (a k2 +a s2)،…، (а kn +a sn)].

خط e نامیده می شود ترکیب خطیسطرهای e 1 , e 2 ,…,e k , اگر برابر با مجموع حاصلضرب این سطرها با اعداد واقعی دلخواه باشد:

e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k

خطوط e 1 , e 2 ,…,e m نامیده می شوند وابسته خطی، اگر اعداد حقیقی λ 1 , λ 2 ,…,λ m وجود داشته باشند که همگی برابر با صفر نیستند که ترکیب خطی این سطرها برابر با ردیف صفر است: λ 1 e 1 + λ 2 e 2 +…+λ m e m = 0 ،جایی که 0 =(0,0,…,0) (1)

اگر ترکیب خطی برابر با صفر باشد اگر و فقط اگر همه ضرایب λ i برابر با صفر باشند (λ 1 =λ 2 =…=λ m = 0)، سطرهای e 1 , e 2 ,…,e m نامیده می شوند. مستقل خطی

قضیه 1. برای اینکه رشته های e 1 ,e 2 ,…,e m به صورت خطی وابسته باشند، لازم و کافی است که یکی از این رشته ها ترکیبی خطی از رشته های دیگر باشد.

اثبات. نیاز داشتن. بگذارید رشته های e 1 , e 2 ,…,e m به صورت خطی وابسته باشند. اجازه دهید، برای قطعیت، (1) λm ≠0، سپس

که رشته e m ترکیبی خطی از بقیه رشته ها است. Ch.t.d.

کفایت. بگذارید یکی از سطرها، برای مثال e m، ترکیبی خطی از سطرهای دیگر باشد. سپس اعدادی وجود دارند که برابری برقرار است، که می توان آنها را به صورت بازنویسی کرد،

که در آن حداقل 1 از ضرایب (-1) غیر صفر است. آن ها ردیف ها به صورت خطی وابسته هستند. Ch.t.d.

تعریف. مرتبه k-ام جزئیماتریس A با اندازه mxn، تعیین‌کننده مرتبه k با عناصری که در تقاطع هر k ردیف و هر k ستون ماتریس A قرار دارند نامیده می‌شود. (k≤min(m,n)). .

مثال.، خردسالان مرتبه 1: =، =;

خردسالان مرتبه 2: , مرتبه 3

یک ماتریس مرتبه 3 دارای 9 مینور مرتبه اول، 9 مینور مرتبه دوم و 1 درجه فرعی درجه 3 (تعیین کننده این ماتریس) است.

تعریف. رتبه ماتریسی Aبالاترین مرتبه مینورهای غیر صفر این ماتریس است. تعیین - rgA یا r(A).

ویژگی های رتبه ماتریسی.

1) رتبه ماتریس A nxm از کوچکترین ابعاد آن تجاوز نمی کند، یعنی.

r(A)≤min(m,n).

2) r(A)=0 زمانی که همه عناصر ماتریس برابر با 0 باشند، یعنی. A=0.

3) برای یک ماتریس مربع A از مرتبه n، r(A)=n زمانی که A غیر منحط است.

(رتبه یک ماتریس مورب برابر است با تعداد عناصر مورب غیر صفر آن).

4) اگر رتبه یک ماتریس r باشد، ماتریس حداقل یک مینور از مرتبه r دارد که برابر با صفر نیست و همه مینورهای مرتبه بالاتر برابر با صفر هستند.

برای رتبه های ماتریس، روابط زیر معتبر است:

2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min(r(A),r(B));

3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(A T A)=r(A);

5) r(AB)=r(A) اگر B یک ماتریس مربع غیر مفرد باشد.

6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n، که n تعداد ستون های ماتریس A یا ردیف های ماتریس B است.

تعریف.یک مینور غیر صفر از مرتبه r(A) نامیده می شود جزئی اولیه. (ماتریس A می تواند چندین پایه کوچک داشته باشد). سطرها و ستون هایی که در محل تقاطع آنها یک پایه جزئی وجود دارد به ترتیب نامیده می شوند خطوط پایهو ستون های پایه.

قضیه 2 (در مینور پایه).سطرهای اصلی (ستون ها) به صورت خطی مستقل هستند. هر سطر (هر ستون) ماتریس A ترکیبی خطی از سطرهای اصلی (ستون) است.

اثبات. (برای رشته ها). اگر سطرهای پایه به صورت خطی وابسته بودند، با قضیه (1) یکی از این سطرها ترکیبی خطی از سطرهای اصلی دیگر خواهد بود، سپس، بدون تغییر مقدار مینور اصلی، می توانید ترکیب خطی مشخص شده را از این ردیف کم کنید و یک ردیف صفر دریافت کنید، و این در تضاد است زیرا پایه جزئی با صفر متفاوت است. که ردیف های پایه به صورت خطی مستقل هستند.

اجازه دهید ثابت کنیم که هر ردیفی از ماتریس A ترکیبی خطی از ردیف های اصلی است. زیرا با تغییرات دلخواه در ردیف ها (ستون ها)، تعیین کننده خاصیت برابر بودن با صفر را حفظ می کند، سپس، بدون از دست دادن کلیت، می توانیم فرض کنیم که پایه جزئی در گوشه سمت چپ بالای ماتریس است.

الف=،آن ها در اولین ردیف های r و اولین ستون های r قرار دارد. اجازه دهید 1£j£n، 1£i£m. اجازه دهید نشان دهیم که تعیین کننده ترتیب (r+1)ام است

اگر j£r یا i£r باشد، این تعیین کننده برابر با صفر است، زیرا دو ستون یکسان یا دو ردیف یکسان خواهد داشت.

اگر j>r و i>r باشد، این تعیین کننده جزئی از (r + 1)مین مرتبه ماتریس A است. رتبه ماتریس r است، بنابراین هر جزئی از مرتبه بالاتر برابر با 0 است.

با گسترش آن توسط عناصر آخرین ستون (اضافه شده)، دریافت می کنیم

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0، که در آن آخرین جمع جبری A ij با جزئی اصلی М r منطبق است و بنابراین A ij = М r ≠0.

با تقسیم آخرین تساوی بر A ij ، می توانیم عنصر a ij را به صورت ترکیب خطی بیان کنیم: ، جایی که .

مقدار i (i>r) را ثابت می کنیم و برای هر عنصر j (j=1,2,…,n) بدست می آوریم خط i-ام e i به صورت خطی بر حسب عناصر ردیف e 1 , e 2 ,…,e r , i.e بیان می شود. من می اندازمترکیبی خطی از ردیف های اصلی است: . Ch.t.d.

قضیه 3. (شرط لازم و کافی برای مساوی بودن تعیین کننده).برای اینکه تعیین کننده مرتبه n D برابر با صفر باشد، لازم و کافی است که ردیف ها (ستون های) آن به صورت خطی وابسته باشند.

اثبات (ص.40). نیاز داشتن. اگر تعیین کننده مرتبه n D برابر با صفر باشد، مینور پایه ماتریس آن از مرتبه r است.

بنابراین، یک ردیف ترکیبی خطی از بقیه است. سپس، طبق قضیه 1، ردیف های تعیین کننده به صورت خطی وابسته هستند.

کفایت. اگر ردیف‌های D به‌طور خطی وابسته باشند، طبق قضیه 1 یک ردیف A i ترکیبی خطی از ردیف‌های دیگر است. با کم کردن ترکیب خطی مشخص شده از خط A i، بدون تغییر مقدار D، یک خط صفر به دست می آوریم. بنابراین، با ویژگی های عوامل، D=0. h.t.d.

قضیه 4.تحت تبدیل های ابتدایی، رتبه ماتریس تغییر نمی کند.

اثبات. همانطور که هنگام در نظر گرفتن خصوصیات تعیین کننده ها نشان داده شد، هنگام تبدیل ماتریس های مربع، تعیین کننده های آنها یا تغییر نمی کنند، یا در یک عدد غیر صفر ضرب می شوند، یا علامت تغییر می کنند. در این حالت، بالاترین ترتیب مینورهای غیر صفر ماتریس اصلی حفظ می شود، یعنی. رتبه ماتریس تغییر نمی کند. Ch.t.d.

اگر r(A)=r(B)، A و B هستند معادل: A~B.

قضیه 5.با استفاده از تبدیل های ابتدایی، می توان ماتریس را به کاهش داد نمای پلکانیماتریس نامیده می شود اگر دارای شکل باشد پله شده است:

А=، که در آن a ii ≠0، i=1،2،…،r; r≤k.

شرایط r≤k را همیشه می توان با جابجایی به دست آورد.

قضیه 6.رتبه یک ماتریس پله ای برابر است با تعداد ردیف های غیر صفر آن .

آن ها رتبه ماتریس گام r است، زیرا یک مینور غیر صفر از مرتبه r وجود دارد:

اجازه دهید

ستون های ماتریس ابعاد. ترکیب خطی ستون های ماتریسیماتریس ستون نامیده می شود، در حالی که - برخی از اعداد واقعی یا مختلط، فراخوانی می شود ضرایب ترکیب خطی. اگر در یک ترکیب خطی همه ضرایب را برابر با صفر بگیریم، ترکیب خطی برابر با ماتریس ستون صفر است.

ستون های ماتریس نامیده می شوند مستقل خطی ، اگر ترکیب خطی آنها فقط زمانی برابر با صفر باشد که همه ضرایب ترکیب خطی برابر با صفر باشند. ستون های ماتریس نامیده می شوند وابسته خطی اگر مجموعه ای از اعداد وجود داشته باشد که حداقل یکی از آنها غیر صفر باشد و ترکیب خطی ستون ها با این ضرایب برابر با صفر باشد.

به طور مشابه، تعاریفی از وابستگی خطی و استقلال خطی سطرهای ماتریس ارائه می شود. در ادامه، تمام قضایا برای ستون های ماتریس فرموله شده است.

قضیه 5

اگر بین ستون های ماتریس صفر باشد، ستون های ماتریس به صورت خطی وابسته هستند.

اثبات یک ترکیب خطی را در نظر بگیرید که در آن همه ضرایب برای تمام ستون های غیر صفر برابر با صفر و برای ستون صفر یک هستند. برابر با صفر است و در بین ضرایب ترکیب خطی یک غیر صفر وجود دارد. بنابراین، ستون های ماتریس به صورت خطی وابسته هستند.

قضیه 6

اگر یک ستون های ماتریسی به طور خطی وابسته است، سپس همه ستون های ماتریس به صورت خطی وابسته هستند.

اثبات برای قطعیت، ستون های اول ماتریس را فرض می کنیم وابسته خطی سپس با تعریف وابستگی خطی، مجموعه ای از اعداد وجود دارد که حداقل یکی از آنها با صفر متفاوت است و ترکیب خطی ستون ها با این ضرایب برابر با صفر است.

ترکیبی خطی از تمام ستون‌های ماتریس، از جمله ستون‌های باقیمانده با ضرایب صفر بسازید.

ولی . بنابراین، تمام ستون های ماتریس به صورت خطی وابسته هستند.

نتیجه. در میان ستون های مستقل خطی یک ماتریس، هر کدام به صورت خطی مستقل هستند. (این ادعا به راحتی با تناقض اثبات می شود.)

قضیه 7

برای اینکه ستون های ماتریس به صورت خطی وابسته باشند، لازم و کافی است که حداقل یک ستون ماتریس ترکیبی خطی از بقیه باشد.

اثبات

نیاز داشتن.بگذارید ستون های ماتریس به صورت خطی وابسته باشند، یعنی مجموعه ای از اعداد وجود دارد که حداقل یکی از آنها با صفر متفاوت است و ترکیب خطی ستون ها با این ضرایب برابر با صفر است.

برای قطعیت فرض کنید که . سپس یعنی ستون اول ترکیبی خطی از بقیه است.

کفایت. اجازه دهید حداقل یک ستون از ماتریس ترکیبی خطی از ستون های دیگر باشد، به عنوان مثال، جایی که تعدادی اعداد هستند.

سپس، یعنی ترکیب خطی ستون ها برابر با صفر است و از بین اعداد ترکیب خطی، حداقل یک (برای ) غیر صفر است.

بگذارید رتبه ماتریس باشد. هر مرتبه جزئی غیر صفر نامیده می شود پایه ای . سطرها و ستون هایی که در محل تقاطع آنها مینور اصلی وجود دارد نامیده می شوند پایه ای .

مفاهیم وابستگی خطی و استقلال خطی برای سطرها و ستون ها به همین صورت تعریف شده است. بنابراین، ویژگی های مرتبط با این مفاهیم، ​​که برای ستون ها فرموله شده اند، البته برای ردیف ها نیز معتبر هستند.

1. اگر سیستم ستون شامل یک ستون صفر باشد، آنگاه به صورت خطی وابسته است.

2. اگر یک سیستم ستونی دارای دو ستون مساوی باشد، به صورت خطی وابسته است.

3. اگر یک سیستم ستونی دارای دو ستون متناسب باشد، به صورت خطی وابسته است.

4. یک سیستم از ستون ها به صورت خطی وابسته است اگر و تنها در صورتی که حداقل یکی از ستون ها ترکیبی خطی از بقیه باشد.

5. هر ستونی که در یک سیستم مستقل خطی قرار می گیرد، یک زیرسیستم مستقل خطی را تشکیل می دهد.

6. یک سیستم ستونی حاوی یک زیرسیستم وابسته خطی به صورت خطی وابسته است.

7. اگر سیستم ستون ها به صورت خطی مستقل باشد و پس از افزودن یک ستون به آن، مشخص شود که به صورت خطی وابسته است، آنگاه می توان ستون را به ستون ها تجزیه کرد، و علاوه بر این، به روشی منحصر به فرد، یعنی. ضرایب انبساط منحصر به فرد یافت می شود.

مثلاً آخرین خاصیت را ثابت کنیم. از آنجایی که سیستم ستون به صورت خطی وابسته است، اعدادی وجود دارند که همگی برابر با 0 نیستند

در این برابری در واقع، اگر، پس

بنابراین، یک ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده از ستون ها برابر با ستون صفر است که با استقلال خطی سیستم در تضاد است. بنابراین، و سپس، یعنی. یک ستون ترکیبی خطی از ستون ها است. باقی مانده است که منحصر به فرد بودن چنین نمایشی را نشان دهیم. بیایید برعکس فرض کنیم. بگذارید دو بسط و وجود داشته باشد، و همه ضرایب بسط به ترتیب با یکدیگر برابر نیستند (مثلاً). سپس از برابری

ما (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o را دریافت می کنیم

به طور متوالی، ترکیب خطی ستون ها برابر با ستون صفر است. از آنجایی که همه ضرایب آن برابر با صفر (حداقل) نیستند، این ترکیب بی اهمیت است که با شرط استقلال خطی ستون ها در تضاد است. تناقض حاصل، منحصر به فرد بودن تجزیه را تأیید می کند.

مثال 3.2.ثابت کنید که دو ستون غیر صفر و به صورت خطی وابسته هستند اگر و فقط اگر متناسب باشند، یعنی. .

راه حل.در واقع، اگر ستون ها و به صورت خطی وابسته باشند، اعدادی وجود دارند که در همان زمان برابر با صفر نیستند، به طوری که . و در این برابری. در واقع، با فرض این، یک تناقض به دست می آوریم، زیرا ستون نیز غیر صفر است. به معنای، . بنابراین، یک عدد وجود دارد که . نیاز ثابت شده است.

برعکس، اگر، پس. ما یک ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده از ستون ها برابر با ستون صفر دریافت کردیم. بنابراین ستون ها به صورت خطی وابسته هستند.

مثال 3.3.تمام سیستم های ممکن که از ستون ها تشکیل شده اند را در نظر بگیرید

هر سیستم را برای یک رابطه خطی بررسی کنید.
راه حل. پنج سیستم را در نظر بگیرید که هر کدام یک ستون دارند. طبق بند 1 تبصره 3.1: سیستم ها به صورت خطی مستقل هستند و سیستم متشکل از یک ستون صفر به صورت خطی وابسته است.

سیستم هایی را در نظر بگیرید که هر کدام دارای دو ستون هستند:

- هر یک از چهار سیستم و به صورت خطی وابسته است، زیرا حاوی یک ستون صفر است (ویژگی 1).

- سیستم به صورت خطی وابسته است، زیرا ستون ها متناسب هستند (ویژگی 3): ;

- هر یک از پنج سیستم و به طور خطی مستقل هستند، زیرا ستون ها نامتناسب هستند (به بیان مثال 3.2 مراجعه کنید).

سیستم های حاوی سه ستون را در نظر بگیرید:

- هر یک از شش سیستم و به صورت خطی وابسته است، زیرا حاوی یک ستون صفر است (ویژگی 1).

- سیستم ها به صورت خطی وابسته هستند، زیرا دارای یک زیرسیستم وابسته به خط هستند (ویژگی 6).

سیستم ها هستند و به صورت خطی وابسته هستند، زیرا ستون آخر به صورت خطی بر حسب بقیه بیان می شود (خاصیت 4): و به ترتیب.

در نهایت، سیستم های چهار یا پنج ستونی به صورت خطی وابسته هستند (با ویژگی 6).

رتبه ماتریسی

در این بخش، یکی دیگر از مشخصه های عددی مهم ماتریس را در نظر می گیریم که مربوط به میزان وابستگی ردیف ها (ستون های) آن به یکدیگر است.

تعریف 14.10بگذارید ماتریسی از اندازه ها و عددی وجود داشته باشد که از کوچکترین اعداد تجاوز نکند و : . بیایید به طور دلخواه سطرها و ستون های ماتریس را انتخاب کنیم (تعداد سطرها ممکن است با تعداد ستون ها متفاوت باشد). تعیین کننده یک ماتریس متشکل از عناصر در محل تلاقی سطرها و ستون های انتخاب شده، مرتبه ماتریس فرعی نامیده می شود.

مثال 14.9اجازه دهید .

یک مینور مرتبه اول هر عنصری از ماتریس است. بنابراین 2، , خردسالان مرتبه اول هستند.

خردسالان درجه دوم:

1. ردیف های 1، 2، ستون های 1، 2 را بگیرید، ما یک مینور دریافت می کنیم ;

2. ردیف های 1، 3، ستون های 2، 4 را بگیرید، ما یک مینور دریافت می کنیم ;

3. ردیف های 2، 3، ستون های 1، 4 را بگیرید، ما یک مینور دریافت می کنیم

خردسالان درجه سوم:

ردیف‌های اینجا فقط به یک روش قابل انتخاب هستند،

1. ستون های 1، 3، 4 را بگیرید، مینور بگیرید ;

2. ستون های 1، 2، 3 را بگیرید، مینور بگیرید .

پیشنهاد 14.23 اگر همه مینورهای ماتریس مرتبه برابر با صفر باشند، آنگاه همه مینورهای مرتبه، در صورت وجود، نیز برابر با صفر هستند.

اثبات. یک مینور دلخواه سفارش بگیرید. این تعیین کننده ماتریس سفارش است. بیایید آن را با خط اول گسترش دهیم. سپس، در هر ترم بسط، یکی از عوامل جزئی از ترتیب ماتریس اصلی خواهد بود. بر اساس فرض، مینورهای مرتبه برابر با صفر هستند. بنابراین مرتبه مینور نیز برابر با صفر خواهد بود.

تعریف 14.11رتبه یک ماتریس بزرگترین مرتبه غیرصفر مینورهای ماتریس است. رتبه ماتریس صفر صفر در نظر گرفته می شود.

هیچ علامت واحد و استانداردی برای رتبه یک ماتریس وجود ندارد. در ادامه آموزش به آن به عنوان .

مثال 14.10ماتریس مثال 14.9 دارای رتبه 3 است زیرا یک مینور مرتبه سوم غیر صفر وجود دارد، اما مینورهای مرتبه چهارم وجود ندارد.

رتبه ماتریسی برابر با 1 است، زیرا یک مینور مرتبه اول غیر صفر (عنصری از ماتریس) وجود دارد و همه مینورهای مرتبه دوم برابر با صفر هستند.

رتبه یک ماتریس مرتبه مربعی غیر منحط برابر است با .

پیشنهاد 14.24 هنگام جابجایی یک ماتریس، رتبه آن تغییر نمی کند، یعنی .

اثبات. مینور جابجا شده ماتریس اصلی مینور ماتریس جابجا شده خواهد بود و بالعکس، هر مینور مینور جابجا شده ماتریس اصلی است. هنگام جابجایی، تعیین کننده (جزئی) تغییر نمی کند (گزاره 14.6). بنابراین، اگر همه مینورهای مرتبه در ماتریس اصلی برابر با صفر باشند، آنگاه همه مینورهای هم ترتیب در نیز برابر با صفر هستند. اگر مرتبه جزئی در ماتریس اصلی غیر صفر باشد، در این صورت یک مینور غیرصفر از همان ترتیب وجود دارد. در نتیجه، .

تعریف 14.12بگذارید رتبه ماتریس باشد. سپس هر مینور مرتبه غیر صفر را مینور اساسی می نامند.

مثال 14.11اجازه دهید . تعیین کننده ماتریس صفر است، زیرا ردیف سوم برابر است با مجموع دو مورد اول. مینور مرتبه دوم که در دو سطر اول و دو ستون اول قرار گرفته است . بنابراین، رتبه ماتریس برابر با دو است و مینور در نظر گرفته شده پایه است.

یک مینور اصلی نیز یک مینور است که مثلاً در ردیف اول و سوم، ستون اول و سوم قرار دارد: . پایه در ردیف دوم و سوم، ستون اول و سوم، جزئی خواهد بود: .

مینور در ردیف های اول و دوم، ستون های دوم و سوم برابر با صفر است و بنابراین پایه ای نخواهد بود. خواننده می تواند به طور مستقل بررسی کند که کدام یک از خردسالان درجه دوم پایه هستند و کدام نیستند.

از آنجایی که ستون‌ها (ردیف‌ها) ماتریس را می‌توان اضافه کرد، با ضرب در اعداد ترکیب‌های خطی تشکیل داد، می‌توان تعاریفی از وابستگی خطی و استقلال خطی سیستم ستون‌ها (ردیف‌ها) ماتریس را معرفی کرد. این تعاریف مشابه همان تعاریف 10.14، 10.15 برای بردارها هستند.

تعریف 14.13اگر مجموعه ای از ضرایب وجود داشته باشد که حداقل یکی از آنها غیرصفر باشد، سیستمی از ستون ها (ردیف ها) وابسته خطی نامیده می شود که ترکیب خطی ستون ها (ردیف ها) با این ضرایب برابر با صفر باشد.

تعریف 14.14سیستمی از ستون‌ها (ردیف‌ها) به صورت خطی مستقل است اگر از برابری تا صفر ترکیب خطی این ستون‌ها (ردیف‌ها) نتیجه بگیرد که همه ضرایب این ترکیب خطی برابر با صفر هستند.

گزاره زیر، مشابه گزاره 10.6 نیز صادق است.

پیشنهاد 14.25 سیستمی از ستون‌ها (ردیف‌ها) به صورت خطی وابسته است اگر و تنها در صورتی که یکی از ستون‌ها (یکی از ردیف‌ها) ترکیبی خطی از سایر ستون‌ها (ردیف‌ها) این سیستم باشد.

ما یک قضیه را فرموله می کنیم به نام قضیه جزئی پایه.

قضیه 14.2 هر ستون ماتریس ترکیبی خطی از ستون هایی است که از پایه مینور عبور می کنند.

اثبات را می توان در کتاب های درسی جبر خطی یافت، به عنوان مثال، در،.

پیشنهاد 14.26 رتبه یک ماتریس برابر است با حداکثر تعداد ستون های آن که یک سیستم مستقل خطی را تشکیل می دهند.

اثبات. بگذارید رتبه ماتریس باشد. بیایید ستون هایی را که از پایه مینور عبور می کنند، در نظر بگیریم. فرض کنید که این ستون ها یک سیستم وابسته خطی را تشکیل می دهند. سپس یکی از ستون ها ترکیبی خطی از بقیه است. بنابراین، در پایه مینور، یک ستون ترکیبی خطی از ستون های دیگر خواهد بود. با گزاره های 14.15 و 14.18، این مینور پایه باید برابر با صفر باشد که با تعریف مینور اصلی در تضاد است. بنابراین، این فرض که ستون هایی که از پایه مینور عبور می کنند به صورت خطی وابسته هستند درست نیست. بنابراین، حداکثر تعداد ستون هایی که یک سیستم مستقل خطی را تشکیل می دهند، بزرگتر یا مساوی است.

فرض کنید که ستون ها یک سیستم مستقل خطی را تشکیل می دهند. بیایید یک ماتریس از آنها بسازیم. همه مینورهای ماتریس مینورهای ماتریسی هستند. بنابراین، مینور پایه ماتریس حداکثر دارای ترتیب است. طبق قضیه مینور پایه، ستونی که از پایه مینور یک ماتریس عبور نمی کند، ترکیب خطی از ستون هایی است که از پایه مینور عبور می کنند، یعنی ستون های ماتریس یک سیستم وابسته خطی را تشکیل می دهند. این با انتخاب ستون هایی که ماتریس را تشکیل می دهند در تضاد است. بنابراین، حداکثر تعداد ستون هایی که یک سیستم مستقل خطی را تشکیل می دهند نمی تواند بیشتر از . بنابراین، برابر است با، همانطور که گفته شد.

پیشنهاد 14.27 رتبه یک ماتریس برابر است با حداکثر تعداد ردیف های آن که یک سیستم مستقل خطی را تشکیل می دهند.

اثبات. با گزاره 14.24، رتبه یک ماتریس با جابجایی تغییر نمی کند. سطرهای یک ماتریس به ستون های آن تبدیل می شوند. حداکثر تعداد ستون های جدید ماتریس جابجا شده (ردیف های قبلی ماتریس اصلی) که یک سیستم مستقل خطی را تشکیل می دهند برابر با رتبه ماتریس است.

پیشنهاد 14.28 اگر تعیین کننده ماتریس برابر با صفر باشد، یکی از ستون های آن (یکی از ردیف ها) ترکیبی خطی از بقیه ستون ها (ردیف ها) است.

اثبات. بگذارید ترتیب ماتریس باشد. دترمینان تنها مینور ماتریس مربع است که دارای نظم است. از آنجایی که برابر با صفر است، پس . بنابراین، سیستم ستون ها (ردیف ها) به صورت خطی وابسته است، یعنی یکی از ستون ها (یکی از ردیف ها) ترکیبی خطی از بقیه است.

نتایج گزاره های 14.15، 14.18 و 14.28 قضیه زیر را به دست می دهد.

قضیه 14.3 تعیین کننده یک ماتریس صفر است اگر و فقط اگر یکی از ستون های آن (یکی از ردیف ها) ترکیبی خطی از سایر ستون ها (ردیف ها) باشد.

یافتن رتبه یک ماتریس با محاسبه همه جزئی های آن به کار محاسباتی زیادی نیاز دارد. (خواننده می تواند بررسی کند که 36 عدد فرعی مرتبه دوم در یک ماتریس مربع مرتبه چهارم وجود دارد.) بنابراین، از الگوریتم متفاوتی برای یافتن رتبه استفاده می شود. برای توصیف آن، برخی اطلاعات اضافی مورد نیاز است.

تعریف 14.15ما عملیات زیر را بر روی آنها تبدیل اولیه ماتریس می نامیم:

1) جایگشت سطرها یا ستون ها؛
2) ضرب یک سطر یا ستون در یک عدد غیر صفر.
3) به یکی از سطرها یک سطر دیگر ضرب در یک عدد یا اضافه کردن به یکی از ستون های ستون دیگر ضرب در یک عدد اضافه کنید.

پیشنهاد 14.29 تحت تبدیل های ابتدایی، رتبه ماتریس تغییر نمی کند.

اثبات. اجازه دهید رتبه ماتریس برابر با , -- ماتریس حاصل از تبدیل ابتدایی باشد.

جایگشتی از رشته ها را در نظر بگیرید. اجازه دهید یک مینور از ماتریس باشد، سپس ماتریس دارای یک مینور است که یا با آن منطبق است یا با جایگشت سطرها با آن متفاوت است. و بالعکس، هر مینور ماتریسی را می توان با یک مینور ماتریسی مرتبط کرد که یا با آن منطبق است یا از نظر ترتیب ردیف ها با آن متفاوت است. بنابراین، از این که در ماتریس همه مینورهای مرتبه برابر با صفر هستند، نتیجه می شود که در ماتریس همه مینورهای این مرتبه نیز برابر با صفر هستند. و از آنجایی که ماتریس دارای مرتبه جزئی غیر صفر است، ماتریس نیز دارای مرتبه جزئی غیر صفر است، یعنی .

ضرب یک رشته را در یک عدد غیر صفر در نظر بگیرید. یک مینور از یک ماتریس مربوط به مینور از یک ماتریس است که یا با آن منطبق است یا فقط یک ردیف با آن تفاوت دارد که با ضرب در یک عدد غیر صفر از ردیف مینور به دست می آید. در آخرین مورد. در همه موارد، یا و به طور همزمان برابر با صفر، یا به طور همزمان با صفر متفاوت هستند. در نتیجه، .