مدل یک سیستم پیچیده، که قبلاً مورد بحث قرار گرفت، یک طرح مدل‌سازی ریاضی عمومی است. در عمل، برای رسمی کردن مدل‌های مفهومی تعدادی از سیستم‌ها، استفاده از طرح‌های مدل‌سازی ریاضی استاندارد که از یک سو، نحوه نمایش زمان در مدل (متغیر پیوسته یا گسسته) را در نظر می‌گیرند، سودآورتر است. از سوی دیگر، میزان تصادفی بودن فرآیندهای شبیه سازی شده. بر اساس این ویژگی ها، طرح های مدل سازی ریاضی زیر (کلاس های MM) متمایز می شوند.

مدل های مستمر - قطعی (طرح های D).

مدل های گسسته - قطعی (طرح های F).

مدل های گسسته - احتمالی (طرح های P).

مدل‌های احتمالی - پیوسته (طرح‌های Q).

مدل‌های شبکه (طرح‌های N).

مدل های مجموع (A – نمودار).

مدل‌های قطعی پیوسته. در این مدل ها زمان تیبه عنوان یک متغیر پیوسته فرض می شود و عوامل تصادفی در سیستم نادیده گرفته می شوند. دستگاه ریاضی مدل ها تئوری معادلات دیفرانسیل و انتگرال است که به کمک آن توصیف مناسبی از سیستم های دینامیکی به دست می آید. روش اپراتور برای توصیف و مطالعه فرآیندهای عملکرد سیستم های دینامیکی و ساختارهای آنها به طور کامل توسعه یافته است.

نمونه ای از یک مدل قطعی پیوسته سیستم کنترل خودکار تک کاناله، یک معادله دیفرانسیل غیرهمگن با ضرایب ثابت است.

در این معادله x(t)-نفوذ ورودی؛ y(t)- مقدار خروجی که موقعیت شیء کنترل را مشخص می کند. - پارامترهای داخلی سیستم

اگر یک سیستم دینامیکی با یک معادله دیفرانسیل غیر خطی توصیف شود، آنگاه خطی شده و به صورت خطی حل می شود.

استفاده از مدل‌های قطعی پیوسته امکان انجام کمی تجزیه و تحلیل سیستم‌های دینامیکی، بلکه سنتز بهینه آنها را نیز ممکن می‌سازد.

مدل های گسسته - قطعی. در مدل های قطعی گسسته (DD)، زمان تییک متغیر گسسته است که مرحله نمونه برداری کجاست و لحظه های گسسته زمانی هستند.

اصلی ترین دستگاه ریاضی مورد استفاده در ساخت مدل های DD، نظریه معادلات تفاوت و دستگاه ریاضیات گسسته، به ویژه نظریه اتوماتای ​​محدود است.

معادله تفاوت معادله ای است که شامل تفاوت های متناهی تابع مورد نظر است

به ترتیب، وضعیت سیستم و تأثیر خارجی در لحظات گسسته از زمان در آن قرار دارند.

در مسائل کاربردی، مدل‌های DD به شکل (2.6) اغلب به‌عنوان مدل‌های میانی در مطالعه مدل‌های DD در رایانه به‌وجود می‌آیند، زمانی که یک راه‌حل تحلیلی برای یک معادله دیفرانسیل نمی‌توان به دست آورد و باید از طرح‌های تفاوت استفاده کرد.

اجازه دهید به طور خلاصه نظریه ماشین های حالت محدود را که برای ساخت مدل های DD استفاده می شود، در نظر بگیریم.

ماشین حالت محدود یک مدل ریاضی از یک سیستم گسسته است که تحت تأثیر سیگنال های ورودی، سیگنال های خروجی را تولید می کند و ممکن است برخی از حالت های داخلی قابل تغییر داشته باشد. در اینجا مجموعه های محدود وجود دارد.

ماشین حالت محدود با: الفبای ورودی مشخص می شود. الفبای خروجی; الفبای داخلی ایالت ها؛ حالت اولیه؛ تابع انتقال؛ تابع خروجی

فرآیند عملکرد یک ماشین حالت محدود به شرح زیر است. در سیکل سیکل، سیگنال ورودی در ورودی اتومات دریافت می شود که در حالتی است که خودکار با انتقال به حالت در تیک سوم و صدور سیگنال خروجی به آن واکنش نشان می دهد، به عنوان مثال، خودکار متناهی Mealy. با روابط عود زیر توصیف می شود:

مدل های گسسته-احتمالی. مدل گسسته-احتمالی عناصر تصادفی سیستم پیچیده مورد مطالعه را در نظر می گیرد. اصلی ترین دستگاه ریاضی مورد استفاده در ساخت و مطالعه مدل های DV، نظریه معادلات اختلاف تصادفی و نظریه اتوماتای ​​احتمالی است.

معادله تصادفی تفاوت معادله ای است که شامل پارامترهای تصادفی یا ورودی های تصادفی باشد.

اجازه دهید یک بردار تصادفی از پارامترها و یک دنباله تصادفی از اقدامات ورودی در فضای احتمال تعریف شود.

معادله ترتیب تصادفی اختلاف غیرخطی به شکل (2.8) است.

حالات اولیه سیستم کجا هستند. یک تابع معین از متغیرها

راه حل این معادله یک دنباله تصادفی از حالت های سیستم مدل شده است که در مجموعه تعریف شده است:

اگر تابع در خطی باشد، (2.8) به شکل زیر خواهد بود:

(2.9)

بردار پارامترها کجاست

یکی دیگر از ابزارهای ریاضی برای ساخت مدل‌های DV سیستم‌های پیچیده، نظریه اتوماتای ​​احتمالی است.

یک خودکار احتمالی تعریف شده در مجموعه، یک خودکار محدود است که در آن تابع انتقال است و تابع خروجی توابع تصادفی با توزیع احتمال هستند.

اجازه دهید نماد توزیع های احتمال را بپذیریم - توزیع احتمال اولیه، - احتمال یک رویداد شامل این واقعیت است که خودکاری که در سیکل امین وضعیت قرار دارد، تحت تأثیر یک سیگنال ورودی، یک سیگنال خروجی تولید می کند و در تیک سوم به حالت می رود.

مدل ریاضی یک خودکار احتمالی کاملاً توسط پنج عنصر تعیین می شود: .

مدل های مستمر - احتمالی. هنگام ساخت و مطالعه مدل های NV، از نظریه معادلات دیفرانسیل تصادفی و تئوری صف استفاده می شود.

معادله دیفرانسیل تصادفی (به شکل Ito) به صورت زیر است:

کجا یک فرآیند تصادفی است که وضعیت سیستم را در یک لحظه از زمان تعیین می کند. – فرآیند تصادفی استاندارد وینر؛ - ضرایب انتشار و انتقال مدل NV اغلب در مدل‌سازی سیستم‌های کنترل تصادفی و فرآیندهای مبادله استفاده می‌شود.

تئوری صف، مدل‌های ریاضی فرآیندهای عملکرد سیستم‌ها را که ماهیت متفاوتی دارند، توسعه و مطالعه می‌کند، به عنوان مثال: تامین مواد خام و اجزاء برای یک شرکت خاص. وظایفی که از پایانه های راه دور به رایانه می رسند. تماس با مراکز تلفن و غیره عملکرد چنین سیستم هایی با تصادفی بودن مشخص می شود: تصادفی بودن زمان هایی که در آن درخواست ها برای خدمات ظاهر می شوند و غیره.

این سیستم که به عنوان یک سیستم صف (QS) توصیف می شود، از دستگاه های خدماتی تشکیل شده است. دستگاه خدمات دهی متشکل از یک انباشته خسارت است که ادعاها می توانند به طور همزمان در آن قرار گیرند و یک کانال خدمات رسانی ادعا. – ظرفیت ذخیره سازی، یعنی تعداد مکان های موجود در صف درخواست های سرویس دهی در کانال.

هر عنصر از دستگاه جریانی از رویدادها را دریافت می کند. به درایو - جریان درخواست ها، به کانال - جریان "خدمات". جریان درخواست ها دنباله ای از فواصل زمانی بین لحظه های برنامه های کاربردی که در ورودی QS ظاهر می شوند را نشان می دهد و زیر مجموعه ای از متغیرهای کنترل نشده QS را تشکیل می دهد. و جریان دنباله ای از فواصل زمانی بین شروع و پایان درخواست های سرویس است و زیر مجموعه ای از متغیرهای کنترل شده را تشکیل می دهد.

درخواست های ارائه شده توسط QS یک جریان خروجی را تشکیل می دهند - دنباله ای از فواصل زمانی بین لحظاتی که درخواست ها صادر می شوند. برنامه هایی که سرویس نشده اند، اما به دلایل مختلف QS را ترک کرده اند، جریان خروجی برنامه های از دست رفته را تشکیل می دهند.

مدل های شبکهبرای رسمی کردن روابط علت و معلولی در سیستم های پیچیده با فرآیندهای موازی استفاده می شود. این مدل ها بر اساس شبکه پتری ساخته شده اند. هنگامی که به صورت گرافیکی تفسیر می شود، شبکه پتری نوع خاصی از نمودار است که از دو نوع راس تشکیل شده است. موقعیت هاو انتقال، توسط کمان های جهت دار به هم متصل می شوند و هر کمان می تواند فقط انواع مختلفی از رئوس را به هم متصل کند (موقعیت با انتقال یا انتقال با موقعیت). رئوس موقعیت با دایره ها و راس های انتقال با خط تیره نشان داده می شوند. از نقطه نظر ماهوی، انتقال ها با رویدادهای ذاتی در سیستم مورد مطالعه مطابقت دارد و موقعیت ها با شرایط وقوع آنها مطابقت دارد.

بنابراین، مجموعه ای از انتقال ها، موقعیت ها و کمان ها به ما اجازه می دهد تا روابط علت و معلولی ذاتی در سیستم را توصیف کنیم، اما به روش ایستا. برای اینکه شبکه پتری زنده شود، نوع دیگری از شی شبکه معرفی شده است - به اصطلاح چیپسیا برچسب هاموقعیت هایی که در امتداد انتقال های شبکه حرکت می کنند مشروط به وجود برچسب در موقعیت ورودی و عدم وجود برچسب در موقعیت خروجی. چیدمان تراشه ها در موقعیت های شبکه نامیده می شود نشانه گذاری شبکه.

مدل های انبوه. تجزیه و تحلیل مسائل موجود منجر به این نتیجه می شود که راه حل جامع برای مسائل تنها در صورتی امکان پذیر است که سیستم های مدل سازی بر اساس یک طرح مدل سازی ریاضی یکپارچه باشند. این رویکرد برای رسمی کردن فرآیند عملکرد یک سیستم پیچیده توسط N.P. Buslenko پیشنهاد شد. و مبتنی بر مفهوم "جمع" است.

با یک توصیف کلی، یک سیستم پیچیده به زیرسیستم ها تقسیم می شود، در حالی که ارتباطاتی را حفظ می کند که تعامل آنها را تضمین می کند. اگر معلوم شود که زیرسیستم پیچیده است، فرآیند تجزیه ادامه می‌یابد تا زمانی که زیرسیستم‌هایی تشکیل شوند که تحت شرایط مسئله مورد بررسی، برای توصیف ریاضی مناسب در نظر گرفته شوند.

در نتیجه، یک ساختار چند سطحی از عناصر به هم پیوسته به دست می آید که در زیر سیستم های سطوح مختلف ترکیب شده اند. عناصر یک مدل تجمیع، کل هستند. اتصالات بین واحدها و محیط خارجی با استفاده از عملگرهای صرف انجام می شود. خود واحد را نیز می توان به عنوان یک مدل کل در نظر گرفت، یعنی به عناصر سطح بعدی تقسیم می شود.

هر مجموعه ای با مجموعه هایی از: لحظات زمانی مشخص می شود تی، ورودی ایکسو آخر هفته ها Yسیگنال ها، حالت های واحد زدر هر لحظه از زمان تی. فرآیند عملکرد واحد شامل پرش های حالت در لحظه های دریافت سیگنال های ورودی است. ایکسو تغییر حالات بین این لحظات و .

لحظه های پرش که لحظه های رسیدن سیگنال های ورودی نیستند را لحظه های خاص در زمان و حالات را حالت های ویژه مدار مجموع می گویند. در بسیاری از ایالت ها ززیر مجموعه ای را انتخاب کنید که اگر به آن رسید، این حالت لحظه صدور سیگنال خروجی است y.

مدل سازی سیستم ها

برنامه کاری، دستورالعمل های روش شناسی

برای کارهای مستقل و کنترل وظایف

دانشکده های انرژی برق، ZDO

تخصص 220201 - علم مدیریت و اطلاعات

سیستم های فنی

لیسانس 220200 - اتوماسیون و مدیریت

مدل سازی سیستم ها: برنامه کاری، دستورالعمل های کار مستقل و وظایف کنترلی. - Vologda: VoGTU، 2008. - 22 p.

برنامه کاری رشته ارائه شده است که موضوعات بخش های اصلی، دستورالعمل های روش شناختی با پیوند به منابع اطلاعاتی، وظایف آزمون و فهرستی از منابع را نشان می دهد.

در نظر گرفته شده برای دانشجویان تمام وقت و پاره وقت مشغول به تحصیل در گرایش: 220200 - اتوماسیون و کنترل و تخصص 220201 - مدیریت و علوم کامپیوتر در سیستم های فنی و در مقطع کارشناسی: 220200 - اتوماسیون و کنترل.

تایید شده توسط شورای تحریریه و انتشارات VoSTU

گردآوری شده توسط: V.N. Tyukin، Ph.D. فن آوری علوم، دانشیار

داور: E.V. نسگووروف، Ph.D. فن آوری علوم، دانشیار

گروه علوم کامپیوتر و علوم کامپیوتر VoSTU

این برنامه بر اساس الزامات استاندارد آموزشی دولتی آموزش عالی حرفه ای برای حداقل محتوا و سطح آموزش مهندسان در تخصص 210100 - مدیریت و علوم کامپیوتر در سیستم های فنی است که در 10 مارس 2000 معرفی شد.

الزامات دانش و مهارت در این رشته

در نتیجه مطالعه این رشته، دانش آموزان باید:

1. دانش آموز باید یک ایده داشته باشد:

درباره مدل و شبیه سازی;

در مورد نقش مدل سازی در تحقیق، طراحی و بهره برداری از سیستم ها.

در مورد هدف رایانه ها در سیستم های مدل سازی؛

درباره نرم افزار و سخت افزار سیستم های مدل سازی

2. دانشجو باید بداند:

هدف و الزامات مدل؛

طبقه بندی انواع مدل سازی سیستم.

اصول رویکرد در مدلسازی سیستم;

طرح های ریاضی برای سیستم های مدل سازی.

مراحل اصلی مدل سازی سیستم

3. دانشجو باید بتواند:

مدل های ریاضی سیستم ها را بدست آورید.

انجام رسمی‌سازی و الگوریتم‌سازی فرآیند عملکرد سیستم‌ها؛

ساخت مدل های مفهومی و ماشینی سیستم ها.

دریافت و تفسیر نتایج شبیه سازی

الزامات حداقل محتوای رشته

طبقه بندی مدل ها و انواع مدل سازی; نمونه هایی از مدل های سیستم؛ مفاد اساسی نظریه شباهت؛ مراحل مدل سازی ریاضی؛ اصول ساخت و ساز و الزامات اساسی برای مدل های ریاضی سیستم ها؛ اهداف و اهداف تحقیق در مدل های ریاضی سیستم ها. طرح کلی برای توسعه مدل های ریاضی؛ رسمی کردن فرآیند عملکرد سیستم؛ مفهوم یک مدل کل؛ اشکال نمایش مدل های ریاضی؛ روش های مطالعه مدل های ریاضی سیستم ها و فرآیندها؛ مدل سازی شبیه سازی؛ روش‌های ساده‌سازی مدل‌های ریاضی؛ ابزارهای مدلسازی فنی و نرم افزاری

میز 1

توزیع ساعات برنامه درسی بر اساس اشکال آموزشی و انواع کلاس ها

انواع فعالیت ها	تحصیل تمام وقت	مطالعات مکاتبه ای
	خانواده 7		فقط یک ساعت	خانواده 9		فقط یک ساعت
سخنرانی ها
درس های عملی
آزمایشگاه. کار کردن
خود کار
جمع
کنترل نهایی	h، e.			z، e، 2 k.r.

جدول 2

توزیع ساعات کار مستقل دانشجو بر اساس نوع کار

برنامه دوره

معرفی

در 1. وضعیت فعلی مشکل مدل سازی سیستم.

در 2. استفاده از شبیه سازی در تحقیق، طراحی و

مدیریت سیستم ها

ادبیات: ص 4-6.

1. مفاهیم اساسی مدل سازی سیستم ها

1.1. تعریف مدل و شبیه سازی الزامات مدل هدف از مدل.

1.2. اصول رویکرد به مدل سازی سیستم.

1.3. طبقه بندی انواع مدل سازی سیستم.

1.4. امکانات و کارایی سیستم های مدل سازی در کامپیوتر.

ادبیات: صص 6-34.

2. طرح ریاضی برای مدلسازی سیستم

2.1. رویکردهای اساسی برای ساخت مدل های ریاضی سیستم ها. طرح کلی ریاضی.

2.2. مدل‌های قطعی پیوسته (طرح‌های D).

2.3. مدل‌های گسسته - قطعی (طرح‌های F).

2.4. مدل های گسسته تصادفی (طرح های P).

2.5. مدل‌های تصادفی پیوسته (طرح‌های Q).

2.6. مدل های تعمیم یافته (A - نمودارها).

ادبیات: صص 35-67، ص 168-180.

3. رسمی سازی و الگوریتم سازی فرآیند

عملیات سیستم

3.1. توالی توسعه و پیاده سازی ماشینی مدل های سیستم.

3.2. ساخت مدل مفهومی سیستم و رسمی سازی آن.

3.3. الگوریتم سازی مدل و پیاده سازی ماشینی آن

3.4. به دست آوردن و تفسیر نتایج شبیه سازی.

ادبیات: ص 68-89.

4. مدل سازی ریاضی سیستم ها

4.1. فرم های متعارف مدل های سیستم های پویا و روش های مطالعه آنها.

4.2. مدل سازی شبیه سازی

4.3. مدل سازی آماری

4.4. ابزارهای مدل سازی سیستم های نرم افزاری و سخت افزاری

ادبیات: .

هدف دوره

"فهمیدن به معنای ساختن یک مدل است."

دبلیو تامسون (کلوین)

تأسیسات تولید واقعی معمولاً سیستم های بزرگی هستند که مطالعه آنها یک کار بسیار پیچیده است. هدف اصلی این دوره توسعه یک رویکرد روش شناختی به مسئله مدل سازی سیستم های بزرگ و سیستم های کنترل آنها است. این وظیفه اصلی را می توان به تعدادی زیرکار تقسیم کرد که اهداف دوره نیز هستند:

مقدمه ای بر روش های تحلیل و اصول رویکرد به مدل سازی سیستم.

بررسی مبانی مدلسازی ریاضی سیستمها.

مطالعه اصول و دستگاه مدلسازی سیستمها.

مقدمه ای بر روش های مدل سازی در طراحی و بهره برداری از سیستم ها.

مطالعه ابزارهای مدل سازی سیستم های نرم افزاری و سخت افزاری;

کسب مهارت های عملی در ساخت مدل های سیستم های بزرگ و روش های پردازش نتایج مدل سازی.

دستورالعمل های روش شناسی

درس "مدل سازی سیستم های کنترل" باید ابزار کار مهندسی مدرن و قدرتمند را برای توسعه و بهره برداری موثر از سیستم های تولید خودکار در اختیار دانشجو قرار دهد. مدل سازی وسیله ای برای حل مشکل ساخت سیستم های بزرگ است که شامل تولید خودکار مدرن و بدون هزینه سرمایه است.

اهمیت دوره مورد مطالعه نیز در تسلط بر تکنیک ها و فناوری برای حل عملی مشکلات مدل سازی فرآیندهای عملکرد سیستم ها در رایانه است.

از دانش آموزان انتظار می رود که مطالب درسی را تا حد زیادی به تنهایی مطالعه کنند. سخنرانی ها در مورد پیچیده ترین مسائل دوره و همچنین در مورد مسائلی که به اندازه کافی در ادبیات پوشش داده نشده اند، ارائه می شود. دانش آموزان در کلاس های عملی و آزمایشگاهی مهارت های مدل سازی عملی را کسب می کنند. علاوه بر این، دانش آموزان آموزش از راه دور در حین مطالعه دوره، یک آزمون را نیز تکمیل می کنند.

معرفی

مطالعه درس باید با مقدمه ای بر تولید مدرن آغاز شود که می تواند به عنوان یک سیستم پیچیده از عناصر به هم پیوسته و متقابل در نظر گرفته شود که در آن سیستم مواد و تولید به عنوان یک شی کنترل فناورانه عمل می کند و سیستم اطلاعات و کنترل نقش یک تنظیم کننده افزایش کارایی اجرای فرآیندهای مدیریتی در تولید مستلزم معرفی گسترده سیستم‌های کنترل خودکار ایجاد شده با استفاده از روش‌های اقتصادی و ریاضی و فناوری اطلاعات و رایانه است. در حال حاضر مطالعه کامل و جامع سیستم‌های کنترل خودکار در تمام مراحل توسعه، از بازرسی شیء کنترلی و ترسیم مشخصات فنی طراحی و پایان دادن به اجرای سیستم در حال کار، بدون روش‌های مدل‌سازی کامپیوتری غیرممکن است. .

درک این نکته ضروری است که مبنای روش شناختی مدل سازی، روش دیالکتیکی- ماتریالیستی شناخت و پژوهش علمی است. به طور کلی، مدل‌سازی را می‌توان به عنوان روشی برای شناخت غیرمستقیم تعریف کرد که در آن شی اصلی مورد مطالعه با یک شی مدل دیگر مطابقت دارد و مدل به نوعی قادر است در برخی از مراحل شناختی جایگزین اصلی شود. روند.

اصول اولیه مدلسازی عبارتند از.

اصل کفایت اطلاعاتسطح اطلاعات پیشینی را که در آن می توان یک مدل مناسب ایجاد کرد، تعیین می کند.

اصل امکان سنجیبا احتمال دستیابی به هدف مدل سازی در زمان محدود تعیین می شود.

اصل چند مدلمدلی که ایجاد می شود باید اول از همه، آن ویژگی های سیستم واقعی را که بر شاخص عملکرد انتخاب شده تأثیر می گذارد، منعکس کند.

اصل تجمیعیک مدل از یک شی از واحدها (زیر سیستم ها) نشان داده می شود که برای توصیف توسط طرح های ریاضی استاندارد مناسب هستند.

اصل پارامترسازیمدل باید شامل زیرسیستم هایی باشد که با پارامترها مشخص می شوند.

مفاهیم اولیه مدلسازی سیستم

«معنی کلمات را تعریف کنید

و شما انسانیت را تحویل خواهید داد

از نصف توهماتش.»

در حین مطالعه این بخش، درک مفاهیم اساسی، تعاریف، اهداف و اصول مدل سازی اهمیت دارد.

مدل تصویری است از اصل بر اساس فرضیه‌ها و قیاس‌های پذیرفته‌شده و مدل‌سازی نمایشی از یک شی توسط یک مدل برای به دست آوردن اطلاعاتی در مورد این شی با انجام آزمایش‌هایی با مدل آن است.

نیاز اصلی که مدل باید برآورده کند کفایت شی است. کفایت مدل بستگی به هدف مدل سازی و معیارهای اتخاذ شده دارد. اگر نتایج مدل‌سازی تأیید شوند، یک مدل برای یک شی کافی است و می‌تواند به عنوان مبنایی برای پیش‌بینی فرآیندهای رخ داده در اشیاء مورد مطالعه باشد.

مدل سازی مشکلات مطالعه و تحقیق اشیاء، پیش بینی عملکرد آنها، سنتز ساختار، پارامترها و الگوریتم های رفتار را حل می کند.

در کنترل، مدل‌ها تخمین متغیرهای فرآیند غیرقابل مشاهده، پیش‌بینی وضعیت فرآیند تحت کنترل‌های موجود یا انتخاب شده و ترکیب خودکار استراتژی‌های کنترل بهینه را ممکن می‌سازند.

هنگام طراحی و راه اندازی سیستم های خودکار، وظایف متعددی مطرح می شود که نیاز به ارزیابی الگوهای کمی و کیفی فرآیندهای عملکرد سیستم ها، انجام سنتز ساختاری، الگوریتمی و پارامتری دارد. حل این مسائل در حال حاضر بدون استفاده از انواع مدل‌سازی غیرممکن است که به دلیل ویژگی‌های سیستم‌های بزرگ مانند پیچیدگی ساختارها، تصادفی بودن اتصالات بین عناصر و محیط خارجی، ابهام الگوریتم‌های رفتاری، تعداد زیاد است. پارامترها و متغیرها، ناقص بودن و نامعین بودن اطلاعات اولیه. مدل سازی ریاضی می تواند زمان طراحی را به میزان قابل توجهی کاهش دهد، در بسیاری از موارد به شما امکان می دهد راه حل بهینه را بیابید، روش آزمون و خطا در مقیاس کامل را حذف کنید و به فرآیند طراحی موازی بروید.

در حال حاضر، در تجزیه و تحلیل و سنتز سیستم های بزرگ، یک رویکرد سیستماتیک ایجاد شده است، که شامل یک انتقال ثابت از عمومی به خاص است، زمانی که اساس توجه، هدف است، و شی مورد مطالعه از محیط جدا می شود. در این حالت، مدل برای مسئله مطرح شده ایجاد می شود و مدل سازی شامل حل مسئله هدف، مشکل ساخت مدل، مشکل کار با مدل است. یکی از ویژگی های یک مدل به درستی انتخاب شده این است که فقط آن الگوهایی را نشان می دهد که محقق به آنها نیاز دارد و ویژگی های سیستم را که برای این مطالعه ضروری نیستند در نظر نمی گیرد.

طبقه بندی انواع مدل سازی سیستم بر اساس ویژگی های مختلفی از جمله درجه کامل بودن مدل، ماهیت توصیف ریاضی است. مکان مهمی را مدلسازی ریاضی، که فرآیند برقراری یک تطابق بین یک شی واقعی معین و یک شیء ریاضی معین است که مدل ریاضی نامیده می شود، و مطالعه این مدل که به فرد امکان می دهد ویژگی های واقعی را به دست آورد، اشغال می کند. شی مورد نظر مدل سازی ریاضی شامل تحلیلی و شبیه سازی است. مدل سازی شبیه سازی بر اساس توصیف مستقیم شی مدل شده، با استفاده از شباهت ساختاری شی و مدل، یعنی. هر عنصری از شی که از نقطه نظر مشکل حل شده مهم است با یک عنصر مدل همراه است.

ابزار فنی برای حل مسائل مهندسی بر اساس مدل سازی کامپیوتر است. آزمایش ماشین با یک مدل امکان مطالعه فرآیند عملکرد تحت هر شرایطی را فراهم می کند، مدت زمان آزمایش ها را در مقایسه با یک آزمایش در مقیاس کامل کاهش می دهد، انعطاف پذیری تغییر پارامترها، ساختار و الگوریتم های سیستم شبیه سازی شده را دارد و تنها روش عملی عملی برای مطالعه روند عملکرد سیستم ها در مرحله طراحی آنها است.

سوالات خودآزمایی

1. مدل و شبیه سازی چیست؟

2. الزامات اساسی مدل را فرموله کنید.

3. نقش مدل سازی در تحقیق، طراحی و کنترل سیستم چیست؟

4. تعاریفی از سیستم، محیط خارجی و عملکرد سیستم ارائه دهید.

5. منظور از رویکرد سیستمی به مدل سازی چیست؟

6. مشخصات طبقه بندی انواع مدل سازی سیستم را فهرست کنید.

7. در مورد مدل سازی ریاضی و انواع آن برایمان بگویید.

8. تفاوت بین مدل سازی تحلیلی و شبیه سازی چیست؟

9. مدل سازی سایبرنتیک چیست؟

10. نقش و هدف رایانه ها در مدل سازی.

طرح های ریاضی برای سیستم های مدل سازی

«بالاترین هدف ریاضیات این است

یافتن نظم در هرج و مرج

که ما را احاطه کرده است.»

هنگام مطالعه این بخش، ابتدا باید به مفاهیم طرح های مدل سازی ریاضی اعم از کلی و معمولی توجه کرد.

یک طرح ریاضی به عنوان پیوندی در گذار از یک توصیف معنی دار به یک توصیف رسمی از فرآیند عملکرد یک سیستم، با در نظر گرفتن تأثیر محیط خارجی، به عنوان مثال، تعریف می شود. یک زنجیره "مدل توصیفی - طرح ریاضی - مدل ریاضی" وجود دارد. طرح ریاضی به ما این امکان را می دهد که ریاضیات را نه به عنوان یک روش محاسبه، بلکه به عنوان یک روش تفکر، به عنوان وسیله ای برای فرمول بندی مفاهیم در نظر بگیریم، که در گذار از توصیف شفاهی یک سیستم به یک نمایش رسمی از فرآیند بسیار مهم است. عملکرد آن در قالب یک مدل ریاضی.

مدل شی مدل سازی، یعنی. سیستم را می توان به عنوان مجموعه ای از کمیت ها نشان داد که فرآیند عملکرد یک سیستم واقعی را توصیف می کند و به طور کلی زیر مجموعه های زیر را تشکیل می دهد: مجموعه ای از تأثیرات ورودی بر روی سیستم، مجموعه ای از تأثیرات محیطی خارجی، مجموعه ای از داخلی ( خود) پارامترهای سیستم و مجموعه ای از ویژگی های خروجی سیستم. تأثیرات ورودی، تأثیرات محیط خارجی، پارامترهای داخلی متغیرهای مستقل (برون زا) و ویژگی های خروجی سیستم متغیرهای وابسته (درون زا) هستند. یک طرح مدل‌سازی ریاضی عمومی توسط عملگر مشخص می‌شود که متغیرهای برون‌زا را به متغیرهای درون‌زا تبدیل می‌کند.

او در عمل مدلسازی از طرح های ریاضی استانداردی استفاده می کند که کلیت ندارند، اما مزایای سادگی و وضوح را دارند. اینها شامل مدلهای استاندارد قطعی، تصادفی و مجموع می باشد. معادلات دیفرانسیل، انتگرال، انتگرال دیفرانسیل و سایر معادلات به عنوان مدل های قطعی و معادلات تفاضل و اتوماتای ​​محدود برای نمایش سیستم هایی که در زمان گسسته کار می کنند استفاده می شود. اتومات های احتمالی به عنوان مدل های تصادفی برای نمایش سیستم های زمان گسسته و سیستم های صف برای نمایش سیستم های زمان پیوسته استفاده می شوند. مدل‌های انبوه، ماهیت سیستمیک اشیا را منعکس می‌کنند که به تعداد محدودی از قطعات تقسیم می‌شوند، در حالی که اتصالاتی را حفظ می‌کنند که تعامل قطعات را تضمین می‌کند.

طرح‌های ریاضی معمولی (D-,F-,P-,Q-,A-) امکان رسمی‌سازی یک کلاس نسبتاً گسترده از سیستم‌های بزرگ را فراهم می‌کند که باید در عمل تحقیق و طراحی مشکلات تولید با آنها برخورد کرد.

سوالات خودآزمایی

1. نقش طرح مدل سازی ریاضی چیست؟

2. طرح کلی ریاضی چیست؟

3. اشکال اصلی نمایش مدل های قطعی پیوسته را نام ببرید.

4. یک ماشین حالت محدود گسسته را توضیح دهید.

5. راه های تعیین عملکرد F - automata را فهرست کنید.

6. چگونه یک خودکار احتمالی را تعریف کنیم.

7. QS چیست؟ عناصر اصلی QS را نام ببرید.

8. معامله چیست؟

9. در مورد نمادگرایی مدارهای Q به ما بگویید. نحوه نمایش گرافیکی: منبع درخواست ها، کانال خدمات، انباشته کننده، شیر، جریان رویداد. مثالی از تصویر یک QS در نمادگرایی طرح‌واره‌های Q بیاورید.

10. ساختار سیستم تجمیع چیست؟

اطلاعات اولیه هنگام ساخت مدل های ریاضی فرآیندهای عملکرد سیستم، داده هایی در مورد هدف و شرایط عملیاتی سیستم مورد مطالعه (طراحی شده) است که هدف اصلی مدل سازی را تعیین می کند و به ما امکان می دهد الزامات مدل ریاضی در حال توسعه را فرموله کنیم. . طرح ریاضیرا می توان به عنوان پیوندی در گذار از یک توصیف معنادار به رسمی از فرآیند عملکرد سیستم، با در نظر گرفتن تأثیر محیط خارجی، به عنوان مثال، تعریف کرد. یک زنجیره "مدل توصیفی - طرح ریاضی - مدل ریاضی [تحلیلی و/یا شبیه سازی]" وجود دارد.

مدل شی مدل سازی، یعنی سیستم اس،را می توان به عنوان مجموعه ای از کمیت ها نشان داد که فرآیند عملکرد یک سیستم واقعی را توصیف می کند و به طور کلی زیر مجموعه های زیر را تشکیل می دهد:

· کلیت تاثیرات ورودیدر هر سیستم - x i;

· کلیت تاثیرات محیطی– n l;

· کلیت پارامترهای داخلی (خود).سیستم های - h k;

· کلیت ویژگی های خروجیسیستم های - y j.

در این حالت در زیر مجموعه های ذکر شده می توان متغیرهای کنترل شده و غیر قابل کنترل را تشخیص داد. به طور کلی x i, n l, h k, y jعناصری از زیرمجموعه های ناهمگون هستند X، V، H، Yو شامل هر دو مؤلفه قطعی و تصادفی است.

هنگام مدل سازی یک سیستم استأثیرات ورودی، تأثیرات محیطی Eو پارامترهای داخلی سیستم هستند متغیرهای مستقل (برون زا)،که به صورت برداری فرم مربوطه را دارند

و مشخصه های خروجی سیستم هستند متغیرهای وابسته (درون زا)و به صورت برداری شبیه هستند

فرآیند عملیات سیستم اسبه موقع توسط اپراتور شرح داده شده است افس که به طور کلی متغیرهای برون زا را مطابق با روابط شکل به درون زا تبدیل می کند:

. (2.1)

مجموعه ای از وابستگی های مشخصه های خروجی سیستم به موقع y j(تی) برای همه انواع نامیده می شود مسیر خروجوابستگی (2.1) نامیده می شود قانون عملکرد سیستم Sو تعیین شده است Fs.به طور کلی، قانون عملکرد سیستم اف سرا می توان به صورت تابع، شرایط عملکردی، منطقی، به صورت الگوریتمی و جدولی و یا در قالب یک قانون تطبیق کلامی مشخص کرد.

برای توصیف و مطالعه سیستم بسیار مهم است اسمفهوم است الگوریتم عملکرد A s، که به عنوان روشی برای به دست آوردن ویژگی های خروجی با در نظر گرفتن تأثیرات ورودی درک می شود , تاثیرات محیطی و پارامترهای سیستم خود را دارد . بدیهی است که قانون یکسان عملکرد سیستم را می توان به روش های مختلفی پیاده سازی کرد، به عنوان مثال. با استفاده از الگوریتم های مختلف مانند.

روابط (2.1) یک توصیف ریاضی از رفتار شی (سیستم) مدل سازی در زمان است. , آن ها خواص دینامیکی آن را منعکس می کند. بنابراین معمولاً مدل های ریاضی از این نوع نامیده می شود مدل های پویا (سیستم ها).

برای مدل های ایستا، توصیف ریاضی (2.1) نگاشت بین دو زیر مجموعه از ویژگی های شی مدل شده است. Yو [ X، V، H], که به صورت برداری می تواند به صورت نوشته شود

. (2.2)

روابط (2.1) و (2.2) را می توان به روش های مختلفی مشخص کرد: تحلیلی (با استفاده از فرمول ها)، گرافیکی، جدولی و غیره. چنین روابطی را می توان در برخی موارد از طریق ویژگی های سیستم به دست آورد. اسدر مقاطع زمانی خاص، نامیده می شود ایالت ها.وضعیت سیستم اسبا بردارها مشخص می شود

و ,

جایی که z ’ 1 =z 1 (تی ’),z ’ 2 =z 2 (تی ’), …, z'k = z k ( تی')، در حال حاضر تی ’’ Î( تی 0 , تی); z ’’ 1 =z 1 (تی ’’), z ’’ 2 =z 2 (تی ’’), …, z'' k = z k ( تی'') در حال حاضر تی ’’ Î( تی 0 , تی) و غیره.، .

اگر روند عملکرد سیستم را در نظر بگیریم اسبه عنوان یک تغییر متوالی حالات z 1 (تی), z 2 (تی), ..., z k ( تی، سپس آنها را می توان به عنوان مختصات یک نقطه در تفسیر کرد ک-فضای فاز بعدی، و هر اجرای فرآیند با یک مسیر فاز مشخص مطابقت دارد. مجموعه ای از تمام مقادیر حالت ممکن فراخوانی می شود فضای حالتشی مدل سازی ز، و z k О ز.

حالات سیستمی اسدر یک نقطه از زمان t 0<t*£ تیکاملاً با شرایط اولیه تعیین می شوند [جایی که z 0 1 =z 1 (تی 0), z 0 2 =z 2 (تی 0), ..., z 0 k = z k ( تی 0)]، تأثیرات ورودی، پارامترهای داخلی و تأثیرات محیطی خارجی که در یک دوره زمانی روی داده اند t*– t0،با استفاده از دو معادله برداری:

; (2.3)

. (2.4)

معادله اول بر اساس حالت اولیه و متغیرهای برونزا، تابع برداری را تعیین می کند , و دوم با توجه به مقدار به دست آمده از حالت ها متغیرهای درون زا در خروجی سیستم هستند . بنابراین، زنجیره معادلات شی "ورودی - حالات - خروجی" به ما امکان می دهد ویژگی های سیستم را تعیین کنیم:

به طور کلی زمان در مدل سیستم اسرا می توان در بازه مدل سازی در نظر گرفت (0، تی) هم پیوسته و هم گسسته، یعنی. هر کدام به بخش‌هایی از واحدهای زمان تقسیم می‌شوند، زمانی که تعداد فواصل نمونه‌برداری کجاست.

بنابراین، تحت مدل ریاضی شی(سیستم واقعی) زیر مجموعه محدودی از متغیرها را درک می کند همراه با ارتباط ریاضی بین آنها و ویژگی ها.

اگر توصیف ریاضی شی مدل‌سازی شامل عناصر تصادفی نباشد یا در نظر گرفته نشود، به عنوان مثال. اگر بتوانیم فرض کنیم که در این حالت هیچ تاثیرات تصادفی محیط خارجی و پارامترهای داخلی تصادفی وجود ندارد، مدل نامیده می شود. قطعیبه این معنا که ویژگی ها به طور منحصر به فردی توسط تأثیرات ورودی قطعی تعیین می شوند

. (2.6)

بدیهی است که مدل قطعی یک مورد خاص از مدل تصادفی است.

روابط ریاضی ارائه شده نشان دهنده طرح های ریاضی عمومی است و امکان توصیف یک کلاس وسیع از سیستم ها را فراهم می کند. با این حال، در عمل مدل سازی اشیاء در زمینه مهندسی سیستم ها و تجزیه و تحلیل سیستم، در مراحل اولیه تحقیق سیستم، منطقی تر است که از آن استفاده شود. طرح های ریاضی معمولی:معادلات دیفرانسیل، اتوماتای ​​محدود و احتمالی، سیستم های صف، شبکه های پتری و غیره.

طرح‌های ریاضی معمولی که از همان درجه عمومیت مدل‌های در نظر گرفته شده برخوردار نیستند، دارای مزایای سادگی و وضوح هستند، اما با محدودیت قابل توجهی از امکانات کاربردی. به عنوان مدل های قطعی، هنگامی که عوامل تصادفی در مطالعه در نظر گرفته نمی شوند، از معادلات دیفرانسیل، انتگرال، انتگرال دیفرانسیل و غیره برای نمایش سیستم هایی که در زمان پیوسته کار می کنند، و ماشین های خودکار محدود و ماشین های حالت محدود برای نشان دادن سیستم های عامل استفاده می شوند. در طرح های زمان گسسته. اتومات های احتمالی به عنوان مدل های تصادفی (با در نظر گرفتن عوامل تصادفی) برای نمایش سیستم های زمان گسسته و سیستم های صف و غیره برای نمایش سیستم های زمان پیوسته استفاده می شوند.

طرح‌های ریاضی استاندارد فهرست‌شده، طبیعتاً نمی‌توانند ادعا کنند که بر اساس آن‌ها قادر به توصیف همه فرآیندهایی هستند که در سیستم‌های اطلاعات و کنترل بزرگ رخ می‌دهند. برای چنین سیستم هایی، در برخی موارد، استفاده از مدل های تجمعی امیدوارکننده تر است. مدل‌های انبوه (سیستم‌ها) توصیف طیف گسترده‌ای از اشیاء تحقیقاتی را امکان‌پذیر می‌سازند که ماهیت سیستمی این اشیاء را منعکس می‌کنند. با یک توصیف انبوه است که یک شی (سیستم) پیچیده به تعداد محدودی از قطعات (زیر سیستم ها) تقسیم می شود، در حالی که ارتباطاتی را حفظ می کند که تعامل قطعات را تضمین می کند.

بنابراین، هنگام ساخت مدل‌های ریاضی فرآیندهای عملکرد سیستم، رویکردهای اصلی زیر قابل تشخیص است: پیوسته - قطعی (به عنوان مثال، معادلات دیفرانسیل). گسسته قطعی (ماشین های حالت محدود)؛ گسسته تصادفی (اتوماتای ​​احتمالی)؛ پیوسته تصادفی (سیستم های صف بندی)؛ تعمیم یافته یا جهانی (سیستم های کل).

سخنرانی 5.

مدل‌های قطعی پیوسته (طرح‌های D)

اجازه دهید ویژگی های رویکرد قطعی پیوسته را با استفاده از مثال استفاده از معادلات دیفرانسیل به عنوان مدل های ریاضی در نظر بگیریم. معادلات دیفرانسیلاینها معادلاتی هستند که در آنها توابع یک یا چند متغیر ناشناخته هستند و معادله نه تنها توابع، بلکه مشتقات مرتبه های مختلف آنها را نیز شامل می شود. اگر مجهولات تابع بسیاری از متغیرها باشند، معادلات فراخوانی می شوند معادلات دیفرانسیل جزئی،در غیر این صورت، هنگام در نظر گرفتن تابعی از تنها یک متغیر مستقل، معادلات فراخوانی می شوند معادلات دیفرانسیل معمولی(ODU) .

به طور معمول، در چنین مدل های ریاضی، زمان به عنوان متغیر مستقلی عمل می کند که توابع مجهول ناشناخته به آن بستگی دارند. تیسپس رابطه ریاضی برای سیستم های قطعی (2.6) به صورت کلی خواهد بود

جایی که و - n-بردارهای بعدی - یک تابع برداری که روی برخی ( n+ 1)-بعدی مجموعه و پیوسته است. از آنجایی که طرح های ریاضی از این نوع منعکس کننده دینامیک سیستم مورد مطالعه است، به عنوان مثال. رفتار آن در زمان، آنها نامیده می شود طرح های D(از انگلیسی پویا).

در ساده ترین حالت، ODE به شکل زیر است:

,

جایی که ساعت 0 , ساعت 1 , ساعت 2 - پارامترهای سیستم z(تی) – وضعیت سیستم در یک لحظه از زمان تی

اگر سیستم مورد مطالعه با محیط خارجی تعامل داشته باشد E , سپس نفوذ ورودی ظاهر می شود ایکس(تی) و مدل قطعی پیوسته چنین سیستمی به شکل زیر خواهد بود:

.

از دیدگاه طرح کلی مدل ریاضی ایکس(تی) عمل ورودی (کنترل) و وضعیت سیستم است اسدر این مورد می توان به عنوان یک مشخصه خروجی در نظر گرفت، یعنی. فرض کنید که متغیر خروجی با وضعیت سیستم در یک زمان معین منطبق باشد y=z.

هنگام حل مسائل مهندسی سیستم ها، مشکلات مدیریت سیستم های بزرگ از اهمیت بالایی برخوردار است. شما باید به سیستم های کنترل خودکار توجه کنید - یک مورد خاص از سیستم های پویا شرح داده شده است د-طرح ها و مدل ها به دلیل ویژگی عملی آنها به یک کلاس جداگانه تقسیم می شوند. هنگام توصیف فرآیندهای کنترل خودکار، آنها معمولاً به نمایش یک شی واقعی در قالب دو سیستم پایبند هستند: کنترل و کنترل شده (شیء کنترل).

. سخنرانی 6.

مدل‌های گسسته قطعی (طرح‌های F)

ما ویژگی های رویکرد گسسته - قطعی را در مرحله رسمی کردن فرآیند عملکرد سیستم با استفاده از مثال استفاده از نظریه خودکار به عنوان یک دستگاه ریاضی در نظر خواهیم گرفت. نظریه اتوماتا شاخه ای از سایبرنتیک نظری است که در آن مدل های ریاضی - اتوماتا - مورد مطالعه قرار می گیرد. بر اساس این نظریه، سیستم به عنوان یک خودکار نمایش داده می شود که اطلاعات گسسته را پردازش می کند و حالت های داخلی آن را تنها در زمان های قابل قبول تغییر می دهد. مفهوم "ماشین اتوماتیک" بسته به ماهیت سیستم های خاص مورد مطالعه، سطح انتزاع پذیرفته شده و درجه عمومیت مناسب متفاوت است. اتومات را می توان وسیله ای (جعبه سیاه) دانست که سیگنال های ورودی به آن و سیگنال های خروجی دریافت می شود و ممکن است حالت های داخلی داشته باشد. یک خودکار محدود خودکاری است که دارای مجموعه ای از حالت های داخلی و در نتیجه مجموعه ای از سیگنال های خروجی است که مجموعه های محدودی هستند. به طور انتزاعی، یک خودکار محدود (از خودکار محدود انگلیسی) را می توان به عنوان یک طرح ریاضی با شش عنصر نشان داد: یک مجموعه محدود. ایکسسیگنال های ورودی (الفبای ورودی)؛ مجموعه محدود Yسیگنال های خروجی (الفبای خروجی)؛ مجموعه محدود زحالات داخلی (الفبای داخلی یا الفبای حالات)؛ حالت اولیه z 0 Î ز; تابع انتقال j(z، x) تابع خروجی y(z، x).

خودکار مشخص شده است اف-طرح: - در زمان خودکار گسسته عمل می کند که لحظه های آن تیک هستند، یعنی. فواصل زمانی مساوی در مجاورت یکدیگر، که هر کدام مربوط به مقادیر ثابت سیگنال های ورودی و خروجی و حالت های داخلی است. اگر حالت و همچنین سیگنال های ورودی و خروجی مربوط به را مشخص کنیم t-ساعت مو در تی= 0، 1، 2، ...، از طریق z(تی),ایکس(تی),y(تی).که در آن z(0)=z 0 , z(تی)Î ز, ایکس(تی)Î X، y(تی)Î Y.یک ماشین حالت انتزاعی یک ورودی و یک کانال خروجی دارد. در هر لحظه از زمان گسسته اف- دستگاه در وضعیت خاصی قرار دارد z(تی) از بسیاری زحالت های ماشین و در لحظه اولیه زمان تی=0 همیشه در حالت اولیه است z(0)=z 0 . در حال حاضر تی،توانا بودن z(تی), دستگاه قادر به دریافت سیگنال در کانال ورودی است ایکس(تی)Î ایکسو یک سیگنال در کانال خروجی صادر کنید در(تی)=y[z(تی), ایکس(تی)]، عبور به حالت z(تی+1)=j[z(t)، x(t)], ایکس(تی)Î X، y(تی)Î Y.یک ماشین متناهی انتزاعی نقشه برداری از مجموعه ای از کلمات الفبای ورودی را پیاده سازی می کند ایکسبرای بسیاری از کلمات الفبای خروجی Y. به عبارت دیگر، اگر ورودی یک ماشین حالت محدود به حالت اولیه تنظیم شود z 0، حروف الفبای ورودی را به ترتیب ارائه می کند ایکس(0),ایکس(1),ایکس(2)،...، یعنی. کلمه ورودی را وارد کنید، سپس حروف الفبای خروجی در خروجی دستگاه ظاهر می شود در(0), y(1), در(2)، ...، کلمه خروجی را تشکیل می دهند. بنابراین، عملکرد ماشین حالت محدود بر اساس طرح زیر رخ می دهد: در هر t-چرخه m به ورودی ماشین که در حالت است z(تی) مقداری سیگنال داده می شود ایکس(تی), که او با انتقال به ( تی+1)-th stroke to a new state z(تی+1) و مقداری سیگنال خروجی تولید می کند.

بر اساس تعداد حالت ها، ماشین های حالت محدود بین ماشین های حالت محدود با و بدون حافظه متمایز می شوند. اتومات های دارای حافظه بیش از یک حالت دارند در حالی که اتومات های بدون حافظه (مدارهای ترکیبی یا منطقی) فقط یک حالت دارند. بر اساس ماهیت شمارش زمان گسسته، ماشین های حالت محدود به سنکرون و ناهمزمان تقسیم می شوند. به صورت همزمان افدر ماشین‌های اتوماتیک، لحظات زمانی که ماشین سیگنال‌های ورودی را می‌خواند، توسط سیگنال‌های همگام‌سازی اجباری تعیین می‌شود. نامتقارن F-دستگاه سیگنال ورودی را به طور مداوم می خواند و بنابراین به سیگنال ورودی به اندازه کافی طولانی با مقدار ثابت پاسخ می دهد. ایکس،می تواند چندین بار تغییر حالت دهد و تعداد متناظر سیگنال های خروجی را تولید کند تا زمانی که پایدار شود، که دیگر نمی تواند با یک سیگنال ورودی مشخص تغییر کند.

مدل‌های تصادفی گسسته (طرح‌های P)

اجازه دهید ویژگی های ساخت طرح های ریاضی را با استفاده از یک رویکرد تصادفی گسسته برای رسمی کردن فرآیند عملکرد سیستم مورد مطالعه در نظر بگیریم. از آنجایی که ماهیت گسسته سازی زمان در این رویکرد مشابه موارد در نظر گرفته شده در اتوماتای ​​متناهی باقی می ماند، ما همچنین تأثیر عامل تصادفی را بر انواع چنین خودکارها، یعنی روی خودکارهای احتمالی (تصادفی) ردیابی خواهیم کرد.

به طور کلی، یک خودکار احتمالی را می توان به عنوان یک مبدل اطلاعات چرخه ساعت گسسته با حافظه تعریف کرد که عملکرد آن در هر سیکل ساعت تنها به وضعیت حافظه موجود در آن بستگی دارد و می توان آن را به صورت آماری توصیف کرد. استفاده از مدارهای اتوماتای ​​احتمالی برای توسعه روش‌هایی برای طراحی سیستم‌های گسسته که رفتار تصادفی منظم آماری از خود نشان می‌دهند، برای روشن کردن قابلیت‌های الگوریتمی چنین سیستم‌هایی و توجیه مرزهای امکان‌سنجی استفاده از آن‌ها و همچنین برای حل مسائل سنتز مهم است. به یک معیار انتخابی از سیستم های تصادفی گسسته که محدودیت های داده شده را برآورده می کند.

بیایید مفهوم ریاضی را معرفی کنیم R-مسلسل , با استفاده از مفاهیم معرفی شده برای اف-اتوماتیک . مجموعه را در نظر بگیرید جی، که همه عناصر آن جفت های ممکن هستند ( x i، z s)، جایی که x iو z s- عناصر زیرمجموعه ورودی ایکسو زیر مجموعه ایالت ها زبه ترتیب. اگر دو تابع از این قبیل وجود دارد jو y،سپس با کمک آنها نقشه برداری انجام می شود جی® زو جی® Y،بعد اینو میگن یک خودکار از نوع قطعی را تعریف می کند. اجازه دهید یک طرح ریاضی کلی تر را معرفی کنیم. اجازه دهید اف– مجموعه تمام جفت های ممکن فرم ( z k، y i) جایی که y j- عنصر زیر مجموعه خروجی Y. ما به هر عنصری از مجموعه نیاز داریم جیالقا شده در مجموعه افبرخی از قوانین توزیع به شکل زیر:

عناصری از F … (z 1 ، y 1) … (z 1 ، y 2) … … (z K، y J -1) (z K، y J)

(x i z k) … ب 11 ب 12 … bK(J -1 ) ب KJ

که در آن ،

جایی که b kj- احتمال انتقال ماشین به حالت z kو ظاهر سیگنال در خروجی y jاگر او می توانست z sو در این لحظه سیگنالی در ورودی آن دریافت شد x i. تعداد چنین توزیع هایی که در قالب جداول ارائه شده است، برابر با تعداد عناصر مجموعه است جی.اجازه دهید مجموعه این جداول را با علامت گذاری کنیم که در، سپس چهار عنصر به نام خودکار احتمالی ( آر-اتوماتیک) .

سخنرانی 7.

مدل‌های تصادفی پیوسته (طرح‌های Q)

ما ویژگی‌های رویکرد تصادفی پیوسته را با استفاده از مثال استفاده از سیستم‌های صف به عنوان طرح‌های ریاضی استاندارد در نظر می‌گیریم که به آن می‌گوییم. س-طرح ها . سیستم‌های صف دسته‌ای از طرح‌های ریاضی هستند که در تئوری صف و کاربردهای مختلف برای رسمی کردن فرآیندهای عملکرد سیستم‌ها، که اساساً فرآیندهای خدماتی هستند، توسعه یافته‌اند.

به عنوان یک فرآیند خدماتی، فرآیندهای عملکرد سیستم های اقتصادی، تولیدی، فنی و سایر سیستم ها، که از نظر ماهیت فیزیکی متفاوت هستند، می توانند ارائه شوند، به عنوان مثال، برنامه های کاربردی برای پردازش اطلاعات رایانه ای از پایانه های راه دور و غیره. علاوه بر این، ویژگی عملکرد چنین اشیایی ظاهر تصادفی برنامه ها (الزامات) برای سرویس و تکمیل سرویس در زمان های تصادفی است، یعنی. ماهیت تصادفی فرآیند عملکرد آنها. در هر عمل اولیه خدمات، دو جزء اصلی قابل تشخیص است: انتظار خدمات توسط برنامه و خدمات واقعی برنامه. این را می توان به عنوان برخی نشان داد مندستگاه خدماتی P i، متشکل از یک انباشته سفارش سلام، که به طور همزمان می تواند شامل برنامه هایی باشد، که در آن L i H -ظرفیت منکانال ذخیره سازی و درخواست سرویس (یا به سادگی کانال) ک منبرای هر عنصر از دستگاه خدمات P iجریان رویدادها می رسند: به ذخیره سازی سلام -جریان برنامه های کاربردی w iدر هر کانال K i -جریان خدمات تو من

در عمل سیستم‌های مدل‌سازی که دارای ارتباطات ساختاری پیچیده‌تر و الگوریتم‌های رفتاری هستند، از دستگاه‌های خدماتی منفرد برای رسمی‌سازی استفاده نمی‌شود، اما س-مدارهایی که از ترکیب بسیاری از دستگاه های خدمات اولیه تشکیل شده اند P i(شبکه های صف). اگر کانال ها ک مندستگاه های خدمات مختلف به صورت موازی متصل می شوند، سپس سرویس چند کاناله انجام می شود (چند کانال س-طرح) , و اگر دستگاه ها P iو ترکیبات موازی آنها به صورت سری به هم متصل می شوند، سپس سرویس چند فازی انجام می شود (چند فاز س-طرح). بنابراین، برای وظیفه س-طرح ها باید از عملگر صرف استفاده کنند R،منعکس کننده رابطه عناصر ساختاری (کانال ها و درایوها) با یکدیگر. باز و بسته وجود دارد س-طرح . در باز س-طرح، جریان خروجی برنامه های کاربردی سرویس دهی شده نمی تواند دوباره به هیچ عنصری برسد، یعنی بازخوردی وجود ندارد و در حالت بسته است. س-مدارها دارای اتصالات بازخوردی هستند که از طریق آنها برنامه ها در جهت مخالف حرکت ورودی-خروجی حرکت می کنند.

امکان ارزیابی ویژگی ها با استفاده از مدل های تحلیلی تئوری صف در مقایسه با الزامات عمل تحقیق و طراحی سیستم ها، که به شکل رسمی شده است، بسیار محدود است. س-طرح ها مدل‌های شبیه‌سازی پتانسیل غیرقابل مقایسه بیشتری دارند و مطالعه را ممکن می‌سازند س-طرح بدون محدودیت مشخص شده است.

مدل‌های شبکه (طرح‌های N)

در عمل مدل‌سازی شی، اغلب لازم است مسائل مربوط به توصیف رسمی و تحلیل روابط علت و معلولی در سیستم‌های پیچیده، که در آن چندین فرآیند به طور همزمان به صورت موازی اتفاق می‌افتند، حل شود. رایج ترین فرمالیسمی که در حال حاضر برای توصیف ساختار و تعامل سیستم ها و فرآیندهای موازی استفاده می شود شبکه پتری است.

به طور رسمی، شبکه پتری ( ن-scheme) با چهار برابر از شکل داده می شود:

,

جایی که که در- مجموعه محدودی از نمادها به نام موقعیت. D- مجموعه ای محدود از نمادها به نام انتقال. من- تابع ورودی (تابع وقوع مستقیم)؛ O-تابع خروجی (تابع بروز معکوس). بنابراین تابع ورودی منانتقال را نشان می دهد دی جیبه بسیاری از موقعیت های خروجی b iÎ من(دی جی) و تابع خروجی در بارهانتقال را نشان می دهد دی جیبه بسیاری از موقعیت های خروجی b iÎ D(دی جی).

به صورت گرافیکی طرح Nبه عنوان یک مولتی گراف دوبخشی گرا نشان داده می شود که مجموعه ای از موقعیت ها و انتقال ها است. نمودار مدارهای Nدارای دو نوع گره است: موقعیت و انتقال که به ترتیب با 0 و 1 نشان داده می شوند. کمان‌های جهت‌دهنده موقعیت‌ها و انتقال‌ها را به هم متصل می‌کنند، با هر کمان از عنصری از یک مجموعه (موقعیت یا انتقال) به عنصری از مجموعه دیگر (انتقال یا موقعیت). نمودار مدارهای Nیک مولتی گراف است زیرا امکان وجود کمان های متعدد از یک راس به راس دیگر را فراهم می کند.

کاهش نمایندگی مدارهای Nفقط می تواند برای انعکاس استاتیک سیستم شبیه سازی شده (رابطه رویدادها و شرایط) استفاده شود، اما به مدل اجازه نمی دهد که پویایی عملکرد سیستم شبیه سازی شده را منعکس کند. برای نمایش خصوصیات دینامیکی یک شی، یک تابع علامت گذاری (علامت گذاری) معرفی می شود م: B®(0، 1، 2، ...). علامت گذاری متخصیصی از اشیاء انتزاعی خاص، به نام برچسب (تراشه) به موقعیت ها وجود دارد مدارهای N،علاوه بر این، تعداد نمرات مربوط به هر موقعیت ممکن است متفاوت باشد. با یک کار گرافیکی مدارهای Nعلامت گذاری با قرار دادن تعداد نقاط مربوطه در داخل موقعیت های راس نمایش داده می شود (زمانی که تعداد نقاط زیاد است، اعداد قرار می گیرند). علامت گذاری شده (علامت گذاری شده) طرح Nرا می توان به عنوان یک پنج توصیف کرد و ترکیبی از شبکه پتری و برچسب زدن است م.

عمل مدارهای Nبا حرکت از نشانه گذاری به نشانه گذاری منعکس می شود. علامت گذاری اولیه به عنوان نشان داده شده است م 0:که در®(0، 1، 2، ...). طرح بندی در نتیجه فعال شدن یکی از انتقال ها تغییر می کند دی جیÎ Dشبکه های. شرط لازم برای انتقال به آتش دی جیاست b iÎ من (دی جی){M(b i)³ 1) کجا M(b i)- علامت گذاری موقعیت b i.انتقال دی جی، که برای آن شرط مشخص شده برآورده می شود، به عنوان در حالت آمادگی برای آتش یا به عنوان یک انتقال هیجان زده تعریف می شود.

مدل های ترکیبی (طرح های A)

مشهورترین رویکرد کلی برای توصیف رسمی فرآیندهای عملکرد سیستم، رویکردی است که توسط Ya.P. بوسلنکو این رویکرد امکان توصیف رفتار سیستم های پیوسته و گسسته، قطعی و تصادفی را فراهم می کند، یعنی در مقایسه با موارد در نظر گرفته شده، تعمیم یافته (جهانی) و مبتنی بر مفهوم است. سیستم تجمیع(از سیستم مجموع انگلیسی)، که یک طرح رسمی از یک شکل کلی است که ما آن را می نامیم. A-scheme.

تجزیه و تحلیل ابزارهای موجود سیستم های مدل سازی و مشکلات حل شده با استفاده از روش مدل سازی کامپیوتری، ناگزیر به این نتیجه می رسد که یک راه حل جامع برای مشکلات ناشی از فرآیند ایجاد و اجرای کامپیوتری مدل تنها در صورتی امکان پذیر است که سیستم های مدل سازی بر اساس یک مدل واحد باشد. طرح ریاضی رسمی، یعنی A-نمودار.چنین طرحی باید به طور همزمان چندین عملکرد را انجام دهد: یک توصیف ریاضی کافی از شی مدل‌سازی، یعنی سیستم باشد. اس،به عنوان پایه ای برای ساخت الگوریتم ها و برنامه ها برای پیاده سازی ماشینی مدل عمل می کند م،اجازه می دهد تا مطالعات تحلیلی در یک نسخه ساده شده (برای موارد خاص) انجام شود.

این الزامات تا حدودی متناقض هستند. با این حال، در چارچوب یک رویکرد تعمیم یافته بر اساس A-schemesمی توان بین آنها سازش پیدا کرد.

با توجه به سنت ایجاد شده در ریاضیات به طور کلی و در ریاضیات کاربردی به طور خاص، با رویکرد تجمیع، ابتدا یک تعریف رسمی از موضوع مدل‌سازی ارائه می‌شود - یک سیستم تجمعی، که یک طرح ریاضی است که ماهیت سیستمی اشیاء را منعکس می‌کند. در حال مطالعه با یک توصیف انبوه، یک شی (سیستم) پیچیده به تعداد محدودی از قطعات (زیر سیستم ها) تقسیم می شود، در حالی که ارتباطاتی را حفظ می کند که تعامل آنها را تضمین می کند. اگر برخی از زیرسیستم های به دست آمده کاملاً پیچیده باشند، فرآیند تجزیه آنها تا تشکیل زیرسیستم هایی ادامه می یابد که تحت شرایط مسئله مدل سازی مورد بررسی، می توانند برای توصیف ریاضی مناسب در نظر گرفته شوند. در نتیجه چنین تجزیه ای، یک سیستم پیچیده در قالب یک ساختار چند سطحی از عناصر به هم پیوسته ارائه می شود که در زیر سیستم های سطوح مختلف ترکیب شده اند.

به عنوان یک عنصر A-schemesتجمع عمل می کند و ارتباط بین دانه ها (در داخل سیستم اسو با محیط خارجی E) با استفاده از عملگر صرف انجام می شود آر. بدیهی است که خود واحد را می توان به عنوان A-نمودار، یعنی می توان آن را به عناصر (مجموعه) سطح بعدی تقسیم کرد. هر مجموعه ای با مجموعه های زیر مشخص می شود: لحظات زمان تی، ورودی ایکسو آخر هفته ها Yسیگنال ها، حالات زدر هر لحظه از زمان تی. وضعیت واحد در لحظه زمان تیÎ تیبه عنوان نشان داده شده است z(تی)Î ز، و سیگنال های ورودی و خروجی به صورت است ایکس(تی)Î ایکسو در(تی)Î Yبه ترتیب.

دسته‌ای از سیستم‌های بزرگ وجود دارند که به دلیل پیچیدگی‌شان، نمی‌توان آن‌ها را در قالب طرح‌های ریاضی واحدهای منفرد رسمی‌سازی کرد، بنابراین با ساخت واحدهای منفرد، رسمیت می‌یابند. A n، که ما آن را یک سیستم تجمعی یا A-scheme. برای توصیف برخی از سیستم های واقعی اسمانند A-schemesلازم است توضیحاتی در مورد هر دو واحد وجود داشته باشد A n، و ارتباطات بین آنها.

عمل A-schemesمرتبط با پردازش اطلاعات تمام اطلاعات در حال گردش در A-نمودار، به خارجی و داخلی تقسیم می شود. اطلاعات خارجی از اشیاء خارجی می آید که عناصر مدار مورد بررسی نیستند و اطلاعات داخلی توسط واحدهای خود مدار تولید می شود. A-schemes. تبادل اطلاعات بین A-schemeو محیط خارجی Eاز طریق سنگدانه هایی به نام قطب رخ می دهد A-schemes. در این حالت، قطب های ورودی متمایز می شوند A-schemes، که واحدهایی هستند که دریافت می کنند ایکس-پیام ها و قطب های خروجی A-schemes، که اطلاعات خروجی آن است در-پیام ها. واحدهایی که قطب نیستند داخلی نامیده می شوند.

1. مدل های گرافیکی

2. مدل های شبیه سازی

3. مدل های ریاضی

4. مدل سازی فرآیندهای برنامه ریزی بهینه

5. مدل سازی فرآیندهای جهانی

7. مدل سازی سیستم ها و فرآیندهای محیطی

8. مدل های اطلاعات شی

9. تجزیه و تحلیل سیستم

10. مدل های آماری

11. مدل های جدولی

12. رسمی سازی و مدل سازی

دوره علوم کامپیوتر مدرسه به طور سنتی شامل یک خط اساسی از رسمی سازی و مدل سازی است. مفهوم مدل به مفاهیم کلی بنیادی علمی اطلاق می شود و مدل سازی روشی برای درک واقعیت است که توسط علوم مختلف استفاده می شود.

تقریباً در تمام علوم طبیعی و اجتماعی، ساخت و استفاده از الگوها یک ابزار تحقیقاتی قدرتمند است. اشیاء و فرآیندهای واقعی می توانند آنقدر چند وجهی و پیچیده باشند که بهترین راه برای مطالعه آنها ساختن مدلی است که فقط بخشی از واقعیت را منعکس می کند و بنابراین چندین برابر ساده تر از این واقعیت است. موضوع تحقیق و توسعه علوم کامپیوتر روش شناسی مدل سازی اطلاعات مرتبط با استفاده از تجهیزات و فناوری های کامپیوتری است. به این معنا صحبت می کنند مدل سازی کامپیوتری. اهمیت بین رشته ای علوم کامپیوتر تا حد زیادی از طریق معرفی مدل سازی کامپیوتری در زمینه های مختلف علمی و کاربردی آشکار می شود: فیزیک و فناوری، زیست شناسی و پزشکی، اقتصاد، مدیریت و بسیاری دیگر.

مدل سازی کامپیوتری شامل فرآیند پیاده سازی یک مدل اطلاعاتی بر روی کامپیوتر و تحقیق در مورد شی مدل سازی با استفاده از این مدل - انجام یک آزمایش محاسباتی. با کمک مدل سازی کامپیوتری بسیاری از مشکلات علمی و صنعتی حل می شود.

مدل‌سازی اطلاعات با رسمی‌سازی داده‌های مربوط به شی مدل‌سازی همراه است (نگاه کنید به " رسمی سازی و مدل سازی”). ساخت یک مدل اطلاعاتی با تعریف اهداف مدل‌سازی و تحلیل شی مدل‌سازی به عنوان یک سیستم پیچیده آغاز می‌شود که در آن لازم است ویژگی‌های منعکس‌شده در مدل و روابط بین آنها برجسته شود (نگاه کنید به " تحلیل سیستم"). مدل های اطلاعاتی در قالب ارائه اطلاعات در مورد شی مدل سازی متفاوت است. مدل های ریاضیاز زبان ریاضیات برای نشان دادن شی مدل سازی استفاده کنید. نوع جداگانه ای از مدل های ریاضی هستند مدل های آماری- پردازش گرا داده های انبوه(مثلاً نظرسنجی جمعیت) که در آن عنصر تصادفی وجود دارد. داده‌های مربوط به شی مدل‌سازی، به شکل جدولی سازمان‌دهی شده است مدل جدولی. برای ساخت از ابزارهای گرافیکی استفاده می شود مدل های گرافیکی. رویکرد شی گرا به برنامه نویسی که در پایان قرن گذشته پدیدار شد، پارادایم جدیدی در مدل سازی اطلاعات ایجاد کرد: مدل سازی اطلاعات شی. مدل‌های رایانه‌ای که رفتار سیستم‌های پیچیده‌ای را که هیچ دستگاه ریاضی بدون ابهامی برای آنها وجود ندارد، بازتولید می‌کنند. مدل های شبیه سازی.

مدل سازی اطلاعات کامپیوتری برای توصیف و تحلیل فرآیندهای ماهیت های مختلف استفاده می شود. علوم فیزیکی بیشترین تجربه را در این زمینه دارند (نگاه کنید به « مدل سازی سیستم ها و فرآیندهای فیزیکی). مدل سازی کامپیوتری به حل مشکلات مهم محیطی کمک می کند (نگاه کنید به " مدل سازی سیستم ها و فرآیندهای اکولوژیکی). مدل سازی اطلاعات نقش مهمی در اقتصاد و مدیریت دارد. مهمترین وظایف در این زمینه مشکلات برنامه ریزی است (نگاه کنید به " مدلسازی فرآیندهای برنامه ریزی بهینه). دانشمندان با استفاده از مدل سازی کامپیوتری در تلاشند تا حتی چنین مشکل جهانی مانند سرنوشت تمدن بشری را حل کنند (نگاه کنید به " مدل سازی فرآیندهای جهانی).

1. مدل های گرافیکی

تنوع مدل های گرافیکی بسیار زیاد است. بیایید به برخی از آنها نگاه کنیم.

وسیله ای بصری برای نمایش ترکیب و ساختار سیستم ها (نگاه کنید به " سیستم شناسی") نمودار هستند.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم. در توصیف شفاهی برخی از مناطق آمده است: «ولسوالی ما از پنج روستا تشکیل شده است: ددکینو، بابکینو، رپکینو، کوشکینو و میشکینو. بزرگراه ها بین: ددکینو و بابکینو، ددکینو و کوشکینو، بابکینو و میشکینو، بابکینو و کوشکینو، کوشکینو و رپکینو کشیده شده اند. با چنین توصیفی تصور این منطقه بسیار دشوار است. درک همین اطلاعات با کمک یک نمودار بسیار ساده تر است (شکل را ببینید). این نقشه منطقه نیست. جهت های اصلی در اینجا حفظ نمی شود و مقیاس حفظ نمی شود. این نمودار تنها واقعیت وجود پنج روستا و ارتباط جاده ای بین آنها را نشان می دهد. چنین نموداری که ترکیب عنصری سیستم و ساختار اتصالات را نشان می دهد، تماس گرفت شمردن.

اجزای نمودار هستند قله هاو دنده. در شکل، رئوس به صورت دایره نشان داده شده است - این است عناصر سیستم، و لبه ها با خطوط به تصویر کشیده می شوند - این است ارتباطات(ارتباط) بین عناصر. با نگاهی به این نمودار، به راحتی می توان ساختار سیستم جاده ای را در یک منطقه مشخص درک کرد.

نمودار ساخته شده به عنوان مثال به این سوال پاسخ می دهد: برای رسیدن از رپکینو به میشکینو از کدام روستاها باید عبور کنید؟ می توان دید که دو مسیر ممکن وجود دارد: 1) R K B M و) R K D B M. آیا می توانیم از این نتیجه بگیریم که مسیر 1 کوتاه تر از مسیر دوم است؟ نه نمی توانی. این نمودار دارای ویژگی های کمی نیست. این نقشه ای نیست که در آن مقیاس رعایت شده باشد و بتوان فاصله را اندازه گیری کرد.

نمودار نشان داده شده در شکل زیر حاوی ویژگی های کمی است. اعداد نزدیک به لبه ها طول جاده ها را بر حسب کیلومتر نشان می دهد. این یک مثال است نمودار وزنی. یک نمودار وزنی ممکن است حاوی ویژگی های کمینه تنها اتصالات، بلکه قله ها نیز وجود دارد. به عنوان مثال، رئوس ممکن است نشان دهنده جمعیت هر روستا باشد. با توجه به داده های نمودار وزنی، مشخص می شود که مسیر اول طولانی تر از مسیر دوم است.

به چنین نمودارهایی نیز گفته می شود شبکه. شبکه مشخص می شود امکان بسیاری از مسیرهای حرکتی مختلف در امتداد لبه ها بین چند جفت رئوس. شبکه ها نیز با وجود مسیرهای بسته مشخص می شوند که به آنها گفته می شود چرخه ها. در این مورد یک چرخه وجود دارد: K D B K.

در نمودارهای مورد بحث، هر لبه نشان دهنده وجود یک اتصال جاده بین دو نقطه است. اما اتصال جاده در هر دو جهت به طور مساوی عمل می کند: اگر می توانید در امتداد جاده از B به M رانندگی کنید، می توانید در امتداد آن از M به B نیز رانندگی کنید (فرض می کنیم ترافیک دو طرفه وجود دارد). چنین نمودارهایی هستند بی جهت، و اتصالات آنها نامیده می شود متقارن.

یک مثال کیفی متفاوت از یک نمودار در شکل زیر نشان داده شده است.

نمودار سازگاری گروه خونی

این مثال مربوط به پزشکی است. مشخص است که افراد مختلف دارای گروه های خونی متفاوتی هستند. چهار گروه خونی وجود دارد. معلوم می شود که وقتی خون از فردی به فرد دیگر تزریق می شود، همه گروه ها با هم سازگار نیستند. نمودار گزینه های احتمالی انتقال خون را نشان می دهد. گروه های خونی رئوس نمودار با اعداد مربوطه هستند و فلش ها امکان انتقال یک گروه خونی به فردی با گروه خونی متفاوت را نشان می دهد. به عنوان مثال، از این نمودار مشخص است که خون گروه I را می توان به هر فردی تزریق کرد و فردی با گروه خونی I فقط خون گروه خود را می پذیرد. همچنین می توان مشاهده کرد که فردی با گروه خونی IV را می توان با هر خونی تزریق کرد، اما خون خود را فقط می توان به همان گروه تزریق کرد.

اتصالات بین رئوس یک نمودار معین نامتقارنو بنابراین به صورت خطوط جهت دار با فلش نشان داده می شوند. معمولاً به چنین خطوطی گفته می شود قوس ها(بر خلاف لبه های نمودارهای بدون جهت). نموداری با چنین ویژگی هایی نامیده می شود جهت دار. خطی که از همان راس خارج شده و وارد آن می شود نامیده می شود حلقه. در این مثال چهار حلقه وجود دارد.

درک مزایای به تصویر کشیدن یک مدل از سیستم انتقال خون به عنوان یک نمودار در مقایسه با توصیف همان قوانین به صورت شفاهی دشوار نیست. درک و به خاطر سپردن نمودار آسان است.

درخت - نمودار ساختار سلسله مراتبی

نوع بسیار رایج سیستم ها، سیستم هایی با ساختار سلسله مراتبی هستند. ساختار سلسله مراتبی به طور طبیعی زمانی به وجود می آید که اشیا یا برخی از ویژگی های آنها در یک رابطه تبعی (تودرتو، وراثت) باشند. به عنوان یک قاعده، سیستم های مدیریت اداری دارای یک ساختار سلسله مراتبی هستند که بین عناصر آن روابط تبعی برقرار می شود. به عنوان مثال: مدیر کارخانه - مدیران مغازه - مدیران بخش - سرکارگرها - کارگران. سیستم ها همچنین دارای ساختار سلسله مراتبی هستند که بین عناصر آن روابطی از ورود یکی به دیگری وجود دارد.

گراف ساختار سلسله مراتبی نامیده می شود درخت. ویژگی اصلی یک درخت این است که بین هر دو رأس آن فقط یک مسیر وجود دارد. درختان دارای چرخه یا حلقه نیستند.

به نمودار منعکس کننده ساختار اداری سلسله مراتبی ایالت ما نگاه کنید: فدراسیون روسیه به هفت منطقه اداری تقسیم شده است. نواحی به مناطق (منطقه ها و جمهوری های ملی) تقسیم می شوند که شامل شهرها و سایر سکونتگاه ها می شود. چنین نموداری نامیده می شود درخت.

درخت ساختار اداری فدراسیون روسیه

یک درخت دارای یک راس اصلی است که به آن می گویند ریشه درخت. این قله در بالا به تصویر کشیده شده است. آنها از او می آیند شاخه هادرخت سطوح درختان از ریشه شروع به شمارش می کنند. رئوس متصل مستقیم به ریشه اولین سطح را تشکیل می دهند. از آنها اتصالاتی به رئوس سطح دوم و غیره وجود دارد. هر رأس درخت (به جز ریشه) یک راس دارد اصلیراس در سطح قبلی است و می تواند تعداد زیادی داشته باشد تولید شده استرئوس در سطح بعدی این اصل اتصال نامیده می شود یک به بسیاری" رئوس هایی که فرزند ندارند نامیده می شوند برگها(در نمودار ما این رئوس نشان دهنده شهرها هستند).

مدلسازی گرافیکی نتایج تحقیقات علمی

هدف کلی گرافیک علمی را می توان به صورت زیر فرمول بندی کرد: «مرئی کردن» نامرئی و انتزاعی. کلمه آخر در علامت نقل قول قرار می گیرد، زیرا این "ظاهر" اغلب بسیار مشروط است. آیا می توان توزیع دما را در داخل یک جسم غیریکنواخت گرم شده با شکل پیچیده بدون وارد کردن صدها ریزحسگر به آن مشاهده کرد، یعنی اساساً آن را از بین برد؟ - بله، در صورت وجود یک مدل ریاضی مناسب و آنچه بسیار مهم است، توافق بر سر درک قراردادهای خاص در ترسیم ممکن است. آیا می توان توزیع سنگ های فلزی را در زیر زمین بدون حفاری مشاهده کرد؟ ساختار سطح یک سیاره بیگانه بر اساس نتایج رادار؟ پاسخ به این سوالات و بسیاری سوالات دیگر، بله، با کمک گرافیک کامپیوتری و پردازش ریاضی قبل از آن امکان پذیر است.

علاوه بر این، می توان چیزی را «دید» که، به طور دقیق، به طور کلی با کلمه «دیدن» مطابقت ندارد. بنابراین، علمی که در تقاطع شیمی و فیزیک پدیدار شد - شیمی کوانتومی - به ما این فرصت را می دهد که ساختار یک مولکول را "دیدن" کنیم. این تصاویر اوج انتزاع و سیستمی از قراردادها هستند، زیرا در دنیای اتمی مفاهیم معمول ما از ذرات (هسته، الکترون، و غیره) اساساً قابل اجرا نیستند. با این حال، یک "تصویر" رنگارنگ از یک مولکول بر روی صفحه کامپیوتر، برای کسانی که میزان کامل قراردادهای آن را درک می کنند، مزایای بیشتری نسبت به هزاران عددی که نتایج محاسبات هستند به ارمغان می آورد.

ایزوله ها

یک تکنیک استاندارد برای پردازش نتایج یک آزمایش محاسباتی، ساخت خطوط (سطوح) نامیده می شود ایزوله ها(هم سطح)، که در طول آن برخی از تابع ها مقدار ثابتی دارند. این یک تکنیک بسیار متداول برای تجسم ویژگی های برخی میدان های اسکالر در تقریب یک محیط پیوسته است: ایزوترم ها - خطوط با دمای مساوی، ایزوبارها - خطوط با فشار برابر، خطوط ایزوله تابع جریان یک مایع یا گاز، که در امتداد آنها یکی به راحتی می توانید جریان آنها، ایزوله های تعداد جمعیت های اکولوژیکی روی زمین، ایزوله ها غلظت ناخالصی های مضر در محیط و غیره را تصور کنید.

خطوط فعلی

شکل ایزوله های تابع جریان سیال ناهموار گرم شده در یک ناحیه جریان مستطیلی را نشان می دهد. از این تصویر می توان به وضوح جهت جریان و شدت آنها را قضاوت کرد.

رنگ های شرطی، کنتراست شرطی

یکی دیگر از تکنیک های جالب گرافیک علمی مدرن رنگ آمیزی شرطی است. کاربرد وسیعی در طیف گسترده ای از کاربردهای علمی پیدا می کند و مجموعه ای از تکنیک ها برای راحت ترین تجسم نتایج مدل سازی کامپیوتری است.

در مطالعات مختلف در زمینه های دما، مشکل نمایش بصری نتایج، به عنوان مثال، دما در نقشه های هواشناسی مطرح می شود. برای این کار می توانید ایزوترم ها را در پس زمینه نقشه منطقه ترسیم کنید. اما با توجه به اینکه اکثر مردم قرمز را به عنوان "گرم" و آبی را "سرد" می دانند، می توانید به وضوح بیشتری دست پیدا کنید. انتقال در طول طیف از قرمز به آبی مقادیر متوسط ​​دمایی را منعکس می کند.

همین کار را می توان در هنگام نشان دادن میدان دما هم روی سطح یک قطعه پردازش شده در ماشین و هم در سطح یک سیاره دور انجام داد.

هنگام مدل‌سازی مولکول‌های آلی پیچیده، یک کامپیوتر می‌تواند نتایجی را به شکل یک تصویر چند رنگ تولید کند که در آن اتم‌های هیدروژن در یک رنگ، کربن در رنگ دیگر و غیره، و اتم با یک توپ (دایره) نشان داده می‌شود چگالی رنگ مطابق با چگالی توزیع الکترون تغییر می کند. هنگام جستجوی مواد معدنی با استفاده از عکس‌برداری هوایی از هواپیما یا ماهواره‌های فضایی، رایانه‌ها تصاویر رنگی مشروط از توزیع چگالی در زیر سطح زمین می‌سازند.

تصاویر در رنگ های شرطی و کنتراست یک تکنیک قدرتمند در گرافیک علمی هستند. این به فرد اجازه می دهد تا ساختار اشیاء مسطح، بلکه سه بعدی (سه بعدی) را نیز درک کند و یکی از روش های قابل توجه شناخت را در اختیار محقق قرار می دهد.

مطالعه مدل سازی اطلاعات گرافیکی را نباید با مطالعه فناوری های پردازش اطلاعات گرافیکی اشتباه گرفت. وقتی دانش‌آموزان شروع به مطالعه مدل‌سازی می‌کنند، معمولاً از قبل با فناوری‌های اساسی گرافیک رایانه‌ای آشنا هستند: آنها می‌دانند چگونه از ویرایشگرهای گرافیکی ساده استفاده کنند، آنها می‌دانند چگونه نمودارها را در یک پردازنده صفحه گسترده یا برنامه‌های مناسب دیگر بسازند.

ساخت مدل های گرافیکی ساده در قالب نمودارها و ساختارهای سلسله مراتبی از قبل در دوره علوم کامپیوتر پایه به عنوان بخشی از مطالعه مبحث "رسمی سازی و مدل سازی" مناسب است. ساخت شجره نامه، سیستم مدیریت مدرسه سلسله مراتبی و غیره. یک فعالیت نسبتا ساده است که برای اکثر دانش آموزان قابل دسترسی است. در این صورت مناسب است از قابلیت های تصویری سیستم های گرافیک کامپیوتری استفاده شود.

در مورد پیاده‌سازی مستقل مدل‌های گرافیک علمی از طریق برنامه‌نویسی، این ماده با دشواری فزاینده‌ای است که توسعه عملی آن در یک دوره تخصصی علوم کامپیوتر یا به عنوان بخشی از یک دوره انتخابی با هدف مطالعه عمیق مدل‌سازی فیزیکی و غیره مناسب است. فرآیندها

2. شبیه سازی مدل

مدل شبیه سازی رفتار یک سیستم پیچیده از عناصر متقابل را بازتولید می کند. مدل سازی شبیه سازی با وجود شرایط زیر (همه یا برخی از آنها به طور همزمان) مشخص می شود:

· هدف مدل سازی یک سیستم پیچیده ناهمگن است.

· سیستم شبیه سازی شده حاوی عوامل رفتار تصادفی است.

به دست آوردن شرحی از فرآیندی که در طول زمان در حال توسعه است، نیاز است.

· اساساً به دست آوردن نتایج شبیه سازی بدون استفاده از رایانه غیرممکن است.

وضعیت هر عنصر از سیستم شبیه سازی شده توسط مجموعه ای از پارامترها که در حافظه کامپیوتر به شکل جداول ذخیره می شوند، توصیف می شود. تعاملات عناصر سیستم به صورت الگوریتمی شرح داده شده است. مدل سازی در حالت گام به گام انجام می شود. در هر مرحله مدل سازی، مقادیر پارامترهای سیستم تغییر می کند. برنامه ای که مدل شبیه سازی را پیاده سازی می کند، تغییرات در وضعیت سیستم را منعکس می کند و مقادیر پارامترهای مورد نیاز آن را در قالب جداول بر اساس مراحل زمانی یا توالی رویدادهای رخ داده در سیستم تولید می کند. برای تجسم نتایج مدل‌سازی، اغلب از نمایش گرافیکی استفاده می‌شود. متحرک

مدلسازی قطعی

یک مدل شبیه سازی مبتنی بر تقلید از یک فرآیند واقعی (تقلید) است. به عنوان مثال، هنگام مدل‌سازی تغییر (دینامیک) در تعداد میکروارگانیسم‌ها در یک کلنی، می‌توانید بسیاری از اشیاء فردی را در نظر بگیرید و سرنوشت هر یک از آنها را زیر نظر بگیرید و شرایط خاصی را برای بقا و تولید مثل آن تعیین کنید.
و غیره. این شرایط معمولاً به صورت شفاهی مشخص می شوند. به عنوان مثال: پس از مدت معینی، میکروارگانیسم به دو قسمت تقسیم می شود و پس از مدت زمانی دیگر (طولانی تر) می میرد. تحقق شرایط توصیف شده به صورت الگوریتمی در مدل پیاده سازی شده است.

مثال دیگر: مدل سازی حرکت مولکول ها در یک گاز، زمانی که هر مولکول به صورت یک توپ با جهت و سرعت حرکت معین نمایش داده می شود. برهمکنش دو مولکول یا یک مولکول با دیواره یک ظرف طبق قوانین برخورد کاملاً الاستیک اتفاق می‌افتد و به راحتی به صورت الگوریتمی توصیف می‌شود. ویژگی های انتگرال (عمومی، میانگین) سیستم در سطح پردازش آماری نتایج مدل سازی به دست می آید.

چنین آزمایش کامپیوتری در واقع ادعا می کند که یک آزمایش در مقیاس کامل را بازتولید می کند. در پاسخ به این سوال: "چرا باید این کار را انجام دهید؟" می‌توانیم پاسخ زیر را بدهیم: شبیه‌سازی به ما این امکان را می‌دهد که پیامدهای فرضیه‌های نهفته در ایده‌های مربوط به رویدادهای خرد (یعنی در سطح عناصر سیستم) را «در شکل خالص آن» جدا کنیم، و آنها را از تأثیر اجتناب‌ناپذیر عوامل دیگر رها کنیم. آزمایش در مقیاس کامل، که ممکن است ما حتی در مورد آن مشکوک ندانیم. اگر چنین مدل‌سازی شامل عناصری از توصیف ریاضی فرآیندها در سطح خرد نیز باشد، و اگر محقق وظیفه یافتن استراتژی برای تنظیم نتایج را تعیین نکند (به عنوان مثال، کنترل اندازه یک کلنی از میکروارگانیسم‌ها)، آنگاه تفاوت بین یک مدل شبیه سازی و یک مدل ریاضی (توصیفی) کاملاً مشروط است.

نمونه های فوق از مدل های شبیه سازی (تکامل یک کلونی از میکروارگانیسم ها، حرکت مولکول ها در یک گاز) منجر به قطعیشرح سیستم ها . آنها فاقد عناصر احتمال و تصادفی بودن رویدادها در سیستم های شبیه سازی شده هستند. بیایید نمونه ای از مدل سازی سیستمی را در نظر بگیریم که این ویژگی ها را دارد.

مدل های فرآیندهای تصادفی

چه کسی در صف ایستاده و بی‌صبرانه به این فکر نکرده است که آیا می‌تواند در مدت زمانی که در اختیار دارد خرید کند (یا کرایه بپردازد، چرخ و فلک سوار شود و غیره)؟ یا در تلاش برای تماس با خط کمک و مواجه شدن با بوق های کوتاه چندین بار، عصبی می شوید و ارزیابی می کنید که آیا می توانم از آن عبور کنم یا خیر؟ از چنین مسائل "ساده"، شاخه جدیدی از ریاضیات در آغاز قرن بیستم متولد شد - تئوری صف، با استفاده از دستگاه تئوری احتمال و آمار ریاضی، معادلات دیفرانسیل و روش های عددی. متعاقباً مشخص شد که این نظریه در اقتصاد، امور نظامی، سازمان تولید، زیست‌شناسی و بوم‌شناسی و غیره تأثیرات متعددی دارد.

شبیه سازی کامپیوتری برای حل مسائل صف، پیاده سازی شده در فرم روش آزمون آماری(روش مونت کارلو) نقش مهمی دارد. قابلیت‌های روش‌های تحلیلی برای حل مسائل صف‌بندی واقعی بسیار محدود است، در حالی که روش آزمون آماری جهانی و نسبتاً ساده است.

بیایید ساده ترین مشکل این کلاس را در نظر بگیریم. یک فروشگاه با یک فروشنده وجود دارد که مشتریان به صورت تصادفی وارد آن می شوند. اگر فروشنده آزاد باشد، بلافاصله شروع به خدمات رسانی به خریدار می کند، اگر چندین خریدار همزمان وارد شوند، صف تشکیل می شود. بسیاری از موقعیت های مشابه دیگر وجود دارد:

منطقه تعمیر در ناوگان وسایل نقلیه موتوری و اتوبوس هایی که به دلیل خرابی خط را ترک کرده اند.

· اورژانس و بیمارانی که به دلیل آسیب دیدگی برای قرار ملاقات آمده اند (یعنی بدون سیستم قرار ملاقات).

· یک مرکز تلفن با یک ورودی (یا یک اپراتور تلفن) و مشترکینی که وقتی ورودی شلوغ است در صف قرار می گیرند (چنین سیستمی گاهی اوقات تمرین می شود).

سرور شبکه محلی و رایانه های شخصی در محل کار، که پیامی را به سروری ارسال می کنند که قادر به دریافت و پردازش بیش از یک پیام در یک زمان نیست.

روند مراجعه مشتریان به فروشگاه یک فرآیند تصادفی است. فواصل زمانی بین ورود هر جفت خریدار متوالی، رویدادهای تصادفی مستقلی هستند که طبق برخی از قوانین توزیع شده‌اند، که تنها از طریق مشاهدات متعدد می‌توان آن را ایجاد کرد (یا نسخه‌ای قابل قبول از آن برای مدل‌سازی گرفته می‌شود). دومین فرآیند تصادفی در این مشکل که به هیچ وجه با اولی ارتباط ندارد، مدت زمان ارائه خدمات برای هر مشتری است.

هدف از مدلسازی این نوع سیستمها، به دست آوردن پاسخ تعدادی از سؤالات است. یک سوال نسبتا ساده: با توجه به قوانین توزیع متغیرهای تصادفی بالا، میانگین زمانی که باید در صف منتظر بمانید چقدر است؟ یک سوال دشوارتر: توزیع زمان انتظار برای سرویس در صف چگونه است؟ یک سوال به همان اندازه دشوار: در چه نسبتی از پارامترهای توزیع ورودی، بحرانی رخ می دهد که در آن نوبت خریدار تازه وارد هرگز نخواهد رسید؟ وقتی به این کار نسبتا ساده فکر می کنید، سوالات احتمالی چند برابر می شوند.

روش مدل سازی به صورت کلی به این صورت است. فرمول های ریاضی مورد استفاده قوانین توزیع متغیرهای تصادفی اولیه هستند. ثابت های عددی استفاده شده، پارامترهای تجربی موجود در این فرمول ها هستند. هیچ معادله ای حل نشده است که در مطالعه تحلیلی این مسئله مورد استفاده قرار گیرد. در عوض، یک صف شبیه‌سازی می‌شود که با استفاده از برنامه‌های رایانه‌ای که اعداد تصادفی را با قوانین توزیع داده‌شده تولید می‌کنند، پخش می‌شود. سپس پردازش آماری مجموعه مقادیر بدست آمده از مقادیر تعیین شده توسط اهداف مدل سازی داده شده انجام می شود. به عنوان مثال، تعداد بهینه فروشنده برای دوره های مختلف فعالیت فروشگاه پیدا می شود که عدم وجود صف را تضمین می کند. دستگاه ریاضی مورد استفاده در اینجا نامیده می شود روش های آمار ریاضی.

مقاله «مدل‌سازی سیستم‌ها و فرآیندهای بوم‌شناختی» 2 نمونه دیگری از مدل‌سازی شبیه‌سازی را شرح می‌دهد: یکی از بسیاری از مدل‌های سیستم «شکارچی-شکار». افراد گونه هایی که در روابط مشخص شده قرار دارند، طبق قوانین خاصی که حاوی عناصر شانس هستند، حرکت می کنند، شکارچیان قربانیان را می خورند، هر دو تولید مثل می کنند و غیره. چنین مدلی حاوی هیچ فرمول ریاضی نیست، اما نیاز به پردازش آماری نتایج دارد.

نمونه ای از الگوریتم مدل شبیه سازی قطعی

بیایید یک مدل شبیه سازی از تکامل جمعیتی از موجودات زنده، معروف به "زندگی" را در نظر بگیریم، که به راحتی در هر زبان برنامه نویسی پیاده سازی می شود.

برای ساختن الگوریتم بازی، میدان مربعی را در نظر بگیرید n+ 1 ستون و ردیف با شماره گذاری منظم از 0 تا n. برای راحتی، ما ستون ها و ردیف های مرزی را به عنوان "منطقه مرده" تعریف می کنیم؛ آنها فقط نقش کمکی دارند.

برای هر سلول داخلی میدان با مختصات ( من, j) می توانید 8 همسایه تعریف کنید. اگر سلول "زنده" است، آن را رنگ می کنیم، اگر سلول "مرده" است، آن را رنگ می کنیم خالی.

بیایید قوانین بازی را تعیین کنیم. اگر سلول ( من, j) "زنده" است و توسط بیش از سه سلول "زنده" احاطه شده است، می میرد (در اثر افزایش جمعیت). یک سلول "زنده" نیز اگر کمتر از دو سلول "زنده" در محیط آن وجود داشته باشد (از تنهایی) می میرد. یک سلول "مرده" در صورتی زنده می شود که سه سلول "زنده" در اطراف آن ظاهر شود.

برای راحتی کار، یک آرایه دو بعدی را معرفی می کنیم آ، که اگر سلول مربوطه خالی باشد، عناصر آن مقدار 0 و اگر سلول "زنده" باشد، 1 را می گیرند. سپس الگوریتم تعیین وضعیت یک سلول با مختصات ( من, j) را می توان به صورت زیر تعریف کرد:

S:= A + A +

A + A

A+A+

A + A;

اگر (A = 1) و((S > 3) یا

(S<)) سپس B := 0;

اگر (A = 0) و(S=3)

سپس B := 1;

در اینجا یک آرایه است بمختصات میدان را در مرحله بعد تعیین می کند. برای تمام سلول های داخلی از من= 1 به n- 1 و j= 1 به n- 1 مورد بالا درست است. توجه داشته باشید که نسل های بعدی به طور مشابه تعریف می شوند، فقط باید روش تخصیص مجدد را انجام دهید:

برای I: = 1 به N - 1 انجام دادن

برای J: = 1 به N - 1 انجام دادن

A:= B;

راحت تر است که وضعیت میدان را بر روی صفحه نمایش نه به صورت ماتریس، بلکه به صورت گرافیکی نشان دهید.

تنها چیزی که باقی می ماند تعیین روش برای تنظیم تنظیمات اولیه زمین بازی است. هنگام تعیین تصادفی وضعیت اولیه سلول ها، یک الگوریتم مناسب است

برای I: = 1 بهک انجام دادن

شروع K1:= تصادفی(N - 1);

K2:= تصادفی(N - 1) + 1;

برای کاربر جالب تر است که تنظیمات اولیه را خودش تنظیم کند که پیاده سازی آن آسان است. در نتیجه آزمایش‌ها با این مدل، می‌توان به عنوان مثال، سکونت‌گاه‌های پایدار موجودات زنده را یافت که هرگز نمی‌میرند، بدون تغییر باقی می‌مانند یا پیکربندی خود را در یک دوره معین تغییر می‌دهند. استقرار "متقاطع" کاملاً ناپایدار (در نسل دوم از بین می رود).

در یک دوره علوم کامپیوتر پایه، دانش آموزان می توانند مدل شبیه سازی "زندگی" را به عنوان بخشی از بخش "مقدمه ای بر برنامه نویسی" پیاده سازی کنند. تسلط کامل تری بر مدل سازی شبیه سازی می تواند در دبیرستان در یک دوره تخصصی یا انتخابی در علوم کامپیوتر رخ دهد. این گزینه در زیر مورد بحث قرار خواهد گرفت.

شروع مطالعه یک سخنرانی در مورد مدل سازی شبیه سازی فرآیندهای تصادفی است. در مدارس روسیه مفاهیم تئوری احتمالات و آمار ریاضی به تازگی وارد دروس ریاضی شده اند و معلم باید آماده مقدمه ای با این مطالب باشد که برای شکل گیری جهان بینی و فرهنگ ریاضی ضروری است. ما تأکید می کنیم که ما در مورد یک مقدمه ابتدایی برای دامنه مفاهیم مورد بحث صحبت می کنیم. این را می توان در 1-2 ساعت انجام داد.

سپس در مورد مسائل فنی مربوط به تولید کامپیوتری از دنباله های اعداد تصادفی با قانون توزیع معین بحث می کنیم. در این مورد، می توان به این واقعیت تکیه کرد که هر زبان برنامه نویسی جهانی دارای یک حسگر از اعداد تصادفی است که به طور یکنواخت در بازه 0 تا 1 توزیع شده است. در این مرحله، پرداختن به مسئله پیچیده اصول اجرای آن مناسب نیست. بر اساس سنسورهای اعداد تصادفی موجود، نحوه ترتیب دادن را نشان می‌دهیم

الف) مولد اعداد تصادفی توزیع شده یکنواخت در هر بازه [ آ, ب];

ب) یک مولد اعداد تصادفی تحت تقریباً هر قانون توزیع (به عنوان مثال، با استفاده از روش "انتخاب-رد" به طور واضح روشن).

توصیه می‌شود مشکل صف‌بندی را که در بالا توضیح داده شد، با بحث در مورد تاریخچه حل مشکلات صف (مشکل ارلنگ در مورد درخواست‌های خدمات در یک مرکز تلفن) شروع کنید. به دنبال آن ساده‌ترین مشکل در نظر گرفته می‌شود که می‌توان با استفاده از مثال تشکیل و سرویس‌دهی صف در یک فروشگاه با یک فروشنده فرمول‌بندی کرد. توجه داشته باشید که در مرحله اول مدل سازی، توزیع متغیرهای تصادفی در ورودی را می توان به یک اندازه محتمل فرض کرد، که اگرچه واقعی نیست، اما تعدادی از مشکلات را برطرف می کند (برای تولید اعداد تصادفی، می توانید به سادگی از حسگر تعبیه شده در داخل استفاده کنید. زبان برنامه نویسی).

ما توجه دانش‌آموزان را به این موضوع جلب می‌کنیم که هنگام مدل‌سازی سیستم‌هایی از این نوع، ابتدا چه سؤالاتی مطرح می‌شود. اول، محاسبه مقادیر میانگین (انتظارات ریاضی) برخی از متغیرهای تصادفی است. به عنوان مثال، میانگین زمانی که باید در صف باجه منتظر بمانید چقدر است؟ یا: میانگین زمان صرف شده توسط فروشنده در انتظار خریدار را بیابید.

وظیفه معلم، به ویژه، این است که توضیح دهد که معنی نمونه خود متغیرهای تصادفی هستند. در نمونه دیگری با همان اندازه آنها مقادیر متفاوتی خواهند داشت (با اندازه های نمونه بزرگ - نه خیلی متفاوت از یکدیگر). گزینه‌های بیشتری نیز امکان‌پذیر است: در یک مخاطب آماده‌تر، می‌توانید روشی برای تخمین فواصل اطمینان نشان دهید که در آن انتظارات ریاضی متغیرهای تصادفی مربوطه در احتمالات اطمینان داده شده قرار می‌گیرند (با استفاده از روش‌های شناخته شده از آمار ریاضی بدون تلاش برای توجیه آنها). برای یک مخاطب کمتر آماده، می‌توانیم خود را به یک بیانیه کاملاً تجربی محدود کنیم: اگر در چندین نمونه با اندازه مساوی مقادیر میانگین در یک رقم اعشار مشخص منطبق شوند، این علامت به احتمال زیاد درست است. اگر شبیه سازی نتواند به دقت مطلوب دست یابد، حجم نمونه باید افزایش یابد.

برای مخاطبانی که حتی از نظر ریاضی آماده‌تر هستند، می‌توان این سوال را مطرح کرد: با توجه به توزیع‌های داده شده متغیرهای تصادفی که پارامترهای ورودی آن هستند، توزیع متغیرهای تصادفی که نتایج مدل‌سازی آماری هستند، چگونه است؟ از آنجایی که ارائه نظریه ریاضی مربوطه در این مورد غیرممکن است، ما باید خود را به تکنیک های تجربی محدود کنیم: ساختن هیستوگرام توزیع های نهایی و مقایسه آنها با چندین تابع توزیع معمولی.

پس از تسلط بر مهارت‌های اولیه این مدل‌سازی، به مدل واقعی‌تر می‌رویم، که در آن جریان‌های ورودی رویدادهای تصادفی، به عنوان مثال، طبق پواسون توزیع می‌شوند. این امر مستلزم آن است که دانش‌آموزان علاوه بر این بر روش تولید دنباله‌های اعداد تصادفی با قانون توزیع مشخص تسلط داشته باشند.

در مسئله در نظر گرفته شده، مانند هر مشکل پیچیده‌تر در مورد صف‌ها، زمانی که صف بدون محدودیت با زمان رشد می‌کند، ممکن است یک وضعیت بحرانی ایجاد شود. مدلسازی رویکرد به یک موقعیت بحرانی با افزایش یکی از پارامترها یک کار تحقیقاتی جالب برای آماده ترین دانش آموزان است.

با استفاده از مسئله صف به عنوان مثال، چندین مفهوم و مهارت جدید به طور همزمان تمرین می شوند:

· مفاهیم فرآیندهای تصادفی.

· مفاهیم و مهارت های ساده مدل سازی شبیه سازی.

· ساخت مدل های شبیه سازی بهینه سازی.

· ساخت مدل های چند معیاره (با حل مشکلات در مورد منطقی ترین خدمات مشتری در ترکیب با منافع صاحب فروشگاه).

3. مدل های ریاضی

مدل ریاضی - شرح تقریبی شی مدل سازی که با استفاده از نمادهای ریاضی بیان شده است.

چندین قرن پیش مدل های ریاضی همراه با ریاضیات ظاهر شدند. ظهور رایانه‌ها انگیزه زیادی برای توسعه مدل‌سازی ریاضی ایجاد کرد. استفاده از رایانه امکان تجزیه و تحلیل و به کارگیری بسیاری از مدل های ریاضی را که قبلاً قابل تحقیق تحلیلی نبودند را در عمل ممکن ساخته است. مدل ریاضی پیاده سازی شده توسط کامپیوترتماس گرفت مدل ریاضی کامپیوتری، آ انجام محاسبات هدفمند با استفاده از یک مدل کامپیوتریتماس گرفت آزمایش محاسباتی.

مراحل مدلسازی ریاضی کامپیوتری در شکل نشان داده شده است. مرحله اول- تعیین اهداف مدلسازی. این اهداف می توانند متفاوت باشند:

1) یک مدل برای درک چگونگی ساختار یک شی خاص، ساختار آن، ویژگی های اساسی آن، قوانین توسعه و تعامل با دنیای خارج (درک) مورد نیاز است.

2) یک مدل برای یادگیری نحوه مدیریت یک شی (یا فرآیند) و تعیین بهترین روش های مدیریت برای اهداف و معیارهای معین (مدیریت) مورد نیاز است.

3) مدل مورد نیاز است تا پیامدهای مستقیم و غیرمستقیم اجرای روش ها و اشکال تأثیرگذاری داده شده بر شی (پیش بینی) را پیش بینی کند.

بیایید با مثال توضیح دهیم. بگذارید موضوع مطالعه برهمکنش یک جریان مایع یا گاز با جسمی باشد که مانعی برای این جریان است. تجربه نشان می دهد که نیروی مقاومت در برابر جریان در قسمتی از بدن با افزایش سرعت جریان افزایش می یابد، اما در سرعت های به اندازه کافی بالا این نیرو به طور ناگهانی کاهش می یابد تا با افزایش بیشتر سرعت دوباره افزایش یابد. چه چیزی باعث کاهش نیروی مقاومت شد؟ مدل‌سازی ریاضی به ما امکان می‌دهد پاسخ روشنی به دست آوریم: در لحظه کاهش ناگهانی مقاومت، گردابه‌های تشکیل‌شده در جریان مایع یا گاز در پشت بدنه جریان‌دار شروع به جدا شدن از آن می‌کنند و توسط جریان منتقل می‌شوند.

نمونه ای از یک منطقه کاملاً متفاوت: جمعیت دو گونه از افراد که به طور مسالمت آمیز با تعداد ثابتی همزیستی داشتند و یک منبع غذایی مشترک داشتند، "ناگهان" شروع به تغییر شدید تعداد خود می کنند. و در اینجا مدلسازی ریاضی اجازه می دهد (با درجه خاصی از قابلیت اطمینان) علت را ایجاد کند (یا حداقل یک فرضیه خاص را رد کند).

توسعه مفهومی برای مدیریت یک شی یکی دیگر از اهداف ممکن مدل سازی است. کدام حالت پرواز هواپیما را باید انتخاب کنم تا مطمئن شوم که پرواز امن و از نظر اقتصادی سودآورتر است؟ چگونه صدها نوع کار در ساخت یک تاسیسات بزرگ را برنامه ریزی کنیم تا در کمترین زمان ممکن به اتمام برسد؟ بسیاری از چنین مشکلاتی به طور سیستماتیک در برابر اقتصاددانان، طراحان و دانشمندان مطرح می شوند.

در نهایت، پیش‌بینی پیامدهای تأثیرات معین بر یک شی می‌تواند هم در سیستم‌های فیزیکی ساده یک موضوع نسبتاً ساده باشد و هم در سیستم‌های بیولوژیکی، اقتصادی و اجتماعی بسیار پیچیده - در آستانه امکان‌پذیری. در حالی که پاسخ دادن به سوال در مورد تغییر در نحوه توزیع گرما در یک میله نازک به دلیل تغییر در آلیاژ تشکیل دهنده آن نسبتا آسان است، ردیابی (پیش بینی) پیامدهای محیطی و اقلیمی ساخت یک میله بزرگ به طور غیرقابل مقایسه دشوارتر است. نیروگاه برق آبی یا پیامدهای اجتماعی تغییرات در قوانین مالیاتی. شاید در اینجا نیز روش‌های مدل‌سازی ریاضی کمک قابل توجهی در آینده ارائه دهند.

مرحله دوم: تعیین پارامترهای ورودی و خروجی مدل. تقسیم پارامترهای ورودی با توجه به درجه اهمیت تأثیر تغییرات آنها بر خروجی. این فرآیند رتبه بندی یا جداسازی بر اساس رتبه نامیده می شود (نگاه کنید به . “رسمی سازی و مدل سازی”).

مرحله سوم: ساخت مدل ریاضی. در این مرحله، انتقال از یک فرمول انتزاعی مدل به فرمولی که دارای یک نمایش ریاضی خاص است، وجود دارد. یک مدل ریاضی معادلات، سیستم های معادلات، سیستم های نامساوی، معادلات دیفرانسیل یا سیستم های این گونه معادلات و غیره است.

مرحله چهارم: انتخاب روشی برای مطالعه مدل ریاضی. اغلب در اینجا از روش های عددی استفاده می شود که به خوبی به برنامه نویسی کمک می کند. به عنوان یک قاعده، چندین روش برای حل یک مشکل مناسب هستند که در دقت، ثبات و غیره متفاوت هستند. موفقیت کل فرآیند مدل سازی اغلب به انتخاب صحیح روش بستگی دارد.

مرحله پنجم: توسعه یک الگوریتم، کامپایل و اشکال زدایی یک برنامه کامپیوتری - فرآیندی دشوار برای رسمی کردن. در میان زبان‌های برنامه‌نویسی، بسیاری از متخصصان، FORTRAN را برای مدل‌سازی ریاضی ترجیح می‌دهند: هم به دلیل سنت‌ها و هم به دلیل کارایی بی‌نظیر کامپایلرها (برای کار محاسباتی) و در دسترس بودن کتابخانه‌های عظیم، با دقت اشکال زدایی و بهینه‌سازی شده برنامه‌های استاندارد برای روش‌های ریاضی نوشته شده در آن. . بسته به ماهیت کار و تمایل برنامه نویس، از زبان هایی مانند PASCAL، BASIC، C نیز استفاده می شود.

مرحله ششم: تست برنامه. عملکرد برنامه بر روی یک مسئله آزمایشی با پاسخی که قبلاً شناخته شده است آزمایش می شود. این تازه شروع یک روش آزمایشی است که توصیف آن به صورت رسمی و جامع دشوار است. به طور معمول، آزمایش زمانی به پایان می رسد که کاربر بر اساس ویژگی های حرفه ای خود، برنامه را صحیح بداند.

مرحله هفتم: آزمایش محاسباتی واقعی که طی آن مشخص می شود که آیا مدل با یک شی (فرایند) واقعی مطابقت دارد یا خیر. اگر برخی از ویژگی‌های فرآیند به‌دست‌آمده در رایانه با ویژگی‌های به‌دست‌آمده تجربی با درجه دقت معینی منطبق باشد، مدل به اندازه کافی برای فرآیند واقعی مناسب است. اگر مدل با فرآیند واقعی مطابقت نداشته باشد، به یکی از مراحل قبلی برمی گردیم.

طبقه بندی مدل های ریاضی

طبقه بندی مدل های ریاضی می تواند بر اساس اصول مختلفی باشد. می توانید مدل ها را بر اساس شاخه های علوم (مدل های ریاضی در فیزیک، زیست شناسی، جامعه شناسی و غیره) طبقه بندی کنید. می توان بر اساس دستگاه ریاضی مورد استفاده (مدل های مبتنی بر استفاده از معادلات دیفرانسیل معمولی، معادلات دیفرانسیل جزئی، روش های تصادفی، تبدیل های جبری گسسته و غیره) طبقه بندی کرد. در نهایت، اگر از مسائل کلی مدل‌سازی در علوم مختلف صرف نظر از دستگاه ریاضی استفاده کنیم، طبقه‌بندی زیر طبیعی‌ترین حالت را دارد:

· مدل های توصیفی (توصیفی).

· مدل های بهینه سازی؛

· مدل های چند معیاره.

· مدل های بازی.

بیایید این را با مثال توضیح دهیم.

مدل های توصیفی (توصیفی). برای مثال، مدل‌سازی حرکت دنباله‌داری که به منظومه شمسی حمله کرده است، برای پیش‌بینی مسیر پرواز، فاصله آن از زمین و غیره انجام می‌شود. در این مورد، اهداف مدل سازی ماهیت توصیفی دارند، زیرا هیچ راهی برای تأثیرگذاری بر حرکت دنباله دار یا تغییر چیزی در آن وجود ندارد.

مدل‌های بهینه‌سازی برای توصیف فرآیندهایی که می‌توانند در تلاش برای دستیابی به یک هدف معین تحت تأثیر قرار گیرند، استفاده می‌شوند. در این مورد، مدل شامل یک یا چند پارامتر است که می تواند تحت تأثیر قرار گیرد. به عنوان مثال، هنگام تغییر رژیم حرارتی در انبار غله، می توانید هدف را انتخاب رژیمی تعیین کنید که به حداکثر ایمنی دانه دست یابد، یعنی. بهینه سازی فرآیند ذخیره سازی

مدل های چند معیاره اغلب لازم است یک فرآیند در طول چندین پارامتر به طور همزمان بهینه شود و اهداف می توانند کاملاً متناقض باشند. به عنوان مثال، با دانستن قیمت غذا و نیاز فرد به غذا، باید تغذیه گروه های زیادی از مردم (در اردو، اردوگاه تابستانی کودکان و غیره) از نظر فیزیولوژیکی درست و در عین حال به همان قیمت ارزان سازماندهی شود. ممکن است. واضح است که این اهداف اصلاً منطبق نیستند، یعنی. هنگام مدل‌سازی، معیارهای مختلفی مورد استفاده قرار می‌گیرد که باید بین آنها تعادل جستجو شود.

مدل های بازی می توانند نه تنها به بازی های رایانه ای، بلکه به چیزهای بسیار جدی نیز مربوط باشند. به عنوان مثال، قبل از نبرد، یک فرمانده، اگر اطلاعات ناقصی در مورد ارتش مخالف وجود داشته باشد، باید طرحی را تهیه کند: با در نظر گرفتن واکنش احتمالی دشمن، به چه ترتیب واحدهای خاصی را وارد نبرد کند و غیره. شاخه خاصی از ریاضیات مدرن - نظریه بازی ها - وجود دارد که روش های تصمیم گیری را تحت شرایط اطلاعات ناقص مطالعه می کند.

در دوره علوم کامپیوتر مدرسه، دانش‌آموزان درک اولیه مدل‌سازی ریاضی کامپیوتر را به عنوان بخشی از دوره اولیه دریافت می‌کنند. در دبیرستان، مدل سازی ریاضی را می توان به طور عمیق در یک دوره آموزش عمومی برای کلاس های فیزیک و ریاضی و همچنین به عنوان بخشی از یک درس انتخابی تخصصی مطالعه کرد.

اشکال اصلی آموزش مدلسازی ریاضی کامپیوتری در دبیرستان، سخنرانی، کلاس های آزمایشگاهی و تستی است. به طور معمول، کار ایجاد و آماده سازی برای مطالعه هر مدل جدید 3-4 درس طول می کشد. در حین ارائه مطالب، مسائلی مطرح می شود که در آینده باید توسط دانش آموزان به طور مستقل حل شوند و راه های حل آنها به صورت کلی بیان می شود. سوالاتی فرموله می شود که پاسخ آنها باید هنگام تکمیل وظایف بدست آید. ادبیات اضافی نشان داده شده است که به شما امکان می دهد اطلاعات کمکی را برای تکمیل موفقیت آمیزتر وظایف به دست آورید.

شکل سازماندهی کلاس ها هنگام مطالعه مطالب جدید معمولاً یک سخنرانی است. پس از اتمام بحث مدل بعدی، دانش آموزان اطلاعات نظری لازم و مجموعه ای از وظایف را برای کار بیشتر در اختیار دارند. در آماده سازی برای تکمیل یک کار، دانش آموزان یک روش راه حل مناسب را انتخاب می کنند و برنامه توسعه یافته را با استفاده از راه حل خصوصی شناخته شده آزمایش می کنند. در صورت وجود مشکلات کاملاً محتمل در هنگام انجام وظایف، مشاوره داده می شود و پیشنهاد می شود این بخش ها با جزئیات بیشتر در منابع ادبی مورد مطالعه قرار گیرند.

مناسب ترین قسمت عملی آموزش مدلسازی کامپیوتری روش پروژه است. این وظیفه در قالب یک پروژه آموزشی برای دانش آموز تدوین شده و در چندین درس انجام می شود که شکل اصلی سازمانی آن کار آزمایشگاهی رایانه است. آموزش الگوسازی به روش پروژه آموزشی در سطوح مختلف قابل اجرا می باشد. اولی ارائه مشکل از روند تکمیل پروژه است که توسط معلم هدایت می شود. دوم اجرای طرح توسط دانش آموزان با راهنمایی معلم است. سوم این است که دانش آموزان به طور مستقل یک پروژه تحقیقاتی آموزشی را تکمیل کنند.

نتایج کار باید به صورت عددی و در قالب نمودار و نمودار ارائه شود. در صورت امکان، فرآیند بر روی صفحه نمایش کامپیوتر به صورت پویا ارائه می شود. پس از تکمیل محاسبات و دریافت نتایج، آنها تجزیه و تحلیل می شوند، در مقایسه با حقایق شناخته شده از تئوری، قابلیت اطمینان تأیید می شود و یک تفسیر معنادار انجام می شود که متعاقباً در یک گزارش مکتوب منعکس می شود.

اگر نتایج دانش آموز و معلم را راضی کند، کار تمام شده تلقی می شود و مرحله نهایی آن تهیه گزارش است. این گزارش شامل اطلاعات نظری مختصری در مورد موضوع مورد مطالعه، فرمول ریاضی مسئله، الگوریتم راه حل و توجیه آن، برنامه کامپیوتری، نتایج برنامه، تجزیه و تحلیل نتایج و نتیجه گیری و فهرست منابع می باشد.

هنگامی که همه گزارش ها جمع آوری شد، در طول درس آزمایشی، دانش آموزان گزارش های مختصری از کار انجام شده ارائه می دهند و از پروژه خود دفاع می کنند. این یک شکل مؤثر از گزارش گروهی است که پروژه را انجام می دهد به کلاس، از جمله تنظیم مسئله، ساخت یک مدل رسمی، انتخاب روش برای کار با مدل، پیاده سازی مدل در رایانه، کار با مدل نهایی، تفسیر نتایج و انجام پیش بینی در نتیجه، دانش آموزان می توانند دو نمره دریافت کنند: اولی - برای شرح پروژه و موفقیت در دفاع از آن، دوم - برای برنامه، بهینه بودن الگوریتم، رابط و غیره. همچنین دانش آموزان در آزمون های تئوری نمرات دریافت می کنند.

یک سوال ضروری این است که در درس علوم کامپیوتر مدرسه برای مدل سازی ریاضی از چه ابزارهایی استفاده کنیم؟ پیاده سازی کامپیوتری مدل ها را می توان انجام داد:

· استفاده از یک پردازنده صفحه گسترده (معمولا MS Excel).

· با ایجاد برنامه ها در زبان های برنامه نویسی سنتی (پاسکال، بیسیک و غیره) و همچنین در نسخه های مدرن آنها (دلفی، ویژوال بیسیک برای کاربرد و غیره).

· استفاده از بسته های کاربردی ویژه برای حل مسائل ریاضی (MathCAD و ...).

در سطح مدرسه ابتدایی به نظر می رسد روش اول ارجح تر باشد. با این حال، در دبیرستان، زمانی که برنامه نویسی، همراه با مدل سازی، یک موضوع کلیدی در علوم کامپیوتر است، توصیه می شود از آن به عنوان یک ابزار مدل سازی استفاده شود. در طول فرآیند برنامه نویسی، جزئیات رویه های ریاضی در دسترس دانش آموزان قرار می گیرد. علاوه بر این، آنها به سادگی مجبور به تسلط بر آنها هستند و این نیز به آموزش ریاضی کمک می کند. در مورد استفاده از بسته های نرم افزاری خاص، این امر در دوره تخصصی علوم کامپیوتر به عنوان مکمل ابزارهای دیگر مناسب است.

4. مدل سازی فرآیندهای جهانی

مدل های مورد استفاده در علوم مختلف (فیزیک، زیست شناسی، اقتصاد و غیره) تصاویری ریاضی از فرآیندها و پدیده های نسبتاً مجزا هستند. هر یک از آنها به شما اجازه می دهد تا مشکلاتی را که برای یک علم یا نوع فعالیت خاص مهم است حل کنید. اما همه اینها، در اهمیت جهانی اش، از مهم ترین سؤال برای مردم پایین تر است: آینده نزدیک بشریت به عنوان یک گونه به عنوان یک کل چیست؟ جهان در آینده قابل پیش بینی چگونه توسعه خواهد یافت؟ بیایید تأکید کنیم که ما در مورد پیش‌بینی‌های سیاسی یا اقتصادی برای کشور یا جامعه خاصی صحبت نمی‌کنیم، بلکه درباره کل بشریت صحبت می‌کنیم - آن (همه ما که روی زمین زندگی می‌کنیم) چه نوع آینده‌ای دارد؟

افراد در زندگی کنونی خود دارای مشکلات خاص بسیاری هستند و تمایل چندانی به چنین تأملات عمومی ندارند. زندگی یک فرد بسیار کوتاه است، و همین یک یا دو قرن پیش، تغییرات جهانی در جهان در طول زندگی یک فرد چندان قابل توجه نبود، حتی اگر او در یک دوره نسبتاً پرتلاطم زندگی می کرد. اما در قرن بیستم، سرعت وقایع بی‌سابقه در تاریخ بشر شتاب گرفت. پیش بینی فجایع جهانی آینده به طور فزاینده ای رایج شده است: مرگ طبیعت به دلیل آلودگی صنعتی، ظهور "حفره های اوزون" در استراتوسفر که از ما در برابر تشعشعات کیهانی محافظت می کند، کاهش وسایل بازتولید اکسیژن به دلیل جنگل زدایی گسترده و غیره. حتی یک رویداد کمتر فاجعه بار - به عنوان مثال، کاهش منابع طبیعی - می تواند منجر به تغییرات اساسی در شیوه زندگی بشر و به ویژه در کشورهایی شود که امروزه صنعتی ترین کشورها هستند.

آینده بشریت توسط تعداد زیادی از فرآیندها تعیین می شود که بخشی توسط آن کنترل می شود، تا حدی نه، و این فرآیندها به قدری به هم مرتبط هستند و دارای چنان پیامدهای متناقضی هستند که تنها مدل سازی ریاضی آنها در کل معقول آنها، که در رایانه های مدرن پیاده سازی شده است، می تواند یک پیش بینی کیفی صحیح ارائه دهید. مهم نیست که درشت شدن اجتناب ناپذیر واقعیت با چنین مدل سازی چقدر بزرگ باشد، عوامل بسیار مهمی وجود دارد که حتی قدرتمندترین ذهن نمی تواند تعامل آنها را ردیابی کند.

مدل های مربوطه، به نام جهانی است( فراگیر)، اولین بار در دهه 70 قرن گذشته ظاهر شد. معروف ترین مدل ها WORLD-1 (WORLD-1)، WORLD-2، WORLD-3 هستند که توسط گروهی از کارمندان موسسه فناوری ماساچوست (ایالات متحده آمریکا) به رهبری D.Kh. Meadows و D. Forrester. نتایج کار آنها در یک زمان باعث ایجاد حسی در جهان شد، زیرا اکثر سناریوها برای توسعه احتمالی رویدادها به پایان هایی منجر شد که می توان آن را پایان جهان (البته از دیدگاه بشریت) نامید. در عین حال، نویسندگان بارها تأکید کرده‌اند که ما در مورد آینده‌ای از پیش تعیین‌شده صحبت نمی‌کنیم، بلکه در مورد انتخاب راه‌هایی برای توسعه بشریت صحبت می‌کنیم، که در میان آنها راه‌هایی وجود دارد که منجر به ثبات، به سوی وجود سعادتمند بشریت می‌شود.

علت بی ثباتی احتمالی چه می تواند باشد؟ یکی از ویژگی های بارز زندگی بشر در دوران پس از شروع انقلاب صنعتی، رشد سریع - اغلب به صورت تصاعدی سریع - بسیاری از شاخص ها بوده است. دوره دو برابر شدن جمعیت زمین تقریباً 40 سال است (وجود چنین دوره ثابتی از ویژگی های مشخصه رشد نمایی است). زیست شناسان و بوم شناسان به خوبی می دانند که افزایش تصاعدی در اندازه جمعیت اغلب به فاجعه ختم می شود - منابعی که از وجود آن پشتیبانی می کنند تخلیه می شوند. از نقطه نظر وجود یک گونه، این یک تراژدی نیست (به جز موارد منحصر به فرد که یک گونه معین همه به یک جمعیت کاهش می یابد). با این حال، در زمان ما، بشریت تقریباً تمام منابع خود را برای رشد و گسترش گسترده مصرف کرده است. حجم تولیدات صنعتی در قرن بیستم نیز تقریباً به طور تصاعدی افزایش یافت و نرخ رشد سالانه به طور متوسط ​​3.3 درصد بود. این منجر به تخلیه منابع طبیعی - مواد معدنی، آب تمیز، هوای پاک می شود. محتوای جوی یکی از ترکیبات کربن پایدار (دی اکسید) در نتیجه سوزاندن سوخت های فسیلی و تخلیه جنگل ها از ابتدای قرن به یک سوم افزایش یافته است. به طور بالقوهاین منجر به گرم شدن کره زمین با فاجعه بارترین پیامدها می شود. هرچه تعداد افراد بیشتر باشد، غذای بیشتری مورد نیاز است و حجم جهانی کودهای معدنی مصرفی به طور تصاعدی با یک دوره دوبرابر شدن در حدود 15 سال در حال رشد است. واضح است، حتی بدون هیچ الگوسازی، که چنین زندگی با رشد افسارگسیخته همه چیز و همه نمی تواند طولانی باشد - و اکنون "طولانی" با طول عمر دو یا سه نسل قابل مقایسه است.

دشواری ردیابی پیامدهای چنین سیر وقایعی نیز در این است که هر فرآیند جهانی فردی را نمی توان بدون ابهام "خوب" یا "بد" از نقطه نظر تأثیر آن بر سرنوشت بشریت نامید. به عنوان مثال، افزایش تولید کود منجر به افزایش تولید غذا می شود - این "خوب" است. اما "بد" این است که همین روند منجر به کاهش عرضه آب شیرین تمیز می شود که توسط کودهایی که از طریق خاک با باران به رودخانه ها و چشمه های زیرزمینی می ریزند خراب می شود. علاوه بر این، افزایش تولید کود منجر به نیاز به افزایش تولید انرژی و آلودگی شیمیایی و حرارتی خاک، جو و غیره می شود. تنها با در نظر گرفتن همه عوامل به طور همزمان می توان تأثیر چنین موقعیت هایی را بر رشد بشر سنجید.

آیا فرصت هایی برای جلوگیری از پیامدهای فاجعه بار برای توسعه انسانی وجود دارد؟ در نتیجه مدل‌سازی، سه قانون زیر تدوین شد که مطابق با نویسندگان مدل‌ها، رعایت آنها برای پایداری جهانی ضروری است:

1. برای منابع تجدیدپذیر (جنگل، آب، ماهی و ...) میزان مصرف نباید از نرخ بازیافت طبیعی بیشتر شود.

2. برای منابع تجدید ناپذیر (زغال سنگ، نفت، سنگ معدن و غیره) میزان مصرف نباید از میزان جایگزینی آنها با منابع تجدیدپذیر (توسعه انرژی خورشیدی و بادی، کاشت جنگل و ...) و نرخ بیشتر باشد. توسعه فن آوری های جدید برای اطمینان از منابع جایگزین؛ به طوری که پس از ناپدید شدن مثلاً نفت، هجوم انرژی از یک منبع جدید تضمین می شود.

3. برای آلاینده ها، حداکثر میزان انتشار نباید از سرعتی که این مواد با آن پردازش می شوند یا خواص مضر برای محیط زیست خود را از دست می دهند، تجاوز کند.

در حال حاضر، متأسفانه بشریت با این قوانین هدایت نمی شود. اگر در قرون گذشته این خطری برای کل گونه نبود، امروز وضعیت تغییر کرده است.

اجازه دهید به طور خلاصه یکی از مدل های جهانی - WORLD-3 (WORLD-3) را شرح دهیم. این مدل از پنج بخش تشکیل شده است:

· آلودگی مداوم

· منابع تجدید نشدنی؛

· جمعیت؛

· کشاورزی (تولید مواد غذایی، حاصلخیزی زمین، توسعه زمین).

· اقتصاد (تولید صنعتی، تولید خدمات، مشاغل).

روابط اولیه، روابط اولیه هستند، مانند:

· جمعیت و ذخایر سرمایه صنعتی.

· جمعیت و مساحت زمین زیر کشت؛

· مساحت زمین زیر کشت و حجم سرمایه صنعتی.

· جمعیت و سرمایه بخش خدمات.

· سرمایه بخش خدمات و سرمایه صنعتی و غیره.

در هر بخش، تمام روابط اولیه با روابط ریاضی ردیابی و بیان می شوند. در صورت لزوم، فرآیندهای تأخیر در مواد و اطلاعات در نظر گرفته می شود، زیرا واکنش مثلاً اندازه جمعیت به تغذیه بهبود یافته آنی نیست، بلکه با تأخیر است. این برای اکثر فرآیندهای در نظر گرفته شده معمول است.

مدل WORLD-3 دارای ویژگی های توصیفی و بهینه سازی است. هدف اصلی آن ارائه راه‌های ممکن برای اقتصاد (به معنای وسیع کلمه) برای دستیابی به جمعیتی جهانی است که می‌تواند توسط محیط زیست به طور نامحدود حمایت شود. توسعه یک کشور خاص را پیش بینی نمی کند و هیچ مشکل محلی را حل نمی کند. این مدل فرض می کند که یک جامعه جهانی روی زمین وجود دارد.

پویایی جمعیت یک ویژگی جدایی ناپذیر است که همه عوامل را در بر می گیرد. صرفاً از نظر حدس و گمان، دو نوع پویایی پایدار امکان پذیر است (رشد مستمر یا رویکرد هموار به تعادل) و سه نوع پویایی ناپایدار مرتبط با فراتر رفتن از حدود مجاز (نوسانات به دنبال رسیدن به حالت ساکن، نوسانات آشفته و فروپاشی، یعنی خاموشی گونه). رشد مستمر کاملا غیر واقعی به نظر می رسد، آخرین پویایی ناپایدار یک تراژدی برای بشریت است، و در پشت نوسانات شدید، همانطور که ممکن است حدس بزنید، جنگ ها، اپیدمی ها، قحطی وجود دارد - چیزی که اغلب در واقعیت اتفاق می افتد.

روابط معمولی برای مدل WORLD، که با ابزارهای ریاضی (معادلات دیفرانسیل و "معمولی") بیان می شود، در شکل نشان داده شده است. ارتباط بین جمعیت، سرمایه صنعتی، سطح زمین قابل کشت و آلودگی محیطی را نشان می دهد. هر فلش در شکل نشان دهنده وجود یک رابطه علّی است که می تواند فوری یا با تأخیر، مثبت یا منفی باشد.

حلقه های بازخورد جمعیت، سرمایه، تولیدات کشاورزی و آلودگی محیط زیست

مفاهیم بازخورد مثبت و منفی از نظریه کنترل خودکار (شاخه ای از سایبرنتیک) گرفته شده است. رابطه علت و معلولی بین دو عنصر نامیده می شود منفی، اگر تغییری در یک عنصر به عنصر دوم منتقل شود، از آن به اولی باز می گردد و آن را در جهت مخالف اصلی تغییر می دهد (سرکوب می کند) و مثبت، اگر این تغییر، بازگشت به اولی، آن را تقویت می کند. اگر دو عنصر وجود نداشته باشد، بلکه بیشتر باشد، آنها از آن صحبت می کنند حلقه بازخورد، که سیگنال به صورت دایره ای از آن عبور می کند و به منبع باز می گردد و بر آن تأثیر می گذارد.

مجموعه معینی از چنین ارقامی از نظر گرافیکی مدل WORLD را خسته می کند. با این حال، در پشت هر فلش روابط اولیه وجود دارد و در پشت هر یک از آنها معادلاتی وجود دارد که شامل تعدادی پارامتر است. در واقع، این مقادیر این پارامترها هستند که نتایج را تعیین می کنند، بنابراین، هم متخصصان متعدد باریک و هم بسیاری از داده های تجربی (آماری) جمع آوری شده در ده ها کتاب مرجع، گزارش های سازمان ملل و دولت های فردی در تجزیه و تحلیل آنها دخیل هستند. تعداد متغیرهای مرتبط به هم در مدل WORLD-3 225 است و حتی پارامترهای بیشتری نیز وجود دارد.

نتایج شبیه سازی جهانی

"سناریوهای" منتشر شده برای توسعه انسانی، بر اساس مدل های WORLD، دوره زمانی 1900 تا 2100 را پوشش می دهد. 100 سال اولی که قبلاً سپری شده است به ما این امکان را می دهد که مدل را "تنظیم" کنیم و میزان قابلیت اطمینان آن را تعیین کنیم.

اولین سناریو مبتنی بر این فرضیه است که همه چیز بدون تغییرات عمده، بلایای سیاسی جهانی، بدون تلاش ویژه برای حفظ منابع و کاهش آلودگی محیط زیست توسعه خواهد یافت. این مدل نتایج فاجعه باری را از چنین توسعه ای پیش بینی می کند.

در عین حال، مدل WORLD به شما امکان می دهد راه هایی برای توسعه منظم پیدا کنید که منجر به رفتار صاف ("سیگموئید") متغیرهای اصلی می شود. این مسیر با خویشتن داری و گذار به فن آوری های صنعتی و کشاورزی بهبود یافته همراه است.

5. مدل سازی فرآیندهای برنامه ریزی بهینه

تدوین مسئله برنامه ریزی بهینه

برنامه ریزی مهمترین مرحله فعالیت اقتصادی و مدیریتی است. هدف برنامه ریزی می تواند فعالیت های یک بخش یا کل شرکت، یک صنعت یا کشاورزی، یک منطقه و در نهایت یک ایالت باشد.

فرمول مسئله برنامه ریزی در حالت کلی به شرح زیر است:

برخی از شاخص های برنامه ریزی شده وجود دارد: ایکس, Y, …;

· برخی منابع وجود دارد: آر 1, آر 2، ...، که با توجه به آن می توان به این شاخص های برنامه ریزی شده دست یافت.

· بسته به مقادیر شاخص های برنامه ریزی شده، یک هدف استراتژیک مشخص وجود دارد که برنامه ریزی باید به سمت آن جهت گیری شود.

مشکل برنامه ریزی بهینه شامل تعیین مقادیر شاخص های برنامه ریزی شده، با در نظر گرفتن منابع محدود، مشروط به دستیابی به یک هدف استراتژیک است.

بیایید مثال بزنیم. بگذارید هدف برنامه ریزی یک مهدکودک باشد. ما خود را به دو شاخص برنامه ریزی شده محدود می کنیم: تعداد فرزندان و تعداد معلمان. منابع اصلی برای فعالیت های مهدکودک، میزان بودجه و اندازه محل است. اهداف استراتژیک چیست؟ طبیعتا یکی از آنها حفظ و تقویت سلامت کودکان است. یک معیار کمی برای این هدف، به حداقل رساندن بروز بیماری در دانش آموزان مهدکودک است.

مثال دیگر: برنامه ریزی فعالیت های اقتصادی دولت. البته، این یک کار بسیار پیچیده برای تجزیه و تحلیل دقیق است. شاخص های برنامه ریزی شده زیادی وجود دارد: تولید انواع مختلف محصولات صنعتی و کشاورزی، آموزش متخصصان، تولید برق، حقوق کارکنان بخش دولتی و موارد دیگر. منابع عبارتند از: تعداد جمعیت در سن کار، بودجه دولتی، منابع طبیعی، انرژی، قابلیت های سیستم های حمل و نقل و غیره که البته هر یک از این نوع منابع محدود است. علاوه بر این، مهم ترین منبع، زمان اختصاص داده شده برای اجرای طرح است.

مسئله اهداف استراتژیک در این مورد بسیار پیچیده است. ایالت بسیاری از آنها را دارد، اما اولویت ها ممکن است در دوره های مختلف تاریخ تغییر کنند. مثلاً در زمان جنگ هدف اصلی حداکثر توان دفاعی، قدرت نظامی کشور است. در زمان صلح در یک کشور متمدن مدرن، هدف اولویت باید دستیابی به حداکثر استاندارد زندگی جمعیت باشد.

حل مسائل برنامه ریزی بهینه اغلب با استفاده از تجربه انسانی (روش های تجربی) پیچیده و غیرقابل دسترس است. برای حل چنین مشکلاتی ساخته شده است مدل ریاضی، که بین پارامترهای مسئله ارتباط برقرار می کند. از این رو، برنامه ریزی بهینه با استفاده از مدل سازی ریاضی انجام می شود.به عنوان یک قاعده، چنین مدل هایی برای موقعیت های واقعی را نمی توان به صورت تحلیلی حل کرد، بنابراین از روش های حل عددی پیاده سازی شده در رایانه استفاده می شود.

نمونه ای از مدل ریاضی برنامه ریزی بهینه

بیایید یک مثال ساده را در نظر بگیریم که می تواند به شما کمک کند تا در مورد یکی از کلاس های مسائل برنامه ریزی بهینه ایده بگیرید.

شیرینی فروشی مدرسه پای و کیک تهیه می کند. به دلیل محدودیت ظرفیت انبار، در مجموع نمی توان بیش از 700 محصول در روز تهیه کرد. یک روز کاری در یک قنادی 8 ساعت طول می کشد. از آنجایی که تولید کیک زحمت بیشتری دارد، اگر فقط آنها را تولید کنید، نمی توانید بیش از 250 پای در روز تولید کنید، اما 1000 پای نیز می تواند تولید شود (اگر کیک تولید نکنید). هزینه یک کیک دو برابر یک پای است. باید یک برنامه تولید روزانه تهیه شود که بیشترین درآمد را برای شیرینی فروشی فراهم کند.

بیایید این مسئله را به صورت ریاضی فرموله کنیم. شاخص های برنامه ریزی شده عبارتند از:

x - برنامه روزانه برای انتشار کیک ها؛

y برنامه روزانه برای انتشار کیک است.

منابع تولید عبارتند از:

· مدت روز کاری - 8 ساعت؛

ظرفیت ذخیره سازی - 700 مکان.

نسبت های زیر را از شرایط زمان کار محدود کارگاه و ظرفیت انبار بدست می آوریم، یعنی. تعداد کل محصولات از بیان مسئله برمی‌آید که برای درست کردن یک پای 4 برابر زمان بیشتری طول می‌کشد تا یک پای. اگر زمان درست کردن پای را مشخص کنید تیدقیقه، سپس زمان پخت کیک 4 است تیدقیقه بنابراین، کل زمان تولید ایکسپای و yکیک برابر tx + 4ty =(ایکس+ 4y)تیاما این زمان نمی تواند بیشتر از مدت روز کاری باشد. این به معنای نابرابری است ( ایکس + 4y)تی 8؟ 60 یا ( ایکس + 4y)تی 480.

از آنجایی که می توان 1000 عدد پای را در روز کاری درست کرد، 480/1000 = 0.48 دقیقه برای یک عدد صرف می شود. با جایگزینی این مقدار به نابرابری، دریافت می کنیم: ( ایکس + 4y) ? 0,48 480. از اینجا ایکس + 4y 1000. محدودیت در تعداد کل محصولات یک نابرابری آشکار می دهد ایکس+ y 700.

به دو نابرابری به دست آمده باید شرایط مقادیر مثبت کمیت ها را اضافه کنیم ایکسو y(تعداد پای و کیک نمی تواند منفی باشد). در نتیجه، سیستمی از نابرابری ها را دریافت کردیم:

ایکس + 4y 1000,ایکس + y 700, ایکس 0, y 0 ()

بیایید هدف استراتژیک را رسمی کنیم: کسب حداکثر درآمد. درآمد هزینه تمام محصولات فروخته شده است. قیمت یک پای را بگذارید rروبل با توجه به مشکل قیمت کیک دوبرابر هست یعنی. 2 rروبل از این رو هزینه تمام محصولات تولید شده در روز برابر است rx + 2رای = r(ایکس + 2y). هدف تولید کسب حداکثر درآمد است. ما عبارت نوشتاری را تابعی از ایکس,y:اف(x، y)= r(ایکس + 2y). از آنجا که r- ثابت، سپس مقدار حداکثر اف(x، y) در حداکثر مقدار عبارت به دست می آید ایکس + 2yبنابراین به عنوان تابعی که حداکثر آن با هدف استراتژیک مطابقت دارد، می توانیم بگیریم

f(ایکس, y) = ایکس + 2y ()

در نتیجه، به دست آوردن طرح بهینه به مسئله ریاضی زیر کاهش یافت: مقادیر شاخص های برنامه ریزی شده x و y را پیدا کنید که سیستم نابرابری ها را برآورده می کند()و حداکثر مقدار را به تابع هدف می دهد().

مثال بالا متعلق به کلاس task است برنامه ریزی خطی. در نظریه برنامه ریزی بهینه، چندین دسته از مسائل وجود دارد که برنامه ریزی خطی ساده ترین گزینه است. مطالعه روش های ریاضی برای حل چنین مسائلی فراتر از اهداف آموزش مدرسه است.

در عین حال، منطقی نخواهد بود که خود را تنها به صورت‌بندی نظری مسائل برنامه‌ریزی بهینه محدود کنیم. فن آوری های اطلاعات مدرن حل برخی از مسائل برنامه ریزی بهینه (و به ویژه برنامه ریزی خطی) را بدون درک ماهیت روش های ریاضی مورد استفاده ممکن می سازد. به طور خاص، چنین ابزارهایی در پردازشگر صفحه گسترده اکسل موجود است و بر اساس آنها می توان به دانش آموزان نشان داد که چگونه مسائل خاص را حل کنند. ابزار مورد نظر Find a Solution نام دارد که دستور مربوطه در منوی Tools قرار دارد. اجازه دهید به طور خلاصه نحوه استفاده از این ابزار را برای حل مشکل مطرح شده در بالا توضیح دهیم.

ابتدا جدولی برای حل مسئله برنامه ریزی بهینه تهیه می کنیم.

سلول های B5 و C5 به ترتیب برای مقادیر رزرو شده اند ایکس(طرح تهیه پای) و y(طرح تهیه کیک). قسمت های سمت چپ نابرابری ها در ستون B و قسمت های سمت راست در ستون D قرار دارند. نشانه ها "<=” и т.д. в столбце С программой реально не используются. Целевая функция занесена в ячейку В15.

بیایید برنامه بهینه سازی را فراخوانی کنیم و به آن بگوییم که داده ها در کجا قرار دارند. برای این کار دستور U Service U Search for a solution را اجرا کنید. فرم مربوطه روی صفحه باز می شود. طبق الگوریتم زیر عمل خواهیم کرد:

1. مختصات سلول با تابع هدف را وارد کنید. در مورد ما B15 است. (توجه داشته باشید که اگر ابتدا مکان نما را روی سلول B15 قرار دهید، ورودی به طور خودکار انجام می شود.)

2. کادر انتخاب "برابر با حداکثر مقدار" را تنظیم کنید. بیایید به برنامه بگوییم که ما علاقه مندیم حداکثر تابع هدف را پیدا کنیم.

3. در قسمت "تغییر سلول ها"، B5:C5 را وارد کنید، i.e. ما به شما اطلاع خواهیم داد که چه فضایی برای مقادیر متغیرها - شاخص های برنامه ریزی شده اختصاص داده شده است.

4. در قسمت "Constraints" باید اطلاعات مربوط به نابرابری-محدودیت ها را وارد کنید که به شکل B10 است.<=D10; B11<=D11; B12>=D12; B13>=D13. محدودیت ها به شرح زیر معرفی می شوند:

· بر روی دکمه "افزودن" کلیک کنید.

· در کادر محاوره‌ای «افزودن محدودیت» که ظاهر می‌شود، پیوندی به سلول B10 وارد کنید، علامت نابرابری را از منو انتخاب کنید.<=” и вводим ссылку на ячейку D10; снова щелкаем по кнопке “Добавить”, аналогично вводим второе ограничение B11<=D11 и т.д.

5. کادر محاوره ای «افزودن محدودیت» را ببندید. پیش روی ما یک فرم آماده شده است "جستجو برای راه حل".

6. روی دکمه "Run" کلیک کنید - راه حل بهینه در سلول های B5 و C5 (اعداد 600 و 100) و همچنین عدد 800 در سلول B15 - حداکثر مقدار تابع هدف ظاهر می شود.

6. مدل سازی سیستم ها و فرآیندهای فیزیکی

علم فیزیک از زمان اسحاق نیوتن (قرن هفدهم تا هجدهم) به طور جدایی ناپذیری با مدلسازی ریاضی پیوند خورده است. I. نیوتن قوانین اساسی مکانیک، قانون گرانش جهانی را کشف کرد و آنها را به زبان ریاضیات توصیف کرد. I. نیوتن (به همراه G. Leibniz) حساب دیفرانسیل و انتگرال را توسعه دادند که اساس دستگاه ریاضی فیزیک شد. تمام اکتشافات فیزیکی بعدی (در ترمودینامیک، الکترودینامیک، فیزیک اتمی، و غیره) در قالب قوانین و اصول توصیف شده در زبان ریاضی ارائه شد، یعنی. در قالب مدل های ریاضی

می توان گفت که راه حل هر مشکل فیزیکی از نظر تئوری است مدل سازی ریاضی. با این حال، امکان یک راه حل نظری برای مسئله به دلیل درجه پیچیدگی مدل ریاضی آن محدود شده است. هر چه فرآیند فیزیکی توصیف شده با کمک آن پیچیده تر باشد، یک مدل ریاضی پیچیده تر است و استفاده از چنین مدلی برای محاسبات مشکل تر می شود.

در ساده ترین حالت، راه حل مسئله را می توان به صورت تحلیلی "دستی" به دست آورد. در بیشتر موقعیت های عملا مهم، به دلیل پیچیدگی ریاضی مدل، یافتن راه حل تحلیلی ممکن نیست. در این مورد استفاده کنید روشهای عددیراه حل هایی برای مشکلاتی که فقط می توانند به طور موثر بر روی رایانه پیاده سازی شوند. به عبارت دیگر تحقیقات فیزیکی بر اساس مدل های پیچیده ریاضی توسط مدل سازی ریاضی کامپیوتری. در این راستا، در قرن بیستم، همراه با تقسیم سنتی فیزیک به نظری و تجربی، جهت جدیدی به وجود آمد - "فیزیک محاسباتی".

به مطالعه فرآیندهای فیزیکی در رایانه، آزمایش محاسباتی می گویند. بنابراین، فیزیک محاسباتی پلی بین فیزیک نظری، که از آن مدل‌های ریاضی استخراج می‌کند، و فیزیک تجربی می‌سازد و یک آزمایش فیزیکی مجازی را بر روی رایانه اجرا می‌کند. استفاده از گرافیک کامپیوتری هنگام پردازش نتایج محاسباتی، وضوح این نتایج را تضمین می کند که مهمترین شرط درک و تفسیر آنها توسط محقق است.

نمونه ای از مدل سازی ریاضی یک فرآیند فیزیکی

قانون اساسی مکانیک قانون دوم نیوتن است که نیروی وارد بر جسم، جرم آن و شتاب حاصل از نیرو را به هم مرتبط می کند. در فیزیک مدرسه این قانون به شرح زیر ارائه می شود:

فرض بر این است که نیرو و جرم مقادیر ثابتی هستند. در این حالت، شتاب نیز یک مقدار ثابت خواهد بود. در نتیجه، معادله (1) حرکت شتاب یکنواخت جسمی با جرم ثابت را تحت تأثیر نیروی ثابت مدل می‌کند.

کاربرد این مدل محدود است. نمی توان از آن برای محاسبه حرکت اجسام با جرم متغیر و نیروی متغیر استفاده کرد. به عنوان مثال، هنگامی که یک موشک پرواز می کند، جرم آن به دلیل سوختن سوخت کاهش می یابد، یعنی. جرم تابعی از زمان است: متر(تی). در نتیجه، شتاب نیز به یک مقدار متغیر تبدیل می شود و مدل ریاضی تغییر می کند:

بیایید در نظر بگیریم که شتاب مشتق از سرعت است ( v) در زمان، و تابع تغییر جرم در طول زمان را توصیف کنید (بگذارید خطی باشد). ما مدل ریاضی حرکت زیر را بدست می آوریم:

(2)

اینجا متر 0 - جرم اولیه موشک، q(kg/s) - پارامتری که میزان احتراق سوخت را تعیین می کند. معادله (2) یک معادله دیفرانسیل است، در مقابل یک معادله جبری خطی (1). مدل ریاضی پیچیده تر شده است! حل معادله (2) بسیار دشوارتر از (1) است. در صورتی که امکان تغییر قدرت در طول زمان را نیز در نظر بگیریم اف(تی) (تراست موتور موشک در طول فرآیند پرتاب یک مقدار متغیر است)، سپس مدل حتی پیچیده تر می شود:

(3)

هنگام حرکت اجسام در جو (یا در یک محیط مایع)، لازم است مقاومت محیط - نیروی اصطکاک را در نظر بگیرید. نیروی اصطکاک دو جزء دارد: متناسب با توان اول سرعت بدن و متناسب با مربع آن. حالا معادله حرکت به شکل زیر در می آید:

, (4), (5)

اینجا ک 1 و ک 2 - ضرایب تجربی. معادله (5) سرعت را به جابجایی مرتبط می کند. مدل (4)-(5) به وضعیت فیزیکی واقعی نزدیکتر شده است، اما از نقطه نظر ریاضی پیچیده تر شده است. با استفاده از آن می توانید به سوالات عملی مهم پاسخ دهید. به عنوان مثال: برای یک معین اف(تی) تعیین کنید که موشک چه مدت و در چه ارتفاعی به اولین سرعت فرار خود می رسد. یا مشکل معکوس را حل کنید: نیروی رانش موتور چقدر باید باشد تا موشک به اولین سرعت فرار خود در یک ارتفاع معین برسد؟ اگر این نکته را هم در نظر بگیریم که ضرایب ک 1 و ک 2 - مقادیر متغیر، از آنجایی که آنها به چگالی هوای اتمسفر بستگی دارند، که با ارتفاع کاهش می یابد، مدل ریاضی (4) - (5) بسیار پیچیده می شود. حل مسائل فرموله شده در بالا بر اساس چنین مدلی مستلزم استفاده از روش های عددی و کامپیوتر است.

کاربرد روش های عددی

روش های عددی هستند روش هایی که حل هر مسئله ریاضی را به محاسبات حسابی تقلیل می دهند. اجازه دهید کاربرد روش حل عددی را با استفاده از مثالی از یک مسئله مکانیکی ساده‌تر از مسئله پرواز موشک نشان دهیم. اجازه دهید مشکل سقوط آزاد جسمی با جرم ثابت را در نظر بگیریم مترتحت تاثیر گرانش ثابت معادلات حرکت با در نظر گرفتن مقاومت هوا (در بالا مورد بحث قرار گرفت) به شکل زیر است:

, (6)

اینجا v- جزء عمودی بردار سرعت. بگذارید ارتفاع اولیه بدن از سطح زمین باشد س 0، و سرعت اولیه است v 0 .

ما کاربرد روشی به نام روش اویلر را برای محاسبه حرکت جسم در حال سقوط نشان خواهیم داد. محاسبه از نقطه اولیه در زمان انجام می شود تی= 0 با یک گام زمانی محدود کوچک

(n = 0, 1, 2, …). (8)

با اعمال یک رویکرد مشابه برای معادله (7)، فرمول روش اویلر را برای محاسبه جابجایی جسم در حال سقوط در طول زمان به دست می آوریم:

با داشتن مقادیر اولیه سرعت و جابجایی و با استفاده از فرمول های (8)، (9) می توانید مقادیر را به صورت مرحله به مرحله محاسبه کنید. vو سدر زمان های متوالی این فرآیند به راحتی قابل برنامه ریزی است و نتایج به دست آمده در قالب یک جدول عددی نمایش داده شده و به صورت گرافیکی ارائه می شود.

تجزیه و تحلیل و تفسیر نتایج

شکل، نتیجه پردازش گرافیکی وابستگی عددی به دست آمده از سرعت سقوط بدن به موقع را برای مجموعه خاصی از پارامترها نشان می دهد. متر, ک 1 و ک 2 .

وابستگی سرعت سقوط به زمان، با در نظر گرفتن مقاومت هوا

این وابستگی ربطی به تغییر خطی سرعت ندارد که بدون در نظر گرفتن مقاومت هوا به دست می آید. با نزدیک شدن نیروی مقاومت هوا به نیروی گرانش، سرعت به مقدار ثابتی می رسد. وقتی با هم برابر باشند، حرکت یکنواخت می شود.

توجه داشته باشید که حد سرعت حالت پایدار را می توان به صورت تحلیلی و بدون استفاده از روش های عددی محاسبه کرد. معادل سازی در فرمول (6) dv/dt(شتاب) تا صفر، متوجه می شویم که سرعت ثابت برابر خواهد بود

بر اساس این مدل، برای مثال، می توان یک مسئله بهینه سازی را با فرمول بندی شرط زیر حل کرد: یک چترباز از ارتفاع معینی می پرد و بدون باز کردن چتر نجات پرواز می کند. در چه ارتفاعی (یا بعد از چه ساعتی) باید چتر خود را باز کند تا هنگام فرود، سرعت مطمئنی داشته باشد؟ مشکل دیگر: ارتباط ارتفاع پرش با سطح مقطع چتر نجات (شامل ک 2) به طوری که سرعت فرود امن است؟

یک مشکل مهم هنگام استفاده از روش عددی توصیف شده، انتخاب اندازه گام زمانی است تی. دقت نتایج به دست آمده و پایداری روش محاسباتی به این مقدار بستگی دارد. همه این مسائل در یک رشته ریاضی به نام «روش‌های عددی» یا «ریاضیات محاسباتی» بررسی می‌شوند.

آشنایی دانش‌آموزان با مدل‌های کامپیوتری فرآیندهای فیزیکی در یک درس علوم کامپیوتر پایه می‌تواند در سطح نمونه‌های نمایشی رخ دهد. شکل نمونه ای از یک برنامه نمایشی آموزشی را نشان می دهد که پرواز پرتابه شلیک شده از یک توپ را شبیه سازی می کند. وظیفه ای که برای دانش آموزان تعیین شده است انتخاب پارامترهایی (سرعت اولیه و زاویه شلیک) است که اطمینان حاصل می کند که پرتابه به هدف برخورد می کند (این برنامه در مجموعه منابع آموزشی دیجیتال فدرال گنجانده شده است). تحولات مشابهی در سایر منابع آموزشی موجود است.

پرواز پرتابه ای که از یک توپ شلیک شده است

در کلاس های ارشد فیزیک و ریاضی، مسائل مربوط به مدل سازی فرآیندهای فیزیکی باید در برنامه آموزشی تخصصی گنجانده شود. ما می توانیم لیست زیر را از مدل سازی اشیاء مرتبط با حرکت اجسام ارائه دهیم:

· حرکت اجسام با در نظر گرفتن مقاومت محیط (سقوط آزاد، حرکت بدن پرتاب شده در زاویه نسبت به افق، برخاستن موشک و غیره).

· حرکت نوسانی آونگ با در نظر گرفتن مقاومت محیط، نوسانات اجباری، رزونانس و غیره.

· حرکت اجرام آسمانی (مشکل دو جسمی).

· حرکت ذرات باردار در میدان های الکتریکی.

انواع دیگر مسائلی که بر اساس آنها می توان مدل سازی فرآیندهای فیزیکی را پیاده سازی کرد، با توصیف فرآیندهای فیزیکی در تقریب پیوسته و در میدان های الکترومغناطیسی همراه است:

· مدل سازی فرآیند هدایت حرارتی و غیره.

· مدلسازی توزیع میدانهای استاتیکی - الکتریکی و مغناطیسی.

در بالا، نمونه ای از مدل سازی سقوط آزاد یک جسم در جو را به تفصیل مورد بحث قرار دادیم که در آن از معادلات دیفرانسیل و روش های عددی برای حل آنها استفاده شده است. اگر آموزش ریاضی دانش‌آموزان برای درک این رویکرد کافی نباشد، می‌توان بدون استفاده از معادلات دیفرانسیل، یک مدل ریاضی را بلافاصله به شکل تفاضل محدود ساخت. اجازه دهید روش استفاده از این رویکرد را نشان دهیم.

به دانش آموزان یادآوری کنیم که شتاب افزایش سرعت در واحد زمان و سرعت افزایش جابجایی در واحد زمان است: .

نشانه های برابری تقریبی نشان می دهد که این روابط دقیق تر هستند، هر چه فاصله کمتر باشد تی; در حد تی 0 دقیق می شوند.

اگر در مقطعی از زمان تی 0 مقدار سمعنی دارد s(t 0) و مقدار v- معنی v(t 0)، سپس در زمان بعدی تی 1 = تی 0 + تیخواهد داشت:

فرض بر این است که شتاب در یک بازه زمانی معین تغییر نکرده و برابر است آ(تی 0). نماد F نیز در اینجا استفاده می شود 0 = اف(t 0)m = m(t 0) ، یعنی این بدان معنی است که نیرو و جرم در حالت کلی می توانند کمیت های متغیر باشند.

هنگام محاسبه مقادیر vو سدر زمان های بعدی می توانید همین کار را انجام دهید. اگر مقادیر مشخص باشد v iو مندر حال حاضر تی من، آن

بنابراین، همان فرمول های روش اویلر به دست می آید، اما از نظر روشی متفاوت است. در این مورد اصلاً معادلات دیفرانسیل ذکر نشده است.

دانش آموزان در ساخت این مدل و مدل های مشابه باید به این نکته توجه داشته باشند که در تقسیم زمان پیوسته به قطعات طول تییکی از ایده های اساسی علم کامپیوتر در مورد جهانی بودن یک شکل گسسته از نمایش اطلاعات، هم در طراحی کامپیوتر و هم در بسیاری از کاربردهای علوم کامپیوتر منعکس شده است.

توجه داشته باشید که برنامه های کامپیوتری زیادی وجود دارند که فرآیندهای فیزیکی ساده را شبیه سازی می کنند. آنها یک رابط گفتگو را پیاده سازی می کنند که به شما امکان می دهد پارامترها را وارد کنید و جداول، نمودارها و تصاویر متحرک را روی صفحه دریافت کنید. با این حال، هنگام استفاده از آنها، قوانین فیزیکی تعیین کننده فرآیند، محدودیت های مدل و احتمالات بهبود آن پنهان می ماند. چنین برنامه هایی بیشتر به عنوان برنامه های توضیحی و مقدماتی مفید هستند. توصیه می شود دانش آموزانی که در حال تحصیل علوم کامپیوتر در سطح تخصصی هستند، بر روی تجزیه و تحلیل دقیق مدل های ریاضی و توسعه مستقل برنامه ها متمرکز شوند.

برای استفاده از رایانه در حل مسائل کاربردی، اول از همه، مسئله کاربردی باید به یک زبان ریاضی رسمی «ترجمه» شود، یعنی. برای یک شی، فرآیند یا سیستم واقعی باید ساخته شود مدل ریاضی.

مدل‌های ریاضی به شکل کمی، با استفاده از ساختارهای منطقی و ریاضی، ویژگی‌های اساسی یک شی، فرآیند یا سیستم، پارامترهای آن، ارتباطات داخلی و خارجی را توصیف می‌کنند.

برای ساخت یک مدل ریاضیلازم:

1. تجزیه و تحلیل دقیق یک شی یا فرآیند واقعی؛
2. برجسته ترین ویژگی ها و ویژگی های آن؛
3. متغیرها را تعریف کنید، یعنی پارامترهایی که مقادیر آنها بر ویژگی ها و ویژگی های اصلی شی تأثیر می گذارد.
4. وابستگی ویژگی های اساسی یک شی، فرآیند یا سیستم را به مقادیر متغیرها با استفاده از روابط منطقی-ریاضی (معادلات، برابری ها، نابرابری ها، ساختارهای منطقی-ریاضی) توصیف کنید.
5. برجسته ارتباطات داخلیشی، فرآیند یا سیستم با استفاده از محدودیت ها، معادلات، برابری ها، نابرابری ها، ساختارهای منطقی و ریاضی.
6. اتصالات خارجی را شناسایی کرده و با استفاده از محدودیت ها، معادلات، برابری ها، نابرابری ها، ساختارهای منطقی و ریاضی آنها را توصیف کنید.

مدل سازی ریاضیعلاوه بر مطالعه یک شی، فرآیند یا سیستم و ترسیم توصیف ریاضی آنها، شامل موارد زیر نیز می شود:

1. ساخت الگوریتمی که رفتار یک شی، فرآیند یا سیستم را مدل می کند.
2. معاینه کفایت مدلو یک شی، فرآیند یا سیستم مبتنی بر آزمایش محاسباتی و طبیعی؛
3. تنظیم مدل؛
4. با استفاده از مدل

توصیف ریاضی فرآیندها و سیستم های مورد مطالعه به موارد زیر بستگی دارد:

1. ماهیت یک فرآیند یا سیستم واقعی است و بر اساس قوانین فیزیک، شیمی، مکانیک، ترمودینامیک، هیدرودینامیک، مهندسی برق، نظریه پلاستیسیته، نظریه کشسانی و غیره تدوین شده است.
2. قابلیت اطمینان و دقت مورد نیاز مطالعه و تحقیق فرآیندها و سیستم های واقعی.

در مرحله انتخاب یک مدل ریاضی، موارد زیر مشخص می شود: خطی بودن و غیرخطی بودن یک شی، فرآیند یا سیستم، پویایی یا ایستایی، ایستایی یا غیر ایستایی، و همچنین درجه قطعی بودن شی یا فرآیند مورد مطالعه. در مدل‌سازی ریاضی، شخص عمداً از ماهیت فیزیکی خاص اشیاء، فرآیندها یا سیستم‌ها انتزاع می‌گیرد و عمدتاً بر مطالعه وابستگی‌های کمی بین کمیت‌هایی که این فرآیندها را توصیف می‌کنند تمرکز می‌کند.

مدل ریاضیهرگز کاملاً با شی، فرآیند یا سیستم مورد نظر یکسان نیست. بر اساس ساده سازی، ایده آل سازی، توصیفی تقریبی از شی است. بنابراین، نتایج به دست آمده از تحلیل مدل تقریبی است. دقت آنها با درجه کفایت (انطباق) بین مدل و شی تعیین می شود.

معمولاً با ساخت و تحلیل ساده‌ترین و خام‌ترین مدل ریاضی شی، فرآیند یا سیستم مورد نظر شروع می‌شود. در آینده، در صورت لزوم، مدل اصلاح شده و مطابقت آن با شی کاملتر می شود.

بیایید یک مثال ساده بزنیم. تعیین سطح میز ضروری است. به طور معمول، این کار با اندازه گیری طول و عرض آن و سپس ضرب اعداد حاصل انجام می شود. این روش ابتدایی در واقع به معنای زیر است: یک شی واقعی (سطح جدول) با یک مدل ریاضی انتزاعی - یک مستطیل جایگزین می شود. ابعادی که با اندازه گیری طول و عرض سطح میز به دست می آید به مستطیل اختصاص داده می شود و مساحت چنین مستطیلی تقریباً مساحت مورد نیاز میز در نظر گرفته می شود.

با این حال، مدل مستطیلی برای میز، ساده ترین و خام ترین مدل است. اگر رویکرد جدی تری به مشکل دارید، قبل از استفاده از مدل مستطیل برای تعیین مساحت جدول، این مدل باید بررسی شود. بررسی ها را می توان به شرح زیر انجام داد: طول اضلاع مقابل جدول و همچنین طول مورب های آن را اندازه گیری کنید و آنها را با یکدیگر مقایسه کنید. اگر با دقت لازم، طول اضلاع مقابل و طول مورب ها به صورت جفت با هم برابر باشند، سطح میز را واقعاً می توان به عنوان یک مستطیل در نظر گرفت. در غیر این صورت، مدل مستطیل باید رد شود و با یک مدل چهار ضلعی عمومی جایگزین شود. با نیاز به دقت بالاتر، ممکن است لازم باشد مدل را حتی بیشتر اصلاح کرد، به عنوان مثال، برای در نظر گرفتن گرد کردن گوشه‌های میز.

با این مثال ساده نشان داده شد که مدل ریاضیبه طور منحصر به فرد توسط شی، فرآیند یا سیستم مورد مطالعه تعیین نمی شود. برای همان جدول می‌توانیم یک مدل مستطیل، یا یک مدل پیچیده‌تر از یک چهارضلعی کلی، یا یک چهارضلعی با گوشه‌های گرد اتخاذ کنیم. انتخاب یک یا مدل دیگر بر اساس نیاز به دقت تعیین می شود. با افزایش دقت، مدل باید با در نظر گرفتن ویژگی های جدید و جدید شی، فرآیند یا سیستم مورد مطالعه، پیچیده شود.

بیایید مثال دیگری را در نظر بگیریم: مطالعه حرکت مکانیسم میل لنگ (شکل 2.1).

برنج. 2.1.

برای تحلیل سینماتیکی این مکانیسم، ابتدا لازم است مدل سینماتیکی آن ساخته شود. برای این:

1. ما مکانیسم را با نمودار سینماتیکی آن جایگزین می کنیم، جایی که همه پیوندها جایگزین می شوند روابط سخت;
2. با استفاده از این نمودار، معادله حرکت مکانیسم را استخراج می کنیم.
3. با افتراق دومی، معادلات سرعت و شتاب را به دست می آوریم که معادلات دیفرانسیل مرتبه 1 و 2 هستند.

بیایید این معادلات را بنویسیم:

که در آن C 0 موقعیت سمت راست نوار لغزنده C است:

r - شعاع میل لنگ AB;

l - طول شاتون BC؛

- زاویه چرخش میل لنگ؛

اخذ شده معادلات ماورایییک مدل ریاضی از حرکت مکانیزم میل لنگ محوری تخت، بر اساس فرضیات ساده‌سازی زیر ارائه کنید:

1. ما علاقه ای به اشکال ساختاری و آرایش توده های موجود در مکانیسم اجسام نداشتیم و تمام بدنه های مکانیسم را با قطعات مستقیم جایگزین کردیم. در واقع، تمام پیوندهای مکانیسم دارای جرم و شکل نسبتاً پیچیده ای هستند. به عنوان مثال، شاتون یک مجموعه پیچیده است که شکل و ابعاد آن، البته بر حرکت مکانیسم تأثیر می گذارد.
2. هنگام جابجایی مکانیسم مورد نظر، خاصیت ارتجاعی بدنه های موجود در مکانیسم را نیز در نظر نگرفتیم، یعنی. همه پیوندها به عنوان اجسام کاملاً صلب انتزاعی در نظر گرفته شدند. در واقع، تمام اجسام موجود در مکانیسم، اجسام الاستیک هستند. هنگامی که مکانیسم حرکت می کند، آنها به نوعی تغییر شکل می دهند و حتی ممکن است ارتعاشات الاستیک در آنها ایجاد شود. البته همه اینها بر حرکت مکانیسم نیز تأثیر می گذارد.
3. ما خطای ساخت پیوندها، شکاف های جفت سینماتیکی A، B، C و غیره را در نظر نگرفتیم.

بنابراین، لازم است یک بار دیگر تأکید کنیم که هر چه الزامات برای دقت نتایج حل یک مشکل بیشتر باشد، نیاز به در نظر گرفتن زمانی بیشتر می شود. ساخت یک مدل ریاضیویژگی های شی، فرآیند یا سیستم مورد مطالعه. با این حال، توقف به موقع در اینجا مهم است، زیرا دشوار است مدل ریاضیمی تواند به یک مشکل دشوار برای حل تبدیل شود.

زمانی که قوانینی که رفتار و خصوصیات یک شی، فرآیند یا سیستم را تعیین می‌کنند، به‌خوبی شناخته شده باشند و تجربه عملی گسترده‌ای در کاربرد آن‌ها وجود داشته باشد، یک مدل به راحتی ساخته می‌شود.

زمانی که دانش ما در مورد شی، فرآیند یا سیستم مورد مطالعه ناکافی باشد، وضعیت پیچیده‌تری ایجاد می‌شود. در این مورد، زمانی که ساخت یک مدل ریاضیلازم است مفروضات اضافی که در ماهیت فرضیه ها باشد، ارائه شود، چنین مدلی فرضی نامیده می شود. نتایج به دست آمده در نتیجه مطالعه چنین مدل فرضی مشروط است. برای تأیید نتایج، لازم است نتایج مطالعه مدل در رایانه با نتایج یک آزمایش در مقیاس کامل مقایسه شود. بنابراین، مسئله کاربردی بودن یک مدل ریاضی خاص برای مطالعه شی، فرآیند یا سیستم مورد بررسی، یک سوال ریاضی نیست و نمی توان آن را با روش های ریاضی حل کرد.

معیار اصلی حقیقت آزمایش است، تمرین به معنای وسیع کلمه.

ساخت یک مدل ریاضیدر وظایف کاربردی - یکی از پیچیده ترین و بحرانی ترین مراحل کار. تجربه نشان می دهد که در بسیاری از موارد انتخاب مدل مناسب به معنای حل مشکل بیش از نصف است. سختی این مرحله این است که نیاز به ترکیبی از دانش ریاضی و خاص دارد. بنابراین، بسیار مهم است که ریاضیدانان هنگام حل مسائل کاربردی، دانش خاصی در مورد شی داشته باشند و شرکای آنها، متخصصان، فرهنگ ریاضی خاصی، تجربه تحقیق در زمینه خود، دانش رایانه و برنامه نویسی داشته باشند.