یک تابع بسازید

ما خدماتی را برای ترسیم نمودارهای تابع به صورت آنلاین مورد توجه شما قرار می دهیم که تمام حقوق آن متعلق به شرکت است دسموس. برای وارد کردن توابع از ستون سمت چپ استفاده کنید. می توانید آن را به صورت دستی یا با وارد کنید صفحه کلید مجازیدر پایین پنجره برای بزرگ کردن پنجره نمودار، می توانید هم ستون سمت چپ و هم صفحه کلید مجازی را پنهان کنید.

مزایای نمودار آنلاین

• نمایش بصری توابع معرفی شده
• ساخت نمودارهای بسیار پیچیده
• رسم نمودارهای تعریف شده ضمنی (مثلاً بیضی x^2/9+y^2/16=1)
• امکان ذخیره نمودارها و دریافت لینک به آنها که در اینترنت در دسترس همه قرار می گیرد
• کنترل مقیاس، رنگ خط
• توانایی رسم نمودارها بر اساس نقاط، استفاده از ثابت ها
• ساخت چندین نمودار از توابع به طور همزمان
• رسم در مختصات قطبی (استفاده از r و θ(\theta))

با ما ساختن نمودارهایی با پیچیدگی های مختلف به صورت آنلاین آسان است. ساخت و ساز فورا انجام می شود. این سرویس برای یافتن نقاط تقاطع توابع، برای نمایش نمودارها برای حرکت بیشتر آنها مورد تقاضا است سند وردبه عنوان مثال در حل مسائل، برای تجزیه و تحلیل ویژگی های رفتاری نمودارهای تابع. بهترین مرورگر برای کار با نمودارها در این صفحه از سایت می باشد گوگل کروم. هنگام استفاده از سایر مرورگرها، عملکرد صحیح تضمین نمی شود.

بیایید با مفهوم برهم نهی (یا تحمیل) توابع آشنا شویم که به این معناست که به جای آرگومان یک تابع معین، تابعی از آرگومان دیگر جایگزین می شود. به عنوان مثال، برهم نهی توابع یک تابع می دهد؛ به طور مشابه، توابع به دست می آیند

به طور کلی، فرض کنید یک تابع در یک دامنه تعریف شده است و یک تابع در یک دامنه تعریف شده است و تمام مقادیر آن در دامنه وجود دارد، سپس متغیر z، به قول خودشان، از طریق y، خود تابعی از

با توجه به داده شده از، ابتدا مقدار y را از Y مربوط به آن پیدا کنید (طبق قاعده مشخص شده با علامت)، و سپس مقدار مربوطه y را تنظیم کنید (طبق قانون،

با یک علامت مشخص می شود و مقدار آن مطابق با x انتخابی در نظر گرفته می شود. تابع به دست آمده از یک تابع یا یک تابع پیچیده، نتیجه برهم نهی توابع است

این فرض که مقادیر یک تابع از ناحیه Y که تابع در آن تعریف شده است فراتر نمی رود، بسیار مهم است: اگر حذف شود، ممکن است پوچ باشد. به عنوان مثال، با فرض اینکه بتوانیم فقط آن دسته از مقادیر x را در نظر بگیریم که در غیر این صورت این عبارت برای آنها معنی ندارد.

ما در اینجا مفید می دانیم که تأکید کنیم که مشخص کردن یک تابع به عنوان پیچیده با ماهیت وابستگی عملکردی z به x ارتباط ندارد، بلکه فقط با نحوه تعیین این وابستگی مرتبط است. به عنوان مثال، اجازه دهید برای y برای Then

در اینجا معلوم شد که تابع به عنوان یک تابع پیچیده داده شده است.

اکنون که مفهوم برهم نهی توابع به طور کامل توضیح داده شده است، می‌توانیم به طور دقیق ساده‌ترین دسته از توابع را که در تحلیل مورد مطالعه قرار می‌گیرند مشخص کنیم: اینها، اول از همه، توابع ابتدایی ذکر شده در بالا و سپس همه آنهایی هستند که از آنها به دست می‌آیند. آنها با استفاده از چهار عمل حسابی و برهم نهی، به طور متوالی تعداد محدودی بار اعمال می شوند. آنها در مورد آنها می گویند که آنها از طریق ابتدایی در شکل نهایی بیان می شوند; گاهی اوقات به همه آنها ابتدایی نیز گفته می شود.

متعاقباً با تسلط بر یک دستگاه تحلیلی پیچیده تر (سری های بی نهایت، انتگرال ها)، با توابع دیگری نیز آشنا خواهیم شد که نقش مهمی در تجزیه و تحلیل دارند، اما در حال حاضر فراتر از کلاس توابع ابتدایی هستند.

بگذارید 2 عملکرد وجود داشته باشد:

: A→B و g: D→F

اجازه دهید دامنه D تابع g در دامنه تابع f (DB) قرار گیرد. آن وقت می توان تعریف کرد ویژگی جدید – برهم نهی (ترکیب، تابع پیچیده)توابع f و g: z= g( (ایکس)).

مثال ها. f(x)=x 2، g(x)=e x. f:R→R، g:R→R .

(g(x))=e 2x , g((x))=.

تعریف

اجازه دهید دو تابع. سپس ترکیب آنها تابعی است که با برابری تعریف شده است:

خواص ترکیب

ترکیب انجمنی است:

اگر یک اف= شناسه ایکس- نقشه برداری هویت در ایکس، به این معنا که

.

اگر یک جی= شناسه Y- نقشه برداری هویت در Y، به این معنا که

.

خواص اضافی

مجموعه های قابل شمارش و غیرقابل شمارش

اگر بتوان بین این مجموعه ها تناظر یک به یک برقرار کرد، دو مجموعه متناهی از تعداد مساوی عنصر تشکیل شده است. تعداد عناصر یک مجموعه محدود، کاردینالیته مجموعه است.

برای یک مجموعه بی نهایت، می توان یک تناظر یک به یک بین کل مجموعه و قسمت آن برقرار کرد.

ساده ترین مجموعه های نامتناهی مجموعه N است.

تعریف.مجموعه های A و B نامیده می شوند معادل(AB) در صورتی که بتوان بین آنها مطابقت یک به یک برقرار کرد.

اگر دو مجموعه متناهی معادل باشند، آنگاه از همان تعداد عنصر تشکیل شده اند.

اگر مجموعه های معادل A و B دلخواه باشند، می گویند که A و B یکسان هستند قدرت. (قدرت = برابری).

برای مجموعه های محدود، مفهوم کاردینالیته با مفهوم تعداد عناصر در یک مجموعه منطبق است.

تعریف.مجموعه نامیده می شود قابل شمارشاگر بتوان بین آن و مجموعه اعداد طبیعی مطابقت یک به یک برقرار کرد. (یعنی یک مجموعه قابل شمارش نامتناهی است، معادل مجموعه N).

(یعنی تمام عناصر یک مجموعه قابل شمارش را می توان برشمرد).

ویژگی های رابطه هم ارزی

1) AA - بازتابی.

2) AB، سپس BA - تقارن.

3) AB و BC، سپس AC گذر است.

مثال ها.

1) n→2n، 2،4،6،… - اعداد طبیعی زوج

2) n→2n-1، 1،3،5،… اعداد طبیعی فرد هستند.

ویژگی های مجموعه های قابل شمارش.

1. بی نهایت زیر مجموعه از یک مجموعه قابل شمارش قابل شمارش هستند.

اثبات. زیرا A قابل شمارش است، سپس A: x 1، x 2، ... - A در N نمایش داده می شود.

ВА، В: →1،→2،… - به هر عنصر В یک عدد طبیعی اختصاص می‌یابد، یعنی. B به N نگاشت شده است. بنابراین، B قابل شمارش است. Ch.t.d.

2. اتحاد یک سیستم محدود (قابل شمارش) از مجموعه های قابل شمارش قابل شمارش است.

مثال ها.

1. مجموعه اعداد صحیح Z قابل شمارش است، زیرا مجموعه Z را می توان به عنوان اتحادیه مجموعه های قابل شمارش A و B نشان داد، که در آن A: 0،1،2،.. و B: -1،-2،-3،…

2. بسیاری منظمجفت ((m,n): m,nZ) (یعنی (1,3)≠(3,1)).

3 (!) . مجموعه اعداد گویا قابل شمارش است.

Q=. می توان یک تناظر یک به یک بین مجموعه کسرهای تقلیل ناپذیر Q و مجموعه جفت های مرتب شده برقرار کرد:

که مجموعه Q معادل مجموعه ((p,q))((m,n)) است.

مجموعه ((m,n)) - مجموعه تمام جفت های مرتب شده - قابل شمارش است. در نتیجه، مجموعه ((p,q)) نیز قابل شمارش است و از این رو Q قابل شمارش است.

تعریف.یک عدد غیر منطقی یک اعشار بی نهایت دلخواه است غیر دوره ایکسری، یعنی  0 ,  1  2 …

مجموعه تمام کسرهای اعشاری مجموعه را تشکیل می دهند اعداد واقعی (واقعی).

مجموعه اعداد غیر منطقی غیرقابل شمارش است.

قضیه 1. مجموعه اعداد حقیقی از بازه (0،1) یک مجموعه غیرقابل شمارش است.

اثبات. برعکس فرض کنید، یعنی. که تمام اعداد در بازه (0،1) را می توان شمارش کرد. سپس با نوشتن این اعداد به صورت کسرهای اعشاری نامتناهی، دنباله را بدست می آوریم:

x 1 \u003d 0، a 11 a 12 ... a 1n ...

x 2 \u003d 0، a 21 a 22 ... a 2n ...

…………………..

x n = 0، a n 1 a n 2 …a nn …

……………………

اکنون یک عدد واقعی x=0,b 1 b 2 ... b n ... را در نظر بگیرید، که در آن b 1 هر عددی غیر از a 11 است، (0 و 9)، b 2 - هر عددی غیر از a 22، (0) و 9) ,…, b n - هر رقمی غیر از a nn , (0 و 9).

که x(0,1)، اما xx i (i=1,…,n) زیرا در غیر این صورت، b i =a ii. به تناقض رسیدند. Ch.t.d.

قضیه 2.هر بازه ای از محور واقعی یک مجموعه غیرقابل شمارش است.

قضیه 3.مجموعه اعداد واقعی (واقعی) غیرقابل شمارش است.

به هر مجموعه ای که معادل مجموعه اعداد حقیقی باشد گفته می شود قدرت های پیوسته(lat. Continuum - پیوسته، پیوسته).

مثال. اجازه دهید نشان دهیم که بازه دارای کاردینالیته پیوستار است.

تابع y \u003d tg x: → R بازه را در کل خط اعداد (گراف) نشان می دهد.

موضوع: "عملکرد: مفهوم، روش های انتساب، ویژگی های اصلی. تابع معکوس. برهم نهی توابع."

خلاصه درس:

"چیزی را مطالعه کنید و به آن فکر نکنید

آموخته شده - کاملاً بی فایده است.

بدون مطالعه به چیزی فکر کنید

موضوع اولیه فکر

کنفوسیوس

هدف و وظایف روانشناختی و تربیتی درس:

1) هدف آموزشی عمومی (هنجاری).: تعریف و ویژگی های یک تابع را با دانش آموزان تکرار کنید. مفهوم برهم نهی توابع را معرفی کنید.

2) وظایف رشد ریاضی دانش آموزان: در مواد آموزشی و ریاضی غیر استاندارد، توسعه تجربه ذهنی دانش آموزان، ساختار شناختی معنادار هوش ریاضی آنها، از جمله توانایی تفکر منطقی-قیاسی و استقرایی، تحلیلی و ترکیبی برگشت پذیر، به جبری و مجازی- ادامه یابد. تفکر گرافیکی، به تعمیم و مفهوم سازی معنادار، به تأمل و استقلال به عنوان یک توانایی فراشناختی دانش آموزان. ادامه توسعه فرهنگ گفتار نوشتاری و شفاهی به عنوان مکانیسم های روانشناختی هوش آموزشی و ریاضی.

3) وظایف آموزشی: ادامه آموزش شخصی دانش آموزان با علاقه شناختی به ریاضیات، مسئولیت پذیری، احساس وظیفه، استقلال تحصیلی، توانایی ارتباطی برای همکاری با یک گروه، معلم، همکلاسی. توانایی اتولوژیک برای فعالیت آموزشی و ریاضی رقابتی، تلاش برای نتایج بالا و بالاتر (انگیزه اکمئیک).

نوع درس: یادگیری مطالب جدید با توجه به معیار محتوای ریاضی پیشرو - یک درس عملی. با توجه به معیار نوع تعامل اطلاعاتی دانش آموزان و معلم - درس همکاری.

تجهیزات درسی:

1. ادبیات آموزشی:

1) Kudryavtsev از تجزیه و تحلیل ریاضی: Proc. برای دانشجویان دانشگاه ها و دانشگاه ها. در 3 جلد T. 3. - 2nd ed., Revised. و اضافی - م .: بالاتر. مدرسه، 1989. - 352 ص. : بیمار

2) مسائل و تمرینات دمیدویچ در تحلیل ریاضی. – ویرایش نهم - M .: انتشارات "Nauka"، 1977.

2. تصاویر.

در طول کلاس ها.

1. اعلام موضوع و هدف آموزشی اصلی درس; تحریک احساس وظیفه، مسئولیت، علاقه شناختی دانش آموزان در آمادگی برای جلسه.

2. تکرار مطالب در مورد سوالات.

الف) تابع را تعریف کنید.

یکی از مفاهیم اساسی ریاضی، مفهوم تابع است. مفهوم تابع با برقراری رابطه بین عناصر دو مجموعه همراه است.

اجازه دهید دو ست غیر خالی و داده شود. تطبیق f که هر عنصر را با یک و تنها یک عنصر مطابقت دهد نامیده می شود عملکرد و y = f(x) نوشته می شود. آنها همچنین می گویند که تابع f نمایش می دهد تنظیم کنید.

https://pandia.ru/text/79/018/images/image003_18.gif" width="63" height="27">.gif" width="59" height="26"> نامیده می شود مجموعه ای از ارزش هاتابع f و با E(f) نشان داده می شود.

ب) توابع عددی. نمودار تابع راه های تنظیم توابع

اجازه دهید یک تابع داده شود.

اگر عناصر مجموعه ها و اعداد حقیقی باشند، تابع f فراخوانی می شود تابع عددی . متغیر x نامیده می شود بحث و جدلیا یک متغیر مستقل، و y است عملکردیا متغیر وابسته(از x). در مورد خود کمیت های x و y گفته می شود که در هستند وابستگی عملکردی.

نمودار تابع y = f(x) مجموعه تمام نقاط صفحه Oxy است که برای هر کدام x مقدار آرگومان و y مقدار مربوط به تابع است.

برای تعریف تابع y = f(x)، باید قاعده ای را مشخص کنید که با دانستن x، مقدار مربوط به y را پیدا کنید.

سه روش رایج برای تعریف یک تابع وجود دارد: تحلیلی، جدولی، گرافیکی.

روش تحلیلی: تابع به صورت یک یا چند فرمول یا معادله مشخص می شود.

مثلا:

اگر دامنه تابع y = f(x) مشخص نشده باشد، فرض بر این است که با مجموعه تمام مقادیر آرگومان که فرمول مربوطه برای آن معنا دارد، مطابقت دارد.

روش تحلیلی برای تعریف یک تابع کامل ترین است، زیرا با روش های تجزیه و تحلیل ریاضی همراه است که به شما امکان می دهد تابع y = f (x) را به طور کامل کشف کنید.

روش گرافیکی: نمودار تابع را تنظیم می کند.

مزیت یک کار گرافیکی قابل مشاهده بودن آن است، عیب آن عدم دقت آن است.

روش جدولی: یک تابع با جدولی از یک سری مقادیر آرگومان و مقادیر تابع مربوطه مشخص می شود. به عنوان مثال، جداول شناخته شده مقادیر توابع مثلثاتی، جداول لگاریتمی.

ج) مشخصات اصلی تابع.

1. تابع y = f(x) تعریف شده روی مجموعه D فراخوانی می شود زوج ، در صورت رعایت شرایط و f(-x) = f(x); فرد ، در صورت رعایت شرایط و f(-x) = -f(x).

نمودار یک تابع زوج نسبت به محور Oy متقارن است و یک تابع فرد نسبت به مبدا متقارن است. به عنوان مثال، توابع حتی هستند. و y = sinx، https://pandia.ru/text/79/018/images/image014_3.gif" width="73" height="29"> توابع کلی هستند، یعنی نه زوج و نه فرد.

2. اجازه دهید تابع y = f(x) در مجموعه D تعریف شود و اجازه دهید. اگر برای هر یک از مقادیر آرگومان ها، نابرابری دلالت بر نابرابری دارد: ، سپس تابع فراخوانی می شود افزایش می یابد در مجموعه؛ اگر ، سپس تابع فراخوانی می شود بدون کاهش در https://pandia.ru/text/79/018/images/image021_1.gif" width="117" height="28 src="> سپس تابع فراخوانی می شود. رو به زوال بر روی ؛ - غیر افزایشی .

عملکردهای افزایشی، غیرافزاینده، کاهشی و غیرکاهشی در مجموعه https://pandia.ru/text/79/018/images/image023_0.gif" width="13" height="13">مقدار D (x +T)D و برابری f(x+T) = f(x) برقرار است.

برای رسم یک تابع تناوبی از دوره T، کافی است آن را بر روی هر قطعه ای از طول T رسم کنیم و به طور دوره ای آن را به کل دامنه تعریف گسترش دهیم.

ما ویژگی های اصلی یک تابع تناوبی را یادداشت می کنیم.

1) مجموع جبری توابع تناوبی با دوره T یکسان، تابع تناوبی با دوره T است.

2) اگر تابع f(x) دارای دوره T باشد، تابع f(ax) دارای دوره T/a است.

د) تابع معکوس.

اجازه دهید تابع y = f(x) با دامنه تعریف D و مجموعه مقادیر E..gif" width="48" height="22"> داده شود، سپس تابع x = z(y) با دامنه تعریف E و مجموعه مقادیر D چنین تابع z(y) نامیده می شود معکوس به تابع f(x) و به شکل زیر نوشته می شود: . توابع y = f(x) و x = z(y) به طور متقابل معکوس گفته می شود. برای یافتن تابع x = z(y) معکوس تابع y = f(x)، حل معادله f(x) = y نسبت به x کافی است.

مثال ها:

1. برای تابع y = 2x، تابع معکوس تابع x = ½ y است.

2. برای عملکرد تابع معکوس تابع است.

از تعریف تابع معکوس چنین برمی‌آید که یک تابع y = f(x) معکوس دارد اگر و فقط اگر f(x) مطابقت یک به یک بین مجموعه‌های D و E را تعریف کند. یک تابع کاملاً یکنواخت معکوس دارد . علاوه بر این، اگر تابع افزایش (کاهش) شود، تابع معکوس نیز افزایش می یابد (کاهش).

3. یادگیری مطالب جدید.

عملکرد پیچیده

اجازه دهید تابع y = f(u) در مجموعه D و تابع u = z(x) در مجموعه و برای مقدار مربوطه تعریف شود. . سپس مجموعه یک تابع u = f(z(x)) دارد که فراخوانی می شود تابع پیچیده از x (یا برهم نهی توابع داده شده، یا تابع از تابع ).

متغیر u = z(x) فراخوانی می شود استدلال میانیتابع پیچیده

برای مثال، تابع y = sin2x برهم نهی دو تابع y = sinu و u = 2x است. یک تابع پیچیده می تواند چندین آرگومان میانی داشته باشد.

4. حل چند مثال در تخته سیاه.

5. نتیجه گیری درس.

1) نتایج نظری و کاربردی جلسه عملی; ارزیابی متمایز از سطح تجربه ذهنی دانش آموزان؛ سطح جذب آنها از موضوع، شایستگی، کیفیت گفتار ریاضی شفاهی و نوشتاری؛ سطح خلاقیت آشکار؛ سطح استقلال و تأمل؛ سطح ابتکار، علاقه شناختی به روش های خاصی از تفکر ریاضی؛ سطوح همکاری، رقابت فکری، تلاش برای عملکرد بالافعالیت های آموزشی و ریاضی و غیره؛

2) اعلام نمرات مستدل، نکات درسی.

برهم نهی توابع

برهم نهی توابع f1، …، fm تابع f است که با جایگزینی این توابع به یکدیگر و تغییر نام متغیرها به دست می آید.

اجازه دهید دو نگاشت و علاوه بر این، یک مجموعه غیر خالی وجود داشته باشد. سپس برهم نهی یا ترکیب توابع تابعی است که با تساوی برای هر کدام تعریف می شود.

دامنه تعریف برهم نهی یک مجموعه است.

تابع بیرونی و تابع درونی برای برهم نهی نامیده می شود.

توابع ارائه شده به عنوان ترکیبی از "ساده تر" توابع پیچیده نامیده می شوند.

نمونه هایی از استفاده از برهم نهی عبارتند از: حل یک سیستم معادلات با روش جایگزینی. یافتن مشتق یک تابع؛ یافتن مقدار یک عبارت جبری با جایگزینی مقادیر متغیرهای داده شده در آن.

توابع بازگشتی

بازگشت به روشی برای تعریف یک تابع است که در آن مقادیر تابعی که برای مقادیر دلخواه آرگومان ها تعریف می شود به روشی شناخته شده از طریق مقادیر تابعی که برای مقادیر کوچکتر تعریف می شود بیان می شود. از استدلال ها

تابع بازگشتی اولیه

تعریف مفهوم تابع بازگشتی اولیه استقرایی است. این شامل تعیین یک کلاس از توابع بازگشتی اولیه اولیه و دو عملگر (Superposition و بازگشت اولیه) است که امکان ساخت توابع بازگشتی اولیه جدید را بر اساس توابع موجود فراهم می کند.

توابع بازگشتی اولیه اولیه شامل سه نوع تابع زیر است:

صفر عملکرد-- عملکردبدون استدلال، همیشه بازگشت 0 .

یک تابع توالی تک متغیری که هر عدد طبیعی را به عدد طبیعی بلافاصله پس از آن نسبت می دهد.

توابع، که در آن، از n متغیر، که به هر مجموعه مرتب شده ای از اعداد طبیعی یک عدد از این مجموعه را اختصاص می دهند.

عملگرهای جایگزینی و بازگشتی اولیه به صورت زیر تعریف می شوند:

عملگر برهم نهی (گاهی اوقات یک عملگر جایگزین). اجازه دهید تابعی از m متغیرها و مجموعه‌ای مرتب از توابع غیرمتغیرها باشد. سپس نتیجه برهم نهی توابع در یک تابع تابعی از متغیرها است که یک عدد را با هر مجموعه منظمی از اعداد طبیعی مرتبط می کند.

عملگر بازگشتی اولیه اجازه دهید تابعی از n متغیر باشد و تابعی از متغیرها باشد. سپس نتیجه اعمال عملگر بازگشتی اولیه به یک جفت توابع، تابع متغیر نوع است.

در این تعریف، یک متغیر را می توان به عنوان یک شمارنده تکرار، -- به عنوان عملکرد اصلیدر ابتدای فرآیند تکراری، صدور یک دنباله مشخص از توابع متغیرها، با شروع و -- به عنوان عملگر که متغیرهای ورودی، شماره مرحله تکرار، تابع در این مرحله تکرار و برگرداندن تابع در مرحله تکرار بعدی

مجموعه توابع بازگشتی اولیه حداقل مجموعه ای است که شامل همه است توابع اساسیو تحت عملگرهای جایگزینی مشخص و بازگشتی اولیه بسته شد.

از نظر برنامه نویسی امری -- توابع بازگشتی اولیه مربوط به بلوک های برنامه ای است که فقط از آنها استفاده می کنند عملیات حسابی، همچنین عملگر شرطیو یک عملگر حلقه حسابی (عملگر حلقه ای که در آن تعداد تکرارها در شروع حلقه مشخص است). اگر برنامه نویس شروع به استفاده از عملگر حلقه while کند، که در آن تعداد تکرارها از قبل مشخص نیست و در اصل می تواند بی نهایت باشد، به کلاس توابع جزئی بازگشتی می رود.

اجازه دهید به تعدادی از توابع محاسباتی معروف که به طور اولیه بازگشتی هستند اشاره کنیم.

تابع جمع دو عدد طبیعی () را می توان به عنوان یک تابع بازگشتی اولیه از دو متغیر در نظر گرفت که با اعمال عملگر بازگشتی اولیه به توابع به دست می آید و دومی با جایگزینی تابع اصلی به تابع اصلی به دست می آید:

ضرب دو عدد طبیعی را می توان تابع بازگشتی اولیه دو متغیر دانست که در نتیجه اعمال عملگر بازگشتی اولیه به توابع به دست می آید و دومی با جایگزینی توابع اصلی و در تابع جمع به دست می آید:

تفاوت متقارن (مقدار مطلق تفاوت) دو عدد طبیعی () را می توان به عنوان تابع بازگشتی اولیه دو متغیر در نظر گرفت که با اعمال جانشینی ها و بازگشت های اولیه زیر به دست می آید: