مجموع یک تصاعد حسابی.

مجموع یک تصاعد حسابی چیز ساده ای است. هم در معنا و هم در فرمول. اما انواع و اقسام وظایف در این موضوع وجود دارد. از ابتدایی تا کاملا جامد.

ابتدا به معنی و فرمول جمع می پردازیم. و بعد تصمیم می گیریم برای دلخوشی خودت.) معنی جمع به همین سادگی است. برای یافتن مجموع یک پیشروی حسابی، فقط باید تمام اعضای آن را با دقت اضافه کنید. اگر این عبارات کم هستند، می توانید بدون هیچ فرمولی اضافه کنید. اما اگر زیاد باشد، یا زیاد ... اضافه آزاردهنده است.) در این صورت، فرمول ذخیره می کند.

فرمول جمع ساده است:

بیایید بفهمیم که چه نوع حروفی در فرمول گنجانده شده است. این خیلی چیزها را روشن خواهد کرد.

S n مجموع یک پیشرفت حسابی است. نتیجه اضافه همهاعضا، با اولینتوسط آخر.مهم است. دقیقا جمع کنید همهاعضا در یک ردیف، بدون شکاف و پرش. و دقیقاً شروع از اولین.در مسائلی مانند یافتن مجموع ترم های سوم و هشتم، یا مجموع ترم های پنج تا بیستم، استفاده مستقیم از فرمول ناامید کننده خواهد بود.)

یک 1 - اولینعضو پیشرفت اینجا همه چیز واضح است، ساده است اولینشماره ردیف.

a n- آخرعضو پیشرفت آخرین شماره ردیف. نام چندان آشنا نیست، اما، هنگامی که به مقدار اعمال می شود، بسیار مناسب است. بعد خودت خواهی دید.

n شماره آخرین عضو است. درک این نکته مهم است که در فرمول این عدد با تعداد اعضای اضافه شده منطبق است.

بیایید مفهوم را تعریف کنیم آخرعضو a n. سوال تکمیلی: چه نوع عضوی خواهد بود آخر،اگر داده شود بی پایانپیشرفت حسابی؟

برای یک پاسخ مطمئن، باید معنای ابتدایی یک پیشرفت حسابی را درک کنید و ... تکلیف را با دقت بخوانید!)

در کار یافتن مجموع یک پیشروی حسابی، آخرین جمله همیشه ظاهر می شود (مستقیم یا غیر مستقیم)، که باید محدود شود.در غیر این صورت، یک مقدار محدود و مشخص فقط وجود نداردبرای حل، مهم نیست که چه نوع پیشرفتی داده می شود: متناهی یا نامتناهی. فرقی نمی کند چگونه داده شود: با یک سری اعداد یا با فرمول عضو n ام.

مهمترین چیز این است که درک کنید که فرمول از اولین ترم پیشرفت به ترم با عدد کار می کند nدر واقع، نام کامل فرمول به صورت زیر است: مجموع n جمله اول یک پیشرفت حسابی.تعداد این اعضای اولیه، یعنی. n، صرفاً توسط وظیفه تعیین می شود. در کار، همه این اطلاعات ارزشمند اغلب رمزگذاری می شوند، بله ... اما هیچ، در مثال های زیر ما این اسرار را فاش خواهیم کرد.)

نمونه هایی از کارها برای مجموع یک پیشرفت حسابی.

اول از همه، اطلاعات مفید:

مشکل اصلی در کارها برای مجموع یک پیشرفت حسابی، تعیین صحیح عناصر فرمول است.

نویسندگان تکالیف این عناصر را با تخیل بی حد و حصر رمزگذاری می کنند.) نکته اصلی در اینجا این است که نترسید. با درک ماهیت عناصر، فقط رمزگشایی آنها کافی است. بیایید به چند نمونه با جزئیات نگاه کنیم. بیایید با یک کار مبتنی بر یک GIA واقعی شروع کنیم.

1. پیشرفت محاسباتی با شرط داده می شود: a n = 2n-3.5. مجموع 10 جمله اول را پیدا کنید.

آفرین. آسان.) برای تعیین مقدار طبق فرمول چه چیزهایی باید بدانیم؟ عضو اول یک 1، ترم آخر a n، بله شماره ترم آخر n

آخرین شماره عضو را از کجا می توان دریافت کرد n? بله، وجود دارد، در شرایط! میگه جمع رو پیدا کن 10 عضو اولخوب، چه عددی خواهد بود آخر،عضو دهم؟) باور نمی کنید، شماره او دهم است!) بنابراین، به جای a nما به فرمول جایگزین می کنیم یک 10، اما به جای آن n- ده باز هم تعداد آخرین عضو با تعداد اعضا یکسان است.

باید مشخص شود یک 1و یک 10. این به راحتی با فرمول جمله n که در بیان مسئله آورده شده است محاسبه می شود. نمی دانید چگونه آن را انجام دهید؟ از درس قبلی دیدن کنید، بدون این - هیچ چیز.

یک 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

یک 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

S n = S 10.

ما معنی تمام عناصر فرمول را برای مجموع یک پیشرفت حسابی فهمیدیم. باقی مانده است که آنها را جایگزین کنیم و بشماریم:

این تمام چیزی است که در آن وجود دارد. جواب: 75.

وظیفه دیگری بر اساس GIA است. کمی پیچیده تر:

2. با توجه به یک تصاعد حسابی (an)، که اختلاف آن 3.7 است. a 1 \u003d 2.3. مجموع 15 جمله اول را پیدا کنید.

بلافاصله فرمول جمع را می نویسیم:

این فرمول به ما اجازه می دهد تا مقدار هر عضو را با تعداد آن پیدا کنیم. ما به دنبال یک جایگزین ساده هستیم:

a 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

باقی مانده است که تمام عناصر موجود در فرمول را برای مجموع یک پیشرفت حسابی جایگزین کنیم و پاسخ را محاسبه کنیم:

جواب: 423.

به هر حال، اگر در فرمول جمع به جای a nفقط فرمول جمله n را جایگزین کنید، دریافت می کنیم:

ما موارد مشابه را ارائه می دهیم، یک فرمول جدید برای مجموع اعضای یک پیشرفت حسابی دریافت می کنیم:

همانطور که می بینید نیازی نیست نهمین عضو a n. در برخی کارها این فرمول کمک زیادی می کند، بله... می توانید این فرمول را به خاطر بسپارید. و شما به سادگی می توانید آن را در زمان مناسب پس بگیرید، مانند اینجا. از این گذشته ، فرمول جمع و فرمول ترم n را باید از هر نظر به خاطر بسپارید.)

اکنون کار به صورت رمزگذاری کوتاه:

3. مجموع تمام اعداد دو رقمی مثبت را که مضرب سه هستند بیابید.

چگونه! نه عضو اول، نه آخرین، نه هیچ پیشرفتی... چگونه زندگی کنیم!؟

شما باید با سر خود فکر کنید و تمام عناصر حاصل از جمع یک پیشرفت حسابی را از شرایط بیرون بکشید. اعداد دو رقمی چیست - ما می دانیم. آنها از دو عدد تشکیل شده اند.) چه عددی دو رقمی خواهد بود اولین? 10، احتمالا.) آخرین چیزعدد دو رقمی؟ 99 البته! سه رقمی ها دنبالش می آیند...

مضرب سه... هوم... اینها اعدادی هستند که به طور مساوی بر سه بخش پذیرند، در اینجا! ده بر سه بخش پذیر نیست، 11 بخش پذیر نیست... 12... بخش پذیر است! بنابراین، چیزی در حال ظهور است. شما می توانید با توجه به شرایط مشکل یک سری بنویسید:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

آیا این سریال یک پیشروی حسابی خواهد بود؟ قطعا! هر ترم با ترم قبلی به شدت سه تفاوت دارد. اگر 2 یا 4 به عبارت اضافه شود، مثلاً نتیجه، یعنی. یک عدد جدید دیگر بر 3 تقسیم نمی شود. می توانید فوراً تفاوت پیشرفت حسابی به پشته را تعیین کنید: d = 3.مفید!)

بنابراین، می توانیم با خیال راحت برخی از پارامترهای پیشرفت را بنویسیم:

چه عددی خواهد بود nآخرین عضو؟ هر کسی که فکر می کند 99 به شدت در اشتباه است ... اعداد - آنها همیشه پشت سر هم می روند و اعضای ما از سه نفر برتر می پرند. مطابقت ندارند

در اینجا دو راه حل وجود دارد. یکی از راه ها برای افراد فوق سخت کوش است. می توانید پیشرفت، کل سری اعداد را نقاشی کنید و تعداد عبارت ها را با انگشت خود بشمارید.) راه دوم برای افراد متفکر است. شما باید فرمول ترم n را به خاطر بسپارید. اگر فرمول برای مشکل ما اعمال شود، دریافت می کنیم که 99 سی امین عضو پیشرفت است. آن ها n = 30.

ما به فرمول مجموع یک پیشرفت حسابی نگاه می کنیم:

ما نگاه می کنیم و خوشحال می شویم.) ما هر چیزی را که برای محاسبه مقدار لازم بود از شرط مشکل بیرون کشیدیم:

یک 1= 12.

یک 30= 99.

S n = S 30.

آنچه باقی می ماند، حساب ابتدایی است. اعداد موجود در فرمول را جایگزین کرده و محاسبه کنید:

جواب: 1665

نوع دیگری از پازل های محبوب:

4. یک پیشرفت حسابی داده می شود:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

مجموع عبارت های بیستم تا سی و چهارم را پیدا کنید.

فرمول جمع را نگاه می کنیم و ... ناراحت می شویم.) فرمول، یادآوری کنم، جمع را محاسبه می کند. از اولعضو و در مسئله باید مجموع را محاسبه کنید از بیستم ...فرمول کار نخواهد کرد

البته می توانید تمام مراحل را پشت سر هم رنگ کنید و اعضا را از 20 تا 34 قرار دهید. اما ... به نوعی احمقانه و برای مدت طولانی معلوم می شود، درست است؟)

راه حل ظریف تری وجود دارد. بیایید سریال خود را به دو قسمت تقسیم کنیم. قسمت اول خواهد بود از ترم اول تا نوزدهمبخش دوم - بیست تا سی و چهارواضح است که اگر مجموع عبارات قسمت اول را محاسبه کنیم S 1-19، آن را به مجموع اعضای قسمت دوم اضافه می کنیم S 20-34، مجموع پیشرفت از ترم اول تا سی و چهارم را بدست می آوریم S 1-34. مثل این:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

این نشان می دهد که برای پیدا کردن مجموع S 20-34با تفریق ساده قابل انجام است

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

هر دو مبلغ سمت راست در نظر گرفته شده است از اولعضو، یعنی فرمول جمع استاندارد کاملاً برای آنها قابل اجرا است. داریم شروع می کنیم؟

ما پارامترهای پیشرفت را از شرط وظیفه استخراج می کنیم:

d = 1.5.

یک 1= -21,5.

برای محاسبه مجموع 19 ترم اول و 34 ترم اول به ترم های 19 و 34 نیاز داریم. آنها را مطابق با فرمول n ام می شماریم، مانند مسئله 2:

یک 19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

یک 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

چیزی باقی نمانده است. مجموع 19 جمله را از مجموع 34 جمله کم کنید:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

جواب: 262.5

یک نکته مهم! یک ویژگی بسیار مفید در حل این مشکل وجود دارد. به جای محاسبه مستقیم آنچه شما نیاز دارید (S 20-34)،ما شمردیم چیزی که به نظر می رسد مورد نیاز نیست - S 1-19.و بعد تعیین کردند S 20-34، دور انداختن موارد غیر ضروری از نتیجه کامل. چنین "تظاهری با گوش" اغلب در پازل های شیطانی صرفه جویی می کند.)

در این درس، مسائلی را بررسی کردیم که برای درک معنای مجموع یک پیشروی حسابی کافی است. خوب، شما باید چند فرمول را بدانید.)

توصیه عملی:

هنگام حل هر مسئله ای برای مجموع یک پیشرفت حسابی، توصیه می کنم فوراً دو فرمول اصلی را از این مبحث بنویسید.

فرمول nامین عضو:

این فرمول ها بلافاصله به شما می گویند که به دنبال چه چیزی باشید، در کدام جهت فکر کنید تا مشکل را حل کنید. کمک می کند.

و اکنون وظایف برای راه حل مستقل.

5- مجموع تمام اعداد دو رقمی که بر سه بخش پذیر نیستند را بیابید.

جالب است؟) اشاره در یادداشت مشکل 4 پنهان است. خوب، مشکل 3 کمک خواهد کرد.

6. پیشرفت محاسباتی با شرط داده می شود: a 1 =-5.5; a n+1 = a n +0.5. مجموع 24 جمله اول را پیدا کنید.

غیر معمول؟) این یک فرمول تکراری است. می توانید در درس قبلی در مورد آن مطالعه کنید. پیوند را نادیده نگیرید، چنین پازل هایی اغلب در GIA یافت می شوند.

7. واسیا برای تعطیلات پول پس انداز کرد. به اندازه 4550 روبل! و تصمیم گرفتم به عزیزترین فرد (خودم) چند روز خوشبختی بدهم. زیبا زندگی کن بدون اینکه چیزی از خودت انکار کنی. در روز اول 500 روبل خرج کنید و در هر روز بعد 50 روبل بیشتر از روز قبل خرج کنید! تا زمانی که پول تمام شود. واسیا چند روز خوشبختی داشت؟

آیا دشوار است؟) یک فرمول اضافی از کار 2 کمک خواهد کرد.

پاسخ ها (به هم ریخته): 7، 3240، 6.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

پاسخ: سریال از هم جدا می شود.

مثال شماره 3

مجموع سری $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ را پیدا کنید.

از آنجایی که حد پایین تر جمع 1 است، عبارت رایج سری زیر علامت جمع نوشته می شود: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. nامین مجموع جزئی سری را بسازید، یعنی. مجموع اولین $n$ اعضای سری عددی داده شده:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

اینکه چرا دقیقاً $\frac(2)(3\cdot 5)$ می نویسم و ​​نه $\frac(2)(15)$، در ادامه روایت مشخص خواهد شد. با این حال، ثبت یک مبلغ جزئی ما را یک ذره به هدف نزدیک نکرد. پس از همه، ما باید $\lim_(n\to\infty)S_n$ را پیدا کنیم، اما اگر فقط بنویسیم:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\راست)، $$

آنگاه این رکورد که از نظر شکل کاملاً صحیح است، اساساً چیزی به ما نخواهد داد. برای یافتن حد، ابتدا باید عبارت جمع جزئی را ساده کرد.

یک تبدیل استاندارد برای این وجود دارد، که شامل تجزیه کسری $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ است که عبارت رایج سری را نشان می‌دهد، به کسرهای ابتدایی. یک موضوع جداگانه به موضوع تجزیه کسرهای گویا به کسرهای ابتدایی اختصاص داده شده است (مثلاً به مثال شماره 3 در این صفحه مراجعه کنید). با گسترش کسری $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ به کسرهای ابتدایی، داریم:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

شمارنده‌های کسری در سمت چپ و راست برابری حاصل را با هم برابر می‌کنیم:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

دو راه برای یافتن مقادیر $A$ و $B$ وجود دارد. می‌توانید براکت‌ها را باز کنید و شرایط را مجدداً مرتب کنید، یا به سادگی می‌توانید به جای $n$، مقادیر مناسبی را جایگزین کنید. فقط برای تغییر، در این مثال به راه اول می رویم و راه بعدی - مقادیر خصوصی $n$ را جایگزین می کنیم. با گسترش براکت ها و مرتب کردن مجدد عبارت ها، به دست می آوریم:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

در سمت چپ معادله، $n$ قبل از صفر قرار می گیرد. اگر دوست دارید، سمت چپ برابری را می توان برای وضوح به صورت $0\cdot n+ 2$ نشان داد. از آنجایی که در سمت چپ تساوی $n$ قبل از صفر است و در سمت راست برابری $2A+2B$ قبل از $n$ است، اولین معادله را داریم: $2A+2B=0$. بلافاصله هر دو قسمت این معادله را بر 2 تقسیم می کنیم و پس از آن $A+B=0$ بدست می آید.

از آنجایی که عبارت آزاد در سمت چپ برابری برابر با 2 است و در سمت راست تساوی عبارت آزاد برابر با $3A+B$ است، پس $3A+B=2$ است. بنابراین ما یک سیستم داریم:

$$ \چپ\(\begin(تراز شده) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end (تراز شده)\راست. $$

اثبات با روش استقراء ریاضی انجام خواهد شد. در مرحله اول، باید بررسی کنیم که آیا برابری مورد نیاز $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ برای $n=1$ برقرار است یا خیر. می دانیم که $S_1=u_1=\frac(2)(15)$، اما آیا عبارت $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ مقدار $\frac( 2 )(15)$ اگر $n=1$ در آن جایگزین شود؟ بیایید بررسی کنیم:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

بنابراین، برای $n=1$ برابری $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ برآورده می شود. این مرحله اول روش استقراء ریاضی را تکمیل می کند.

فرض کنید برای $n=k$ تساوی برقرار است، یعنی. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. اجازه دهید ثابت کنیم که برابری یکسان برای $n=k+1$ برقرار خواهد بود. برای انجام این کار، $S_(k+1)$ را در نظر بگیرید:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

از آنجایی که $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$، سپس $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. طبق فرض فوق $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$، بنابراین فرمول $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ می گیرد فرم:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

نتیجه گیری: فرمول $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ برای $n=k+1$ صادق است. بنابراین، با توجه به روش استقراء ریاضی، فرمول $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ برای هر $n\در N$ صادق است. برابری ثابت شده است.

در یک درس استاندارد در ریاضیات عالی، معمولاً بدون نیاز به هیچ مدرکی به «حذف» اصطلاحات لغو شده بسنده می شود. بنابراین ما یک عبارت برای نهمین جزئیمجموع: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. مقدار $\lim_(n\to\infty)S_n$ را بیابید:

نتیجه گیری: سری داده شده همگرا می شود و مجموع آن $S=\frac(1)(3)$ است.

راه دوم ساده کردن فرمول جمع جزئی است.

راستش من خودم این روش را ترجیح می دهم :) بیایید جمع جزئی را به صورت خلاصه بنویسیم:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

قبلاً دریافتیم که $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$، بنابراین:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\ چپ (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\راست). $$

مجموع $S_n$ شامل تعداد متناهی عبارت است، بنابراین می‌توانیم آن‌ها را هر طور که دوست داریم مرتب کنیم. من می خواهم ابتدا تمام شرایط فرم $\frac(1)(2k+1)$ را اضافه کنم و فقط سپس به شرایط فرم $\frac(1)(2k+3)$ بروم. این به این معنی است که مجموع جزئی را به این شکل نشان خواهیم داد:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

البته، نماد گسترش یافته بسیار ناخوشایند است، بنابراین برابری فوق را می توان فشرده تر نوشت:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

حال عبارات $\frac(1)(2k+1)$ و $\frac(1)(2k+3)$ را به یک شکل تبدیل می کنیم. من فکر می کنم راحت است که آن را مانند یک کسر بزرگتر به نظر برسانید (اگرچه می توانید از کوچکتر استفاده کنید، این یک موضوع سلیقه ای است). از آنجایی که $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (هرچه مخرج بزرگتر باشد، کسری کوچکتر است)، کسری $\frac(1) (2k+) را کاهش خواهیم داد. 3) $ به فرم $\frac(1)(2k+1)$.

من عبارت را در مخرج کسری $\frac(1)(2k+3)$ به صورت زیر ارائه می کنم:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

و مجموع $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ اکنون می تواند به این صورت نوشته شود:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1 )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

اگر برابری $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ سوالی ایجاد نمی کند، پس بیایید جلوتر برویم. در صورت وجود سؤال، لطفاً یادداشت را گسترش دهید.

چگونه مبلغ تبدیل شده را دریافت کردیم؟ نمایش/پنهان کردن

ما سری $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. بیایید به جای $k+1$ یک متغیر جدید معرفی کنیم - به عنوان مثال، $t$. بنابراین $t=k+1$.

متغیر قدیمی $k$ چگونه تغییر کرد؟ و از 1 به $n$ تغییر کرد. بیایید دریابیم که متغیر جدید $t$ چگونه تغییر خواهد کرد. اگر $k=1$، آنگاه $t=1+1=2$. اگر $k=n$، آنگاه $t=n+1$. بنابراین عبارت $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ اکنون است: $\sum\limits_(t=2)^(n + 1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$

مجموع $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$ را داریم. سوال: آیا مهم است که از کدام حرف در این جمع استفاده شود؟ :) به طور معمول با نوشتن حرف $k$ به جای $t$، نتیجه زیر را بدست می آوریم:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

به این ترتیب برابری $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1) \frac(1)(2k+1)$ بدست می آید.

بنابراین، مجموع جزئی را می توان به شکل زیر نشان داد:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1) ). $$

توجه داشته باشید که مجموع $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ و $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1) )(2k+1)$ فقط در حدود جمع بندی متفاوت است. بیایید این محدودیت ها را یکسان کنیم. با "گرفتن" اولین عنصر از مجموع $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ دریافت می کنیم:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

با "گرفتن" آخرین عنصر از مجموع $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$، دریافت می کنیم:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

سپس عبارت جمع جزئی به شکل زیر در می آید:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

اگر تمام توضیحات را نادیده بگیرید، فرآیند یافتن فرمول اختصاری برای جمع جزئی n ام به شکل زیر خواهد بود:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

اجازه دهید یادآوری کنم که کسر $\frac(1)(2k+3)$ را به شکل $\frac(1)(2k+1)$ کاهش دادیم. البته، شما می توانید برعکس، یعنی. کسری $\frac(1)(2k+1)$ را به صورت $\frac(1)(2k+3)$ نشان دهید. عبارت نهایی برای مجموع جزئی تغییر نخواهد کرد. در این صورت، من روند یافتن مبلغ جزئی را در زیر یک یادداشت پنهان می کنم.

چگونه می توان $S_n$ را پیدا کرد، اگر به شکل کسر متفاوتی بیاورید؟ نمایش/پنهان کردن

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3 ). $$

بنابراین $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. حد $\lim_(n\to\infty)S_n$ را پیدا کنید:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

سری داده شده همگرا می شود و مجموع آن $S=\frac(1)(3)$ است.

پاسخ: $S=\frac(1)(3)$.

ادامه مبحث یافتن مجموع یک سری در قسمت دوم و سوم بررسی خواهد شد.

قبل از اینکه تصمیم بگیریم مشکلات پیشروی حسابی، در نظر بگیرید که یک دنباله اعداد چیست، زیرا پیشروی حسابی حالت خاصی از یک دنباله اعداد است.

دنباله اعداد مجموعه اعدادی است که هر یک از عناصر خاص خود را دارد شماره سریال . عناصر این مجموعه را اعضای دنباله می نامند. شماره ترتیبی یک عنصر دنباله با یک شاخص نشان داده می شود:

اولین عنصر دنباله؛

عنصر پنجم دنباله؛

- عنصر "nامین" دنباله، یعنی. عنصر "ایستاده در صف" در شماره n.

بین مقدار یک عنصر دنباله و عدد ترتیبی آن وابستگی وجود دارد. بنابراین می توانیم دنباله ای را تابعی در نظر بگیریم که آرگومان آن عدد ترتیبی عنصری از دنباله باشد. به عبارت دیگر می توان چنین گفت دنباله تابعی از آرگومان طبیعی است:

دنباله را می توان به سه طریق مشخص کرد:

1 . توالی را می توان با استفاده از جدول مشخص کرد.در این مورد، ما به سادگی مقدار هر یک از اعضای دنباله را تعیین می کنیم.

به عنوان مثال، شخصی تصمیم گرفت مدیریت زمان شخصی را انجام دهد و برای شروع محاسبه کند که در طول هفته چقدر در VKontakte وقت می گذارد. با نوشتن زمان در جدول، دنباله ای متشکل از هفت عنصر به دست می آید:

خط اول جدول شامل تعداد روز هفته، دوم - زمان در دقیقه است. ما می بینیم که، یعنی دوشنبه، شخصی 125 دقیقه را در VKontakte، یعنی پنجشنبه - 248 دقیقه، و یعنی در روز جمعه، فقط 15 دقیقه صرف کرد.

2 . دنباله را می توان با استفاده از فرمول عضو n مشخص کرد.

در این مورد، وابستگی مقدار یک عنصر دنباله به تعداد آن به طور مستقیم به عنوان یک فرمول بیان می شود.

به عنوان مثال، اگر، پس

برای یافتن مقدار یک عنصر دنباله با یک عدد معین، عدد عنصر را در فرمول n ام جایگزین می کنیم.

اگر بخواهیم مقدار یک تابع را در صورتی که مقدار آرگومان مشخص باشد، پیدا کنیم، همین کار را انجام می دهیم. به جای آن مقدار آرگومان را در معادله تابع جایگزین می کنیم:

اگر مثلاً ، آن

یک بار دیگر متذکر می شوم که در یک دنباله، بر خلاف یک تابع عددی دلخواه، فقط یک عدد طبیعی می تواند آرگومان باشد.

3 . دنباله را می توان با استفاده از فرمولی مشخص کرد که وابستگی مقدار عضو دنباله با عدد n را به مقدار اعضای قبلی بیان می کند. در این صورت، دانستن تعداد یک عضو دنباله برای یافتن مقدار آن کافی نیست. باید اولین عضو یا چند عضو اول دنباله را مشخص کنیم.

به عنوان مثال، دنباله را در نظر بگیرید ,

ما می توانیم مقادیر اعضای یک دنباله را پیدا کنیم در دنباله، از سوم شروع می شود:

یعنی هر بار برای یافتن مقدار n امین عضو دنباله به دو مورد قبلی برمی گردیم. این روش توالی نامیده می شود عود کننده، از کلمه لاتین تکرار شود- برگرد

اکنون می توانیم یک پیشرفت حسابی را تعریف کنیم. پیشروی حسابی یک مورد خاص ساده از یک دنباله عددی است.

پیشرفت حسابی دنباله ای عددی نامیده می شود که هر عضو آن با شروع از دومی برابر با قبلی است که با همان عدد اضافه می شود.

شماره تماس گرفته می شود تفاوت یک پیشرفت حسابی. تفاوت یک پیشرفت حسابی می تواند مثبت، منفی یا صفر باشد.

اگر title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} افزایش می یابد.

به عنوان مثال، 2; 5 8; یازده؛...

اگر، پس هر جمله از ترقی محاسباتی کمتر از مورد قبلی است، و پیشرفت آن است رو به زوال.

به عنوان مثال، 2; -1؛ -4 -7;...

اگر، آنگاه همه اعضای پیشروی برابر با یک عدد هستند و پیشروی برابر است ثابت.

به عنوان مثال 2;2;2;2;...

ویژگی اصلی یک پیشرفت حسابی:

بیایید به تصویر نگاه کنیم.

ما آن را می بینیم

، و در همان زمان

با افزودن این دو برابری، به دست می آوریم:

.

دو طرف معادله را بر 2 تقسیم کنید:

بنابراین، هر عضو پیشروی حسابی، با شروع از دوم، برابر است با میانگین حسابی دو همسایه:

علاوه بر این، به دلیل

، و در همان زمان

، آن

، و از این رو

هر یک از اعضای پیشروی حسابی که با title="k>l شروع می شود">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

فرمول عضو

می بینیم که برای اعضای پیشروی حسابی، روابط زیر برقرار است:

و در نهایت

گرفتیم فرمول ترم n

مهم!هر عضوی از یک پیشروی حسابی را می توان بر حسب و بیان کرد. با دانستن جمله اول و تفاوت یک پیشروی حسابی، می توانید هر یک از اعضای آن را پیدا کنید.

مجموع n عضو یک پیشرفت حسابی.

در یک پیشروی محاسباتی دلخواه، مجموع عبارت‌هایی که به طور مساوی از آنها فاصله دارند با یکدیگر برابر هستند:

یک تصاعد حسابی با n عضو در نظر بگیرید. بگذارید مجموع n عضو این پیشرفت برابر باشد.

شرایط پیشرفت را ابتدا به ترتیب صعودی اعداد و سپس به ترتیب نزولی مرتب کنید:

بیایید آن را جفت کنیم:

مجموع هر پرانتز است، تعداد جفت ها n است.

ما گرفتیم:

بنابراین، مجموع n عضو یک پیشرفت حسابی را می توان با استفاده از فرمول های زیر پیدا کرد:

در نظر گرفتن حل مسائل پیشروی حسابی.

1 . دنباله با فرمول n ام به دست می آید: . ثابت کنید که این دنباله یک تصاعد حسابی است.

اجازه دهید ثابت کنیم که تفاوت بین دو عضو مجاور دنباله برابر با یک عدد است.

ما دریافتیم که تفاوت دو عضو مجاور دنباله به تعداد آنها بستگی ندارد و ثابت است. بنابراین، طبق تعریف، این دنباله یک تصاعد حسابی است.

2 . با توجه به پیشرفت حسابی -31; -27;...

الف) 31 عبارت پیشرفت را بیابید.

ب) تعیین کنید که آیا عدد 41 در این پیشروی گنجانده شده است یا خیر.

آ)می بینیم که؛

بیایید فرمول ترم n را برای پیشرفت خود بنویسیم.

به طور کلی

در مورد ما ، از همین رو