Minden egyes trigonometrikus függvény egy adott szöghez (vagy számhoz) α egy bizonyosnak felel meg jelentése ezt a funkciót. A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióiból egyértelműen kiderül, hogy az α szög szinuszának értéke annak a pontnak az ordinátája, amelyre az egységkör kezdőpontja átmegy, miután az α szögön keresztül elfordul, a a koszinusz értéke ennek a pontnak az abszcissza, az érintő értéke az ordináta és az abszcissza aránya, a kotangens értéke pedig az abszcissza és az ordináta aránya.

A problémák megoldása során gyakran meg kell találni a jelzett szögek szinuszainak, koszinuszainak, érintőinek és kotangenseinek értékét. Egyes szögeknél, például 0, 30, 45, 60, 90, ... fokoknál meg lehet találni a trigonometrikus függvények pontos értékét, más szögeknél a pontos értékek megtalálása problémás és meg kell elégedni a közelítő értékekkel.

Ebben a cikkben kitaláljuk, milyen elveket kell követni a szinusz, koszinusz, érintő vagy kotangens értékének kiszámításakor. Soroljuk fel őket sorban.

  • A megadott trigonometrikus függvény hozzávetőleges értéke definíció szerint megtalálható. És 0, ±90, ±180 stb. szögekhez. A trigonometrikus függvények fokos meghatározása lehetővé teszi a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens pontos értékeinek megadását.
  • A derékszögű háromszög oldalai és szögei közötti arányok lehetővé teszik a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értékeinek megtalálását a 30, 45, 60 fokos "alap" szögekhez.
  • Ha a szög kívül esik a 0 és 90 fok közötti tartományon, akkor először a redukciós képleteket kell használnia, amelyek lehetővé teszik a trigonometrikus függvények értékének kiszámítását 0 és 90 fok közötti argumentum segítségével.
  • Ha egy adott α szögre ismert az egyik trigonometrikus függvény értéke, akkor mindig ki tudjuk számítani bármely más, azonos szögű trigonometrikus függvény értékét. Ez lehetővé teszi, hogy alapvető trigonometrikus azonosságokat készítsünk.
  • Néha ki lehet számítani egy adott trigonometrikus függvény értékét egy adott szögre, a főszögekhez tartozó függvények értékéből kiindulva és a megfelelő trigonometriai képletekkel. Például, ha figyelembe vesszük a 30 fok szinuszának ismert értékét és a szinusz félszög képletét, akkor megtalálhatja a 15 fokos szinusz értékét.
  • Végül a szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek táblázataiból mindig megtalálhatja egy adott trigonometrikus függvény közelítő értékét egy adott szöghez.

Most nézzük meg részletesen a szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek értékének kiszámítására vonatkozó felsorolt ​​alapelveket.

Oldalnavigáció.

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értékeinek meghatározása definíció szerint

A szinusz és koszinusz definíciója alapján egy adott α szög szinuszának és koszinuszának értékeit találhatja meg. Ehhez egységnyi kört kell felvenni, el kell forgatni az A kezdőpontot (1, 0) α szöggel, ami után az A 1 pontba kerül. Ekkor az A 1 pont koordinátái megadják az adott α szög koszinuszát, illetve szinuszát. Az α szög érintője és kotangense ezután kiszámítható az ordináta és az abszcissza, illetve az abszcissza az ordinátához viszonyított arányának kiszámításával.

Definíció szerint ki tudjuk számítani a szögek szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének pontos értékét 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … fokok ( 0, ±π/2, ±π, ±3π/2, ±2π, … radián). Bontsuk ezeket a szögeket négy csoportra: 360 z fok (2π z rad), 90+360 z fok (π/2+2π z rad), 180+360 z fok (π+2π z rad) és 270+360 z fok (3π/2+2π z rad), ahol z bármely . Ábrázoljuk az ábrákon, hogy hol fog elhelyezkedni az A 1 pont, ami az A kezdőpont e szögekkel történő elforgatása eredménye (szükség esetén tanulmányozzuk a cikk anyagában az elforgatási szöget).

Ezen szögcsoportok mindegyikéhez megtaláljuk a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értékeit a definíciók segítségével.

Ami a többi szöget illeti, kivéve 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … fok, akkor definíció szerint csak közelítő értéket találhatunk a szinusznak, koszinusznak, érintőnek és kotangensnek. Például keressük meg a −52 fokos szög szinuszát, koszinuszát, érintőjét és kotangensét.

Építsünk.

A rajz alapján azt találjuk, hogy az A 1 pont abszcisszája megközelítőleg 0,62, az ordináta pedig megközelítőleg −0,78. Ily módon és . Továbbra is ki kell számítanunk az érintő és a kotangens értékét és .

Nyilvánvaló, hogy minél pontosabban hajtjuk végre a konstrukciókat, annál pontosabban találjuk meg egy adott szög szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének közelítő értékeit. Az is világos, hogy a trigonometrikus függvények értékeinek megtalálása értelemszerűen nem kényelmes a gyakorlatban, mivel kényelmetlen a leírt konstrukciók végrehajtása.

Szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek sorai

Röviden érdemes elidőzni az ún szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek sorai. A szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek vonalait egységkörrel együtt ábrázolt egyeneseknek nevezzük, amelyek referenciapontja és mértékegysége eggyel egyenlő a bevezetett derékszögű koordináta-rendszerben, egyértelműen ábrázolják az összes lehetséges értékek szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek. Az alábbi rajzon ábrázoljuk őket.

30, 45 és 60 fokos szögek szinuszainak, koszinuszainak, érintőinek és kotangenseinek értékei

30, 45 és 60 fokos szögeknél a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens pontos értéke ismert. Ezeket a derékszögű háromszög hegyesszögének szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének definícióiból kaphatjuk meg Pitagorasz-tételek.

A 30 és 60 fokos szögek trigonometrikus függvényeinek értékeinek megszerzéséhez tekintsünk egy derékszögű háromszöget ezekkel a szögekkel, és vegyük úgy, hogy a hipotenusz hossza egyenlő legyen eggyel. Ismeretes, hogy a 30 fokos szöggel ellentétes láb a hypotenus fele, ezért hossza 1/2. A másik láb hosszát a Pitagorasz-tétel segítségével találjuk meg: .

Mivel egy szög szinusza a szemközti láb és a hipotenusz aránya, akkor és . A koszinusz pedig a szomszédos láb és a hipotenusz aránya és . Az érintő az ellenkező láb és a szomszédos láb aránya, a kotangens pedig a szomszédos láb és a másik láb aránya, ezért és , szintén és .

Marad a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értéke 45 fokos szög esetén. Forduljunk egy derékszögű háromszögre, amelynek szögei 45 fokosak (egyenlő szárú lesz), és egy eggyel egyenlő befogóponttal. Ezután a Pitagorasz-tétel segítségével könnyen ellenőrizhető, hogy a lábak hossza egyenlő-e. Most kiszámolhatjuk a szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens értékeit a vizsgált derékszögű háromszög megfelelő oldalai hosszának arányaként. Van és .

A 30, 45 és 60 fokos szögek szinuszának, koszinuszának, tangensének és kotangensének kapott értékeit nagyon gyakran használják különféle geometriai és trigonometrikus feladatok megoldásában, ezért javasoljuk, hogy emlékezzen rájuk. A kényelem kedvéért felsoroljuk őket a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens alapértékeinek táblázatában.

A bekezdés zárásaként bemutatjuk a 30, 45 és 60 szögek szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének értékeit az egységkör és a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens vonalaival.


Lapítás 0 és 90 fok közötti szögben

Rögtön megjegyezzük, hogy kényelmes a trigonometrikus függvények értékeit megtalálni, ha a szög 0 és 90 fok közötti tartományban van (nullától pi-ig fél radban). Ha a trigonometrikus függvény argumentuma, amelynek értékét meg kell találnunk, túllépi a 0 és 9 0 fok közötti határokat, akkor a redukciós képletekkel mindig megkereshetjük a trigonometrikus függvény értékét, amelynek argumentuma meghatározott határokon belül legyen.

Például keressük meg a 210 fok szinuszának értékét. Ha a 210-et 180+30-nak vagy 270-60-nak ábrázoljuk, a megfelelő redukciós képletek a problémánkat a 210 fok szinuszának megtalálásától a 30 fok szinuszának vagy a 60 fok koszinuszának meghatározására redukálják.

A trigonometrikus függvények értékeinek megtalálásakor mindig a redukciós képletekkel állapodjunk meg a 0-tól 90 fokig terjedő tartományban, kivéve, ha a szög már ezeken a határokon belül van.

Elég, ha ismerjük valamelyik trigonometrikus függvény értékét

Az alapvető trigonometrikus azonosságok kapcsolatokat hoznak létre ugyanazon szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense között. Így segítségükkel az egyik trigonometrikus függvény ismert értékével megkereshetjük bármely más, azonos szögű függvény értékét.

Nézzünk egy példamegoldást.

Példa.

Határozza meg, mit egyenlő a szinusz pi szög nyolccal, ha .

Megoldás.

Először nézze meg, mi ennek a szögnek a kotangense:

Most a képlet segítségével , kiszámíthatjuk, hogy a pi szög nyolcas szinuszának négyzete mekkora, és így a szinusz kívánt értéke. Nekünk van

Már csak meg kell találni a szinusz értékét. Mivel a pi nyolcszoros szög az első koordinátanegyed szöge, ezért ennek a szögnek a szinusza pozitív (szükség esetén lásd a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens negyedenkénti előjeleinek elméletéről szóló részt). Ily módon .

Válasz:

.

Értékek keresése trigonometrikus képletekkel

Az előző két bekezdésben már elkezdtük foglalkozni a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értékeinek megtalálásával trigonometriai képletekkel. Itt csak azt akarjuk mondani, hogy néha ki lehet számítani egy trigonometrikus függvény szükséges értékét trigonometrikus képletekkel és ismert szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értékekkel (például 30, 45 és 45 -os szögeknél). 60 fok).

Például trigonometrikus képletek segítségével a pi szög érintőjének értékét nyolccal számítjuk ki, amelyet az előző bekezdésben használtunk a szinusz értékének meghatározásához.

11 fok? A kérdés nagyon nehéz.

A trigonometrikus függvények pontos értékei azonban a gyakorlatban gyakran nem annyira szükségesek. A hozzávetőleges értékek bizonyos fokú pontossággal általában elegendőek. Vannak a trigonometrikus függvények értéktáblázatai, ahonnan mindig megtalálhatjuk egy adott szög szinuszának, koszinuszának, érintőjének vagy kotangensének hozzávetőleges értékét, amelyre szükségünk van. Ilyen táblázatok például a V. M. Bradis szinuszokat, koszinuszokat, érintőket és kotangenseket tartalmazó táblázatok. Ezek a táblázatok négy tizedesjegy pontossággal tartalmazzák a trigonometrikus függvények értékeit.

Bibliográfia.

  • Algebra: Proc. 9 cellához. átl. iskola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Szerk. S. A. Telyakovsky.- M.: Felvilágosodás, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
  • Algebraés az elemzés eleje: Proc. 10-11 sejtre. Általános oktatás intézmények / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn és mások; Szerk. A. N. Kolmogorova.- 14. kiad.- M.: Felvilágosodás, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
  • Bashmakov M.I. Algebra és az elemzés kezdete: Proc. 10-11 sejtre. átl. iskola - 3. kiadás - M.: Felvilágosodás, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
  • Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba jelentkezők számára): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.

A trigonometrikus függvények értéktáblázata

jegyzet. Ez a trigonometrikus függvények értéktáblázata a √ jelet használja a négyzetgyök jelölésére. A tört jelölésére - a "/" szimbólum.

Lásd még hasznos anyagok:

Mert trigonometrikus függvény értékének meghatározása, keresse meg a trigonometrikus függvényt jelző egyenes metszéspontjában. Például egy 30 fokos szinusz - keresünk egy oszlopot sin (szinusz) fejléccel, és megtaláljuk a táblázat ezen oszlopának metszéspontját a "30 fokos" vonallal, a metszéspontjuknál olvassuk az eredményt - egy második. Hasonlóképpen találjuk koszinusz 60 fokok, szinusz 60 fokok (még egyszer a sin (szinusz) oszlop és a 60 fokos sor metszéspontjában találjuk a sin 60 = √3/2 értéket, stb. Ugyanígy megtalálhatók más "népszerű" szögek szinuszainak, koszinuszainak és érintőinek értékei is.

Pi szinusza, pi koszinusza, pi tangense és egyéb szögek radiánban

Az alábbi koszinuszokat, szinuszokat és érintőket tartalmazó táblázat alkalmas olyan trigonometrikus függvények értékének meghatározására is, amelyek argumentuma radiánban megadva. Ehhez használja a szögértékek második oszlopát. Ennek köszönhetően átválthatja a népszerű szögek értékét fokról radiánra. Például keressük meg az első sorban a 60 fokos szöget, és olvassuk le alatta az értékét radiánban. 60 fok egyenlő π/3 radiánnal.

A pi szám egyértelműen kifejezi a kör kerületének a szög mértékétől való függését. Tehát a pi radián 180 fokkal egyenlő.

Bármely pi-ben (radiánban) kifejezett szám könnyen átváltható fokokká, ha a pi (π) számot 180-ra cseréljük..

Példák:
1. sine pi.
sin π = sin 180 = 0
így a pi szinusza megegyezik a 180 fokos szinuszával, és egyenlő nullával.

2. koszinusz pi.
cos π = cos 180 = -1
így a pi koszinusza megegyezik 180 fokos koszinuszával, és egyenlő mínusz eggyel.

3. Érintő pi
tg π = tg 180 = 0
így a pi érintője megegyezik a 180 fokos érintővel, és egyenlő nullával.

Szinusz, koszinusz, érintő értékek táblázata 0 - 360 fokos szögekhez (gyakori értékek)

α szög
(fok)

α szög
radiánban

(a pi-n keresztül)

 bűn
(sinus) 		kötözősaláta
(koszinusz) 		tg
(tangens) 		ctg
(kotangens) 		mp
(metsző) 		ok
(koszekáns)
0 0 0 1 0 - 1 -
15 π/12 2 - √3 2 + √3
30 π/6 1/2 √3/2 1/√3 √3 2/√3 2
45 π/4 √2/2 √2/2 1 1 √2 √2
60 π/3 √3/2 1/2 √3 1/√3 2 2/√3
75 5π/12 2 + √3 2 - √3
90 π/2 1 0 - 0 - 1
105 7π/12 -
 - 2 - √3 √3 - 2
120 2π/3 √3/2 -1/2 -√3 -√3/3
135 3π/4 √2/2 -√2/2 -1 -1 -√2 √2
150 5π/6 1/2 -√3/2 -√3/3 -√3
180 π 0 -1 0 - -1 -
210 7π/6 -1/2 -√3/2 √3/3 √3
240 4π/3 -√3/2 -1/2 √3 √3/3
270 3π/2 -1 0 - 0 - -1
360 2π 0 1 0 - 1 -

Ha a trigonometrikus függvények értéktáblázatában a függvény értéke helyett kötőjel van feltüntetve (tangens (tg) 90 fok, kotangens (ctg) 180 fok), akkor adott értéknél a fokmérő a szög, a függvénynek nincs határozott értéke. Ha nincs kötőjel, akkor a cella üres, tehát még nem adtuk meg a kívánt értéket. Érdekel bennünket, hogy a felhasználók milyen kérésekre fordulnak hozzánk, és új értékekkel egészítjük ki a táblázatot, annak ellenére, hogy a leggyakrabban előforduló szögértékek koszinuszainak, szinuszainak és érintőinek aktuális adatai elegendőek a legtöbb megoldáshoz. problémákat.

A sin, cos, tg trigonometrikus függvények értéktáblázata a legnépszerűbb szögekhez
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 fok
(numerikus értékek "a Bradis táblázatok szerint")

szögérték α (fok) α szög értéke radiánban bűn (szinusz) cos (koszinusz) tg (érintő) ctg (kotangens)
0 0
15

0,2588

0,9659

0,2679

30

0,5000

0,5774

45

0,7071

0,7660

60

0,8660

0,5000

1,7321

7π/18

Leegyszerűsítve, ezek egy speciális recept szerint vízben főzött zöldségek. Két kezdeti komponenst (zöldségsaláta és víz) és a végeredményt - a borscsot - veszem figyelembe. Geometriailag ez egy téglalapként ábrázolható, amelyben az egyik oldal a salátát, a másik a vizet jelöli. E két oldal összege a borscsot jelöli. Az ilyen "borscht" téglalap átlója és területe tisztán matematikai fogalmak, és soha nem használják a borscs receptekben.


Hogyan lesz a salátából és a vízből borscs matematikailag? Hogyan alakulhat két szakasz összege trigonometriává? Ennek megértéséhez lineáris szögfüggvényekre van szükségünk.


A matematikai tankönyvekben nem találsz semmit a lineáris szögfüggvényekről. De nélkülük nem létezhet matematika. A matematika törvényei a természet törvényeihez hasonlóan működnek, akár tudjuk, hogy léteznek, akár nem.

A lineáris szögfüggvények az összeadás törvényei. Nézze meg, hogyan válik az algebra geometriává és a geometriából trigonometriává.

Lehetséges a lineáris szögfüggvények nélkül? Megteheti, mert a matematikusok nélkülük is elboldogulnak. A matematikusok trükkje abban rejlik, hogy mindig csak azokról a problémákról beszélnek, amelyeket ők maguk is meg tudnak oldani, és soha nem azokról a problémákról, amelyeket nem tudnak megoldani. Lát. Ha ismerjük az összeadás és az egyik tag eredményét, akkor kivonást használunk a másik tag megkereséséhez. Minden. Más problémákat nem ismerünk, és nem is tudjuk azokat megoldani. Mi a teendő, ha csak az összeadás eredményét ismerjük, és nem ismerjük mindkét kifejezést? Ebben az esetben az összeadás eredményét lineáris szögfüggvények segítségével két tagra kell bontani. Továbbá mi magunk választjuk ki, hogy mi lehet az egyik tag, és a lineáris szögfüggvények megmutatják, hogy mi legyen a második tag, hogy az összeadás eredménye pontosan az legyen, amire szükségünk van. Végtelen számú ilyen kifejezéspár lehet. A mindennapi életben nagyon jól megvagyunk anélkül, hogy felbontjuk az összeget, nekünk elég a kivonás. De a természet törvényeinek tudományos tanulmányozása során az összeg tagokra való kiterjesztése nagyon hasznos lehet.

Egy másik összeadási törvény, amelyről a matematikusok nem szívesen beszélnek (egy másik trükkjük), megköveteli, hogy a kifejezéseknek azonos mértékegységük legyen. A saláta, a víz és a borscs esetében ezek tömeg-, térfogat-, költség- vagy mértékegységek lehetnek.

Az ábra a matematikai különbségek két szintjét mutatja. Az első szint a számok mezőjében tapasztalható különbségek, amelyeket jeleznek a, b, c. Ezt csinálják a matematikusok. A második szint a mértékegységek területének különbségei, amelyek szögletes zárójelben vannak feltüntetve, és betűvel vannak jelölve. U. Ezt csinálják a fizikusok. Megérthetjük a harmadik szintet - a leírt objektumok hatókörének különbségeit. Különböző objektumok ugyanannyi mértékegységet tartalmazhatnak. Hogy ez mennyire fontos, azt a borscht trigonometria példáján láthatjuk. Ha ugyanahhoz a jelöléshez alsóindexeket adunk a különböző objektumok mértékegységeihez, akkor pontosan meg tudjuk mondani, hogy egy adott objektumot milyen matematikai mennyiség ír le, és hogyan változik az idő múlásával vagy cselekvéseinkkel összefüggésben. levél W Megjelölöm a vizet a betűvel S A salátát megjelölöm a betűvel B- borscs. Így néznek ki a borscs lineáris szögfüggvényei.

Ha kivesszük a víz egy részét és a saláta egy részét, akkor egy adag borscht lesz belőle. Itt azt javaslom, hogy tartson egy kis szünetet a borscstól, és emlékezzen távoli gyermekkorára. Emlékszel, hogyan tanítottak meg minket összerakni nyuszikat és kacsákat? Meg kellett találni, hány állat fog kijönni. Akkor mire tanítottak minket? Megtanítottuk az egységeket a számoktól elkülöníteni és számokat összeadni. Igen, bármilyen szám hozzáadható bármely másik számhoz. Ez egy egyenes út a modern matematika autizmusához - nem értjük mit, nem világos, hogy miért, és nagyon rosszul értjük, hogy ez hogyan kapcsolódik a valósághoz, a három különbség miatt a matematikusok csak az egyiken dolgoznak. Helyesebb lesz megtanulni, hogyan lehet egyik mértékegységről a másikra lépni.

És a nyuszik, a kacsák és a kis állatok darabokban számolhatók. A különböző objektumok egyetlen közös mértékegysége lehetővé teszi, hogy összeadjuk őket. Ez a probléma gyerekeknek szóló változata. Nézzünk egy hasonló problémát felnőtteknél. Mit kapsz, ha nyuszikat és pénzt adsz hozzá? Itt két megoldás lehetséges.

Első lehetőség. Meghatározzuk a nyuszik piaci értékét és hozzáadjuk a rendelkezésre álló készpénzhez. Vagyonunk összértékét pénzben fejeztük ki.

Második lehetőség. A nálunk lévő bankjegyek számához hozzáadhatja a nyuszik számát. Az ingó vagyon mennyiségét darabonként kapjuk meg.

Amint láthatja, ugyanaz az összeadási törvény lehetővé teszi, hogy különböző eredményeket kapjon. Minden attól függ, hogy pontosan mit akarunk tudni.

De térjünk vissza a borscsunkhoz. Most láthatjuk, hogy mikor mi történik különböző jelentések lineáris szögfüggvények szöge.

A szög nulla. Van salátánk, de nincs víz. Borscsot nem főzhetünk. A borscs mennyisége is nulla. Ez egyáltalán nem jelenti azt, hogy a nulla borscs egyenlő a nulla vízzel. Nulla borsch is lehet nulla saláta (derékszög).


Számomra személy szerint ez a fő matematikai bizonyítéka annak, hogy . A nulla hozzáadásakor nem változtatja meg a számot. Ez azért van, mert maga az összeadás lehetetlen, ha csak egy tag van, és a második tag hiányzik. Tetszés szerint kezelheti, de ne feledje – mindent matematikai műveletek A matematikusok maguk találták ki a nullát, szóval vesd el a logikádat, és hülyén zsúfold be a matematikusok által kitalált definíciókat: „nullával osztás lehetetlen”, „bármely szám nullával szorozva egyenlő nullával”, „nullapont mögött” és egyéb hülyeségek. Elég egyszer megjegyezni, hogy a nulla nem szám, és soha nem lesz kérdés, hogy a nulla természetes szám-e vagy sem, mert egy ilyen kérdés általában elveszti értelmét: hogyan tekinthetünk számnak azt, ami nem szám. . Ez olyan, mintha azt kérdeznéd, milyen színnek tulajdonítsunk egy láthatatlan színt. Nullát adni egy számhoz olyan, mintha nem létező festékkel festenénk. Száraz ecsettel intettek, és mindenkinek azt mondták, hogy "festettünk". De elkanyarodok egy kicsit.

A szög nagyobb, mint nulla, de kisebb, mint negyvenöt fok. Sok a salátánk, de kevés a vízünk. Ennek eredményeként sűrű borscsot kapunk.

A szög negyvenöt fok. Egyenlő mennyiségű vízünk és salátánk van. Ez a tökéletes borscs (a szakácsok bocsássák meg, ez csak matematika).

A szög nagyobb, mint negyvenöt fok, de kisebb, mint kilencven fok. Sok vízünk van és kevés salátánk. Vegyen folyékony borscsot.

Derékszög. Van vizünk. A salátáról már csak emlékek maradtak, hiszen a szöget továbbra is attól a vonaltól mérjük, amely egykor a salátát jelölte. Borscsot nem főzhetünk. A borscs mennyisége nulla. Ebben az esetben tartsa meg, és igyon vizet, amíg elérhető)))

Itt. Valami ilyesmi. Elmondhatok itt más történeteket is, amelyek több mint helyénvalóak lesznek itt.

A két barátnak részesedése volt a közös üzletben. Egyikük meggyilkolása után minden a másikra került.

A matematika megjelenése bolygónkon.

Mindezeket a történeteket a matematika nyelvén, lineáris szögfüggvények segítségével mesélik el. Máskor megmutatom ezeknek a függvényeknek a valódi helyét a matematika szerkezetében. Addig is térjünk vissza a borscs trigonometriájához, és vegyük figyelembe a vetületeket.

2019. október 26. szombat

Megnéztem egy érdekes videót erről Grandi sora Egy mínusz egy plusz egy mínusz egy - Numberphile. A matematikusok hazudnak. Érvelésükben nem végeztek egyenlőségi tesztet.

Ez egybecseng a ról szóló érvelésemmel.

Nézzük meg közelebbről azokat a jeleket, amelyek arra utalnak, hogy a matematikusok megcsalnak minket. Az okfejtés legelején a matematikusok azt mondják, hogy a sorozat összege FÜGG attól, hogy az elemek száma páros-e vagy sem. Ez egy OBJEKTÍVEN MEGÁLLAPÍTOTT TÉNY. Mi történik ezután?

Ezután a matematikusok kivonják a sorozatot az egységből. Mihez vezet ez? Ez a sorozat elemeinek számának változásához vezet - a páros szám páratlan, a páratlan szám páros számmá változik. Végül is egy eggyel egyenlő elemet adtunk a sorozathoz. Minden külső hasonlóság ellenére a transzformáció előtti sorozat nem egyenlő a transzformáció utáni sorozattal. Még ha végtelen sorozatról beszélünk is, emlékeznünk kell arra, hogy a páratlan elemszámú végtelen sorozat nem egyenlő a páros számú elemű végtelen sorozattal.

Két elemszámban eltérő sorozat közé egyenlőségjelet adva a matematikusok azt állítják, hogy a sorozat összege NEM FÜGG a sorozat elemeinek számától, ami ellentmond egy OBJEKTÍVAN MEGÁLLAPÍTOTT TÉNYNEK. A végtelen sorozat összegére vonatkozó további érvelés hamis, mert hamis egyenlőségen alapul.

Ha azt látja, hogy a matematikusok zárójeleket tesznek a bizonyítás során, átrendezik egy matematikai kifejezés elemeit, hozzáadnak vagy eltávolítanak valamit, akkor legyen nagyon óvatos, valószínűleg meg akarnak csalni. A kártyamágusokhoz hasonlóan a matematikusok is a kifejezés különböző manipulációival vonják el a figyelmét, hogy végül elcsúszhassanak. hamis eredmény. Ha nem tudod megismételni a kártyatrükköt anélkül, hogy ismernéd a csalás titkát, akkor a matematikában minden sokkal egyszerűbb: nem is gyanítasz semmit a csalásról, de az összes manipuláció matematikai kifejezéssel történő megismétlése lehetővé teszi, hogy másokat is meggyőzz arról, az eredmény helyességét, mint amikor meggyőzte Önt.

Kérdés a közönségtől: És a végtelen (mint az S sorozat elemeinek száma) páros vagy páratlan? Hogyan lehet megváltoztatni a paritást annak, aminek nincs paritása?

A végtelen a matematikusok számára olyan, mint a mennyek királysága a papok számára – még soha senki nem járt ott, de mindenki pontosan tudja, hogyan működik ott minden))) Egyetértek, a halál után teljesen közömbös lesz, hogy páros vagy páratlan számú napot éltél. , de ... Csak egy napot hozzáadva az életed kezdetéhez, egy teljesen más személyt kapunk: vezetékneve, keresztneve és apaneve teljesen megegyezik, csak a születési dátum teljesen más - annak született. nap előtted.

És most a lényeghez))) Tegyük fel, hogy egy véges sorozat, amelynek paritása van, elveszíti ezt a paritást, amikor a végtelenbe megy. Ekkor egy végtelen sorozat bármely véges szakaszának paritást is veszítenie kell. Ezt nem tartjuk be. Az, hogy nem tudjuk biztosan megmondani, hogy egy végtelen sorozat elemeinek száma páros vagy páratlan, egyáltalán nem jelenti azt, hogy a paritás eltűnt. A paritás, ha létezik, nem tűnhet el nyomtalanul a végtelenbe, mint az élesebb kártya hüvelyében. Van egy nagyon jó analógia erre az esetre.

Megkérdeztél már egy órában ülő kakukktól, hogy milyen irányba forog az óramutató? Nála a nyíl az óramutató járásával ellentétes irányba forog. Lehet, hogy paradoxon hangzik, de a forgás iránya kizárólag attól függ, hogy melyik oldalról figyeljük a forgást. És így van egy kerekünk, amely forog. Nem tudjuk megmondani, hogy a forgás milyen irányban történik, hiszen a forgási sík egyik oldaláról és a másik oldaláról is megfigyelhetjük. Csak arról tanúskodhatunk, hogy van forgás. Teljes analógia egy végtelen sorozat paritásával S.

Most adjunk hozzá egy második forgó kereket, amelynek forgási síkja párhuzamos az első forgó kerék forgássíkjával. Még mindig nem tudjuk pontosan megmondani, hogy ezek a kerekek melyik irányba forognak, de azt teljes bizonyossággal meg tudjuk mondani, hogy mindkét kerék ugyanabba az irányba, vagy ellenkező irányba. Két végtelen sorozat összehasonlítása Sés 1-S, a matematika segítségével megmutattam, hogy ezek a sorozatok eltérő paritásúak, és hiba egyenlőségjelet tenni közéjük. Én személy szerint hiszek a matematikában, nem bízom a matematikusokban))) Egyébként a végtelen sorozatok transzformációinak geometriájának teljes megértéséhez be kell vezetni a fogalmat "egyidejűség". Ezt le kell rajzolni.

2019. augusztus 7., szerda

A -ról szóló beszélgetést lezárva egy végtelen halmazt kell figyelembe vennünk. Feltéve, hogy a „végtelen” fogalma úgy hat a matematikusokra, mint a boa-szűkítő a nyúlra. A végtelenség remegő réme megfosztja a matematikusokat a józan észtől. Íme egy példa:

Az eredeti forrás található. Az alfa valós számot jelöl. Az egyenlőségjel a fenti kifejezésekben azt jelzi, hogy ha egy számot vagy végtelent adunk a végtelenhez, akkor semmi sem változik, az eredmény ugyanaz a végtelen lesz. Ha példának vesszük a természetes számok végtelen halmazát, akkor a vizsgált példák a következőképpen ábrázolhatók:

A matematikusok számos különféle módszert dolgoztak ki, hogy vizuálisan bizonyítsák ügyüket. Én személy szerint úgy tekintek ezekre a módszerekre, mint a sámánok tamburás táncára. Lényegében mindannyian arra vezetnek, hogy vagy a szobák egy részét nem foglalják el, és új vendégeket telepítenek beléjük, vagy a látogatók egy részét kidobják a folyosóra, hogy helyet adjanak a vendégeknek (nagyon emberileg). Az ilyen döntésekről alkotott véleményemet egy fantasztikus történet formájában mutattam be a Szőkéről. Mire épül az érvelésem? Végtelen számú látogató mozgatása végtelenül sok időt vesz igénybe. Miután elhagytuk az első vendégszobát, az idők végezetéig az egyik látogató mindig végigmegy a folyosón a szobájából a következőbe. Az időfaktort persze lehet hülyén figyelmen kívül hagyni, de ez már a "nem hülyéknek íródott törvény" kategóriából lesz. Minden attól függ, hogy mit csinálunk: a valóságot a matematikai elméletekhez igazítjuk, vagy fordítva.

Mi az a "végtelen szálloda"? Az Infinite Hotel egy olyan szálloda, ahol mindig bármennyi szabad helyek, függetlenül attól, hogy hány szoba van elfoglalva. Ha a végtelen „látogatók” folyosó minden szobája foglalt, akkor van egy másik végtelen folyosó, ahol a „vendégek” szobái vannak. Végtelen számú ilyen folyosó lesz. Ugyanakkor a „végtelen szállodának” végtelen számú emelete van végtelen számú épületben, végtelen számú bolygón, végtelen számú univerzumban, amelyet végtelen mennyiségű Istenek. A matematikusok viszont nem tudnak eltávolodni a banális hétköznapi problémáktól: Isten-Allah-Buddha mindig csak egy, a szálloda egy, a folyosó csak egy. A matematikusok tehát próbálnak zsonglőrködni a szállodai szobák sorszámai között, meggyőzve minket arról, hogy lehet "lökdösni a löketlent".

Érvelésem logikáját a természetes számok végtelen halmazának példáján mutatom be. Először meg kell válaszolnia egy nagyon egyszerű kérdést: hány természetes számkészlet létezik - egy vagy több? Erre a kérdésre nincs helyes válasz, hiszen mi magunk találtuk ki a számokat, a Természetben nincsenek számok. Igen, a természet tökéletesen tudja, hogyan kell számolni, de ehhez más matematikai eszközöket használ, amelyeket nem ismerünk. Ahogy a Természet gondolja, máskor elmondom. Mivel mi találtuk ki a számokat, mi magunk döntjük el, hogy hány természetes számhalmaz létezik. Mérlegelje mindkét lehetőséget, ahogy egy igazi tudóshoz illik.

1. lehetőség. „Adjunk nekünk” egyetlen természetes számkészletet, amely nyugodtan hever egy polcon. Ezt a készletet levesszük a polcról. Ennyi, más természetes szám nem maradt a polcon, és nincs is hova venni. Ehhez a készlethez nem tudunk hozzáadni egyet, mert már megvan. Mi van, ha nagyon akarod? Nincs mit. A már elvett készletből kivehetünk egy egységet, és visszahelyezhetjük a polcra. Ezt követően levehetünk egy egységet a polcról, és hozzátehetjük a megmaradthoz. Ennek eredményeként ismét egy végtelen természetes számhalmazt kapunk. Az összes manipulációnkat így írhatja le:

A műveleteket algebrai jelöléssel és halmazelméleti jelöléssel írtam meg, részletesen felsorolva a halmaz elemeit. Az alsó index azt jelzi, hogy egyetlen természetes számkészletünk van. Kiderül, hogy a természetes számok halmaza csak akkor marad változatlan, ha kivonunk belőle egyet, és hozzáadjuk ugyanazt az egységet.

Második lehetőség. Sok különböző végtelen természetes számhalmaz van a polcon. Hangsúlyozom - MÁS, annak ellenére, hogy gyakorlatilag megkülönböztethetetlenek. Egy ilyen készletet veszünk. Ezután kiveszünk egyet a természetes számok másik halmazából, és hozzáadjuk a már felvett halmazhoz. Akár két természetes számhalmazt is összeadhatunk. Íme, amit kapunk:

Az "egy" és a "kettő" alsó indexek azt jelzik, hogy ezek az elemek különböző halmazokhoz tartoztak. Igen, ha egy végtelen halmazhoz adunk egyet, akkor az eredmény is egy végtelen halmaz lesz, de nem lesz ugyanaz, mint az eredeti halmaz. Ha egy végtelen halmazt hozzáadunk egy másik végtelen halmazhoz, akkor az eredmény egy új végtelen halmaz, amely az első két halmaz elemeiből áll.

A természetes számok halmazát ugyanúgy használjuk a számláláshoz, mint a mérési vonalzót. Most képzelje el, hogy hozzáadott egy centimétert a vonalzóhoz. Ez már egy másik vonal lesz, nem egyenlő az eredetivel.

Elfogadhatod vagy nem fogadhatod el az érvelésemet – ez a te dolgod. De ha valaha is matematikai problémákba ütközik, gondolja át, vajon a hamis érvelés útján jár-e, amelyet matematikusok generációi tapostak. Hiszen a matematikaórák elsősorban a gondolkodás stabil sztereotípiáját alakítják ki bennünk, és csak ezután adnak hozzánk szellemi képességeket (vagy fordítva, megfosztanak a szabad gondolkodástól).

pozg.ru

2019. augusztus 4., vasárnap

Írtam egy utószavát egy cikkhez, és láttam ezt a csodálatos szöveget a Wikipédián:

Ezt olvassuk: "... Babilon matematikájának gazdag elméleti alapja nem volt holisztikus jellegű, és különböző technikák halmazává redukálódott, amelyek nélkülözték a közös rendszert és bizonyítékbázist."

Azta! Milyen okosak vagyunk, és milyen jól látjuk mások hiányosságait. Gyenge számunkra, ha a modern matematikát ugyanabban a kontextusban nézzük? Kissé átfogalmazva a fenti szöveget, én személy szerint a következőket kaptam:

A modern matematika gazdag elméleti alapja nem holisztikus jellegű, és különböző szakaszok halmazára redukálódik, amelyek nélkülözik a közös rendszert és bizonyítékokat.

Nem megyek messzire, hogy megerősítsem szavaimat – nyelve és szimbólumai különböznek a nyelvtől és a szimbólumoktól szimbólumok a matematika sok más ága. Ugyanazok a nevek a matematika különböző ágaiban eltérő jelentéssel bírhatnak. Publikációk egész ciklusát szeretném a modern matematika legnyilvánvalóbb baklövéseinek szentelni. Hamarosan találkozunk.

2019. augusztus 3. szombat

Hogyan lehet egy halmazt részhalmazokra osztani? Ehhez meg kell adni egy új mértékegységet, amely a kiválasztott halmaz egyes elemeiben megtalálható. Vegyünk egy példát.

Legyen sokunk DE négy emberből áll. Ez a halmaz "emberek" alapján alakult. Jelöljük ki ennek a halmaznak az elemeit a betűn keresztül a, a számjegyet tartalmazó alsó index erre mutat sorozatszám minden ember ebben a készletben. Vezessünk be egy új mértékegységet, a „szexuális jellemzőt”, és jelöljük betűvel b. Mivel a szexuális jellemzők minden emberben benne vannak, a halmaz minden elemét megsokszorozzuk DE a nemről b. Figyeljük meg, hogy a mi „emberek” készletünk a „nemekkel rendelkező emberek” készletté vált. Ezt követően feloszthatjuk a nemi jellemzőket férfiakra bmés női bw nemi jellemzők. Most már alkalmazhatunk egy matematikai szűrőt: kiválasztunk egyet ezek közül a szexuális jellemzők közül, nem mindegy, hogy melyik férfi vagy nő. Ha az emberben megvan, akkor megszorozzuk eggyel, ha nincs ilyen jel, akkor nullával. És akkor alkalmazzuk a szokásos iskolai matematikát. Nézze meg, mi történt.

Szorzás, csökkentés és átrendezés után két részhalmazt kaptunk: a férfi részhalmazt bmés a nők egy részhalmaza bw. Körülbelül ugyanúgy érvelnek a matematikusok, amikor a halmazelméletet a gyakorlatban alkalmazzák. De nem engednek bele a részletekbe, hanem megadják a kész eredményt – "sok ember a férfiak egy részhalmazából és a nők egy részhalmazából áll." Természetesen felmerülhet a kérdés, hogy a matematikát mennyire alkalmazta helyesen a fenti transzformációk? Biztosíthatom Önöket, hogy valójában az átalakítások helyesen vannak végrehajtva, elég, ha ismerjük az aritmetika, a Boole-algebra és a matematika egyéb szakaszainak matematikai igazolását. Ami? Majd máskor mesélek róla.

Ami a szuperhalmazokat illeti, lehetséges két halmaz egy szuperhalmazzá kombinálni, ha kiválasztunk egy olyan mértékegységet, amely jelen van e két halmaz elemeiben.

Amint látja, a mértékegységek és az általános matematika a múlté teszi a halmazelméletet. Annak a jele, hogy nincs minden rendben a halmazelmélettel, az az, hogy a matematikusok kitalálták a saját nyelvüket és jelöléseiket a halmazelmélethez. A matematikusok azt tették, amit egykor a sámánok. Csak a sámánok tudják, hogyan kell „helyesen” alkalmazni „tudásukat”. Ezt a "tudást" tanítják nekünk.

Befejezésül szeretném megmutatni, hogyan manipulálnak a matematikusok
Tegyük fel, hogy Akhilleusz tízszer gyorsabban fut, mint a teknősbéka, és ezer lépéssel lemaradt tőle. Azalatt az idő alatt, amíg Akhilleusz ezt a távot lefutja, a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Amikor Akhilleusz száz lépést futott, a teknősbéka újabb tíz lépést fog kúszni, és így tovább. A folyamat a végtelenségig folytatódik, Akhilleusz soha nem éri utol a teknősbékát.

Ez az érvelés logikus megrázkódtatássá vált minden következő generáció számára. Arisztotelész, Diogenész, Kant, Hegel, Gilbert... Valamennyien, így vagy úgy, Zénón aporiáit tekintették. A sokk olyan erős volt, hogy " ... a viták jelenleg is folynak, a tudományos közösségnek még nem sikerült közös véleményre jutnia a paradoxonok lényegéről ... matematikai elemzés, halmazelmélet, új fizikai és filozófiai megközelítések vontak be a kérdés vizsgálatába ; egyik sem lett a probléma általánosan elfogadott megoldása..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Mindenki megérti, hogy becsapják, de senki sem érti, mi a megtévesztés.

A matematika szemszögéből Zénón aporiájában egyértelműen bemutatta az átmenetet az értékről a másikra. Ez az átmenet konstansok helyett alkalmazást jelent. Ha jól értem, a változó mértékegységek alkalmazására szolgáló matematikai apparátus vagy még nem alakult ki, vagy nem alkalmazták Zénó apóriájára. A megszokott logikánk alkalmazása csapdába vezet bennünket. Mi a gondolkodás tehetetlensége folytán állandó időegységeket alkalmazunk a reciprokra. Fizikai szempontból úgy tűnik, hogy az idő lelassul és teljesen megáll abban a pillanatban, amikor Akhilleusz utoléri a teknősbékát. Ha megáll az idő, Akhilleusz már nem tudja megelőzni a teknősbékát.

Ha megfordítjuk a megszokott logikát, minden a helyére kerül. Akhilleusz állandó sebességgel fut. Útjának minden következő szakasza tízszer rövidebb, mint az előző. Ennek megfelelően a leküzdésére fordított idő tízszer kevesebb, mint az előzőnél. Ha ebben a helyzetben alkalmazzuk a "végtelen" fogalmát, akkor helyes lenne azt mondani: "Achilles végtelenül gyorsan utoléri a teknősbékát."

Hogyan lehet elkerülni ezt a logikai csapdát? Maradjon állandó időegységben, és ne váltson át reciprok értékekre. Zénón nyelvén ez így néz ki:

Amíg Akhilleusz ezer lépést tesz meg, addig a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. A következő, az elsővel megegyező időintervallumban Akhilleusz még ezer lépést fut, a teknősbéka pedig száz lépést kúszik. Most Akhilleusz nyolcszáz lépéssel megelőzi a teknősbékát.

Ez a megközelítés adekvát módon írja le a valóságot minden logikai paradoxon nélkül. De ez nem teljes megoldás a problémára. Einstein kijelentése a fénysebesség leküzdhetetlenségéről nagyon hasonlít Zénón „Achilles és a teknős” című apóriájához. Ezt a problémát még tanulmányoznunk, újra kell gondolnunk és meg kell oldanunk. A megoldást pedig nem végtelenül nagy számokban, hanem mértékegységekben kell keresni.

Zénón egy másik érdekes apóriája egy repülő nyílról mesél:

A repülő nyíl mozdulatlan, mivel az idő minden pillanatában nyugalomban van, és mivel minden pillanatban nyugalomban van, mindig nyugalomban van.

Ebben az apóriában a logikai paradoxont ​​nagyon egyszerűen leküzdjük - elég tisztázni, hogy a repülő nyíl minden egyes pillanatban nyugalomban van a tér különböző pontjain, ami valójában mozgás. Itt még egy szempontot kell megjegyezni. Egy úton lévő autóról készült fénykép alapján lehetetlen meghatározni sem a mozgás tényét, sem a távolságot. Az autó mozgásának tényének megállapításához két, ugyanarról a pontról, különböző időpontokban készült fényképre van szükség, de ezek alapján nem lehet meghatározni a távolságot. Az autótól való távolság meghatározásához két fényképre van szükség, amelyek a tér különböző pontjairól készültek egyidejűleg, de nem tudja meghatározni a mozgás tényét (természetesen további adatokra van szükség a számításokhoz, a trigonometria segít) . Amit különösen szeretnék rámutatni, az az, hogy két pont az időben és két pont a térben két különböző dolog, amelyeket nem szabad összetéveszteni, mivel eltérő lehetőségeket biztosítanak a felfedezéshez.
A folyamatot egy példán mutatom be. Kiválasztjuk a "piros szilárd pattanásban" - ez a mi "egészünk". Ugyanakkor azt látjuk, hogy ezek a dolgok íjjal vannak, és vannak íj nélküli dolgok. Ezt követően kiválasztunk egy részt az „egészből”, és egy készletet alkotunk „egy íjjal”. A sámánok így táplálják magukat azzal, hogy halmazelméletüket a valósághoz kötik.

Most csináljunk egy kis trükköt. Vegyük a "szilárd pattanásban masnival" és egyesítsük ezeket az "egészeket" szín szerint, piros elemeket kiválasztva. Sok "pirost" kaptunk. Most egy trükkös kérdés: a kapott "masnival" és "piros" készletek ugyanazok, vagy két különböző készlet? Csak a sámánok tudják a választ. Pontosabban ők maguk nem tudnak semmit, de ahogy mondják, úgy legyen.

Ez az egyszerű példa azt mutatja, hogy a halmazelmélet teljesen haszontalan, ha a valóságról van szó. mi a titok? Készítettünk egy készletet "piros, tömör pattanásból masnival". A formálás négy különböző mértékegység szerint történt: szín (piros), szilárdság (szilárdság), érdesség (dudorban), díszítések (masnival). Csak a mértékegységek halmaza teszi lehetővé a valós objektumok megfelelő leírását a matematika nyelvén. Így néz ki.

Az "a" betű különböző indexekkel jelöli különböző egységek mérések. Zárójelben kiemelve vannak a mértékegységek, amelyek szerint az "egész" kiosztásra kerül az előzetes szakaszban. A zárójelekből kivesszük azt a mértékegységet, amely szerint a halmaz kialakul. Az utolsó sor a végeredményt mutatja - a készlet egy elemét. Mint látható, ha mértékegységeket használunk egy halmaz kialakításához, akkor az eredmény nem függ cselekvéseink sorrendjétől. És ez a matematika, és nem a sámánok tánca tamburával. A sámánok „intuitív módon” ugyanerre az eredményre juthatnak, „nyilvánvalósággal” érvelve, mert a mértékegységek nem szerepelnek „tudományos” arzenáljukban.

A mértékegységek segítségével nagyon egyszerűen feltörhet egy vagy több készletet egy szuperszettbe. Nézzük meg közelebbről ennek a folyamatnak az algebráját.