Az A mátrix minden sorát e i = (a i 1 a i 2 …, a in) jelöli (például,
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n) stb.). Mindegyik sormátrix, amely megszorozható egy számmal, vagy hozzáadható egy másik sorhoz Általános szabályok műveletek mátrixokkal.

Lineáris kombináció Az e l , e 2 ,...e k egyeneseket e sorok tetszőleges valós számok szorzatának összegének nevezzük:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k, ahol l l, l 2,..., l k tetszőleges számok (egy lineáris kombináció együtthatói).

Az e l , e 2 ,...e m mátrix sorait nevezzük lineárisan függő, ha vannak olyan l l , l 2 ,..., l m számok, amelyek egyidejűleg nem egyenlők nullával, úgy, hogy a mátrix sorainak lineáris kombinációja egyenlő a nulla sorral:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, ahol 0 = (0 0...0).

A mátrix sorai közötti lineáris kapcsolat azt jelenti, hogy a mátrix legalább egy sora a többi sor lineáris kombinációja. Valóban, a határozottság kedvéért legyen az utolsó l m ¹ 0. Ezután az egyenlőség mindkét oldalát elosztva l m-rel, az utolsó sor kifejezését kapjuk a fennmaradó sorok lineáris kombinációjaként:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1.

Ha a sorok lineáris kombinációja akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha minden együttható nulla, azaz. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, akkor a sorokat ún. lineárisan független.

Mátrix rangtétel. Egy mátrix rangja megegyezik a lineárisan független sorok vagy oszlopok maximális számával, amelyen keresztül az összes többi sora vagy oszlopa lineárisan kifejezhető.

Bizonyítsuk be ezt a tételt. Legyen egy m x n méretű A mátrixnak r rangja (r(A) £ min (m; n)). Következésképpen létezik egy r-edrendű, nullától eltérő moll. Minden ilyen kiskorút fel fogunk hívni alapvető. Legyen kiskorú, hogy világos legyen

Ennek a minornak a sorait is hívják alapvető.

Bizonyítsuk be, hogy akkor az e l , e 2 ,...e r mátrix sorai lineárisan függetlenek. Tegyük fel az ellenkezőjét, pl. ezen sorok egyike, például az r-ik, a többi lineáris kombinációja: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Ekkor ha kivonunk elemek r-th sorok az 1. sor elemei szorozva l l -el, a 2. sor elemei szorozva l 2 -vel stb., végül az (r-1) sor elemei l r-1 szorozva, majd rth vonal nulla lesz. Ebben az esetben a determináns tulajdonságai szerint a fenti determináns ne változzon, ugyanakkor egyenlő legyen nullával. Ellentmondást kapunk, és bizonyítjuk a sorok lineáris függetlenségét.

Most bebizonyítjuk, hogy a mátrix bármely (r+1) sora lineárisan függő, azaz. bármely karakterlánc kifejezhető az alapvető karakterláncokkal.

Egészítsük ki a korábban figyelembe vett melléket még egy sorral (i-edik) és még egy oszloppal (j-edik). Ennek eredményeként egy (r+1) rendű minort kapunk, amely a rang definíciója szerint egyenlő nullával.

hol van néhány szám (ezek közül néhány vagy akár mindegyik nulla lehet). Ez azt jelenti, hogy az oszlopok elemei között a következő egyenlőségek vannak:

A (3.3.1)-ből az következik, hogy

Ha a (3.3.3) egyenlőség akkor és csak akkor igaz, akkor a sorokat lineárisan függetlennek nevezzük. A (3.3.2) reláció azt mutatja, hogy ha az egyik sor lineárisan van kifejezve a többivel, akkor a sorok lineárisan függőek.

Könnyen belátható az ellenkezője: ha a karakterláncok lineárisan függőek, akkor van egy karakterlánc, amely a fennmaradó karakterláncok lineáris kombinációja lesz.

Legyen például (3.3.3), akkor .

Meghatározás. Legyen egy bizonyos r-edrendű moll az A mátrixban, és ugyanannak a mátrixnak az (r+1)-edik rendű mollja teljes egészében tartalmazza a moll-ot. Azt fogjuk mondani, hogy ebben az esetben a kiskorú a kiskorúval határos (vagy határos -val).

Most egy fontos lemmát fogunk bebizonyítani.

Lemma a határos kiskorúakról. Ha az A= mátrix r rendű mollja különbözik a nullától, és minden vele határos moll egyenlő nullával, akkor az A mátrix bármely sora (oszlopa) lineáris kombinációja annak sorainak (oszlopainak), amelyek a -t alkotják.

Bizonyíték. Anélkül, hogy elveszítenénk az érvelés általánosságát, feltételezzük, hogy egy r-edrendű nem nulla moll van a bal oldalon felső sarok mátrixok A= :

.

Az A mátrix első k sora esetén a lemma kijelentése nyilvánvaló: elegendő egy lineáris kombinációba ugyanazt a sort bevenni, amelynek együtthatója egyenlő egy, a többit pedig nullával egyenlő együtthatókkal.

Most bizonyítsuk be, hogy az A mátrix fennmaradó sorai lineárisan vannak kifejezve az első k soron keresztül. Ehhez egy (r+1) rendű mollot állítunk össze úgy, hogy a k-adik sort () hozzáadjuk a mollhoz, és l oszlop():

.

A kapott moll egyenlő nullával minden k és l esetén. Ha , akkor egyenlő nullával, mivel két azonos oszlopot tartalmaz. Ha , akkor a kapott moll a lemma feltételei szerint egy élmoll, és ezért egyenlő nullával.

Bontsuk fel a moll elemeit az utolsó elemei szerint l oszlop:

Feltételezve a következőket kapjuk:

(3.3.6)

A (3.3.6) kifejezés azt jelenti k-edik sor Az A mátrix lineárisan fejeződik ki az első r soron keresztül.

Mivel egy mátrix transzponálásakor a minorok értékei nem változnak (a determinánsok tulajdonsága miatt), így minden bizonyított igaz az oszlopokra is. A tétel bizonyítást nyert.

Következmény I. A mátrix bármely sora (oszlopa) az alapsorok (oszlopok) lineáris kombinációja. Valójában a mátrix alapmollja nem nulla, és minden vele határos moll egyenlő nullával.

Következmény II. Egy n-edrendű determináns akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha lineárisan függő sorokat (oszlopokat) tartalmaz. A sorok (oszlopok) lineáris függésének elegendőségét ahhoz, hogy a determináns nullával egyenlő legyen, korábban a determinánsok tulajdonságaként bizonyítottuk.

Bizonyítsuk be a szükségességet. Adjunk egy n-edrendű négyzetmátrixot, amelynek egyetlen mollja nulla. Ebből következik, hogy ennek a mátrixnak a rangja kisebb, mint n, azaz. van legalább egy olyan sor, amely ennek a mátrixnak az alapsorainak lineáris kombinációja.

Bizonyítsunk be egy másik tételt a mátrix rangjáról.

Tétel. A mátrix lineárisan független sorainak maximális száma megegyezik a lineárisan független oszlopok maximális számával, és megegyezik a mátrix rangjával.

Bizonyíték. Legyen az A= mátrix rangja r-vel. Ekkor bármelyik k alapsora lineárisan független, különben a bázis-moll egyenlő lenne nullával. Másrészt bármely r+1 vagy több sor lineárisan függő. Ennek ellenkezőjét feltételezve találhatunk egy r-nél nagyobb rendű mollot, amely nem nulla az előző lemma 2. következményével. Ez utóbbi ellentmond annak, hogy a nem nulla kiskorúak maximális rendje r. Minden, ami a sorokra bevált, igaz az oszlopokra is.

Végezetül felvázolunk egy másik módszert a mátrix rangjának meghatározására. A mátrix rangja úgy határozható meg, hogy keresünk egy nullától eltérő maximális rendű minort.

Ez első ránézésre számítást igényel, bár véges, de talán nagyon nagyszámú ennek a mátrixnak a kiskorúi.

A következő tétel azonban lehetővé teszi, hogy ebben jelentős egyszerűsítéseket vezessünk be.

Tétel. Ha az A mátrix mollja nem nulla, és minden vele határos moll egyenlő nullával, akkor a mátrix rangja egyenlő r-rel.

Bizonyíték. Elegendő megmutatni, hogy S>r mátrixsorainak bármely alrendszere lineárisan függ a tétel feltételei között (ebből az következik, hogy r a lineárisan független mátrixsorok maximális száma vagy bármely, k-nál nagyobb rendű minor egyenlőek nullával).

Tegyük fel az ellenkezőjét. Legyenek a sorok lineárisan függetlenek. A határos kiskorúak lemmája szerint mindegyik lineárisan lesz kifejezve a mollot tartalmazó sorokkal, amelyek – mivel nem nullák – lineárisan függetlenek:

Most nézzük a következő lineáris kombinációt:

vagy

(3.3.7) és (3.3.8) felhasználásával kapjuk

,

ami ellentmond a lineáris sorfüggetlenségnek.

Következésképpen a feltevésünk hibás, ezért a tétel feltételei szerint bármely S>r sor lineárisan függ. A tétel bizonyítást nyert.

Tekintsük a mátrix rangjának kiszámításának szabályát - a kiskorúak határolásának módszerét, ezen a tételen alapulva.

A mátrix rangjának számításakor az alacsonyabb rendű kiskorúaktól a magasabb rendűek felé kell elmozdulni. Ha már találtunk nullától eltérő r-edrendű mollokat, akkor csak a mollmal határos (r+1)-edik rendű mollokat kell kiszámítani. Ha egyenlők nullával, akkor a mátrix rangja egyenlő r-rel. Ezt a módszert akkor is alkalmazzuk, ha nemcsak a mátrix rangját számítjuk ki, hanem azt is meghatározzuk, hogy mely oszlopok (sorok) alkotják a mátrix alapmollját.

Példa. Számítsa ki a mátrix rangját a bordering minors módszerrel!

Megoldás. Az A mátrix bal felső sarkában található másodrendű moll nem nulla:

.

Azonban minden harmadrendű kiskorú, amely körülveszi, egyenlő nullával:

;	;
;	;
;	.

Ezért az A mátrix rangja egyenlő kettővel: .

Ebben a mátrixban az első és a második sor, az első és a második oszlop alapvető. A fennmaradó sorok és oszlopok ezek lineáris kombinációi. Valójában a következő egyenlőségek érvényesek a karakterláncokra:

Végezetül megjegyezzük a következő tulajdonságok érvényességét:

1) a mátrixok szorzatának rangja nem nagyobb, mint az egyes tényezők rangja;

2) egy tetszőleges A mátrix jobb vagy bal oldali szorzata egy nem szinguláris Q négyzetmátrixszal egyenlő az A mátrix rangjával.

Polinom mátrixok

Meghatározás. A polinommátrix vagy -mátrix egy téglalap alakú mátrix, amelynek elemei egy változóban lévő polinomok numerikus együtthatókkal.

Elemi transzformációk végezhetők -mátrixokon. Ezek tartalmazzák:

Két sor (oszlopok) átrendezése;

Egy sor (oszlop) szorzása nullától eltérő számmal;

Egy sorhoz (oszlophoz) egy másik sor (oszlop) hozzáadása tetszőleges polinommal szorozva.

Két azonos méretű -mátrixot ekvivalensnek mondunk: , ha a mátrixról át tudunk lépni véges számú elemi transzformáció használatára.

Példa. Bizonyítsuk be a mátrix ekvivalenciáját

,

.

1. Cserélje fel a mátrix első és második oszlopát:

.

2. A második sorból vonja ki az elsőt, szorozva (-vel):

.

3. Szorozza meg a második sort (–1)-gyel, és vegye figyelembe

.

4. Vonjuk ki a második oszlopból az elsőt, szorozva -vel, azt kapjuk

.

Az összes adott méretű -mátrix halmaza ekvivalens mátrixok diszjunkt osztályaira van felosztva. Az egymással ekvivalens mátrixok egy osztályt alkotnak, a nem ekvivalensek pedig egy másik osztályt.

Az ekvivalens mátrixok minden osztályát egy adott dimenziójú kanonikus vagy normál mátrix jellemzi.

Meghatározás. A kanonikus vagy normál méretmátrix egy olyan mátrix, amelynek főátlója polinomokat tartalmaz, ahol p a kisebbik m és n számok közül. ), és a nullával nem egyenlő polinomok vezető együtthatója 1, és minden további polinom el van osztva az előzővel. A főátlón kívüli összes elem 0.

A definícióból az következik, hogy ha a polinomok között vannak nulla fokú polinomok, akkor azok a főátló elején vannak. Ha vannak nullák, akkor azok a főátló végén vannak.

Az előző példa mátrixa kanonikus. Mátrix

kanonikus is.

A -mátrixok minden osztálya egyedi kanonikus -mátrixot tartalmaz, azaz. Minden -mátrix egyenértékű egy egyedi kanonikus mátrixszal, amelyet a mátrix kanonikus vagy normál formájának neveznek.

Az adott -mátrix kanonikus alakjának főátlóján elhelyezkedő polinomokat a mátrix invariáns tényezőinek nevezzük.

Az invariáns tényezők kiszámításának egyik módja az, hogy egy adott -mátrixot kanonikus formára redukálunk.

Így az előző példa mátrixánál az invariáns tényezők az

A fentiekből következik, hogy az invariáns tényezők azonos halmazának jelenléte szükséges és elégséges feltétele a -mátrixok ekvivalenciájának.

A -mátrixok kanonikus formára redukálása invariáns tényezők meghatározására redukálódik

, ; ,

ahol r a mátrix rangja; - a k-adrendű kiskorúak legnagyobb közös osztója, 1-es vezető együtthatóval.

Példa. Legyen adott -mátrix

.

Megoldás. Nyilvánvalóan az elsőrendű legnagyobb közös osztó, i.e. .

Határozzuk meg a másodrendű kiskorúakat:

,

stb.

Már ezek az adatok is elegendőek a következtetés levonásához: tehát .

Meghatározzuk

,

Ennélfogva, .

Így ennek a mátrixnak a kanonikus formája a következő -mátrix:

.

A mátrixpolinom az alak kifejezése

ahol változó; - n rendű négyzetmátrixok numerikus elemekkel.

Ha , akkor S-t a mátrixpolinom fokszámának nevezzük, n a mátrixpolinom rendje.

Bármely másodfokú -mátrix ábrázolható mátrixpolinomként. Nyilván az ellenkező állítás is igaz, pl. bármely mátrixpolinom négyzetmátrixként ábrázolható.

Ezen állítások érvényessége egyértelműen következik a mátrixokkal végzett műveletek tulajdonságaiból. Nézzük a következő példákat:

Példa. Polinomiális mátrix ábrázolása

mátrixpolinom formájában az alábbiak szerint

.

Példa. Mátrix polinom

a következő polinommátrixként ábrázolható ( -mátrix)

.

A mátrixpolinomok és polinommátrixok felcserélhetősége jelentős szerepet játszik a faktor- és komponenselemzési módszerek matematikai apparátusában.

Az azonos rendű mátrixpolinomok ugyanúgy összeadhatók, kivonhatók és szorozhatók, mint a numerikus együtthatós közönséges polinomok. Nem szabad azonban elfelejteni, hogy a mátrixpolinomok szorzása általában véve nem kommutatív, mivel A mátrixszorzás nem kommutatív.

Két mátrixpolinomot egyenlőnek mondunk, ha az együtthatójuk egyenlő, azaz. megfelelő mátrixok a változó azonos hatványaihoz.

Két mátrixpolinom összege (különbsége) egy olyan mátrixpolinom, amelynek együtthatója a változó minden fokára megegyezik a és a polinomok azonos fokára vonatkozó együtthatók összegével (különbségével).

Egy mátrixpolinom mátrixpolinommal való szorzásához meg kell szorozni a mátrixpolinom minden tagját a mátrixpolinom minden tagjával, össze kell adni a kapott szorzatokat, és hasonló tagokat kell hozni.

A mátrixpolinom fokszáma egy olyan szorzat, amely kisebb vagy egyenlő, mint a tényezők fokszámainak összege.

A mátrixpolinomokon végzett műveletek végrehajthatók a megfelelő -mátrixokon végzett műveletek segítségével.

Mátrixpolinomok összeadásához (kivonásához) elegendő a megfelelő -mátrixokat összeadni (kivonni). Ugyanez vonatkozik a szorzásra is. -mátrixpolinomok szorzatának mátrixa egyenlő a tényezők -mátrixainak szorzatával.

Másrészt és formába írható

ahol B 0 egy nem szinguláris mátrix.

Ha osztva van egy egyedi jobb hányados és egy jobb maradék

ahol R 1 foka kisebb, mint a , vagy fok (osztás maradék nélkül), valamint a bal hányados és a bal maradék akkor és csak akkor, hol sorrendben

Tekintsünk egy tetszőleges, nem feltétlenül négyzetes, mxn méretű A mátrixot.

Mátrix rang.

A mátrix rang fogalma a mátrix sorai (oszlopai) lineáris függésének (függetlenségének) fogalmához kapcsolódik. Tekintsük ezt a fogalmat a húrokra. Oszlopokhoz - hasonlóan.

Jelöljük az A mátrix drénjeit:

e 1 =(a 11,a 12,…,a 1n); e 2 =(a 21,a 22,…,a 2n);…, e m =(a m1,a m2,…,a mn)

e k =e s ha a kj =a sj , j=1,2,…,n

Aritmetikai műveletek a mátrix sorai felett (összeadás, szorzás egy számmal) elemenként végrehajtott műveletekként kerülnek bevezetésre: λе k =(λа k1,λа k2,…,λа kn);

e k +е s =[(a k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(a kn +a sn)].

Az e vonalat hívják lineáris kombináció e 1, e 2,…, e k sorok, ha egyenlő e sorok tetszőleges valós számok szorzatának összegével:

e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k

Az e 1, e 2,…, e m sorokat hívjuk lineárisan függő, ha vannak λ 1 ,λ 2 ,…,λ m valós számok, amelyek nem mindegyike egyenlő nullával, akkor ezeknek a karakterláncoknak a lineáris kombinációja egyenlő a nulla karakterlánccal: λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ m e m = 0 ,Ahol 0 =(0,0,…,0) (1)

Ha egy lineáris kombináció akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha minden λ i együttható nulla (λ 1 =λ 2 =...=λ m =0), akkor az e 1, e 2,..., e m hívják lineárisan független.

1. tétel. Ahhoz, hogy az e 1 , e 2 ,…, e m karakterláncok lineárisan függőek legyenek, szükséges és elegendő, hogy e karakterláncok egyike a fennmaradó karakterláncok lineáris kombinációja legyen.

Bizonyíték. Szükségesség. Legyenek az e 1, e 2,…, e m karakterláncok lineárisan függőek. A határozottság kedvéért hadd (1) λ m ≠0, akkor

Hogy. az e m karakterlánc a fennmaradó karakterláncok lineáris kombinációja. Stb.

Megfelelőség. Legyen az egyik karakterlánc, például e m, a fennmaradó karakterláncok lineáris kombinációja. Aztán lesznek olyan számok, amelyekre az egyenlőség érvényes, és ezeket át lehet írni a formába

ahol az együtthatók közül legalább 1 (-1) nem egyenlő nullával. Azok. a sorok lineárisan függőek. Stb.

Meghatározás. Kisebb k-edik rend Az mxn méretű A mátrixot k-edrendű determinánsnak nevezzük, amelynek elemei az A mátrix tetszőleges k sora és k oszlopa metszéspontjában helyezkednek el. (k≤min(m,n)). .

Példa., I. rendű kiskorúak: =, =;

2. rendű kiskorúak: , 3. rend

Egy 3. rendű mátrixban 9 1. rendű minor, 9 2. rendű moll és 1 3. rendű minor van (ennek a mátrixnak a meghatározója).

Meghatározás. Az A mátrix rangja ennek a mátrixnak a nullától eltérő minorjainak legmagasabb rendje. Megnevezés - rg A vagy r(A).

Mátrix rang tulajdonságai.

1) az A nxm mátrix rangja nem haladja meg a méretei közül a kisebbet, azaz.

r(A)≤min(m,n).

2) r(A)=0, ha minden mátrixelem egyenlő 0-val, azaz. A=0.

3) Egy n-edrendű A négyzetmátrixhoz r(A)=n, ha A nem degenerált.

(Egy átlós mátrix rangja megegyezik a nem nulla átlós elemeinek számával).

4) Ha egy mátrix rangja egyenlő r-rel, akkor a mátrixban van legalább egy r-rendű moll, amely nem egyenlő nullával, és minden magasabb rendű moll egyenlő nullával.

A következő összefüggések érvényesek a mátrix rangjaira:

2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min(r(A),r(B));

3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(AT A)=r(A);

5) r(AB)=r(A), ha B négyzetes nem szinguláris mátrix.

6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n, ahol n az A mátrix oszlopainak vagy a B mátrix sorainak száma.

Meghatározás. Egy r(A) rendű, nullától eltérő mollot hívunk alap moll. (Az A mátrixban több alap minor lehet). Azokat a sorokat és oszlopokat, amelyek metszéspontjában van egy bázis-moll, rendre hívjuk alaphúrokÉs alaposzlopok.

2. Tétel (az alap-mollról). Az alatta lévő sorok (oszlopok) lineárisan függetlenek. Az A mátrix bármely sora (bármely oszlopa) az alapsorok (oszlopok) lineáris kombinációja.

Bizonyíték. (Húrokhoz). Ha az alapsorok lineárisan függőek lennének, akkor az (1) Tétel szerint ezen sorok egyike más alapsorok lineáris kombinációja, akkor az alapmoll értékének megváltoztatása nélkül ebből a sorból kivonhatja a jelzett lineáris kombinációt. és kap egy nulla sort, és ez ellentmond annak, hogy az alap-moll különbözik a nullától. Hogy. az alapsorok lineárisan függetlenek.

Bizonyítsuk be, hogy az A mátrix bármely sora a bázissorok lineáris kombinációja. Mert a sorok (oszlopok) tetszőleges változtatásával a determináns megtartja azt a tulajdonságát, hogy egyenlő nullával, akkor az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy a bázis-moll a mátrix bal felső sarkában van

A=, azok. az első r sorban és az első r oszlopban található. Legyen 1£j£n, 1£i£m. Mutassuk meg, hogy az (r+1) rendű determináns

Ha j£r vagy i£r, akkor ez a determináns egyenlő nullával, mert két egyforma oszlopa vagy két egyforma sora lesz.

Ha j>r és i>r, akkor ez a determináns az A mátrix (r+1)-edik rendű minora. A mátrix rangja r, ami azt jelenti, hogy bármely magasabb rendű moll egyenlő 0-val.

Az utolsó (hozzáadott) oszlop elemei szerint bővítve azt kapjuk

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0, ahol az utolsó A ij algebrai komplementer egybeesik az M r bázismollral, ezért A ij = M r ≠0.

Az utolsó egyenlőséget elosztva A ij-vel, az a ij elemet lineáris kombinációként fejezhetjük ki: , ahol .

Rögzítsük i (i>r) értékét, és állapítsuk meg, hogy bármely j-re (j=1,2,…,n) az elemek i-edik sor e i lineárisan az e 1, e 2,…, e r sorok elemein keresztül fejeződik ki, azaz. i-edik sor a bázis karakterláncok lineáris kombinációja: . Stb.

3. Tétel (szükséges és elégséges feltétele, hogy a determináns nullával egyenlő legyen). Ahhoz, hogy az n-edrendű D determináns nullával egyenlő legyen, szükséges és elegendő, hogy sorai (oszlopai) lineárisan függőek legyenek.

Bizonyítás (40.o.). Szükségesség. Ha a D n-edrendű determináns nulla, akkor mátrixának alapmollja r rendű

Így az egyik sor a többi lineáris kombinációja. Ekkor az 1. Tétel szerint a determináns sorai lineárisan függőek.

Megfelelőség. Ha a D sorok lineárisan függőek, akkor az 1. Tétel szerint egy A i sor a fennmaradó sorok lineáris kombinációja. Az A i karakterláncból a megadott lineáris kombinációt kivonva D értékének megváltoztatása nélkül nulla karakterláncot kapunk. Ezért a determinánsok tulajdonságai szerint D=0. stb.

4. tétel. Az elemi transzformációk során a mátrix rangja nem változik.

Bizonyíték. Ahogy a determinánsok tulajdonságainak figyelembe vételekor kiderült, négyzetmátrixok transzformációja során a determinánsaik vagy nem változnak, vagy megszorozódnak egy nem nulla számmal, vagy változnak az előjel. Ebben az esetben az eredeti mátrix nullától eltérő molljainak legmagasabb rendje megmarad, pl. a mátrix rangja nem változik. Stb.

Ha r(A)=r(B), akkor A és B az megfelelője: A~B.

5. tétel. Elemi transzformációkkal redukálhatja a mátrixot lépcsős nézet. A mátrix az ún lépésenként, ha a következő formában van:

A=, ahol a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k.

Az r≤k feltétel mindig elérhető transzponálással.

6. tétel. Egy echelon mátrix rangja megegyezik a nem nulla sorok számával .

Azok. A lépésmátrix rangja egyenlő r-rel, mert van egy nem nulla r-rendű moll:

Hadd

Dimenziós mátrixoszlopok. Mátrixoszlopok lineáris kombinációja oszlopmátrixnak nevezzük, néhány valós vagy komplex számmal lineáris kombinációs együtthatók. Ha egy lineáris kombinációban az összes együtthatót nullával egyenlőnek vesszük, akkor a lineáris kombináció egyenlő a nulla oszlopmátrixszal.

A mátrix oszlopait ún lineárisan független , ha lineáris kombinációjuk csak akkor egyenlő nullával, ha a lineáris kombináció összes együtthatója nulla. A mátrix oszlopait ún lineárisan függő , ha van egy olyan számhalmaz, amelyek közül legalább egy nem nulla, és az ezekkel az együtthatókkal rendelkező oszlopok lineáris kombinációja nulla

Hasonlóképpen adható meg a mátrixsorok lineáris függésének és lineáris függetlenségének definíciója. A következőkben minden tétel a mátrix oszlopaira van megfogalmazva.

5. tétel

Ha a mátrixoszlopok között nulla van, akkor a mátrixoszlopok lineárisan függőek.

Bizonyíték. Tekintsünk egy lineáris kombinációt, amelyben minden együttható nullával egyenlő minden nem nulla oszlopban, és egy minden nulla oszlopban. Ez egyenlő nullával, és a lineáris kombináció együtthatói között van egy nem nulla együttható. Ezért a mátrix oszlopai lineárisan függőek.

6. tétel

Ha mátrixoszlopok lineárisan függőek, ez minden mátrixoszlopok lineárisan függőek.

Bizonyíték. A határozottság kedvéért feltételezzük, hogy a mátrix első oszlopai lineárisan függő. Ekkor a lineáris függés definíciója szerint van egy olyan számhalmaz, amelyek közül legalább egy nem nulla, és az ezekkel az együtthatókkal rendelkező oszlopok lineáris kombinációja egyenlő nullával.

Készítsünk lineáris kombinációt a mátrix összes oszlopából, beleértve a többi nulla együtthatójú oszlopot is

De . Ezért a mátrix összes oszlopa lineárisan függ.

Következmény. A lineárisan független mátrixoszlopok közül bármelyik lineárisan független. (Ez az állítás könnyen ellentmondással igazolható.)

7. tétel

Ahhoz, hogy egy mátrix oszlopai lineárisan függőek legyenek, szükséges és elegendő, hogy a mátrix legalább egy oszlopa a többi oszlop lineáris kombinációja legyen.

Bizonyíték.

Szükségesség. Legyenek a mátrix oszlopai lineárisan függőek, azaz van egy olyan számhalmaz, amelyek közül legalább egy különbözik nullától, és az oszlopok lineáris kombinációja ezekkel az együtthatókkal egyenlő nullával

Tegyük fel a határozottság kedvéért, hogy . Ez azt jelenti, hogy az első oszlop a többi lineáris kombinációja.

Megfelelőség. Legyen a mátrix legalább egy oszlopa a többi lineáris kombinációja, például , ahol néhány szám van.

Ekkor , azaz az oszlopok lineáris kombinációja egyenlő nullával, és a lineáris kombinációban lévő számok közül legalább egy (at ) különbözik nullától.

Legyen a mátrix rangja . Bármely 1. rendű nem nulla moll meghívásra kerül alapvető . Azokat a sorokat és oszlopokat hívjuk, amelyek metszéspontjában alap-moll található alapvető .

A lineáris függés és a lineáris függetlenség fogalma sorokra és oszlopokra egyaránt definiálva van. Ezért az ezekhez a fogalmakhoz kapcsolódó, oszlopokra megfogalmazott tulajdonságok természetesen a sorokra is érvényesek.

1. Ha egy oszloprendszer nulla oszlopot tartalmaz, akkor az lineárisan függő.

2. Ha egy oszloprendszerben két egyenlő oszlop van, akkor ez lineárisan függő.

3. Ha egy oszloprendszerben két arányos oszlop van, akkor ez lineárisan függő.

4. Egy oszloprendszer akkor és csak akkor lineárisan függ, ha legalább az egyik oszlop a többi lineáris kombinációja.

5. A lineárisan független rendszerben lévő bármely oszlop lineárisan független alrendszert alkot.

6. A lineárisan függő alrendszert tartalmazó oszloprendszer lineárisan függő.

7. Ha egy oszloprendszer lineárisan független, és egy oszlop hozzáadása után kiderül, hogy lineárisan függő, akkor az oszlop oszlopokká bővíthető, ráadásul egyedi módon, pl. a tágulási együtthatók egyedileg megtalálhatók.

Bizonyítsuk be például az utolsó tulajdonságot. Mivel az oszloprendszer lineárisan függő, vannak olyan számok, amelyek nem mindegyike egyenlő 0-val, ami

Ebben az egyenlőségben. Sőt, ha , akkor

Ez azt jelenti, hogy az oszlopok nemtriviális lineáris kombinációja egyenlő a nulla oszloppal, ami ellentmond a rendszer lineáris függetlenségének. Ezért és akkor, i.e. az oszlop oszlopok lineáris kombinációja. Továbbra is meg kell mutatni egy ilyen ábrázolás egyediségét. Tegyük fel az ellenkezőjét. Legyen két bővítés és , és a kiterjesztések nem minden együtthatója egyenlő egymással (például ). Aztán az egyenlőségtől

Azt kapjuk, hogy (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o

szekvenciálisan az oszlopok lineáris kombinációja egyenlő a nulla oszloppal. Mivel nem minden együtthatója egyenlő (legalábbis) nullával, ez a kombináció nem triviális, ami ellentmond az oszlopok lineáris függetlenségének feltételének. Az ebből eredő ellentmondás megerősíti a bővítés egyediségét.

Példa 3.2. Bizonyítsuk be, hogy két nem nulla oszlop és akkor és csak akkor lineárisan függ, ha arányos, azaz. .

Megoldás. Valójában, ha az oszlopok lineárisan függőek, akkor vannak olyan számok, amelyek egyidejűleg nem egyenlők nullával, így . És ebben az egyenlőségben. Valóban, ha feltételezzük, hogy , akkor ellentmondást kapunk, mivel az oszlop szintén nem nulla. Azt jelenti,. Ezért van egy olyan szám, hogy . A szükségesség bebizonyosodott.

Ezzel szemben, ha , akkor . Az oszlopok nem triviális lineáris kombinációját kaptuk, amely egyenlő a nulla oszloppal. Ez azt jelenti, hogy az oszlopok lineárisan függenek.

Példa 3.3. Tekintsünk mindenféle oszlopból kialakított rendszert

Vizsgálja meg az egyes rendszereket lineáris függőség szempontjából.
Megoldás. Tekintsünk öt rendszert, amelyek egy-egy oszlopot tartalmaznak. A 3.1. megjegyzés 1. bekezdése szerint: a rendszerek lineárisan függetlenek, egy nulla oszlopból álló rendszer pedig lineárisan függő.

Tekintsünk két oszlopot tartalmazó rendszereket:

– mind a négy rendszer lineárisan függő, mivel nulla oszlopot tartalmaz (1. tulajdonság);

– a rendszer lineárisan függő, mivel az oszlopok arányosak (3. tulajdonság): ;

– mind az öt rendszer lineárisan független, mivel az oszlopok aránytalanok (lásd a 3.2. példa megállapítását).

Tekintsünk három oszlopot tartalmazó rendszereket:

– mind a hat rendszer lineárisan függő, mivel nulla oszlopot tartalmaz (1. tulajdonság);

– a rendszerek lineárisan függőek, mivel tartalmaznak egy lineárisan függő alrendszert (6. tulajdonság);

– rendszerek és lineárisan függőek, mivel az utolsó oszlop lineárisan van kifejezve a többivel (4. tulajdonság): ill.

Végül a négy vagy öt oszlopból álló rendszerek lineárisan függőek (a 6. tulajdonság szerint).

Mátrix rang

Ebben a részben a mátrix egy másik fontos numerikus jellemzőjét vizsgáljuk meg, amely azzal kapcsolatos, hogy a sorai (oszlopai) milyen mértékben függenek egymástól.

Meghatározás 14.10 Legyen egy méretmátrix és egy olyan szám, amely nem haladja meg a számok közül a legkisebbet: . Véletlenszerűen válasszuk ki a mátrix sorait és oszlopait (a sorszámok eltérhetnek az oszlopok számától). A kiválasztott sorok és oszlopok metszéspontjában lévő elemekből álló mátrix determinánsát mátrixsorrendű minornak nevezzük.

Példa 14.9 Hadd .

Az elsőrendű moll a mátrix bármely eleme. Tehát 2, , elsőrendű kiskorúak.

Másodrendű kiskorúak:

1. vegyük az 1., 2. sorokat, az 1., 2. oszlopot, kisebbet kapunk ;

2. vegyük az 1., 3. sorokat, a 2., 4. oszlopot, kisebbet kapunk ;

3. vegyük a 2., 3. sort, az 1., 4. oszlopot, moll-ot kapunk

Harmadrendű kiskorúak:

a sorokat itt csak egy módon lehet kiválasztani,

1. vegyük az 1., 3., 4. oszlopot, moll-ot kapunk ;

2. vegyük az 1., 2., 3. oszlopot, moll-ot kapunk .

14.23. javaslat Ha egy sorrendi mátrix minden mollja egyenlő nullával, akkor a sorrend minden mollja, ha létezik, szintén nulla.

Bizonyíték. Vegyünk egy tetszőleges kisebb rendet. Ez a sorrendi mátrix meghatározója. Bontsuk fel az első sor mentén. Ekkor a bővítés minden tagjában az egyik tényező az eredeti mátrix nagyságrendjéhez képest kisebb lesz. Feltétel szerint a kiskorúak sorrendje nullával egyenlő. Ezért a sorrend mollja egyenlő lesz nullával.

Meghatározás 14.11 A mátrix rangja a nullától eltérő mátrix minorok legnagyobb sorrendje. A nulla mátrix rangját nullának tekintjük.

A mátrix rangnak nincs egységes, szabványos megnevezése. A tankönyv nyomán jelöljük.

14.10. példa A 14.9. példa mátrixa 3-as rangú, mert van egy harmadrendű kisebb, mint nulla, de nincsenek negyedrendű mollok.

Mátrix rang egyenlő 1-gyel, mivel van egy nem nulla elsőrendű moll (mátrixelem), és minden másodrendű moll egyenlő nullával.

Egy nem szinguláris négyzetes rendű mátrix rangja egyenlő a -val, mivel a determinánsa a rend minora, és nem nulla a nem szinguláris mátrix esetében.

14.24. javaslat Amikor egy mátrixot transzponálunk, a rangja nem változik, azaz .

Bizonyíték. Az eredeti mátrix transzponált mollja az átvitt mátrix mollja lesz, és fordítva, minden moll az eredeti mátrix transzponált mollja. Transzponáláskor a determináns (minor) nem változik (14.6. állítás). Ezért, ha az eredeti mátrixban egy sorrend minden minora egyenlő nullával, akkor minden azonos sorrendű mellékpont is nullával egyenlő. Ha az eredeti mátrix rendjének mollja különbözik a nullától, akkor b azonos sorrendű, nullától eltérő moll. Ennélfogva, .

Meghatározás 14.12 Legyen a mátrix rangja . Ekkor a zérustól eltérő sorrendű mollokat alapmollnak nevezünk.

Példa 14.11 Hadd . A mátrix determinánsa nulla, mivel a harmadik sor egyenlő az első kettő összegével. Az első két sorban és az első két oszlopban található másodrendű kisebb érték egyenlő . Következésképpen a mátrix rangja kettő, a figyelembe vett minor pedig alap.

Az alap-moll egyben egy moll is, amely mondjuk az első és a harmadik sorban, az első és a harmadik oszlopban található: . Az alap a második és harmadik sorban, az első és harmadik oszlopban a minor lesz: .

Az első és második sorban, valamint a második és harmadik oszlopban szereplő moll értéke nulla, ezért nem lesz alap. Az olvasó önállóan ellenőrizheti, hogy melyik másodrendű kiskorú lesz alap és melyik nem.

Mivel a mátrix oszlopai (sorai) összeadhatók, számokkal szorozhatók, és lineáris kombinációkat hozhatunk létre, lehetőség van egy mátrix oszloprendszerének (sorainak) lineáris függésének és lineáris függetlenségének meghatározására. Ezek a definíciók hasonlóak a vektorokra vonatkozó 10.14, 10.15 definíciókhoz.

Meghatározás 14.13 Az oszlopok (sorok) rendszerét lineárisan függőnek nevezzük, ha van olyan együtthatóhalmaz, amelyek közül legalább az egyik különbözik a nullától, hogy az ilyen együtthatókkal rendelkező oszlopok (sorok) lineáris kombinációja nullával egyenlő lesz.

Meghatározás 14.14 Az oszlopok (sorok) rendszere lineárisan független, ha ezen oszlopok (sorok) lineáris kombinációjának nullával való egyenlősége azt jelenti, hogy ennek a lineáris kombinációnak minden együtthatója nullával egyenlő.

A következő állítás, hasonlóan a 10.6. állításhoz, szintén igaz.

14.25 mondat Az oszlopok (sorok) rendszere akkor és csak akkor lineárisan függ, ha az egyik oszlop (az egyik sor) a rendszer többi oszlopának (sorainak) lineáris kombinációja.

Fogalmazzuk meg az ún alap moll tétel.

14.2. Tétel Bármely mátrixoszlop a bázis-mollon áthaladó oszlopok lineáris kombinációja.

A bizonyíték megtalálható a lineáris algebra tankönyvekben, például a,.

14.26. javaslat Egy mátrix rangja egyenlő a lineárisan független rendszert alkotó oszlopok maximális számával.

Bizonyíték. Legyen a mátrix rangja . Vegyük a bázis-mollon áthaladó oszlopokat. Tegyük fel, hogy ezek az oszlopok lineárisan függő rendszert alkotnak. Ekkor az egyik oszlop a többi lineáris kombinációja. Ezért alap-mollban az egyik oszlop a többi oszlop lineáris kombinációja lesz. A 14.15 és 14.18 állítások szerint ennek az alap-mollnak nullának kell lennie, ami ellentmond a bázis-moll definíciójának. Ezért nem igaz az a feltételezés, hogy a bázis-mollon átmenő oszlopok lineárisan függőek. Tehát a lineárisan független rendszert alkotó oszlopok maximális száma nagyobb vagy egyenlő, mint .

Tegyük fel, hogy az oszlopok lineárisan független rendszert alkotnak. Készítsünk belőlük mátrixot. Minden mátrix-moll mátrix-moll. Ezért a mátrix bázis-molljának rendje nem nagyobb, mint . A bázismoll tétel szerint egy mátrix bázismollján át nem haladó oszlop a bázismollon áthaladó oszlopok lineáris kombinációja, vagyis a mátrixoszlopok lineárisan függő rendszert alkotnak. Ez ellentétes a mátrixot alkotó oszlopok kiválasztásával. Ebből következően a lineárisan független rendszert alkotó oszlopok maximális száma nem lehet nagyobb, mint . Ez azt jelenti, hogy megegyezik a leírtakkal.

14.27. javaslat Egy mátrix rangja egyenlő a lineárisan független rendszert alkotó sorok maximális számával.

Bizonyíték. A 14.24. állítás szerint a mátrix rangja nem változik az átültetés során. A mátrix sorai annak oszlopaivá válnak. A transzponált mátrix új oszlopainak maximális száma (az eredeti korábbi sorai) lineárisan független rendszert alkotva megegyezik a mátrix rangjával.

14.28. javaslat Ha egy mátrix determinánsa nulla, akkor az egyik oszlopa (az egyik sor) a fennmaradó oszlopok (sorok) lineáris kombinációja.

Bizonyíték. Legyen a mátrix sorrendje egyenlő . A determináns a négyzetmátrix egyetlen kisebb része, amelynek sorrendje van. Mivel egyenlő nullával, akkor . Ebből következően az oszlopok (sorok) rendszere lineárisan függő, vagyis az egyik oszlop (az egyik sor) a többi lineáris kombinációja.

A 14.15, 14.18 és 14.28 állítások eredményei a következő tételt adják.

14.3. Tétel Egy mátrix determinánsa akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha az egyik oszlopa (az egyik sor) a fennmaradó oszlopok (sorok) lineáris kombinációja.

Egy mátrix rangjának megtalálása az összes minor kiszámításával túl sok számítási munkát igényel. (Az olvasó ellenőrizheti, hogy egy negyedrendű négyzetmátrixban 36 másodrendű minor van-e.) Ezért a rang meghatározásához más algoritmust használnak. Ennek leírásához számos további információra lesz szükség.

Meghatározás 14.15 Nevezzük a következő műveleteket mátrixok elemi transzformációinak:

1) sorok vagy oszlopok átrendezése;
2) egy sor vagy oszlop szorzata nullától eltérő számmal;
3) az egyik sorhoz egy másik sor hozzáadása egy számmal szorozva, vagy az egyik oszlophoz egy másik oszlop hozzáadása egy számmal szorozva.

14.29. javaslat Az elemi transzformációk során a mátrix rangja nem változik.

Bizonyíték. Legyen a mátrix rangja egyenlő , - az elemi transzformáció végrehajtásából származó mátrixszal.

Tekintsük a karakterláncok permutációját. Legyen a mátrix mollja, akkor a mátrixnak van egy mollja, amely vagy egybeesik vele, vagy eltér tőle a sorok átrendezésével. És fordítva, bármely mátrix-moll társítható egy mátrix-mollhoz, amely vagy egybeesik vele, vagy sorrendben eltér tőle. Ebből a tényből tehát, hogy egy mátrixban egy rend minden mollja egyenlő nullával, az következik, hogy a mátrixban ennek a sorrendnek minden mollja is egyenlő nullával. És mivel a mátrixnak van egy, a nullától eltérő rendű mollja, akkor a mátrixnak is van egy nullától eltérő rendű mollja, azaz .

Fontolja meg egy karakterlánc szorzását nullától eltérő számmal. A mátrixból származó moll egy olyan mátrixból származó mollnak felel meg, amely vagy csak egy sorban esik egybe, vagy különbözik attól, amelyet a moll sorból kapunk, ha nullától eltérő számmal megszorozzuk. Az utóbbi esetben. Minden esetben a vagy és egyidejűleg egyenlő nullával, vagy egyidejűleg nullától eltérő. Ennélfogva, .