itthon Megoldás Matematikai sémák komplex rendszerek modellezésére. Matematikai modellek osztályozása. Gazdasági és matematikai modell felépítése

Matematikai sémák komplex rendszerek modellezésére. Matematikai modellek osztályozása. Gazdasági és matematikai modell felépítése

A korábban tárgyalt komplex rendszer modellje egy általános matematikai modellezési séma. A gyakorlatban számos rendszer fogalmi modelljének formalizálásához kifizetődőbb olyan szabványos matematikai modellezési sémákat használni, amelyek egyrészt figyelembe veszik az idő megjelenítési módját a modellben (folyamatos változó vagy diszkrét), illetve másrészt a szimulált folyamatok véletlenszerűségének mértéke. Ezen jellemzők alapján a következő matematikai modellezési sémákat (MM osztályokat) különböztetjük meg.

Folyamatos - determinisztikus modellek (D - sémák).

Diszkrét - determinisztikus modellek (F - sémák).

Diszkrét - valószínűségi modellek (P - sémák).

Folyamatos - valószínűségi modellek (Q - sémák).

Hálózati modellek (N – sémák).

Aggregált modellek (A – diagramok).

Folyamatosan determinisztikus modellek. Ezekben a modellekben az idő t folytonos változónak tételezzük fel, és a rendszer véletlenszerű tényezőit figyelmen kívül hagyjuk. A modellek matematikai apparátusa a differenciál- és integrálegyenletek elmélete, melynek segítségével a dinamikus rendszerek megfelelő leírása érhető el. A dinamikus rendszerek működési folyamatainak és struktúráinak leírására és tanulmányozására szolgáló operátori módszert fejlesztették ki a legteljesebben.

Az egycsatornás automatikus vezérlőrendszer folytonosan determinisztikus modelljére példa egy nem homogén differenciálegyenlet állandó együtthatókkal.

Ebben az egyenletben x(t)- bemeneti hatás; y(t)– a vezérlőobjektum helyzetét jellemző kimeneti érték; - a rendszer belső paraméterei.

Ha egy dinamikus rendszert nemlineáris differenciálegyenlettel írunk le, akkor azt linearizáljuk és lineárisként oldjuk meg.

A folytonosan determinisztikus modellek alkalmazása lehetővé teszi a dinamikus rendszerek kvantitatív elemzésének, hanem azok optimális szintézisének elvégzését is.

Diszkrét-determinisztikus modellek. A diszkrét determinisztikus (DD) modellekben az idő t egy diszkrét változó, ahol a mintavételi lépés, és az idő diszkrét pillanatai.

A DD modellek felépítéséhez használt fő matematikai apparátus a differenciaegyenletek elmélete és a diszkrét matematika apparátusa, különösen a véges automaták elmélete.

A differenciaegyenlet olyan egyenlet, amely a kívánt függvény véges különbségeit tartalmazza

ahol a rendszer állapota és a külső hatás diszkrét időpillanatokban van.

Alkalmazott feladatokban a (2.6) formájú DD modellek gyakran köztesként merülnek fel a DD modellek számítógépen történő tanulmányozása során, amikor egy differenciálegyenletre nem lehet analitikus megoldást kapni, és differenciálsémákat kell alkalmazni.

Tekintsük röviden a véges állapotú gépek elméletét, amelyet a DD modellek felépítésére használnak.

A véges állapotú gép egy olyan diszkrét rendszer matematikai modellje, amely bemeneti jelek hatására kimeneti jeleket állít elő, és amelynek bizonyos belső állapotai változhatnak; itt vannak véges halmazok.

A véges állapotú gépet a következők jellemzik: bemeneti ábécé; kimeneti ábécé; államok belső ábécéje; kezdeti állapot; átmeneti funkció; kimeneti funkció.

A véges állapotú gép működésének folyamata a következő. A ciklusban a bemeneti jel az automata bemenetén érkezik, amely állapotban van, amelyre az automata úgy reagál, hogy áttér a ticknél lévő állapotba, és egy kimeneti jelet ad ki, például egy Mealy véges automata. a következő ismétlődési összefüggések írják le:

Diszkrét-valószínűségi modellek. A diszkrét-valószínűségi modell figyelembe veszi a vizsgált komplex rendszer véletlenszerű elemeit. A DV-modellek felépítésében és tanulmányozásában használt fő matematikai apparátus a sztochasztikus differenciaegyenletek elmélete és a valószínűségi automaták elmélete.

A különbségi sztochasztikus egyenlet olyan, amely véletlenszerű paramétereket vagy véletlenszerű bemeneteket tartalmaz.

Legyen egy véletlenszerű paramétervektor és egy véletlenszerű bemeneti műveletsor a valószínűségi téren

A nemlineáris különbség sztochasztikus sorrendi egyenlet alakja , (2.8)

hol vannak a rendszer adott kezdeti állapotai; változók adott függvénye.

Ennek az egyenletnek a megoldása a modellezett rendszer halmazon definiált állapotainak véletlenszerű sorozata:

Ha a függvény lineáris -ben, akkor a (2.8) a következőképpen alakul:

(2.9)

ahol a paraméterek vektora.

Egy másik matematikai apparátus összetett rendszerek DV-modelljének megalkotására a valószínűségi automaták elmélete.

A halmazon definiált valószínűségi automata egy véges automata, amelyben az átmeneti függvény és a kimeneti függvény véletlen függvények, amelyeknek bizonyos valószínűségi eloszlásaik vannak.

Fogadjuk el a valószínűségi eloszlások jelölését – kezdeti valószínűségi eloszlás, – annak az eseménynek a valószínűsége, hogy a ciklusban lévő automata bemeneti jel hatására kimenő jelet ad és a ticknél lévő állapotba kerül.

A valószínűségi automata matematikai modelljét teljesen öt elem határozza meg: .

Folyamatos - valószínűségi modellek. Az NV modellek megalkotása és tanulmányozása során a sztochasztikus differenciálegyenletek elméletét és a sorban állás elméletét alkalmazzuk.

A sztochasztikus differenciálegyenlet (Ito formában) a következő:

ahol egy véletlenszerű folyamat, amely meghatározza a rendszer állapotát egy adott pillanatban; – szabványos Wiener véletlenszerű folyamat; – diffúziós és átviteli együtthatók. Az NV modellt gyakran használják sztochasztikus vezérlőrendszerek és cserefolyamatok modellezésére.

A sorelmélet a rendszerek működési folyamatainak olyan matematikai modelljeit fejleszti és tanulmányozza, amelyek természetükben eltérőek, például: nyersanyag- és komponensellátás egy adott vállalkozás számára; távoli terminálokról a számítógépre érkező feladatok; telefonközpontok hívása stb. Az ilyen rendszerek működését a sztochasztikusság jellemzi: a szolgáltatáskérések megjelenési időpontjainak véletlenszerűsége stb.

A sorban állási rendszerként (QS) leírt rendszer kiszolgáló eszközökből áll. A kiszolgáló eszköz egy kárigényakkumulátorból áll, amelyben egyidejűleg lehetnek igények, és egy kárszolgálati csatornából; – tárolókapacitás, vagyis a csatornán a kiszolgálási kérések sorában lévő helyek száma.

A készülék minden eleme eseményfolyamokat fogad; a meghajtóhoz - a kérések áramlásához, a csatornához - a „szolgáltatások” áramlásához. A kérések áramlása a QS bemenetén megjelenő alkalmazások pillanatai közötti időintervallumok sorozatát jelenti, és a QS nem szabályozott változóinak részhalmazát alkotja. A folyamat pedig a szolgáltatási kérelmek kezdete és vége közötti időintervallumok sorozata, és szabályozott változók részhalmazát képezi.

A QS által kiszolgált kérések kimeneti adatfolyamot alkotnak – a kérések kibocsátásának pillanatai közötti időintervallumok sorozatát. Azok az alkalmazások, amelyeket nem szervizeltek, de különböző okok miatt elhagyták a QS-t, az elveszett alkalmazások kimeneti folyamát alkotják.

Hálózati modellek Az ok-okozati összefüggések formalizálására szolgál összetett rendszerekben párhuzamos folyamatokkal. Ezek a modellek Petri hálón alapulnak. Grafikusan értelmezve a Petri-háló egy speciális gráftípus, amely kétféle csúcsból áll: pozíciókatÉs átmenetek, amelyet orientált ívek kötnek össze, és minden ív csak különböző típusú csúcsokat köthet össze (pozíció átmenettel vagy átmenet pozícióval). A pozíciócsúcsokat körök, az átmeneti csúcsokat kötőjelek jelölik. Az átmenetek tartalmi szempontból a vizsgált rendszerben rejlő eseményeknek, a pozíciók pedig bekövetkezésük körülményeinek felelnek meg.

Így az átmenetek, pozíciók és ívek halmaza lehetővé teszi a rendszerben rejlő ok-okozati összefüggések leírását, de statikus módon. A Petri háló „életre kelése érdekében” egy másik típusú hálózati objektum kerül bevezetésre - az ún hasábburgonya vagy címkéket olyan pozíciók, amelyek a hálózati átmenetek mentén mozognak, attól függően, hogy a bemeneti pozícióban van-e címke, és nincs-e címke a kimeneti pozícióban. A chipek elrendezését a hálózat pozícióiban ún hálózati jelölés.

Aggregált modellek. A meglévő problémák elemzése arra enged következtetni, hogy a problémák átfogó megoldása csak akkor lehetséges, ha a modellező rendszerek egységes matematikai modellezési sémán alapulnak. Ezt a megközelítést egy komplex rendszer működési folyamatának formalizálására N. P. Buslenko javasolta. és az „aggregátum” fogalmán alapul.

Aggregált leírással egy komplex rendszert alrendszerekre osztanak, miközben fenntartják az interakciójukat biztosító kapcsolatokat. Ha az alrendszer bonyolultnak bizonyul, akkor a feldarabolás folyamata addig tart, amíg olyan alrendszerek nem jönnek létre, amelyek a vizsgált probléma körülményei között alkalmasak a matematikai leírásra.

Ennek eredményeként többszintű struktúra jön létre az összekapcsolt elemekből, amelyeket különböző szintű alrendszerekbe egyesítenek. Az aggregált modell elemei aggregátumok. Az egységek és a külső környezet közötti kapcsolatok konjugációs operátorok használatával jönnek létre. Maga az egység aggregált modellnek is tekinthető, vagyis a következő szint elemeire bontva.

Bármely aggregátumot a következő halmazok jellemeznek: időpillanatok T, bemenet xés hétvégéken Y jelek, egységállapotok Z az idő minden pillanatában t. Az egység működési folyamata állapotugrásokból áll a bemeneti jelek fogadásának pillanatában xés az e pillanatok közötti állapotváltozások és .

Az ugrások azon pillanatait, amelyek nem a bemeneti jelek érkezésének pillanatai, különleges időpillanatoknak, az állapotokat pedig az aggregált áramkör speciális állapotainak nevezzük. Sok államban Z válasszon ki egy részhalmazt, amely ha eléri a -t, akkor ez az állapot a kimeneti jel kiadásának pillanata y.

RENDSZER MODELLEZÉS

MUNKAPROGRAM, MÓDSZERTANI UTASÍTÁSOK

ÖNÁLLÓ MUNKÁHOZ ÉS ELLENŐRZÉSI FELADATOKHOZ

Karok ELEKTROMOS ENERGIA, ZDO

Szakterület 220201 - VEZETÉS- ÉS INFORMÁCIÓTUDOMÁNY

MŰSZAKI RENDSZEREK

Alapképzés 220200 - AUTOMATIZÁLÁS ÉS MENEDZSMENT

Rendszerek modellezése: munkaprogram, önálló munkavégzési útmutató és ellenőrzési feladatok. - Vologda: VoGTU, 2008. - 22 p.

Adott a tudományág munkaprogramja, a főbb részek tematikájának megjelölésével, módszertani utasítások információforrás hivatkozásokkal, tesztfeladatok és irodalomjegyzék.

A 220200 - automatizálás és vezérlés és szakirányok 220201 - menedzsment és számítástechnika műszaki rendszerekben és alapképzésben 220200 - automatizálás és vezérlés szakon tanuló nappali és részidős hallgatóknak szánt.

Jóváhagyta a VoSTU Szerkesztői és Kiadói Tanácsa

Összeállította: V.N. Tyukin, Ph.D. tech. Tudományok, egyetemi docens

Lektor: E.V. Nesgovorov, Ph.D. tech. Tudományok, egyetemi docens

A VoSTU Számítástechnikai és Számítástechnikai Tanszéke

A program a 2000. március 10-én bevezetett, a 210100 - menedzsment és számítástechnika a műszaki rendszerek szakon a mérnökképzés minimális tartalmára és szintjére vonatkozó állami felsőoktatási szabvány követelményein alapul.

A szakterület ismereteivel és készségeivel szemben támasztott követelmények

A tudományág tanulásának eredményeként a hallgatóknak:

1. A tanulónak legyen ötlete:

A modellről és a szimulációról;

A modellezés szerepéről a rendszerek kutatásában, tervezésében és üzemeltetésében;

Számítógépek alkalmazására modellező rendszerekben;

A modellezési rendszerek szoftvereiről és hardvereiről.

2. A tanulónak tudnia kell:

A modell célja és követelményei;

A rendszermodellezés típusainak osztályozása;

A megközelítés elvei a rendszermodellezésben;

Matematikai sémák modellező rendszerekhez;

A rendszermodellezés főbb szakaszai.

3. A tanulónak képesnek kell lennie:

Szerezze meg a rendszerek matematikai modelljét;

A rendszerek működési folyamatának formalizálása és algoritmizálása;

Rendszerek koncepcionális és gépi modelljei készítése;

Fogadja és értelmezze a szimulációs eredményeket.

A tudományág minimális tartalmára vonatkozó követelmények

A modellek osztályozása és a modellezés típusai; példák rendszermodellekre; a hasonlóságelmélet alapvető rendelkezései; a matematikai modellezés szakaszai; felépítési alapelvek és a rendszerek matematikai modelljeivel szemben támasztott alapvető követelmények; a rendszerek matematikai modelljeivel kapcsolatos kutatás céljai és célkitűzései; a matematikai modellek fejlesztésének általános sémája; a rendszer működési folyamatának formalizálása; az aggregált modell fogalma; matematikai modellek ábrázolási formái; rendszerek és folyamatok matematikai modelljei tanulmányozásának módszerei; szimulációs modellezés; a matematikai modellek egyszerűsítésének módszerei; technikai és szoftvermodellező eszközök.

Asztal 1

A tantervi órák megoszlása oktatási formák és óratípusok szerint

A tevékenységek típusai	Nappali oktatás	Levelező tanulmányok
	család 7		csak egy óra	család 9	csak egy óra.
Előadások
Gyakorlati leckék
Labor. munka
Maga Munka
Teljes
Végső ellenőrzés	h, e.			z, e, 2 k.r.

2. táblázat

A tanulói önálló munkavégzés óraszámának megoszlása munkatípusok szerint

TANFOLYAM PROGRAM

BEVEZETÉS

AZ 1-BEN. A rendszermodellezés problémájának jelenlegi állása.

AT 2. Szimuláció alkalmazása a kutatásban, tervezésben és

rendszermenedzsment.

Irodalom: 4-6.o.

1. A RENDSZERMODELLEZÉS ALAPVETŐ FOGALMAI

1.1. A modell és a szimuláció meghatározása. A modellel szemben támasztott követelmények. A modell célja.

1.2. A rendszermodellezés megközelítésének elvei.

1.3. A rendszermodellezés típusainak osztályozása.

1.4. Modellezési rendszerek számítógépeken való lehetőségei és hatékonysága.

Irodalom: 6-34.o.

2. MATEMATIKAI SÉMA RENDSZERMODELLEZÉSHOZ

2.1. Alapvető megközelítések a rendszerek matematikai modelljeinek megalkotásához. Általános matematikai séma.

2.2. Folyamatosan determinisztikus modellek (D - sémák).

2.3. Diszkrét-determinisztikus modellek (F - sémák).

2.4. Diszkrét-sztochasztikus modellek (P - sémák).

2.5. Folyamatos-sztochasztikus modellek (Q - sémák).

2.6. Általánosított modellek (A - diagramok).

Irodalom: 35-67., 168-180.

3. A FOLYAMAT FORMALIZÁLÁSA ÉS ALGORITMIZÁLÁSA

RENDSZER MŰKÖDTETÉS

3.1. Rendszermodellek fejlesztési és gépi megvalósítási sorrendje.

3.2. A rendszer fogalmi modelljének felépítése és formalizálása.

3.3. A modell algoritmizálása és gépi megvalósítása.

3.4. Szimulációs eredmények megszerzése és értelmezése.

Irodalom: 68-89.o.

4. RENDSZEREK MATEMATIKAI MODELLEZÉSE

4.1. A dinamikus rendszerek modelljeinek kanonikus formái és vizsgálatukra szolgáló módszerek.

4.2. Szimulációs modellezés.

4.3. Statisztikai modellezés.

4.4. Szoftver- és hardverrendszer-modellező eszközök.

Irodalom: .

A TANFOLYAM CÉLJA

„Megérteni azt jelenti, hogy modellt építünk.”

W. Thomson (Kelvin)

A valódi termelő létesítmények általában nagy rendszerek, amelyek tanulmányozása nagyon összetett feladat. A tantárgy fő célja a nagy rendszerek és vezérlőrendszereik modellezésének problémájának módszertani megközelítésének kialakítása. Ez a fő feladat több részfeladatra bontható, amelyek egyben a kurzus céljai is:

Az elemzési módszerek és a rendszermodellezés megközelítési elveinek bemutatása;

A rendszerek matematikai modellezésének alapjainak tanulmányozása;

A rendszermodellezés elveinek és apparátusának tanulmányozása;

Bevezetés a modellezési módszerekbe a rendszerek tervezésében és üzemeltetésében;

Szoftver- és hardverrendszer-modellező eszközök tanulmányozása;

Gyakorlati ismeretek elsajátítása nagy rendszerek modelljeinek és a modellezési eredmények feldolgozásának módszereinek felépítésében.

MÓDSZERTANI UTASÍTÁSOK

A „Modelles vezérlőrendszerek” kurzusnak modern, nagy teljesítményű mérnöki munkaeszközt kell biztosítania a hallgató számára az automatizált termelési rendszerek hatékony fejlesztéséhez és működtetéséhez. A modellezés a modern automatizált gyártást is magában foglaló nagy rendszerek felépítésének problémájának megoldási eszköze, beruházás nélkül.

A tanult kurzus jelentősége abban is rejlik, hogy elsajátítsa a rendszerek működési folyamatainak számítógépen történő modellezésének gyakorlati megoldására szolgáló technikákat és technológiát.

A hallgatóktól elvárjuk, hogy a tananyagot nagyrészt önállóan tanulmányozzák. Előadások hangzanak el a kurzus legösszetettebb kérdéseiről, valamint a szakirodalomban nem kellően tárgyalt kérdésekről. A hallgatók gyakorlati modellezési ismeretekre tesznek szert gyakorlati és laboratóriumi órákon. Ezen kívül a kurzus tanulása közben a távoktatásos hallgatók tesztet is kitöltenek.

BEVEZETÉS

A kurzus tanulmányozását a modern termelésbe való bevezetéssel kell kezdeni, amely összekapcsolt és kölcsönható elemek komplex rendszerének tekinthető, amelyben az anyag- és gyártási rendszer technológiai vezérlőobjektumként, az információs és irányítási rendszer pedig a egy szabályozó. Az irányítási folyamatok termelésben történő megvalósításának hatékonyságának növelése megköveteli a gazdasági és matematikai módszerekkel, valamint az információs és számítástechnikai eszközökkel létrehozott automatizált vezérlőrendszerek széles körű bevezetését. Jelenleg számítógépes modellezési módszerek nélkül lehetetlen az automatizált vezérlőrendszerek teljes és átfogó tanulmányozása a fejlesztés minden szakaszában, kezdve a vezérlőobjektum ellenőrzésével és a tervezés műszaki specifikációinak elkészítésével és a működő rendszer megvalósításával. .

Meg kell érteni, hogy a modellezés módszertani alapja a megismerés és a tudományos kutatás dialektikus-materialista módszere. Általánosságban elmondható, hogy a modellezés a közvetett megismerés olyan módszereként definiálható, amelyben a vizsgált eredeti objektum bizonyos mértékben megfelel egy másik modellobjektumnak, és a modell így vagy úgy képes az eredetit a kognitív folyamat egyes szakaszaiban helyettesíteni. folyamat.

A modellezés alapelvei a következők.

Az információ elegendőségének elve. Meghatározza az a priori információ szintjét, amelyen megfelelő modellt lehet létrehozni.

A megvalósíthatóság elve. A modellezési cél véges időn belüli elérésének valószínűsége határozza meg.

A több modell elve. A készülő modellnek mindenekelőtt a valós rendszer azon tulajdonságait kell tükröznie, amelyek a kiválasztott teljesítménymutatót befolyásolják.

Összesítési elv. Egy objektum modelljét olyan egységekből (alrendszerekből) ábrázolják, amelyek alkalmasak szabványos matematikai sémákkal történő leírásra.

Paraméterezési elv. A modellnek tartalmaznia kell a paraméterekkel jellemezhető alrendszereket.

A rendszermodellezés alapfogalmai

„Határozza meg a szavak jelentését

És megszabadítod az emberiséget

A téveszméinek felétől.”

Ennek a résznek a tanulmányozása során fontos megérteni a modellezés alapfogalmait, definícióit, céljait és elveit.

A modell az eredetinek elfogadott hipotéziseken és analógiákon alapuló képe, a modellezés pedig egy objektum modell általi reprezentációja, hogy információt szerezzen erről az objektumról a modellel végzett kísérletekkel.

A fő követelmény, amelyet a modellnek teljesítenie kell, az a megfelelőség az objektumhoz. A modell megfelelősége a modellezés céljától és az elfogadott kritériumoktól függ. A modell akkor adekvát egy objektumnak, ha a modellezési eredmények megerősítést nyernek, és alapul szolgálhat a vizsgált objektumokban lezajló folyamatok előrejelzéséhez.

A modellezés megoldja az objektumok tanulmányozásának, kutatásának, működésük előrejelzésének, szerkezetének, paramétereinek és viselkedési algoritmusainak szintetizálását.

A vezérlésben a modellek lehetővé teszik a nem megfigyelhető folyamatváltozók becslését, a folyamat állapotának előrejelzését a meglévő vagy kiválasztott szabályozások mellett, és az optimális szabályozási stratégiák automatikus szintetizálását.

Az automatizált rendszerek tervezése és üzemeltetése során számos olyan feladat merül fel, amelyek a rendszerek működési folyamatainak mennyiségi és minőségi mintázatainak felmérését, strukturális, algoritmikus és parametrikus szintézis végrehajtását teszik szükségessé. Ezeknek a problémáknak a megoldása jelenleg lehetetlen különféle modellezési módok alkalmazása nélkül, ami a nagy rendszerek sajátosságaiból adódik, mint például a struktúrák összetettsége, az elemek és a külső környezet közötti kapcsolatok sztochaszticitása, a viselkedési algoritmusok kétértelműsége, a nagyszámú paraméterek és változók, a kezdeti információk hiányossága és határozatlansága. A matematikai modellezés jelentősen csökkentheti a tervezési időt, sok esetben lehetővé teszi az optimális megoldás megtalálását, a teljes körű próba-hiba módszer kiküszöbölését és a párhuzamos tervezési folyamatra való áttérést.

Jelenleg a nagy rendszerek elemzésében és szintézisében olyan szisztematikus megközelítést alakítottak ki, amely az általánostól a konkrét felé következetes átmenetet foglal magában, amikor a mérlegelés alapja a cél, és a vizsgált tárgy el van szigetelve a környezettől. Ebben az esetben a modell a feltett problémára készül, a modellezés pedig a cél, a modell megalkotásának, a modellel való munka problémájának megoldásából áll. A helyesen megválasztott modell jellemzője, hogy csak azokat a mintákat tárja fel, amelyekre a kutatónak szüksége van, és nem veszi figyelembe a rendszer azon tulajdonságait, amelyek nem lényegesek a jelen vizsgálathoz.

A rendszermodellezés típusainak osztályozása különböző jellemzők alapján történik, mint például a modell teljességének foka, a matematikai leírás jellege. Fontos helyet foglal el a matematikai modellezés, amely egy adott valós objektum és egy bizonyos matematikai objektum közötti megfelelés megállapításának folyamata, amelyet matematikai modellnek nevezünk, valamint ennek a modellnek a tanulmányozása, amely lehetővé teszi a valós jellemzőinek megszerzését. kérdéses tárgy. A matematikai modellezés elemzőt és szimulációt foglal magában. A szimulációs modellezés a modellezett objektum közvetlen leírásán alapul, felhasználva az objektum és a modell szerkezeti hasonlóságát, pl. Az objektum minden olyan eleme, amely a megoldandó probléma szempontjából jelentős, modellelemhez kapcsolódik.

A mérnöki problémák modellezésen alapuló megoldásának technikai eszköze a számítógép. A modellel végzett gépi kísérlet lehetővé teszi a működési folyamat bármely körülmény közötti tanulmányozását, csökkenti a tesztek időtartamát egy teljes körű kísérlethez képest, rugalmasan változtatja a szimulált rendszer paramétereit, szerkezetét, algoritmusait, ill. az egyetlen gyakorlatilag megvalósítható módszer a rendszerek működési folyamatának tanulmányozására a tervezés szakaszában.

Önellenőrző kérdések

1.Mi a modell és a szimuláció?

2. Fogalmazza meg a modell alapvető követelményeit!

3.Mi a modellezés szerepe a rendszerkutatásban, -tervezésben és -vezérlésben?

4. Adja meg a rendszer, a külső környezet és a rendszer működésének definícióit.

5.Mit jelent a rendszerszemléletű modellezés?

6. Sorolja fel a rendszermodellezés típusai osztályozásának jellemzőit!

7. Meséljen a matematikai modellezésről és típusairól!

8.Mi a különbség az analitikus és a szimulációs modellezés között?

9.Mi a kibernetikus modellezés?

10. A számítógépek szerepe és célja a modellezésben.

Matematikai sémák modellező rendszerekhez

„A matematika legfőbb célja az

Rendet találni a káoszban

Ami körülvesz minket."

Ennek a résznek a tanulmányozása során mindenekelőtt figyelmet kell fordítani a matematikai modellezési sémák általános és tipikus fogalmaira.

A matematikai sémát úgy definiáljuk, mint egy láncszemet a rendszer működési folyamatának értelmes leírásától formális leírásáig, figyelembe véve a külső környezet hatását, pl. létezik egy „leíró modell – matematikai séma – matematikai modell” lánc. A matematikai séma lehetővé teszi, hogy a matematikát ne számítási módszernek tekintsük, hanem gondolkodásmódnak, fogalmak megfogalmazásának eszközének, ami a legfontosabb a rendszer verbális leírásától a folyamat formális ábrázolásához való átmenetben. működéséről valamilyen matematikai modell formájában.

A modellező objektum modellje, azaz. rendszer egy valós rendszer működési folyamatát leíró mennyiségek halmazaként ábrázolható, és általában a következő részhalmazokat alkotja: a rendszerre gyakorolt bemeneti hatások halmaza, külső környezeti hatások halmaza, belső ( saját) a rendszer paraméterei és a rendszer kimeneti jellemzőinek halmaza. A bemeneti hatások, a külső környezet hatásai, a belső paraméterek független (exogén) változók, a rendszer kimeneti jellemzői pedig függő (endogén) változók. Egy általános matematikai modellezési sémát egy operátor ad meg, amely az exogén változókat endogén változókká alakítja.

A modellezési gyakorlatban olyan szabványos matematikai sémákat használ, amelyeknek nincs általánosságuk, de megvannak az egyszerűség és az áttekinthetőség előnyei. Ide tartoznak a determinisztikus, sztochasztikus és aggregált standard modellek. Determinisztikus modellként differenciál-, integrál-, integrodifferenciális és egyéb egyenleteket, a diszkrét időben működő rendszerek ábrázolására pedig differenciálegyenleteket és véges automatákat használnak. A valószínűségi automatákat sztochasztikus modellként használják a diszkrét idejű rendszerek ábrázolására, a sorbanállási rendszereket pedig a folytonos idejű rendszerek ábrázolására. Az aggregált modellek az objektumok rendszerszerűségét tükrözik, amelyeket véges számú részre osztanak, miközben fenntartják a kapcsolatokat, amelyek biztosítják a részek kölcsönhatását.

A tipikus matematikai sémák (D-,F-,P-,Q-,A-) lehetővé teszik a nagy rendszerek meglehetősen széles osztályának formalizálását, amelyekkel a termelési problémák kutatása és tervezése során foglalkozni kell.

Önellenőrző kérdések

1.Mi a szerepe a matematikai modellezési sémának?

2.Mi az általános matematikai séma?

3.Nevezd meg a folytonosan determinisztikus modellek főbb ábrázolási formáit!

4. Adjon leírást egy diszkrét véges állapotú gépről!

5. Sorolja fel az F - automaták működésének megadásának módjait!

6. Valószínűségi automata definiálása.

7. Mi az a QS? Nevezze meg a QS fő elemeit!

8. Mi az a tranzakció?

9. Meséljen a Q-áramkörök szimbolikájáról! A grafikus ábrázolás módja: kérések forrása, szolgáltatási csatorna, akkumulátor, szelep, eseményfolyamatok. Mondjon példát egy QS képére a Q-sémák szimbolikájában!

10.Mi az aggregált rendszer felépítése?

A rendszerműködési folyamatok matematikai modelljeinek megalkotásánál a kiinduló információ a vizsgált (tervezendő) rendszer céljára és működési feltételeire vonatkozó adatok, amelyek meghatározzák a modellezés fő célját, és lehetővé teszik, hogy követelményeket fogalmazzunk meg a fejlesztés alatt álló matematikai modellel szemben. . Matematikai séma láncszemként határozható meg a rendszer működési folyamatának értelmes leírásától formális leírásáig, figyelembe véve a külső környezet hatását, i.e. létezik egy lánc „leíró modell – matematikai séma – matematikai [analitikai és/vagy szimulációs] modell”.

A modellező objektum, azaz rendszer modellje S, mennyiségek halmazaként ábrázolhatók, amelyek leírják egy valós rendszer működési folyamatát, és általában a következő részhalmazokat alkotják:

· totalitás bemeneti hatások rendszerenként – x i;

· totalitás környezeti hatások– n l;

· totalitás belső (saját) paraméterek rendszerek – h k;

· totalitás kimeneti jellemzők rendszerek – y j.

Ebben az esetben a felsorolt részhalmazokban megkülönböztethetők a szabályozott és nem szabályozható változók. Általában x i, n l, h k, y j diszjunkt részhalmazok elemei X, V, H, Y determinisztikus és sztochasztikus komponenseket is tartalmaznak.

Rendszer modellezésekor S bemeneti hatások, környezeti hatások Eés a rendszer belső paraméterei az független (exogén) változók, amelyek vektoros formában rendelkeznek a megfelelő alakkal

és a rendszer kimeneti jellemzői az függő (endogén) változók vektoros formában pedig úgy néznek ki

A rendszer működési folyamata S az üzemeltető időben leírta Fs , amely általában az exogén változókat endogén változókká alakítja át a következő alakviszonyoknak megfelelően:

. (2.1)

A rendszer kimeneti jellemzőinek időbeli függőségei y j(t) minden típushoz hívják kilépési útvonal. A függőséget (2.1) hívjuk A rendszer működésének törvénye Sés ki van jelölve Fs.Általában a rendszer működésének törvénye F s megadható függvény, funkcionális, logikai feltételek formájában, algoritmikus és táblázatos formában, vagy szóbeli illesztési szabály formájában.

Nagyon fontos a rendszer leírása és tanulmányozása szempontjából S az a koncepció működő algoritmus A s, amely a bemeneti hatásokat figyelembe vevő kimeneti jellemzők meghatározásának módszereként értendő , környezeti hatások és saját rendszerparamétereket . Nyilvánvaló, hogy a rendszer működésének ugyanaz a törvénye többféleképpen is megvalósítható, pl. sokféle algoritmus használatával A s.

A relációk (2.1) a modellező objektum (rendszer) időbeli viselkedésének matematikai leírása , azok. dinamikus tulajdonságait tükrözik. Ezért az ilyen típusú matematikai modelleket általában ún dinamikus modellek (rendszerek).

Statikus modellek esetén a matematikai leírás (2.1) a modellezett objektum tulajdonságainak két részhalmaza közötti leképezés. YÉs [ X, V, H], amely vektor formában úgy írható fel

. (2.2)

A (2.1) és (2.2) relációk többféleképpen megadhatók: analitikusan (képletek segítségével), grafikusan, táblázatos formában stb. Ilyen relációkat bizonyos esetekben a rendszer tulajdonságain keresztül kaphatunk S meghatározott időpontokban, ún Államok. A rendszer állapota S vektorok jellemzik

És ,

Ahol z ’ 1 =z 1 (t ’),z ’ 2 =z 2 (t ’), …, z'k = z k ( t'), ebben a pillanatban t ’’ Î( t 0 , T); z ’’ 1 =z 1 (t ’’), z ’’ 2 =z 2 (t ’’), …, z'' k = z k ( t'') ebben a pillanatban t ’’ Î( t 0 , T) stb., .

Ha figyelembe vesszük a rendszer működésének folyamatát S mint az állapotok egymás utáni változása z 1 (t), z 2 (t), ..., z k ( t), akkor egy pont koordinátáiként értelmezhetők k-dimenziós fázistér, és a folyamat minden egyes megvalósítása egy bizonyos fázispályának felel meg. Az összes lehetséges állapotérték halmazát hívják állapottér modellező objektum Z, és z k О Z.

A rendszer állapotai S egy adott időpontban t 0<t*£ T teljes mértékben meghatározzák a kezdeti feltételek [Ahol z 0 1 =z 1 (t 0), z 0 2 =z 2 (t 0), ..., z 0 k = z k ( t 0)], a bemeneti hatások, a belső paraméterek és a külső környezeti hatások, amelyek egy bizonyos időtartam alatt történtek t*– t0, két vektoregyenlet segítségével:

; (2.3)

. (2.4)

Az első egyenlet a kezdeti állapot és az exogén változók alapján határozza meg a vektorfüggvényt , a második pedig az állapotok kapott értéke szerint endogén változók a rendszer kimenetén . Így a „bemenet – állapotok – kimenet” objektum egyenletlánca lehetővé teszi a rendszer jellemzőinek meghatározását:

Általában az idő a rendszermodellben S modellezési intervallumon (0, T) folytonos és diszkrét is, azaz. időegység hosszúságú szegmensekre kvantálva, amikor , ahol a mintavételi intervallumok száma.

Így, alatt az objektum matematikai modellje(valós rendszer) a változók véges részhalmazát érti a köztük és a jellemzők közötti matematikai összefüggésekkel együtt.

Ha a modellező objektum matematikai leírása nem tartalmaz véletlenszerű elemeket, vagy azokat nem veszik figyelembe, pl. ha feltételezhetjük, hogy ebben az esetben nincs sztochasztikus külső környezeti hatás és sztochasztikus belső paraméterek, akkor a modell ún. meghatározó abban az értelemben, hogy a jellemzőket egyedileg determinisztikus bemeneti hatások határozzák meg

. (2.6)

Nyilvánvaló, hogy a determinisztikus modell a sztochasztikus modell speciális esete.

A bemutatott matematikai összefüggések általános matematikai sémákat képviselnek, és lehetővé teszik a rendszerek széles osztályának leírását. Az objektumok modellezésének gyakorlatában azonban a rendszertervezés és rendszerelemzés területén, a rendszerkutatás kezdeti szakaszában ésszerűbb tipikus matematikai sémák: differenciálegyenletek, véges és valószínűségi automaták, sorrendszerek, Petri-hálók stb.

A vizsgált modellekkel nem azonos fokú általánosság mellett a tipikus matematikai sémák előnye az egyszerűség és az áttekinthetőség, de az alkalmazási lehetőségek jelentős szűkítése mellett. Determinisztikus modellként, ha a vizsgálat során véletlenszerű tényezőket nem veszünk figyelembe, a folytonos időben működő rendszerek ábrázolására differenciál-, integrál-, integro-differenciális és egyéb egyenleteket, a működő rendszerek ábrázolására pedig véges automatákat és véges állapotú gépeket használunk. diszkrét időben.különbségsémák. A valószínűségi automatákat sztochasztikus modellként (véletlenszerű tényezők figyelembevételével) használják a diszkrét idejű rendszerek, a sorba állító rendszereket stb. pedig a folytonos idejű rendszerek ábrázolására.

A felsorolt standard matematikai sémák természetesen nem mondhatják magukénak, hogy ezek alapján leírják a nagy információs és vezérlőrendszerekben előforduló összes folyamatot. Az ilyen rendszerek esetében bizonyos esetekben az aggregatív modellek alkalmazása ígéretesebb. Az aggregált modellek (rendszerek) a kutatási objektumok széles körének leírását teszik lehetővé, tükrözve ezen objektumok rendszerszerűségét. Aggregatív leírással történik, hogy egy összetett objektumot (rendszert) véges számú részre (alrendszerre) osztunk, miközben fenntartjuk a részek kölcsönhatását biztosító kapcsolatokat.

Így a rendszerek működési folyamatainak matematikai modelljeinek megalkotásakor a következő főbb megközelítések különböztethetők meg: folytonos-determinisztikus (például differenciálegyenletek); diszkrét-determinisztikus (véges állapotú gépek); diszkrét-sztochasztikus (valószínűségi automaták); folytonos-sztochasztikus (sorrendező rendszerek); általánosított vagy univerzális (aggregált rendszerek).

5. előadás.

Folyamatosan determinisztikus modellek (D-sémák)

Tekintsük a folytonosan determinisztikus megközelítés jellemzőit a differenciálegyenletek matematikai modellként való felhasználásának példáján. Differenciál egyenletek Ezek olyan egyenletek, amelyekben egy vagy több változó függvényei ismeretlenek, és az egyenlet nemcsak függvényeket, hanem azok különböző rendű származékait is tartalmazza. Ha az ismeretlenek sok változó függvényei, akkor az egyenleteket hívjuk parciális differenciálegyenletek, egyébként, ha csak egy független változó függvényét vesszük figyelembe, az egyenleteket hívjuk közönséges differenciálegyenletek(ODU) .

Az ilyen matematikai modellekben jellemzően az idő szolgál független változóként, amelytől az ismeretlen, ismeretlen függvények függenek. t. Ekkor a matematikai összefüggés a determinisztikus rendszerekre (2.6) általános formában a következő lesz

Ahol És - n-dimenziós vektorok; - egy vektorfüggvény, amely bizonyos ( n+ 1)-dimenziós halmaz és folytonos. Mivel az ilyen típusú matematikai sémák a vizsgált rendszer dinamikáját tükrözik, i.e. időben való viselkedését hívják D-sémák(az angol dynamic-ból).

A legegyszerűbb esetben az ODE alakja a következő:

Ahol h 0 , h 1 , h 2 – rendszerparaméterek; z(t) – a rendszer állapota egy adott pillanatban t.

Ha a vizsgált rendszer kölcsönhatásba lép a külső környezettel E , akkor megjelenik a bemeneti hatás x(t) és egy ilyen rendszer folytonosan determinisztikus modellje a következő lesz:

A matematikai modell általános sémája szempontjából x(t) a bemeneti (vezérlő) művelet és a rendszer állapota S ebben az esetben kimeneti jellemzőnek tekinthető, azaz. tételezzük fel, hogy a kimeneti változó egybeesik a rendszer adott időpontban fennálló állapotával y=z.

A rendszertervezési problémák megoldása során nagy jelentőséggel bírnak a nagy rendszerek menedzselésének problémái. Érdemes figyelni az automatikus vezérlőrendszerekre – a dinamikus rendszerek egy speciális esetét ismertetjük D- gyakorlati sajátosságuk miatt külön osztályba különített sémák és modellek. Az automatikus vezérlési folyamatok leírásánál általában ragaszkodnak egy valós objektum ábrázolásához két rendszer formájában: vezérlő és vezérelt (vezérlő objektum).

. 6. előadás.

Diszkrét-determinisztikus modellek (F-sémák)

A diszkrét-determinisztikus megközelítés jellemzőit a rendszer működési folyamatának formalizálásának szakaszában fogjuk megvizsgálni az automataelmélet matematikai apparátusként való felhasználásának példáján. Az automataelmélet az elméleti kibernetika egyik ága, amelyben matematikai modelleket - automatákat - tanulmányoznak. Ezen elmélet alapján a rendszert olyan automataként ábrázolják, amely diszkrét információkat dolgoz fel, és csak elfogadható időpontokban változtatja meg belső állapotait. Az "automata gép" fogalma a vizsgált konkrét rendszerek természetétől, az elfogadott absztrakció szintjétől és az általánosság megfelelő fokától függően változik. Az automatát egy olyan eszköznek (fekete doboznak) tekinthetjük, amelyhez bemeneti jelek jutnak és kimenőjeleket kapunk, és amely bizonyos belső állapotokkal rendelkezhet. A véges automata olyan automata, amelynek belső állapotai vannak, és ezért véges halmazok kimeneti jelei. Absztrakt módon egy véges automata (az angol véges automatából) egy matematikai sémaként ábrázolható, amelyet hat elem jellemez: egy véges halmaz. x bemeneti jelek (bemeneti ábécé); véges halmaz Y kimeneti jelek (kimeneti ábécé); véges halmaz Z belső állapotok (belső ábécé vagy állapotok ábécéje); kezdeti állapot z 0 Î Z; átmeneti funkció j(z, x); kimeneti funkció y(z, x).

Automata megadva F-rendszer: – diszkrét automata időben működik, melynek mozzanatai pipa, i.e. egyenlő időintervallumok egymás mellett, amelyek mindegyike megfelel a bemeneti és kimeneti jelek és a belső állapotok állandó értékeinek. Ha kijelöljük az állapotot, valamint a megfelelő bemeneti és kimeneti jeleket t- mu óra at t= 0, 1, 2, ..., át z(t),x(t),y(t).Ahol z(0)=z 0 , z(t)Î Z, x(t)Î X, y(t)Î Y. Egy absztrakt állapotgépnek egy bemeneti és egy kimeneti csatornája van. A diszkrét idő minden pillanatában F- a gép egy bizonyos állapotban van z(t) sok közül Z a gép állapotaiban és a kezdeti pillanatban t=0 mindig a kezdeti állapotban van z(0)=z 0 . Ebben a pillanatban t, képesnek lenni z(t), a gép képes jelet venni a bemeneti csatornán x(t)Î xés jelet ad ki a kimeneti csatornán nál nél(t)=y[z(t), x(t)], átmegy az államba z(t+1)=j[z(t), x(t)], x(t)Î X, y(t)Î Y. Egy absztrakt véges gép a bemeneti ábécé szavainak valamilyen leképezését valósítja meg x a kimeneti ábécé sok szavához Y. Más szóval, ha egy véges állapotú gép bemenete a kezdeti állapotra van állítva z 0 , adja meg a beviteli ábécé betűit valamilyen sorrendben x(0),x(1),x(2),..., azaz beviteli szót, akkor a gép kimenetén megjelennek a kimeneti ábécé betűi nál nél(0), y(1), nál nél(2), ..., a kimeneti szót alkotva. Így a véges állapotú gép működése a következő séma szerint történik: mindegyikben t- m ciklust a gép bemenetére, amely állapotban van z(t), adnak valamilyen jelet x(t), amire áttérve reagál ( t+1)-edik löket új állapotba z(t+1) és valamilyen kimeneti jelet állít elő.

Az állapotok száma alapján a véges állapotú gépeket a memóriával rendelkező és a memória nélküli véges állapotú gépek között különböztetjük meg. A memóriával rendelkező automatáknak több állapotuk van, míg a memória nélküli automatáknak (kombinációs vagy logikai áramkörök) csak egy állapotuk van. A diszkrét időszámlálás természete alapján a véges állapotú gépeket szinkron és aszinkron gépekre osztják. Szinkronban F Az automata gépekben kényszerszinkronizáló jelek határozzák meg azt az időpontot, amikor a gép „beolvassa” a bemeneti jeleket. Aszinkron F- a gép folyamatosan olvassa a bemeneti jelet, így egy kellően hosszú, állandó értékű bemeneti jelre reagál X, többször is állapotot válthat, megfelelő számú kimeneti jelet állítva elő, amíg stabillá válik, amit egy adott bemeneti jel már nem tud megváltoztatni.

Diszkrét-sztochasztikus modellek (P-sémák)

Tekintsük a matematikai sémák felépítésének sajátosságait diszkrét-sztochasztikus megközelítéssel a vizsgált rendszer működési folyamatának formalizálására. Mivel ebben a megközelítésben az idődiszkretizálás lényege hasonló marad a véges automatákéhoz, nyomon követjük a sztochaszticitási tényező hatását az ilyen automaták változataira, nevezetesen a valószínűségi (sztochasztikus) automatákra.

Általánosságban a valószínűségi automatát úgy definiálhatjuk, mint egy memóriával rendelkező diszkrét órajel-információ-átalakítót, amelynek működése minden órajelben csak a benne lévő memória állapotától függ, és statisztikailag leírható. A valószínűségi automata áramkörök alkalmazása fontos a statisztikailag szabályos véletlenszerű viselkedést mutató diszkrét rendszerek tervezésének módszereinek kidolgozásában, az ilyen rendszerek algoritmikus képességeinek tisztázásában és alkalmazásuk megvalósíthatósági határainak igazolásában, valamint a szintézis problémák megoldásában. diszkrét sztochasztikus rendszerek kiválasztott kritériumához, amelyek megfelelnek az adott korlátozásoknak.

Bemutatjuk a matematikai fogalmat R- géppuska , számára bevezetett fogalmakat használva F-automatikus . Vegye figyelembe a készletet G, melynek elemei minden lehetséges pár ( x i , z s), Ahol x i,És z s– a bemeneti részhalmaz elemei xés az állapotok részhalmazai Z illetőleg. Ha két ilyen függvény van jÉs y, majd segítségükkel leképezéseket végeznek G® ZÉs G® Y, akkor azt mondják determinisztikus típusú automatát határoz meg. Mutassunk be egy általánosabb matematikai sémát. Hadd F– az összes lehetséges alakpár halmaza ( z k , y i) Ahol y j– a kimeneti részhalmaz eleme Y. Megköveteljük, hogy a készlet bármely eleme G indukált a forgatáson F néhány elosztási törvény a következő formában:

Elemek F … (z 1 , y 1) … (z 1 , y 2) … … (z K , y J -1) (z K , y J)

(x i z k) … b 11 b 12 … bK(J -1 )b KJ

ahol ,

Ahol b kj– a gép állapotba kerülésének valószínűsége z kés a jel megjelenése a kimeneten y j, ha képes volt rá z sés ebben az időpillanatban jel érkezett a bemenetén x i. Az ilyen eloszlások száma, táblázatok formájában, megegyezik a halmaz elemeinek számával G. Jelöljük ezen táblázatok halmazát BAN BEN, majd a négy elemet valószínűségi automatának ( R-automatikus) .

7. előadás.

Folyamatos sztochasztikus modellek (Q-sémák)

A folytonos-sztochasztikus megközelítés jellemzőit a sorbanállási rendszerek szabványos matematikai sémákként való használatának példáján keresztül fogjuk megvizsgálni, amelyet ún. K- sémák . A sorbanállási rendszerek a matematikai sémák egy osztálya, amelyet a sorbanálláselméletben és különböző alkalmazásokban fejlesztettek ki a rendszerek működési folyamatainak formalizálására, amelyek alapvetően szolgáltatási folyamatok.

Szolgáltatási folyamatként ábrázolhatók a fizikai természetükben eltérő gazdasági, termelési, műszaki és egyéb rendszerek működési folyamatai, például a távoli terminálokról származó számítógépes információk feldolgozására szolgáló alkalmazások stb. Ezen túlmenően az ilyen objektumok működésére jellemző az alkalmazások (követelmények) véletlenszerű megjelenése és a szolgáltatás véletlenszerű időpontokban történő befejezése, pl. működésük folyamatának sztochasztikus jellege. Bármely elemi szolgáltatási aktusban két fő összetevő különböztethető meg: az alkalmazás általi szolgáltatás elvárása és az alkalmazás tényleges szolgáltatása. Ez néhányként ábrázolható én szervizeszköz P i, amely egy rendelési akkumulátorból áll Szia, amely egyszerre tartalmazhat alkalmazásokat, ahol L i H - kapacitás én tárhelyet, és kérjen szervizcsatornát (vagy egyszerűen csak csatornát) K i. A szervizeszköz minden eleméhez P i eseményfolyamok érkeznek: a tárolóba Szia - alkalmazások áramlását w i csatornánként K i – szolgáltatási folyamat u i.

A bonyolultabb szerkezeti kapcsolatokkal és viselkedési algoritmusokkal rendelkező rendszerek modellezési gyakorlatában nem az egyes szervizeszközöket használják formalizálásra, hanem K- számos elemi szervizeszköz összetételéből kialakított áramkörök P i(sorozó hálózatok). Ha csatornák K i párhuzamosan különböző szolgáltató eszközöket kapcsolunk, ekkor többcsatornás szolgáltatás (többcsatornás K-rendszer) , és ha az eszközök P iés párhuzamos összetételük sorba van kötve, akkor többfázisú szolgáltatás (multiphase K- rendszer). Így a feladathoz K-Sémáknak konjugációs operátort kell használniuk R, tükrözve a szerkezeti elemek (csatornák és meghajtók) egymáshoz való viszonyát. Van nyitott és zárt K-rendszer . Nyitott állapotban K-séma esetén a kiszolgált alkalmazások kimeneti folyama nem érkezhet újra egyetlen elemhez sem, azaz nincs visszacsatolás, és zárt K- Az áramkörök visszacsatoló kapcsolatokkal rendelkeznek, amelyeken keresztül az alkalmazások a bemeneti-kimeneti mozgással ellentétes irányba mozognak.

A sorbanálláselméleti analitikus modellekkel a jellemzők értékelésének lehetőségei nagyon korlátozottak a kutatási és rendszertervezési gyakorlat formai követelményeihez képest. K- sémák A szimulációs modellek összehasonlíthatatlanul nagyobb potenciállal rendelkeznek, lehetővé téve a tanulmányozást K- korlátozás nélkül meghatározott sémát.

Hálózati modellek (N-sémák)

Az objektummodellezés gyakorlatában gyakran szükséges az ok-okozati összefüggések formalizált leírásával és elemzésével kapcsolatos problémák megoldása összetett rendszerekben, ahol több folyamat egyidejűleg zajlik le párhuzamosan. A párhuzamos rendszerek és folyamatok szerkezetének és interakciójának leírására jelenleg használt leggyakoribb formalizmus a Petri Nets.

Formálisan a Petri-háló ( N-séma) a következő alak négyesével van megadva:

Ahol BAN BEN– pozícióknak nevezett szimbólumok véges halmaza; D– átmeneteknek nevezett szimbólumok véges halmaza; én– bemeneti funkció (közvetlen beesési funkció); O- kimeneti függvény (inverz incidencia függvény). Tehát a beviteli függvény énátmenetet jelenít meg d j sok kimeneti pozícióba b iÎ én(d j), és a kimeneti függvény RÓL RŐLátmenetet jelenít meg d j sok kimeneti pozícióba b iÎ D(d j).

Grafikusan N-séma bipartit orientált multigráfként van ábrázolva, amely pozíciók és átmenetek halmaza. Grafikon N-áramkörök kétféle csomóponttal rendelkezik: pozíciók és átmenetek, amelyeket 0, illetve 1 jelöl. Az orientáló ívek pozíciókat és átmeneteket kapcsolnak össze, és minden ív egy halmaz elemétől (pozíció vagy átmenet) egy másik halmaz eleméhez (átmenet vagy pozíció) irányul. Grafikon N-áramkörök egy multigráf, mert lehetővé teszi több ív létezését egyik csúcstól a másikig.

Csökkentett reprezentáció N-áramkörök csak a szimulált rendszer statikájának (események és feltételek kapcsolatának) tükrözésére használható, de nem teszi lehetővé, hogy a modell a szimulált rendszer működésének dinamikáját tükrözze. Egy objektum dinamikus tulajdonságainak ábrázolására egy jelölő (jelölő) funkciót vezetünk be M: B®(0, 1, 2, ...). Jelzés M bizonyos absztrakt objektumok, úgynevezett címkék (chipek) pozíciókhoz vannak rendelve N-áramkörök, Ezenkívül az egyes pozíciókhoz tartozó jelek száma változhat. Grafikus feladattal N-áramkörök A jelölést úgy jelenítjük meg, hogy a megfelelő számú pontot helyezzük el a csúcspozíciókon belül (ha nagy a pontok száma, akkor számok kerülnek elhelyezésre). Megjelölve (megjelölve) N-sémaötösnek írható le és a Petri-háló és a címkézés kombinációja M.

Művelet N-áramkörök tükröződik a jelölésről a jelölésre való mozgással. A kezdeti jelölést a következővel jelöljük M 0:BAN BEN®(0, 1, 2, ...). Az elrendezés megváltozik az egyik átmenet aktiválása következtében d jÎ D hálózatok. A tűzre való átállás szükséges feltétele d j van b iÎ I(d j){M(b i)³ 1), hol M(b i)– pozíció jelölés b i.Átmenet d j, amelyre a megadott feltétel teljesül, tüzelésre kész állapotként vagy gerjesztett átmenetként definiálható.

Kombinált modellek (A-sémák)

A rendszer működési folyamatainak formális leírásának leghíresebb általános megközelítése a Ya.P. Buslenko. Ez a megközelítés lehetővé teszi a folytonos és diszkrét, determinisztikus és sztochasztikus rendszerek viselkedésének leírását, azaz a vizsgáltokhoz képest általánosított (univerzális) és a koncepción alapul. aggregációs rendszer(az angol aggregate system-ből), ami egy általános forma formális sémája, amit mi fogunk nevezni A-séma.

A modellezés meglévő eszközeinek és a számítógépes modellezési módszerrel megoldott problémák elemzése elkerülhetetlenül ahhoz a következtetéshez vezet, hogy a modell létrehozása és számítógépes megvalósítása során felmerülő problémák átfogó megoldása csak akkor lehetséges, ha a modellezési rendszerek egyetlen alapon alapulnak. formális matematikai séma, azaz. A-diagram. Egy ilyen sémának egyszerre több funkciót kell ellátnia: megfelelő matematikai leírást kell adnia a modellező objektumról, azaz a rendszerről S, alapul szolgálnak a modell gépi megvalósításához szükséges algoritmusok és programok felépítéséhez M, lehetővé teszi az analitikai vizsgálatok egyszerűsített változatban történő elvégzését (különleges esetekben).

Ezek a követelmények némileg ellentmondanak egymásnak. alapján általánosított megközelítés keretein belül azonban A-sémák lehet közöttük valamilyen kompromisszumot találni.

A matematikában általában, és különösen az alkalmazott matematikában kialakult hagyomány szerint az aggregatív megközelítéssel először a modellezés tárgyának formális definícióját adják meg - egy aggregatív rendszert, amely az objektumok rendszerszerűségét tükröző matematikai séma. tanulmányozás alatt áll. Aggregatív leírással egy összetett objektumot (rendszert) véges számú részre (alrendszerre) osztanak, miközben fenntartják az interakciójukat biztosító kapcsolatokat. Ha az így létrejövő alrendszerek némelyike meglehetősen bonyolultnak bizonyul, akkor a lebontásuk addig tart, amíg olyan alrendszerek nem jönnek létre, amelyek a vizsgált modellezési probléma feltételei között matematikai leírásra alkalmasnak tekinthetők. Az ilyen dekompozíció eredményeként egy összetett rendszer jelenik meg egymással összekapcsolt elemek többszintű struktúrája formájában, amelyek különböző szintű alrendszerekbe egyesülnek.

Mint elem A-sémák az aggregátumok cselekményei, és az aggregátumok közötti kapcsolat (a rendszeren belül Sés a külső környezettel E) a konjugációs operátor használatával történik R. Nyilvánvalóan maga az egység tekinthető A-diagram, azaz a következő szint elemeire (aggregátumaira) bontható. Bármely aggregátumot a következő halmazok jellemeznek: időpillanatok T, bemenet xés hétvégéken Y jelek, állapotok Z az idő minden pillanatában t. Az egység pillanatnyi állapota tÎ T ként jelölve z(t)Î Z, a bemeneti és kimeneti jelek pedig mint x(t)Î xÉs nál nél(t)Î Y illetőleg.

Van a nagy rendszereknek egy osztálya, amelyek bonyolultságuk miatt nem formalizálhatók egyetlen egységek matematikai sémáival, ezért ezeket az egyes egységek valamilyen felépítésével formalizálják. A n, amit aggregatív rendszernek, ill A-séma. Valami valós rendszer leírására S mint A-sémák mindkét egyedi egység leírása szükséges A nés a köztük lévő kapcsolatokat.

Művelet A-sémák információfeldolgozással kapcsolatos. Minden benne keringő információ A-diagram, külsőre és belsőre osztva. A külső információ olyan külső objektumoktól származik, amelyek nem részei a vizsgált áramkörnek, a belső információkat pedig magának az áramkörnek az egységei állítják elő. A-sémák. közötti információcsere A-sémaés a külső környezet E pólusoknak nevezett aggregátumokon keresztül történik A-sémák. Ebben az esetben a bemeneti pólusokat megkülönböztetjük A-sémák, amelyek olyan egységek, amelyek kapnak x-üzenetek és kimeneti pólusok A-sémák, amelynek kimeneti információja nál nél-üzenetek. Azokat az egységeket, amelyek nem pólusok, belsőnek nevezzük.

1. Grafikus modellek

2. Szimulációs modellek

3. Matematikai modellek

4. Optimális tervezési folyamatok modellezése

5. Globális folyamatok modellezése

7. Környezeti rendszerek és folyamatok modellezése

8. Objektum információs modellek

9. Rendszerelemzés

10. Statisztikai modellek

11. Táblázatos modellek

12. Formalizálás és modellezés

Az iskolai informatika szak hagyományosan a formalizálás és a modellezés érdemi vonalát tartalmazza. A modell fogalma alapvető, általános tudományos fogalmakra utal, a modellezés pedig a valóság megértésének egy, a különböző tudományok által használt módszere.

Szinte minden természet- és társadalomtudományban a modellek felépítése és alkalmazása hatékony kutatási eszköz. A valós tárgyak és folyamatok annyira sokrétűek és összetettek lehetnek, hogy tanulmányozásuk legjobb módja egy olyan modell felépítése, amely a valóságnak csak egy részét tükrözi, és ezért sokszor egyszerűbb ennél a valóságnál. A számítástechnika kutatás-fejlesztésének tárgya a számítástechnikai eszközök és technológiák használatához kapcsolódó információmodellezés módszertana. Ebben az értelemben beszélnek számítógépes modellezés. A számítástechnika interdiszciplináris jelentősége nagymértékben megnyilvánul a számítógépes modellezés bevezetésén keresztül különböző tudományos és alkalmazott területeken: fizika és technológia, biológia és orvostudomány, közgazdaságtan, menedzsment és még sok más.

Számítógépes modellezés magában foglalja egy információs modell számítógépen való megvalósításának folyamatát és egy modellező objektum kutatását ennek a modellnek a segítségével - számítási kísérlet elvégzése. A számítógépes modellezés segítségével számos tudományos és ipari probléma megoldódik.

Az információs modellezés a modellező objektumra vonatkozó adatok formalizálásához kapcsolódik (lásd " Formalizálás és modellezés”). Az információs modell felépítése a modellezés céljainak meghatározásával és a modellező objektum komplex rendszerként történő elemzésével kezdődik, amelyben ki kell emelni a modellben tükröződő tulajdonságokat és a köztük lévő kapcsolatokat (lásd „ Rendszer elemzése"). Az információs modellek abban különböznek, hogy a modellező objektumról információt mutatnak be. Matematikai modellekhasználja a matematika nyelvét a modellező objektum ábrázolására. A matematikai modellek külön típusa statisztikai modellek- feldolgozás orientált tömeges adatok(például lakossági felmérések), amelyekben ott van a véletlenszerűség eleme. A modellező objektumról táblázatos formában rendezett adatok vannak táblázatos modell. A konstrukcióhoz grafikus eszközöket használnak grafikus modellek. A programozásnak a múlt század végén kialakult objektum-orientált megközelítése új paradigmát adott az információs modellezésben: objektum információs modellezés. Azokat a számítógépes modelleket, amelyek olyan összetett rendszerek viselkedését reprodukálják, amelyekhez nincs egyértelmű matematikai apparátus, ún. szimulációs modellek.

A számítógépes információs modellezést különféle természetű folyamatok leírására és elemzésére használják. A fizikai tudományok rendelkeznek a legnagyobb tapasztalattal e tekintetben (lásd Fizikai rendszerek és folyamatok modellezése”). A számítógépes modellezés segít fontos környezeti problémák megoldásában (lásd Ökológiai rendszerek és folyamatok modellezése”). Az információs modellezés fontos szerepet játszik a közgazdaságtanban és a menedzsmentben. A legfontosabb feladatok ezen a területen a tervezési problémák (lásd Optimális tervezési folyamatok modellezése”). Számítógépes modellezéssel a tudósok olyan globális problémát is megpróbálnak megoldani, mint az emberi civilizáció sorsa (lásd Globális folyamatok modellezése”).

1. Grafikus modellek

A grafikus modellek választéka meglehetősen nagy. Nézzünk meg néhányat közülük.

Vizuális eszköz a rendszerek összetételének és szerkezetének megjelenítésére (lásd " Rendszertan") grafikonok.

Nézzünk egy példát. Van egy szóbeli leírás egy területről: „Kerületünk öt faluból áll: Dedkino, Babkino, Repkino, Koshkino és Myshkino. Autópályák vannak a Dedkino és Babkino, Dedkino és Koshkino, Babkino és Myshkino, Babkino és Koshkino, Koshkino és Repkino között. Egy ilyen leírásból elég nehéz elképzelni ezt a területet. Ugyanez az információ sokkal könnyebben érzékelhető diagram segítségével (lásd ábra). Ez nem a terület térképe. Itt nem tartják be a kardinális irányokat, és nem tartják be a léptéket. Ez a diagram csak öt falu létezésének tényét és a köztük lévő közúti kapcsolatot tükrözi. Ilyen diagram, amely a rendszer elemi összetételét és a kapcsolatok szerkezetét mutatja be, hívott számol.

A grafikon összetevői a csúcsokÉs borda. Az ábrán a csúcsok körökként vannak ábrázolva - ez van rendszerelemek, és az éleket vonalak ábrázolják - ez van kommunikáció(kapcsolat) elemek között. Ezt a grafikont tekintve könnyen megérthető egy adott területen az útrendszer felépítése.

A megszerkesztett gráf lehetővé teszi például a kérdés megválaszolását: mely falvakon kell átmenni Repkinóból Myshkinóba? Látható, hogy két út lehetséges: 1) R K B M és) R K D B M. Következhetünk-e ebből, hogy az 1. út rövidebb, mint a 2.? Nem, te nem tudod. Ez a grafikon nem tartalmaz mennyiségi jellemzőket. Ez nem egy térkép, ahol a léptéket tiszteletben tartják, és meg lehet mérni a távolságot.

A következő ábrán látható grafikon mennyiségi jellemzőket tartalmaz. A szélek közelében lévő számok az utak hosszát jelzik kilométerben. Ez egy példa súlyozott grafikon. A súlyozott gráf tartalmazhat mennyiségi jellemzők nemcsak kapcsolatokat, hanem csúcsokat is. Például a csúcsok jelezhetik az egyes falvak lakosságát. A súlyozott gráf adatai alapján kiderül, hogy az első út hosszabb, mint a második.

Az ilyen gráfokat is nevezik hálózat. A hálózat jellemző számos különböző mozgási út lehetőségét az élek mentén egyes csúcspárok között. A hálózatokra jellemző a zárt utak jelenléte is, amelyeket ún ciklusok. Ebben az esetben van egy ciklus: K D B K.

A tárgyalt ábrákon minden él két pont közötti útkapcsolat meglétét jelzi. De az útkapcsolat mindkét irányban egyformán működik: ha B-ből M-be lehet haladni, akkor M-ből B-be is lehet haladni (feltételezzük, hogy kétirányú forgalom van). Ilyen grafikonok tájékozatlan, és ezek kapcsolatait ún szimmetrikus.

A következő ábra egy grafikon minőségileg eltérő példáját mutatja.

Vércsoport-kompatibilitási grafikon

Ez a példa az orvostudományra vonatkozik. Köztudott, hogy a különböző emberek különböző vércsoportokkal rendelkeznek. Négy vércsoport létezik. Kiderült, hogy amikor vért adnak át egyik személyről a másikra, nem minden csoport kompatibilis. A grafikon a lehetséges vérátömlesztési lehetőségeket mutatja. A vércsoportok a grafikon csúcsai a megfelelő számokkal, és a nyilak jelzik egy vércsoport transzfúziójának lehetőségét egy másik vércsoportú személynek. Ebből a grafikonból például jól látható, hogy az I. csoportba tartozó vért bárkinek át lehet adni, és az I. vércsoportú személy csak a saját csoportjába tartozó vért fogadja el. Az is látható, hogy a IV-es vércsoportú személynek bármilyen vért át lehet adni, de a saját vérét csak ugyanabba a csoportba.

Adott gráf csúcsai közötti kapcsolatok aszimmetrikusés ezért irányított vonalakként vannak ábrázolva nyilakkal. Az ilyen vonalakat általában ún ívek(ellentétben az irányítatlan gráfok éleivel). Az ilyen tulajdonságokkal rendelkező gráfot ún orientált. Az ugyanazt a csúcsot elhagyó és belépő vonalat hívjuk hurok. Ebben a példában négy hurok van.

Nem nehéz megérteni, milyen előnyökkel jár a vértranszfúziós rendszer modelljének grafikonkénti ábrázolása, összehasonlítva ugyanazon szabályok szóbeli leírásával. A grafikon könnyen érthető és megjegyezhető.

Fa - a hierarchikus szerkezet grafikonja

A rendszerek nagyon gyakori típusai a hierarchikus felépítésű rendszerek. Hierarchikus struktúra természetesen akkor jön létre, ha az objektumok vagy egyes tulajdonságaik alá-fölérendeltségi viszonyban állnak (beágyazás, öröklődés). Az adminisztratív irányítási rendszerek általában hierarchikus felépítésűek, amelyek elemei között alárendeltségi viszonyok jönnek létre. Például: üzemigazgató - üzletvezetők - szakaszvezetők - művezetők - munkások. A rendszereknek van egy hierarchikus felépítése is, melynek elemei között egymásba belépő kapcsolatok vannak.

A hierarchikus szerkezeti gráfot ún fa. A fa fő tulajdonsága, hogy bármelyik két csúcsa között csak egy út van. A fák nem tartalmaznak ciklusokat vagy hurkokat.

Nézze meg az államunk hierarchikus közigazgatási struktúráját tükröző grafikont: az Orosz Föderáció hét közigazgatási körzetre oszlik; A körzeteket régiókra (régiókra és nemzeti köztársaságokra) osztják, amelyek városokat és egyéb településeket foglalnak magukban. Az ilyen gráfot ún fa.

Az Orosz Föderáció közigazgatási struktúrájának fája

Egy fának van egy fő csúcsa, amelyet ún fa gyökere. Ez a csúcs a tetején van ábrázolva; tőle származnak ágak fa. A fa szintjei a gyökértől kezdenek számolni. A gyökérhez közvetlenül kapcsolódó csúcsok alkotják az első szintet. Tőlük vannak kapcsolatok a második szint csúcsaihoz stb. A fa minden csúcsának (a gyökér kivételével) van egy eredeti vertex az előző szinten, és sok lehet generált csúcsok a következő szinten. Ezt a kapcsolódási elvet " egy a sokhoz" Azokat a csúcsokat nevezzük, amelyeknek nincs gyermekük levelek(gráfunkban ezek a városokat reprezentáló csúcsok).

Tudományos kutatási eredmények grafikus modellezése

A tudományos grafika általános célja a következőképpen fogalmazható meg: a láthatatlan és az absztrakt „láthatóvá” tétele. Az utolsó szót idézőjelek közé kell tenni, mivel ez a „megjelenés” gyakran nagyon feltételes. Látható-e a hőmérséklet-eloszlás egy nem egyenletesen fűtött, összetett alakú test belsejében anélkül, hogy több száz mikroszenzort helyeznénk bele, azaz lényegében megsemmisítené? - Igen, lehetséges, ha van egy megfelelő matematikai modell, és ami nagyon fontos, egyetértés van bizonyos konvenciók észlelésében a rajzon. Látható-e a fémércek föld alatti eloszlása feltárás nélkül? Egy idegen bolygó felszínének szerkezete radareredmények alapján? Ezekre és sok más kérdésre a válasz igen, lehetséges, a számítógépes grafika és az azt megelőző matematikai feldolgozás segítségével.

Sőt, lehet „látni” valamit, ami szigorúan véve általában nem felel meg a „látni” szónak. Így a kémia és a fizika metszéspontjában kialakult tudomány - a kvantumkémia - lehetőséget ad arra, hogy „meglássuk” egy molekula szerkezetét. Ezek a képek az absztrakció csúcsát és konvenciórendszert jelentik, hiszen az atomi világban a részecskékről (magok, elektronok stb.) megszokott fogalmaink alapvetően nem alkalmazhatók. Azonban egy molekula sokszínű „képe” a számítógép képernyőjén – azok számára, akik megértik a konvencióinak teljes terjedelmét – több előnnyel jár, mint a számítások eredményeként létrejövő számok ezrei.

Isolines

A számítási kísérlet eredményeinek feldolgozásának standard technika az ún. vonalak (felületek) megalkotása izolinák(izofelületek), amelyek mentén valamilyen függvénynek állandó értéke van. Ez egy nagyon elterjedt technika valamilyen skalármező jellemzőinek megjelenítésére folytonos közeg közelítésében: izotermák - egyenlő hőmérsékletű vonalak, izobárok - egyenlő nyomású vonalak, folyadék vagy gáz áramlási függvényének izolátumai, amelyek mentén egy könnyen el tudja képzelni áramlásukat, izolálja az ökológiai populációk számát a talajban, izolálja a káros szennyeződések koncentrációját a környezetben, stb.

Jelenlegi kontúrok

Az ábra egy egyenetlenül melegített folyadék áramlási függvényének izolációit mutatja téglalap alakú áramlási tartományban. Ebből a képből egyértelműen megállapítható az áramlatok iránya és intenzitása.

Feltételes színek, feltételes kontraszt

A modern tudományos grafika másik érdekes technikája a feltételes színezés. Széles körű alkalmazást talál a tudományos alkalmazások széles körében, és a számítógépes modellezés eredményeinek legkényelmesebb megjelenítésére szolgáló technikák összessége.

A hőmérsékletmezők különböző vizsgálatai során felmerül a probléma az eredmények vizuális megjelenítése, például a hőmérsékletek meteorológiai térképeken. Ehhez izotermákat rajzolhat a terület térképének hátterére. De még nagyobb tisztaságot érhet el, mivel a legtöbb ember hajlamos a vöröset „forrónak”, a kéket pedig „hidegnek” érzékelni. A spektrum mentén a vörösről a kékre való átmenet közbenső hőmérsékleti értékeket tükröz.

Ugyanezt megtehetjük a hőmérsékleti mező szemléltetésekor mind egy gépen megmunkált alkatrész felületén, mind egy távoli bolygó felszínén.

Komplex szerves molekulák modellezésekor a számítógép többszínű kép formájában tud eredményt produkálni, amelyen a hidrogénatomok egy színnel, a szén más színnel stb., az atomot pedig egy golyóval (körrel) ábrázolják, amelyen belül. a színsűrűség az elektronsűrűség eloszlásának megfelelően változik. Amikor repülőgépekről vagy űrműholdakról készült légifelvételek segítségével ásványokat keresnek, a számítógépek feltételes színes képeket készítenek a sűrűségeloszlásról a Föld felszíne alatt.

A feltételes színekkel és kontrasztokkal rendelkező képek a tudományos grafika hatékony technikája. Nemcsak lapos, hanem háromdimenziós (háromdimenziós) tárgyak szerkezetének megértését is lehetővé teszi, és a megismerés egyik figyelemre méltó módszerét adja a kutató kezébe.

A grafikus információmodellezés tanulmányozását nem szabad összetéveszteni a grafikus információfeldolgozási technológiák tanulmányozásával. Amikor a hallgatók elkezdik a modellezést, általában már ismerik a számítógépes grafika alapvető technológiáit: ismerik az egyszerű grafikus szerkesztők használatát, tudják, hogyan kell diagramokat készíteni táblázatkezelőben vagy más alkalmas programban.

Az egyszerű grafikus modellek felépítése gráfok és hierarchikus struktúrák formájában már a számítástechnikai alapszakon megfelelő a „Formalizálás és modellezés” témakör tanulmányozásának részeként. Családfa felépítése, hierarchikus iskolairányítási rendszer stb. egy viszonylag egyszerű tevékenység, amely a legtöbb diák számára elérhető. Ebben az esetben célszerű a számítógépes grafikus rendszerek szemléltető képességeit kihasználni.

Ami a tudományos grafikai modellek programozáson keresztül történő önálló megvalósítását illeti, ez egy fokozott nehézségű anyag, amelynek gyakorlati fejlesztése célszerű egy speciális számítástechnikai kurzusban vagy egy szabadon választható kurzus részeként, amelynek célja a fizikai és egyéb modellezés elmélyült tanulmányozása. folyamatokat.

2. Modell szimuláció

Szimulációs modell kölcsönható elemek összetett rendszerének viselkedését reprodukálja. A szimulációs modellezést a következő körülmények (mindegyik vagy néhány egyidejű) fennállása jellemzi:

· a modellezés tárgya egy komplex heterogén rendszer;

· a szimulált rendszer véletlenszerű viselkedési tényezőket tartalmaz;

· szükséges egy idővel kialakuló folyamat leírása;

· számítógép használata nélkül alapvetően lehetetlen szimulációs eredményeket elérni.

A szimulált rendszer egyes elemeinek állapotát egy paraméterkészlet írja le, amelyeket a számítógép memóriájában táblázatok formájában tárolunk. A rendszerelemek kölcsönhatásait algoritmikusan írjuk le. A modellezés lépésről lépésre történik. Minden modellezési lépésnél a rendszerparaméterek értékei változnak. A szimulációs modellt megvalósító program a rendszer állapotában bekövetkezett változásokat tükrözi, a szükséges paramétereinek értékeit táblázatok formájában állítja elő időlépésenként vagy a rendszerben előforduló események sorrendjében. A modellezési eredmények megjelenítéséhez gyakran használnak grafikus ábrázolást, beleértve a grafikus ábrázolást is. élénk.

Determinisztikus modellezés

A szimulációs modell egy valós folyamat utánzásán (utánzáson) alapul. Például egy kolóniában a mikroorganizmusok számának változásának (dinamikájának) modellezésekor számos egyedi objektumot figyelembe vehet, és figyelemmel kísérheti mindegyik sorsát, bizonyos feltételeket szabva a túléléshez és a szaporodáshoz.
stb. Ezeket a feltételeket általában szóban határozzák meg. Például: egy bizonyos idő elteltével a mikroorganizmus két részre oszlik, majd egy újabb (hosszabb) idő elteltével elpusztul. A leírt feltételek teljesülése algoritmikusan valósul meg a modellben.

Egy másik példa: a molekulák mozgásának modellezése egy gázban, amikor minden molekulát egy bizonyos irányú és mozgási sebességű golyóként ábrázolunk. Két molekula vagy egy molekula kölcsönhatása az edény falával az abszolút rugalmas ütközés törvényei szerint megy végbe, és algoritmikusan könnyen leírható. A rendszer integrált (általános, átlagolt) jellemzőit a modellezési eredmények statisztikai feldolgozásának szintjén kapjuk meg.

Egy ilyen számítógépes kísérlet valójában azt állítja, hogy egy teljes körű kísérletet reprodukál. A kérdésre: „Miért kell ezt csinálni?” a következő választ adhatjuk: a szimuláció lehetővé teszi, hogy „tiszta formájában” elkülönítsük a mikroeseményekkel kapcsolatos elképzelésekbe ágyazott hipotézisek következményeit (azaz a rendszerelemek szintjén), megszabadítva azokat a többi tényező elkerülhetetlen befolyásától. teljes körű kísérlet, amiről talán nem is tudunk gyanúsítottról. Ha az ilyen modellezés a folyamatok mikroszintű matematikai leírásának elemeit is tartalmazza, és ha a kutató nem tűzi ki feladatának az eredmények szabályozására vonatkozó stratégia megtalálását (például egy mikroorganizmus-kolónia méretének szabályozását), akkor az A szimulációs modell és a matematikai (leíró) közötti különbség meglehetősen feltételesnek bizonyul.

A szimulációs modellek fenti példái (mikroorganizmus-kolónia evolúciója, molekulák mozgása egy gázban) meghatározó rendszerek leírása . Hiányoznak belőlük az események valószínűségi és véletlenszerűsége elemei a szimulált rendszerekben. Nézzünk egy példát egy olyan rendszer modellezésére, amely rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal.

Véletlenszerű folyamatok modelljei

Ki nem állt sorban és türelmetlenül azon töprengett, hogy a rendelkezésére álló idő alatt képes lesz-e vásárolni (vagy bérleti díjat fizetni, körhintázni stb.)? Vagy, amikor megpróbálja felhívni a segélyvonalat, és többszöri rövid sípszóval találkozik, ideges lesz, és felméri, hogy átjutok-e vagy sem? Az ilyen „egyszerű” feladatokból a 20. század elején a matematika új ága született - sorban állás elmélet, a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika apparátusával, differenciálegyenletekkel és numerikus módszerekkel. Később kiderült, hogy ennek az elméletnek számos vonatkozása van a közgazdaságtanban, a katonai ügyekben, a termelésszervezésben, a biológiában és az ökológiában stb.

Számítógépes szimuláció sorbanállási problémák megoldására, űrlapon megvalósítva statisztikai vizsgálati módszer(Monte Carlo módszer) fontos szerepet játszik. A valós sorbanállási problémák megoldására szolgáló analitikai módszerek lehetőségei nagyon korlátozottak, míg a statisztikai tesztelési módszer univerzális és viszonylag egyszerű.

Tekintsük ennek az osztálynak a legegyszerűbb problémáját. Van egy üzlet egy eladóval, ahová a vásárlók véletlenszerűen lépnek be. Ha az eladó szabad, akkor azonnal megkezdi a vevő kiszolgálását, ha több vevő érkezik egyszerre, sor alakul ki. Sok más hasonló helyzet létezik:

· javítási terület a járműparkban és a vonalat meghibásodás miatt elhagyott autóbuszokban;

· sürgősségi és sérülés miatt (azaz előjegyzési rendszer nélkül) jelentkező betegek;

· egy telefonközpont egy bejárattal (vagy egy telefonszolgáltatóval) és az előfizetők, akiket sorba állítanak, amikor a bejárat foglalt (egy ilyen rendszert néha alkalmaznak);

· helyi hálózati szerver és a munkahelyi személyi számítógépek, amelyek üzenetet küldenek egy olyan szervernek, amely egyszerre legfeljebb egy üzenet fogadására és feldolgozására képes.

Az üzletbe érkező vásárlók véletlenszerű folyamata. Az egymást követő vevőpárok érkezése közötti időintervallumok független véletlenszerű események, amelyek valamilyen törvény szerint eloszlanak, és csak számos megfigyeléssel állapíthatók meg (vagy ennek valamilyen elfogadható változatát veszik a modellezéshez). A probléma második véletlenszerű folyamata, amely semmilyen módon nem kapcsolódik az elsőhöz, az egyes ügyfelek szolgáltatási időtartama.

Az ilyen típusú modellező rendszerek célja számos kérdésre választ kapni. Egy viszonylag egyszerű kérdés: mennyi az átlagos várakozási idő a fenti valószínűségi változók eloszlási törvényei alapján? Nehezebb kérdés: mi a sorban állási várakozási idő megoszlása? Ugyanilyen nehéz kérdés: a bemeneti eloszlások paramétereinek milyen arányainál fog bekövetkezni az a válság, amelybe az újonnan belépő vásárló sora soha nem fog eljutni? Ha erre a viszonylag egyszerű feladatra gondolunk, a lehetséges kérdések megsokszorozódnak.

A modellezési módszer általánosságban így néz ki. Az alkalmazott matematikai képletek a kezdeti valószínűségi változók eloszlásának törvényei; a használt numerikus állandók az ezekben a képletekben szereplő empirikus paraméterek. Nem oldottak meg olyan egyenleteket, amelyeket a probléma analitikai vizsgálatához használnának. Ehelyett egy sort szimulálnak, számítógépes programokkal játszva, amelyek véletlen számokat generálnak adott eloszlási törvényekkel. Ezután az adott modellezési célok által meghatározott mennyiségek kapott értékeinek halmazának statisztikai feldolgozása történik. Például a boltok működésének különböző időszakaihoz megtalálják az optimális eladók számát, ami biztosítja a sorok hiányát. Az itt használt matematikai apparátus ún a matematikai statisztika módszerei.

Az „Ökológiai rendszerek és folyamatok modellezése” című cikk 2 a szimulációs modellezés egy másik példáját írja le: a „ragadozó-zsákmány” rendszer számos modelljének egyikét. A jelzett kapcsolatokban lévő fajok egyedei bizonyos véletlen elemeket tartalmazó szabályok szerint mozognak, a ragadozók megeszik az áldozatokat, mindketten szaporodnak stb. Egy ilyen modell nem tartalmaz matematikai képleteket, hanem az eredmények statisztikai feldolgozását igényli.

Példa egy determinisztikus szimulációs modellalgoritmusra

Tekintsünk egy szimulációs modellt az élő szervezetek populációjának evolúciójáról, az „Élet” néven, amely könnyen megvalósítható bármely programozási nyelven.

A játékalgoritmus felépítéséhez vegyünk egy négyzetes mezőt n+ 1 oszlopok és sorok normál számozással 0-tól n. A kényelem kedvéért a szélső határoszlopokat és sorokat „holt zónaként” definiáljuk, ezek csak segéd szerepet töltenek be.

A mező bármely belső cellájához koordinátákkal ( én, j) 8 szomszédot határozhat meg. Ha a sejt „élő”, akkor átfestjük, ha a sejt „halott”, akkor az üres.

Határozzuk meg a játékszabályokat. Ha a sejt ( én, j) „él”, és több mint három „élő” sejt veszi körül, elpusztul (a túlnépesedés következtében). Egy „élő” sejt akkor is elpusztul, ha a környezetében kettőnél kevesebb „élő” sejt van (a magánytól). Egy „halott” sejt életre kel, ha három „élő” sejt jelenik meg körülötte.

A kényelem kedvéért bevezetünk egy kétdimenziós tömböt A, melynek elemei 0 értéket vesznek fel, ha a megfelelő cella üres, és 1 értéket, ha a cella „élő”. Ezután az algoritmus egy cella állapotának meghatározására koordinátával ( én, j) a következőképpen definiálható:

S:= A + A +

A + A

A+A+

A + A;

Ha (A = 1) És((S > 3) Vagy

(S<)) Akkor B:= 0;

Ha (A = 0) És(S=3)

Ekkor B := 1;

Itt van egy tömb B meghatározza a mező koordinátáit a következő szakaszban. Minden belső cellához én= 1-től n– 1 és j= 1-től n– 1 igaz a fenti. Vegye figyelembe, hogy a következő generációk is hasonlóan vannak definiálva, csak el kell végeznie az átcsoportosítási eljárást:

I:= 1 Nak nek N-1 Tedd

J esetén:= 1 Nak nek N-1 Tedd

A := B;

Kényelmesebb a mező állapotát nem mátrixban, hanem grafikus formában megjeleníteni a kijelzőn.

Nincs más hátra, mint meghatározni a játéktér kezdeti konfigurációjának beállítási eljárását. A cellák kezdeti állapotának véletlenszerű meghatározásánál egy algoritmus megfelelő

I:= 1 Nak nek K Tedd

Begin K1:= Random(N - 1);

K2:= Véletlen (N - 1) + 1;

A felhasználó számára érdekesebb, hogy maga állítsa be a kezdeti konfigurációt, ami könnyen megvalósítható. Az ezzel a modellel végzett kísérletek eredményeként például olyan élő szervezetek stabil letelepedését találhatjuk, amelyek soha nem halnak meg, változatlanok maradnak, vagy egy bizonyos időn keresztül megváltoztatják konfigurációjukat. Abszolút instabil (a második generációban elpusztul) a „kereszt” település.

A számítástechnikai alaptanfolyamon a hallgatók a „Bevezetés a programozásba” rész részeként megvalósíthatják az „Élet” szimulációs modellt. A szimulációs modellezés alaposabb elsajátítása középiskolában történhet egy informatika szakos vagy választható kurzusban. Ezt a lehetőséget az alábbiakban tárgyaljuk.

A tanulmány eleje egy előadás a véletlenszerű folyamatok szimulációs modellezéséről. Az orosz iskolákban a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika fogalmait még csak most kezdik bevezetni a matematikai kurzusokba, és a tanárnak fel kell készülnie arra, hogy ebbe a világnézeti és matematikai kultúra kialakításához nélkülözhetetlen anyagba bevezetőt készítsen. Hangsúlyozzuk, hogy a tárgyalt fogalmak körének elemi bevezetéséről beszélünk; ez 1-2 óra alatt megtehető.

Ezt követően egy adott eloszlási törvény mellett véletlen számsorozatok számítógépes generálásával kapcsolatos technikai kérdéseket tárgyaljuk. Ebben az esetben támaszkodhatunk arra, hogy minden univerzális programozási nyelvnek van egy 0-tól 1-ig terjedő intervallumon egyenletes eloszlású véletlenszám-érzékelője. Ebben a szakaszban nem helyénvaló belemenni a végrehajtási elvek összetett kérdésébe. Meglévő véletlenszám-érzékelők alapján megmutatjuk, hogyan kell elrendezni

a) egyenletes eloszlású véletlenszámok generátora bármely intervallumon [ a, b];

b) véletlenszám-generátor szinte bármilyen eloszlási törvény szerint (például az intuitívan egyértelmű „kiválasztás-elutasítás” módszerrel).

A fent leírt sorbanállási probléma vizsgálatát célszerű a sorbanállási problémák megoldásának történetével kezdeni (Erlang-probléma a telefonközponti kérések kiszolgálásáról). Ezt követi a legegyszerűbb probléma átgondolása, amely egy eladós üzletben sorképzés és kiszolgálás példáján keresztül fogalmazható meg. Vegye figyelembe, hogy a modellezés első szakaszában a valószínűségi változók bemeneti eloszlását egyformán valószínűnek tételezhetjük fel, ami bár nem reális, de számos nehézséget kiküszöböl (véletlen számok generálásához egyszerűen használhatja a beépített érzékelőt a programozási nyelv).

Felhívjuk a hallgatók figyelmét arra, hogy az ilyen típusú rendszerek modellezésekor milyen kérdések merülnek fel először. Először is, ez néhány valószínűségi változó átlagos értékének (matematikai elvárásainak) kiszámítása. Például átlagosan mennyi ideig kell sorban állnia a pultnál? Vagy: keresse meg az átlagos időt, amit az eladó a vevőre vár.

A tanár feladata különösen annak magyarázata, hogy a mintaátlagok maguk is valószínűségi változók; egy másik, azonos méretű mintában eltérő értékekkel rendelkeznek (nagy mintamérettel - nem különböznek túlságosan egymástól). További lehetőségek is lehetségesek: felkészültebb közönségben olyan konfidenciaintervallum-becslési módszert mutathatunk be, amelyben a megfelelő valószínűségi változók matematikai elvárásai adott konfidenciavalószínűség mellett helyezkednek el (a matematikai statisztikából ismert módszerekkel, anélkül, hogy megpróbálnánk igazolni). A kevésbé felkészült közönség számára egy pusztán empirikus megállapításra szorítkozhatunk: ha több azonos méretű mintában az átlagértékek egy bizonyos tizedesjegyen esnek egybe, akkor ez az előjel nagy valószínűséggel helyes. Ha a szimuláció nem éri el a kívánt pontosságot, a minta méretét növelni kell.

A matematikailag még felkészültebb közönség számára feltehető a kérdés: mi a statisztikai modellezés eredményeként létrejött valószínűségi változók eloszlása, ha a bemeneti paramétereket jelentő valószínűségi változók adott eloszlásai vannak? Mivel a megfelelő matematikai elmélet bemutatása ebben az esetben lehetetlen, korlátoznunk kell magunkat az empirikus technikákra: a végső eloszlások hisztogramjainak elkészítésére és összehasonlítására több tipikus eloszlásfüggvénnyel.

A modellezés kezdeti készségeinek elsajátítása után áttérünk egy valósághűbb modellre, amelyben a véletlenszerű események bemeneti áramlásai vannak elosztva, például Poisson szerint. Ez megköveteli a hallgatóktól, hogy elsajátítsák a véletlen számsorozatok generálásának módszerét a megadott eloszlási törvény szerint.

A szóban forgó problémában, mint minden összetettebb, sorokkal kapcsolatos probléma esetében, kritikus helyzet állhat elő, amikor a sor idővel korlátlanul növekszik. A kritikus helyzet megközelítésének modellezése az egyik paraméter növekedésével a legfelkészültebb hallgatók számára érdekes kutatási feladat.

A sorproblémát példaként használva több új fogalom és készség gyakorlása történik egyszerre:

· véletlenszerű folyamatok fogalmai;

· a szimulációs modellezés fogalmai és egyszerű készségei;

· optimalizációs szimulációs modellek készítése;

· többszempontú modellek felépítése (a legracionálisabb ügyfélkiszolgálással kapcsolatos problémák megoldása az üzlettulajdonos érdekeivel összhangban).

3. Matematikai modellek

Matematikai modell - a modellező objektum hozzávetőleges leírása, matematikai szimbólumokkal kifejezve.

A matematikai modellek a matematikával együtt jelentek meg sok évszázaddal ezelőtt. A számítógépek megjelenése óriási lendületet adott a matematikai modellezés fejlődésének. A számítógépek használata számos olyan matematikai modell elemzését és gyakorlati alkalmazását tette lehetővé, amelyek korábban nem voltak alkalmasak analitikus kutatásra. Számítógéppel megvalósított matematikai modell hívott számítógépes matematikai modell, A célzott számítások elvégzése számítógépes modell segítségével hívott számítási kísérlet.

A számítógépes matematikai modellezés szakaszait az ábra mutatja. Első fázis- modellezési célok meghatározása. Ezek a célok eltérőek lehetnek:

1) modellre van szükség ahhoz, hogy megértsük, hogyan épül fel egy adott tárgy, mi a szerkezete, alapvető tulajdonságai, a fejlődés törvényei és a külvilággal való interakció (megértés);

2) modellre van szükség ahhoz, hogy megtanuljunk egy objektumot (vagy folyamatot) kezelni, és meghatározzuk az adott célokhoz és kritériumokhoz a legjobb kezelési módszereket (menedzsment);

3) a modellre azért van szükség, hogy előre jelezzük az adott módszerek és hatásformák megvalósításának az objektumra gyakorolt közvetlen és közvetett következményeit (előrejelzés).

Magyarázzuk meg példákkal. Legyen a vizsgálat tárgya egy folyadék vagy gáz áramlásának kölcsönhatása egy testtel, amely akadályozza ezt az áramlást. A tapasztalat azt mutatja, hogy a test áramlási ellenállásának ereje az áramlási sebesség növekedésével növekszik, de bizonyos kellően nagy sebességeknél ez az erő hirtelen csökken, hogy a sebesség további növelésével ismét növekedjen. Mi okozta az ellenállási erő csökkenését? A matematikai modellezés lehetővé teszi, hogy egyértelmű választ kapjunk: az ellenállás hirtelen csökkenése pillanatában az áramvonalas test mögött a folyadék vagy gáz áramlásában keletkező örvények elkezdenek leszakadni tőle, és az áramlás elviszi őket.

Példa egy teljesen más területről: két békésen együtt élt, stabil egyedszámmal rendelkező, közös táplálékkal rendelkező egyedfaj populációi „hirtelen” élesen megváltoztatják a számukat. És itt a matematikai modellezés lehetővé teszi (bizonyos fokú megbízhatósággal) az ok megállapítását (vagy legalábbis egy bizonyos hipotézis megcáfolását).

Egy objektum kezelési koncepciójának kidolgozása a modellezés másik lehetséges célja. Melyik repülőgép repülési módját válasszam annak érdekében, hogy a repülés biztonságos és gazdaságilag legjövedelmezőbb legyen? Hogyan ütemezzünk több száz típusú munkát egy nagy létesítmény építésekor, hogy az a lehető legrövidebb időn belül elkészüljön? Sok ilyen probléma szisztematikusan felmerül a közgazdászok, a tervezők és a tudósok előtt.

Végül, az objektumra gyakorolt bizonyos hatások következményeinek előrejelzése egyszerű fizikai rendszerekben viszonylag egyszerű, biológiai, gazdasági és társadalmi rendszerekben pedig rendkívül bonyolult – a megvalósíthatóság határán. Míg arra a kérdésre, hogy egy vékony rúdban viszonylag könnyen megválaszolható a hőeloszlás módjának változása az alkotó ötvözetének változásai miatt, összehasonlíthatatlanul nehezebb nyomon követni (megjósolni) a nagyméretű rúd építésének környezeti és éghajlati következményeit. vízierőmű vagy az adójogszabályok változásának társadalmi következményei. Talán itt is jelentősebb segítséget nyújtanak a jövőben a matematikai modellezési módszerek.

Második szakasz: a modell bemeneti és kimeneti paramétereinek meghatározása; a bemeneti paraméterek felosztása változásaik kimenetre gyakorolt hatásának fontossági foka szerint. Ezt a folyamatot rangsorolásnak vagy rang szerinti szétválasztásnak nevezik (lásd . “Formalizálás és modellezés”).

Harmadik szakasz: matematikai modell felépítése. Ebben a szakaszban a modell absztrakt megfogalmazásáról át kell térni egy meghatározott matematikai reprezentációval rendelkező megfogalmazásra. A matematikai modell egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségrendszerek, differenciálegyenletek vagy ilyen egyenletrendszerek stb.

Negyedik szakasz: módszer kiválasztása egy matematikai modell tanulmányozására. Leggyakrabban numerikus módszereket használnak, amelyek jól használhatók a programozásban. Egyazon probléma megoldására általában több módszer is alkalmas, amelyek pontosságban, stabilitásban stb. A teljes modellezési folyamat sikere gyakran a módszer helyes megválasztásán múlik.

Ötödik szakasz: algoritmus kidolgozása, számítógépes program összeállítása és hibakeresése – nehezen formalizálható folyamat. A programozási nyelvek közül sok szakember a FORTRAN-t részesíti előnyben a matematikai modellezéshez: mind a hagyományok, mind a fordítók (számítási munkákhoz) felülmúlhatatlan hatékonysága és a benne írt matematikai módszerekhez szükséges szabványos programok hatalmas, gondosan hibakeresett és optimalizált könyvtárai miatt. . A feladat jellegétől és a programozó hajlamaitól függően olyan nyelvek is használatban vannak, mint a PASCAL, BASIC, C.

Hatodik szakasz: program tesztelése. A program működését egy tesztfeladaton teszteljük, amelyre korábban ismert válasz van. Ez csak a kezdete egy olyan tesztelési eljárásnak, amelyet nehéz formálisan átfogó módon leírni. Jellemzően a tesztelés akkor ér véget, amikor a felhasználó szakmai tulajdonságai alapján a programot helyesnek tartja.

Hetedik szakasz: a tényleges számítási kísérlet, melynek során megállapítják, hogy a modell megfelel-e egy valós objektumnak (folyamatnak). A modell kellően adekvát a valós folyamathoz, ha a számítógépen kapott folyamat egyes jellemzői adott pontossággal egybeesnek a kísérletileg kapott jellemzőkkel. Ha a modell nem felel meg a valós folyamatnak, akkor visszatérünk az előző szakaszok valamelyikéhez.

Matematikai modellek osztályozása

A matematikai modellek osztályozása többféle elv alapján történhet. A modelleket tudományágak szerint osztályozhatja (matematikai modellek fizikában, biológiában, szociológiában stb.). Az alkalmazott matematikai apparátus szerint osztályozható (közönséges differenciálegyenletek használatán alapuló modellek, parciális differenciálegyenletek, sztochasztikus módszerek, diszkrét algebrai transzformációk stb.). Végül, ha a különböző tudományok modellezésének általános problémáiból indulunk ki, függetlenül a matematikai apparátustól, a következő osztályozás a legtermészetesebb:

· leíró (leíró) modellek;

· optimalizálási modellek;

· többszempontú modellek;

· játékmodellek.

Magyarázzuk meg ezt példákkal.

Leíró (leíró) modellek. Például a Naprendszert megszálló üstökös mozgásának modellezése a repülési útvonal, a Földtől elhaladó távolság stb. Ebben az esetben a modellezési célok leíró jellegűek, mivel az üstökös mozgását nem lehet befolyásolni, vagy bármit megváltoztatni benne.

Az optimalizálási modellek segítségével leírják azokat a folyamatokat, amelyek egy adott cél elérésére irányuló kísérlet során befolyásolhatók. Ebben az esetben a modell egy vagy több befolyásolható paramétert tartalmaz. Például egy magtár termikus rezsimjének megváltoztatásakor célul tűzheti ki olyan rezsim kiválasztását, amely a maximális gabonabiztonságot biztosítja, pl. optimalizálja a tárolási folyamatot.

Többszempontú modellek. Gyakran előfordul, hogy egy folyamatot egyszerre több paraméter mentén kell optimalizálni, és a célok meglehetősen ellentmondásosak lehetnek. Például az élelmiszerárak és az ember élelemszükségletének ismeretében élettanilag helyesen és egyben olyan olcsón kell megszervezni a nagy csoportok (hadseregben, nyári gyerektáborban stb.) táplálkozását, lehetséges. Jól látható, hogy ezek a célok egyáltalán nem esnek egybe, i.e. A modellezés során több szempontot is figyelembe kell venni, amelyek között egyensúlyt kell keresni.

A játékmodellek nemcsak a számítógépes játékokhoz kapcsolódhatnak, hanem nagyon komoly dolgokhoz is. Például egy csata előtt a parancsnoknak, ha hiányos információ áll rendelkezésre a szembenálló hadseregről, tervet kell kidolgoznia: milyen sorrendben vezet be bizonyos egységeket a csatába stb., figyelembe véve az ellenség lehetséges reakcióját. A modern matematikának van egy speciális ága - a játékelmélet -, amely a hiányos információk körülményei között történő döntéshozatali módszereket vizsgálja.

Az iskolai számítástechnika tanfolyamon a hallgatók az alaptanfolyam részeként kapnak kezdeti ismereteket a számítógépes matematikai modellezésről. Középiskolában a matematikai modellezést fizika-matematika osztályok általános műveltségi tagozatán, valamint választható szakkör keretében lehet behatóan tanulni.

A középiskolai számítógépes matematikai modellezés oktatásának fő formái az előadások, a laboratóriumi és tesztórák. Az egyes új modellek létrehozásának és tanulmányozásának előkészítése általában 3-4 órát vesz igénybe. Az anyag bemutatása során olyan problémákat tűznek ki, amelyeket a tanulóknak a jövőben önállóan kell megoldaniuk, és általánosságban körvonalazzák a megoldási módokat. Kérdések fogalmazódnak meg, amelyekre a válaszokat a feladatok elvégzésekor kell megszerezni. További szakirodalmak vannak feltüntetve, amelyek lehetővé teszik a kiegészítő információk beszerzését a feladatok sikeresebb elvégzéséhez.

Az új tananyag tanulmányozása során az órák szervezési formája általában egy előadás. A következő modell tárgyalásának befejezése után a hallgatók rendelkezésére állnak a további munkához szükséges elméleti információk és feladatsor. A feladat elvégzésére való felkészülés során a tanulók megfelelő megoldási módot választanak, és valamilyen jól ismert privát megoldással tesztelik a kidolgozott programot. A feladatok elvégzése során felmerülő nehézségek esetén konzultációt tartanak, és javaslatot tesznek ezeknek a szakaszoknak az irodalmi forrásokban való részletesebb tanulmányozására.

A számítógépes modellezés oktatásának gyakorlati részére a legmegfelelőbb a projektmódszer. A feladatot a tanuló számára oktatási projekt formájában fogalmazzák meg és több tanórán keresztül hajtják végre, a fő szervezeti forma a számítógépes laboratóriumi munka. Az oktatási projekt módszerrel történő modellezés oktatása különböző szinteken valósítható meg. Az első a projekt befejezésének folyamatának problematikus bemutatása, amelyet a tanár vezet. A második a projekt megvalósítása a diákok által, tanári irányítás mellett. A harmadik az, hogy a diákok önállóan fejezzenek be egy oktatási kutatási projektet.

A munka eredményeit számszerű formában, grafikonok és diagramok formájában kell bemutatni. Ha lehetséges, a folyamat dinamikusan jelenik meg a számítógép képernyőjén. A számítások elvégzése és az eredmények beérkezése után azokat elemzik, összehasonlítják az elméletből ismert tényekkel, megerősítik a megbízhatóságot és érdemi értelmezést végeznek, amelyet ezt követően írásos jelentésben tükröznek.

Ha az eredmények kielégítik a tanulót és a tanárt, akkor a munka befejezettnek minősül, és ennek utolsó szakasza a beszámoló elkészítése. A jelentés rövid elméleti információkat tartalmaz a vizsgált témáról, a probléma matematikai megfogalmazását, a megoldási algoritmust és annak indoklását, a számítógépes programot, a program eredményeit, az eredmények elemzését és következtetéseit, valamint a hivatkozások listáját.

Amikor az összes jelentést összeállították, a tesztórán a tanulók röviden beszámolnak az elvégzett munkáról, és megvédik projektjüket. Ez egy hatékony jelentési forma a projektet végrehajtó csoporttól az osztály felé, beleértve a probléma felállítását, formális modell felépítését, a modellel végzett munka módszereinek kiválasztását, a modell számítógépen való megvalósítását, a kész modellel való munkát, az értelmezést. az eredményeket és az előrejelzéseket. Ennek eredményeként a tanulók két osztályzatot kaphatnak: az elsőt - a projekt kidolgozottságáért és megvédésének sikerességéért, a másodikat - a programért, annak algoritmusának, felületének optimalitásáért stb. A tanulók az elméleti vetélkedők során is kapnak osztályzatokat.

Lényeges kérdés, hogy a matematikai modellezéshez milyen eszközöket kell használni egy iskolai informatika tanfolyamon? A modellek számítógépes megvalósítása elvégezhető:

· táblázatkezelő processzor (általában MS Excel) használata;

· programok létrehozásával hagyományos programozási nyelveken (Pascal, BASIC stb.), valamint azok modern verzióiban (Delphi, Visual Basic for Application stb.);

· speciális alkalmazáscsomagok használata matematikai feladatok megoldására (MathCAD, stb.).

Alapiskolai szinten az első módszer tűnik előnyösebbnek. Azonban középiskolában, amikor a programozás a modellezés mellett kiemelt téma az informatikában, célszerű modellező eszközként használni. A programozási folyamat során a matematikai eljárások részletei a hallgatók rendelkezésére állnak; Ráadásul egyszerűen kénytelenek elsajátítani, és ez is hozzájárul a matematikai oktatáshoz. Ami a speciális szoftvercsomagok használatát illeti, ez egy speciális számítástechnikai kurzusban célszerű más eszközök kiegészítéseként.

4. Globális folyamatok modellezése

A különféle tudományokban (fizika, biológia, közgazdaságtan stb.) használt modellek viszonylag elszigetelt folyamatok, jelenségek matematikai képei. Mindegyik lehetővé teszi olyan problémák megoldását, amelyek egy adott tudomány vagy tevékenységtípus szempontjából fontosak. Mindez azonban egyetemes fontosságában alulmarad az emberek számára legjelentősebb kérdéshez képest: mi az emberiség, mint egész faj közvetlen jövője? Hogyan fog fejlődni a világ a belátható jövőben? Hangsúlyozzuk, nem egy adott országra vagy társadalomra vonatkozó politikai vagy gazdasági előrejelzésekről beszélünk, hanem az emberiség egészéről – milyen jövője van ennek (mindannyiunknak, akik a Földön élünk)?

Jelenlegi életükben az embereknek sok sajátos problémájuk van, és kevéssé hajlanak ilyen általános gondolkodásra. Egy ember élete túl rövid, és alig egy-két évszázaddal ezelőtt egy ember élete során a világban végbemenő globális változások kevéssé voltak észrevehetők, még akkor sem, ha egy meglehetősen viharos korszakban élt. Ám a 20. században az események üteme olyan felgyorsult, mint az emberi történelemben még soha. Egyre elterjedtebbek a jövőbeli globális katasztrófák előrejelzései: az ipari szennyezés miatti természetpusztulás, a kozmikus sugárzástól védő „ózonlyukak” megjelenése a sztratoszférában, az oxigénreprodukciós eszközök kimerülése a hatalmas erdőirtás miatt stb. Még egy kevésbé katasztrofális esemény – például a természeti erőforrások kimerülése – radikális változásokat idézhet elő az emberiség életmódjában, és különösen a ma legiparosodottabb országokban.

Az emberiség jövőjét hatalmas számú folyamat határozza meg, részben általa irányított, részben nem, és ezek a folyamatok annyira összefüggenek egymással, és olyan ellentmondásos következményekkel járnak, hogy csak a matematikai modellezésük teljes ésszerű összességében, modern számítógépeken megvalósítható. minőségileg helyes előrejelzést adni. Bármilyen nagy is a valóság elkerülhetetlen eldurvulása egy ilyen modellezéssel, annyi kiemelkedő jelentőségű tényező van, hogy még a legerősebb elme sem tudja nyomon követni kölcsönhatásukat.

A megfelelő modellek, ún globális(mindenre kiterjedő), először a múlt század 70-es éveiben jelent meg. A leghíresebb modellek a WORLD-1 (WORLD-1), WORLD-2, WORLD-3, amelyeket a Massachusetts Institute of Technology (USA) alkalmazottainak egy csoportja fogalmazott meg és tanulmányozott D.Kh. vezetésével. Meadows és D. Forrester. Munkájuk eredménye egy időben szenzációt keltett a világban, mert az események lehetséges alakulására vonatkozó forgatókönyvek többsége a világvégének nevezhető (természetesen az emberiség szempontjából) végkifejlethez vezetett. A szerzők ugyanakkor többször is hangsúlyozták, hogy nem előre meghatározott jövőről beszélünk, hanem az emberiség fejlődésének útjainak megválasztásáról, amelyek között vannak a stabilitáshoz, az emberiség virágzó létéhez vezetők is.

Mi lehet az oka az esetleges instabilitásnak? Az ipari forradalom kitörése utáni korszak emberi életének jellemző vonása volt számos mutató gyors - gyakran exponenciálisan gyors - növekedése. A Föld népességének megduplázódási periódusa hozzávetőleg 40 év (egy ilyen állandó periódus jelenléte az exponenciális növekedés jellemző vonása). A biológusok és ökológusok jól tudják, hogy a populáció méretének exponenciális növekedése legtöbbször katasztrófával végződik – a létezését alátámasztó források kimerülnek. Egy faj léte szempontjából ez nem tragédia (kivéve az egyedi eseteket, amikor egy adott faj mind egy populációra redukálódik). Korunkban azonban az emberiség szinte minden erőforrását felhasználta kiterjedt növekedésre és terjeszkedésre. Az ipari termelés volumene a 20. században is szinte exponenciálisan nőtt, éves növekedési üteme átlagosan 3,3%. Ez a természeti erőforrások – ásványok, tiszta víz, tiszta levegő – kimerüléséhez vezet. A fosszilis tüzelőanyagok elégetése és az erdők kimerülése következtében az egyik stabil szénvegyület (dioxid) légköri tartalma harmadával nőtt a század eleje óta; potenciálisan ez globális felmelegedéshez vezet a Földön a legkatasztrofálisabb következményekkel. Minél több ember van, annál több élelmiszerre van szükség, és a kijuttatott ásványi műtrágyák globális mennyisége exponenciálisan növekszik, körülbelül 15 éves megduplázódási periódussal. Világos, minden modellezés nélkül is, hogy egy ilyen élet minden és mindenki féktelen növekedésével nem tarthat sokáig - és most a „hosszú” két-három generáció élettartamához hasonlítható.

Az események ilyen lefolyásának következményeinek nyomon követésének nehézsége az is, hogy az emberiség sorsára gyakorolt befolyása szempontjából az egyes globális folyamatokat nem lehet egyértelműen „jónak” vagy „rossznak” nevezni. Például a műtrágyatermelés növekedése az élelmiszertermelés növekedéséhez vezet - ez „jó”. De a „rossz” az, hogy ugyanez a folyamat a tiszta édesvíz utánpótlás csökkenéséhez vezet, amelyet a talajon esővel a folyókba és földalatti forrásokba eső műtrágyák rontanak el. Ezenkívül a műtrágya-termelés növekedése az energiatermelés növelésének szükségességét, valamint a talaj, a légkör stb. kémiai és hőszennyezését okozza. Az ilyen helyzeteknek az emberiség fejlődésére gyakorolt hatását csak úgy lehet mérlegelni, ha minden tényezőt egyidejűleg figyelembe veszünk.

Vannak-e lehetőségek az emberi fejlődés katasztrofális következményeinek elkerülésére? A modellezés eredményeként az alábbi három szabály fogalmazódott meg, amelyek betartása a modellek készítői szerint a globális fenntarthatósághoz szükséges:

1. Megújuló erőforrások (erdő, víz, hal stb.) esetében a fogyasztás mértéke nem haladhatja meg a természetes regeneráció mértékét.

2. A nem megújuló erőforrások (szén, olaj, érc stb.) esetében a felhasználás mértéke nem haladhatja meg azok megújulókkal való helyettesítésének mértékét (nap- és szélenergia fejlesztése, erdőtelepítés stb.) és a mértéket. új technológiák fejlesztése a helyettesítő erőforrások biztosítására; hogy például az olaj eltűnése után egy új erőforrásból biztosítva legyen az energia beáramlása.

3. A szennyező anyagok esetében a maximális kibocsátási arány nem haladhatja meg azt a sebességet, amellyel ezeket az anyagokat feldolgozzák, és nem veszíthetik el környezetre káros tulajdonságaikat.

Jelenleg az emberiséget sajnos nem ezek a szabályok vezérlik. Ha az elmúlt évszázadokban ez nem jelentett veszélyt a faj egészére, mára a helyzet megváltozott.

Röviden írjuk le az egyik globális modellt - WORLD-3 (WORLD-3). A modell öt szektorból áll:

· tartós szennyezés;

· nem megújuló erőforrások;

· népesség;

· mezőgazdaság (élelmiszertermelés, termőföldek termékenysége, területfejlesztés);

· gazdaság (ipari termelés, szolgáltatástermelés, munkahelyek).

A kezdeti kapcsolatok elsődleges kapcsolatok, mint például:

· lakossági és ipari tőketartalékok;

· népesség és a megművelt terület területe;

· a megművelt földterület és az ipari tőke mennyisége;

· a szolgáltató szektor lakossága és tőkéje;

· szolgáltató szektor tőke és ipari tőke stb.

Minden szektorban az összes elsődleges összefüggést matematikai összefüggések követik és fejezik ki. Szükség szerint figyelembe veszik az anyagi és információs lemaradás folyamatait, hiszen mondjuk a populáció nagyságának reakciója a táplálkozás javítására nem azonnali, hanem késleltetett. Ez jellemző a legtöbb vizsgált folyamatra.

A WORLD-3 modell leíró és optimalizáló funkciókkal rendelkezik. Fő célja, hogy bemutassa a gazdaság (a fogalom tágabb értelmében) lehetséges útjait a környezet által korlátlanul eltartható globális népesedés eléréséhez. Nem jósol egy adott ország fejlődését, és nem old meg semmilyen helyi kérdést. A modell feltételezi, hogy létezik egy globális közösség a Földön.

A népességdinamika olyan szerves jellemző, amely minden tényezőt magában foglal. Tisztán spekulatívan kétféle stabil dinamika lehetséges (folyamatos növekedés vagy zökkenőmentes egyensúlyi megközelítés), és háromféle instabil, amely a megengedett határok túllépésével jár (rezgések, amelyeket stacionárius állapot elérése követ, kaotikus oszcillációk és összeomlás, azaz az egyensúly kihalása). a faj). A folyamatos növekedés teljesen irreálisnak tűnik, az instabil dinamika utolsó része tragédia az emberiség számára, és az éles ingadozások mögött, ahogy sejthető, háborúk, járványok, éhínség húzódnak meg – ami a valóságban is gyakran megtörténik.

A WORLD modellre jellemző, matematikai eszközökkel (differenciál- és „közönséges” egyenletekkel) kifejezett összefüggések az ábrán láthatók. Bemutatja a népesség, az ipari tőke, a termőföld és a környezetszennyezés összefüggéseit. Az ábrán minden nyíl ok-okozati összefüggés jelenlétét jelzi, amely lehet azonnali vagy késleltetett, pozitív vagy negatív.

A lakosság, a tőke, a mezőgazdasági termelés és a környezetszennyezés visszacsatolási körei

A pozitív és negatív visszacsatolás fogalma az automatikus vezérlés elméletéből (a kibernetika egyik ágából) származik. A két elem közötti ok-okozati összefüggést ún negatív, ha az egyik elem változása átkerül a másodikba, onnan visszatér az elsőhöz és az eredetivel ellentétes irányba változtatja (elnyomja), és pozitív, ha ez a változás az elsőre visszatérve erősíti. Ha nem kettő, hanem több elem van, akkor ezekről beszélnek visszacsatolás, amelyen a jel egy körben halad át, visszatérve a forráshoz és befolyásolva azt.

Az ilyen figurák bizonyos halmaza grafikusan kimeríti a WORLD modellt. Azonban minden nyíl mögött elsődleges összefüggések, és mindegyik mögött számos paramétert tartalmazó egyenlet található. Valójában ezeknek a paramétereknek az értékei határozzák meg az eredményeket, ezért elemzésükben számos szűk szakember és sok empirikus (statisztikai) adat vesz részt, amelyeket több tucat referenciakönyvben, ENSZ-jelentésben és egyes államokban gyűjtöttek össze. A WORLD-3 modellben az egymással összefüggő változók száma 225, és még több paraméter van.

Globális szimulációs eredmények

A VILÁG-modellek alapján közzétett emberi fejlődési „forgatókönyvek” az 1900 és 2100 közötti időszakot fedik le. A már eltelt első 100 év lehetővé teszi a modell „hangolását” és megbízhatóságának meghatározását.

A forgatókönyvek közül az első azon a hipotézisen alapul, hogy minden nagy változások, globális politikai kataklizmák nélkül, különösebb erőforrás-takarékossági és környezetszennyezés-csökkentési erőfeszítések nélkül fog fejlődni. A modell katasztrofális eredményeket jósol egy ilyen fejleményből.

A WORLD modell ugyanakkor lehetővé teszi a szabályozott fejlődés útjainak megtalálását, ami a fő változók zökkenőmentes („szigmoid”) viselkedéséhez vezet. Ez az út az önmérséklethez és a továbbfejlesztett ipari és mezőgazdasági technológiákra való átálláshoz kapcsolódik.

5. Optimális tervezési folyamatok modellezése

Az optimális tervezési probléma megfogalmazása

A tervezés a gazdasági és vezetői tevékenység legfontosabb szakasza. A tervezés tárgya lehet egy részleg vagy egy egész vállalkozás, egy ipar vagy mezőgazdaság, egy régió, végül egy állam tevékenysége.

A tervezési probléma megfogalmazása általános esetben a következő:

Van néhány tervezett mutató: x, Y, …;

· Van néhány forrás: R 1, R 2, ..., melynek köszönhetően ezek a tervezett mutatók elérhetők;

· a tervezett indikátorok értékétől függően van egy stratégiai cél, amelyre a tervezésnek irányulnia kell.

Optimális tervezési probléma a tervezett mutatók értékeinek meghatározásából áll, figyelembe véve a korlátozott erőforrásokat, egy stratégiai cél elérésétől függően.

Mondjunk példákat. Legyen a tervezés tárgya egy óvoda. Csak két tervezett mutatóra szorítkozunk: a gyermeklétszámra és a pedagóguslétszámra. Az óvodai tevékenység fő forrásai a finanszírozás összege és a helyiségek mérete. Mik a stratégiai célok? Természetesen ezek egyike a gyermekek egészségének megőrzése, erősítése. E cél mennyiségi mércéje az óvodások megbetegedésének minimalizálása.

Egy másik példa: az állam gazdasági tevékenységének tervezése. Természetesen ez túl bonyolult feladat a részletes elemzéshez. Rengeteg a tervezett mutató: különféle ipari és mezőgazdasági termékek előállítása, szakemberképzés, villamosenergia-termelés, a közszférában dolgozók fizetése és még sok más. Az erőforrások közé tartozik: a munkaképes lakosság száma, az állami költségvetés, a természeti erőforrások, az energia, a közlekedési rendszerek képességei stb. Természetesen az ilyen típusú erőforrások mindegyike korlátozott. Emellett a legfontosabb erőforrás a terv megvalósítására szánt idő.

A stratégiai célok kérdése ebben az esetben nagyon összetett. Az állam sok ilyennel rendelkezik, de a prioritások a történelem különböző időszakaiban változhatnak. Például háború idején a fő cél a maximális védelmi képesség, az ország katonai ereje. Békeidőben egy modern civilizált államban a kiemelt cél a lakosság maximális életszínvonalának elérése kell, hogy legyen.

Az optimális tervezési problémák megoldása leggyakrabban bonyolult és csak emberi tapasztalat (empirikus módszerek) segítségével megközelíthetetlen. Az ilyen problémák megoldására épül matematikai modell, amely kapcsolatot létesít a probléma paraméterei között. Ennélfogva, az optimális tervezést matematikai modellezéssel végezzük. A valós helyzetekre vonatkozó ilyen modellek általában nem oldhatók meg analitikusan, ezért számítógépen megvalósított numerikus megoldási módszereket alkalmaznak.

Példa az optimális tervezés matematikai modelljére

Vegyünk egy egyszerű példát, amely segíthet képet alkotni az optimális tervezési problémák egyik osztályáról.

Az iskolai cukrászda süteményeket és süteményeket készít. A korlátozott raktárkapacitás miatt összesen legfeljebb 700 termék készíthető naponta. Egy munkanap egy cukrászdában 8 órát vesz igénybe. Mivel a sütemények előállítása munkaigényesebb, ha csak azokat készíti, akkor naponta legfeljebb 250 lepényt, de 1000 lepényt lehet előállítani (ha nem készít süteményt). Egy sütemény ára kétszer annyi, mint egy pite. Olyan napi termelési tervet kell készíteni, amely a cukrászda számára biztosítja a legnagyobb bevételt.

Fogalmazzuk meg ezt a problémát matematikailag. A tervezett mutatók a következők:

x - napi terv a lepények kiadására;

y a sütemények kiadásának napi terve.

A termelési erőforrások a következők:

· a munkanap időtartama - 8 óra;

· tárolókapacitás - 700 hely.

A műhely korlátozott üzemidejének és a raktár kapacitásának feltételeiből következő arányokat kapjuk, pl. termékek teljes száma. A feladat megfogalmazásából az következik, hogy egy lepény elkészítése 4-szer több időbe telik, mint 1 pite elkészítése. Ha jelzi a pite elkészítésének idejét t min., akkor a torta elkészítési ideje 4 t min. Ezért a teljes gyártási idő x piték és y sütemények egyenlő tx + 4ty =(x+ 4y)t. De ez az idő nem lehet hosszabb, mint a munkanap időtartama. Ez magában foglalja az egyenlőtlenséget ( x + 4y)t 8 ? 60, vagy ( x + 4y)t 480.

Mivel munkanaponként 1000 pitét lehet elkészíteni, ezért 480/1000 = 0,48 percet szánnak egyre. Ezt az értéket az egyenlőtlenségbe behelyettesítve a következőt kapjuk: ( x + 4y) ? 0,48 480. Innen x + 4y 1000. A termékek teljes számának korlátozása nyilvánvaló egyenlőtlenséget ad x+ y 700.

A két kapott egyenlőtlenséghez hozzá kell adni a mennyiségek pozitív értékeinek feltételeit xÉs y(nem lehet negatív piték és sütemények száma). Ennek eredményeként egy egyenlőtlenségi rendszert kaptunk:

x + 4y 1000,x + y 700, x 0, y 0 ()

Formalizáljuk a stratégiai célt: a maximális bevétel megszerzését. A bevétel az összes eladott termék költsége. Legyen egy pite ára r rubel A probléma szerint a sütemény ára kétszer annyi, i.e. 2 r rubel Így a napi előállított összes termék költsége egyenlő rx + 2ry = r(x + 2y). A termelés célja a maximális bevétel elérése. Az írott kifejezést függvényének tekintjük x,y:F(x, y)= r(x + 2y). Mert a r- állandó, akkor a maximális érték F(x, y) a kifejezés maximális értékével érhető el x + 2y. Ezért olyan függvénynek, amelynek maximuma megfelel a stratégiai célnak, vehetjük

f(x, y) = x + 2y ()

Következésképpen az optimális terv megszerzése a következő matematikai feladatra redukálódott: keresse meg a tervezett x és y mutatók azon értékeit, amelyek kielégítik az egyenlőtlenségrendszert()és maximális értéket ad a célfüggvénynek().

A fenti példa a feladatosztályhoz tartozik lineáris programozás. Az optimális tervezés elméletében több problémaosztály is létezik, amelyek közül a lineáris programozás a legegyszerűbb lehetőség. Az ilyen problémák megoldására szolgáló matematikai módszerek tanulmányozása túlmutat az iskolai oktatás céljain.

Ugyanakkor nem lenne logikus, ha csupán az optimális tervezési problémák elméleti megfogalmazására szorítkoznánk. A modern információs technológiák lehetővé teszik az optimális tervezés (és különösen a lineáris programozás) egyes problémáinak megoldását az alkalmazott matematikai módszerek lényegének megértése nélkül. Ilyen eszközök különösen az Excel táblázatkezelőben állnak rendelkezésre, és ezek alapján lehet bemutatni a hallgatóknak, hogyan kell konkrét problémákat megoldani. A szóban forgó eszköz a Megoldás keresése, a megfelelő parancs az Eszközök menüben található. Röviden leírjuk, hogyan használhatjuk ezt az eszközt a fent felvetett probléma megoldására.

Először készítsünk egy táblázatot az optimális tervezési probléma megoldásához.

A B5 és C5 cellák az értékek számára vannak fenntartva x(pitekészítés terve) és y(tortakészítés terve). Az egyenlőtlenségek bal oldali részei a B oszlopban, a jobb oldali részek a D oszlopban vannak; jelek"<=” и т.д. в столбце С программой реально не используются. Целевая функция занесена в ячейку В15.

Hívjuk fel az optimalizáló programot, és mondjuk meg neki, hogy hol vannak az adatok. Ehhez hajtsa végre az U Service U Search for a solution parancsot. A megfelelő űrlap megnyílik a képernyőn. A következő algoritmus szerint járunk el:

1. Adja meg a cella koordinátáját a célfüggvénnyel. Esetünkben ez a B15. (Ne feledje, hogy ha először a B15-ös cellára helyezi a kurzort, a bejegyzés automatikusan megtörténik.)

2. Állítsa be az „Egyenlő a maximális értékkel” jelölőnégyzetet, azaz. Mondjuk meg a programnak, hogy a célfüggvény maximumát szeretnénk megtalálni.

3. A „Cellák megváltoztatása” mezőbe írja be a B5:C5 értéket, azaz. Tájékoztatjuk Önt, hogy mekkora hely van a változók értékeinek - a tervezett mutatóknak.

4. A „Korlátozások” mezőben meg kell adnia az egyenlőtlenségek-megszorítások adatait, amelyek a következő formában: B10<=D10; B11<=D11; B12>=D12; B13>=D13. A korlátozások az alábbiak szerint kerülnek bevezetésre:

· kattintson a „Hozzáadás” gombra;

· a megjelenő „Kényszer hozzáadása” párbeszédpanelen írjon be egy hivatkozást a B10-es cellára, válassza ki a menüből az „ egyenlőtlenség jelet<=” и вводим ссылку на ячейку D10; снова щелкаем по кнопке “Добавить”, аналогично вводим второе ограничение B11<=D11 и т.д.

5. Zárja be az „Add Constraint” párbeszédpanelt. Előttünk egy előkészített űrlap „Megoldás keresése”.

6. Kattintson a „Futtatás” gombra - az optimális megoldás a B5 és C5 cellákban jelenik meg (600 és 100), valamint a B15 cellában a 800 - a célfüggvény maximális értéke.

6. Fizikai rendszerek és folyamatok modellezése

A fizikai tudomány Isaac Newton (XVII–XVIII. század) óta elválaszthatatlanul kapcsolódik a matematikai modellezéshez. I. Newton felfedezte a mechanika alapvető törvényeit, az egyetemes gravitáció törvényét, és a matematika nyelvén írja le azokat. I. Newton (G. Leibnizzel együtt) kidolgozta a differenciál- és integrálszámítást, amely a fizika matematikai apparátusának alapja lett. Minden későbbi fizikai felfedezést (termodinamika, elektrodinamika, atomfizika stb. területén) matematikai nyelven leírt törvények és elvek formájában mutattak be, i.e. matematikai modellek formájában.

Azt mondhatjuk, hogy elméletileg minden fizikai probléma megoldása az matematikai modellezés. A probléma elméleti megoldásának lehetőségét azonban korlátozza matematikai modelljének összetettségi foka. Minél bonyolultabb a segítségével leírt fizikai folyamat, annál bonyolultabb egy matematikai modell, és annál problémásabb egy ilyen modell számítási alkalmazása.

A probléma megoldása a legegyszerűbb helyzetben analitikusan „manuálisan” érhető el. A legtöbb gyakorlati szempontból fontos helyzetben a modell matematikai összetettsége miatt nem lehet analitikus megoldást találni. Ebben az esetben használja numerikus módszerek olyan problémák megoldásait, amelyek csak számítógépen valósíthatók meg hatékonyan. Más szóval a komplex matematikai modelleken alapuló fizikai kutatást a számítógépes matematikai modellezés. Ebben a tekintetben a huszadik században, a fizika elméleti és kísérleti hagyományos felosztásával együtt, új irány alakult ki - a „számítógépes fizika”.

A fizikai folyamatok számítógépen történő tanulmányozását számítási kísérletnek nevezzük. Így a számítási fizika hidat épít az elméleti fizika, amelyből matematikai modelleket merít, és a kísérleti fizika között, egy virtuális fizikai kísérletet számítógépen valósítva meg. A számítási eredmények feldolgozása során számítógépes grafika alkalmazása biztosítja ezen eredmények egyértelműségét, ami a legfontosabb feltétele annak, hogy a kutató észlelje és értelmezze.

Példa egy fizikai folyamat matematikai modellezésére

A mechanika alaptörvénye Newton második törvénye, amely a testre ható erőt, annak tömegét és az erőből eredő gyorsulást hozza összefüggésbe. Az iskolai fizikában ez a törvény a következőképpen jelenik meg:

Ez azt feltételezi, hogy az erő és a tömeg állandó mennyiségek. Ebben az esetben a gyorsulás is állandó érték lesz. Következésképpen az (1) egyenlet egy állandó tömegű test egyenletesen gyorsított mozgását modellezi állandó erő hatására.

Ennek a modellnek az alkalmazhatósága korlátozott. Változó tömegű és változó erejű testek mozgásának kiszámítására nem használható. Például amikor egy rakéta repül, a tömege az üzemanyag kiégése miatt csökken, pl. A tömeg az idő függvénye: m(t). Ennek eredményeként a gyorsulás is változó értékké válik, és a matematikai modell megváltozik:

Vegyük figyelembe, hogy a gyorsulás a sebesség deriváltja ( v) időben, és írja le a tömeg időbeli változásának függvényét (legyen lineáris); a következő matematikai mozgásmodellt kapjuk:

(2)

Itt m 0 - a rakéta kezdeti tömege, q(kg/s) - az üzemanyag égésének sebességét meghatározó paraméter. A (2) egyenlet egy differenciálegyenlet, szemben az (1) lineáris algebrai egyenlettel. A matematikai modell bonyolultabbá vált! A (2) egyenlet megoldása sokkal nehezebb, mint az (1). Ha figyelembe vesszük az erősség időbeli változásának lehetőségét is F(t) (a rakétahajtómű tolóereje az indítási folyamat során változó érték), akkor a modell még összetettebb lesz:

(3)

A testek légkörben (vagy folyékony közegben) történő mozgatásakor figyelembe kell venni a közeg ellenállását - a súrlódási erőt. A súrlódási erőnek két összetevője van: arányos a test sebességének első hatványával és arányos a test négyzetével. Most a mozgásegyenlet a következő formában lesz:

, (4), (5)

Itt k 1 És k 2 - tapasztalati együtthatók. Az (5) egyenlet a sebességet az elmozdulással kapcsolja össze. A (4)–(5) modell közelebb került a fizikailag valós helyzethez, de matematikai szempontból bonyolultabbá vált. Használatával gyakorlatilag fontos kérdésekre kaphat választ. Például: adotthoz F(t) határozza meg, hogy mennyi ideig és milyen magasságban éri el a rakéta első menekülési sebességét. Vagy oldja meg az inverz problémát: mekkora legyen a hajtómű tolóereje, hogy a rakéta elérje az első szökési sebességét egy adott magasságon? Ha azt is figyelembe vesszük, hogy az együtthatók k 1 És k 2 - változó értékek, mivel ezek függenek a légköri levegő sűrűségétől, amely a magassággal csökken, ezért a (4)–(5) matematikai modell meglehetősen bonyolulttá válik. A fent megfogalmazott problémák ilyen modell alapján történő megoldásához numerikus módszerek és számítógép használata szükséges.

Numerikus módszerek alkalmazása

A numerikus módszerek az olyan módszerek, amelyek bármely matematikai probléma megoldását számtani számításokra redukálják. Mutassuk be a numerikus megoldási módszer alkalmazását egy egyszerűbb mechanikai feladat példáján, mint a rakétarepülés. Tekintsük az állandó tömegű test szabadesésének problémáját mállandó gravitáció hatására. A (fentebb tárgyalt) légellenállást figyelembe vevő mozgásegyenletek a következők:

, (6)

Itt v- a sebességvektor függőleges komponense. Legyen a test kezdeti magassága a talaj felett s 0, a kezdeti sebesség pedig v 0 .

Bemutatjuk az Euler-módszernek nevezett módszer alkalmazását a zuhanó test mozgásának kiszámítására. A számítás a kezdeti időponttól kezdve történik t= 0 kis véges időlépéssel

(n = 0, 1, 2, …). (8)

Hasonló megközelítést alkalmazva a (7) egyenletre, megkapjuk az Euler-módszer képletét a zuhanó test időbeli elmozdulásának kiszámítására:

A sebesség és az elmozdulás kezdeti értékeivel és a (8), (9) képletekkel lépésről lépésre kiszámíthatja az értékeket. vÉs s egymást követő időpontokban. Ez a folyamat könnyen programozható, a kapott eredmények numerikus táblázat formájában jelennek meg és grafikusan jelenítik meg.

Az eredmények elemzése és értelmezése

Az ábra egy test esési sebességének numerikusan kapott időfüggésének grafikus feldolgozásának eredményét mutatja egy bizonyos paraméterkészlet esetén. m, k 1 és k 2 .

Az esési sebesség időfüggősége a légellenállás figyelembe vételével

A függőségnek semmi köze a sebesség lineáris változásához, amelyet a légellenállás figyelembevétele nélkül kapunk. A sebesség állandó értéket ér el, amikor a légellenállási erő megközelíti a gravitációs erőt. Ha egyenlőek, a mozgás egységessé válik.

Vegye figyelembe, hogy az állandósult sebességkorlátozás analitikusan számítható ki, numerikus módszerek alkalmazása nélkül. Egyenlet a (6) képletben dv/dt(gyorsulás) nullára, azt találjuk, hogy az állandó sebesség egyenlő lesz

E modell alapján lehetséges például egy optimalizálási probléma megoldása a következő feltétel megfogalmazásával: az ejtőernyős egy bizonyos magasságból felugrik és az ejtőernyő kinyitása nélkül repül; Milyen magasságban (vagy mennyi idő elteltével) nyissa ki az ejtőernyőjét, hogy biztonságos sebességet érjen el, mire leszáll? Egy másik probléma: hogyan kapcsolódik az ugrás magassága az ejtőernyő keresztmetszeti területéhez (tartalmazza k 2) hogy a leszállási sebesség biztonságos legyen?

A leírt numerikus módszer alkalmazásakor jelentős probléma az időlépés méretének megválasztása t. Ettől az értéktől függ a kapott eredmények pontossága és a számítási eljárás stabilitása. Mindezeket a problémákat a „Numerical Methods” vagy „Computational Mathematics” nevű matematikai tudományág tanulmányozza.

A hallgatók bemutatkozása a fizikai folyamatok számítógépes modelljeivel egy számítástechnikai alapszakon a demonstrációs példák szintjén történhet. Az ábrán egy kiképzési bemutató program példája látható, amely egy ágyúból kilőtt lövedék repülését szimulálja. A diákok számára kitűzött feladat olyan paraméterek kiválasztása (a lövés kezdeti sebessége és szöge), amelyek biztosítják, hogy a lövedék eltalálja a célt (ez a program szerepel a digitális oktatási források szövetségi gyűjteményében). Hasonló fejlesztések más oktatási forrásokban is elérhetők.

Egy ágyúból kilőtt lövedék repülése

A fizika és a matematika felsőbb osztályaiban a fizikai folyamatok modellezésének kérdéseit be kell építeni a speciális képzési programba. A testek mozgásához kapcsolódó modellező objektumok alábbi listáját kínáljuk:

· testek mozgása a környezet ellenállásának figyelembevételével (szabadesés, horizonttal ferdén dobott test mozgása, rakéta felszállása stb.);

· az inga lengőmozgása a közeg ellenállásának, kényszerrezgések, rezonancia stb. figyelembevételével;

· égitestek mozgása (két test probléma);

· töltött részecskék mozgása elektromos mezőben.

A fizikai folyamatok leírásához a kontinuum közelítésben és az elektromágneses terekben más típusú problémák is kapcsolódnak, amelyek alapján a fizikai folyamatok modellezése megvalósítható:

· a hővezetési folyamat modellezése stb.;

· statikus - elektromos és mágneses - terek eloszlásának modellezése.

Fentebb részletesen tárgyaltunk egy test légkörben való szabadesésének modellezési példáját, amelyben differenciálegyenleteket és azok megoldására szolgáló numerikus módszereket alkalmaznak. Ha a hallgatók matematikai felkészültsége nem elegendő ennek a megközelítésnek a megértéséhez, akkor lehetőség van egy matematikai modell azonnali megalkotására véges differencia formában, differenciálegyenletek használata nélkül. Mutatjuk ennek a megközelítésnek a módszertanát.

Emlékeztessük a tanulókat, hogy a gyorsulás az időegységenkénti sebességnövekedés, a sebesség pedig az időegységenkénti elmozdulás növekedése: .

A közelítő egyenlőség jelei azt mutatják, hogy ezek az összefüggések minél pontosabbak, minél kisebb az intervallum t; a határban t 0 pontossá válnak.

Ha valamikor t 0 érték s jelentése van utca 0), és az értéket v- jelentése v(t 0), majd egy későbbi időpontban t 1 = t 0 + t lesz:

Feltételezzük, hogy a gyorsulás nem változott egy adott időtartam alatt, és egyenlő maradt a(t 0). Itt is az F jelölést használjuk 0 = F(t 0), m = m(t 0), azaz Ez azt jelenti, hogy az erő és a tömeg általában változó mennyiségek lehetnek.

Az értékek kiszámításakor vÉs s a következő időpontokban ugyanezt megteheti. Ha az értékek ismertek v iÉs s i ebben a pillanatban t i, Azt

Így az Euler-módszer ugyanazokat a képleteket kapjuk, de módszertanilag eltérően. Ebben az esetben a differenciálegyenleteket egyáltalán nem említik.

Ennek és a hasonló modelleknek a megalkotásakor a tanulóknak figyelniük kell arra, hogy a folytonos idő hosszszegmensekre való felosztásánál t A számítástechnika egyik alapgondolata az információmegjelenítés diszkrét formájának univerzalitásáról megnyilvánul, amely mind a számítógép tervezésében, mind a számítástechnika számos alkalmazásában megjelenik.

Vegye figyelembe, hogy számos számítógépes program egyszerű fizikai folyamatokat szimulál. Olyan párbeszédes felületet valósítanak meg, amely lehetővé teszi a paraméterek bevitelét, valamint táblázatok, grafikonok és mozgóképek fogadását a képernyőn. Használatuk során azonban rejtve maradnak a folyamatot meghatározó fizikai törvényszerűségek, a modell korlátai, javításának lehetőségei. Az ilyen programok inkább szemléltető, bevezető jellegűek. Célszerű a matematikai modellek részletes elemzésére, önálló programfejlesztésre összpontosítani a számítástechnikát szakosított szinten tanuló hallgatókat.

Ahhoz, hogy a számítógépet az alkalmazott feladatok megoldásában használhassuk, mindenekelőtt az alkalmazott feladatot kell „lefordítani” formális matematikai nyelvre, pl. valós objektumhoz, folyamathoz vagy rendszerhez meg kell építeni matematikai modell.

A matematikai modellek kvantitatív formában, logikai és matematikai konstrukciók segítségével írják le egy objektum, folyamat vagy rendszer alapvető tulajdonságait, paramétereit, belső és külső összefüggéseit.

Mert matematikai modell felépítése szükséges:

gondosan elemezzen egy valós tárgyat vagy folyamatot;
kiemeli legjelentősebb jellemzőit és tulajdonságait;
változókat definiálni, pl. paraméterek, amelyek értékei befolyásolják az objektum fő jellemzőit és tulajdonságait;
logikai-matematikai kapcsolatok (egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenlőtlenségek, logikai-matematikai konstrukciók) segítségével írja le egy objektum, folyamat vagy rendszer alapvető tulajdonságainak függését a változók értékétől;
Kiemel belső kommunikáció objektum, folyamat vagy rendszer, amely korlátozásokat, egyenleteket, egyenlőségeket, egyenlőtlenségeket, logikai és matematikai konstrukciókat használ;
külső összefüggések azonosítása és leírása megszorítások, egyenletek, egyenlőségek, egyenlőtlenségek, logikai és matematikai konstrukciók segítségével.

Matematikai modellezés egy objektum, folyamat vagy rendszer tanulmányozása és matematikai leírásuk elkészítése mellett a következőket is tartalmazza:

egy objektum, folyamat vagy rendszer viselkedését modellező algoritmus felépítése;
vizsgálat a modell megfelelősége valamint számítási és természeti kísérleten alapuló objektum, folyamat vagy rendszer;
modell beállítása;
a modell segítségével.

A vizsgált folyamatok és rendszerek matematikai leírása a következőktől függ:

egy valós folyamat vagy rendszer természetét, és a fizika, a kémia, a mechanika, a termodinamika, a hidrodinamika, az elektrotechnika, a plaszticitáselmélet, a rugalmasságelmélet stb. törvényei alapján állítják össze.
a valós folyamatok és rendszerek tanulmányozásának és kutatásának megkövetelt megbízhatósága és pontossága.

A matematikai modell kiválasztásának szakaszában a következőket állapítják meg: egy objektum, folyamat vagy rendszer linearitása és nemlinearitása, dinamizmusa vagy staticitása, stacionaritása vagy nem stacionaritása, valamint a vizsgált objektum vagy folyamat meghatározottságának foka. A matematikai modellezés során az ember szándékosan elvonatkoztat az objektumok, folyamatok vagy rendszerek sajátos fizikai természetétől, és főként az ezeket a folyamatokat leíró mennyiségek közötti mennyiségi függőségek vizsgálatára összpontosít.

Matematikai modell soha nem teljesen azonos a kérdéses tárggyal, folyamattal vagy rendszerrel. Az egyszerűsítés, idealizálás alapján a tárgy hozzávetőleges leírása. Ezért a modell elemzéséből kapott eredmények hozzávetőlegesek. Pontosságukat a modell és az objektum közötti megfelelőség (megfelelőség) foka határozza meg.

Általában a kérdéses tárgy, folyamat vagy rendszer legegyszerűbb, legdurvább matematikai modelljének felépítésével és elemzésével kezdődik. A jövőben szükség esetén finomítják a modellt, és teljesebbé teszik az objektumhoz való megfelelését.

Vegyünk egy egyszerű példát. Meg kell határozni az íróasztal felületét. Ez általában úgy történik, hogy megmérik a hosszát és szélességét, majd megszorozzák a kapott számokat. Ez az elemi eljárás tulajdonképpen a következőket jelenti: egy valós objektumot (asztalfelületet) helyettesítünk egy absztrakt matematikai modellel - egy téglalappal. Az asztalfelület hosszának és szélességének mérésével kapott méretek a téglalaphoz vannak rendelve, és egy ilyen téglalap területét hozzávetőlegesen az asztal kívánt területének tekintjük.

Az íróasztal téglalapmodellje azonban a legegyszerűbb, legdurvább modell. Ha komolyabban közelíti meg a problémát, mielőtt egy téglalap modellt használna a táblázat területének meghatározásához, ezt a modellt ellenőrizni kell. Az ellenőrzéseket a következőképpen lehet elvégezni: mérje meg az asztal ellentétes oldalainak hosszát, valamint átlóinak hosszát, és hasonlítsa össze őket. Ha a szükséges pontossággal a szemközti oldalak hossza és az átlók hossza páronként egyenlő, akkor a táblázat felülete valóban téglalapnak tekinthető. Ellenkező esetben a téglalap modellt el kell utasítani, és le kell cserélni egy általános négyszög modellre. Magasabb pontossági követelmény esetén szükség lehet a modell további finomítására, például az asztal sarkainak lekerekítésének figyelembevételére.

Ezzel az egyszerű példával azt mutatták be matematikai modell nem határozza meg egyértelműen a vizsgált objektum, folyamat vagy rendszer. Ugyanazon táblázathoz alkalmazhatunk téglalapmodellt, vagy egy általános négyszög összetettebb modelljét, vagy egy lekerekített sarkú négyszöget. Az egyik vagy másik modell kiválasztását a pontosság követelménye határozza meg. A pontosság növekedésével a modellnek bonyolultnak kell lennie, figyelembe véve a vizsgált objektum, folyamat vagy rendszer új és új jellemzőit.

Nézzünk egy másik példát: a forgattyús mechanizmus mozgásának tanulmányozását (2.1. ábra).

Rizs. 2.1.

Ennek a mechanizmusnak a kinematikai elemzéséhez mindenekelőtt meg kell alkotni a kinematikai modelljét. Ezért:

A mechanizmust a kinematikai diagramjával helyettesítjük, ahol minden láncszem ki van cserélve kemény kötelékek;
A diagram segítségével levezetjük a mechanizmus mozgásegyenletét;
Ez utóbbit differenciálva megkapjuk a sebesség és a gyorsulás egyenleteit, amelyek I. és 2. rendű differenciálegyenletek.

Írjuk fel ezeket az egyenleteket:

ahol C 0 a C csúszka jobb szélső helyzete:

r – forgattyús sugár AB;

l – hajtórúd BC hossza;

– a hajtókar forgási szöge;

Megkapta transzcendentális egyenletek a lapos axiális forgattyús mechanizmus mozgásának matematikai modelljét mutatjuk be, a következő egyszerűsítő feltevések alapján:

nem érdekeltek minket a testek mechanizmusában szereplő tömegek szerkezeti formái és elrendezése, és a mechanizmus összes testét egyenes szegmensekre cseréltük. Valójában a mechanizmus összes láncszeme tömeges és meglehetősen összetett alakú. Például a hajtórúd egy összetett szerelvény, amelynek alakja és méretei természetesen befolyásolják a mechanizmus mozgását;
A vizsgált mechanizmus mozgatásakor szintén nem vettük figyelembe a mechanizmusba foglalt testek rugalmasságát, pl. minden láncszemet absztrakt, abszolút merev testnek tekintettek. Valójában a mechanizmusban szereplő összes test rugalmas test. Amikor a mechanizmus elmozdul, valahogy deformálódni fognak, és még rugalmas rezgések is előfordulhatnak bennük. Mindez természetesen a mechanizmus mozgására is hatással lesz;
nem vettük figyelembe a linkek gyártási hibáját, az A, B, C kinematikai párok hézagait stb.

Fontos tehát még egyszer hangsúlyozni, hogy minél magasabb követelményeket támasztanak a problémamegoldás eredményeinek pontosságával szemben, annál inkább figyelembe kell venni, matematikai modell felépítése a vizsgált objektum, folyamat vagy rendszer jellemzői. Fontos azonban, hogy itt időben megálljunk, mert nehéz matematikai modell nehezen megoldható problémává válhat.

A modell akkor konstruálható meg a legkönnyebben, ha jól ismertek azok a törvényszerűségek, amelyek egy objektum, folyamat vagy rendszer viselkedését és tulajdonságait meghatározzák, és széleskörű gyakorlati tapasztalat áll rendelkezésre alkalmazásukban.

Bonyolultabb helyzet áll elő, ha a vizsgált objektumról, folyamatról vagy rendszerről nem rendelkezünk elegendő tudással. Ebben az esetben mikor matematikai modell felépítése további feltételezésekre van szükség, amelyek a hipotézisek természetéhez tartoznak, az ilyen modellt hipotetikusnak nevezzük. Az ilyen hipotetikus modell tanulmányozása során levont következtetések feltételesek. A következtetések ellenőrzéséhez össze kell hasonlítani a modell számítógépen történő tanulmányozásának eredményeit egy teljes körű kísérlet eredményeivel. Így az a kérdés, hogy egy bizonyos matematikai modell alkalmazható-e a vizsgált objektum, folyamat vagy rendszer vizsgálatára, nem matematikai kérdés, és matematikai módszerekkel nem is oldható meg.

Az igazság fő kritériuma a kísérlet, a gyakorlat a szó legtágabb értelmében.

Matematikai modell felépítése az alkalmazott feladatokban – a munka egyik legösszetettebb és legkritikusabb szakasza. A tapasztalatok azt mutatják, hogy a megfelelő modell kiválasztása sok esetben a probléma több mint felére történő megoldását jelenti. Ennek a szakasznak az a nehézsége, hogy matematikai és speciális ismeretek kombinációját igényli. Ezért nagyon fontos, hogy az alkalmazott feladatok megoldása során a matematikusok speciális ismeretekkel rendelkezzenek az objektumról, partnereik, szakembereik pedig rendelkezzenek bizonyos matematikai kultúrával, a szakterületükön szerzett kutatási tapasztalattal, számítógépes és programozási ismeretekkel.

Csak valami bonyolult. Programok. Vas. Internet. ablakok

Matematikai sémák komplex rendszerek modellezésére. Matematikai modellek osztályozása. Gazdasági és matematikai modell felépítése

1. Grafikus modellek

2. Modell szimuláció

3. Matematikai modellek

Matematikai modellek osztályozása

Globális szimulációs eredmények

5. Optimális tervezési folyamatok modellezése

Az optimális tervezési probléma megfogalmazása

6. Fizikai rendszerek és folyamatok modellezése

Numerikus módszerek alkalmazása