Egy aritmetikai sorozat összege.

Az aritmetikai sorozat összege egyszerű dolog. Értelemben és képletben egyaránt. De ebben a témában mindenféle feladat van. Az elemitől egészen szilárdig.

Először is foglalkozzunk az összeg jelentésével és képletével. És akkor döntünk. Saját örömére.) Az összeg jelentése olyan egyszerű, mint a lecsökkentés. Egy aritmetikai progresszió összegének meghatározásához csak óvatosan kell összeadnia az összes tagot. Ha ez a kifejezés kevés, akkor képletek nélkül is hozzáadhatja. De ha sok, vagy sok... bosszantó az összeadás.) Ebben az esetben a képlet ment.

Az összeg képlete egyszerű:

Nézzük meg, milyen betűket tartalmaz a képlet. Ezzel sok minden kiderül.

S n egy aritmetikai progresszió összege. Összeadás eredménye összes tagokkal, együtt első tovább utolsó. Fontos. Adja össze pontosan összes tagok sorban, hézagok és ugrások nélkül. És pontosan attól kezdve első. Olyan problémák esetén, mint a harmadik és nyolcadik tag összegének megtalálása, vagy az öttől a huszadikig terjedő tagok összege, a képlet közvetlen alkalmazása kiábrándító lesz.)

egy 1 - az első a progresszió tagja. Itt minden világos, egyszerű első sorszám.

a n- utolsó a progresszió tagja. A sor utolsó sora. Nem túl ismerős név, de az összegre alkalmazva nagyon megfelelő. Aztán majd meglátod magad.

n az utolsó tag száma. Fontos megérteni, hogy a képletben ez a szám egybeesik a hozzáadott kifejezések számával.

Határozzuk meg a fogalmat utolsó tag a n. Kitöltő kérdés: milyen tag lesz utolsó, ha adott végtelen aritmetikai progresszió?

A magabiztos válaszhoz meg kell értened a számtani progresszió elemi jelentését, és ... figyelmesen olvassa el a feladatot!)

Az aritmetikai progresszió összegének megállapításánál mindig az utolsó tag jelenik meg (közvetlenül vagy közvetve), amelyet korlátozni kell. Egyébként véges, konkrét összeg egyszerűen nem létezik. A megoldáshoz nem mindegy, hogy milyen progressziót adunk meg: véges vagy végtelen. Nem mindegy, hogyan adjuk meg: számsorral, vagy az n-edik tag képletével.

A legfontosabb dolog annak megértése, hogy a képlet a progresszió első tagjától a számot tartalmazó tagig működik n. Valójában a képlet teljes neve így néz ki: egy aritmetikai sorozat első n tagjának összege. Ezen legelső tagok száma, i.e. n, kizárólag a feladat határozza meg. A feladatban mindezek az értékes információk gyakran titkosítva vannak, igen ... De semmi, az alábbi példákban ezeket a titkokat felfedjük.)

Példák a feladatokra egy aritmetikai sorozat összegére.

Elsősorban, hasznos információ:

Az aritmetikai progresszió összegére vonatkozó feladatok fő nehézsége a képlet elemeinek helyes meghatározása.

A feladatok készítői határtalan fantáziával éppen ezeket az elemeket titkosítják.) Itt a lényeg, hogy ne féljünk. Az elemek lényegének megértéséhez elég csak megfejteni őket. Nézzünk meg néhány példát részletesen. Kezdjük egy igazi GIA-n alapuló feladattal.

1. A számtani progressziót a következő feltétel adja meg: a n = 2n-3.5. Keresse meg az első 10 tag összegét!

Szép munka. Könnyű.) Mit kell tudnunk a képlet szerinti mennyiség meghatározásához? Első tag egy 1, utolsó félév a n, igen az utolsó tag száma n.

Hol szerezhető be az utolsó tagszám n? Igen, ugyanott, olyan állapotban! Azt írja, keresse meg az összeget az első 10 tag. Nos, milyen szám lesz utolsó, tizedik tag?) Nem hiszi el, a száma tizedik!) Ezért ahelyett a n behelyettesítjük a képletbe egy 10, de ehelyett n- tíz. Az utolsó tag száma ismét megegyezik a tagok számával.

Meg kell határozni egy 1és egy 10. Ez könnyen kiszámítható az n-edik tag képletével, amely a problémafelvetésben található. Nem tudja, hogyan kell csinálni? Látogassa meg az előző leckét, e nélkül - semmi.

egy 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

egy 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Megtudtuk a számtani sorozat összegének képletének minden elemének jelentését. Már csak le kell cserélni őket, és meg kell számolni:

Ez minden. Válasz: 75.

Egy másik feladat a GIA alapján. Kicsit bonyolultabb:

2. Adott egy aritmetikai sorozat (a n), amelynek különbsége 3,7; a 1 \u003d 2.3. Keresse meg az első 15 tag összegét!

Azonnal írjuk az összegképletet:

Ez a képlet lehetővé teszi, hogy bármely tag értékét megtaláljuk a szám alapján. Egyszerű helyettesítést keresünk:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Marad a képlet összes elemének helyettesítése egy aritmetikai progresszió összegével, és kiszámítja a választ:

Válasz: 423.

Egyébként ha az összegképletben ahelyett a n csak behelyettesítjük az n-edik tag képletét, így kapjuk:

Hasonlókat adunk meg, új képletet kapunk egy aritmetikai sorozat tagjainak összegére:

Amint látja, nincs rá szükség n-edik tag a n. Egyes feladatokban ez a képlet sokat segít, igen... Emlékezhet erre a képletre. És egyszerűen visszavonhatja a megfelelő időben, mint itt. Hiszen az összeg képletét és az n-edik tag képletét minden szempontból emlékezni kell.)

Most a feladat egy rövid titkosítás formájában):

3. Határozza meg az összes olyan pozitív kétjegyű szám összegét, amelyek három többszörösei!

Hogyan! Nincs első tag, nincs utolsó, nincs továbblépés... Hogyan éljünk!?

A fejeddel kell gondolkodnod, és ki kell húznod a feltételből egy aritmetikai sorozat összegének minden elemét. Mik azok a kétjegyű számok – tudjuk. Két számból állnak.) Milyen kétjegyű szám lesz első? 10, valószínűleg.) utolsó dolog kétjegyű szám? 99, persze! A három számjegyűek követik őt...

Három többszörösei... Hm... Ezek olyan számok, amelyek egyenlően oszthatók hárommal, itt! A tíz nem osztható hárommal, a 11 nem osztható... a 12... osztható! Szóval valami készülődik. Már lehet sorozatot írni a probléma feltételének megfelelően:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Ez a sorozat aritmetikai sorozat lesz? Természetesen! Mindegyik kifejezés szigorúan hárommal különbözik az előzőtől. Ha 2-t vagy 4-et adunk a kifejezéshez, mondjuk az eredményt, pl. egy új szám már nem lesz osztva 3-mal. Azonnal meghatározhatja a halom aritmetikai progressziójának különbségét: d = 3. Hasznos!)

Tehát nyugodtan felírhatunk néhány progressziós paramétert:

Mi lesz a szám n utolsó tag? Aki azt hiszi, hogy a 99, az végzetesen téved... Számok - azok mindig sorban mennek, és tagjaink átugranak az első három között. Nem egyeznek.

Itt két megoldás létezik. Az egyik út a szuper szorgalmasak. Lefestheti a progressziót, az egész számsort, és az ujjával megszámolhatja a tagok számát.) A második módszer a gondolkodóknak való. Emlékezned kell az n-edik tag képletére. Ha a képletet alkalmazzuk a feladatunkra, akkor azt kapjuk, hogy 99 a progresszió harmincadik tagja. Azok. n = 30.

Nézzük az aritmetikai progresszió összegének képletét:

Nézzük és örülünk.) A probléma állapotából kihúztunk mindent, ami az összeg kiszámításához szükséges:

egy 1= 12.

egy 30= 99.

S n = S 30.

Marad az elemi aritmetika. Helyettesítse be a számokat a képletben, és számítsa ki:

Válasz: 1665

A népszerű rejtvények másik típusa:

4. Egy aritmetikai progressziót adunk meg:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Keresse meg a huszadiktól a harmincnegyedig terjedő tagok összegét!

Megnézzük az összegképletet, és ... idegesek vagyunk.) A képlet, hadd emlékeztessem önöket, kiszámítja az összeget az elsőtől tag. És a feladatban ki kell számítania az összeget huszadik óta... A képlet nem fog működni.

Természetesen lefestheti a teljes folyamatot egy sorban, és a tagokat 20-ról 34-re teheti. De ... valahogy hülyén és sokáig sikerül, nem?)

Van ennél elegánsabb megoldás is. Bontsuk sorozatunkat két részre. Az első rész lesz az első ciklustól a tizenkilencedikig. A második rész - húsz-harmincnégy. Világos, hogy ha kiszámítjuk az első rész feltételeinek összegét S 1-19, adjuk hozzá a második rész tagjainak összegéhez S 20-34, megkapjuk az első tagtól a harmincnegyedig terjedő progresszió összegét S 1-34. Mint ez:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Ez azt mutatja, hogy megtalálja az összeget S 20-34 egyszerű kivonással elvégezhető

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

A jobb oldalon mindkét összeget figyelembe veszik az elsőtől tag, azaz. a standard összegképlet egészen alkalmazható rájuk. Kezdjük?

Kivonjuk a progresszió paramétereit a feladatfeltételből:

d = 1,5.

egy 1= -21,5.

Az első 19 és az első 34 tag összegének kiszámításához szükségünk lesz a 19. és a 34. tagra. Megszámoljuk őket az n-edik tag képlete szerint, mint a 2. feladatban:

egy 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

egy 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Semmi sem maradt. Vonjuk ki a 19 tag összegét a 34 tag összegéből:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Válasz: 262,5

Egy fontos megjegyzés! Van egy nagyon hasznos funkció a probléma megoldásában. Közvetlen számítás helyett amire szüksége van (S 20-34), megszámoltuk amire, úgy tűnik, nincs szükség – S 1-19.És akkor elhatározták S 20-34, a szükségtelent kidobva a teljes eredményből. Az ilyen „fülcsalások” gyakran megmentenek gonosz fejtörőket.)

Ebben a leckében olyan problémákat vizsgáltunk meg, amelyekhez elég megérteni egy aritmetikai sorozat összegének jelentését. Nos, ismernie kell néhány képletet.)

Gyakorlati tanácsok:

Ha bármilyen feladatot egy számtani sorozat összegére old meg, azt javaslom, hogy azonnal írja ki a két fő képletet ebből a témából.

Az n-edik tag képlete:

Ezek a képletek azonnal megmondják, mire kell figyelni, milyen irányba kell gondolkodni a probléma megoldása érdekében. Segít.

És most az önálló megoldás feladatai.

5. Határozza meg az összes hárommal nem osztható kétjegyű szám összegét!

Menő?) A 4. feladatra vonatkozó megjegyzés rejtve van. Nos, a 3. feladat segít.

6. Az aritmetikai progressziót a következő feltétel adja: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Keresse meg az első 24 tag összegét!

Szokatlan?) Ez egy visszatérő képlet. Erről az előző leckében olvashat. Ne hagyja figyelmen kívül a hivatkozást, az ilyen rejtvények gyakran megtalálhatók a GIA-ban.

7. Vasya pénzt spórolt az ünnepre. Akár 4550 rubel! És úgy döntöttem, hogy a legkedvesebb személynek (magamnak) adok néhány nap boldogságot). Élj szépen anélkül, hogy megtagadnál magadtól semmit. Költsön 500 rubelt az első napon, és 50 rubel többet minden következő napon, mint az előző napon! Amíg el nem fogy a pénz. Hány nap volt a boldogságban Vasya?

Nehéz?) A 2. feladatból egy további képlet segít.

Válaszok (rendetlenségben): 7, 3240, 6.

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanulás – érdeklődéssel!)

függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg.

Válasz: a sorozat eltér.

3. példa

Keresse meg a $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ sorozat összegét.

Mivel az alsó összegzési határ 1, ezért a sorozat közös tagját az összegjel alá írjuk: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Állítsa össze a sorozat n-edik részösszegét, azaz! összegezzük az adott numerikus sorozat első $n$ tagját:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9) )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Hogy miért pontosan $\frac(2)(3\cdot 5)$-t írok, és nem $\frac(2)(15)$-t, az a további elbeszélésből kiderül. Részösszeg rögzítése azonban egy cseppet sem vitt közelebb a célhoz. Végül is meg kell találnunk a $\lim_(n\to\infty)S_n$-t, de ha csak azt írjuk:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

akkor ez a formailag teljesen korrekt lemez lényegében nem ad nekünk semmit. A határérték megállapításához először a részösszeg kifejezést kell egyszerűsíteni.

Erre van egy szabványos transzformáció, ami abból áll, hogy a sorozat közös tagját jelentő $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ törtet elemi törtekre bontjuk. Külön témát szentelünk a racionális törtek elemire bontásának (lásd például ezen az oldalon a 3. példát). Ha a $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ törtet elemi törtekre bontjuk, akkor a következőt kapjuk:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

A kapott egyenlőség bal és jobb oldalán lévő törtek számlálóit egyenlővé tesszük:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

Kétféleképpen lehet megtalálni a $A$ és a $B$ értékét. Megnyithatja a zárójeleket és átrendezheti a kifejezéseket, vagy egyszerűen helyettesíthet néhány megfelelő értéket a $n$ helyett. Csak a változtatás kedvéért, ebben a példában az első utat fogjuk követni, a következőt pedig a $n$ privát értékeit helyettesítjük. A zárójeleket kibontva és a kifejezéseket átrendezve a következőket kapjuk:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

Az egyenlet bal oldalán az $n$ előtt nulla áll. Ha úgy tetszik, az egyenlőség bal oldala az egyértelműség kedvéért $0\cdot n+ 2$-ként ábrázolható. Mivel az $n$ egyenlőség bal oldalán nulla áll, az egyenlőség jobb oldalán pedig a $2A+2B$ egyenlőség előtt áll a $n$, így az első egyenlet: $2A+2B=0$. Ennek az egyenletnek mindkét részét azonnal elosztjuk 2-vel, ami után $A+B=0$-t kapunk.

Mivel az egyenlőség bal oldalán lévő szabad tag 2, az egyenlőség jobb oldalán pedig $3A+B$, akkor $3A+B=2$. Tehát van egy rendszerünk:

$$ \left\(\begin(aligned) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(aligned)\right. $$

A bizonyítás matematikai indukciós módszerrel történik. Első lépésben ellenőriznünk kell, hogy a szükséges $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ egyenlőség érvényes-e $n=1$ esetén. Tudjuk, hogy $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, de vajon a $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ kifejezés adja-e a $\frac( 2 )(15)$ ha $n=1$ van behelyettesítve? Nézzük meg:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Tehát $n=1$ esetén a $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ egyenlőség teljesül. Ezzel befejeződik a matematikai indukciós módszer első lépése.

Tegyük fel, hogy $n=k$ esetén teljesül az egyenlőség, azaz. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Bizonyítsuk be, hogy ugyanaz az egyenlőség érvényesül $n=k+1$ esetén is. Ehhez vegye figyelembe a $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

Mivel $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, akkor $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. A fenti feltevés szerint $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, tehát a $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ képlet a nyomtatvány:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Következtetés: a $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ képlet igaz $n=k+1$-ra. Ezért a matematikai indukció módszere szerint a $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ képlet igaz bármely $n\in N$-ban. Az egyenlőség bebizonyosodott.

A felsőbb matematika standard kurzusában az ember általában megelégszik azzal, hogy „törölje” a törlő kifejezéseket, anélkül, hogy bármiféle bizonyítást igényelne. Tehát van egy kifejezésünk n-edik részlegesösszegek: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Keresse meg a $\lim_(n\to\infty)S_n$ értékét:

Következtetés: az adott sorozat konvergál és összege $S=\frac(1)(3)$.

A második módszer a részösszeg képletének egyszerűsítése.

Hogy őszinte legyek, én magam is jobban szeretem ezt a módszert :) A részösszeget írjuk le rövidítve:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Korábban megkaptuk, hogy $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, tehát:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\jobbra). $$

A $S_n$ összeg véges számú tagot tartalmaz, így tetszés szerint átrendezhetjük őket. Először szeretném hozzáadni a $\frac(1)(2k+1)$ formátum összes tagját, és csak ezután megyek a $\frac(1)(2k+3)$ formátumú feltételekhez. Ez azt jelenti, hogy a részösszeget a következő formában ábrázoljuk:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\lpont+\frac(1)(2n+1) )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

Természetesen a kiterjesztett jelölés rendkívül kényelmetlen, így a fenti egyenlőség tömörebben is felírható:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Most átalakítjuk a $\frac(1)(2k+1)$ és a $\frac(1)(2k+3)$ kifejezéseket ugyanabba az alakba. Szerintem kényelmesebb, ha nagyobb frakciót látsz (bár lehet kisebbet is, ez ízlés dolga). Mivel $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (minél nagyobb a nevező, annál kisebb a tört), csökkentjük a $\frac(1)(2k+) tört 3) $ a $\frac(1)(2k+1)$ alakba.

A kifejezést a $\frac(1)(2k+3)$ tört nevezőjében a következőképpen mutatom be:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

És a $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ összeg most így írható fel:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Ha a $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+) egyenlőség 1) A $ nem vet fel kérdéseket, akkor menjünk tovább. Ha kérdése van, kérjük, bővítse ki a megjegyzést.

Hogyan kaptuk meg az átváltott összeget? mutat elrejt

A $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Vezessünk be egy új változót a $k+1$ helyett – például $t$. Tehát $t=k+1$.

Hogyan változott a régi $k$ változó? És 1-ről $n$-ra változott. Nézzük meg, hogyan fog változni az új $t$ változó. Ha $k=1$, akkor $t=1+1=2$. Ha $k=n$, akkor $t=n+1$. Tehát a $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ kifejezés most: $\sum\limits_(t=2)^(n + 1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$

Megvan a $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$ összeg. Kérdés: számít, hogy melyik betűt használjuk ebben az összegben? :) A $t$ helyett a $k$ betűt beírva a következőt kapjuk:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

Így jön létre a $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1) egyenlőség kapjuk \frac(1)(2k+1)$.

Így a részösszeg a következő formában ábrázolható:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). $$

Vegye figyelembe, hogy a $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ és $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1) )(2k+1)$ csak az összegzés határaiban tér el. Tegyük egyenlővé ezeket a határokat. A $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ összegből "kivéve" az első elemet kapjuk:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

Az utolsó elemet "kivéve" a $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$ összegből a következőt kapjuk:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3 ).$$

Ekkor a részösszeg kifejezése a következő formában lesz:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Ha kihagyja az összes magyarázatot, akkor az n-edik részösszeg rövidített képletének keresése a következő formában történik:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Hadd emlékeztesselek arra, hogy a $\frac(1)(2k+3)$ törtet a $\frac(1)(2k+1)$ alakra redukáltuk. Persze lehet fordítva is, pl. ábrázolja a $\frac(1)(2k+1)$ törtet $\frac(1)(2k+3)$ alakban. A részösszeg végső kifejezése nem változik. Ebben az esetben egy jegyzet alá rejtem a részösszeg keresésének folyamatát.

Hogyan találjuk meg az $S_n$-t, ha egy másik tört alakját hozzuk létre? mutat elrejt

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k=) 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\jobbra) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3 ). $$

Tehát $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Keresse meg a $\lim_(n\to\infty)S_n$ korlátot:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

Az adott sorozat konvergál és összege $S=\frac(1)(3)$.

Válasz: $S=\frac(1)(3)$.

A sorozat összegének megtalálása témakör folytatását a második és harmadik részben tárgyaljuk.

Mielőtt dönteni kezdenénk aritmetikai progressziós problémák, fontolja meg, mi az a számsorozat, mivel az aritmetikai sorozat a számsorozat speciális esete.

A számsorozat egy számhalmaz, amelynek minden eleme megvan a maga sajátossága sorozatszám . Ennek a halmaznak az elemeit a sorozat tagjainak nevezzük. A sorozatelemek sorszámát index jelzi:

A sorozat első eleme;

A sorozat ötödik eleme;

- a sorozat "n-edik" eleme, azaz. a "sorban álló" elem az n számon.

Egy sorozatelem értéke és sorszáma között függőség van. Ezért egy sorozatot tekinthetünk függvénynek, amelynek argumentuma a sorozat elemének sorszáma. Más szavakkal, mondhatjuk ezt a sorozat a természetes argumentum függvénye:

A sorrend háromféleképpen határozható meg:

1 . A sorrend táblázat segítségével adható meg. Ebben az esetben egyszerűen beállítjuk a sorozat minden tagjának értékét.

Például valaki úgy döntött, hogy személyes időgazdálkodást végez, és először kiszámolja, mennyi időt tölt a VKontakte-on a héten. Ha táblázatba írja az időt, akkor hét elemből álló sorozatot kap:

A táblázat első sora a hét napjának számát tartalmazza, a második - az időt percekben. Azt látjuk, hogy hétfőn Valaki 125 percet töltött a VKontakte-on, azaz csütörtökön - 248 percet, azaz pénteken csak 15 percet.

2 . A sorozat az n-edik tag képletével adható meg.

Ebben az esetben egy sorozatelem értékének a számától való függését közvetlenül egy képlet formájában fejezzük ki.

Például ha , akkor

Egy adott számú sorozatelem értékének meghatározásához az elemszámot behelyettesítjük az n-edik tag képletébe.

Ugyanezt tesszük, ha meg kell találnunk egy függvény értékét, ha az argumentum értéke ismert. Helyettesítjük az argumentum értékét a függvény egyenletében:

Ha pl. , akkor

Még egyszer megjegyzem, hogy egy sorozatban, ellentétben egy tetszőleges numerikus függvénnyel, csak természetes szám lehet argumentum.

3 . A sorozat olyan képlettel adható meg, amely kifejezi az n számú sorozattag értékének az előző tagok értékétől való függését. Ebben az esetben nem elég, ha csak egy sorozattag számát ismerjük ahhoz, hogy megtaláljuk az értékét. Meg kell adnunk a sorozat első vagy első néhány tagját.

Vegyük például a sorrendet ,

Megtalálhatjuk egy sorozat tagjainak értékeit sorban, a harmadiktól kezdve:

Vagyis minden alkalommal, hogy megtaláljuk a sorozat n-edik tagjának értékét, visszatérünk az előző kettőhöz. A szekvenálásnak ezt a módját ún visszatérő, a latin szóból recurro- Gyere vissza.

Most már definiálhatunk egy aritmetikai progressziót. Az aritmetikai sorozat egy numerikus sorozat egyszerű speciális esete.

Aritmetikai progresszió numerikus sorozatnak nevezzük, amelynek minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, ugyanazzal a számmal hozzáadva.

A számot hívják egy aritmetikai sorozat különbsége. Az aritmetikai sorozat különbsége lehet pozitív, negatív vagy nulla.

If title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} növekvő.

Például 2; 5; nyolc; tizenegy;...

Ha , akkor az aritmetikai sorozat minden tagja kisebb, mint az előző, a progresszió pedig az fogyó.

Például 2; -egy; - négy; -7;...

Ha , akkor a progresszió minden tagja azonos számmal, és a progresszió az helyhez kötött.

Például 2;2;2;2;...

Az aritmetikai sorozat fő tulajdonsága:

Nézzük a képet.

Ezt látjuk

, és ugyanakkor

Ezt a két egyenlőséget összeadva a következőt kapjuk:

.

Osszuk el 2-vel az egyenlet mindkét oldalát:

Tehát a számtani sorozat minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő két szomszédos szám számtani középével:

Sőt, mert

, és ugyanakkor

, akkor

, és ezért

A title="(!LANG:k>l) kezdetű aritmetikai sorozat minden tagja">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

th tag formula.

Látjuk, hogy az aritmetikai progresszió tagjaira a következő összefüggések állnak fenn:

és végül

Kaptunk az n-edik tag képlete.

FONTOS! Egy aritmetikai sorozat bármely tagja kifejezhető és kifejezésekkel. Ismerve az első tagot és a számtani sorozat különbségét, bármelyik tagját megtalálhatja.

Egy aritmetikai sorozat n tagjának összege.

Egy tetszőleges aritmetikai progresszióban a szélsőségektől egyenlő távolságra lévő tagok összegei egyenlők egymással:

Tekintsünk egy n tagú aritmetikai sorozatot. Legyen ennek a haladásnak n tagjának összege egyenlő.

Rendezd a haladás feltételeit először növekvő számsorrendbe, majd csökkenő sorrendbe:

Párosítsuk össze:

A zárójelben szereplő összeg , a párok száma n.

Kapunk:

Így, egy aritmetikai sorozat n tagjának összegét a következő képletekkel találhatjuk meg:

Fontolgat számtani progressziós feladatok megoldása.

1 . A sorrendet az n-edik tag képlete adja meg: . Bizonyítsuk be, hogy ez a sorozat egy aritmetikai sorozat.

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat két szomszédos tagja közötti különbség azonos számmal egyenlő.

Megállapítottuk, hogy a sorozat két szomszédos tagjának különbsége nem függ a számuktól, és állandó. Ezért definíció szerint ez a sorozat egy aritmetikai sorozat.

2 . Adott egy aritmetikai sorozat -31; -27;...

a) Keresse meg a progresszió 31 tagját!

b) Döntse el, hogy a 41-es szám szerepel-e ebben a haladásban!

a) Azt látjuk ;

Írjuk fel a haladásunk n-edik tagjának képletét.

Általában

A mi esetünkben , ezért