질문에 대한 섹션에서 숫자를 쓰는 두 가지 형태는 무엇입니까? 작가가 준 프로포라가장 좋은 대답은 위치 숫자 시스템에서 숫자의 양적 등가물(값)은 숫자 표기법에서의 위치(위치)에 따라 다릅니다.
숫자에서 숫자의 위치를 숫자라고 합니다.
숫자의 자릿수는 오른쪽에서 왼쪽으로, 낮은 자리에서 높은 자리로 증가합니다.
위치 숫자 시스템의 기본은 이 숫자 시스템에서 숫자를 나타내는 데 사용되는 자릿수와 동일한 정수입니다.
밑수는 숫자가 더 낮거나 높은 숫자로 이동할 때 숫자의 양적 값이 몇 번이나 변경되는지 보여줍니다.
임의 기반의 위치 번호 시스템
기수가 2 이상인 많은 위치 수 체계를 사용할 수 있습니다.
밑이 q인 숫자 체계(q-ary 숫자 체계)에서 확장된 형식의 숫자는 숫자 0, 1, ..., q-1인 계수가 있는 밑 q의 차수의 합으로 기록됩니다.
또는
Aq는 q-ary number 시스템의 숫자이고,
q는 숫자 체계의 밑수이고,
Ai -이 숫자 체계의 알파벳에 속하는 숫자,
n은 숫자의 정수 자릿수이고,
m은 숫자의 소수 자릿수입니다.
계수 ai는 q-ary number 체계에 기록된 숫자의 자릿수입니다.
접힌 숫자 표기법:
우리는 일상생활에서 숫자를 쓰는 접힌 형태를 사용하고,
자연 또는 디지털이라고 합니다.
분수를 쓰기 위해 음수 기본 각도가 있는 숫자가 사용됩니다.
10진수 시스템
기본: q = 10.
알파벳: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
접힌 숫자 표기법:
숫자 쓰기의 확장된 형태:
계수 ai - 십진수의 자릿수.
예를 들어 확장된 형식의 숫자 123.4510은 다음과 같이 작성됩니다.
십진수를 10(밑수 값)으로 곱하거나 나누면 정수 부분을 소수 자릿수에서 분리하는 쉼표가 오른쪽 또는 왼쪽으로 이동합니다. 예를 들어:
123.4510 10 = 1234.510;
123,4510: 10 = 12,34510.
표기법
표기법 - 이것은 숫자를 나타내는 방법과 숫자에 대한 작업에 대한 해당 규칙입니다.. 이전에 존재했고 오늘날 사용되는 다양한 숫자 체계는 다음과 같이 나눌 수 있습니다. 위치가 아닌그리고 위치. 숫자를 쓸 때 사용하는 기호, 호출된다 번호.
에 위치가 아닌 숫자 체계 숫자의 값은 숫자의 위치에 의존하지 않습니다.
위치가 아닌 숫자 체계의 예는 로마 체계(로마 숫자)입니다. 로마 시스템에서 라틴 문자는 숫자로 사용됩니다.
실시예 1 CCXXXII라는 숫자는 이백, 삼십 및 이 단위로 구성되며 이백 삼십이와 같습니다.
로마 숫자는 왼쪽에서 오른쪽으로 내림차순으로 씁니다. 이 경우 해당 값이 추가됩니다. 왼쪽에 작은 숫자를 쓰고 오른쪽에 큰 숫자를 쓰면 해당 값을 뺍니다.
실시예 2
VI = 5 + 1 = 6; IV \u003d 5-1 \u003d 4.
실시예 3
MCMXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) +
+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.
에 위치 번호 체계 숫자 항목에서 숫자로 표시된 값은 위치에 따라 다릅니다.. 사용된 자릿수를 위치 번호 시스템의 기수라고 합니다.
현대 수학에서 사용되는 숫자 체계는 위치 십진법. 그 밑수는 10이기 때문에 모든 숫자는 10자리를 사용하여 작성됩니다.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
이 시스템의 위치 특성은 여러 자리 숫자의 예를 통해 쉽게 이해할 수 있습니다. 예를 들어, 숫자 333에서 처음 3은 300을 의미하고, 두 번째는 30을, 세 번째는 3 단위를 의미합니다.
밑이 있는 위치 시스템에서 숫자를 쓰려면 N가질 필요가 알파벳~에서 N숫자. 일반적으로 이를 위해 N < 10 используют N첫 번째 아라비아 숫자, N> 10개의 아라비아 숫자에 10개의 문자가 추가됩니다. 다음은 여러 시스템의 알파벳 예입니다.
번호가 속한 시스템의 기본을 표시해야 하는 경우 이 번호에 아래 첨자가 할당됩니다. 예를 들어:
1011012, 36718, 3B8F16.
기본 번호 시스템에서 큐 (큐-항 수 체계) 숫자의 단위는 숫자의 연속 거듭제곱입니다. 큐. 큐모든 범주의 단위는 다음 범주의 단위를 형성합니다. 에 숫자를 쓰려면 큐- 이진수 시스템 필요 큐숫자 0, 1, ..., 큐– 1. 숫자 쓰기 큐안에 큐-ary number 체계는 10의 형태를 가집니다.
숫자 쓰기의 확장된 형태
허락하다 아쿠아- 기본 시스템의 번호 큐, 아이 -숫자 표기법에 있는 주어진 숫자 체계의 자릿수 ㅏ, N+ 1 - 숫자의 정수 부분의 자릿수, 중- 숫자의 소수 부분의 자릿수:
숫자의 확장된 형태 하지만다음 형식의 레코드라고 합니다.
예를 들어 십진수의 경우:
다음 예는 16진수 및 2진수의 확장된 형식을 보여줍니다.
모든 수 체계에서 밑수는 10으로 기록됩니다.
10진수가 아닌 숫자의 확장된 형식의 모든 용어가 10진수 시스템으로 표시되고 결과 표현식이 10진수 산술 규칙에 따라 계산되면 주어진 10진수 시스템의 숫자가 얻어집니다. 이 원칙에 따라 십진법이 아닌 시스템에서 십진법으로 변환됩니다. 예를 들어, 위에 쓰여진 숫자의 십진법으로의 변환은 다음과 같이 수행됩니다.
허락하다 아쿠아- 기본 시스템의 번호 큐, 아이 -숫자 표기법에 있는 주어진 숫자 체계의 자릿수 ㅏ, N+ 1 - 숫자의 정수 부분의 자릿수, 중- 숫자의 소수 부분의 자릿수:
숫자의 확장된 형태 하지만다음 형식의 레코드라고 합니다.
예를 들어 십진수의 경우:
다음 예는 16진수 및 2진수의 확장된 형식을 보여줍니다.
모든 수 체계에서 밑수는 10으로 기록됩니다.
10진수가 아닌 숫자의 확장된 형식의 모든 용어가 10진수 시스템으로 표시되고 결과 표현식이 10진수 산술 규칙에 따라 계산되면 주어진 10진수 시스템의 숫자가 얻어집니다. 이 원칙에 따라 십진법이 아닌 시스템에서 십진법으로 변환됩니다. 예를 들어, 위에 쓰여진 숫자의 십진법으로의 변환은 다음과 같이 수행됩니다.
번역 십진수다른 숫자 체계로
정수 변환
정수 십진수 엑스기반이 있는 시스템으로 이전해야 합니다. 큐: 엑스 = (ㅏ N ㅏ n-1 ... ㅏ 1 ㅏ 0) q. 숫자의 유효 자릿수를 찾아야 합니다. 
.확장된 형태로 숫자를 표현하고 동일한 변환을 수행합니다.
여기서부터 분명한 것은 ㅏ 0은 숫자 나눗셈의 나머지입니다. 엑스번호당 큐. 괄호 안의 식은 이 나눗셈의 정수 몫입니다. 로 지정합시다. 엑스 1. 유사한 변환을 수행하면 다음을 얻습니다.
따라서, ㅏ 1은 나눗셈의 나머지입니다. 엑스 1에 큐. 나머지로 나눗셈을 계속하면 원하는 숫자의 일련의 자릿수를 얻을 수 있습니다. 숫자 이 분할 사슬에서 마지막 개인이 될 것입니다. 큐.
결과 규칙을 공식화해 보겠습니다. 전체 십진수를 다른 밑수를 가진 숫자 체계로 변환하려면 다음이 필요합니다.:
1) 10진수 시스템에서 새로운 숫자 시스템의 기반을 표현하고 10진수 산술 규칙에 따라 모든 후속 작업을 수행합니다.
2) 제수보다 작은 불완전 몫을 얻을 때까지 주어진 숫자와 결과 부분 몫을 새로운 숫자 체계의 기초로 순차적으로 나눕니다.
3) 결과 나머지, 다음 숫자의 자릿수 새로운 시스템미적분학, 새로운 숫자 체계의 알파벳과 일치시킵니다.
4) 새로운 번호 체계에서 번호를 작성하고 마지막 개인 번호부터 기록합니다.
실시예 1숫자 37 10을 이진법으로 변환합니다.
숫자 표기법에서 숫자를 나타내기 위해 기호를 사용합니다. ㅏ 5 ㅏ 4 ㅏ 3 ㅏ 2 ㅏ 1 ㅏ 0
따라서: 37 10 = l00l0l 2
실시예 2 10진수 315를 8진수 및 16진수 시스템으로 변환합니다.
여기에서 315 10 = 473 8 = 13B 16이 나옵니다. 11 10 = B 16 임을 상기하십시오.
소수 엑스 < 1 требуется перевести в систему с основанием 큐: 엑스 = (0, ㅏ –1 ㅏ –2 … ㅏ-m+1 ㅏ-m) q. 숫자의 유효 자릿수를 찾아야 합니다. ㅏ –1 ,ㅏ –2 , …, ㅏ–m. 숫자를 확장된 형태로 표현하고 곱해 봅시다. 큐:
여기서부터 분명한 것은 ㅏ-1은 작업의 전체 부분입니다. 엑스번호당 큐. 로 나타내다 엑스 1분수 부분곱하고 곱하십시오. 큐:
따라서, ㅏ-2는 제품의 전체 부분입니다. 엑스번호당 1개 큐. 계속해서 곱셈을 하면 일련의 숫자가 나옵니다. 이제 규칙을 공식화해 보겠습니다. 소수를 다른 밑수가 있는 숫자 체계로 변환하려면 다음이 필요합니다.:
1) 제품의 분수 부분이 0이 되거나 새 숫자 시스템에서 숫자를 나타내는 데 필요한 정확도에 도달할 때까지 주어진 숫자와 제품의 결과 분수 부분에 새 시스템의 기초를 연속적으로 곱합니다.
2) 제품의 결과 정수 부분(새로운 숫자 체계의 숫자 숫자)은 새로운 숫자 체계의 알파벳과 일치하도록 가져옵니다.
3) 첫 번째 제품의 정수 부분부터 시작하여 새로운 숫자 체계에서 숫자의 소수 부분을 구성합니다.
실시예 3 10진수 0.1875를 2진수, 8진수 및 16진수로 변환합니다.
여기서 숫자의 정수 부분은 왼쪽 열에 있고 소수 부분은 오른쪽 열에 있습니다.
따라서: 0.1875 10 = 0.0011 2 = 0.14 8 = 0.3 16
대분수의 번역정수 및 소수 부분을 포함하는 는 두 단계로 수행됩니다. 원래 숫자의 정수 및 소수 부분은 해당 알고리즘에 따라 별도로 변환됩니다. 새로운 숫자 체계에서 숫자의 마지막 레코드에서 정수 부분은 분수 쉼표(점)에서 분리됩니다.
"숫자 체계"라는 주제는 숫자의 수학적 이론과 직접적인 관련이 있습니다. 그러나 수학의 학교 과정에서는 원칙적으로 공부하지 않습니다. 컴퓨터 과학 과정에서 이 주제를 공부할 필요성은 컴퓨터 메모리의 숫자가 이진수 시스템으로 표현되고 16진수 또는 8진수 시스템이 메모리의 내용, 메모리 주소를 외부적으로 표현하는 데 사용된다는 사실과 관련이 있습니다. 이것은 컴퓨터 과학 또는 프로그래밍 과정의 전통적인 주제 중 하나입니다. 이 주제는 수학과 관련되어 학생들의 기초 수학 교육에도 기여합니다.
컴퓨터 과학 과정의 주요 관심은 이진수 시스템에 대한 친숙함입니다. 컴퓨터에서 이진수 시스템을 사용하는 것은 1) 이진수, 2) 이진수 산술의 두 가지 측면에서 고려할 수 있습니다. 이진수에 대한 산술 계산을 수행합니다.
이진 번호 매기기
이진 번호 매기기를 통해 학생들은 "텍스트 표현 컴퓨터 메모리". 인코딩 테이블에 대해 이야기할 때 교사는 학생들에게 내부 바이너리 코드상징은 그의 일련 번호바이너리 시스템에서. 예를 들어, ASCII 테이블에서 문자 S의 번호는 83입니다. 문자 S에 대한 8자리 이진 코드 값과 같음이진수로 된 숫자: 01010011.
바이너리 컴퓨팅
John von Neumann의 원리에 따르면 컴퓨터는 이진 시스템에서 계산을 수행합니다. 기본 과정의 틀 내에서 이진 정수로 계산을 고려하는 것으로 우리 자신을 제한하는 것으로 충분합니다. 여러 자리 숫자로 계산을 수행하려면 더하기 규칙과 한 자리 숫자 곱하기 규칙을 알아야 합니다. 규칙은 다음과 같습니다.
덧셈과 곱셈의 순열 원리는 모든 숫자 체계에서 작동합니다. 이진 시스템에서 여러 자리 숫자로 계산을 수행하는 기술은 십진수와 유사합니다. 즉, 2진법에서 '열'로 덧셈, 뺄셈, 곱셈과 '모서리'로 나누는 과정은 십진법과 동일하게 수행된다.
뺄셈과 나눗셈의 규칙을 고려하십시오. 이진수. 빼기 연산은 더하기의 역입니다. 위의 더하기 표에서 빼기 규칙은 다음과 같습니다.
0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.
다음은 여러 자릿수 빼기의 예입니다.
얻은 결과는 감수와 차이를 추가하여 확인할 수 있습니다. 감소하는 숫자여야 합니다.
나눗셈은 곱셈의 역연산입니다.
어떤 수 체계에서도 0으로 나눌 수 없습니다. 1로 나눈 결과는 배당금과 같습니다. 2진수를 102로 나누면 십진수를 10으로 나누는 것과 마찬가지로 소수점이 왼쪽으로 한 자리 이동합니다. 예를 들어:
100으로 나누면 소수점이 왼쪽으로 2자리 이동하는 식입니다. 기초과정에서는 고려할 수 없는 복잡한 예다중 값 이진수의 나눗셈. 유능한 학생들은 일반 원칙을 이해했지만 대처할 수 있습니다.
컴퓨터 메모리에 저장된 정보를 실제 이진 형식으로 표현하는 것은 자릿수가 많기 때문에 매우 번거롭습니다. 이러한 정보를 종이에 기록하거나 화면에 표시하는 것을 말합니다. 이러한 목적을 위해 혼합 2진-8진 또는 2진-16진 시스템을 사용하는 것이 일반적입니다.
숫자의 이진수 표현과 16진수 표현 사이에는 간단한 관계가 있습니다. 한 시스템에서 다른 시스템으로 숫자를 번역할 때 하나의 16진수 숫자는 4자리 이진 코드에 해당합니다. 이 대응은 2진-16진 테이블에 반영됩니다.
이진 16진수 테이블
이러한 관계는 16 = 2 4이고 숫자 0과 1의 서로 다른 4자리 조합의 수는 0000에서 1111까지 16이라는 사실에 기반합니다. 따라서 16진법에서 2진법으로 또는 그 반대로 숫자의 변환은 2진법-16진법 테이블에 따른 형식 변환에 의해 수행됩니다..
다음은 32비트 바이너리 코드를 16진수 시스템으로 변환하는 예입니다.
1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A
내부 정보를 16진법으로 표현하면 이진 코드로 쉽게 변환할 수 있습니다. 16진법 표현의 장점은 2진법보다 4배 짧다는 것입니다.. 학생들이 2-16진수 표를 암기하는 것이 바람직합니다. 그러면 실제로 16진법 표현은 2진법과 동일하게 됩니다.
2진 8진법에서 각 8진법 숫자는 2진법의 트라이어드에 해당합니다. 이 시스템을 사용하면 이진 코드를 3배 줄일 수 있습니다.
| 수업 계획 및 수업 자료 | 8개 수업 | 학년도 수업 계획(N.D. Ugrinovich의 교과서에 따름) | 숫자 쓰기의 확장 및 축소 형태. 임의에서 십진수 시스템으로 변환
19과
숫자 쓰기의 확장 및 축소 형태. 임의에서 십진수 시스템으로 변환
§ 4.1. 숫자 정보의 인코딩
4.1.2. 위치 숫자 시스템의 산술 연산
모든 위치 숫자 시스템의 산술 연산은 잘 알려진 동일한 규칙에 따라 수행됩니다.
덧셈.이진수 시스템에서 숫자의 추가를 고려하십시오. 한 자리 이진수의 덧셈 테이블을 기반으로 합니다.
0 + 0 = 0,
0 + 1 = 1,
1 + 0 = 1,
1 + 1 = 10.
두 단위를 추가할 때 비트가 오버플로되어 최상위 비트로 전송이 발생한다는 사실에 주의하는 것이 중요합니다. 오버플로는 숫자의 값이 숫자 체계의 밑수보다 크거나 같을 때 발생합니다. 이진수 시스템의 경우 이 값은 2입니다.
여러 자리 이진수의 추가는 낮은 자리에서 높은 자리로의 가능한 전송을 고려하여 위의 추가 표에 따라 수행됩니다. 예를 들어 열에 이진수 110 2 와 11 2 를 추가해 보겠습니다.
십진수 체계에서 덧셈에 의한 계산의 정확성을 확인합시다. 2진수를 10진수 시스템으로 변환한 다음 추가해 보겠습니다.
이제 이진 덧셈의 결과를 십진수로 변환합니다.
결과를 비교하십시오 - 추가가 정확합니다.
빼기.이진수의 빼기를 고려하십시오. 한 자리 이진수의 빼기 테이블을 기반으로 합니다.
작은 수(0)에서 큰 수(1)를 빼면 가장 높은 차수부터 대출이 이루어집니다. 표에서 대출은 1로 표시됩니다.
여러 자리 이진수의 뺄셈은 상위 자릿수에서 가능한 차용을 고려하여 위의 뺄셈 표에 따라 수행됩니다. 예를 들어 이진수 110 2 와 11 2 를 빼보겠습니다.
곱셈.곱셈은 한 자리 이진수의 곱셈 테이블을 기반으로 합니다.
여러 자리 이진수의 곱셈은 위의 곱셈 테이블에 따라 수행됩니다. 일반적인 패턴승수의 다음 자릿수로 승수를 연속적으로 곱하는 십진수 시스템에서 사용됩니다. 예를 들어 이진수 110 2 와 11 2 를 곱해 보겠습니다.
분할.나눗셈 연산은 십진법의 나눗셈 연산 알고리즘과 유사한 알고리즘에 따라 수행됩니다. 예를 들어 이진수 110 2 를 11 2 로 나눕니다.
을 위한 산술 연산에 표현된 숫자보다 다양한 시스템미적분학, 먼저 동일한 시스템으로 번역해야 합니다.
자기실현을 위한 과제
4.6. 자세한 답변이 포함된 질문입니다.이진수 1010 2 및 10 2의 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈 수행
위치 수 체계의 밑은 정수 q이며 거듭제곱입니다.
위치 번호 시스템의 기본은 일련의 숫자이며, 각 숫자는 숫자 코드에서의 위치에 따라 기호의 양적 등가물(가중치)을 결정합니다.
소수 기수: …10 N, 10N –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – 중 ,…
임의의 위치 수 체계의 기초: ... q n, q n –1 , …, 큐 1 , 큐 0 , 큐 –1 , …, 큐 – 중, …
모든 시스템의 기본은 10으로 표시되지만 다른 양적 값을 갖습니다. 인접한 위치로 이동할 때 숫자의 양적 값이 몇 번이나 변경되는지 보여줍니다. 2보다 작지 않은 임의의 수를 수 체계의 기본으로 사용할 수 있으므로 많은 위치 체계가 가능합니다.
숫자 체계의 이름은 기본(10진수, 2진수, 2진수 등)에 해당합니다.
기본 번호 시스템에서 큐 (큐-항 수 체계) 숫자의 단위는 숫자의 연속 거듭제곱입니다. 큐,다시 말해서, 큐모든 범주의 단위는 다음 범주의 단위를 형성합니다.
에 숫자를 쓰려면 큐- 이진수 시스템 필요 큐숫자 0, 1, ..., 큐 – 1.
따라서 위치 숫자 시스템의 기본은 알파벳의 문자(문자) 수와 같습니다. 숫자 쓰기 큐안에 큐-ary number 체계는 10의 형태를 가집니다.
실시예 1 8진법.
베이스: q = 8.
알파벳: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
숫자: 예: 45023.152 8 ; 751.001 8 .
실시예 2 5중 수 체계 .
베이스: 큐 = 5.
알파벳: 0, 1, 2, 3, 4.
숫자: 예: 20304 5 ; 324.03 5 .
실시예 3 16진수 시스템.
베이스: q = 16.
알파벳: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
여기서 16자리 중 10자리만 일반적으로 인정되는 0-9로 지정됩니다. 알파벳의 나머지 글자(10, 11, 12, 13, 14, 15)를 쓰기 위해서는 일반적으로 라틴 알파벳의 처음 다섯 글자를 사용합니다.
숫자: 예: B5C3,1A2 16; 355.0FA01 8 .
위치 번호 시스템에서 모든 실수다음과 같은 형태로 제시할 수 있습니다.
답 = ±( 엔-1× q n –1 + 엔-2× q n –2 +…+ ㅏ 0 × 큐 0 + ㅏ-1× 큐 –1 + ㅏ-2× 큐 –2 +…+ ㅏ –중 × q–m), (1) 또는 ±.
여기 하지만 -숫자 자체; 큐-어근;
나는- 주어진 숫자 체계의 알파벳에 속하는 숫자; 피 -숫자의 정수 자릿수; 티 -숫자의 소수 자릿수.
식 (1)에 따른 수의 전개를 확장 표기법 . 그렇지 않으면 이 형식의 표기법을 다항식또는 힘.
실시예 1 10진수 하지만식 (1)에 따른 10 = 5867.91은 다음과 같이 표시됩니다.
ㅏ 10 \u003d 5 × 10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 -1 + 1 × 10 -2.
실시예 2 8진수 시스템에 대한 공식 (1)의 형식은 다음과 같습니다.
ㅏ 8 = ±( 엔-1×8 N –1 + 엔-2 × 8 N –2 +…+ ㅏ 0 × 80 + ㅏ–1 ×8 –1 + ㅏ–2 ×8 –2 +…+ 이다×8 - 중),
어디 나는- 숫자 0-7.
(1) 형식의 8진수 A 8 \u003d 7064.3은 다음과 같이 작성됩니다.
ㅏ 8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8 -1 .
실시예 3오배수 하지만 5 \u003d 2430.21 공식 (1)에 따라 다음과 같이 작성됩니다.
하지만 5 = 2 x 5 3 + 4 x 5 2 + 3 x 5" + 0 x 5° + 2 x 5 -1 + 1 x 5 -2 .
이 표현식을 평가하여 지정된 2진수 365.44 10 에 해당하는 10진수를 얻을 수 있습니다.
실시예 4 16진수 표기법에서 항목 3 AF 16은 다음을 의미합니다.
3AF 16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10 .