집 용법 여러 변수 예제의 기능을 제한합니다. §2 두 변수의 함수의 한계. 여러 변수의 함수의 한계. 반복 제한

여러 변수 예제의 기능을 제한합니다. §2 두 변수의 함수의 한계. 여러 변수의 함수의 한계. 반복 제한

위에서 살펴본 2~3개 변수의 함수 개념은 변수의 경우로 일반화할 수 있다.

정의.기능 변수
정의의 영역인 함수라고 합니다.
속하는 것
, 범위는 실제 축입니다.

각 변수 집합에 대한 이러한 함수
~에서
단일 숫자와 일치 .

다음 내용에서 명확성을 위해 기능을 고려할 것입니다.
그러나 그러한 함수에 대해 공식화된 모든 명령문은 더 많은 수의 변수가 있는 함수에 대해 참으로 유지됩니다.

정의.숫자 함수의 극한이라고 합니다

그 시점에
만약 각각에 대해
그런 수가 있다
모두를 위해
동네에서
, 이 점을 제외하고는 부등식

기능의 한계라면
그 시점에
같음 , 다음과 같이 표시됩니다.

앞서 우리가 한 변수의 함수에 대해 고려한 극한의 거의 모든 속성은 여러 변수의 함수 극한에 대해 유효하지만, 우리는 그러한 극한의 실제 발견을 다루지 않을 것입니다.

정의.기능
점에서 연속이라고 한다
세 가지 조건이 충족되면:

1) 존재한다

2) 그 지점에 함수의 값이 있다

3) 이 두 숫자는 서로 같습니다. .

실제로 함수의 연속성은 다음 정리를 사용하여 조사할 수 있습니다.

정리.모든 기본 기능
정의 영역의 모든 내부(즉, 비경계) 지점에서 연속적입니다.

예시.함수가 있는 모든 점 찾기

마디 없는.

위에서 언급했듯이 이 함수는 닫힌 원으로 정의됩니다.

이 원의 내부 점은 함수의 연속성 점입니다. 기능
열린 원에서 연속
.

정의 영역의 경계 지점에서 연속성 개념의 정의
기능은 가능하지만 과정에서 이 질문을 사용하지 않을 것입니다.

1.3 부분 증분 및 부분 도함수

한 변수의 함수와 달리 여러 변수의 함수는 다른 유형의 증분을 갖습니다. 이것은 평면의 변위 때문입니다.
점에서
다양한 방향으로 수행할 수 있습니다.

정의.개인 증분으로 기능
그 시점에
증가
차이라고 한다

이 증분은 본질적으로 한 변수의 함수의 증분입니다.
함수에서 파생
일정한 값으로
.

마찬가지로 개인 증분 그 시점에
기능
증가
차이라고 한다

이 증분은 고정 값으로 계산됩니다.
.

예시.허락하다

,
,
. 이 함수의 부분 증분을 다음과 같이 구해 보겠습니다. 그리고 의해

이 예에서 인수 증분의 동일한 값으로
그리고
, 함수의 부분 증분이 다른 것으로 판명되었습니다. 이는 변이 있는 직사각형의 면적 때문입니다.
그리고
측면이 확대되면 에
금액만큼 증가
, 측면이 증가할 때 에
증가
(그림 4 참조).

두 변수의 함수는 두 종류의 증분을 갖는다는 사실로부터 두 종류의 도함수를 정의할 수 있음을 알 수 있습니다.

정의. 에 대한 편도함수 기능
그 시점에
부분 증분 비율의 극한이라고 합니다. 증가할 지정된 지점에서 이 함수의
논쟁 저것들.

. (1)

이러한 편도함수는 기호로 표시됩니다. ,,,. 후자의 경우 둥근 문자 " ” – “"는 "사적"이라는 뜻입니다.

유사하게, 에 대한 편도함수 그 시점에
한계를 사용하여 결정

. (2)

이 편도함수에 대한 기타 표기법: ,,.

함수의 부분 도함수는 한 변수의 함수를 미분하는 알려진 규칙에 따라 발견되는 반면, 함수를 미분하는 변수를 제외한 모든 변수는 상수로 간주됩니다. 그래서 찾을 때 변하기 쉬운 는 상수로 간주되며 발견될 때 - 끊임없는 .

예시.함수의 편도함수를 구해보자
.

,
.

예시.세 변수의 함수의 편도함수 찾기

;
;
.

편미분 함수
변수 중 하나가 고정된 경우 이 함수의 변화율을 특성화합니다.

경제학의 한 예.

소비 이론의 주요 개념은 효용 함수입니다.
. 이 함수는 집합의 효용 척도를 나타냅니다.
, 여기서 x는 상품 X의 수량, y는 상품 Y의 수량입니다. 그런 다음 편미분
이를 각각 한계효용 x와 y라고 한다. 한계대체율
한 상품 대 다른 상품의 한계효용 비율은 다음과 같습니다.

. (8)

작업 1. 점 A(3,12)에서 효용 함수의 y에 대한 한계 대체율 h를 구하십시오.

해결책:식 (8)에 의해 우리는

한계대체율의 경제적 의미는 다음 공식의 정당화에 있습니다.
, 어디 - 아이템 X의 가격 - 재화의 가격 U.

정의.기능이 있는 경우
편도함수가 있는 경우 편미분을 식이라고 합니다.

그리고

여기
그리고
.

편미분은 두 변수의 함수에서 얻은 한 변수의 함수의 미분입니다.
고정시 또는 .

경제의 예. Cobb-Douglas 함수를 예로 들어보겠습니다.

값 - 평균 노동 생산성, 이는 한 노동자가 생산한 제품의 양(가치 기준)이기 때문입니다.

값
- 자산에 대한 평균 수익 - 기계당 제품 수.

값
- 평균 자본 - 노동 비율 - 노동 자원 단위당 자금 비용.

따라서 편도함수
노동의 한계생산성은 노동자 한 명이 생산한 생산물의 부가가치와 같기 때문에 노동의 한계생산성이라고 한다.

비슷하게,
- 자산에 대한 한계 수익.

경제학에서 종종 다음과 같은 질문을 받습니다. 근로자 수가 1% 증가하거나 자금이 1% 증가하면 생산량이 몇 퍼센트까지 변할 것입니까? 이러한 질문에 대한 답변은 인수 또는 상대 도함수에 대한 함수의 탄력성 개념으로 제공됩니다. 노동에 대한 산출물의 탄력성을 구하라
. 위에서 계산한 편도함수를 분자에 대입하면 , 우리는 얻는다
. 그래서 매개변수 명확한 경제적 의미가 있습니다. 노동에 대한 생산량의 탄력성입니다.

매개변수는 동일한 의미를 갖습니다. 자금에 대한 산출의 탄력성이다.

두 변수의 함수의 한계.
솔루션의 개념 및 예

주제에 대한 세 번째 수업에 오신 것을 환영합니다. FNP, 당신의 모든 두려움이 마침내 실현되기 시작한 곳 =) 많은 사람들이 의심하듯이, 극한의 개념은 또한 오늘날 우리가 파악해야 하는 임의의 수의 인수의 함수로 확장됩니다. 그러나 낙관적인 소식이 있습니다. 에서 극한은 어느 정도 추상적이며 해당 할당은 실제로 매우 드물다는 사실로 구성됩니다. 이와 관련하여 우리의 주의는 두 변수의 함수의 한계, 또는 우리가 자주 쓰는 것처럼: .

많은 아이디어, 원칙 및 방법이 "보통" 한계의 이론 및 실제와 유사합니다. 이 순간당신은해야합니다 한계를 찾을 수 있다그리고 가장 중요한 것은 무엇을 이해하고 한 변수의 기능 한계. 그리고 운명이 당신을 이 페이지로 데려왔기 때문에 아마도 당신은 이미 많은 일을 하는 방법을 이해하고 알고 있을 것입니다. 그리고 그렇지 않은 경우에도 괜찮습니다. 모든 공백은 몇 시간, 심지어 몇 분 만에 채워질 수 있습니다.

이 수업의 사건은 우리의 3차원 세계에서 펼쳐지며, 따라서 그 사건에 직접 참여하지 않는 것은 단순히 큰 누락일 것입니다. 먼저 잘 알려진 공간의 데카르트 좌표계. 일어나서 방을 좀 걸어보자... ...당신이 걷는 바닥은 평평하다. 도중에 방해가되지 않도록 액슬을 어딘가에 ... 음, 예를 들어 모든 모서리에 두십시오. 훌륭한. 이제 위를 올려다보고 거기에 담요가 걸려 있다고 상상해 보세요. 그것 표면, 함수에 의해 주어진다. 바닥에서 우리의 움직임은 이해하기 쉽기 때문에 독립 변수의 변화를 모방하며 우리는 덮개 아래에서만 움직일 수 있습니다. 안에 두 변수의 함수 영역. 그러나 재미는 이제 시작입니다. 코 끝 바로 위에 작은 바퀴벌레가 담요 위를 기어 다니고 있습니다. 당신이있는 곳이 있습니다. 그를 프레디라고 부르자. 그것의 움직임은 기능의 해당 값의 변화를 시뮬레이션합니다 (단, 표면 또는 그 파편이 평면과 평행하고 높이가 변하지 않는 경우). 프레디라는 이름의 독자 여러분, 화를 내지 마십시오. 과학에 필요합니다.

송곳을 손에 들고 임의의 지점에서 담요를 뚫고 높이를 표시한 후 도구를 구멍 아래의 바닥에 엄격하게 붙입니다. 이것이 점이 될 것입니다. 이제 시작하자 끝없이 가까운이 지점에 접근 , 그리고 우리는 모든 궤적에 접근할 권리가 있습니다 (물론 각 점은 정의 영역에 포함됨). 모든 경우에 프레디가 끝없이 가까운높이까지 정확히 이 높이까지 크롤링하면 기능은 다음 지점에서 한계를 갖습니다. :

지정된 조건에서 피어싱된 지점이 담요의 가장자리에 있으면 한계가 여전히 존재합니다. 임의로 작은 이웃송곳의 가장자리는 기능 정의 영역에서 적어도 일부 지점이었습니다. 또한, 의 경우와 같이 한 변수의 기능 한계, 관련 없는함수가 지점에서 정의되었는지 여부. 즉, 우리의 구멍은 껌으로 덮일 수 있습니다. (생각해봐 두 변수의 함수는 연속적입니다.) 그리고 이것은 상황에 영향을 미치지 않을 것입니다 - 한계의 본질이 의미한다는 것을 기억하십시오 무한히 가까운 근사, 요점에 대한 "정확한 접근"이 아닙니다.

그러나 구름 없는 삶은 그의 남동생과 달리 한계가 존재하지 않는 경우가 훨씬 더 많다는 사실에 의해 손상됩니다. 이것은 일반적으로 비행기의 특정 지점에 대한 많은 경로가 있고 각각의 경로가 Freddie를 펑크로 엄격하게 안내해야하기 때문입니다 (선택적으로 "껌으로 끈적임")그리고 높이에 엄격하게. 그리고 기괴한 불연속성이 있는 기괴한 표면이 충분히 있으며, 이는 일부 지점에서 이 엄격한 조건을 위반하게 됩니다.

우리는 조직 가장 간단한 예-손에 칼을 들고 피어싱 된 점이 절단선에 오도록 담요를 자릅니다. 한도 참고하세요 여전히 존재하지만, 유일한 것은 이 영역이 기능 범위. 이제 축을 따라 담요의 왼쪽을 부드럽게 들어 올리고 반대로 오른쪽을 아래로 움직이거나 제자리에 두십시오. 무엇이 바뀌었습니까? 그러나 다음은 근본적으로 변경되었습니다. 이제 왼쪽 지점에 접근하면 프레디가 오른쪽 지점에 접근할 때보다 더 높은 높이에 있게 됩니다. 따라서 제한이 없습니다.

그리고 물론, 멋진 한계, 그들 없이 어디. 모든 의미에서 다음과 같은 유익한 예를 고려하십시오.

실시예 11

우리는 표준 인공 기술로 정리하는 고통스럽게 친숙한 삼각 공식을 사용합니다. 첫 번째 멋진 한계 :

극좌표로 넘어 갑시다.
그렇다면

결정은 자연스러운 결과로 가는 것처럼 보이지만 문제를 예고하는 것은 없지만 결국에는 심각한 결함을 만들 위험이 큽니다. 그 성격은 이미 사례 3에서 암시하고 이후에 자세히 설명했습니다. 예 6. 먼저 엔딩, 그 다음 주석:

단순히 "무한대" 또는 "더하기 무한대"라고 쓰는 것이 왜 나쁜지 봅시다. 분모를 살펴보겠습니다. , 이후 극 반지름은 다음과 같은 경향이 있습니다. 무한히 작은양수 값: . 게다가, . 따라서 분모의 부호와 전체 극한은 코사인에만 의존합니다.
극각이라면 (두 번째 및 세 번째 좌표 분기: );
극각이라면 (첫 번째 및 네 번째 좌표 분기: ).

기하학적으로 이것은 우리가 왼쪽에서 원점에 접근하면 함수에 의해 주어진 표면이 , 무한대로 확장:

학과: 고등수학

요약

"고등 수학"분야에서

주제: "여러 변수의 함수의 한계와 연속성"

톨리야티, 2008

소개

하나의 변수에 대한 함수의 개념은 자연에 존재하는 모든 종속성을 포괄하지 않습니다. 가장 단순한 문제에서도 여러 양의 값 조합에 의해 값이 결정되는 양이 있습니다.

이러한 종속성을 연구하기 위해 여러 변수의 함수 개념이 도입되었습니다.

여러 변수의 함수 개념

정의.값 유여러 독립변수의 함수( 엑스, 와이, 지, …, 티), 이러한 변수의 각 값 집합이 수량의 특정 값과 연결된 경우 유.

변수가 두 변수의 함수인 경우 엑스그리고 ~에, 기능적 종속성이 표시됩니다.

지 = 에프 (엑스, 와이).

상징 에프여기에서 일련의 작업 또는 값 계산 규칙을 정의합니다. 지주어진 값 쌍에 대해 엑스그리고 ~에.

따라서 기능에 대한 지 = 엑스 2 + 3xy

~에 엑스= 1 및 ~에= 1 우리는 지 = 4,

~에 엑스= 2 및 ~에= 3 우리는 지 = 22,

~에 엑스= 4 및 ~에= 0 우리는 지= 16 등

수량은 유사하게 호출됩니다. 유세 변수의 기능 엑스, 와이, 지, 규칙이 주어지면 주어진 값의 삼중항에 대해 엑스, 와이그리고 지해당 값을 계산 유:

유 = 에프 (엑스, 와이, 지).

여기 기호 에프값을 계산하기 위한 일련의 작업 또는 규칙을 정의합니다. 유주어진 값에 해당 엑스, 와이그리고 지.

따라서 기능에 대한 유 = xy + 2xz – 3yz

~에 엑스 = 1, ~에= 1 및 지= 1 우리는 유 = 0,

~에 엑스 = 1, ~에= -2 및 지= 3 우리는 유 = 22,

~에 엑스 = 2, ~에= -1 및 지= -2 우리는 유 = -16 등

따라서 각 컬렉션의 일부 법칙에 따라 피번호 ( 엑스, 와이, 지, …, 티) 일부 세트에서 이자형특정 값을 변수에 할당 유, 그리고 유의 함수라고 한다 피변수 엑스, 와이, 지, …, 티세트에 정의 이자형, 그리고 표시된다

유 = 에프(엑스, 와이, 지, …, 티).

변수 엑스, 와이, 지, …, 티함수 인수라고 하며, 집합 이자형– 기능 정의 영역.

함수의 개인 값은 특정 시점의 함수 값입니다. 중 0 (엑스 0 , 와이 0 , 지 0 , …, 티 0) 및 표시 에프 (중 0) = 에프 (엑스 0 , 와이 0 , 지 0 , …, 티 0).

함수의 도메인은 함수의 실제 값에 해당하는 모든 인수 값의 집합입니다.

두 변수의 기능 지 = 에프 (엑스, 와이) 공간에서 어떤 표면으로 표현됩니다. 즉, 좌표가 있는 점이 엑스, ~에평면에 위치한 기능 정의의 전체 영역을 통해 실행 외치는 소리, 일반적으로 해당 공간 점은 표면을 설명합니다.

세 변수의 기능 유 = 에프 (엑스, 와이, 지) 3차원 공간에서 점 집합의 한 점의 함수로 간주됩니다. 마찬가지로 기능 피변수 유 = 에프(엑스, 와이, 지, …, 티)는 일부 점의 함수로 간주됩니다. 피- 차원 공간.

여러 변수의 함수의 한계

여러 변수의 함수의 극한 개념을 제공하기 위해 두 변수의 경우로 제한합니다. 엑스그리고 ~에. 정의에 따르면 기능 에프 (엑스, 와이) 지점에 한계가 있습니다( 엑스 0 , ~에 0) 숫자와 동일 하지만, 다음과 같이 표시됩니다.

(1)

(더 많이 쓴다 에프 (엑스, 와이) →하지만~에 (엑스, 와이) → (엑스 0 , ~에 0)) 점( 엑스 0 , ~에 0), 아마도 이 점 자체를 제외하고, 그리고 한계가 있는 경우

(2)

어떤 경향이 있든 ( 엑스 0 , ~에 0) 점의 순서( x k, y k).

한 변수의 함수의 경우와 마찬가지로 두 변수의 함수의 극한에 대한 또 다른 동등한 정의를 도입할 수 있습니다. 에프점에 있다( 엑스 0 , ~에 0) 다음과 같은 한계 하지만, 점의 일부 이웃에 정의된 경우( 엑스 0 , ~에 0) 이 점 자체를 제외하고 모든 ε > 0에 대해 δ > 0이 다음과 같이

| 에프 (엑스, 와이) – ㅏ| < ε(3)

모든 (엑스, 와이) 불평등을 만족시키는

< δ. (4)

이 정의는 차례로 다음과 같습니다. 임의의 ε > 0에 대해 점의 δ-이웃이 있습니다( 엑스 0 , ~에 0) 모든 사람을 위해 ( 엑스, 와이) 이외의 이 동네에서 ( 엑스 0 , ~에 0), 부등식 (3)이 성립합니다.

임의의 점의 좌표( 엑스, 와이) 점의 이웃( 엑스 0 , ~에 0) 다음과 같이 쓸 수 있습니다. x = x 0 + Δ 엑스, y = y 0 + Δ ~에인 경우 등식(1)은 다음 등식과 같습니다.

점( 엑스 0 , ~에 0), 아마도 이 점 자체를 제외하고.

ω = (ω 엑스, ω ~에)는 길이가 1인 임의의 벡터입니다(|ω| 2 = ω 엑스 2 + 승 ~에 2 = 1) 및 티> 0은 스칼라입니다. 뷰 포인트

(엑스 0 + 티ω 엑스, 와이 0 + 티ω ~에) (0 < 티)

(에서 나오는 빔을 형성) 엑스 0 , ~에 0) 벡터 ω 방향으로. 각 ω에 대해 다음 기능을 고려할 수 있습니다.

에프(엑스 0 + 티ω 엑스, 와이 0 + 티ω ~에) (0 < 티< δ)

스칼라 변수에서 티, 여기서 δ는 충분히 작은 숫자입니다.

이 함수의 한계(하나의 변수 티)

에프(엑스 0 + 티ω 엑스, 와이 0 + 티ω ~에),

그것이 존재한다면 한계를 부르는 것이 당연하다. 에프점에서 ( 엑스 0 , ~에 0) ω 방향으로.

실시예 1기능

평면( 엑스, 와이) 점을 제외하고 엑스 0 = 0, ~에 0 = 0. 우리는 (고려

그리고 ):

(ε > 0의 경우 δ = ε/2로 설정한 다음 | 에프 (엑스, 와이) | < ε, если

< δ).

여기서 (0, 0) 지점에서의 한계 φ는 일반적으로 다른 방향에서 다르다는 것을 알 수 있습니다(광선의 단위 벡터 와이 = kx, 엑스> 0은 형식을 갖습니다.

실시예 2고려 아르 자형 2 기능

(엑스 4 + ~에 2 ≠ 0).

이 함수는 모든 라인의 (0, 0) 지점에서 와이 = kx원점을 통과하는 제한은 0과 같습니다.

~에 엑스 → 0.

그러나 이 함수는 점(0, 0)에 제한이 없습니다. y = x 2

그리고

쓸 것이다

만약 기능 에프점( 엑스 0 , ~에 0), 포인트 자체를 제외하고( 엑스 0 , ~에 0) 그리고 모든 N> 0, 다음과 같은 δ > 0이 존재합니다.

|에프 (엑스, 와이) | > N,

빨리 0<

< δ.

당신은 또한 한계에 대해 말할 수 있습니다 에프, 언제 엑스, ~에 → ∞:

(5)

예를 들어 유한수의 경우 하지만평등(5)은 ε > 0에 대해 다음과 같은 것이 존재한다는 의미에서 이해되어야 합니다. N> 0, 이는 모두를 위한 것입니다. 엑스, ~에, 어떤 | 엑스| > N, |와이| > N, 기능 에프정의되고 불평등

비행기와 시스템을 고려하십시오 옥시 직교 직각 좌표(다른 좌표계를 고려할 수 있음).

해석 기하학에서 우리는 각각의 순서쌍이 (x, y) 단일 점과 일치할 수 있음 중 평면 및 그 반대로 각 점 중 평면은 한 쌍의 숫자에 해당합니다.

따라서 미래에는 한 점에 대해 말할 때 종종 그것에 해당하는 숫자 쌍을 의미합니다. (x, y) 그 반대.

정의 1.2 숫자 쌍의 집합 (x, y) 부등식을 만족시키는 것을 직사각형(개방형)이라고 합니다.

평면에서는 측면이 좌표축에 평행하고 점을 중심으로 하는 직사각형(그림 1.2)으로 표시됩니다. 중 0 (엑스 0 와이 0 ) .

직사각형은 일반적으로 다음 기호로 표시됩니다.

추가 프레젠테이션을 위해 중요한 개념인 점의 이웃을 소개하겠습니다.

정의 1.3 직사각형 δ -이웃 ( 델타 이웃 ) 포인트들 중 0 (엑스 0 와이 0 ) 직사각형이라고 불리는

점을 중심으로 중 0 그리고 같은 길이의 변으로 2δ .

정의 1.4 원형 δ - 포인트의 이웃 중 0 (엑스 0 와이 0 ) 반지름의 원이라고 불리는 δ 점을 중심으로 중 0 , 즉 점의 집합 엠(xy) , 좌표가 부등식을 충족합니다.

이웃 및 기타 유형의 개념을 소개할 수 있지만 기술적 문제의 수학적 분석을 위해 주로 직사각형 및 원형 이웃만 사용됩니다.

두 변수의 함수의 극한에 대한 다음 개념을 소개하겠습니다.

기능을 보자 z = f(x, y) 일부 지역에서 정의 ζ 그리고 중 0 (엑스 0 와이 0 ) - 이 영역의 내부 또는 경계에 있는 점.

정의 1.5 유한수 ㅏ ~라고 불리는 함수 f(x, y)의 한계 ~에

양수인 경우 ε 당신은 양수를 찾을 수 있습니다 δ 그 불평등

모든 포인트에 대해 수행 M(x, y) 지역에서 ζ , 이것 말고도 중 0 (엑스 0 와이 0 ) , 좌표가 부등식을 충족합니다.

이 정의의 의미는 함수의 값이 f(x, y) 점의 충분히 작은 이웃의 점에서 숫자 A와 임의로 약간 다릅니다. 중 0 .

여기에서 정의는 직사각형 이웃을 기반으로 합니다. 중 0 . 점의 원형 이웃을 고려할 수 있습니다. 중 0 그리고 나서 불평등의 충족을 요구할 필요가 있을 것입니다.

모든 지점에서 M(x, y) 지역 ζ , 이것 말고도 중 0 다음 조건을 충족합니다.

점 사이의 거리 중 그리고 중 0 .

다음 한계 기호가 사용됩니다.

두 변수의 함수의 극한 정의가 주어지면 한 변수의 함수에 대한 기본 극한 정리를 두 변수의 함수로 옮길 수 있습니다.

예를 들어, 두 함수의 합, 곱 및 몫의 극한에 대한 정리.

§3 두 변수의 함수 연속성

기능을 보자 z = f(x,y) 점에서 정의 중 0 (엑스 0 와이 0 ) 그리고 그 주변.

정의 1.6 함수는 한 점에서 연속이라고 합니다. 중 0 (엑스 0 와이 0 ) , 만약에

기능의 경우 f(x,y) 점에서 연속 중 0 (엑스 0 와이 0 ) , 그 다음에

왜냐하면

즉, 함수의 경우 f(x,y) 점에서 연속 중 0 (엑스 0 와이 0 ) , 이 영역에서 인수의 극소 증분은 극소 증분에 해당합니다. Δz 기능 지 .

반대의 문장도 참입니다. 인수의 극소 증분이 함수의 극소 증분에 해당하면 함수는 연속적입니다.

영역의 모든 점에서 연속적인 함수를 영역에서 연속이라고 합니다. 두 변수의 연속 함수뿐만 아니라 세그먼트에서 연속적인 한 변수의 함수에 대해서는 Weierstrass 및 Bolzano-Cauchy의 기본 정리가 유효합니다.

참조: Karl Theodor Wilhelm Weierstrass(1815 - 1897) - 독일 수학자. Bernard Bolzano (1781 - 1848) - 체코의 수학자이자 철학자. Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) - 프랑스 수학자, 프랑스 과학 아카데미 회장(1844 - 1857).

예 1.4. 연속성 기능 조사

이 함수는 변수의 모든 값에 대해 정의됩니다. 엑스 그리고 와이 , 분모가 사라지는 원점을 제외하고.

다항식 엑스 2 +y 2 는 모든 곳에서 연속이므로 연속 함수의 제곱근도 연속입니다.

분수는 분모가 0인 점을 제외하고 모든 곳에서 연속입니다. 즉, 고려된 함수는 전체 좌표 평면에서 연속적입니다. 오후 원산지 제외.

예 1.5. 연속성 기능 조사 z=tg(x,y) . 접선은 홀수 크기와 같은 값을 제외하고 인수의 모든 유한 값에 대해 정의되고 연속적입니다. 파이/2 , 즉. 있는 점을 제외하고

모든 고정 "케이" 식 (1.11)은 쌍곡선을 정의합니다. 따라서 고려 중인 함수는 연속 함수입니다. x와 y , 곡선에 있는 점 제외(1.11).

여러 변수의 함수의 극한 개념을 제공하기 위해 두 변수의 경우로 제한합니다. 엑스그리고 ~에. 정의에 따르면 기능 f(x, y)지점에 한계가 있습니다( 엑스 0 , ~에 0) 숫자와 동일 하지만, 다음과 같이 표시됩니다.

(더 많이 쓴다 f(x, y)>하지만~에 (x, y)> (엑스 0 , ~에 0)) 점( 엑스 0 , ~에 0), 아마도 이 점 자체를 제외하고, 그리고 한계가 있는 경우

어떤 경향이 있든 ( 엑스 0 , ~에 0) 점의 순서( 엑스 케이 ,와이 케이).

한 변수의 함수의 경우와 마찬가지로 두 변수의 함수의 극한에 대한 또 다른 동등한 정의를 도입할 수 있습니다. 에프점에 있다( 엑스 0 , ~에 0) 다음과 같은 한계 하지만, 점의 일부 이웃에 정의된 경우( 엑스 0 , ~에 0) 이 점 자체를 제외하고 모든 e > 0에 대해 다음과 같은 q > 0이 있습니다.

| f(x, y) - ㅏ | < е (3)

모든 (x, y)

0 < < д. (4)

이 정의는 차례로 다음과 동일합니다. e > 0에 대해 점의 q-이웃이 있습니다( 엑스 0 , ~에 0) 모든 사람을 위해 ( x, y) 이외의 이 동네에서 ( 엑스 0 , ~에 0), 부등식 (3)이 성립합니다.

임의의 점의 좌표( x, y) 점의 이웃( 엑스 0 , ~에 0) 다음과 같이 쓸 수 있습니다. x = x 0 + 디 엑스, y = y 0 + D ~에인 경우 등식(1)은 다음 등식과 같습니다.

점( 엑스 0 , ~에 0), 아마도 이 점 자체를 제외하고.

유 = (유 엑스, 슈 ~에)는 길이가 1인 임의의 벡터입니다(|w| 2 = w 엑스 2 + 승 ~에 2 = 1) 및 티> 0은 스칼라입니다. 뷰 포인트( 엑스 0 + 티슈 엑스 , 와이 0 + 티슈 ~에) (0 < 티)

(에서 나오는 빔을 형성) 엑스 0 , ~에 0) 벡터 w의 방향으로. 각 u에 대해 기능을 고려할 수 있습니다.

에프 (엑스 0 + 티슈 엑스 , 와이 0 + 티슈 ~에) (0 < 티 < д)

스칼라 변수에서 티, 여기서 q는 충분히 작은 숫자입니다.

이 함수의 한계(하나의 변수 티)

에프 (엑스 0 + 티슈 엑스 , 와이 0 + 티슈 ~에),

에프점에서 ( 엑스 0 , ~에 0) w 방향으로.

실시예 1기능

평면( x, y) 점을 제외하고 엑스 0 = 0, ~에 0 = 0. 우리는 (다음을 고려하여):

(e > 0의 경우 q = e/2로 설정한 다음 | f(x, y)| < е, если < д).

여기서 (0, 0) 지점에서의 극한 u가 일반적으로 다른 방향에서 다르다는 것을 알 수 있습니다(광선의 단위 벡터 y=kx, 엑스> 0은 형식을 갖습니다.

실시예 2고려 아르 자형 2 기능

(엑스 4 + ~에 2 ? 0).

이 함수는 모든 라인의 (0, 0) 지점에서 y=kx원점을 통과하는 제한은 0과 같습니다.

~에 엑스 > 0.

그러나 이 함수는 점(0, 0)에 제한이 없습니다. y = x 2

우리는 함수가 에프점( 엑스 0 , ~에 0), 포인트 자체를 제외하고( 엑스 0 , ~에 0) 그리고 모든 N> 0 다음과 같은 q > 0이 있습니다.

| f(x, y)| > N,

빨리 0< < д.

당신은 또한 한계에 대해 말할 수 있습니다 에프, 언제 엑스, ~에 > ?:

하지만평등(5)은 e > 0에 대해 다음과 같은 것이 존재한다는 의미에서 이해되어야 합니다. N> 0, 이는 모두를 위한 것입니다. 엑스, ~에, 어떤 | 엑스| > N, |와이| > N, 기능 에프정의되고 불평등

| f(x, y) - 하지만| < е.

평등은 공평하다

어디에있을 수 엑스 > ?, ~에>?. 또한 평소와 같이 제한이 있는 경우 왼쪽에 (유한) 제한이 존재합니다. 에프및 c.

예를 들어 (7)을 증명합시다.

허락하다 ( 엑스 케이 ,와이 케이) > (엑스 0 , ~에 0) ((엑스 케이 ,와이 케이) ? (엑스 0 , ~에 0)); 그 다음에

따라서 (9)의 좌변에 극한이 존재하고 (9)의 우변과 같으므로 수열( 엑스 케이 ,와이 케이) 경향이 ( 엑스 0 , ~에 0) 법에 따라 이 한계는 기능의 한계와 같습니다. f(x, y)씨 (x, y)점에서 ( 엑스 0 , ~에 0).

정리.함수라면 f(x, y)점에서 0이 아닌 한계가 있습니다( 엑스 0 , ~에 0), 즉

모든 경우에 q > 0이 존재합니다. 엑스, ~에불평등을 만족시키는

0 < < д, (10)

부등식을 만족시킨다

따라서 그러한 (x, y)

저것들. 불평등 (11)이 성립합니다. 표시된 부등식 (12)에서 (x, y)어디에서 따라온다 에이> 0과 에

ㅏ < 0 (сохранение знака).

정의에 따르면 기능 f(x) = f(x) 1 , …, 엑스 N ) = 에이지점에 한계가 있습니다

엑스 0 = , 숫자와 동일 하지만, 다음과 같이 표시됩니다.

(더 많이 쓴다 f(x) > ㅏ (엑스 > 엑스 0)) 점의 일부 이웃에 정의된 경우 엑스 0 , 아마도 자신을 제외하고, 그리고 제한이 있는 경우

무엇을 위해 노력하든 엑스 0점 시퀀스 엑스 케이지정된 이웃( 케이= 1, 2, ...) 이외 엑스 0 .

또 다른 동등한 정의는 다음과 같습니다. 에프점에 있다 엑스 0 한계 같음 하지만, 점의 일부 이웃에 정의된 경우 엑스 0, 가능한 예외를 제외하고 모든 e > 0에 대해 q > 0이 다음과 같이

모든 엑스불평등을 만족시키는

0 < |더블 엑스 0 | < д.

이 정의는 차례로 다음과 같습니다. e > 0인 경우 이웃이 있습니다. 유(x 0 ) 포인트들 엑스모두를 위해 0 xU(x 0 ) , 엑스 ? 엑스 0, 부등식(13)을 만족한다.

분명히 숫자라면 하지만한계가 있다 f(x)안에 엑스 0, 그럼 하지만기능 제한이 있습니다 f(x 0 + 시간)~에서 시간영점에서:

그 반대.

어떤 기능을 고려하십시오 에프, 점의 이웃의 모든 점에서 주어진 엑스 0, 아마도 점을 제외하고 엑스 0; u = (u 1 , ..., 유 피)는 길이가 1인 임의의 벡터(|w| = 1)이고 티> 0은 스칼라입니다. 뷰 포인트 엑스 0 + 티유 (0< 티) 나가는 것을 형성 엑스벡터 w 방향의 0 광선. 각 u에 대해 기능을 고려할 수 있습니다.

(0 < 티 < д щ)

스칼라 변수에서 티, 여기서 q u는 u에 따라 달라지는 숫자입니다. 이 함수의 한계(하나의 변수에서 티)

그것이 존재한다면 한계를 부르는 것이 당연하다. 에프그 시점에 엑스벡터 w 방향으로 0

우리는 함수가 에프어떤 이웃에 정의 엑스 0, 아마도 제외 엑스 0 및 모든 N> 0 다음과 같은 q > 0이 | f(x)| > N, 0이 되자마자< |더블 엑스 0 | < д.

당신은 한계에 대해 말할 수 있습니다 에프, 언제 엑스 > ?:

예를 들어 유한수의 경우 하지만평등(14)은 e > 0에 대해 다음과 같이 지정할 수 있다는 의미에서 이해되어야 합니다. N> 0, 포인트의 경우 엑스, 어떤 | 엑스| > N, 기능 에프정의되고 부등식이 성립합니다.

따라서 기능의 한계 f(x) = f(x 1 , ..., 엑스 피 ) ~에서 피변수는 두 변수의 함수와 같은 방식으로 유추에 의해 정의됩니다.

따라서 우리는 여러 변수의 함수 한계의 정의로 돌아갑니다.

숫자 하지만함수의 극한이라고 합니다 f(M)~에 중 > 중 0 어떤 숫자 e > 0에 대해 항상 숫자 q > 0이 있으면 모든 점에 대해 중, 이것 말고도 중 0이고 조건을 만족 | MM 0 | < д, будет иметь место неравенство | f(M) - 하지만 | < е.