Teorinis minimumas

Ribos sąvoka, taikoma skaitinėms sekoms, jau buvo pristatyta temoje "".
Pirmiausia rekomenduojama perskaityti ten esančią medžiagą.

Pereinant prie šios temos, primename funkcijos sąvoką. Funkcija yra dar vienas atvaizdavimo pavyzdys. Mes apsvarstysime paprasčiausią atvejį
tikroji vieno funkcija tikras argumentas(koks kitų bylų sudėtingumas – bus pasakyta vėliau). Funkcija šioje temoje suprantama kaip
dėsnis, pagal kurį kiekvienam aibės elementui, kuriame apibrėžiama funkcija, priskiriamas vienas ar keli elementai
rinkinys, vadinamas funkcijos reikšmių rinkiniu. Jei kiekvienas funkcijos apimties elementas yra susietas su vienu elementu
reikšmių rinkinį, tada funkcija vadinama vienareikšme, kitu atveju funkcija vadinama daugiareikšme. Čia, dėl paprastumo, kalbėsime tik apie
nedviprasmiškos funkcijos.

Iš karto norėčiau pabrėžti esminį funkcijos ir sekos skirtumą: šiais dviem atvejais atvaizdavimu sujungtos aibės iš esmės skiriasi.
Kad nereikėtų vartoti bendrosios topologijos terminų, skirtumą paaiškiname netiksliais samprotavimais. Aptariant ribą
sekas, kalbėjome tik apie vieną variantą: neribotą sekos elemento skaičiaus augimą. Didėjant skaičiui, patys elementai
sekos elgėsi daug kitaip. Jie galėjo „susikaupti“ nedidelėje tam tikro skaičiaus kaimynystėje; jie galėjo augti neribotą laiką ir pan.
Grubiai tariant, sekos priskyrimas yra funkcijos priskyrimas atskiram „domenui“. Jei kalbame apie funkciją, kurios apibrėžimas pateiktas
temos pradžioje, tada ribos sampratą reikėtų kurti atidžiau. Prasminga kalbėti apie funkcijos ribą kai jo argumentas linkęs į tam tikrą vertę .
Tokia klausimo formuluotė sekų atžvilgiu neturėjo prasmės. Reikia pateikti kai kuriuos paaiškinimus. Visi jie yra susiję su
kaip tiksliai argumentas linkęs į nagrinėjamą vertę.

Pažvelkime į kelis pavyzdžius – kol kas trumpai:


Šios funkcijos leis mums apsvarstyti įvairius atvejus. Pateikiame šių funkcijų grafikus, kad pateikimas būtų aiškesnis.

Funkcija turi ribą bet kuriame apibrėžimo srities taške – tai intuityviai aišku. Kad ir kokį apibrėžimo srities tašką imtume,
Jūs galite iš karto pasakyti, į kokią reikšmę funkcija linkusi, kai argumentas linkęs į pasirinktą reikšmę, o riba bus baigtinė, nebent argumentas
neina iki begalybės. Funkcijos grafikas turi pertrauką. Tai turi įtakos funkcijos savybėms lūžio taške, bet ribos požiūriu
šis punktas nėra paryškintas. Funkcija jau įdomesnė: šiuo metu neaišku, kokią ribos reikšmę priskirti funkcijai.
Jei artėjame prie taško dešinėje, tada funkcija linkusi į vieną reikšmę, jei kairėje, funkcija linkusi į kitą reikšmę. Ankstesniame
pavyzdžių nebuvo. Funkcija, linkusi į nulį, net kairėje, net dešinėje, elgiasi taip pat, linkusi į begalybę -
priešingai funkcijai, kuri linkusi į begalybę, nes argumentas linkęs į nulį, tačiau begalybės ženklas priklauso nuo to, kaip
pusėje mes pasiekiame nulį. Galiausiai funkcija visiškai nesuprantamai elgiasi ties nuliu.

Ribos sąvoką įforminame naudodami epsilon-delta kalbą. Pagrindinis skirtumas nuo sekos ribos apibrėžimo bus poreikis
nurodyti funkcijos argumento norą į kokią nors reikšmę. Tam reikia aibės ribinio taško sąvokos, kuri šiame kontekste yra pagalbinė.
Taškas vadinamas aibės ribiniu tašku, jei jis yra bet kurioje kaimynystėje yra begalinis taškų skaičius,
priklauso ir skiriasi nuo . Šiek tiek vėliau paaiškės, kodėl toks apibrėžimas reikalingas.

Taigi skaičius vadinamas funkcijos riba taške , kuris yra aibės ribinis taškas, kuriame yra apibrėžta
funkcija, jei

Išanalizuokime šį apibrėžimą po vieną. Čia išskiriame dalis, susijusias su argumento noru ir funkcijos noru
į vertę. Reikėtų suprasti bendrą rašytinio pareiškimo prasmę, kurią galima apytiksliai interpretuoti taip.
Funkcija linkusi tada, kai , jei imant skaičių iš pakankamai mažos taško kaimynystės , mes padarysime
gaukite funkcijos reikšmę iš pakankamai mažos skaičiaus kaimynystės. Ir tuo mažesnė bus taško, iš kurio paimtos vertės, kaimynystė
argumentas, tuo mažesnė bus taško, kuriame nukris atitinkamos funkcijos reikšmės, kaimynystė.

Dar kartą grįžkime prie formalaus ribos apibrėžimo ir perskaitykime jį atsižvelgdami į tai, kas ką tik buvo pasakyta. Teigiamas skaičius riboja kaimynystę
taškas, iš kurio paimsime argumento reikšmes. Be to, argumento reikšmės, žinoma, yra iš funkcijos apimties ir nesutampa su pačia funkcija.
taškas: rašome siekį, o ne atsitiktinumą! Taigi, jei paimsime argumento vertę iš nurodytos taško kaimynystės,
tada funkcijos reikšmė pateks į taško kaimynystę .
Galiausiai sujungiame apibrėžimą. Kad ir kokią mažą pasirinktume – taško kaimynystę, tokia – taško kaimynystė visada bus,
kad iš jo pasirinkdami argumento reikšmes pateksime į taško kaimynystę. Žinoma, šiuo atveju dydis yra taško kaimynystė
priklauso nuo to, kokia taško kaimynystė buvo suteikta. Jei funkcijos reikšmės kaimynystė yra pakankamai didelė, tada atitinkama reikšmių sklaida
argumentas bus didelis. Sumažėjus funkcijos reikšmės šaliai, atitinkamai sumažės ir argumento reikšmių sklaida (žr. 2 pav.).

Belieka patikslinti kai kurias detales. Pirma, reikalavimas, kad taškas būtų riba, pašalina poreikį rūpintis tašku
iš - kaimynystė paprastai priklauso funkcijos sričiai. Antra, dalyvavimas nustatant sąlygos ribą reiškia
kad argumentas gali priartėti prie reikšmės tiek iš kairės, tiek iš dešinės.

Tuo atveju, kai funkcijos argumentas linkęs į begalybę, ribinio taško sąvoka turėtų būti apibrėžta atskirai. vadinama riba
nustatytas taškas, jei bet kurio teigiamo skaičiaus intervale yra nesuskaičiuojama aibė
taškų iš rinkinio.

Grįžkime prie pavyzdžių. Funkcija mūsų ne itin domina. Pažvelkime atidžiau į kitas funkcijas.

Pavyzdžiai.

1 pavyzdys Funkcijos grafikas turi kreivumą.
Funkcija nepaisant singuliarumo taške, šiuo metu jis turi ribą. Singuliarumas ties nuliu yra lygumo praradimas.

2 pavyzdys Vienpusės ribos.
Funkcija taške neturi ribų. Kaip jau minėta, norint, kad būtų nustatyta riba, būtina, kad kada
kairėje ir dešinėje funkcija siekė tos pačios vertės. Akivaizdu, kad šiuo atveju taip nėra. Tačiau galima įvesti vienpusės ribos sąvoką.
Jei argumentas linkęs į nurodytą reikšmę iš didesnių reikšmių pusės, tada kalbama apie dešiniąją ribą; jei iš mažesnių verčių pusės -
apie kairiosios rankos ribą.
Esant funkcijai
- dešinioji riba Tačiau galime pateikti pavyzdį, kai begaliniai sinuso svyravimai netrukdo ribos egzistavimui (be to, dvipusiai).
Pavyzdys būtų funkcija . Diagrama yra žemiau; suprantama, pastatyti jį iki galo kaimynystėje
kilmė neįmanoma. Riba ties lygi nuliui.

Pastabos .
1. Yra funkcijos ribos nustatymo metodas, kuris naudoja sekos ribą – vadinamasis. Heine apibrėžimas. Ten sukonstruojama taškų seka, kuri konverguoja į reikiamą reikšmę
argumentas - tada atitinkama funkcijos reikšmių seka suartėja su šios argumento reikšmės funkcijos ribos. Heine apibrėžimo ir kalbos apibrėžimo lygiavertiškumas
„epsilon-delta“ yra įrodyta.
2. Dviejų ar daugiau argumentų funkcijų atvejį apsunkina tai, kad tam, kad taške būtų riba, būtina, kad ribos reikšmė būtų vienoda bet kokiu būdu, kuriuo argumentas yra linkęs
iki reikiamos vertės. Jei yra tik vienas argumentas, galite siekti reikiamos reikšmės iš kairės arba dešinės. Jei yra daugiau kintamųjų, parinkčių skaičius labai padidėja. Funkcijų atvejis
sudėtingas kintamasis ir reikalauja atskiros diskusijos.

texvc - kaimynystė Funkcinės analizės ir susijusių disciplinų rinkinys yra toks rinkinys, iš kurio kiekvienas taškas pašalinamas duotas rinkinys ne daugiau nei Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): \varepsilon .

Apibrėžimai

• Leisti Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Norėdami gauti pagalbos dėl sąrankos, žr. matematiką / README.): (X,\varrho) yra metrinė erdvė, Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): x_0 \in X, Ir Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): \varepsilon > 0. Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): \varepsilon- kaimynystė Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc vadinamas rinkiniu

Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbą.): U_(\varepsilon)(x_0) = \( x\in X \mid \varrho(x,x_0)< \varepsilon \}.

• Tegu pateikiamas poaibis Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): A \pogrupis X. Tada Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): \varepsilon-Šio rinkinio kaimynystė vadinama rinkiniu

Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbą.): U_(\varepsilon)(A) = \bigcup\limits_(x \in A) U_(\varepsilon)(x).

Pastabos

• Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): \varepsilon- taško kaimynystė Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): x_0 taip vadinamas atviras rutulys, kurio centras yra ties Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): x_0 ir spindulys Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): \varepsilon.
• Iš apibrėžimo tiesiogiai išplaukia, kad

Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbą.): U_(\varepsilon)(A) = \( x\in X \mid \exists y\in A\; \varrho(x,y)< \varepsilon\}.

• Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): \varepsilon-kaimynystė yra kaimynystė ir ypač atvira.

Pavyzdžiai

Parašykite apžvalgą apie straipsnį "Epsilon kaimynystė"

Ištrauka, apibūdinanti Epsilon kaimynystę

- Na, ką - klausyk? Maža mergaitė mane nekantriai pastūmėjo.
Mes priartėjome... Ir aš pajutau nuostabiai švelnų putojančios bangos prisilietimą... Tai buvo kažkas neįtikėtinai švelnaus, stebėtinai meilaus ir raminančio, o kartu prasiskverbiančio į pačią mano nustebusio ir šiek tiek atsargaus „gelmę“. siela... Tyli „muzika“ bėgo per mano pėdą, virpėjo milijonais skirtingų atspalvių ir, pakilusi, ėmė apgaubti kažkuo pasakiškai gražaus, kažkuo, kas nepaiso jokių žodžių... Jaučiau, kad skrendu, nors nebuvo skrydžio nebuvo tikras. Buvo nuostabu!.. Kiekviena ląstelė ištirpo ir ištirpo artėjančioje naujoje bangoje, o putojantis auksas prasiliejo tiesiai per mane, pašalindamas viską, kas bloga ir liūdna, ir palikdama tik tyrą, pirmapradę šviesą mano sieloje...
Net nepajutau, kaip įėjau ir beveik galva pasinėriau į šį putojantį stebuklą. Buvo tiesiog nepaprastai gera ir aš niekada nenorėjau iš ten išeiti...
- Gerai, jau gana! Mūsų laukia darbas! Tvirtas Stelos balsas įsiveržė į spindintį grožį. - Ar tau patiko?
- O kaip! atsikvėpiau. - Aš nenorėjau išeiti!
- Būtent! Taigi šiek tiek „maudynės“ iki kito įsikūnijimo ... Ir tada jie daugiau čia negrįžta ...

Kokias piktogramas, be nelygybės ženklų ir modulio, žinote?

Iš algebros eigos žinome tokį žymėjimą:

- universalus kvantorius reiškia - "bet kuriam", "visiems", "kiekvienam", tai yra, įrašas turėtų būti skaitomas "bet kokiam teigiamam epsilonui";

– egzistencinis kvantorius, – yra natūraliųjų skaičių aibei priklausanti reikšmė.

- ilga vertikali lazda skaitoma taip: „toks“, „toks“, „toks“ arba „toks“, mūsų atveju, aišku, kalbame apie skaičių - vadinasi, „toks tas“;

- visiems "en" didesnis nei ;

- modulio ženklas reiškia atstumą, t.y. šis įrašas mums sako, kad atstumas tarp reikšmių yra mažesnis nei epsilonas.

Sekos ribos nustatymas

Iš tiesų, šiek tiek pagalvokime – kaip suformuluoti griežtą sekos apibrėžimą? ... Pirmas dalykas, kuris ateina į galvą šviesoje praktinis užsiėmimas: "sekos riba yra skaičius, prie kurio be galo priartėja sekos nariai."

Gerai, parašykime seką:

Nesunku pastebėti, kad poseka yra be galo artima skaičiui -1, o poriniai terminai artimi „vienam“.

Gal dvi ribos? Bet kodėl tada kuri nors seka negali turėti dešimties ar dvidešimties? Tokiu būdu galite nueiti toli. Šiuo atžvilgiu logiška manyti, kad jei seka turi ribą, ji yra unikali.

Pastaba: seka neturi ribų, tačiau iš jos galima atskirti dvi posekes (žr. aukščiau), kurių kiekviena turi savo ribą.

Taigi pirmiau pateiktas apibrėžimas pasirodo esąs nepagrįstas. Taip, tai tinka tokiais atvejais, kaip (kurį aš ne visai teisingai panaudojau supaprastintuose praktinių pavyzdžių paaiškinimuose), bet dabar turime rasti griežtą apibrėžimą.

Antras bandymas: „Sekos riba yra skaičius, prie kurio artėja VISIE sekos nariai, išskyrus galbūt baigtinį jų skaičių“. Tai arčiau tiesos, bet vis tiek nėra visiškai tikslu. Taigi, pavyzdžiui, sekoje pusė terminų visai nesiartina prie nulio – jie tiesiog jam lygūs =) Beje, „mirksi šviesa“ paprastai įgauna dvi fiksuotas reikšmes.

Išaiškinti formuluotę nesunku, bet tada iškyla kitas klausimas: kaip parašyti apibrėžimą matematiniais terminais? Mokslinis pasaulis su šia problema kovojo ilgai, kol situaciją išsprendė garsusis maestro, kuris iš esmės formalizavo klasikinę matematinę analizę visu jos griežtumu. Cauchy pasiūlė veikti su rajonais, o tai žymiai patobulino teoriją.

Apsvarstykite tam tikrą tašką ir jo savavališką kaimynystę:

„Epsilon“ vertė visada yra teigiama, be to, mes esame laisvi jį pasirinkti patys. Tarkime, kad tam tikroje kaimynystėje yra tam tikros sekos narių rinkinys (nebūtinai visi). Kaip užrašyti tai, kad, pavyzdžiui, dešimtoji kadencija pateko į kaimynystę? Tegul tai yra dešinėje jo pusėje. Tada atstumas tarp taškų ir turėtų būti mažesnis nei "epsilonas": . Tačiau jei „x dešimtoji“ yra „a“ taško kairėje, skirtumas bus neigiamas, todėl prie jo reikia pridėti modulio ženklą: .

Apibrėžimas: skaičius vadinamas sekos riba, jei kuriai nors jos apylinkei (anksčiau pasirinktai) yra natūralusis skaičius – TOKS, kad VISI sekos nariai su didesniais skaičiais bus apylinkės viduje:

Arba trumpiau: jei

Kitaip tariant, kad ir kokią mažą „epsilono“ reikšmę imtume, anksčiau ar vėliau sekos „begalinė uodega“ PILNAI bus šioje kaimynystėje.

Taigi, pavyzdžiui, sekos "begalinė uodega" PILNAI pateks į bet kurią savavališkai mažą taško kaimynystę. Taigi ši reikšmė pagal apibrėžimą yra sekos riba. Primenu, kad vadinama seka, kurios riba lygi nuliui be galo mažas.

Pažymėtina, kad sekai nebeįmanoma sakyti „įeis begalinė uodega“ – nariai su nelyginiais skaičiais iš tikrųjų yra lygūs nuliui ir „niekur neikite“ =) Štai kodėl veiksmažodis „pabaigs“ “ vartojamas apibrėžime. Ir, žinoma, tokios sekos nariai kaip ir „niekur neina“. Beje, patikrinkite, ar skaičius bus jo limitas.

Dabar parodykime, kad seka neturi ribų. Apsvarstykite, pavyzdžiui, taško kaimynystę. Visiškai aišku, kad tokio skaičiaus nėra, po kurio VISI nariai bus šioje kaimynystėje – nelyginiai nariai visada „peršoks“ į „minus vienas“. Dėl panašios priežasties taške nėra ribų.

Įrodykite, kad sekos riba lygi nuliui. Nurodykite skaičių , po kurio garantuojama, kad visi sekos nariai bus bet kurioje savavališkai mažoje taško kaimynystėje.

Pastaba: daugeliui sekų norimas natūralusis skaičius priklauso nuo reikšmės – taigi ir žymėjimas.

Sprendimas: apsvarstykite savavališką taško kaimynystę ir patikrinkite, ar yra toks skaičius, kad VISI terminai su didesniais skaičiais būtų šioje kaimynystėje:

Norėdami parodyti reikiamo skaičiaus egzistavimą, išreiškiame .

Kadangi bet kuriai reikšmei "en", modulio ženklą galima pašalinti:

Mes naudojame „mokyklinius“ veiksmus su nelygybėmis, kuriuos kartojau pamokose Tiesinės nelygybės ir Funkcijos apibrėžimo sritis. Šiuo atveju svarbi aplinkybė yra ta, kad „epsilon“ ir „en“ yra teigiami:

Kadangi kairėje kalbame apie natūraliuosius skaičius, o dešinė paprastai yra trupmeninė, ją reikia suapvalinti:

Pastaba: kartais vienetas pridedamas prie perdraudimo teisės, tačiau iš tikrųjų tai yra perteklinis atlyginimas. Santykinai kalbant, jei taip pat susilpninsime rezultatą apvalindami žemyn, artimiausias tinkamas skaičius („trys“) vis tiek patenkins pradinę nelygybę.

O dabar žiūrime į nelygybę ir primename, kad iš pradžių laikėme savavališką -kaimynystę, t.y. „epsilon“ gali būti lygus bet kuriam teigiamam skaičiui.

Išvada : bet kurioje savavališkai mažoje taško kaimynystėje buvo rasta tokia reikšmė, kad nelygybė galioja visiems didesniems skaičiams. Taigi skaičius pagal apibrėžimą yra sekos riba. Q.E.D.

Beje, iš gauto rezultato aiškiai matosi natūralus modelis: kuo mažesnė -kaimynystė, tuo didesnis skaičius, po kurio VISIE sekos nariai bus šioje kaimynystėje. Tačiau kad ir koks mažas būtų „epsilonas“, viduje visada bus „begalinė uodega“, o išorėje – net didelis, bet baigtinis narių skaičius.

Nagrinėjamas bendrasis realiosios tiesės taško kaimynystės apibrėžimas. Epsilono apylinkių, kairiarankių, dešiniarankių ir pradurtų galinių taškų ir begalybės apylinkių apibrėžimai. Kaimynystės turtas. Įrodyta teorema apie epsiloninės kaimynystės ir savavališkos kaimynystės panaudojimo lygiavertiškumą apibrėžiant funkcijos Koši ribą.

Turinys

Taško kaimynystės nustatymas

Realaus taško x kaimynystė 0 Bet koks atviras intervalas, kuriame yra šis taškas, vadinamas:
.
Čia ε 1 ir ε 2 yra savavališki teigiami skaičiai.

Epsilonas – taško x kaimynystė 0 vadinama taškų aibe, atstumas nuo kurio iki taško x 0 mažiau nei ε:
.

Taško x pradurta kaimynystė 0 vadinamas šio taško kaimynyste, iš kurios pašalintas pats taškas x 0 :
.

Kaimynystės galutiniai taškai

Pačioje pradžioje buvo pateiktas taško kaimynystės apibrėžimas. Jis žymimas kaip. Tačiau galite aiškiai nurodyti, kad kaimynystė priklauso nuo dviejų skaičių, naudodami atitinkamus argumentus:
(1) .
Tai yra, kaimynystė yra taškų, priklausančių atviram intervalui, rinkinys.

Prilyginant ε 1 iki ε 2 , gauname epsilon - kaimynystė:
(2) .
Epsilonas – kaimynystė – taškų rinkinys, priklausantis atviram intervalui, kurio galai yra vienodai nutolę.
Žinoma, raidę epsilon galima pakeisti bet kuria kita ir galime laikyti δ – kaimynystė, σ – kaimynystė ir pan.

Ribų teorijoje galima naudoti kaimynystės apibrėžimą, pagrįstą ir aibe (1), ir aibe (2). Naudojant bet kurį iš šių rajonų gaunami lygiaverčiai rezultatai (žr. ). Tačiau (2) apibrėžimas yra paprastesnis, todėl dažnai naudojamas epsilonas - taško kaimynystė, nustatyta iš (2).

Taip pat plačiai vartojamos kairiarankių, dešiniarankių ir pradurtų galinių taškų apylinkių sąvokos. Pateikiame jų apibrėžimus.

Kairioji tikrojo taško x kaimynystė 0 yra pusiau atviras intervalas, esantis tikrojoje ašyje į kairę nuo x 0 , įskaitant patį tašką:
;
.

Dešinioji tikrojo taško x kaimynystė 0 yra pusiau atviras intervalas, esantis x dešinėje 0 , įskaitant patį tašką:
;
.

Pramuštos galinių zonų apylinkės

Prakirstos taško x apylinkės 0 yra tie patys rajonai, iš kurių neįtraukiamas pats taškas. Jie žymimi apskritimu virš raidės. Pateikiame jų apibrėžimus.

Pramušta taško x kaimynystė 0 :
.

Pramuštas epsilonas – taško x kaimynystė 0 :
;
.

Pramuštas kairysis rajonas:
;
.

Prakirsta dešinė kaimynystė:
;
.

Taškų kaimynystės begalybėje

Kartu su galutiniais taškais taip pat įvedama begalybės taškų kaimynystės sąvoka. Jie visi yra perpjauti, nes begalybėje nėra tikrojo skaičiaus (begalybė apibrėžiama kaip be galo didelės sekos riba).

.
;
;
.

Buvo galima nustatyti be galo tolimų taškų apylinkes ir taip:
.
Tačiau vietoj M naudojame , todėl kaimynystė su mažesniu ε yra kaimynystės su didesniu ε poaibis, kaip ir galinių taškų apylinkėse.

kaimynystės nuosavybė

Toliau naudojame akivaizdžią taško kaimynystės savybę (baigtinėje arba begalinėje). Taip yra dėl to, kad taškų, kurių ε reikšmės yra mažesnės, apylinkės yra apylinkių su didesnėmis ε reikšmėmis pogrupiai. Pateikiame griežtesnes formuluotes.

Tegul yra baigtinis arba be galo tolimas taškas. Paleisk .
Tada
;
;
;
;
;
;
;
.

Priešingi teiginiai taip pat teisingi.

Funkcijos ribos apibrėžimų ekvivalentiškumas pagal Koši

Dabar parodysime, kad apibrėžiant funkcijos ribą pagal Koši, galima naudoti ir savavališką kaimynystę, ir kaimynystę su vienodais galais .

Teorema
Funkcijos ribos Koši apibrėžimai, kuriuose naudojami savavališki rajonai ir rajonai su vienodais galais, yra lygiaverčiai.

Įrodymas

Suformuluokime pirmasis funkcijos ribos apibrėžimas.
Skaičius a yra funkcijos riba taške (baigtinėje arba begalybėje), jei bet kokiems teigiamiems skaičiams egzistuoja skaičiai, priklausantys nuo ir Taip, kad visiems , Priklauso atitinkamai taško a kaimynystei:
.

Suformuluokime antrasis funkcijos ribos apibrėžimas.
Skaičius a yra funkcijos riba taške , jei bet kuriam teigiamam skaičiui yra skaičius, priklausantis nuo , todėl visiems :
.

Įrodymas 1 ⇒ 2

Įrodykime, kad jei skaičius a yra funkcijos riba pagal 1-ąjį apibrėžimą, tai jis yra ir 2-ojo apibrėžimo riba.

Tegul galioja pirmasis apibrėžimas. Tai reiškia, kad yra tokių funkcijų ir , todėl bet kokiems teigiamiems skaičiams galioja:
kur .

Kadangi skaičiai ir yra savavališki, juos prilyginame:
.
Tada yra funkcijos ir , kad bet kuriai galioja šie:
kur .

Pastebėti, kad .
Leisti būti mažiausias teigiamas skaičius ir . Tada, kaip minėta aukščiau,
.
Jei tada .

Tai yra, mes radome tokią funkciją, kad bet kuriai būtų teisinga:
kur .
Tai reiškia, kad skaičius a yra funkcijos riba ir pagal antrąjį apibrėžimą.

2 įrodymas ⇒ 1

Įrodykime, kad jei skaičius a yra funkcijos riba pagal 2-ąjį apibrėžimą, tai jis yra ir 1-ojo apibrėžimo riba.

Tegul galioja antrasis apibrėžimas. Paimkite du teigiamus skaičius ir . Ir tebūnie mažiausias iš jų. Tada pagal antrąjį apibrėžimą yra tokia funkcija , kad bet kuriam teigiamam skaičiui ir visiems , išplaukia, kad
.

Tačiau pagal . Todėl iš to, kas toliau,
.

Tada bet kokiems teigiamiems skaičiams ir radome du skaičius, taigi visiems:
.

Tai reiškia, kad skaičius a taip pat yra riba pagal pirmąjį apibrėžimą.

Teorema įrodyta.

Nuorodos:
L.D. Kudrjavcevas. Matematinės analizės kursas. 1 tomas. Maskva, 2003 m.