Уравнение гармонического колебания
Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени
График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .
Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании
Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, как сила , скорость и ускорение , тоже изменяются аналогично. Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия - достигает максимального значения.
Если колебание описывать по закону косинуса
Если колебание описывать по закону синуса
Максимальные значения скорости и ускорения
Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле
Колебательное движение - периодическое или почти периодическое движение тела, координата, скорость и ускорение которого через равные промежутки времени принимают примерно одинаковые значения.
Механические колебания возникают тогда, когда при выводе тела из положения равновесия появляется сила, стремящаяся вернуть тело обратно.
Смещение х - отклонение тела от положения равновесия.
Амплитуда А - модуль максимального смещения тела.
Период колебания Т - время одного колебания:
Частота колебания
Число колебаний, совершаемых телом за единицу времени: При колебаниях скорость и ускорение периодически изменяются. В положении равновесия скорость максимальна, ускорение равно нулю. В точках максимального смещения ускорение достигает максимума, скорость обращается в нуль.
ГРАФИК ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Гармоническими называются колебания, происходящие по закону синуса или косинуса:
где x(t) - смещение системы в момент t, A - амплитуда, ω - циклическая частота колебаний.
Если по вертикальной оси откладывать отклонение тела от положения равновесия, а по горизонтальной - время, то получится график колебания х = x(t) - зависимость смещения тела от времени. При свободных гармонических колебаниях - это синусоида или косинусоида. На рисунке представлены графики зависимости смещения х, проекций скорости V х и ускорения а х от времени.
Как видно из графиков, при максимальном смещении х скорость V колеблющегося тела равна нулю, ускорение а, а значит и действующая на тело сила, максимальны и направлены противоположно смещению. В положении равновесия смещение и ускорение обращаются в нуль, скорость максимальна. Проекция ускорения всегда имеет знак, противоположный смещению.
ЭНЕРГИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Полная механическая энергия колеблющегося тела равна сумме его кинетической и потенциальной энергий и при отсутствии трения остается постоянной:
В момент, когда смещение достигает максимума х = А, скорость, а вместе с ней и кинетическая энергия, обращаются в нуль.
При этом полная энергия равна потенциальной энергии:
Полная механическая энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды его колебаний.
Когда система проходит положение равновесия, смещение и потенциальная энергия равны нулю: х = 0, Е п = 0. Поэтому полная энергия равна кинетической:
Полная механическая энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату его скорости в положении равновесия. Следовательно:
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
1. Математический маятник - это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити.
В положении равновесия сила тяжести компенсируется силой натяжения нити. Если маятник отклонить и отпустить, то силы и перестанут компенсировать друг друга, и возникнет результирующая сила , направленная к положению равновесия. Второй закон Ньютона:
При малых колебаниях, когда смещение х много меньше l, материальная точка будет двигаться практически вдоль горизонтальной оси х. Тогда из треугольника МАВ получаем:
Так как sin a = х/l , то проекция результирующей силы R на ось х равна
Знак "минус" показывает, что сила R всегда направлена против смещения х.
2. Итак, при колебаниях математического маятника, так же как и при колебаниях пружинного маятника, возвращающая сила пропорциональна смещению и направлена в противоположную сторону.
Сравним выражения для возвращающей силы математического и пружинного маятников:
Видно, что mg/l является аналогом k. Заменяя, k на mg/l в формуле для периода пружинного маятника
получаем формулу для периода математического маятника:
Период малых колебаний математического маятника не зависит от амплитуды.
Математический маятник используют для измерения времени, определения ускорения свободного падения в данном месте земной поверхности.
Свободные колебания математического маятника при малых углах отклонения являются гармоническими. Они происходят благодаря равнодействующей силы тяжести и силы натяжения нити, а также инерции груза. Равнодействующая этих сил является возвращающей силой.
Пример. Определите ускорение свободного падения на планете, где маятник длиной 6,25 м имеет период свободных колебаний 3,14 с.
Период колебаний математического маятника зависит от длины нити и ускорения свободного падения:
Возведя обе части равенства в квадрат, получаем:
Ответ: ускорение свободного падения равно 25 м/с 2 .
Задачи и тесты по теме "Тема 4. "Механика. Колебания и волны"."
- Поперечные и продольные волны. Длина волны
Уроков: 3 Заданий: 9 Тестов: 1
- Звуковые волны. Скорость звука - Механические колебания и волны. Звук 9 класс
1. На рисунке представлен график зависимости потенциальной энергии математического маятника (относительно положения его равновесия) от времени. В момент времени, соответствующий на графике точке D, полная механическая энергия маятника равна: 1) 4 Дж 2) 12 Дж 3) 16 Дж 4) 20 Дж 2. На рисунке представлен график зависимости потенциальной энергии математического маятника (относительно положения его равновесия) от времени. В момент времени кинетическая энергия маятника равна: 1) 0 Дж 2) 10 Дж 3) 20 Дж 4) 40 Дж 3. На рисунке представлен график зависимости потенциальной энергии математического маятника (относительно положения его равновесия) от времени. В момент времени кинетическая энергия маятника равна: 1) 0 Дж 2) 8 Дж 3) 16 Дж 4) 32 Дж 4. Как изменится период малых колебаний математического маятника, если длину его нити увеличить в 4 раза? 1) увеличится в 4 раза 2) увеличится в 2 раза 3) уменьшится в 4 раза 4) уменьшится в 2 раза 5. На рисунке изображена зависимость амплитуды установившихся колебаний маятника от частоты вынуждающей силы (резонансная кривая). Амплитуда колебаний этого маятника при резонансе равна 1) 1 см 2) 2 см 3) 8 см 4) 10 см 6. При свободных колебаниях груза на нити как маятника его кинетическая энергия изменяется от 0 Дж до 50 Дж, максимальное значение потенциальной энергии 50 Дж. В каких пределах изменяется полная механическая энергия груза при таких колебания? 1) не изменяется и равна 0 Дж 2) изменяется от 0 Дж до 100 Дж 3) не изменяется и равна 50 Дж 4) не изменяется и равна 100 Дж 7. Груз колеблется на пружине, двигаясь вдоль оси. На рисунке показан график зависимости координаты груза от времени. На каких участках графика сила упругости пружины, приложенная к грузу, совершает положительную работу? 1) 2) 3) 4) и и и и 8. Груз колеблется на пружине, двигаясь вдоль оси. На рисунке показан график зависимости координаты груза от времени. На каких участках графика сила упругости пружины, приложенная к грузу, совершает отрицательную работу? 1) 2) 3) 4) и и и и 9. Груз колеблется на пружине, двигаясь вдоль оси. На рисунке показан график зависимости проекции скорости груза на эту ось от времени. За первые 6 с движения груз прошел путь 1,5 м. Чему равна амплитуда колебаний груза? 1) 0,5 м 2) 0,75 м 3) 1 м 4) 1,5 м 10. Математический маятник с периодом колебаний Т отклонили на небольшой угол от положения равновесия и отпустили без начальной скорости (см. рисунок). Через какое время после этого кинетическая энергия маятника в первый раз достигнет минимума? Сопротивлением воздуха пренебречь. 1) 2) 3) 4) 11. Математический маятник с периодом колебаний Т отклонили на небольшой угол от положения равновесия и отпустили с начальной скоростью, равной нулю (см. рисунок). Через какое время после этого потенциальная энергия маятника в первый раз вновь достигнет максимума? Сопротивлением воздуха пренебречь. 1) 2) 3) 4) 12. Математический маятник с периодом колебаний Т отклонили на небольшой угол от положения равновесия и отпустили c начальной скоростью равной нулю (см. рисунок). Через какое время после этого кинетическая энергия маятника во второй раз достигнет максимума? Сопротивлением воздуха пренебречь. 1) 2) 3) 4) 13. Груз массой 50 г, прикреплённый к лёгкой пружине, совершает свободные колебания. График зависимости координаты x этого груза от времени tпоказан на рисунке. Жёсткость пружины равна 1) 3 Н/м 2) 45 Н/м 3) 180 Н/м 4) 2400 Н/м 14. Как надо изменить жёсткость пружины маятника, чтобы увеличить частоту его колебаний в 2 раза? 1) уменьшить в 2 раза 2) увеличить в 4 раза 3) увеличить в 2 раза 4) уменьшить в 4 раза
Тест по физике Гармонические колебания для учащихся 9 класса с ответами. Тест включает в себя 10 заданий с выбором ответа.
1. Выберите верное(-ые) утверждение(-я).
А. колебания называются гармоническими, если они происходят по закону синуса
Б. колебания называются гармоническими, если они происходят по закону косинуса
1) только А
2) только Б
3) и А, и Б
4) ни А, ни Б
2. На рисунке представлена зависимость координаты центра шара, подвешенного на пружине, от времени. Амплитуда колебаний равна
1) 10 см
2) 20 см
3) -10 см
4) -20 см
3. На рисунке показан график колебаний одной из точек струны. Согласно графику, амплитуда колебаний равна
1) 1 · 10 -3 м
2) 2 · 10 -3 м
3) 3 · 10 -3 м
4) 4 · 10 -3 м
4. На рисунке представлена зависимость координаты центра шара, подвешенного на пружине, от времени. Период колебаний равен
1) 2 с
2) 4 с
3) 6 с
4) 10 с
5. На рисунке показан график колебаний одной из точек струны. Согласно графику, период этих колебаний равен
1) 1 · 10 -3 с
2) 2 · 10 -3 с
3) 3 · 10 -3 с
4) 4 · 10 -3 с
6. На рисунке представлена зависимость координаты центра шара, подвешенного на пружине, от времени. Частота колебаний равна
1) 0,25 Гц
2) 0,5 Гц
3) 2 Гц
4) 4 Гц
7. На рисунке показан график х , см колебаний одной из точек струны. Согласно графику, частота этих колебаний равна
1) 1000 Гц
2) 750 Гц
3) 500 Гц
4) 250 Гц
8. На рисунке представлена зависимость координаты центра шара, подвешенного на пружине, от времени. Какой путь пройдет шар за два полных колебания?
1) 10 см
2) 20 см
3) 40 см
4) 80 см
9. На рисунке представлена зависимость координаты центра шара, подвешенного на пружине, от времени. Эта зависимость является