Oznaczamy każdy wiersz macierzy A e i = (a i 1 a i 2 ..., a in) (na przykład
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n) itd.). Każdy z nich to macierz wierszy, którą można pomnożyć przez liczbę lub dodać do kolejnego wiersza przez Główne zasady akcje z macierzami.

Kombinacja liniowa ciągów e l , e 2 ,...e k jest sumą iloczynów tych ciągów przez dowolne liczby rzeczywiste:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k , gdzie l l , l 2 ,..., l k są liczbami dowolnymi (liniowymi współczynnikami kombinacji).

Wiersze macierzy e l , e 2 ,...e m są nazywane liniowo zależne, jeśli istnieją liczby l l , l 2 ,..., l m , które nie są jednocześnie równe zeru, takie, że kombinacja liniowa wierszy macierzy jest równa wierszowi zerowemu:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, gdzie 0 = (0 0...0).

Liniowa zależność wierszy macierzy oznacza, że ​​przynajmniej jeden wiersz macierzy jest kombinacją liniową pozostałych. Rzeczywiście, dla pewności niech ostatni współczynnik l m ¹ 0. Następnie dzieląc obie strony równości przez l m , otrzymujemy wyrażenie dla ostatniego wiersza jako kombinację liniową pozostałych wierszy:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1 .

Jeśli liniowa kombinacja wierszy wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie współczynniki wynoszą zero, tj. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, to linie są wywoływane liniowo niezależny.

Twierdzenie o rangach macierzowych. Ranga macierzy jest równa maksymalnej liczbie jej liniowo niezależnych wierszy lub kolumn, pod względem których wszystkie pozostałe wiersze lub kolumny mogą być wyrażone liniowo.

Udowodnijmy to twierdzenie. Niech macierz A m x n ma rząd r (r(A) £ min (m; n)). Dlatego istnieje niezerowa molowa rzędu r. Każdy taki nieletni zostanie nazwany podstawowy. Niech to będzie drobne dla określenia!

Rzędy tego małoletniego będą również nazywane podstawowy.

Udowodnijmy, że wtedy wiersze macierzy e l , e 2 ,...er są liniowo niezależne. Załóżmy odwrotnie, tj. jeden z tych wierszy, na przykład wiersz r, jest kombinacją liniową reszty: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Wtedy, jeśli odejmiemy od r-te elementy elementy rzędu 1 pomnożone przez l l , elementy 2 rzędu pomnożone przez l 2 , itd. w końcu elementy (r-1) rzędu pomnożone przez l r-1 , następnie prawy rząd stanie się zerem. Jednocześnie, zgodnie z właściwościami wyznacznika, powyższy wyznacznik nie powinien się zmieniać, a jednocześnie powinien być równy zero. Otrzymano sprzeczność, udowodniono liniową niezależność strun.

Udowodnijmy teraz, że dowolne wiersze macierzy (r+1) są zależne liniowo, tj. każdy ciąg może być wyrażony w kategoriach podstawowych ciągów.

Uzupełnijmy poprzednio rozważaną mniejszą o jeszcze jeden wiersz (i-ty) i jeszcze jedną kolumnę (j-ty). W rezultacie otrzymujemy minor (r+1)-tego rzędu, który z definicji rangi jest równy zero.

gdzie są jakieś liczby (niektóre lub nawet wszystkie z tych liczb mogą być równe zero). Oznacza to, że pomiędzy elementami kolumn występują następujące równości:

Z (3.3.1) wynika, że

Jeśli równość (3.3.3) jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy , to wiersze są nazywane liniowo niezależnymi. Relacja (3.3.2) pokazuje, że jeśli jeden z wierszy jest liniowo wyrażony w kategoriach pozostałych, to wiersze są liniowo zależne.

Łatwo też zauważyć coś przeciwnego: jeśli wiersze są liniowo zależne, to istnieje wiersz, który jest liniową kombinacją pozostałych wierszy.

Niech na przykład w (3.3.3) , wtedy .

Definicja. Niech w macierzy A zostanie wybrany jakiś minor r-tego rzędu i niech minorowy (r + 1)-tego rzędu tej samej macierzy całkowicie zawiera minor wewnątrz niej. Powiemy, że w tym przypadku małoletni graniczy z małoletnim (lub graniczy z ).

Udowodniliśmy teraz ważny lemat.

Lemat o nieletnich z pogranicza. Jeżeli molowa rzędu r macierzy A= jest niezerowa, a wszystkie graniczące z nią mniejsze są równe zeru, to każdy wiersz (kolumna) macierzy A jest kombinacją liniową jej wierszy (kolumn) tworzących .

Dowód. Nie naruszając ogólności rozumowania, przyjmiemy, że niezerowa mała r-tego rzędu znajduje się w lewo górny róg macierze A=:

.

Dla pierwszych k wierszy macierzy A stwierdzenie lematu jest oczywiste: wystarczy w kombinacji liniowej uwzględnić ten sam wiersz o współczynniku równym jeden, a resztę o współczynnikach równych zero.

Udowodnimy teraz, że pozostałe wiersze macierzy A są wyrażone liniowo w postaci pierwszych k wierszy. Aby to zrobić, konstruujemy małoletnią (r + 1)-tego rzędu, dodając k-ty wiersz () do małoletniego i ja-ta kolumna():

.

Wynikowy minor wynosi zero dla wszystkich k i l. Jeśli , to jest równe zero, ponieważ zawiera dwie identyczne kolumny. Jeśli , to wynikowy małoletni jest granicznym małoletnim dla, a zatem jest równy zero zgodnie z hipotezą lematu.

Rozwińmy moll pod względem elementów tego ostatniego ja-ta kolumna:

Zakładając , otrzymujemy:

(3.3.6)

Wyrażenie (3.3.6) oznacza, że k-ty rząd macierz A jest wyrażona liniowo przez pierwsze r wierszy.

Ponieważ wartości jej drugorzędnych nie zmieniają się podczas transpozycji macierzy (ze względu na właściwość wyznaczników), wszystko, co zostało udowodnione, odnosi się również do kolumn. Twierdzenie zostało udowodnione.

Wniosek I. Dowolny wiersz (kolumna) macierzy jest liniową kombinacją jej podstawowych wierszy (kolumn). Rzeczywiście, podstawa minor macierzy jest różna od zera, a wszystkie graniczące z nią mniejsze są równe zeru.

Wniosek II. Wyznacznik n-tego rzędu jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wiersze (kolumny) zależne liniowo. Wystarczalność liniowej zależności wierszy (kolumn) dla równości wyznacznika do zera została wykazana wcześniej jako właściwość wyznaczników.

Udowodnijmy konieczność. Niech będzie dana macierz kwadratowa n-tego rzędu, z której jedyna mniejsza jest równa zeru. Wynika z tego, że ranga tej macierzy jest mniejsza niż n, czyli istnieje co najmniej jeden wiersz, który jest liniową kombinacją wierszy podstawowych tej macierzy.

Udowodnijmy jeszcze jedno twierdzenie o rzędzie macierzy.

Twierdzenie. Maksymalna liczba liniowo niezależnych wierszy macierzy jest równa maksymalnej liczbie jej liniowo niezależnych kolumn i jest równa randze tej macierzy.

Dowód. Niech rząd macierzy A= będzie równy r. Wtedy każdy z jego k podstawowych wierszy jest liniowo niezależny, w przeciwnym razie podstawa mniejsza byłaby równa zero. Z drugiej strony każdy r+1 lub więcej wierszy jest liniowo zależnych. Zakładając, że jest odwrotnie, moglibyśmy znaleźć niezerowe molowe rzędu większego niż r zgodnie z wnioskiem 2 z poprzedniego lematu. To ostatnie zaprzecza faktowi, że maksymalny rząd niezerowych nieletnich wynosi r. Wszystko, co zostało udowodnione dla wierszy, dotyczy również kolumn.

Na zakończenie przedstawiamy jeszcze jedną metodę wyznaczania rangi macierzy. Rangę macierzy można określić, znajdując molową o maksymalnym rzędzie, która jest różna od zera.

Na pierwszy rzut oka wymaga to obliczeń, choć skończonych, ale może bardzo duża liczba nieletnich tej macierzy.

Poniższe twierdzenie pozwala jednak na znaczne uproszczenia.

Twierdzenie. Jeżeli minor macierzy A jest niezerowy, a wszystkie drugorzędne z nią graniczące są równe zero, to rząd macierzy wynosi r.

Dowód. Wystarczy wykazać, że dowolny podukład wierszy macierzy dla S>r będzie liniowo zależny w warunkach twierdzenia (z tego wynika, że ​​r jest maksymalną liczbą liniowo niezależnych wierszy macierzy lub którykolwiek z jej podrzędnych rzędu większego niż k są równe zeru).

Załóżmy odwrotnie. Niech wiersze będą liniowo niezależne. Lemat o graniczących nieletnich, każdy z nich będzie wyrażony liniowo w postaci wierszy, w których znajduje się małoletni i które ze względu na to, że jest różne od zera, są liniowo niezależne:

Rozważmy teraz następującą kombinację liniową:

lub

Używając (3.3.7) i (3.3.8), otrzymujemy

,

co zaprzecza liniowej niezależności strun.

W konsekwencji nasze założenie jest fałszywe, a zatem wszystkie wiersze S>r w warunkach twierdzenia są zależne liniowo. Twierdzenie zostało udowodnione.

Rozważ regułę obliczania rangi macierzy - metodę graniczących nieletnich, opartą na tym twierdzeniu.

Przy obliczaniu rangi macierzy należy przechodzić od drugorzędnych niższych rzędów do drugorzędnych wyższych rzędów. Jeśli niezerowy element drugorzędny r-tego rzędu został już znaleziony, to tylko elementy drugorzędne (r+1)-tego rzędu graniczące z drugorzędnym muszą być obliczone. Jeśli są zerowe, to ranga macierzy wynosi r. Metodę tę stosuje się również wtedy, gdy nie tylko obliczamy rangę macierzy, ale także określamy, które kolumny (wiersze) stanowią podstawę poboczną macierzy.

Przykład. Oblicz rangę macierzy metodą marginalizacji nieletnich

Rozwiązanie. Drugorzędny drugorzędny w lewym górnym rogu macierzy A jest niezerowy:

.

Jednak wszystkie otaczające go nieletnie dzieci trzeciego rzędu są równe zeru:

;	;
;	;
;	.

Dlatego rząd macierzy A jest równy dwóm: .

Pierwszy i drugi wiersz, pierwsza i druga kolumna w tej macierzy są podstawowe. Pozostałe wiersze i kolumny to ich kombinacje liniowe. Rzeczywiście, dla strun obowiązują następujące równości:

Podsumowując, zwracamy uwagę na ważność następujących właściwości:

1) ranga iloczynu macierzy nie jest większa niż ranga każdego z czynników;

2) rząd iloczynu dowolnej macierzy A po prawej lub lewej stronie przez nieosobliwą macierz kwadratową Q jest równy rządowi macierzy A.

Macierze wielomianowe

Definicja. Macierz wielomianowa lub -macierz to macierz prostokątna, której elementami są wielomiany w jednej zmiennej o współczynnikach liczbowych.

Transformacje elementarne można wykonywać na -macierzach. Obejmują one:

Permutacja dwóch rzędów (kolumn);

Mnożenie wiersza (kolumny) przez liczbę niezerową;

Dodanie do jednego wiersza (kolumny) innego wiersza (kolumny) pomnożonego przez dowolny wielomian.

Dwie macierze o tej samej wielkości nazywane są równoważnymi: jeśli możliwe jest przejście z macierzy do użycia skończonej liczby przekształceń elementarnych.

Przykład. Udowodnij równoważność macierzy

,

.

1. Zamień pierwszą i drugą kolumnę w macierzy:

.

2. Od drugiego wiersza odejmij pierwszy pomnożony przez ():

.

3. Pomnóż drugi rząd przez (-1) i zauważ, że

.

4. Odejmij od drugiej kolumny pierwszą, pomnożoną przez , otrzymujemy

.

Zbiór wszystkich macierzy o danych rozmiarach jest podzielony na nieprzecinające się klasy macierzy równoważnych. Macierze, które są sobie równoważne, tworzą jedną klasę, a nie równoważną - inną.

Każda klasa macierzy ekwiwalentnych charakteryzuje się macierzą kanoniczną, czyli normalną, o danych wymiarach.

Definicja. Kanoniczna lub normalna macierz wymiarów jest macierzą, która ma wielomiany na głównej przekątnej, gdzie p jest mniejszą z liczb m i n ( ), a wielomiany, które nie są równe zero, mają współczynniki wiodące równe 1, a każdy następny wielomian jest podzielny przez poprzedni. Wszystkie elementy poza główną przekątną mają wartość 0.

Z definicji wynika, że ​​jeśli wśród wielomianów są wielomiany stopnia zero, to znajdują się one na początku głównej przekątnej. Jeśli są zera, to są one na końcu głównej przekątnej.

Macierz z poprzedniego przykładu jest kanoniczna. Matryca

także kanoniczny.

Każda klasa -matrix zawiera unikalną -macierz kanoniczną, tj. każda macierz jest równoważna pojedynczej macierzy kanonicznej, która nazywa się formą kanoniczną lub formą normalną danej macierzy.

Wielomiany na głównej przekątnej postaci kanonicznej danej macierzy nazywane są czynnikami niezmienniczymi danej macierzy.

Jedną z metod obliczania czynników niezmienniczych jest sprowadzenie podanej macierzy do postaci kanonicznej.

Tak więc, dla macierzy z poprzedniego przykładu, niezmiennymi czynnikami są

Z tego, co zostało powiedziane wynika, że ​​obecność tego samego zbioru niezmienniczych czynników jest warunkiem koniecznym i wystarczającym równoważności macierzy -.

Redukcja -matryc do postaci kanonicznej sprowadza się do definicji czynników niezmiennych

, ; ,

gdzie r jest rządem macierzy; - największy wspólny dzielnik nieletnich k-tego rzędu, przyjęty z najwyższym współczynnikiem równym 1.

Przykład. Niech -macierz

.

Rozwiązanie. Oczywiście największy wspólny dzielnik pierwszego rzędu, czyli .

Definiujemy nieletnich drugiego rzędu:

,

itp.

Już te dane wystarczą, aby wyciągnąć wniosek: dlatego .

Definiujemy

,

W konsekwencji, .

Tak więc kanoniczna forma tej macierzy jest następująca -matryca:

.

Wielomian macierzy jest wyrazem postaci

gdzie jest zmienną; - macierze kwadratowe rzędu n z elementami liczbowymi.

Jeśli , to S nazywamy stopniem wielomianu macierzy, n jest rzędem wielomianu macierzy.

Każda macierz kwadratowa może być reprezentowana jako wielomian macierzy. Oczywiście prawdziwe jest również stwierdzenie odwrotne, tj. dowolny wielomian macierzy można przedstawić jako pewną macierz kwadratową.

Ważność tych stwierdzeń wyraźnie wynika z własności operacji na macierzach. Spójrzmy na następujące przykłady:

Przykład. Reprezentuj macierz wielomianową

w postaci wielomianu macierzy może mieć postać

.

Przykład. Wielomian macierzy

można przedstawić jako następującą macierz wielomianową ( -macierz)

.

Ta wymienność wielomianów macierzy i macierzy wielomianów odgrywa zasadniczą rolę w aparacie matematycznym metod analizy czynnikowej i składowej.

Wielomiany macierzy tego samego rzędu można dodawać, odejmować i mnożyć w taki sam sposób, jak zwykłe wielomiany ze współczynnikami liczbowymi. Należy jednak pamiętać, że mnożenie wielomianów macierzy generalnie nie jest przemienne, ponieważ mnożenie macierzy nie jest przemienne.

Dwa wielomiany macierzowe nazywane są równymi, jeśli ich współczynniki są równe, tj. odpowiednie macierze dla tych samych potęg zmiennej .

Suma (różnica) dwóch wielomianów macierzowych to taki wielomian macierzowy, którego współczynnik na każdym stopniu zmiennej jest równy sumie (różnicy) współczynników tego samego stopnia w wielomianach i .

Aby pomnożyć wielomian macierzy przez wielomian macierzy, należy pomnożyć każdy element wielomianu macierzy przez każdy element wielomianu macierzy, dodać otrzymane iloczyny i uzyskać podobne wyrazy.

Stopień wielomianu macierzy jest iloczynem mniejszym lub równym sumie stopni czynników.

Operacje na wielomianach macierzowych mogą być wykonywane przy użyciu operacji na odpowiednich -macierzach.

Aby dodać (odjąć) wielomiany macierzy, wystarczy dodać (odjąć) odpowiednie -macierze. To samo dotyczy mnożenia. -macierz iloczynu wielomianów macierzy jest równa iloczynowi -macierzy czynników.

Z drugiej strony i mogą być napisane w formie

gdzie B 0 jest macierzą nieosobliwą.

Przy dzieleniu przez istnieje jednoznacznie zdefiniowany iloraz prawicy i prawidłowa reszta

gdzie stopień R 1 jest mniejszy niż stopień , lub (dzielenie bez reszty), a także lewy iloraz i lewa reszta wtedy i tylko wtedy, gdy, gdzie, porządek

Rozważ dowolną, niekoniecznie kwadratową, macierz A o rozmiarze mxn.

Ranga macierzy.

Pojęcie rangi macierzy jest związane z pojęciem liniowej zależności (niezależności) wierszy (kolumn) macierzy. Rozważ tę koncepcję dla ciągów. W przypadku kolumn jest tak samo.

Oznaczmy zlewy macierzy A:

e 1 \u003d (11, 12, ..., 1n); e 2 \u003d (a 21, a 22, ..., a 2n); ..., e m \u003d (a m1, a m2, ..., a mn)

e k =e s jeśli a kj =a sj , j=1,2,…,n

Działania arytmetyczne nad wierszami macierzy (dodawanie, mnożenie przez liczbę) wprowadza się jako operacje wykonywane element po elemencie: λе k =(λа k1 ,λа k2 ,…,λа kn);

e k +e s =[(а k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(а kn +a sn)].

Linia e nazywa się kombinacja liniowa wiersze e 1 , e 2 ,…,e k , jeśli jest równa sumie iloczynów tych wierszy przez dowolne liczby rzeczywiste:

e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k

Linie e 1 , e 2 ,…,e m nazywamy liniowo zależne, jeśli istnieją liczby rzeczywiste λ 1 ,λ 2 ,…,λ m , nie wszystkie równe zeru, że kombinacja liniowa tych wierszy jest równa wierszowi zerowemu: λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ m mi m = 0 ,gdzie 0 =(0,0,…,0) (1)

Jeżeli kombinacja liniowa jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie współczynniki λ i są równe zeru (λ 1 =λ 2 =…=λ m =0), to wywoływane są wiersze e 1 , e 2 ,…,e m liniowo niezależny.

Twierdzenie 1. Aby ciągi e 1 ,e 2 ,…,e m były liniowo zależne, konieczne i wystarczające jest, aby jeden z tych ciągów był kombinacją liniową pozostałych.

Dowód. Potrzebować. Niech łańcuchy e 1 , e 2 ,…,e m będą liniowo zależne. Niech, dla pewności, (1) λm ≠0, to

To. ciąg e m jest kombinacją liniową pozostałych strun. Rozdz.

Adekwatność. Niech jeden z wierszy, na przykład e m , będzie kombinacją liniową pozostałych wierszy. Następnie są liczby takie, że zachodzi równość, które można przepisać jako ,

gdzie co najmniej 1 ze współczynników (-1) jest niezerowy. Tych. wiersze są zależne liniowo. Rozdz.

Definicja. Mniejsze k-te zamówienie macierz A o rozmiarze mxn nazywana jest wyznacznikiem k-tego rzędu z elementami leżącymi na przecięciu dowolnych k wierszy i dowolnych k kolumn macierzy A. (k≤min(m,n)). .

Przykład., nieletni 1. rzędu: =, =;

nieletni II rzędu: , III rzędu

Macierz trzeciego rzędu ma 9 drugorzędnych 1-go rzędu, 9 drugorzędnych drugorzędnych i 1 drugorzędnych 3-go rzędu (wyznacznik tej macierzy).

Definicja. Ranga macierzy A jest najwyższym rzędem niezerowych mniejszych w tej macierzy. Oznaczenie - rgA lub r(A).

Właściwości rang macierzy.

1) rząd macierzy A nxm nie przekracza najmniejszego z jej wymiarów, tj.

r(A)≤min(m,n).

2) r(A)=0 gdy wszystkie elementy macierzy są równe 0, tj. A=0.

3) Dla macierzy kwadratowej A n-tego rzędu, r(A)=n, gdy A jest niezdegenerowane.

(Ranga macierzy diagonalnej jest równa liczbie jej niezerowych elementów diagonalnych).

4) Jeżeli rząd macierzy wynosi r, to macierz ma co najmniej jedną małą rzędu r, która nie jest równa zero, a wszystkie drugorzędne wyższych rzędów są równe zeru.

Dla rang macierzy obowiązują następujące zależności:

2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min(r(A),r(B));

3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(ATA)=r(A);

5) r(AB)=r(A) jeśli B jest macierzą kwadratową nieosobliwą.

6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n, gdzie n jest liczbą kolumn macierzy A lub wierszy macierzy B.

Definicja. Niezerowy molowy rzędu r(A) nazywa się podstawowy małoletni. (Macierz A może mieć kilka podstawowych minorów). Wiersze i kolumny, na przecięciu których znajduje się podstawa, nazywamy odpowiednio linie bazowe oraz kolumny bazowe.

Twierdzenie 2 (o podstawowym moll). Podstawowe rzędy (kolumny) są liniowo niezależne. Dowolny wiersz (dowolna kolumna) macierzy A jest liniową kombinacją podstawowych wierszy (kolumn).

Dowód. (Dla strun). Gdyby podstawowe wiersze były liniowo zależne, to według Twierdzenia (1) jeden z tych wierszy byłby kombinacją liniową innych podstawowych wierszy, to bez zmiany wartości podstawowej pomocniczej można od tego wiersza odjąć podaną kombinację liniową i uzyskać wiersz zerowy, a to jest sprzeczne, ponieważ podstawa podrzędna jest różna od zera. To. rzędy bazowe są liniowo niezależne.

Udowodnijmy, że dowolny wiersz macierzy A jest kombinacją liniową wierszy podstawowych. Dlatego przy dowolnych zmianach w wierszach (kolumnach) wyznacznik zachowuje własność bycia równym zero, to bez utraty ogólności możemy założyć, że podstawa minor znajduje się w lewym górnym rogu macierzy

A=, tych. znajduje się w pierwszych r rzędach i pierwszych r kolumnach. Niech 1£j£n, 1£i£m. Pokażmy, że wyznacznik rzędu (r+1)

Jeśli j£r lub i£r, to wyznacznik ten jest równy zero, ponieważ będzie miał dwie identyczne kolumny lub dwa identyczne rzędy.

Jeśli j>r i i>r, to wyznacznik ten jest podrzędnym rzędu (r + 1) macierzy A. Ponieważ rang macierzy wynosi r, więc każdy mniejszy wyższego rzędu jest równy 0.

Rozszerzając go o elementy ostatniej (dodanej) kolumny, otrzymujemy

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0, gdzie ostatni dodatek algebraiczny A ij pokrywa się z podstawową podrzędną М r i dlatego A ij = М r ≠0.

Dzieląc ostatnią równość przez A ij , możemy wyrazić element a ij jako kombinację liniową: , gdzie .

Ustalamy wartość i (i>r) i otrzymujemy, że dla dowolnego j (j=1,2,…,n) elementy i-ta linia e i są wyrażane liniowo w postaci elementów wiersza e 1 , e 2 ,…,er , tj. i-ta linia jest kombinacją liniową podstawowych wierszy: . Rozdz.

Twierdzenie 3. (warunek konieczny i wystarczający, aby wyznacznik był równy zero). Aby wyznacznik n-tego rzędu D był równy zero, konieczne i wystarczające jest, aby jego wiersze (kolumny) były liniowo zależne.

Dowód (str.40). Potrzebować. Jeżeli wyznacznik n-tego rzędu D jest równy zero, to podstawa mniejsza jej macierzy jest rzędu r

Tak więc jeden rząd jest liniową kombinacją pozostałych. Następnie, według Twierdzenia 1, wiersze wyznacznika są liniowo zależne.

Adekwatność. Jeżeli wiersze D są zależne liniowo, to według Twierdzenia 1 jeden wiersz A i jest kombinacją liniową pozostałych wierszy. Odejmując wskazaną kombinację liniową od prostej A i, bez zmiany wartości D, otrzymujemy linię zerową. Zatem, przez właściwości wyznaczników, D=0. h.t.d.

Twierdzenie 4. Przy elementarnych przekształceniach ranga macierzy nie zmienia się.

Dowód. Jak pokazano, rozważając właściwości wyznaczników, podczas przekształcania macierzy kwadratowych ich wyznaczniki albo się nie zmieniają, albo są mnożone przez liczbę niezerową lub zmieniają znak. W tym przypadku zachowana jest najwyższa kolejność niezerowych drugorzędnych pierwotnej macierzy, tj. ranga macierzy się nie zmienia. Rozdz.

Jeśli r(A)=r(B), to A i B są odpowiednik: A~B.

Twierdzenie 5. Stosując przekształcenia elementarne można zredukować macierz do widok schodkowy. Matryca nazywa się schodkowy, jeśli ma postać:

А=, gdzie a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k.

Warunki r≤k zawsze można osiągnąć poprzez transpozycję.

Twierdzenie 6. Ranga macierzy schodkowej jest równa liczbie jej niezerowych wierszy .

Tych. Ranga macierzy schodkowej to r, ponieważ istnieje niezerowa molowa rzędu r:

Wynajmować

Kolumny macierzy wymiarów . Liniowa kombinacja kolumn macierzy nazywana jest macierzą kolumnową, natomiast - niektóre liczby rzeczywiste lub zespolone, zwane współczynniki kombinacji liniowej. Jeżeli w kombinacji liniowej przyjmiemy wszystkie współczynniki równe zeru, to kombinacja liniowa jest równa macierzy kolumnowej zerowej.

Kolumny macierzy nazywają się liniowo niezależny , jeśli ich kombinacja liniowa jest równa zeru tylko wtedy, gdy wszystkie współczynniki kombinacji liniowej są równe zeru. Kolumny macierzy nazywają się liniowo zależne , jeśli istnieje zbiór liczb , wśród których co najmniej jedna jest niezerowa, a kombinacja liniowa kolumn o tych współczynnikach jest równa zero

Podobnie można podać definicje zależności liniowej i niezależności liniowej wierszy macierzy. Poniżej wszystkie twierdzenia są formułowane dla kolumn macierzy.

Twierdzenie 5

Jeśli wśród kolumn macierzy jest zero, to kolumny macierzy są zależne liniowo.

Dowód. Rozważ kombinację liniową, w której wszystkie współczynniki są równe zeru dla wszystkich niezerowych kolumn i jeden dla kolumny zerowej. Jest równy zero, a wśród współczynników kombinacji liniowej jest jeden niezerowy. Dlatego kolumny macierzy są zależne liniowo.

Twierdzenie 6

Jeśli kolumny macierzy liniowo zależne, to wszystko kolumny macierzy są zależne liniowo.

Dowód. Dla jednoznaczności przyjmiemy, że pierwsze kolumny macierzy liniowo zależne. Wtedy, z definicji zależności liniowej, istnieje zbiór liczb , wśród których co najmniej jedna jest niezerowa, a kombinacja liniowa kolumn o tych współczynnikach jest równa zeru

Utwórz kombinację liniową wszystkich kolumn macierzy, w tym pozostałych kolumn o zerowych współczynnikach

Ale . Dlatego wszystkie kolumny macierzy są zależne liniowo.

Konsekwencja. Wśród liniowo niezależnych kolumn macierzy wszystkie są liniowo niezależne. (To twierdzenie można łatwo udowodnić poprzez sprzeczność.)

Twierdzenie 7

Aby kolumny z macierzą były zależne liniowo, konieczne i wystarczające jest, aby co najmniej jedna kolumna z macierzą była liniową kombinacją pozostałych.

Dowód.

Potrzebować. Niech kolumny macierzy będą zależne liniowo, to znaczy, że istnieje zbiór liczb , wśród których przynajmniej jedna jest różna od zera, a kombinacja liniowa kolumn o tych współczynnikach jest równa zeru

Załóżmy, że . Oznacza to, że pierwsza kolumna jest kombinacją liniową pozostałych.

Adekwatność. Niech przynajmniej jedna kolumna macierzy będzie kombinacją liniową pozostałych, na przykład , gdzie są jakieś liczby.

Wtedy , to znaczy, że kombinacja liniowa kolumn jest równa zero, a wśród liczb kombinacji liniowej co najmniej jeden (for ) jest niezerowy.

Niech rząd macierzy będzie równy . Każdy niezerowy mniejszy rzędu nazywa się podstawowy . Wiersze i kolumny, na przecięciu których znajduje się podstawowy drugorzędny, nazywane są podstawowy .

Pojęcia zależności liniowej i niezależności liniowej definiuje się w taki sam sposób dla wierszy i kolumn. Dlatego właściwości związane z tymi pojęciami, sformułowane dla kolumn, oczywiście obowiązują również dla wierszy.

1. Jeśli system kolumn zawiera kolumnę zerową, to jest on liniowo zależny.

2. Jeśli system kolumn ma dwie równe kolumny, jest on liniowo zależny.

3. Jeśli system kolumn ma dwie proporcjonalne kolumny, jest on liniowo zależny.

4. Układ kolumn jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z kolumn jest kombinacją liniową pozostałych.

5. Wszelkie kolumny zawarte w systemie liniowo niezależnym tworzą podsystem liniowo niezależny.

6. System kolumn zawierający podsystem liniowo zależny jest liniowo zależny.

7. Jeżeli układ kolumn jest liniowo niezależny, a po dodaniu do niego kolumny okazuje się, że jest liniowo zależny, to kolumnę można rozłożyć na kolumny, a ponadto w unikalny sposób, tj. współczynniki rozszerzalności znajdują się jednoznacznie.

Udowodnijmy na przykład ostatnią właściwość. Ponieważ system kolumn jest liniowo zależny, nie wszystkie liczby są równe 0, co

w tej równości. Rzeczywiście, jeśli , to

Stąd nietrywialna liniowa kombinacja kolumn jest równa kolumnie zerowej, co jest sprzeczne z liniową niezależnością systemu. Dlatego, a następnie t.j. kolumna to liniowa kombinacja kolumn. Pozostaje pokazać wyjątkowość takiego przedstawienia. Załóżmy odwrotnie. Niech będą dwa rozwinięcia i , a nie wszystkie współczynniki rozwinięcia są odpowiednio sobie równe (na przykład ). Następnie z równości

Otrzymujemy (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o

sekwencyjnie liniowa kombinacja kolumn równa się pustej kolumnie. Ponieważ nie wszystkie jego współczynniki są równe zeru (przynajmniej ), kombinacja ta jest nietrywialna, co przeczy warunku liniowej niezależności kolumn . Powstała sprzeczność potwierdza wyjątkowość rozkładu.

Przykład 3.2. Udowodnij, że dwie niezerowe kolumny i są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy są proporcjonalne, tj. .

Rozwiązanie. Rzeczywiście, jeśli kolumny i są liniowo zależne, to istnieją liczby , które nie są jednocześnie równe zeru, takie, że . I w tej równości. Rzeczywiście, zakładając, że otrzymujemy sprzeczność , ponieważ kolumna jest również niezerowa. Oznacza, . Dlatego istnieje liczba taka, że ​​. Potrzeba została udowodniona.

I odwrotnie, jeśli , to . Otrzymaliśmy nietrywialną kombinację liniową kolumn równą zerowej kolumnie. Tak więc kolumny są zależne liniowo.

Przykład 3.3. Rozważ wszystkie możliwe systemy utworzone z kolumn

Zbadaj każdy system pod kątem zależności liniowej.
Rozwiązanie. Rozważ pięć systemów zawierających po jednej kolumnie. Zgodnie z ust. 1 Uwag 3.1: układy są liniowo niezależne, a układ składający się z jednej kolumny zerowej jest liniowo zależny.

Rozważ systemy zawierające po dwie kolumny:

– każdy z czterech systemów i jest liniowo zależny, ponieważ zawiera kolumnę zerową (właściwość 1);

– system jest liniowo zależny, ponieważ kolumny są proporcjonalne (właściwość 3): ;

- każdy z pięciu systemów i jest liniowo niezależny, ponieważ kolumny są nieproporcjonalne (patrz zestawienie przykładu 3.2).

Rozważ systemy zawierające trzy kolumny:

– każdy z sześciu systemów i jest liniowo zależny, ponieważ zawiera kolumnę zerową (właściwość 1);

– systemy są liniowo zależne, ponieważ zawierają podsystem liniowo zależny (właściwość 6);

są systemami i są liniowo zależne, ponieważ ostatnia kolumna jest wyrażona liniowo jako reszta (właściwość 4): i odpowiednio.

Wreszcie systemy czterech lub pięciu kolumn są zależne liniowo (według właściwości 6).

Ranga macierzy

W tej sekcji rozważymy inną ważną cechę numeryczną macierzy, związaną z tym, jak bardzo jej wiersze (kolumny) są od siebie zależne.

Definicja 14.10 Niech będzie macierz rozmiarów i liczba nieprzekraczająca najmniejszej z liczb oraz : . Wybierzmy dowolnie wiersze i kolumny macierzy (numery rzędów mogą różnić się od numerów kolumn). Wyznacznik macierzy składającej się z elementów znajdujących się na przecięciu wybranych wierszy i kolumn nazywamy rzędem pomocniczym macierzy.

Przykład 14.9 Wynajmować .

Moll pierwszego rzędu to dowolny element macierzy. Więc 2, , są nieletnimi pierwszego rzędu.

Małoletni drugiego rzędu:

1. bierzemy rzędy 1, 2, kolumny 1, 2, otrzymujemy małoletni ;

2. weź rzędy 1, 3, kolumny 2, 4, otrzymujemy małoletni ;

3. weź rzędy 2, 3, kolumny 1, 4, otrzymujemy małoletni

Małoletni trzeciego rzędu:

wiersze tutaj można wybrać tylko w jeden sposób,

1. weź kolumny 1, 3, 4, zdobądź nieletniego ;

2. weź kolumny 1, 2, 3, zdobądź nieletniego .

Oferta 14.23 Jeżeli wszystkie drugorzędne macierzy rzędu są równe zero, to wszystkie drugorzędne rzędu , jeśli występują, również są równe zeru.

Dowód. Weź arbitralnie małoletniego porządku . To jest wyznacznik macierzy zamówień. Rozszerzmy to o pierwszą linię. Wtedy w każdym okresie rozwinięcia jeden z czynników będzie drugorzędny rzędu pierwotnej macierzy. Z założenia rząd drugorzędny jest równy zero. Dlatego rząd drugorzędny będzie również równy zero.

Definicja 14.11 Ranga macierzy jest największym z niezerowych rzędów podrzędnych macierzy. Rangę macierzy zerowej uważa się za zero.

Nie ma jednej, standardowej notacji dla rangi macierzy. Po samouczku będziemy się do niego odnosić jako .

Przykład 14.10 Macierz z przykładu 14.9 ma rangę 3, ponieważ istnieje niezerowy element drugorzędny trzeciego rzędu, ale nie ma drugorzędnych czwartego rzędu.

Ranga macierzy jest równy 1, ponieważ istnieje niezerowy element drugorzędny pierwszego rzędu (element macierzy), a wszystkie drugorzędne drugorzędne są równe zeru.

Rząd niezdegenerowanej macierzy porządku kwadratowego jest równy , ponieważ jej wyznacznikiem jest podrzędna macierz rzędu, a macierz niezdegenerowana jest niezerowa.

Oferta 14.24 Podczas transpozycji macierzy jej ranga się nie zmienia, to znaczy .

Dowód. Transponowana podrzędna macierzy oryginalnej będzie podrzędna transponowana macierzy , i odwrotnie, dowolna podrzędna jest transponowaną podrzędną macierzy oryginalnej . Przy transpozycji wyznacznik (mniejszy) nie ulega zmianie (Propozycja 14.6). Dlatego, jeśli wszystkie drugorzędne rzędu w oryginalnej macierzy są równe zeru, to wszystkie drugorzędne rzędu w są również równe zeru. Jeśli rząd drugorzędny w oryginalnej macierzy jest niezerowy, to istnieje niezerowy drugorzędny tego samego rzędu. W konsekwencji, .

Definicja 14.12 Niech rząd macierzy będzie równy . Wtedy każdy drugorzędny niezerowy rzędu nazywany jest podstawowym drugorzędnym.

Przykład 14.11 Wynajmować . Wyznacznikiem macierzy jest zero, ponieważ trzeci rząd jest równy sumie dwóch pierwszych. Drugorzędny drugorzędny, znajdujący się w pierwszych dwóch wierszach i pierwszych dwóch kolumnach, to . Dlatego ranga matrycy jest równa dwóm, a uznawana za drugorzędna jest podstawowa.

Podstawowym małoletnim jest także małoletni znajdujący się powiedzmy w pierwszym i trzecim wierszu, pierwszej i trzeciej kolumnie: . Podstawą będzie mała w drugim i trzecim rzędzie, w pierwszej i trzeciej kolumnie: .

Mała w pierwszym i drugim wierszu, druga i trzecia kolumna jest równa zeru i dlatego nie będzie podstawowa. Czytelnik może samodzielnie sprawdzić, które inne nieletnie dzieci drugiego rzędu są podstawowe, a które nie.

Ponieważ kolumny (wiersze) macierzy mogą być dodawane, pomnożone przez liczby, tworząc kombinacje liniowe, możliwe jest wprowadzenie definicji zależności liniowej i niezależności liniowej układu kolumn (wierszy) macierzy. Te definicje są podobne do tych samych definicji 10.14, 10.15 dla wektorów.

Definicja 14.13 Układ kolumn (wierszy) nazywamy liniowo zależnym, jeżeli istnieje taki zestaw współczynników, z których przynajmniej jeden jest niezerowy, że liniowa kombinacja kolumn (wierszy) z tymi współczynnikami będzie równa zeru.

Definicja 14.14 Układ kolumn (wierszy) jest liniowo niezależny, jeśli z równości do zera kombinacji liniowej tych kolumn (wierszy) wszystkie współczynniki tej kombinacji liniowej są równe zeru.

Poniższa propozycja, podobna do Propozycji 10.6, jest również prawdziwa.

Oferta 14.25 System kolumn (wierszy) jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z kolumn (jeden z wierszy) jest kombinacją liniową innych kolumn (wierszy) tego systemu.

Formułujemy twierdzenie o nazwie podstawowe drobne twierdzenie.

Twierdzenie 14.2 Każda kolumna macierzy jest liniową kombinacją kolumn przechodzących przez podstawę mniejszą.

Dowód można znaleźć w podręcznikach algebry liniowej, na przykład w,.

Oferta 14.26 Ranga macierzy jest równa maksymalnej liczbie jej kolumn tworzących system liniowo niezależny.

Dowód. Niech rząd macierzy będzie równy . Weźmy kolumny przechodzące przez podstawę minor. Załóżmy, że te kolumny tworzą system liniowo zależny. Wtedy jedna z kolumn jest liniową kombinacją pozostałych. Dlatego w podstawie pomocniczej jedna kolumna będzie liniową kombinacją pozostałych kolumn. Zgodnie z propozycjami 14.15 i 14.18 ta podstawowa drugorzędna musi być równa zero, co jest sprzeczne z definicją podstawowej drugorzędnej. Dlatego założenie, że kolumny przechodzące przez podstawę mniejszą są liniowo zależne, nie jest prawdziwe. Tak więc maksymalna liczba kolumn tworzących system liniowo niezależny jest większa lub równa .

Załóżmy, że kolumny tworzą liniowo niezależny system. Zróbmy z nich macierz. Wszystkie drugorzędne matryce są drugorzędnymi matrycami. Dlatego podstawa minor macierzy ma rząd co najwyżej . Zgodnie z twierdzeniem o podstawie mniejszej, kolumna, która nie przechodzi przez podstawę mniejszą macierzy, jest liniową kombinacją kolumn, które przechodzą przez podstawę mniejszą, to znaczy kolumny macierzy tworzą układ liniowo zależny. Jest to sprzeczne z wyborem kolumn tworzących macierz. Dlatego maksymalna liczba kolumn tworzących system liniowo niezależny nie może być większa niż . W związku z tym jest równy , jak stwierdzono.

Oferta 14.27 Ranga macierzy jest równa maksymalnej liczbie jej wierszy tworzących system liniowo niezależny.

Dowód. Zgodnie z twierdzeniem 14.24, rząd macierzy nie zmienia się po transpozycji. Wiersze macierzy stają się jej kolumnami. Maksymalna liczba nowych kolumn transponowanej macierzy (dawnych wierszy macierzystej) tworzących układ liniowo niezależny jest równa randze macierzy.

Oferta 14.28 Jeżeli wyznacznik macierzy jest równy zero, to jedna z jej kolumn (jeden z wierszy) jest kombinacją liniową pozostałych kolumn (wierszy).

Dowód. Niech kolejność macierzy będzie . Wyznacznik jest jedynym podrzędnym z macierzy kwadratowej, która ma porządek. Ponieważ jest równy zero, to . Dlatego układ kolumn (wierszy) jest liniowo zależny, czyli jedna z kolumn (jeden z wierszy) jest kombinacją liniową pozostałych.

Wyniki twierdzeń 14.15, 14.18 i 14.28 dają następujące twierdzenie.

Twierdzenie 14.3 Wyznacznikiem macierzy jest zero wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z jej kolumn (jeden z wierszy) jest kombinacją liniową pozostałych kolumn (wierszy).

Znalezienie rangi macierzy poprzez obliczenie wszystkich jej podrzędnych wymaga zbyt wiele pracy obliczeniowej. (Czytelnik może sprawdzić, czy w macierzy czwartego rzędu jest 36 nieletnich drugorzędnych.) Dlatego do znalezienia rangi używany jest inny algorytm. Aby to opisać, wymagane są dodatkowe informacje.

Definicja 14.15 Nazywamy na nich następujące operacje elementarnymi transformacjami macierzy:

1) permutacja wierszy lub kolumn;
2) pomnożenie wiersza lub kolumny przez liczbę niezerową;
3) dodanie do jednego z wierszy kolejnego wiersza pomnożonego przez liczbę lub dodanie do jednej z kolumn innej kolumny pomnożonej przez liczbę.

Oferta 14.29 Przy elementarnych przekształceniach ranga macierzy nie zmienia się.

Dowód. Niech rząd macierzy będzie równy , — macierz wynikająca z przekształcenia elementarnego.

Rozważ permutację ciągów. Niech będzie minor z macierzy , wtedy macierz ma minor , który albo pokrywa się z nią, albo różni się od niej permutacją wierszy. I odwrotnie, dowolna macierz podrzędna może być powiązana z macierzą podrzędną, która albo pokrywa się z nią, albo różni się od niej w kolejności wierszy. Dlatego z tego, że w macierzy wszystkie najmniejsze rzędu są równe zeru, wynika z tego, że w macierzy wszystkie najmniejsze tego rzędu są również równe zeru. A ponieważ macierz ma podrzędny niezerowy rząd, ma również podrzędny niezerowy rząd, tj. .

Rozważ pomnożenie ciągu przez liczbę niezerową. Pomniejsza z macierzy odpowiada drobnej z macierzy, która albo pokrywa się z nią, albo różni się od niej tylko jednym wierszem, który otrzymuje się z wiersza pomocniczego przez pomnożenie przez liczbę niezerową. W ostatnim przypadku. We wszystkich przypadkach lub i są jednocześnie równe zeru lub jednocześnie różne od zera. W konsekwencji, .