Suma postępu arytmetycznego.

Suma postępu arytmetycznego to prosta rzecz. Zarówno w znaczeniu, jak iw formule. Ale na ten temat jest wiele zadań. Od elementarnych do całkiem solidnych.

Najpierw zajmijmy się znaczeniem i formułą sumy. A potem zdecydujemy. Dla własnej przyjemności.) Znaczenie sumy jest tak proste, jak niskie. Aby znaleźć sumę postępu arytmetycznego, wystarczy ostrożnie dodać wszystkie jego elementy. Jeśli tych terminów jest niewiele, możesz je dodać bez żadnych formuł. Ale jeśli jest dużo, albo dużo… dodatek jest denerwujący.) W tym przypadku formuła oszczędza.

Wzór sumy jest prosty:

Zastanówmy się, jakie litery są zawarte w formule. To dużo wyjaśni.

S n jest sumą postępu arytmetycznego. Wynik dodawania wszystko członkowie, z pierwszy na ostatni. To jest ważne. Dodaj dokładnie wszystko członków w rzędzie, bez przerw i skoków. I dokładnie, zaczynając od pierwszy. W problemach, takich jak znalezienie sumy trzeciego i ósmego wyrazu lub sumy wyrazów od piątego do dwudziestego, bezpośrednie zastosowanie wzoru będzie rozczarowujące.)

1 - pierwszy członek progresji. Tutaj wszystko jest jasne, to proste pierwszy Numer wiersza.

jakiś- ostatni członek progresji. Ostatni numer rzędu. Niezbyt znana nazwa, ale po zastosowaniu do kwoty jest bardzo odpowiednia. Wtedy sam się przekonasz.

n to numer ostatniego członka. Ważne jest, aby zrozumieć, że w formule ta liczba zbiega się z liczbą dodanych członków.

Zdefiniujmy pojęcie ostatni członek jakiś. Wypełniające pytanie: jaki członek będzie ostatni, jeśli podano nieskończony postęp arytmetyczny?

Aby uzyskać pewną odpowiedź, musisz zrozumieć podstawowe znaczenie postępu arytmetycznego i ... uważnie przeczytać zadanie!)

W zadaniu znalezienia sumy postępu arytmetycznego zawsze pojawia się ostatni wyraz (bezpośrednio lub pośrednio), które powinny być ograniczone. W przeciwnym razie skończona, konkretna kwota po prostu nie istnieje. Dla rozwiązania nie ma znaczenia, jaki rodzaj progresji jest dany: skończony czy nieskończony. Nie ma znaczenia, jak to jest podane: przez szereg liczb, czy przez formułę n-tego członka.

Najważniejszą rzeczą jest zrozumienie, że formuła działa od pierwszego terminu progresji do terminu z liczbą n. Właściwie pełna nazwa formuły wygląda tak: suma pierwszych n członów postępu arytmetycznego. Liczba tych pierwszych członków, tj. n, zależy wyłącznie od zadania. W zadaniu wszystkie te cenne informacje są często zaszyfrowane, tak… Ale nic, w poniższych przykładach ujawnimy te tajemnice.)

Przykłady zadań na sumę postępu arytmetycznego.

Głównie, przydatna informacja:

Główną trudnością w zadaniach na sumę progresji arytmetycznej jest prawidłowe określenie elementów wzoru.

Autorzy zadań szyfrują te właśnie elementy bezgraniczną wyobraźnią.) Najważniejsze, żeby się nie bać. Rozumiejąc istotę żywiołów, wystarczy je rozszyfrować. Przyjrzyjmy się szczegółowo kilku przykładom. Zacznijmy od zadania opartego na prawdziwym GIA.

1. Postęp arytmetyczny określa warunek: a n = 2n-3,5. Znajdź sumę pierwszych 10 warunków.

Dobra robota. To proste.) Co musimy wiedzieć, aby określić kwotę zgodnie ze wzorem? Pierwszy członek 1, ostatni termin jakiś, tak numer ostatniego terminu n.

Skąd wziąć ostatni numer członkowski n? Tak, w tym samym miejscu, w stanie! Mówi znajdź sumę pierwszych 10 członków. Cóż, jaki to będzie numer ostatni, dziesiąty członek?) Nie uwierzysz, jego numer to dziesiąty!) Dlatego zamiast jakiś podstawimy do formuły 10, lecz n- dziesięć. Ponownie, liczba ostatniego członka jest taka sama jak liczba członków.

Pozostaje do ustalenia 1 oraz 10. Można to łatwo obliczyć za pomocą wzoru n-tego członu, który jest podany w opisie problemu. Nie wiesz jak to zrobić? Odwiedź poprzednią lekcję, bez tego - nic.

1= 2 1 - 3,5 = -1,5

10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Odkryliśmy znaczenie wszystkich elementów wzoru na sumę ciągu arytmetycznego. Pozostaje je zastąpić i policzyć:

To wszystko. Odpowiedź: 75.

Kolejne zadanie oparte na GIA. Nieco bardziej skomplikowane:

2. Mając ciąg arytmetyczny (a n), którego różnica wynosi 3,7; 1 \u003d 2,3. Znajdź sumę pierwszych 15 warunków.

Natychmiast piszemy formułę sumy:

Ta formuła pozwala nam znaleźć wartość dowolnego członka po jego liczbie. Poszukujemy prostego zamiennika:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Pozostaje zamienić wszystkie elementy we wzorze na sumę postępu arytmetycznego i obliczyć odpowiedź:

Odpowiedź: 423.

Nawiasem mówiąc, jeśli we wzorze sumy zamiast jakiś wystarczy zastąpić formułę n-tego członu, otrzymujemy:

Podajemy podobne, otrzymujemy nowy wzór na sumę członków postępu arytmetycznego:

Jak widać, nie ma takiej potrzeby n-ty członek jakiś. W niektórych zadaniach ta formuła bardzo pomaga, tak ... Możesz zapamiętać tę formułę. I możesz go po prostu wycofać w odpowiednim czasie, tak jak tutaj. W końcu wzór na sumę i wzór na n-ty termin należy zapamiętać pod każdym względem.)

Teraz zadanie w postaci krótkiego szyfrowania):

3. Znajdź sumę wszystkich dodatnich liczb dwucyfrowych, które są wielokrotnościami trzech.

Jak! Bez pierwszego członka, bez ostatniego, bez progresji... Jak żyć!?

Będziesz musiał myśleć głową i wyciągnąć z warunku wszystkie elementy sumy postępu arytmetycznego. Czym są liczby dwucyfrowe - wiemy. Składają się z dwóch liczb.) Jaka będzie liczba dwucyfrowa pierwszy? prawdopodobnie 10). Ostatnia rzecz dwucyfrowy numer? 99, oczywiście! Za nim pójdą trzycyfrowe...

Wielokrotność trzech... Hm... To są liczby, które można równomiernie podzielić przez trzy! Dziesięć nie jest podzielne przez trzy, 11 nie jest podzielne... 12... jest podzielne! Więc coś się pojawia. Możesz już napisać serię zgodnie ze stanem problemu:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Czy ta seria będzie postępem arytmetycznym? Oczywiście! Każdy termin różni się od poprzedniego ściśle o trzy. Jeśli do terminu zostanie dodane 2 lub 4, powiedzmy wynik, tj. nowa liczba nie będzie już dzielona przez 3. Możesz od razu określić różnicę postępu arytmetycznego do sterty: d = 3. Użyteczne!)

Możemy więc spokojnie zapisać kilka parametrów progresji:

Jaki będzie numer n ostatni członek? Każdy, kto myśli, że 99 jest fatalnie w błędzie… Liczby – idą zawsze w rzędzie, a nasi członkowie przeskakują nad pierwszą trójkę. Nie pasują.

Są tu dwa rozwiązania. Jednym ze sposobów jest super pracowity. Możesz namalować progresję, całą serię liczb i policzyć palcem liczbę wyrazów.) Drugi sposób jest dla zamyślonych. Musisz zapamiętać wzór na n-ty termin. Jeśli wzór zastosujemy do naszego problemu, otrzymamy, że 99 jest trzydziestym członkiem progresji. Tych. n = 30.

Patrzymy na wzór na sumę ciągu arytmetycznego:

Patrzymy i radujemy się.) Wyciągnęliśmy wszystko, co niezbędne do obliczenia kwoty ze stanu problemu:

1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

Pozostaje elementarna arytmetyka. Zastąp liczby we wzorze i oblicz:

Odpowiedź: 1665

Kolejny rodzaj popularnych łamigłówek:

4. Podaje się ciąg arytmetyczny:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Znajdź sumę terminów od dwudziestego do trzydziestego czwartego.

Patrzymy na formułę sumy i ... jesteśmy zdenerwowani.) Formuła, przypomnę, oblicza sumę od pierwszego członek. A w zadaniu musisz obliczyć sumę od dwudziestego... Formuła nie zadziała.

Można oczywiście pomalować całą progresję pod rząd i ustawić członków od 20 do 34. Ale… jakoś się to okazuje głupio i długo, prawda?)

Jest bardziej eleganckie rozwiązanie. Podzielmy naszą serię na dwie części. Pierwsza część będzie od pierwszego do dziewiętnastego terminu. Druga część - dwadzieścia do trzydziestu czterech. Oczywiste jest, że jeśli obliczymy sumę warunków pierwszej części S 1-19, dodajmy to do sumy członków drugiej części S 20-34 otrzymujemy sumę progresji od pierwszego semestru do trzydziestego czwartego S 1-34. Lubię to:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

To pokazuje, że aby znaleźć sumę S 20-34 można to zrobić przez proste odejmowanie

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Uwzględniane są obie sumy po prawej stronie od pierwszego członek, tj. standardowa formuła sumy ma do nich zastosowanie. Czy zaczynamy?

Parametry progresji wyodrębniamy z warunku zadania:

d = 1,5.

1= -21,5.

Aby obliczyć sumy pierwszych 19 i pierwszych 34 wyrazów, będziemy potrzebować 19 i 34 wyrazów. Liczymy je zgodnie ze wzorem n-tego członu, jak w zadaniu 2:

19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Nic nie zostało. Odejmij sumę 19 terminów od sumy 34 terminów:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Odpowiedź: 262,5

Jedna ważna uwaga! Istnieje bardzo przydatna funkcja w rozwiązaniu tego problemu. Zamiast bezpośredniej kalkulacji czego potrzebujesz (S 20-34), liczyliśmy co wydaje się, że nie jest potrzebne - S 1-19. A potem zdecydowali S 20-34, usuwając niepotrzebne z pełnego wyniku. Taka „zwód z uszami” często ratuje w złych zagadkach.)

W tej lekcji zbadaliśmy problemy, dla których wystarczy zrozumieć znaczenie sumy postępu arytmetycznego. Cóż, musisz znać kilka formuł.)

Praktyczne porady:

Rozwiązując jakikolwiek problem dla sumy postępu arytmetycznego, polecam od razu wypisać dwie główne formuły z tego tematu.

Formuła n-tego członka:

Te formuły od razu podpowiedzą, czego szukać, w jakim kierunku myśleć, aby rozwiązać problem. Pomaga.

A teraz zadania do samodzielnego rozwiązania.

5. Znajdź sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, które nie są podzielne przez trzy.

Fajnie?) Podpowiedź jest ukryta w notatce do problemu 4. Cóż, problem 3 pomoże.

6. Postęp arytmetyczny określa warunek: a 1 =-5,5; n+1 = n +0,5. Znajdź sumę pierwszych 24 warunków.

Niezwykłe?) To powtarzająca się formuła. Możesz o tym przeczytać w poprzedniej lekcji. Nie ignoruj ​​​​linku, takie łamigłówki często znajdują się w GIA.

7. Wasia zaoszczędziła pieniądze na Święta. Aż 4550 rubli! I postanowiłem podarować ukochanej osobie (sobie) kilka dni szczęścia). Żyj pięknie, nie odmawiając sobie niczego. Wydaj 500 rubli pierwszego dnia, a każdego kolejnego dnia wydaj 50 rubli więcej niż w poprzednim! Dopóki nie skończą się pieniądze. Ile dni szczęścia miała Wasia?

Czy to trudne?) Pomoże w tym dodatkowa formuła z zadania 2.

Odpowiedzi (w nieładzie): 7, 3240, 6.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Nawiasem mówiąc, mam dla ciebie kilka innych interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Odpowiadać: seria jest rozbieżna.

Przykład #3

Znajdź sumę szeregu $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.

Ponieważ dolna granica sumowania wynosi 1, wspólny wyraz szeregu zapisujemy pod znakiem sumy: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Skomponuj n-tą sumę częściową szeregu, tj. zsumuj pierwsze $n$ członków danego szeregu liczbowego:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Dlaczego piszę dokładnie $\frac(2)(3\cdot 5)$, a nie $\frac(2)(15)$, będzie jasne z dalszej narracji. Jednak zapisanie częściowej sumy nie zbliżyło nas ani na jotę do celu. W końcu musimy znaleźć $\lim_(n\to\infty)S_n$, ale jeśli tylko napiszemy:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

wtedy ten zapis, całkowicie poprawny w formie, nie da nam niczego w istocie. Aby znaleźć granicę, należy najpierw uprościć wyrażenie sumy częściowej.

Istnieje do tego standardowe przekształcenie, które polega na rozłożeniu ułamka $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, który reprezentuje wspólny wyraz szeregu, na ułamki elementarne. Osobny temat poświęcony jest zagadnieniu rozkładu ułamków wymiernych na elementarne (patrz na przykład przykład nr 3 na tej stronie). Rozszerzając ułamek $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ na ułamki elementarne otrzymujemy:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Zrównujemy liczniki ułamków po lewej i prawej stronie wynikowej równości:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

Istnieją dwa sposoby na znalezienie wartości $A$ i $B$. Możesz otworzyć nawiasy i zmienić kolejność terminów lub po prostu podstawić odpowiednie wartości zamiast $n$. Dla odmiany w tym przykładzie pójdziemy pierwszą drogą, a następną - podstawimy prywatne wartości $n$. Rozszerzając nawiasy i przestawiając terminy, otrzymujemy:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

Po lewej stronie równania $n$ jest poprzedzone zerem. Jeśli chcesz, lewa strona równości może być przedstawiona dla jasności jako $0\cdot n+ 2$. Ponieważ po lewej stronie równości $n$ jest poprzedzone zerem, a po prawej stronie równości $2A+2B$ poprzedza $n$, to mamy pierwsze równanie: $2A+2B=0$. Od razu dzielimy obie części tego równania przez 2, po czym otrzymujemy $A+B=0$.

Ponieważ wyraz wolny po lewej stronie równości jest równy 2, a po prawej stronie równości wyraz wolny jest równy 3$A+B$, to 3A+B=2$. Mamy więc system:

$$ \left\(\begin(aligned) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(aligned)\right. $$

Dowód zostanie przeprowadzony metodą indukcji matematycznej. W pierwszym kroku musimy sprawdzić, czy wymagana równość $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ jest zachowana dla $n=1$. Wiemy, że $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, ale czy wyrażenie $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ da wartość $\frac( 2 )(15)$ jeśli podstawione jest $n=1$? Sprawdźmy:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Zatem dla $n=1$ równość $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ jest spełniona. To kończy pierwszy krok metody indukcji matematycznej.

Załóżmy, że dla $n=k$ zachodzi równość, tj. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Udowodnijmy, że ta sama równość utrzyma się dla $n=k+1$. Aby to zrobić, rozważ $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

Ponieważ $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, to $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Zgodnie z powyższym założeniem $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, więc formuła $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ przyjmuje formularz:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Wniosek: formuła $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ jest prawdziwa dla $n=k+1$. Zatem zgodnie z metodą indukcji matematycznej formuła $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ jest prawdziwa dla każdego $n\in N$. Równość została udowodniona.

Na standardowym kursie matematyki wyższej zwykle zadowala się „usuwanie” terminów anulujących, bez konieczności dowodu. Więc mamy wyrażenie na n-ta częściowa sumy: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Znajdź wartość $\lim_(n\to\infty)S_n$:

Wniosek: dany szereg jest zbieżny i jego suma wynosi $S=\frac(1)(3)$.

Drugim sposobem jest uproszczenie wzoru na sumę częściową.

Szczerze mówiąc, sam wolę tę metodę :) Sumę cząstkową zapiszmy w formie skróconej:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Wcześniej otrzymaliśmy, że $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, czyli:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\lewo (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\prawo). $$

Suma $S_n$ zawiera skończoną liczbę terminów, więc możemy je dowolnie przestawiać. Chcę najpierw dodać wszystkie warunki formularza $\frac(1)(2k+1)$, a dopiero potem przejść do warunków formularza $\frac(1)(2k+3)$. Oznacza to, że sumę częściową przedstawimy w tej postaci:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

Oczywiście rozszerzona notacja jest wyjątkowo niewygodna, więc powyższą równość można zapisać bardziej zwięźle:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Teraz przekształcamy wyrażenia $\frac(1)(2k+1)$ i $\frac(1)(2k+3)$ do tej samej postaci. Myślę, że wygodnie jest, aby wyglądała na większą część (choć można użyć mniejszej, to kwestia gustu). Ponieważ $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (im większy mianownik, tym mniejszy ułamek), zmniejszymy ułamek $\frac(1)(2k+ 3) $ do postaci $\frac(1)(2k+1)$.

Wyrażenie w mianowniku ułamka $\frac(1)(2k+3)$ przedstawię w następujący sposób:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

A sumę $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ można teraz zapisać w następujący sposób:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Jeśli równość $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ nie rodzi pytań, przejdźmy dalej. Jeśli masz pytania, rozwiń notatkę.

Jak otrzymaliśmy przeliczoną kwotę? Pokaż ukryj

Mieliśmy szereg $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Wprowadźmy nową zmienną zamiast $k+1$ - na przykład $t$. Czyli $t=k+1$.

Jak zmieniła się stara zmienna $k$? I zmienił się z 1 na $n$. Zobaczmy, jak zmieni się nowa zmienna $t$. Jeśli $k=1$, to $t=1+1=2$. Jeśli $k=n$, to $t=n+1$. Zatem wyrażenie $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ ma teraz postać: $\sum\limits_(t=2)^(n + 1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$

Mamy sumę $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Pytanie: czy ma znaczenie, której litery użyć w tej sumie? :) Napisując na frazes literę $k$ zamiast $t$, otrzymujemy:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

Tak wygląda równość $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1) otrzymujemy \frac(1)(2k+1)$.

Zatem sumę częściową można przedstawić w następującej postaci:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1) ). $$

Zauważ, że sumy $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ i $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ różnią się jedynie granicami sumowania. Uczyńmy te ograniczenia takimi samymi. "Biorąc" pierwszy element z sumy $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ otrzymujemy:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

„Biorąc” ostatni element z sumy $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, otrzymujemy:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

Wtedy wyrażenie na sumę częściową przyjmie postać:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Jeśli pominiesz wszystkie wyjaśnienia, to proces znajdowania skróconej formuły dla n-tej sumy częściowej przybierze następującą postać:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Przypomnę, że zredukowaliśmy ułamek $\frac(1)(2k+3)$ do postaci $\frac(1)(2k+1)$. Oczywiście możesz zrobić odwrotnie, tj. reprezentuje ułamek $\frac(1)(2k+1)$ jako $\frac(1)(2k+3)$. Ostateczne wyrażenie sumy częściowej nie zmieni się. W takim przypadku ukryję proces znajdowania częściowej sumy pod notatką.

Jak znaleźć $S_n$, jeśli sprowadzisz do postaci inny ułamek? Pokaż ukryj

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). $$

Czyli $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Znajdź limit $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

Dany szereg jest zbieżny, a jego suma wynosi $S=\frac(1)(3)$.

Odpowiadać: $S=\frac(1)(3)$.

Kontynuacja tematu znajdowania sumy serii zostanie rozważona w drugiej i trzeciej części.

Zanim zaczniemy decydować problemy z postępem arytmetycznym, zastanów się, czym jest ciąg liczb, ponieważ postęp arytmetyczny jest szczególnym przypadkiem ciągu liczb.

Sekwencja liczb to zbiór liczb, którego każdy element ma swój własny numer seryjny . Elementy tego zbioru nazywane są członkami sekwencji. Numer porządkowy elementu sekwencji jest oznaczony indeksem:

Pierwszy element sekwencji;

Piąty element sekwencji;

- „n-ty” element ciągu, tj. element „stojący w kolejce” pod numerem n.

Istnieje zależność między wartością elementu sekwencji a jego liczbą porządkową. Dlatego możemy uznać ciąg za funkcję, której argumentem jest liczba porządkowa elementu ciągu. Innymi słowy, można powiedzieć, że ciąg jest funkcją argumentu naturalnego:

Sekwencję można określić na trzy sposoby:

1 . Sekwencję można określić za pomocą tabeli. W tym przypadku po prostu ustawiamy wartość każdego członka sekwencji.

Na przykład Ktoś postanowił zająć się zarządzaniem czasem osobistym i na początek policzyć w ciągu tygodnia, ile czasu spędza na VKontakte. Wypisując czas w tabeli otrzyma ciąg składający się z siedmiu elementów:

Pierwszy wiersz tabeli zawiera numer dnia tygodnia, drugi czas w minutach. Widzimy to, czyli w poniedziałek Ktoś spędził 125 minut na VKontakte, czyli w czwartek - 248 minut, a w piątek tylko 15.

2 . Sekwencję można określić za pomocą formuły n-tego elementu.

W tym przypadku zależność wartości elementu ciągu od jego liczby wyraża się bezpośrednio w postaci formuły.

Na przykład, jeśli , to

Aby znaleźć wartość elementu sekwencji o podanej liczbie, podstawiamy numer elementu do wzoru na n-ty element.

Robimy to samo, jeśli musimy znaleźć wartość funkcji, jeśli wartość argumentu jest znana. Zamiast tego podstawiamy wartość argumentu w równaniu funkcji:

Jeśli na przykład , następnie

Jeszcze raz zauważam, że w sekwencji, w przeciwieństwie do dowolnej funkcji numerycznej, argumentem może być tylko liczba naturalna.

3 . Sekwencję można określić za pomocą formuły wyrażającej zależność wartości elementu sekwencji o numerze n od wartości poprzednich elementów. W tym przypadku nie wystarczy znać tylko numer elementu sekwencji, aby znaleźć jego wartość. Musimy określić pierwszego członka lub kilka pierwszych członków sekwencji.

Rozważmy na przykład sekwencję ,

Możemy znaleźć wartości członków ciągu kolejno, począwszy od trzeciego:

Oznacza to, że za każdym razem, aby znaleźć wartość n-tego elementu ciągu, wracamy do dwóch poprzednich. Ten sposób sekwencjonowania nazywa się nawracający, od łacińskiego słowa powtarzać- Wróć.

Teraz możemy zdefiniować postęp arytmetyczny. Postęp arytmetyczny to prosty szczególny przypadek ciągu liczbowego.

Postęp arytmetyczny nazywany ciągiem liczbowym, którego każdy człon, począwszy od drugiego, jest równy poprzedniemu, dodanemu z tą samą liczbą.

Numer nazywa się różnica postępu arytmetycznego. Różnica postępu arytmetycznego może być dodatnia, ujemna lub zerowa.

Jeśli title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} wzrastający.

Na przykład 2; 5; osiem; jedenaście;...

Jeśli , to każdy wyraz postępu arytmetycznego jest mniejszy niż poprzedni, a postęp jest zanikający.

Na przykład 2; -jeden; -cztery; -7;...

Jeśli , to wszyscy członkowie progresji mają tę samą liczbę, a progresja jest stacjonarny.

Na przykład 2;2;2;2;...

Główna właściwość postępu arytmetycznego:

Spójrzmy na zdjęcie.

Widzimy to

, i w tym samym czasie

Dodając te dwie równości, otrzymujemy:

.

Podziel obie strony równania przez 2:

Tak więc każdy element ciągu arytmetycznego, począwszy od drugiego, jest równy średniej arytmetycznej dwóch sąsiednich:

Co więcej, ponieważ

, i w tym samym czasie

, następnie

, i stąd

Każdy element progresji arytmetycznej zaczynający się od title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

formuła członka.

Widzimy, że dla członków postępu arytmetycznego zachodzą następujące relacje:

i w końcu

Mamy formuła n-tego terminu.

WAŻNY! Każdy element progresji arytmetycznej może być wyrażony w postaci i . Znając pierwszy termin i różnicę postępu arytmetycznego, możesz znaleźć dowolnego z jego członków.

Suma n członków postępu arytmetycznego.

W dowolnym ciągu arytmetycznym sumy wyrazów równo oddalonych od skrajnych są sobie równe:

Rozważ postęp arytmetyczny z n członkami. Niech suma n członków tego progresji będzie równa .

Ułóż warunki progresji najpierw w kolejności rosnącej liczb, a następnie w kolejności malejącej:

Połączmy to:

Suma w każdym nawiasie to , liczba par to n.

Otrzymujemy:

Więc, sumę n członków ciągu arytmetycznego można znaleźć za pomocą wzorów:

Rozważać rozwiązywanie problemów z postępem arytmetycznym.

1 . Sekwencję określa wzór n-tego członu: . Udowodnij, że ten ciąg jest postępem arytmetycznym.

Udowodnijmy, że różnica między dwoma sąsiednimi członkami ciągu jest równa tej samej liczbie.

Otrzymaliśmy, że różnica dwóch sąsiednich elementów ciągu nie zależy od ich liczby i jest stała. Dlatego z definicji sekwencja ta jest postępem arytmetycznym.

2 . Biorąc pod uwagę postęp arytmetyczny -31; -27;...

a) Znajdź 31 warunków progresji.

b) Określ, czy liczba 41 jest uwzględniona w tej progresji.

a) Widzimy to ;

Zapiszmy wzór n-tego terminu na naszą progresję.

Ogólnie

W naszym przypadku , dlatego