Napięcie zwana intensywnością działania sił wewnętrznych w punkcie ciała, czyli naprężenie jest siłą wewnętrzną na jednostkę powierzchni. Ze swej natury naprężenia powstają na wewnętrznych powierzchniach styku części ciała. Naprężenie, a także intensywność obciążenia powierzchni zewnętrznej, wyraża się w jednostkach siły na jednostkę powierzchni: Pa \u003d N / m2 (MPa \u003d 106 N / m2, kgf / cm2 \u003d 98 066 Pa ≈ 10 5 Pa, tf / m2 itd.).

Wybierz mały obszar A. Siłę wewnętrzną na nią działającą oznaczamy jako ∆\vec(R). Całkowite średnie naprężenie w tym miejscu \vec(р) = ∆\vec(R)/∆A . Znajdźmy granicę tego stosunku przy ∆A \to 0 . Będzie to pełne napięcie w tym obszarze (punkcie) ciała.

\textstyle \vec(p) = \lim_(\Delta A \to 0) (\Delta\vec(R)\over \Delta A)

Całkowite naprężenie \vec p, jak również wypadkowa sił wewnętrznych przyłożonych do obszaru elementarnego, jest wielkością wektorową i można ją rozłożyć na dwie składowe: prostopadłe do rozpatrywanego obszaru - naprężenie normalne σ n i styczne do terenu - naprężenie ścinające \tau_n. Tutaj n jest normalną do wybranego obszaru .

Z kolei naprężenie ścinające można rozłożyć na dwie składowe równoległe do osi współrzędnych x, y, związane z przekrojem - \tau_(nx), \tau_(ny). W nazwie naprężenia ścinającego pierwszy indeks wskazuje normalną do terenu, drugi indeks wskazuje kierunek naprężenia ścinającego.

$$\vec(p) = \left[\matrix(\sigma _n \\ \tau _(nx) \\ \tau _(nx)) \right]$$

Zauważ, że poniżej zajmiemy się głównie nie całkowitym naprężeniem \vec p , ale jego składowymi σ_x,\tau _(xy), \tau _(xz) . W ogólnym przypadku na terenie mogą wystąpić dwa rodzaje naprężeń: normalne σ i styczne τ .

Tensor naprężeń

W analizie naprężeń w sąsiedztwie rozpatrywanego punktu, nieskończenie mały element objętościowy (równoległościan z bokami dx, dy, dz), na każdej powierzchni, na którą działają na ogół trzy naprężenia, na przykład dla powierzchni prostopadłej do osi x (miejsce x) - σ_x,\tau _(xy), \tau _(xz)

Składniki naprężeń wzdłuż trzech prostopadłych ścian elementu tworzą układ naprężeń opisany specjalną macierzą - Tensor naprężeń

$$ T _\sigma = \lewo[\matryca(
\sigma _x & \tau _(yx) & \tau _(zx) \\
\tau _(xy) & \sigma _y & \tau _(zy) \\ \tau _(xz) & \tau _(yz) & \sigma _z
)\prawo]$$

Tutaj pierwsza kolumna przedstawia składowe naprężeń na podkładkach,
normalna do osi x, druga i trzecia odpowiednio do osi y i z.

Podczas obracania osi współrzędnych pokrywających się z normalnymi do ścian wybranych
elementu, zmieniają się komponenty naprężenia. Obracając wybrany element wokół osi współrzędnych, można znaleźć takie położenie elementu, w którym wszystkie naprężenia ścinające na powierzchniach elementu są równe zeru.

Obszar, w którym naprężenia ścinające są równe zeru, nazywa się strona główna .

Normalny stres w głównym miejscu nazywa się główny nacisk

Normalna strona główna nazywa się główna oś naprężeń .

W każdym punkcie można narysować trzy wzajemnie prostopadłe platformy główne.

Gdy osie współrzędnych są obracane, komponenty naprężenia zmieniają się, ale stan naprężenia-odkształcenia ciała (SSS) nie ulega zmianie.

Siły wewnętrzne są wynikiem doprowadzenia do środka przekroju sił wewnętrznych przyłożonych do obszarów elementarnych. Naprężenia są miarą charakteryzującą rozkład sił wewnętrznych na przekroju.

Załóżmy, że znamy napięcie w każdym obszarze elementarnym. Następnie możesz napisać:

Siła wzdłużna na terenie dA: dN = σ z dA
Siła ścinająca wzdłuż osi x: dQ x = \tau (zx) dA
Siła ścinająca wzdłuż osi y: dQ y = \tau (zy) dA
Podstawowe chwile wokół osie x,y,z: $$\begin(array)(lcr) dM _x = σ _z dA \cdot y \\ dM _y = σ _z dA \cdot x \\ dM _z = dM _k = \tau _(zy) dA \cdot x - \tau _(zx) dA \cdot y \end(tablica)$$

Po scałkowaniu po powierzchni przekroju otrzymujemy:

Oznacza to, że każda siła wewnętrzna jest całkowitym wynikiem działania naprężeń na całym przekroju ciała.

Naprężenia charakteryzują się wartością liczbową i kierunkiem, tj. naprężenie jest wektorem nachylonym pod takim lub innym kątem do rozważanego przekroju.

Niech siła F działa w punkcie M dowolnej części ciała na jakimś małym obszarze A pod pewnym kątem do tego obszaru (ryc. 63, a). Dzieląc tę ​​siłę F przez obszar A, znajdujemy średnie naprężenie powstające w punkcie M (ryc. 63, b):

Rzeczywiste naprężenia w punkcie M są określane podczas przejścia do granicy

Wielkość wektorowa R nazywa pełne napięcie w punkcie.

pełne napięcie R można rozłożyć na składniki: wzdłuż normalnej (prostopadle) do miejsca A i stycznie do niego (ryc. 63, c).

Składnik naprężenia wzdłuż normalnej nazywa się naprężeniem normalnym w danym punkcie przekroju i jest oznaczony grecką literą (sigma); składowa styczna nazywana jest naprężeniem ścinającym i jest oznaczona grecką literą (tau).

Naprężenie normalne skierowane od przekroju jest uważane za dodatnie, skierowane w stronę przekroju - ujemne.

Naprężenia normalne powstają, gdy pod działaniem sił zewnętrznych cząstki znajdujące się po obu stronach przekroju mają tendencję do oddalania się od siebie lub zbliżania się do siebie. Naprężenia ścinające powstają, gdy cząstki mają tendencję do poruszania się względem siebie w płaszczyźnie przekroju.

Naprężenie ścinające można rozłożyć wzdłuż osi współrzędnych na dwa składniki i (ryc. 1.6, c). Pierwszy indeks pokazuje, która oś jest prostopadła do przekroju, drugi - równolegle do której osi działa naprężenie. Jeżeli kierunek naprężenia ścinającego nie ma znaczenia w obliczeniach, oznacza się go bez indeksów.

Istnieje związek między całkowitym napięciem a jego składowymi

Naprężenie, przy którym następuje zniszczenie materiału lub zauważalne odkształcenia plastyczne, nazywamy naprężeniem granicznym.

Naprężenie jest miarą rozkładu sił wewnętrznych w przekroju.

Gdzie
- wewnętrzna siła ujawniona na korcie
.

pełne napięcie
.

Naprężenie normalne — rzut całkowitego wektora naprężenia na normalną jest oznaczony przez σ.
, gdzie E jest modułem sprężystości pierwszego rodzaju, ε jest odkształceniem liniowym. Naprężenie normalne jest spowodowane jedynie zmianą długości włókien, kierunku ich działania, a kąt włókien poprzecznych i podłużnych nie jest zniekształcony.

Naprężenie ścinające - składowe naprężenia w płaszczyźnie przekroju.
, gdzie
(dla materiału izotropowego) - moduł ścinania (moduł sprężystości drugiego rodzaju), μ - współczynnik Poissona (=0,3), γ - kąt ścinania.

7. Prawo Hooke'a dla jednoosiowego stanu naprężenia w punkcie i prawo Hooke'a dla czystego ścinania. Moduły sprężystości pierwszego i drugiego rodzaju, ich znaczenie fizyczne, znaczenie matematyczne i interpretacja graficzna. Współczynnik Poissona.

- Prawo Hooke'a dla jednoosiowego stanu naprężenia w punkcie.

E to współczynnik proporcjonalności (moduł sprężystości pierwszego rodzaju). Moduł sprężystości jest stałą fizyczną materiału i jest wyznaczany doświadczalnie. Wartość E jest mierzona w tych samych jednostkach co σ, tj. w kg / cm2.

- Prawo Hooke'a dla zmiany.

G to moduł sprężystości poprzecznej (moduł sprężystości drugiego rodzaju). Wymiar modułu G jest taki sam jak modułu E, tj. kg / cm2.
.

μ to współczynnik Poissona (współczynnik proporcjonalności).
. Bezwymiarowa wartość charakteryzująca właściwości materiału i wyznaczona doświadczalnie mieści się w zakresie od 0,25 do 0,35 i nie może przekraczać 0,5 (dla materiału izotropowego).

8. Centralne rozciąganie (ściskanie) belki prostej. Wyznaczanie wewnętrznych sił podłużnych metodą przekroju. Zasada znaków dla wewnętrznych sił podłużnych. Podaj przykłady obliczeń wewnętrznych sił podłużnych.

Belka znajduje się w stanie centralnego rozciągania (ściskania), jeśli w jej przekrojach poprzecznych występują środkowe siły podłużne N z (tj. siła wewnętrzna, której linia działania jest skierowana wzdłuż osi z), a pozostałe 5 współczynników siły są równe zeru (Qx=Qy=Mx=My=Mz=0).

Reguła znakowa dla N z: rzeczywista siła rozciągająca - "+", rzeczywista siła ściskająca - "-".

9. Centralne rozciąganie (ściskanie) belki prostej. Stwierdzenie i rozwiązanie problemu wyznaczania naprężeń w przekrojach belki. Trzy strony problemu.

Stwierdzenie: Belka prosta wykonana z materiału jednorodnego, rozciągana (ściskana) przez centralne siły podłużne N. Wyznacz naprężenia występujące w przekrojach belki, odkształcenie i przemieszczenie przekrojów belki w zależności od współrzędnych z tych sekcji.

10. Centralne rozciąganie (ściskanie) belki prostej. Wyznaczanie odkształceń i przemieszczeń. Sztywność belki przy rozciąganiu (ściskaniu). Podaj przykłady odpowiednich obliczeń.

Naprężenie środkowe (ściskane) belki prostej, patrz pytanie 8.

.

Przy centralnym rozciąganiu (ściskaniu) belki w kierunku poprzecznym w przekroju występuje tylko naprężenie normalne σz, które jest stałe we wszystkich punktach przekroju i równe Nz /F.
, gdzie EF jest sztywnością belki przy rozciąganiu (ściskaniu). Im większa sztywność belki, tym mniej kulki odkształcają się przy tej samej sile. 1/(EF) – podatność belki przy rozciąganiu (ściskaniu).

11. Centralne rozciąganie (ściskanie) belki prostej. Układy statystycznie niewyznaczalne. Ujawnienie nieokreśloności statycznej. Wpływ temperatury i czynników montażowych. Podaj przykłady odpowiednich obliczeń.

Naprężenie środkowe (ściskane) belki prostej, patrz pytanie 8.

Jeżeli liczba liniowo niezależnych równań statyki jest mniejsza niż liczba niewiadomych wchodzących w skład układu tych równań, to problem wyznaczenia tych niewiadomych staje się statycznie nieokreślony.
(Jak długo jedna część się wydłuża, jak bardzo druga część się kurczy).

Warunki normalne - 20º C.
.f(σ,ε,tº,t)=0 – funkcjonalna zależność pomiędzy 4 parametrami.

12. Badania doświadczalne właściwości mechanicznych materiałów przy rozciąganiu (ściskaniu). Zasada Saint-Venanta. Przykładowy schemat rozciągania. Rozładunek i przeładunek. Hartowanie. Podstawowe właściwości mechaniczne, wytrzymałościowe i odkształceniowe materiału.

Właściwości mechaniczne materiałów są obliczane za pomocą maszyn testujących, które są dźwigniowe i hydrauliczne. W maszynie dźwigniowej siła wytwarzana jest za pomocą obciążenia działającego na próbkę poprzez układ dźwigni, aw maszynie hydraulicznej za pomocą ciśnienia hydraulicznego.

Zasada Saint-Venanta: Charakter rozkładu naprężeń w przekrojach dostatecznie oddalonych (praktycznie w odległościach równych charakterystycznemu wymiarowi poprzecznemu pręta) od miejsca przyłożenia obciążeń, siły wzdłużne nie zależą od sposobu ich przyłożenia siły, jeśli mają ten sam ekwiwalent statyczny. Jednak w strefie przyłożenia obciążeń prawo rozkładu naprężeń może znacznie różnić się od prawa rozkładu na dostatecznie oddalonych odcinkach.

Jeżeli próbka badana zostanie odciążona bez zerwania, to w procesie odciążania zależności między siłą P a wydłużeniem Δl próbka otrzyma wydłużenie szczątkowe.

Jeżeli próbka została obciążona w obszarze, w którym obserwuje się prawo Hooke'a, a następnie odciążona, to wydłużenie będzie czysto sprężyste. Przy wielokrotnym załadunku rozładunek pośredni zniknie.

Hartowanie (ciężka praca) to zjawisko zwiększania właściwości sprężystych materiału w wyniku wstępnego odkształcenia plastycznego.

Granica proporcjonalności to maksymalne naprężenie, do którego materiał jest zgodny z prawem Hooke'a.

Granica sprężystości to maksymalne naprężenie, do którego materiał nie otrzymuje odkształceń szczątkowych.

Naprężenie plastyczności to naprężenie, przy którym następuje wzrost odkształcenia bez zauważalnego wzrostu obciążenia.

Wytrzymałość na rozciąganie to maksymalne naprężenie, które próbka może wytrzymać bez pękania.

13. Fizyczna i warunkowa granica plastyczności materiałów podczas badania próbek na rozciąganie, wytrzymałość na rozciąganie. Dopuszczalne naprężenia przy obliczaniu wytrzymałości belki centralnie rozciąganej (ściskanej). Normatywne i rzeczywiste czynniki bezpieczeństwa. Podaj przykłady liczbowe.

W przypadkach, w których na wykresie nie ma jasno określonej granicy plastyczności, za granicę plastyczności przyjmuje się warunkowo wartość naprężenia, przy której odkształcenie resztkowe ε spoczynkowe = 0,002 lub 0,2%. W niektórych przypadkach ustalana jest granica ε reszta = 0,5%.

max|σz |=[σ].
,n>1(!) – normatywny współczynnik bezpieczeństwa.

- rzeczywisty współczynnik bezpieczeństwa.n>1(!).

14. Centralne rozciąganie (ściskanie) belki prostej. Obliczenia wytrzymałości i sztywności. stan wytrzymałości. Warunek sztywności. Trzy rodzaje problemów w obliczaniu wytrzymałości.

Naprężenie środkowe (ściskane) belki prostej, patrz pytanie 8.

max|σz | rozciąganie ≤[σ] rozciąganie;max|σ z | kompresja ≤[σ] kompresja.

15. Uogólnione prawo Hooke'a dla trójosiowego stanu naprężenia w punkcie. Względne odkształcenie objętościowe. Współczynnik Poissona i jego wartości graniczne dla jednorodnego materiału izotropowego.

,
,
. Dodając te równania otrzymujemy wyrażenie na odkształcenie objętościowe:
. To wyrażenie pozwala określić graniczną wartość współczynnika Poissona dla dowolnego materiału izotropowego. Rozważ przypadek, gdy σ x =σ y =σ z =р. W tym przypadku:
. Jeśli p jest dodatnie, wartość θ również musi być dodatnia; jeśli p jest ujemne, zmiana objętości będzie ujemna. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy μ≤1/2. Dlatego wartość współczynnika Poissona dla materiału izotropowego nie może przekraczać 0,5.

16. Związek między trzema stałymi sprężystości dla materiału izotropowego (bez wyprowadzania wzoru).

,
,
.

17. Badanie stanu naprężenie-odkształcenie w punktach prostoliniowej belki rozciąganej centralnie (ściskanej). Prawo parowania naprężeń stycznych.

,
.

- prawo parowania naprężeń stycznych.

18. Centralne naprężenie (ściskanie) pręta wykonanego z materiału liniowo elastycznego. Energia potencjalna odkształcenia sprężystego belki i jej związek z pracą zewnętrznych sił podłużnych przyłożonych do belki.

A=U+K. (W wyniku pracy kumuluje się energia potencjalna zdeformowanego ciała U, dodatkowo praca idzie na przyspieszenie masy ciała, czyli zamienia się na energię kinetyczną).

Jeżeli centralne naprężenie (ściskanie) belki wykonanej z liniowo elastycznego materiału odbywa się bardzo wolno, to prędkość ruchu środka masy ciała będzie bardzo mała. Taki proces ładowania nazywa się statycznym. Ciało jest zawsze w stanie równowagi. W tym przypadku A=U, a praca sił zewnętrznych jest całkowicie przeliczana na energię potencjalną odkształcenia.
,
,
.

Naprężenie wytworzone w ciele stałym przez obciążenia zewnętrzne jest miarą (wymiarem siły na jednostkę powierzchni) natężenia sił wewnętrznych działających od jednej mentalnie odciętej części ciała do drugiej pozostałej (metoda przekroju). Obciążenia zewnętrzne powodują deformację nadwozia, tj. zmieniając jego rozmiar i kształt. W zakresie wytrzymałości materiałów badane są zależności pomiędzy obciążeniami, naprężeniami i odkształceniami, a badania prowadzone są z jednej strony poprzez matematyczne wyprowadzenie wzorów odnoszących obciążenia do naprężeń i odkształceń, które powodują, a z drugiej eksperymentalne wyznaczanie charakterystyk materiałów stosowanych w budynkach i maszynach. Zobacz też WŁAŚCIWOŚCI MECHANICZNE ; BADANIE METALU. Zgodnie ze znalezionymi wzorami, biorąc pod uwagę wyniki badań materiałów, obliczane są wymiary elementów budynków i maszyn, które zapewniają wytrzymałość na określone obciążenia. Siła materiałów nie należy do nauk ścisłych, ponieważ wiele jej wzorów wywodzi się z założeń dotyczących zachowania materiałów, które nie zawsze są dokładnie spełnione. Jednak za ich pomocą kompetentny inżynier może tworzyć niezawodne i ekonomiczne projekty.

Matematyczna teoria sprężystości jest ściśle związana z wytrzymałością materiałów, która uwzględnia również naprężenia i odkształcenia. Pozwala rozwiązać te problemy, które są trudne do rozwiązania konwencjonalnymi metodami wytrzymałości materiałów. Nie ma jednak wyraźnej granicy między wytrzymałością materiałów a teorią sprężystości. Chociaż prawie wszystkie problemy z rozkładem naprężeń zostały rozwiązane metodami analizy matematycznej, przy czym trudne warunki rozwiązania te wymagają żmudnych obliczeń. I wtedy na ratunek przychodzą eksperymentalne metody analizy stresu.

STRES I WYSIŁEK

Rodzaje naprężeń.

Najważniejszym pojęciem w wytrzymałości materiałów jest pojęcie naprężenia jako siły działającej na niewielką powierzchnię i związanej z obszarem tego obszaru. Istnieją trzy rodzaje naprężeń: rozciąganie, ściskanie i ścinanie.

Jeśli ładunek jest zawieszony na metalowym pręcie, jak pokazano na ryc. jeden, a, wtedy taki pręt nazywa się rozciągniętym lub pracującym w napięciu. Napięcie S stworzony siłą P w cięgnie o polu przekroju równym A, jest dany przez S = P/A. Jeżeli ciężar ładunku wynosi 50 000 N, to siła rozciągająca również wynosi 50 000 N. Ponadto, jeśli szerokość pręta wynosi 0,05 m, a grubość 0,02 m, tak że powierzchnia przekroju wynosi 0,001 m 2, to naprężenie rozciągające wynosi 50 000 / 0,001 \u003d 50 000 000 N / m2 \u003d 50 MPa. Napinany pręt jest dłuższy niż przed przyłożeniem sił rozciągających.

Rozważ krótki cylinder (ryc. 1, b), na górnym końcu, na którym umieszczany jest ładunek. W takim przypadku na wszystkich przekrojach cylindra działają naprężenia ściskające. Jeżeli naprężenie jest równomiernie rozłożone na całym przekroju, to wzór jest ważny S = P/A. Ściśnięty cylinder jest krótszy niż przy braku odkształceń.

Naprężenie ścinające występuje np. w śrubie (rys. 2, a), na którym napinany pręt opiera się swoim górnym końcem AB przy obciążeniu 50 000 N (rys. 1, a). Śruba trzyma pręt, działając siłą 50 000 N skierowaną w górę na tę część pręta, która znajduje się bezpośrednio nad otworem w pręcie, a pręt z kolei naciska z siłą na środkową część śruby 50 000 N. Siły działające na śrubę przykładane są jak pokazano na rys. 2, b. Gdyby śruba była wykonana z materiału o małej wytrzymałości na ścinanie, takiego jak ołów, to byłaby ścinana w dwóch płaszczyznach pionowych (rys. 2, w). Jeżeli śruba jest stalowa i ma dostatecznie dużą średnicę, to nie będzie się ścinać, ale w jej dwóch pionowych przekrojach wystąpią naprężenia ścinające. Jeżeli naprężenia ścinające są rozłożone równomiernie, to są one podane wzorem S = P/A. Całkowita siła ścinająca działająca w każdym z przekrojów wynosi 25 000 N, a jeśli średnica śruby wynosi 0,02 m (powierzchnia przekroju wynosi około 0,0003 m 2), to naprężenie ścinające SS wyniesie 25 000 N / 0,0003 m 2 , tj. nieco ponad 80 MPa.

Naprężenia rozciągające i ściskające są skierowane wzdłuż normalnej (tj. wzdłuż prostopadłej) do miejsca, w którym działają, a naprężenie ścinające jest równoległe do miejsca. Dlatego naprężenia rozciągające i ściskające nazywane są normalnymi, a naprężenia ścinające nazywane są stycznymi.

Odkształcenie.

Odkształcenie to zmiana wielkości ciała pod wpływem przyłożonych do niego obciążeń. Deformacja odniesiona do pełnego rozmiaru nazywana jest względną. Jeśli zmiana w każdym małym elemencie długości ciała jest taka sama, wówczas nazywa się względną deformację jednolitą. Odkształcenie względne jest często oznaczane symbolem d, a pełny - symbol D. Jeżeli odkształcenie względne jest stałe na całej długości L, następnie d= D/ L. Na przykład, jeśli długość pręta stalowego przed przyłożeniem obciążenia rozciągającego wynosi 2,00 m, a po obciążeniu 2,0015 m, to całkowite odkształcenie D wynosi 0,0015 m, a względna d= 0,0015/2,00 = 0,00075 (m/m).

Dla prawie wszystkich materiałów stosowanych w budynkach i maszynach odkształcenie względne jest proporcjonalne do naprężeń, aż do przekroczenia tzw. granica proporcjonalności. Ten bardzo ważny związek nazywa się prawem Hooke'a. Został eksperymentalnie założony i opracowany w 1678 roku przez angielskiego wynalazcę i zegarmistrza R. Hooke'a. Ten związek między naprężeniem a odkształceniem dla dowolnego materiału jest wyrażony wzorem S = Ed, gdzie mi jest stałym czynnikiem charakteryzującym materiał. Czynnik ten nazywany jest modułem Younga od T. Younga, który wprowadził go w 1802 r., lub modułem sprężystości. Spośród konwencjonalnych materiałów konstrukcyjnych stal ma najwyższy moduł sprężystości; jest to około 200 000 MPa. W pręcie stalowym odkształcenie względne 0,00075 z poprzedniego przykładu jest spowodowane naprężeniem S = Ed\u003d 200 000 ґ 0,00075 \u003d 150 MPa, czyli mniej niż granica proporcjonalności stali konstrukcyjnej. Gdyby pręt był wykonany z aluminium o module sprężystości około 70 000 MPa, naprężenie nieco ponad 50 MPa wystarczyłoby do wywołania takiej samej deformacji 0,00075. Z tego co zostało powiedziane jasno wynika, że ​​odkształcenia sprężyste w konstrukcjach i maszynach są bardzo małe. Nawet przy stosunkowo dużym naprężeniu 150 MPa z powyższego przykładu, względne odkształcenie stalowego pręta nie przekracza jednej tysięcznej. Tak wysoka sztywność stali to jej cenna jakość.

Aby zobrazować odkształcenie ścinające, rozważ na przykład prostokątny pryzmat ABCD(rys. 3). Jego dolny koniec jest sztywno osadzony w solidnej podstawie. Jeśli na pryzmat działa pozioma siła zewnętrzna F, powoduje to deformację ścinającą pokazaną liniami przerywanymi. Przemieszczenie D to całkowite odkształcenie na długości (wysokość) L. Względne odkształcenie ścinające d jest równy D/ L. W przypadku odkształcenia ścinającego spełnione jest również prawo Hooke'a, pod warunkiem, że naprężenie nie przekracza granicy proporcjonalności ścinania. W konsekwencji, SS = E s d, gdzie E s jest modułem ścinania. Dla dowolnego materiału wartość E s mniej mi. W przypadku stali jest to około 2/5 mi, tj. około 80 000 MPa. Ważnym przypadkiem odkształcenia ścinającego jest odkształcenie w wałach poddanych zewnętrznym momentom skręcającym.

Powyżej mówiliśmy o odkształceniach sprężystych, które są powodowane przez naprężenia, które nie przekraczają granicy proporcjonalności. Jeśli naprężenie przekroczy granicę proporcjonalności, odkształcenie zaczyna rosnąć szybciej niż naprężenie. Prawo Hooke'a przestaje być sprawiedliwe. W przypadku stali konstrukcyjnej w obszarze tuż powyżej granicy proporcjonalności niewielki wzrost naprężenia prowadzi do wzrostu odkształcenia wielokrotnie większego niż odkształcenie odpowiadające granicy proporcjonalności. Naprężenie, przy którym zaczyna się tak szybki wzrost odkształcenia, nazywamy granicą plastyczności. Materiał, w którym pęknięcie poprzedzone jest dużym odkształceniem niesprężystym, nazywany jest plastycznym.

DOPUSZCZALNE NAPIĘCIE

Dopuszczalne (dopuszczalne) naprężenie to wartość naprężenia, która jest uważana za maksymalną dopuszczalną przy obliczaniu wymiarów przekroju elementu, obliczoną dla danego obciążenia. Możemy mówić o dopuszczalnych naprężeniach rozciągających, ściskających i ścinających. Dopuszczalne naprężenia są albo określane przez właściwy organ (powiedzmy wydział mostów nadzorów kolejowych), albo są wybierane przez projektanta, który dobrze zna właściwości materiału i warunki jego użytkowania. Dopuszczalne naprężenia ograniczają maksymalne naprężenia eksploatacyjne konstrukcji.

Przy projektowaniu konstrukcji celem jest stworzenie konstrukcji, która będąc niezawodna, a jednocześnie niezwykle lekka i ekonomiczna. Niezawodność zapewnia fakt, że każdy element ma takie wymiary, przy których maksymalne naprężenie robocze w nim będzie w pewnym stopniu mniejsze niż naprężenie, które powoduje utratę wytrzymałości tego elementu. Utrata siły niekoniecznie oznacza porażkę. Uznaje się, że maszyna lub konstrukcja budynku uległa awarii, gdy nie mogą w sposób zadowalający wykonywać swojej funkcji. Część wykonana z tworzywa sztucznego z reguły traci wytrzymałość, gdy naprężenie w niej osiąga granicę plastyczności, ponieważ w tym przypadku z powodu zbyt dużego odkształcenia części maszyna lub konstrukcja przestają nadawać się do jej przeznaczenia. Jeśli część jest wykonana z kruchego materiału, to prawie się nie odkształca, a jej utrata wytrzymałości zbiega się z jej zniszczeniem.

Margines bezpieczeństwa.

Różnica pomiędzy naprężeniem, przy którym materiał traci wytrzymałość, a naprężeniem dopuszczalnym, to „margines bezpieczeństwa”, który należy uwzględnić, biorąc pod uwagę możliwość przypadkowego przeciążenia, niedokładności obliczeniowe związane z założeniami upraszczającymi oraz niepewne warunki, obecność niewykrytych (lub niewykrywalnych) wad materiałowych, a następnie spadku wytrzymałości z powodu korozji metalu, gnicia drewna itp.

współczynnik zapasu.

Współczynnik bezpieczeństwa dowolnego elementu konstrukcyjnego jest równy stosunkowi obciążenia niszczącego, które powoduje utratę wytrzymałości elementu, do obciążenia, które tworzy dopuszczalne naprężenie. W tym przypadku utratę wytrzymałości rozumie się nie tylko jako zniszczenie elementu, ale także pojawienie się w nim odkształceń szczątkowych. Dlatego dla elementu konstrukcyjnego wykonanego z tworzywa sztucznego naprężeniem ostatecznym jest granica plastyczności. W większości przypadków naprężenia robocze w elementach konstrukcyjnych są proporcjonalne do obciążeń, dlatego współczynnik bezpieczeństwa definiuje się jako stosunek wytrzymałości granicznej do naprężenia dopuszczalnego (współczynnik bezpieczeństwa dla wytrzymałości końcowej). Jeśli więc wytrzymałość na rozciąganie stali konstrukcyjnej wynosi 540 MPa, a dopuszczalne naprężenie 180 MPa, to współczynnik bezpieczeństwa wynosi 3.

JEDNOLITY ROZKŁAD NAPIĘCIA

W wytrzymałości materiałów dużą wagę przywiązuje się do wyprowadzenia zależności między danymi obciążeniami, wymiarami i kształtem elementu konstrukcyjnego, który przenosi te obciążenia lub opiera się im, oraz naprężeniom, które powstają w niektórych odcinkach elementu konstrukcyjnego. Z reguły celem obliczeń jest znalezienie wymaganych wymiarów elementu, przy których maksymalne naprężenie robocze w nim nie przekroczy dopuszczalnego.

W podstawowym kursie dotyczącym wytrzymałości materiałów rozważa się szereg typowych przypadków równomiernego rozkładu naprężeń: pręty naciągowe, pręty ściskane krótkie, cylindry cienkościenne pracujące pod ciśnieniem wewnętrznym (kotły i zbiorniki), połączenia nitowane i spawane, naprężenia termiczne i takie statycznie niewyznaczalne układy, jak pręty napinające z kilku różnych materiałów.

Jeżeli naprężenie jest takie samo we wszystkich punktach przekroju, to S = P/A. Projektant znajduje wymaganą powierzchnię przekroju dzieląc dane obciążenie przez dopuszczalne naprężenie. Trzeba jednak umieć odróżnić przypadki, w których naprężenie jest rzeczywiście równomiernie rozłożone od innych podobnych przypadków, w których tak nie jest. Konieczne jest również (podobnie jak w problemie połączeń nitowanych, w których występują naprężenia i rozciągania oraz ściskania i ścinania) znalezienie płaszczyzn, w których działają naprężenia różnego rodzaju oraz wyznaczenie maksymalnych naprężeń lokalnych.

Cienkościenny cylinder.

Taki zbiornik ulega awarii (pęka), gdy naprężenie rozciągające w jego powłoce staje się równe wytrzymałości materiału na rozciąganie. Wzór odnoszący się do grubości ściany t, średnica wewnętrzna zbiornika D, Napięcie S i ciśnienie wewnętrzne R, można wyprowadzić, rozpatrując warunki równowagi dla pierścienia wyciętego z jego powłoki przez dwie poprzeczne płaszczyzny oddzielone odległością L(ryc. 4, a). Ciśnienie wewnętrzne działa na wewnętrzną powierzchnię półpierścienia z siłą skierowaną do góry równą produktowi RDL, a naprężenia w dwóch poziomych odcinkach końcowych półokręgu tworzą dwie siły skierowane w dół, z których każda jest równa tLS. Zrównanie, otrzymujemy

RDL = 2tLS, gdzie S = R & D/2t.

Połączenie nitowe.

Na ryc. cztery, b przedstawiono podwójnie nitowane połączenie dwóch listew z zakładką. Takie połączenie może zawieść z powodu przecięcia obu nitów, rozerwania jednego z pasków w miejscu osłabienia przez otwór nitu lub Wysokie napięcie zwinąć wzdłuż obszaru styku nitu z paskiem. Naprężenie zgniatające w połączeniu nitowym jest obliczane jako obciążenie na nit podzielone przez średnicę nitu i grubość taśmy. Dopuszczalne obciążenie takiego połączenia to najmniejsze z obciążeń odpowiadające dopuszczalnym naprężeniom trzech wskazanych typów.

Ogólnie rzecz biorąc, naprężenia działające w przekroju naprężonego lub krótko ściskanego pręta można słusznie uznać za równomiernie rozłożone, jeśli przyłożone zostaną obciążenia równe i przeciwnie skierowane, tak że wypadkowa każdego z nich przechodzi przez środek ciężkości rozpatrywanego przekroju . Należy jednak pamiętać, że szereg problemów (w tym problem naprężeń zgniatających w połączeniu nitowanym) rozwiązuje się przy założeniu równomiernego rozkładu naprężeń, choć oczywiście nie jest to prawdą. Dopuszczalność takiego podejścia jest testowana eksperymentalnie.

JEDNOLITY ROZKŁAD NAPIĘCIA

Wiele elementów budowlanych i części maszyn jest obciążonych w taki sposób, że naprężenia we wszystkich ich przekrojach są nierównomiernie rozłożone. Aby wyprowadzić wzory do obliczania naprężeń w takich warunkach, przetnij mentalnie element płaszczyzną, która daje pożądany przekrój na dwie części i rozważ warunki równowagi dla jednej z nich. Na tę część oddziałuje jedna lub więcej określonych sił zewnętrznych, a także siły równoważne naprężeniom w danym przekroju. Naprężenia robocze muszą spełniać warunki równowagi i odpowiadać odkształceniom. Te dwa wymagania stanowią podstawę do rozwiązania problemu. Drugi z nich sugeruje ważność prawa Hooke'a. Typowymi elementami o nierównomiernym rozkładzie naprężeń są belki obciążone, wały poddane siłom skręcającym, pręty rozciągane lub ściskane z dodatkowym zginaniem oraz słupy.

BELKI.

Belka to długi pręt z podporami i obciążeniami, pracujący głównie przy zginaniu. Przekrój belki jest zwykle taki sam na całej jej długości. Siły, z którymi podpory działają na belkę, nazywane są reakcjami podpór. Najczęściej spotykane są dwa rodzaje belek: wspornikowe (rys. 5, a) oraz belkę z dwoma podporami, zwaną prostą (rys. 5, b). Pod działaniem obciążeń belka ugina się. Jednocześnie „włókna” na jego górnej stronie są zredukowane, a na dolnej wydłużone. Oczywistym jest, że gdzieś pomiędzy górną i dolną stroną belki znajduje się cienka warstwa, której długość się nie zmienia. Nazywa się to warstwą neutralną. Zmiana długości światłowodu znajdującego się pomiędzy górną (lub dolną) stroną wiązki a jej warstwą neutralną jest proporcjonalna do odległości od warstwy neutralnej. Jeśli prawo Hooke'a jest poprawne, to naprężenia są również proporcjonalne do tej odległości.

Formuła krzywej.

Na podstawie określonego rozkładu naprężeń, uzupełnionego o warunki statyczne, tzw. wzór na zginanie, w którym naprężenie wyrażane jest w postaci obciążeń i wymiarów belki. Jest zwykle przedstawiany w formie S = Mc/I, gdzie S to maksymalne naprężenie w rozpatrywanym przekroju, c to odległość od warstwy neutralnej do najbardziej obciążonego włókna, M- moment zginający równy sumie momentów wszystkich sił działających po jednej stronie tego przekroju, oraz I- moment bezwładności przekroju (pewna funkcja kształtu i wymiarów tego ostatniego). Charakter zmiany naprężeń normalnych w przekroju belki pokazano na ryc. 6.

Naprężenia ścinające działają również w przekrojach belek. Są one spowodowane wypadkową wszystkich sił pionowych przyłożonych po jednej stronie przekroju belki poziomej. Suma wszystkich sił zewnętrznych i reakcji działających na jedną z dwóch części belki nazywana jest ścinaniem w przekroju belki i jest zwykle oznaczana przez V. Naprężenia ścinające są nierównomiernie rozłożone na przekroju: są równe zeru na górnej i dolnej krawędzi przekroju i prawie zawsze są maksymalne w warstwie neutralnej.

Ugięcie belki.

Często wymagane jest obliczenie ugięcia belki spowodowanego działaniem obciążenia, tj. przesunięcie pionowe punktu leżącego w warstwie neutralnej. Jest to bardzo ważne zadanie, gdyż ugięcie i krzywiznę belki trzeba znać przy rozwiązywaniu problemów związanych z szerokim zakresem tzw. układy statycznie niewyznaczalne.

Już w 1757 L. Euler wyprowadził wzór na krzywiznę zakrzywionej belki. W tym wzorze krzywizna belki jest wyrażona w postaci zmiennego momentu zginającego. Aby znaleźć rzędną krzywej sprężystej (ugięcia), konieczne jest wzięcie całki podwójnej. W 1868 roku O.Mohr (Niemcy) zaproponował metodę opartą na wykresach momentów zginających. Ta metoda grafowo-analityczna ma ogromną przewagę nad poprzednimi metodami, ponieważ pozwala zredukować wszystkie obliczenia matematyczne do stosunkowo prostych obliczeń arytmetycznych. Umożliwia obliczenie ugięcia i nachylenia w dowolnym punkcie belki pod dowolnym obciążeniem.

Belki statycznie niewyznaczalne.

Wiele belek stosowanych w budynkach i maszynach ma więcej niż dwie nogi, lub tylko dwie nogi, ale z jednym końcem zamkniętym, eliminując możliwość obrotu. Takie belki nazywane są statycznie niewyznaczalnymi, ponieważ równania statyki nie wystarczają do określenia reakcji w podporach i momentów w osadzeniu. Najczęściej rozważane są takie belki trzech typów: z jednym osadzonym (zaciśniętym) końcem i jedną podporą, z obu końcami osadzonymi i ciągłymi belkami z więcej niż dwoma podporami (rys. 7).

Pierwsze rozwiązanie problemu belek ciągłych opublikował francuski inżynier B. Clapeyron w 1857 roku. Udowodnił on tzw. twierdzenie o trzech momentach. Równanie trzech momentów to stosunek momentów zginających w trzech kolejnych podporach jednej ciągłej belki. Na przykład w przypadku belki ciągłej o równomiernym obciążeniu na każdym przęśle równanie to ma postać

M A L 1 + 2M B(L 1 + L 2) + M C L 2 = – (W 1 L 1 3)/4 – (W 2 L 2 3)/4.

Tutaj M A, M B oraz M C- momenty zginające w trzech podporach, L 1 i L 2 - długości lewego i prawego przęsła, 2 - obciążenie prawego przęsła. Konieczne jest napisanie takiego równania dla każdej pary sąsiednich przęseł, a następnie rozwiązanie powstałego układu równań. Jeśli liczba przęseł wynosi n, wtedy liczba równań będzie równa n – 1.

W 1930 roku H. Cross opublikował swoją metodę obliczania szerokiego zakresu statycznie niewyznaczalnych ram i belek ciągłych. Jego „metoda rozkładu momentów” pozwala obejść się bez rozwiązywania układów równań, sprowadzając wszystkie obliczenia do dodawania i odejmowania liczb.

NAPRĘŻENIE Skręcające.

Jeżeli na końce wału zostaną przyłożone równe, ale przeciwnie skierowane zewnętrzne momenty skręcające, to we wszystkich jego przekrojach występują tylko naprężenia styczne, tj. stan naprężenia w punktach skręconego pręta jest czystym ścinaniem. W okrągłym przekroju wału odkształcenia ścinające i naprężenia ścinające są równe zeru w środku i są maksymalne na krawędzi; w punktach pośrednich są proporcjonalne do odległości od środka ciężkości przekroju. Zwykły wzór na maksymalne naprężenie skręcające to: S = Tc/J, gdzie T– moment skręcający na jednym końcu, c jest promień wału i J jest momentem biegunowym przekroju. Dla koła J = pr 4/2. Ten wzór ma zastosowanie tylko w przypadku przekroju kołowego. Wzory na wałki o innym kształcie przekroju poprzecznego uzyskuje się rozwiązując odpowiednie problemy metodami matematycznej teorii sprężystości, w niektórych przypadkach wykorzystując metody analizy eksperymentalnej.

ZŁOŻONA ODPORNOŚĆ.

Często konieczne jest zaprojektowanie belek, które oprócz obciążeń poprzecznych są poddawane wzdłużnym siłom rozciągającym lub ściskającym przyłożonym do końców. W takich przypadkach naprężenie w dowolnym punkcie przekroju jest równe sumie algebraicznej naprężenia normalnego wywołanego przez obciążenie wzdłużne i naprężenia zginającego wywołanego przez obciążenia poprzeczne. Ogólna formuła dla naprężeń w przypadku wspólnego działania zginającego i rozciągająco-ściskającego jest następujący: S = ± ( P/A) ± ( Mc/I), gdzie znak plus odnosi się do naprężenia rozciągającego.

KOLUMNY.

Ramy budynków i kratownice mostowe składają się głównie z cięgien, belek i słupów. Kolumny to długie ściśnięte pręty, których przykładem w ramach budynków są pionowe pręty, które przenoszą stropy międzykondygnacyjne.

Jeżeli długość ściśniętego pręta jest większa niż 10–15 razy jego grubość, to pod działaniem obciążeń krytycznych przyłożonych do jego końców utraci stabilność i zgina się, nawet jeśli obciążenia są przyłożone nominalnie wzdłuż jego osi (zginanie wzdłużne) . Z powodu tego zginania obciążenie jest ekscentryczne. Jeżeli mimośród w średnim przekroju słupa wynosi D, wtedy maksymalne naprężenie ściskające w słupie będzie równe ( P/A) + (PDc/I). To pokazuje, że dopuszczalne obciążenie kolumny powinno być mniejsze niż dla krótkiego ściśniętego pręta.

Wzór na stabilność kolumn elastycznych został wyprowadzony w 1757 r. przez L. Eulera. Maksymalne obciążenie P, który może być przenoszony przez elastyczną kolumnę o wysokości L, jest równe mEA/(L/r) 2 , gdzie m jest stałym czynnikiem zależnym od konstrukcji podstawy, A to pole przekroju słupa, oraz r– najmniejszy promień bezwładności przekroju. Nastawienie L/r zwana elastycznością (wyboczeniem). Łatwo zauważyć, że dopuszczalne obciążenie gwałtownie spada wraz ze wzrostem elastyczności kolumny. W przypadku słupów o małej elastyczności formuła Eulera jest nieodpowiednia, a projektanci zmuszeni są do stosowania formuł empirycznych.

W budynkach często spotyka się kolumny obciążone mimośrodowo. W wyniku dokładnej analizy teoretycznej takich kolumn uzyskano „wzory siecznych”. Ale obliczenia przy użyciu tych wzorów są bardzo pracochłonne i dlatego często konieczne jest uciekanie się do metod empirycznych, które dają dobre wyniki.

ZŁOŻONE STANY STRESU

Naprężenie w dowolnym punkcie tej lub innej płaszczyzny obciążonego ciała, obliczone według zwykłych wzorów, niekoniecznie będzie w tym punkcie największe. Dlatego bardzo ważna jest kwestia relacji między naprężeniami w różnych płaszczyznach przechodzących przez jeden punkt. Takie relacje są przedmiotem działu mechaniki poświęconego złożonym stanom naprężeń.

Związki między naprężeniami.

Stan naprężenia w pewnym punkcie dowolnego obciążonego ciała można w pełni scharakteryzować, przedstawiając naprężenia działające w tym punkcie na powierzchni sześcianu elementarnego. Często zdarzają się przypadki, które obejmują te omówione powyżej, dwuosiowego (planarnego) stanu naprężenia z naprężeniami równymi zeru na dwóch przeciwległych ścianach sześcianu. Naprężenia występujące w punkcie ciała nie są takie same w płaszczyznach o różnych nachyleniach. Na podstawie podstawowych przepisów statyki można wyciągnąć szereg ważnych wniosków dotyczących relacji między naprężeniami w różnych płaszczyznach. Oto trzy z nich:

1. Jeżeli w jakimś punkcie danej płaszczyzny występuje naprężenie ścinające, to dokładnie takie samo naprężenie istnieje w płaszczyźnie przechodzącej przez ten punkt i prostopadłej do danego.

2. Istnieje płaszczyzna, w której naprężenie normalne jest większe niż w jakimkolwiek innym.

3. W płaszczyźnie prostopadłej do tej płaszczyzny naprężenie normalne jest mniejsze niż w każdej innej.

Maksymalne i minimalne naprężenia normalne, o których mowa w paragrafach 2 i 3, nazywane są naprężeniami głównymi, a odpowiadające im płaszczyzny nazywane są płaszczyznami głównymi.

Konieczność analizy naprężeń głównych na podstawie tych zależności nie zawsze pojawia się, ponieważ proste wzory, które inżynierowie zwykle stosują w większości przypadków, podają dokładnie maksymalne naprężenia. Jednak w niektórych przypadkach, na przykład podczas obliczania wału, który wytrzymuje zarówno momenty skręcające, jak i zginające, nie można obejść się bez relacji dla złożonego stanu naprężenia.

TRUDNE WYZWANIA

W omówionych powyżej problemach naprężenia były rozważane albo równomiernie rozłożone, albo zmieniające się liniowo wraz z odległością od osi neutralnej, gdzie naprężenie wynosi zero. Jednak w wielu przypadkach prawo zmian napięcia jest bardziej skomplikowane.

Przykłady problemów z nieliniowym rozkładem naprężeń obejmują zakrzywione belki, grubościenne naczynia pracujące pod wysokim ciśnieniem wewnętrznym lub zewnętrznym, wały o niekołowym przekroju oraz obciążone ciała z nagłymi zmianami przekroju (rowki, barki itp. .). Dla takich problemów obliczane są współczynniki koncentracji naprężeń.

Ponadto powyższa dyskusja dotyczyła wyłącznie obciążeń statycznych, stopniowo nakładanych i usuwanych. Zmienne i okresowo zmieniające się obciążenia, wielokrotnie powtarzane, mogą prowadzić do utraty wytrzymałości, nawet jeśli nie przekraczają statycznej wytrzymałości na rozciąganie danego materiału. Takie awarie nazywane są awariami zmęczeniowymi, a problem ich zapobiegania stał się istotny w dobie maszyn i mechanizmów działających na niezwykle dużą skalę. wysokie prędkości. Zobacz też

Miarą intensywności sił wewnętrznych rozłożonych na przekroje są naprężenia na jednostkę powierzchni przekroju. Wybierz w pobliżu punktu B mała platforma Δ F(rys. 3.1). Wynajmować Δ R jest wypadkową sił wewnętrznych działających w tym miejscu. Następnie średnia wartość sił wewnętrznych na jednostkę powierzchni Δ F brana pod uwagę witryna będzie równa:

Ryż. 3.1. Średnie napięcie na miejscu

Wartość pm nazywa średnie napięcie. Charakteryzuje średnie natężenie sił wewnętrznych. Zmniejszenie wielkości obszaru, w limicie, jaki otrzymujemy

Wartość p nazywa się prawdziwym naprężeniem lub po prostu naprężeniem w danym punkcie w danej sekcji.

Jednostką naprężenia jest pascal, 1 Pa \u003d 1 N / m 2. Ponieważ rzeczywiste wartości naprężeń będą wyrażone w bardzo dużych liczbach, należy użyć wielu wartości jednostkowych, na przykład MPa (megapaskal) 1 MPa \u003d 10 6 N / m 2.

Naprężenia, podobnie jak siły, są wielkościami wektorowymi. W każdym punkcie części ciała pełne napięcie p można rozłożyć na dwa składniki (rys. 3.2):

1) komponent normalny do płaszczyzny przekroju. Ten składnik nazywa się normalne napięcie i oznaczone σ ;

2) składnik leżący (w płaszczyźnie przekroju. Ten składnik jest oznaczony τ i zadzwoniłem naprężenie ścinające. Naprężenie styczne, w zależności od działających sił, może mieć dowolny kierunek w płaszczyźnie przekroju. Dla wygody τ reprezentować w postaci dwóch składowych w kierunku osi współrzędnych. Przyjęte oznaczenia napięć nie są pokazane ani na rys. 3.2

Normalne napięcie ma indeks wskazujący, do której osi współrzędnych napięcie jest równoległe. Normalne naprężenie rozciągające jest uważane za dodatnie, ściskające - ujemne.. Oznaczenia naprężeń ścinających mają dwa wskaźniki: pierwszy z nich wskazuje, która oś jest równoległa do normalnej do obszaru działania danego naprężenia, a drugi wskazuje, do której osi samo naprężenie jest równoległe. Rozkład naprężeń całkowitych na naprężenia normalne i styczne ma pewne znaczenie fizyczne. Naprężenie normalne występuje, gdy cząstki materiału mają tendencję do oddalania się od siebie lub odwrotnie, zbliżania się. Naprężenia ścinające są związane ze ścinaniem cząstek materiału wzdłuż płaszczyzny przekroju.

Ryż. 3.2. Rozkład całkowitego wektora naprężeń

Jeśli mentalnie przetniemy wokół jakiegoś punktu ciała element w postaci nieskończenie małego sześcianu, to w ogólnym przypadku naprężenia pokazane na ryc. 3.3. Zbiór naprężeń na wszystkich elementarnych obszarach, które można przeciągnąć przez dowolny punkt ciała nazywa stan naprężenia w danym punkcie.

Obliczmy sumę momentów wszystkich sił elementarnych działających na element (rys. 3.3), względem osi współrzędnych, czyli np. dla osi x biorąc pod uwagę bilans pierwiastka mamy: