Domov Použitie Príklady limitnej funkcie viacerých premenných. §2 Limita funkcie dvoch premenných. Limita funkcie viacerých premenných. Limity opakovania

Príklady limitnej funkcie viacerých premenných. §2 Limita funkcie dvoch premenných. Limita funkcie viacerých premenných. Limity opakovania

Pojmy funkcií dvoch alebo troch premenných, o ktorých sa uvažuje vyššie, možno zovšeobecniť na prípad premenných.

Definícia. Funkcia premenných
sa nazýva funkcia, doména definície
ktorý patrí
a rozsah je skutočnou osou.

Takáto funkcia pre každú množinu premenných
od
zhoduje sa s jedným číslom .

V nasledujúcom texte pre istotu zvážime funkcie
premenné, ale všetky výroky formulované pre takéto funkcie zostávajú pravdivé pre funkcie väčšieho počtu premenných.

Definícia.číslo sa nazýva limita funkcie

v bode
ak pre každého
existuje také číslo
že pre všetkých
zo susedstva
, okrem tohto bodu, nerovnosť

Ak je limita funkcie
v bode
rovná sa , potom je to označené ako

Takmer všetky nami skôr uvažované vlastnosti limity pre funkcie jednej premennej zostávajú platné pre limity funkcií viacerých premenných, praktickým hľadaním takýchto limitov sa však zaoberať nebudeme.

Definícia. Funkcia
sa nazýva spojitý v bode
ak sú splnené tri podmienky:

1) existuje

2) v bode je hodnota funkcie

3) tieto dve čísla sú si navzájom rovné, t.j. .

V praxi možno spojitosť funkcie skúmať pomocou nasledujúcej vety.

Veta. Akákoľvek elementárna funkcia
je spojitá vo všetkých vnútorných (t. j. nehraničných) bodoch svojej definičnej domény.

Príklad. Nájdite všetky body, kde funguje funkcia

nepretržitý.

Ako bolo uvedené vyššie, táto funkcia je definovaná v uzavretom kruhu

Vnútorné body tohto kruhu sú hľadanými bodmi spojitosti funkcie, t.j. funkciu
nepretržite v otvorenom kruhu
.

Vymedzenie pojmu spojitosť v hraničných bodoch definičnej oblasti
funkcie je možné, ale túto otázku nebudeme v kurze venovať.

1.3 Čiastkové prírastky a parciálne derivácie

Na rozdiel od funkcií jednej premennej majú funkcie viacerých premenných rôzne typy prírastkov. Je to spôsobené tým, že posuny v rovine
z bodu
možno vykonávať rôznymi smermi.

Definícia. Podľa súkromného prírastku funkcie
v bode
prírastok
sa nazýva rozdiel

Tento prírastok je v podstate prírastkom funkcie jednej premennej
odvodené od funkcie
pri konštantnej hodnote
.

Podobne súkromný prírastok o v bode
funkcie
prírastok
sa nazýva rozdiel

Tento prírastok sa počíta s pevnou hodnotou
.

Príklad. Nechaj

,
,
. Nájdite čiastkové prírastky tejto funkcie o a podľa

V tomto príklade s rovnakými hodnotami prírastkov argumentov
a
, čiastkové prírastky funkcie sa ukázali byť odlišné. Je to preto, že oblasť obdĺžnika so stranami
a
keď je strana zväčšená na
zvyšuje o sumu
, a keď je strana zvýšená na
zvyšuje o
(pozri obr. 4).

Z toho, že funkcia dvoch premenných má dva druhy prírastkov, vyplýva, že pre ňu možno definovať dva druhy derivácií.

Definícia. Čiastočná derivácia vzhľadom na funkcie
v bode
sa nazýva hranica pomeru čiastočného prírastku v tejto funkcie v určenom bode na zvýšenie
argument tie.

. (1)

Takéto parciálne deriváty sú označené symbolmi ,,,. V posledných prípadoch okrúhle písmeno „ ” – ““ znamená slovo „súkromné“.

Podobne parciálna derivácia vzhľadom na v bode
určená pomocou limitu

. (2)

Iné zápisy pre túto čiastočnú deriváciu: ,,.

Parciálne derivácie funkcií sa nachádzajú podľa známych pravidiel pre diferenciáciu funkcie jednej premennej, pričom všetky premenné okrem tej, ktorou je funkcia diferencovaná, sa považujú za konštantné. Takže pri hľadaní premenlivý sa berie ako konštanta a keď sa nájde - stály .

Príklad. Poďme nájsť parciálne derivácie funkcie
.

,
.

Príklad. Nájdite parciálne derivácie funkcie troch premenných

;
;
.

Parciálne derivačné funkcie
charakterizujte rýchlosť zmeny tejto funkcie v prípade, keď je jedna z premenných fixná.

Príklad z ekonómie.

Hlavným pojmom teórie spotreby je funkcia užitočnosti
. Táto funkcia vyjadruje mieru užitočnosti množiny
, kde x je množstvo tovaru X, y je množstvo tovaru Y. Potom parciálne derivácie
sa budú nazývať hraničné služby x a y. Hraničná miera substitúcie
jedna komodita k druhej sa rovná pomeru ich marginálnych úžitkov:

. (8)

Úloha 1. Nájdite hraničnú mieru substitúcie h za y pre funkciu užitočnosti v bode A(3,12).

Riešenie: podľa vzorca (8) dostaneme

Ekonomický význam hraničnej miery substitúcie spočíva v odôvodnení vzorca
, kde - cena položky X - cena tovaru U.

Definícia. Ak má funkcia
existujú parciálne derivácie, potom sa ich parciálne diferenciály nazývajú výrazy

tu
a
.

Parciálne diferenciály sú diferenciály funkcií jednej premennej získané z funkcie dvoch premenných
pri pevnom alebo .

Príklady z ekonomiky. Uvažujme ako príklad Cobb-Douglasovu funkciu.

Hodnota - priemerná produktivita práce, keďže ide o množstvo výrobkov (v hodnotovom vyjadrení) vyrobených jedným pracovníkom.

Hodnota
- priemerná rentabilita aktív - počet výrobkov na jeden stroj.

Hodnota
- priemerný pomer kapitálu a práce - náklady finančných prostriedkov na jednotku pracovných zdrojov.

Čiže čiastočná derivácia
sa nazýva hraničná produktivita práce, pretože sa rovná pridanej hodnote výstupu vyrobeného ešte jedným pracovníkom.

podobne,
- hraničná návratnosť aktív.

V ekonómii sa často kladie otázka: o koľko percent sa zmení výstup, ak sa počet pracovníkov zvýši o 1 % alebo ak sa zvýšia prostriedky o 1 %? Odpovede na takéto otázky sú dané pojmami elasticity funkcie vzhľadom na argument alebo relatívnu deriváciu. Nájdite elasticitu výstupu vzhľadom na prácu
. Nahradením vyššie vypočítanej parciálnej derivácie do čitateľa , dostaneme
. Takže parameter má jasný ekonomický význam – je to elasticita produkcie vzhľadom na prácu.

Parameter má rovnaký význam. je elasticita výstupu voči fondom.

Limita funkcie dvoch premenných.
Koncept a príklady riešení

Vitajte pri tretej lekcii na túto tému FNP, kde sa všetky vaše obavy konečne začali napĺňať =) Ako mnohí tušili, pojem limita sa vzťahuje aj na funkciu ľubovoľného počtu argumentov, na ktoré dnes musíme prísť. Je tu však niekoľko optimistických správ. Spočíva v tom, že pri , je limita do určitej miery abstraktná a zodpovedajúce priradenia sú v praxi extrémne zriedkavé. V tejto súvislosti sa naša pozornosť zameria na limity funkcie dvoch premenných, alebo, ako to často píšeme: .

Mnohé myšlienky, princípy a metódy sú podobné teórii a praxi „obyčajných“ limitov, čo znamená, že tento moment ty musíš vedieť nájsť limity a hlavne ROZUMIEŤ čomu limita funkcie jednej premennej. A keďže vás osud priviedol na túto stránku, s najväčšou pravdepodobnosťou už rozumiete a viete, ako veľa urobiť. A ak nie, je to v poriadku, všetky medzery sa naozaj dajú vyplniť v priebehu niekoľkých hodín a dokonca minút.

Udalosti tejto lekcie sa odohrávajú v našom trojrozmernom svete, a preto by bolo jednoducho veľkým opomenutím nezúčastniť sa ich naživo. Najprv skonštruujme dobre známe Kartézsky súradnicový systém v priestore. Vstaňme a poprechádzajme sa chvíľu po miestnosti... ...podlaha, po ktorej kráčaš, je rovná. Dajme nápravu niekam ... no napríklad do akéhokoľvek rohu, aby neprekážala na ceste. Výborne. Teraz sa prosím pozrite hore a predstavte si, že tam visí prikrývka. to povrch, daný funkciou . Náš pohyb po podlahe, ako je ľahko pochopiteľné, napodobňuje zmenu nezávislých premenných a pohybovať sa môžeme len pod pokrievkou, t.j. v obory funkcie dvoch premenných. Zábava však ešte len začína. Tesne nad špičkou nosa sa vám po deke plazí malý šváb, kde ste, tam je. Volajme ho Freddie. Jeho pohyb simuluje zmenu zodpovedajúcich hodnôt funkcie (okrem prípadu, keď je povrch alebo jeho časti rovnobežné s rovinou a výška sa nemení). Vážený čitateľ s menom Freddie, neurážajte sa, pre vedu je to potrebné.

Vezmime do rúk šidlo a prepichneme prikrývku v ľubovoľnom bode, ktorého výška bude označená , potom nástroj zapichneme do podlahy presne pod otvor - to bude bod. Teraz začnime nekonečne blízko priblížiť sa k tomuto bodu a máme právo priblížiť sa PO AKEJKOĽVEK trajektórii (každý bod, samozrejme, je zahrnutý v oblasti definície). Ak vo VŠETKÝCH prípadoch bude Freddy nekonečne blízko plaziť sa k vpichu do výšky a PRESNE DO TEJTO VÝŠKY, potom má funkcia limit v bode na :

Ak sa za stanovených podmienok prepichnutý bod nachádza na okraji prikrývky, potom bude hranica stále existovať - dôležité je, aby v r. svojvoľne malá štvrť okraje šidla boli aspoň niektoré body z oblasti definície funkcie. Navyše, ako v prípade limita funkcie jednej premennej, irelevantnéči je funkcia definovaná v bode alebo nie. To znamená, že náš vpich môže byť pokrytý žuvačkou (mysli si to funkcia dvoch premenných je spojitá) a to neovplyvní situáciu - pamätajte, že samotná podstata limitu naznačuje nekonečne blízke priblíženie, a nie "presný prístup" k veci.

Bezoblačný život však kazí fakt, že na rozdiel od jeho bračeka je limit oveľa častejšie nulový. Dôvodom je skutočnosť, že k určitému bodu v rovine je zvyčajne veľa ciest a každá z nich by mala viesť Freddieho striktne k prepichnutiu. (voliteľne "lepkavé žuvačkou") a to striktne do výšky. A bizarných povrchov s rovnako bizarnými diskontinuitami je viac než dosť, čo v niektorých bodoch vedie k porušeniu tohto drsného stavu.

organizujeme najjednoduchší príklad- vezmeme do rúk nôž a prikrývku rozrežeme tak, aby prepichnutý bod ležal na línii rezu. Všimnite si, že limit stále existuje, jediné je, že sme stratili právo šliapať na body pod čiarou rezu, keďže táto oblasť „vypadla“ z rozsah funkcie. Teraz jemne zdvihnite ľavú stranu prikrývky pozdĺž osi a posuňte jej pravú stranu, naopak, nadol alebo ju dokonca nechajte na mieste. čo sa zmenilo? No zásadne sa zmenilo nasledovné: ak sa teraz priblížime k bodu vľavo, Freddie bude vo vyššej výške, ako keby sme sa k tomuto bodu blížili vpravo. Neexistuje teda žiadny limit.

A samozrejme, úžasné limity, kde bez nich. Zvážte poučný príklad v každom zmysle:

Príklad 11

Používame bolestivo známy trigonometrický vzorec, kde sa organizujeme štandardnou umelou technikou prvé úžasné limity :

Prejdime k polárnym súradniciam:
Ak potom

Zdalo by sa, že rozhodnutie smeruje k prirodzenému výsledku a nič nepredstavuje problémy, ale na samom konci existuje veľké riziko vážnej chyby, ktorej povahu som už naznačil v príklade 3 a podrobne opísal po Príklad 6. Najprv koniec, potom komentár:

Pozrime sa, prečo by bolo zlé jednoducho napísať „nekonečno“ alebo „plus nekonečno“. Pozrime sa na menovateľa: od , potom má polárny polomer tendenciu nekonečne malý kladná hodnota: . Okrem toho, . Znamienko menovateľa a celý limit teda závisí iba od kosínusu:
ak polárny uhol (2. a 3. súradnicová štvrtina: );
ak polárny uhol (1. a 4. súradnicová štvrtina: ).

Geometricky to znamená, že ak sa k počiatku priblížime zľava, tak k ploche danej funkciou , siaha až do nekonečna:

Katedra: Vyššia matematika

abstraktné

v disciplíne "Vyššia matematika"

Téma: "Limita a spojitosť funkcií viacerých premenných"

Tolyatti, 2008

Úvod

Pojem funkcie jednej premennej nepokrýva všetky závislosti, ktoré v prírode existujú. Aj v najjednoduchších problémoch existujú veličiny, ktorých hodnoty sú určené kombináciou hodnôt niekoľkých veličín.

Na štúdium takýchto závislostí je zavedený koncept funkcie viacerých premenných.

Pojem funkcie viacerých premenných

Definícia. Hodnota u sa nazýva funkcia niekoľkých nezávislých premenných ( X, r, z, …, t), ak je každá sada hodnôt týchto premenných spojená s určitou hodnotou množstva u.

Ak je premenná funkciou dvoch premenných X a pri, potom sa označí funkčná závislosť

z = f (X, r).

Symbol f tu definuje množinu akcií alebo pravidlo na výpočet hodnoty z pre danú dvojicu hodnôt X a pri.

Takže pre funkciu z = X 2 + 3xy

pri X= 1 a pri= 1 máme z = 4,

pri X= 2 a pri= 3 máme z = 22,

pri X= 4 a pri= 0 máme z= 16 atď.

Množstvo sa nazýva podobne u funkcia troch premenných X, r, z, ak je dané pravidlo, ako pre danú trojicu hodnôt X, r a z vypočítajte príslušnú hodnotu u:

u = F (X, r, z).

Tu symbol F definuje množinu akcií alebo pravidlo na výpočet hodnoty u zodpovedajúce daným hodnotám X, r a z.

Takže pre funkciu u = xy + 2xz – 3yz

pri X = 1, pri= 1 a z= 1 máme u = 0,

pri X = 1, pri= -2 a z= 3 máme u = 22,

pri X = 2, pri= -1 a z= -2 máme u = -16 atď.

Ak teda z titulu nejakého zákona každej zbierky Pčísla ( X, r, z, …, t) z nejakej sady E priraďuje premennej konkrétnu hodnotu u, potom a u sa nazýva funkcia P premenných X, r, z, …, t definované na súprave E, a je označený

u = f(X, r, z, …, t).

Premenné X, r, z, …, t sa nazývajú argumenty funkcie, množina E– doména definície funkcie.

Súkromná hodnota funkcie je hodnota funkcie v určitom bode M 0 (X 0 , r 0 , z 0 , …, t 0) a označené f (M 0) = f (X 0 , r 0 , z 0 , …, t 0).

Doména funkcie je množina všetkých hodnôt argumentov, ktoré zodpovedajú akýmkoľvek skutočným hodnotám funkcie.

Funkcia dvoch premenných z = f (X, r) v priestore je reprezentovaný nejakou plochou. Teda keď bod so súradnicami X, pri prechádza celým definičným oborom funkcie umiestnenej v rovine ahoj, zodpovedajúci priestorový bod, všeobecne povedané, opisuje povrch.

Funkcia troch premenných u = F (X, r, z) považovaný za funkciu bodu nejakej množiny bodov v trojrozmernom priestore. Rovnako aj funkcia P premenných u = f(X, r, z, …, t) sa považuje za funkciu bodu nejakého P-rozmerný priestor.

Limita funkcie viacerých premenných

Aby sme dostali koncept limity funkcie niekoľkých premenných, obmedzíme sa na prípad dvoch premenných X a pri. Podľa definície funkcia f (X, r) má limit v bode ( X 0 , pri 0) rovná sa číslu ALE, označené takto:

(1)

(viac píšu f (X, r) →ALE pri (X, r) → (X 0 , pri 0)), ak je definovaný v niektorom okolí bodu ( X 0 , pri 0), možno s výnimkou tohto bodu samotného a ak existuje nejaký limit

(2)

čo má tendenciu ( X 0 , pri 0) postupnosť bodov ( x k, y k).

Rovnako ako v prípade funkcie jednej premennej, môžeme zaviesť inú ekvivalentnú definíciu limity funkcie dvoch premenných: funkciu f má v bode ( X 0 , pri 0) limit rovný ALE, ak je definovaný v niektorom okolí bodu ( X 0 , pri 0) s možnou výnimkou tohto bodu samotného a pre každé ε > 0 je δ > 0 také, že

| f (X, r) – A| < ε(3)

pre všetkých (X, r) uspokojenie nerovností

< δ. (4)

Táto definícia je zase ekvivalentná nasledujúcemu: pre každé ε > 0 existuje δ-okolie bodu ( X 0 , pri 0) tak, že pre všetkých ( X, r) z tejto štvrte inej ako ( X 0 , pri 0), nerovnosť (3) platí.

Keďže súradnice ľubovoľného bodu ( X, r) okolie bodu ( X 0 , pri 0) možno napísať ako x = x 0 + Δ X, y = y 0 + Δ pri, potom rovnosť (1) je ekvivalentná nasledujúcej rovnosti:

Zvážte nejakú funkciu definovanú v okolí bodu ( X 0 , pri 0), snáď okrem tohto bodu samotného.

Nech ω = (ω X, ω pri) je ľubovoľný vektor dĺžky jedna (|ω| 2 = ω X 2 + š pri 2 = 1) a t> 0 je skalár. Zobrazovacie body

(X 0 + tω X, r 0 + tω pri) (0 < t)

vytvoriť lúč vychádzajúci z ( X 0 , pri 0) v smere vektora ω. Pre každé ω môžeme zvážiť funkciu

f(X 0 + tω X, r 0 + tω pri) (0 < t< δ)

zo skalárnej premennej t, kde δ je dostatočne malé číslo.

Limit tejto funkcie (jedna premenná t)

f(X 0 + tω X, r 0 + tω pri),

ak existuje, je prirodzené volať limit f v bode ( X 0 , pri 0) v smere ω.

Príklad 1 Funkcie

definované v rovine ( X, r) okrem bodu X 0 = 0, pri 0 = 0. Máme (vezmite do úvahy, že

a):

(pre ε > 0 nastavíme δ = ε/2 a potom | f (X, r) | < ε, если

< δ).

z čoho je vidieť, že limita φ v bode (0, 0) je vo všeobecnosti odlišná v rôznych smeroch (jednotkový vektor lúča r = kx, X> 0 má tvar

Príklad 2 Zvážte v R 2 funkcie

(X 4 + pri 2 ≠ 0).

Táto funkcia v bode (0, 0) na ľubovoľnom riadku r = kx prechod cez počiatok má limit rovný nule:

pri X → 0.

Táto funkcia však nemá limit v bodoch (0, 0), pretože pre y = x 2

Bude písať

ak je funkcia f je definovaný v nejakom okolí bodu ( X 0 , pri 0, možno s výnimkou samotného bodu ( X 0 , pri 0) a pre všetky N> 0, existuje δ > 0 tak, že

|f (X, r) | > N,

hneď ako 0<

< δ.

Môžete tiež hovoriť o limite f, kedy X, pri → ∞:

(5)

Napríklad v prípade konečného čísla ALE rovnosť (5) treba chápať v tom zmysle, že pre každé ε > 0 existuje taká N> 0, čo je pre všetkých X, pri, pre ktoré | X| > N, |r| > N, funkcia f je definovaná a nerovnosť

Zvážte rovinu a systém Oxy Na ňom sú karteziánske pravouhlé súradnice (do úvahy prichádzajú aj iné súradnicové systémy).

Z analytickej geometrie vieme, že každá usporiadaná dvojica čísel (x, y) môže zodpovedať jedinému bodu M rovina a naopak, každý bod M rovina zodpovedá jedinému páru čísel.

Preto v budúcnosti, keď hovoríme o bode, budeme často znamenať dvojicu čísel, ktorá mu zodpovedá (x, y) a naopak.

Definícia 1.2 Množina dvojíc čísel (x, y) vyplnenie nerovností sa nazýva obdĺžnik (otvorený).

V rovine bude znázornený ako obdĺžnik (obr. 1.2) so stranami rovnobežnými so súradnicovými osami a so stredom v bode M 0 (X 0 r 0 ) .

Obdĺžnik sa zvyčajne označuje nasledujúcim symbolom:

Predstavme si dôležitý pojem pre ďalšiu prezentáciu: okolie bodu.

Definícia 1.3 Obdĺžnikový δ - susedstvo ( susedstvo delty ) bodov M 0 (X 0 r 0 ) nazývaný obdĺžnik

sústredený na bod M 0 a so stranami rovnakej dĺžky 28 .

Definícia 1.4 Obežník δ - okolie bodu M 0 (X 0 r 0 ) nazývaný kruh s polomerom δ sústredený na bod M 0 , teda súbor bodov M(xy) , ktorého súradnice spĺňajú nerovnosť:

Môžete zaviesť koncepty susedstiev a iných typov, ale na účely matematickej analýzy technických problémov sa používajú hlavne obdĺžnikové a kruhové susedstvá.

Zaveďme nasledujúci pojem limity funkcie dvoch premenných.

Nechajte funkciu z = f(x, y) definované v nejakej oblasti ζ a M 0 (X 0 r 0 ) - bod ležiaci vo vnútri alebo na hranici tejto oblasti.

Definícia 1.5 Konečné číslo A volal limita funkcie f (x, y) pri

ak pre akékoľvek kladné číslo ε môžete nájsť kladné číslo δ tú nerovnosť

vykonaná za všetky body M(x, y) z regiónu ζ , iný ako M 0 (X 0 r 0 ) , ktorého súradnice spĺňajú nerovnosti:

Význam tejto definície je, že hodnoty funkcie f(x, y) sa ľubovoľne málo líšia od čísla A v bodoch dostatočne malého okolia bodu M 0 .

Tu je definícia založená na obdĺžnikových štvrtiach M 0 . Dalo by sa uvažovať o kruhových susedstvách bodu M 0 a potom by bolo potrebné požadovať splnenie nerovnosti

vo všetkých bodoch M(x, y) oblasti ζ , iný ako M 0 a splnenie podmienky:

Vzdialenosť medzi bodmi M a M 0 .

Používajú sa nasledujúce symboly limitov:

Vzhľadom na definíciu limity funkcie dvoch premenných je možné preniesť základné limitné vety pre funkcie jednej premennej na funkcie dvoch premenných.

Napríklad vety o limite súčtu, súčinu a kvocientu dvoch funkcií.

§3 Spojitosť funkcie dvoch premenných

Nechajte funkciu z = f(x,y) definované v bode M 0 (X 0 r 0 ) a jeho okolia.

Definícia 1.6 Funkcia sa nazýva spojitá v bode M 0 (X 0 r 0 ) , ak

Ak je funkcia f(x,y) kontinuálne v bode M 0 (X 0 r 0 ) , potom

Pretože

Teda ak funkcia f(x,y) kontinuálne v bode M 0 (X 0 r 0 ) , potom nekonečne malé prírastky argumentov v tejto oblasti zodpovedajú nekonečne malému prírastku Δz funkcie z .

Platí aj opačné tvrdenie: ak nekonečne malý prírastok argumentov zodpovedá nekonečne malému prírastku funkcie, potom je funkcia spojitá

Funkcia, ktorá je spojitá v každom bode v oblasti, sa v oblasti nazýva spojitá. Pre spojité funkcie dvoch premenných, ako aj pre funkciu jednej premennej spojitej na segmente platia základné Weierstrassove a Bolzano-Cauchyho teorémy.

Referencia: Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) - nemecký matematik. Bernard Bolzano (1781 - 1848) - český matematik a filozof. Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) – francúzsky matematik, prezident Francúzskej akadémie vied (1844 – 1857).

Príklad 1.4. Preskúmajte spojitosť funkcie

Táto funkcia je definovaná pre všetky hodnoty premenných X a r , okrem pôvodu, kde menovateľ zaniká.

Polynóm X 2 +y 2 je všade spojitá, a teda druhá odmocnina spojitej funkcie je tiež spojitá.

Zlomok bude súvislý všade okrem bodov, kde sa menovateľ rovná nule. To znamená, že uvažovaná funkcia je spojitá v celej súradnicovej rovine Oh s výnimkou pôvodu.

Príklad 1.5. Preskúmajte spojitosť funkcie z=tg(x,y) . Tangenta je definovaná a spojitá pre všetky konečné hodnoty argumentu, s výnimkou hodnôt rovných nepárnemu počtu hodnôt π/2 , t.j. okrem bodov, kde

Za každú fixnú "k" rovnica (1.11) definuje hyperbolu. Preto je uvažovaná funkcia spojitou funkciou x a y , s výnimkou bodov ležiacich na krivkách (1.11).

Aby sme dostali koncept limity funkcie niekoľkých premenných, obmedzíme sa na prípad dvoch premenných X a pri. Podľa definície funkcia f(x, y) má limit v bode ( X 0 , pri 0) rovná sa číslu ALE, označené takto:

(viac píšu f(x, y)>ALE pri (x, y)> (X 0 , pri 0)), ak je definovaný v niektorom okolí bodu ( X 0 , pri 0), možno s výnimkou tohto bodu samotného a ak existuje nejaký limit

čo má tendenciu ( X 0 , pri 0) postupnosť bodov ( X k ,y k).

| f(x, y) - A | < е (3)

pre všetkých (x, y)

0 < < д. (4)

Táto definícia je zase ekvivalentná nasledujúcemu: pre každé e > 0 existuje q-okolie bodu ( X 0 , pri 0) tak, že pre všetkých ( x, y) z tejto štvrte inej ako ( X 0 , pri 0), nerovnosť (3) platí.

Keďže súradnice ľubovoľného bodu ( x, y) okolie bodu ( X 0 , pri 0) možno napísať ako x = x 0 + D X, y = y 0 + D pri, potom rovnosť (1) je ekvivalentná nasledujúcej rovnosti:

Zvážte nejakú funkciu definovanú v okolí bodu ( X 0 , pri 0), snáď okrem tohto bodu samotného.

Nech u = (u X, Sch pri) je ľubovoľný vektor dĺžky jedna (|w| 2 = w X 2 + š pri 2 = 1) a t> 0 je skalár. Zobrazovacie body ( X 0 + t sch X , r 0 + t sch pri) (0 < t)

vytvoriť lúč vychádzajúci z ( X 0 , pri 0) v smere vektora w. Pre každé u môžeme zvážiť funkciu

f (X 0 + t sch X , r 0 + t sch pri) (0 < t < д)

zo skalárnej premennej t, kde q je dostatočne malé číslo.

Limit tejto funkcie (jedna premenná t)

f (X 0 + t sch X , r 0 + t sch pri),

f v bode ( X 0 , pri 0) v smere w.

Príklad 1 Funkcie

definované v rovine ( x, y) okrem bodu X 0 = 0, pri 0 = 0. Máme (vezmite do úvahy a):

(pre e > 0 dáme q = e/2 a potom | f(x, y)| < е, если < д).

z čoho je vidieť, že limita u v bode (0, 0) je vo všeobecnosti odlišná v rôznych smeroch (jednotkový vektor lúča y=kx, X> 0 má tvar

Príklad 2 Zvážte v R 2 funkcie

(X 4 + pri 2 ? 0).

Táto funkcia v bode (0, 0) na ľubovoľnom riadku y=kx prechod cez počiatok má limit rovný nule:

pri X > 0.

Táto funkcia však nemá limit v bodoch (0, 0), pretože pre y = x 2

Napíšeme ak funkcia f je definovaný v nejakom okolí bodu ( X 0 , pri 0, možno s výnimkou samotného bodu ( X 0 , pri 0) a pre všetky N> 0 existuje q > 0 také, že

| f(x, y)| > N,

hneď ako 0< < д.

Môžete tiež hovoriť o limite f, kedy X, pri > ?:

ALE rovnosť (5) treba chápať v tom zmysle, že pre každé e > 0 existuje taká N> 0, čo je pre všetkých X, pri, pre ktoré | X| > N, |r| > N, funkcia f je definovaná a nerovnosť

| f(x, y) - ALE| < е.

Rovnosti sú spravodlivé

kde môže byť X > ?, pri>?. Navyše, ako obvykle, (konečné) limity na ich ľavej strane existujú, ak existujú limity f a c.

Dokážme napríklad (7).

Nechajte ( X k ,y k) > (X 0 , pri 0) ((X k ,y k) ? (X 0 , pri 0)); potom

Limita na ľavej strane (9) teda existuje a rovná sa pravej strane (9), a keďže postupnosť ( X k ,y k) má tendenciu ( X 0 , pri 0) podľa akéhokoľvek zákona sa potom táto limita rovná limite funkcie f(x, y) c (x, y) v bode ( X 0 , pri 0).

Veta. ak funkcia f(x, y) má v bode nenulový limit ( X 0 , pri 0), t.j.

potom existuje q > 0 také, že pre všetky X, pri uspokojenie nerovností

0 < < д, (10)

uspokojuje nerovnosť

Preto pre takéto (x, y)

tie. nerovnosť (11) platí. Od nerovnosti (12) pre zadané (x, y) vyplýva odkiaľ A> 0 a pri

A < 0 (сохранение знака).

Podľa definície funkcia f(x) = f(x 1 , …, X n ) = A má v bode limit

X 0 = rovná sa číslu ALE, označené takto:

(viac píšu f(x) > A (X > X 0)), ak je definovaný na niektorom okolí bodu X 0 , možno s výnimkou jej samej a ak existuje nejaký limit

bez ohľadu na snahu X 0 bodová postupnosť X k z určeného okolia ( k= 1, 2, ...) iné ako X 0 .

Ďalšia ekvivalentná definícia je nasledovná: funkcia f má v bode X 0 limit rovný ALE, ak je definovaný v niektorom okolí bodu X 0 , možno s výnimkou seba samej, a pre každé e > 0 je q > 0 také, že

pre všetkých X uspokojenie nerovností

0 < |x-x 0 | < д.

Táto definícia je zase ekvivalentná nasledujúcej: pre každé e > 0 existuje okolie U(x 0 ) bodov X 0 tak, že pre všetkých xU(x 0 ) , X ? X 0 , nerovnosť (13) je splnená.

Samozrejme, ak číslo ALE existuje limit f(x) v X 0 teda ALE existuje limit funkcie f(x 0 + h) od h v nulovom bode:

a naopak.

Zvážte niektoré funkcie f, daný vo všetkých bodoch okolia bodu X 0 , snáď okrem bodky X 0; nech u = (u 1, ..., u P) je ľubovoľný vektor dĺžky jedna (|w| = 1) a t> 0 je skalár. Zobrazovacie body X 0 + t u (0< t) tvoria odchádzajúce X 0 lúč v smere vektora w. Pre každé u môžeme zvážiť funkciu

(0 < t < д щ)

zo skalárnej premennej t, kde q u je číslo závislé od u. Limit tejto funkcie (z jednej premennej t)

ak existuje, je prirodzené volať limit f v bode X 0 v smere vektora w.

Napíšeme ak funkcia f definované v nejakej štvrti X 0, možno okrem X 0 a pre všetky N> 0 existuje q > 0 také, že | f(x)| > N, hneď ako 0< |x-x 0 | < д.

Môžete hovoriť o limite f, kedy X > ?:

Napríklad v prípade konečného čísla ALE rovnosť (14) je potrebné chápať v tom zmysle, že pre ľubovoľné e > 0 sa dá určiť taká N> 0, čo za body X, pre ktoré | X| > N, funkcia f je definovaná a nerovnosť platí.

Takže limit funkcie f(x) = f(x 1 , ..., X P ) od P premenná je definovaná analogicky rovnakým spôsobom ako funkcia dvoch premenných.

Prejdeme teda k definícii limity funkcie viacerých premenných.

číslo ALE sa nazýva limita funkcie f(M) pri M > M 0, ak pre ľubovoľné číslo e > 0 existuje vždy číslo q > 0 také, že pre ľubovoľné body M, iný ako M 0 a spĺňa podmienku | MM 0 | < д, будет иметь место неравенство | f(M) - ALE | < е.