Súčet aritmetického postupu.

Súčet aritmetickej progresie je jednoduchá vec. Aj vo význame, aj vo vzorci. Ale na túto tému sú všelijaké úlohy. Od základných až po celkom solídne.

Najprv sa pozrime na význam a vzorec súčtu. A potom sa rozhodneme. Pre vlastné potešenie.) Význam sumy je taký jednoduchý ako zníženie. Ak chcete nájsť súčet aritmetického postupu, stačí opatrne pridať všetky jeho členy. Ak je týchto výrazov málo, môžete pridať bez akýchkoľvek vzorcov. Ale ak je veľa, alebo veľa ... sčítanie je otravné.) V tomto prípade vzorec šetrí.

Vzorec súčtu je jednoduchý:

Poďme zistiť, aké písmená sú zahrnuté vo vzorci. Tým sa veľa vyjasní.

S n je súčet aritmetickej progresie. Výsledok sčítania všetkyčlenov, s najprv na posledný. To je dôležité. Zrátajte presne všetkyčlenov v rade, bez medzier a skokov. A presne, počnúc od najprv. V problémoch, ako je nájdenie súčtu tretieho a ôsmeho členu alebo súčtu členov päť až dvadsiaty, bude priame použitie vzorca sklamaním.)

1 - prvýčlen progresu. Všetko je tu jasné, je to jednoduché najprvčíslo riadku.

a n- poslednýčlen progresu. Posledné číslo riadku. Nie veľmi známy názov, ale pri aplikácii na množstvo je veľmi vhodný. Potom uvidíte sami.

n je číslo posledného člena. Je dôležité pochopiť, že vo vzorci toto číslo sa zhoduje s počtom pridaných výrazov.

Definujme pojem poslednýčlenom a n. Doplňujúca otázka: aký člen bude posledný, ak je daný nekonečné aritmetický postup?

Pre spoľahlivú odpoveď musíte pochopiť základný význam aritmetického postupu a ... pozorne si prečítajte zadanie!)

V úlohe nájsť súčet aritmetickej progresie sa vždy objaví posledný člen (priamo alebo nepriamo), ktorý by mal byť obmedzený. V opačnom prípade konečná, konkrétna suma proste neexistuje. Pri riešení nezáleží na tom, aký druh progresie je daný: konečný alebo nekonečný. Nezáleží na tom, ako je to dané: radom čísel, alebo vzorcom n-tého člena.

Najdôležitejšie je pochopiť, že vzorec funguje od prvého členu postupnosti až po člen s číslom n. V skutočnosti celý názov vzorca vyzerá takto: súčet prvých n členov aritmetickej progresie. Počet týchto úplne prvých členov, t.j. n, je určená výlučne úlohou. V úlohe sú všetky tieto cenné informácie často zašifrované, áno ... Ale nič, v príkladoch nižšie tieto tajomstvá odhalíme.)

Príklady úloh pre súčet aritmetického postupu.

v prvom rade užitočná informácia:

Hlavnou ťažkosťou úloh pre súčet aritmetickej progresie je správne určenie prvkov vzorca.

Autori zadaní zašifrujú práve tieto prvky s bezhraničnou fantáziou.) Tu ide hlavne o to nebáť sa. Aby sme pochopili podstatu prvkov, stačí ich len dešifrovať. Pozrime sa na niekoľko príkladov podrobne. Začnime úlohou založenou na skutočnom GIA.

1. Aritmetická postupnosť je daná podmienkou: a n = 2n-3,5. Nájdite súčet prvých 10 výrazov.

Dobrá práca. Jednoduché.) Na určenie množstva podľa vzorca, čo potrebujeme vedieť? Prvý člen 1, posledný termín a n, áno číslo posledného termínu n.

Kde získať posledné členské číslo n? Áno, na tom istom mieste, v stave! Hovorí sa nájsť sumu prvých 10 členov. No aké to bude číslo posledný, desiaty člen?) Neuveríte, jeho číslo je desiate!) Preto namiesto a n dosadíme do vzorca 10, ale namiesto toho n- desať. Opäť platí, že číslo posledného člena je rovnaké ako počet členov.

Zostáva určiť 1 a 10. Toto sa ľahko vypočíta podľa vzorca n-tého člena, ktorý je uvedený v probléme. Neviete ako na to? Navštívte predchádzajúcu lekciu, bez toho - nič.

1= 21 - 3,5 = -1,5

10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Zistili sme význam všetkých prvkov vzorca pre súčet aritmetickej progresie. Zostáva ich nahradiť a počítať:

To je všetko. odpoveď: 75.

Ďalšia úloha založená na GIA. Trochu komplikovanejšie:

2. Daná aritmetická progresia (a n), ktorej rozdiel je 3,7; a 1 \u003d 2.3. Nájdite súčet prvých 15 výrazov.

Okamžite napíšeme vzorec súčtu:

Tento vzorec nám umožňuje nájsť hodnotu ľubovoľného člena podľa jeho čísla. Hľadáme jednoduchú náhradu:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Zostáva nahradiť všetky prvky vo vzorci súčtom aritmetickej progresie a vypočítať odpoveď:

Odpoveď: 423.

Mimochodom, ak vo vzorci súčtu namiesto a n stačí dosadiť vzorec n-tého člena, dostaneme:

Dáme podobné, dostaneme nový vzorec pre súčet členov aritmetickej progresie:

Ako vidíte, nie je to potrebné n-tý člen a n. V niektorých úlohách tento vzorec veľmi pomáha, áno ... Tento vzorec si môžete zapamätať. A môžete ho jednoducho stiahnuť v správnom čase, ako tu. Koniec koncov, vzorec pre súčet a vzorec pre n-tý člen si treba zapamätať v každom smere.)

Teraz úloha vo forme krátkeho šifrovania):

3. Nájdite súčet všetkých kladných dvojciferných čísel, ktoré sú násobkami troch.

Ako! Žiadny prvý člen, žiadny posledný, vôbec žiadny postup... Ako žiť!?

Budete musieť premýšľať hlavou a vytiahnuť z podmienky všetky prvky súčtu aritmetického postupu. Čo sú to dvojciferné čísla - vieme. Skladajú sa z dvoch čísel.) Aké dvojciferné číslo bude najprv? 10, pravdepodobne.) posledná vec dvojciferné číslo? 99, samozrejme! Trojciferné ho budú nasledovať...

Násobky troch... Hm... To sú čísla, ktoré sú rovnomerne deliteľné tromi, tu! Desať nie je deliteľné tromi, 11 nie je deliteľné... 12... je deliteľné! Niečo sa teda objavuje. Už môžete napísať sériu podľa stavu problému:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Bude táto séria aritmetickým postupom? Samozrejme! Každý termín sa od predchádzajúceho líši striktne tromi. Ak sa k pojmu pridá 2, alebo 4, povedzme výsledok, t.j. nové číslo sa už nebude deliť 3. Okamžite môžete určiť rozdiel aritmetického postupu na haldu: d = 3. Užitočné!)

Takže si môžeme bezpečne zapísať niektoré parametre postupu:

Aké bude číslo n posledný člen? Každý, kto si myslí, že 99 sa fatálne mýli... Čísla - vždy idú za sebou a naši členovia preskakujú prvú trojku. Nezhodujú sa.

Tu sú dve riešenia. Jedna cesta je pre super pracovitých. Môžete si namaľovať postupnosť, celý rad čísel a spočítať počet členov prstom.) Druhý spôsob je pre premýšľavých. Musíte si zapamätať vzorec pre n-tý člen. Ak vzorec použijeme na náš problém, dostaneme, že 99 je tridsiaty člen progresie. Tie. n = 30.

Pozrime sa na vzorec pre súčet aritmetickej progresie:

Pozeráme a radujeme sa.) Vytiahli sme všetko potrebné na výpočet sumy zo stavu problému:

1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

Čo zostáva, je elementárna aritmetika. Dosaďte čísla vo vzorci a vypočítajte:

Odpoveď: 1665

Ďalší typ populárnych hádaniek:

4. Uvádza sa aritmetický postup:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Nájdite súčet členov od dvadsiateho do tridsiateho štvrtého.

Pozrieme sa na súčtový vzorec a ... sme naštvaní.) Vzorec, dovoľte mi pripomenúť, vypočíta súčet od prvéhočlenom. A v úlohe musíte vypočítať súčet od dvadsiateho... Vzorec nebude fungovať.

Môžete samozrejme namaľovať celý postup v rade a dať členov od 20 do 34. Ale ... nejako to dopadne hlúpo a dlho, nie?)

Existuje elegantnejšie riešenie. Rozdeľme náš seriál na dve časti. Prvá časť bude od prvého funkčného obdobia do devätnásteho. Druhá časť - dvadsať až tridsaťštyri. Je jasné, že ak spočítame súčet členov prvej časti S 1-19, pripočítajme to k súčtu členov druhej časti S 20-34, dostaneme súčet postupu od prvého termínu do tridsiateho štvrtého S 1-34. Páči sa ti to:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

To ukazuje, že nájsť súčet S 20-34 možno vykonať jednoduchým odčítaním

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Zohľadňujú sa obe sumy na pravej strane od prvéhočlen, t.j. štandardný sumárny vzorec je pre nich celkom použiteľný. Začíname?

Z podmienky úlohy extrahujeme parametre postupu:

d = 1,5.

1= -21,5.

Na výpočet súčtu prvých 19 a prvých 34 termínov budeme potrebovať 19. a 34. termín. Počítame ich podľa vzorca n-tého člena, ako v úlohe 2:

19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Nezostalo nič. Odpočítajte súčet 19 termínov od súčtu 34 termínov:

S20-34 = S1-34 - S1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Odpoveď: 262,5

Jedna dôležitá poznámka! Pri riešení tohto problému existuje veľmi užitočná funkcia. Namiesto priamej kalkulácie čo potrebujete (S 20-34), počítali sme čo, zdá sa, nie je potrebné - S 1-19. A potom sa rozhodli S 20-34, vyradenie nepotrebného z úplného výsledku. Takáto „finta s ušami“ často zachraňuje zlé hádanky.)

V tejto lekcii sme skúmali problémy, pri ktorých stačí pochopiť význam súčtu aritmetickej progresie. No, musíte poznať pár vzorcov.)

Praktické rady:

Pri riešení akejkoľvek úlohy na súčet aritmetickej progresie odporúčam hneď vypísať dva hlavné vzorce z tejto témy.

Vzorec n-tého členu:

Tieto vzorce vám okamžite povedia, čo hľadať, akým smerom myslieť, aby ste problém vyriešili. Pomáha.

A teraz úlohy na samostatné riešenie.

5. Nájdite súčet všetkých dvojciferných čísel, ktoré nie sú deliteľné tromi.

V pohode?) Nápoveda je ukrytá v poznámke k problému 4. No, problém 3 pomôže.

6. Aritmetická progresia je daná podmienkou: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Nájdite súčet prvých 24 výrazov.

Nezvyčajné?) Toto je opakujúci sa vzorec. Môžete si o tom prečítať v predchádzajúcej lekcii. Neignorujte odkaz, takéto hádanky sa často nachádzajú v GIA.

7. Vasya našetril peniaze na sviatok. Až 4550 rubľov! A rozhodol som sa darovať najmilovanejšej osobe (sebe) pár dní šťastia). Žite krásne bez toho, aby ste si čokoľvek odopierali. Strávte 500 rubľov v prvý deň a každý nasledujúci deň miňte o 50 rubľov viac ako v predchádzajúci! Kým sa neminú peniaze. Koľko dní šťastia mala Vasya?

Je to ťažké?) Pomôže vám dodatočný vzorec z úlohy 2.

Odpovede (v neporiadku): 7, 3240, 6.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Odpoveď: séria sa rozchádza.

Príklad č. 3

Nájdite súčet radu $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.

Keďže spodná hranica súčtu je 1, spoločný člen radu sa zapíše pod znamienko súčtu: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Zostavte n-tý čiastkový súčet radu, t.j. spočítajte prvých $n$ členov daného číselného radu:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Prečo píšem presne $\frac(2)(3\cdot 5)$, a nie $\frac(2)(15)$, bude jasné z ďalšieho rozprávania. Zaznamenanie čiastkového súčtu nás však k cieľu nepriblížilo ani o kúsok. Koniec koncov, musíme nájsť $\lim_(n\to\infty)S_n$, ale ak napíšeme:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

potom nám tento záznam, vo forme úplne správny, vo svojej podstate nič nedá. Aby sme našli limitu, musí sa výraz čiastočného súčtu najskôr zjednodušiť.

Existuje na to štandardná transformácia, ktorá spočíva v rozklade zlomku $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, ktorý predstavuje spoločný člen radu, na elementárne zlomky. Samostatná téma je venovaná problematike rozkladu racionálnych zlomkov na elementárne (pozri napr. príklad č. 3 na tejto strane). Rozbalením zlomku $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ na elementárne zlomky máme:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Čitatelia zlomkov na ľavej a pravej strane výslednej rovnosti srovnáme:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

Existujú dva spôsoby, ako nájsť hodnoty $A$ a $B$. Môžete otvoriť zátvorky a zmeniť usporiadanie výrazov, alebo môžete jednoducho nahradiť niektoré vhodné hodnoty namiesto $n$. Len pre zmenu, v tomto príklade pôjdeme prvým spôsobom a ďalším - nahradíme súkromné ​​hodnoty $n$. Rozbalením zátvoriek a preusporiadaním výrazov dostaneme:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

Na ľavej strane rovnice pred $n$ je nula. Ak chcete, ľavá strana rovnosti môže byť kvôli prehľadnosti reprezentovaná ako $0\cdot n+ 2$. Keďže na ľavej strane rovnosti $n$ predchádza nula a na pravej strane rovnosti $2A+2B$ predchádza $n$, máme prvú rovnicu: $2A+2B=0$. Obe časti tejto rovnice ihneď vydelíme 2, po čom dostaneme $A+B=0$.

Keďže voľný člen na ľavej strane rovnosti je rovný 2 a na pravej strane rovnosti je voľný člen rovný $3A+B$, potom $3A+B=2$. Takže máme systém:

$$ \vľavo\(\začiatok(zarovnané) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \koniec (zarovnané)\vpravo. $$

Dôkaz bude vykonaný metódou matematickej indukcie. V prvom kroku musíme skontrolovať, či požadovaná rovnosť $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ platí pre $n=1$. Vieme, že $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, ale bude výraz $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ dávať hodnotu $\frac( 2 )(15)$, ak sa do neho nahradí $n=1$? Skontrolujme to:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Takže pre $n=1$ je splnená rovnosť $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Tým sa dokončí prvý krok metódy matematickej indukcie.

Predpokladajme, že pre $n=k$ platí rovnosť, t.j. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Dokážme, že rovnaká rovnosť bude platiť pre $n=k+1$. Ak to chcete urobiť, zvážte $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

Keďže $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, potom $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Podľa vyššie uvedeného predpokladu $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, takže vzorec $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ trvá formulár:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Záver: vzorec $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ platí pre $n=k+1$. Preto podľa metódy matematickej indukcie platí vzorec $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ pre ľubovoľné $n\in N$. Rovnosť bola preukázaná.

V štandardnom kurze vyššej matematiky sa človek zvyčajne uspokojí s „vymazaním“ rušiacich výrazov bez toho, aby vyžadoval akýkoľvek dôkaz. Takže máme výraz pre n-tý čiastočný súčty: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Nájdite hodnotu $\lim_(n\to\infty)S_n$:

Záver: daný rad konverguje a jeho súčet je $S=\frac(1)(3)$.

Druhým spôsobom je zjednodušenie vzorca pre čiastkový súčet.

Aby som bol úprimný, sám preferujem tento spôsob :) Čiastkový súčet si zapíšme v skrátenej forme:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Dostali sme sa skôr, že $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, takže:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\vľavo (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\vpravo). $$

Súčet $S_n$ obsahuje konečný počet členov, takže ich môžeme preusporiadať akokoľvek chceme. Chcem najprv pridať všetky podmienky formulára $\frac(1)(2k+1)$ a až potom prejsť na podmienky formulára $\frac(1)(2k+3)$. To znamená, že čiastkový súčet budeme reprezentovať v tomto tvare:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\vpravo). $$

Rozšírený zápis je samozrejme mimoriadne nepohodlný, takže vyššie uvedená rovnosť môže byť napísaná kompaktnejšie:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\vľavo(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\vpravo)=\suma\limity_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\súčet\limity_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Teraz transformujeme výrazy $\frac(1)(2k+1)$ a $\frac(1)(2k+3)$ do rovnakého tvaru. Myslím, že je vhodné, aby to vyzeralo ako väčší zlomok (aj keď môžete použiť aj menší, je to vec vkusu). Keďže $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (čím väčší menovateľ, tým menší zlomok), zlomok zmenšíme $\frac(1)(2k+ 3) $ do tvaru $\frac(1)(2k+1)$.

Výraz v menovateli zlomku $\frac(1)(2k+3)$ uvediem takto:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

A súčet $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ možno teraz zapísať takto:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Ak je rovnosť $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ nevyvoláva otázky, potom poďme ďalej. Ak máte otázky, rozšírte poznámku.

Ako sme získali prepočítanú sumu? ukázať skryť

Mali sme sériu $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Predstavme si novú premennú namiesto $k+1$ – napríklad $t$. Takže $t=k+1$.

Ako sa zmenila stará premenná $k$? A zmenilo sa z 1 na $n$. Poďme zistiť, ako sa zmení nová premenná $t$. Ak $k=1$, potom $t=1+1=2$. Ak $k=n$, potom $t=n+1$. Takže výraz $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ je teraz: $\sum\limits_(t=2)^(n + 1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$

Máme súčet $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Otázka: záleží na tom, ktoré písmeno použiť v tejto sume? :) Jednoduchým napísaním písmena $k$ namiesto $t$ dostaneme nasledovné:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

Takto je rovnosť $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1) sa získa \frac(1)(2k+1)$.

Čiastočný súčet teda môže byť vyjadrený v tejto forme:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). $$

Všimnite si, že súčty $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ a $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ sa líšia iba limitmi súčtu. Urobme tieto limity rovnaké. "Vzatím" prvého prvku zo súčtu $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ dostaneme:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

"Vezmeme" posledný prvok zo súčtu $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, dostaneme:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

Potom výraz pre čiastočný súčet bude mať tvar:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\vpravo)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Ak preskočíte všetky vysvetlenia, proces hľadania skráteného vzorca pre n-tý čiastkový súčet bude mať nasledujúcu podobu:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\vpravo)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Pripomínam, že zlomok $\frac(1)(2k+3)$ sme zredukovali do tvaru $\frac(1)(2k+1)$. Samozrejme, môžete to urobiť aj opačne, t.j. predstavujú zlomok $\frac(1)(2k+1)$ ako $\frac(1)(2k+3)$. Výsledný výraz pre čiastkový súčet sa nezmení. V tomto prípade skryjem proces zisťovania čiastkovej sumy pod poznámku.

Ako nájsť $S_n$, ak prenesiete do tvaru iného zlomku? ukázať skryť

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\vpravo) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). $$

Takže $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Nájdite limit $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

Daný rad konverguje a jeho súčet je $S=\frac(1)(3)$.

Odpoveď: $S=\frac(1)(3)$.

O pokračovaní témy hľadania súčtu série sa bude uvažovať v druhej a tretej časti.

Skôr ako sa začneme rozhodovať problémy s aritmetickou progresiou, zvážte, čo je to číselná postupnosť, keďže aritmetická postupnosť je špeciálnym prípadom postupnosti čísel.

Číselná postupnosť je množina čísel, ktorej každý prvok má svoj vlastný sériové číslo . Prvky tejto množiny sa nazývajú členy postupnosti. Poradové číslo prvku sekvencie je označené indexom:

Prvý prvok sekvencie;

Piaty prvok postupnosti;

- "n-tý" prvok postupnosti, t.j. prvok „stojí v rade“ pri čísle n.

Existuje závislosť medzi hodnotou prvku sekvencie a jeho poradovým číslom. Preto môžeme postupnosť považovať za funkciu, ktorej argumentom je poradové číslo prvku postupnosti. Inými slovami, dá sa to povedať postupnosť je funkciou prirodzeného argumentu:

Postupnosť je možné určiť tromi spôsobmi:

1 . Postupnosť je možné špecifikovať pomocou tabuľky. V tomto prípade jednoducho nastavíme hodnotu každého člena postupnosti.

Niekto sa napríklad rozhodol urobiť si osobný time management a na začiatok spočítať, koľko času trávi na VKontakte počas týždňa. Zapísaním času do tabuľky dostane sekvenciu pozostávajúcu zo siedmich prvkov:

Prvý riadok tabuľky obsahuje číslo dňa v týždni, druhý - čas v minútach. Vidíme, že v pondelok Niekto strávil na VKontakte 125 minút, to znamená vo štvrtok - 248 minút, a teda v piatok iba 15.

2 . Postupnosť môže byť špecifikovaná pomocou vzorca n-tého člena.

V tomto prípade je závislosť hodnoty prvku sekvencie od jeho čísla vyjadrená priamo ako vzorec.

Napríklad, ak , tak

Aby sme našli hodnotu prvku sekvencie s daným číslom, dosadíme číslo prvku do vzorca pre n-tý člen.

To isté robíme, ak potrebujeme nájsť hodnotu funkcie, ak je známa hodnota argumentu. Namiesto toho dosadíme hodnotu argumentu do rovnice funkcie:

Ak napr. , potom

Ešte raz podotýkam, že v postupnosti, na rozdiel od ľubovoľnej číselnej funkcie, môže byť argumentom iba prirodzené číslo.

3 . Postupnosť je možné špecifikovať pomocou vzorca, ktorý vyjadruje závislosť hodnoty člena postupnosti s číslom n od hodnoty predchádzajúcich členov. V tomto prípade nám na zistenie jeho hodnoty nestačí poznať iba číslo člena postupnosti. Musíme špecifikovať prvý člen alebo niekoľko prvých členov postupnosti.

Zvážte napríklad postupnosť ,

Môžeme nájsť hodnoty členov sekvencie v sekvencii, počnúc treťou:

To znamená, že vždy, keď nájdeme hodnotu n-tého člena postupnosti, vrátime sa k predchádzajúcim dvom. Tento spôsob sekvenovania sa nazýva opakujúci, z latinského slova recurro- vráť sa.

Teraz môžeme definovať aritmetickú progresiu. Aritmetická progresia je jednoduchý špeciálny prípad číselnej postupnosti.

Aritmetický postup sa nazýva číselná postupnosť, ktorej každý člen, počnúc druhým, sa rovná predchádzajúcemu, sčítanému rovnakým číslom.

Číslo sa volá rozdiel aritmetického postupu. Rozdiel aritmetického postupu môže byť kladný, záporný alebo nulový.

Ak title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} zvyšujúci sa.

Napríklad 2; 5; osem; jedenásť;...

Ak , potom je každý člen aritmetickej progresie menší ako predchádzajúci a progresia je ubúdanie.

Napríklad 2; - jeden; - štyri; -7;...

Ak , potom sa všetky členy postupu rovnajú rovnakému číslu a postupnosť je stacionárne.

Napríklad 2;2;2;2;...

Hlavná vlastnosť aritmetického postupu:

Pozrime sa na obrázok.

To vidíme

, a zároveň

Pridaním týchto dvoch rovností dostaneme:

.

Vydeľte obe strany rovnice 2:

Takže každý člen aritmetickej progresie, počnúc druhým, sa rovná aritmetickému priemeru dvoch susedných:

Navyše, pretože

, a zároveň

, potom

, a preto

Každý člen aritmetického postupu začínajúceho sa title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

členský vzorec.

Vidíme, že pre členov aritmetickej progresie platia tieto vzťahy:

a nakoniec

Máme vzorec n-tého členu.

DÔLEŽITÉ! Ktorýkoľvek člen aritmetickej progresie môže byť vyjadrený pomocou a . Keď poznáte prvý výraz a rozdiel aritmetického postupu, môžete nájsť ktoréhokoľvek z jeho členov.

Súčet n členov aritmetickej progresie.

V ľubovoľnom aritmetickom postupe sú súčty termínov rovnako vzdialené od extrémov navzájom rovnaké:

Uvažujme aritmetickú progresiu s n členmi. Nech sa súčet n členov tejto postupnosti rovná .

Usporiadajte podmienky progresie najprv vo vzostupnom poradí čísel a potom v zostupnom poradí:

Poďme to spárovať:

Súčet v každej zátvorke je , počet párov je n.

Dostaneme:

takže, súčet n členov aritmetickej progresie možno nájsť pomocou vzorcov:

Zvážte riešenie problémov aritmetického postupu.

1 . Postupnosť je daná vzorcom n-tého člena: . Dokážte, že táto postupnosť je aritmetickou progresiou.

Dokážme, že rozdiel medzi dvoma susednými členmi postupnosti sa rovná rovnakému číslu.

Zistili sme, že rozdiel dvoch susedných členov postupnosti nezávisí od ich počtu a je konštantný. Preto je podľa definície táto postupnosť aritmetickou progresiou.

2 . Daná aritmetická progresia -31; -27;...

a) Nájdite 31 podmienok postupu.

b) Určte, či je číslo 41 zahrnuté v tomto postupe.

a) Vidíme to;

Zapíšme si vzorec pre n-tý člen našej postupnosti.

Všeobecne

V našom prípade , preto