При изчисляване на определени интеграли с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц е за предпочитане да не се прави стриктно разграничение между етапите на решаване на проблема (намиране на интегранта на първоизводната, намиране на увеличението на първоизводната). Този подход, който използва по-специално промяната на променливата и формулите за интегриране по части за определен интеграл, обикновено прави възможно да се опрости писането на решението.

ТЕОРЕМА. Нека функцията φ(t) има непрекъсната производна на сегмента [α,β], a=φ(α), b=φ(β) и функцията f(x) е непрекъсната във всяка точка x от формата x =φ(t), където t[α,β].

Тогава е вярно следното равенство:

Тази формула се нарича формула за промяна на променлива в определен интеграл.

Точно както беше в случая с неопределения интеграл, използването на промяна на променлива прави възможно опростяването на интеграла, доближавайки го до табличния(ите). В този случай, за разлика от неопределения интеграл, в този случай няма нужда да се връщате към първоначалната променлива за интегриране. Достатъчно е да се намерят границите на интегриране на α и β по новата променлива t като решение на уравненията φ(t)=а и φ(t)=в по отношение на променливата t. На практика, когато се променя променлива, често се започва със задаване на израза t=ψ(x) на новата променлива чрез старата. В този случай намирането на границите на интегриране по отношение на променливата t е опростено: α=ψ(a), β=ψ(c).

Пример 19. Пресметнете

Нека поставим t=2-x 2 . Тогава dt=d(2-x 2)=(2-x 2)"dx=-2xdx и xdx=-dt. Ако x=0, тогава t=2-0 2 =2 и ако x=1, тогава t=2-1 2 = 1. Следователно:

Пример 20 Изчислете

Нека използваме промяната на променливата. Тогава и . Ако x=0, тогава t=1 и ако x=5, тогава t=4. Като заместваме, получаваме

Обръщаме се към разглеждането на общия случай - метода за промяна на променливи в неопределения интеграл.

Пример 5

Като пример взех интеграла, който разгледахме в самото начало на урока. Както вече казахме, за да решим интеграла, харесахме табличната формула и бих искал да сведа всичко до нея.

Идеята зад метода за подмяна е да заменете сложен израз (или някаква функция) с една буква.
В този случай той пита:
Второто най-популярно заместващо писмо е писмото .
По принцип можете да използвате и други букви, но ние все пак се придържаме към традициите.

Така:
Но при смяната ни остава! Вероятно мнозина са предположили, че ако се направи преход към нова променлива, тогава в новия интеграл всичко трябва да бъде изразено чрез буквата и изобщо няма място за диференциала.
Следва логичен извод, че е необходимо се превръщат в някакъв израз, който зависи само от.

Действието е следното. След като сме избрали заместител, този пример, , трябва да намерим диференциала. С диференциалите мисля, че приятелството вече е установено за всички.

От тогава

След шоудауна с диференциала препоръчвам да пренапишете крайния резултат възможно най-кратко:
Сега, според правилата на пропорцията, изразяваме това, от което се нуждаем:

В крайна сметка:
По този начин:

И това вече е най-табличният интеграл ( таблица на интегралите, разбира се, е валидно и за променливата ).

В заключение остава да се извърши обратната подмяна. Помним това.

Готов.

Крайният дизайн на този пример трябва да изглежда така:

“

Да заменим:

“

Иконата не носи никакво математическо значение, това означава, че сме прекъснали решението за междинни обяснения.

Когато правите пример в тетрадка, по-добре е да надстроите обратното заместване с обикновен молив.

внимание!В следващите примери намирането на диференциала няма да бъде описано подробно.

И сега е време да си припомним първото решение:

Каква е разликата? Няма принципна разлика. Това всъщност е едно и също нещо. Но от гледна точка на дизайна на задачата, методът за привеждане на функцията под знака на диференциала е много по-кратък.

Възниква въпросът. Ако първият начин е по-кратък, тогава защо да използвате метода замяна? Факт е, че за редица интеграли не е толкова лесно функцията да се "побере" под знака на диференциала.

Пример 6

Намерете неопределения интеграл.

Да направим замяна: (трудно е да се измисли друга замяна тук)

Както можете да видите, в резултат на подмяната, оригиналният интеграл е значително опростен - намален до обикновена степенна функция. Това е целта на замяната - да опрости интеграла.

Мързеливите напреднали хора могат лесно да решат този интеграл, като поставят функцията под диференциалния знак:

Друго нещо е, че такова решение не е очевидно за всички ученици. В допълнение, вече в този пример, използването на метода за привеждане на функция под диференциалния знак значително увеличава риска от объркване в решението.

Пример 7

Намерете неопределения интеграл. Пуснете проверка.

Пример 8

Намерете неопределения интеграл.

Замяна:
Предстои да видим какво ще стане

Е, изразихме се, но какво да правим с останалия „Х” в числителя?!
От време на време, в процеса на решаване на интеграли, се случва следният трик: ще изразим от една и съща замяна !

Пример 9

Намерете неопределения интеграл.

Това е пример за независимо решение. Отговорете в края на урока.

Пример 10

Намерете неопределения интеграл.

Със сигурност някои са забелязали, че моята референтна таблица няма правило за заместване на променливи. Беше направено умишлено. Правилото би объркало обяснението и разбирането, тъй като не се появява изрично в горните примери.

Време е да поговорим за основната предпоставка за използването на метода на заместване на променливи: интегралната функция трябва да съдържа някаква функция и негово производно : (функциите може да не са в продукта)

В тази връзка, когато се намират интеграли, често трябва да се погледне в таблицата на производните.

В този пример забелязваме, че степента на числителя е с едно по-малка от степента на знаменателя. В таблицата с производни намираме формулата, която просто намалява степента с единица. И следователно, ако посочите за знаменател, тогава има големи шансове числителят да се превърне в нещо добро.

Замяна:

Между другото, тук не е толкова трудно да приведете функцията под диференциалния знак:

Трябва да се отбележи, че за дроби като , такъв трик вече няма да работи (по-точно, ще е необходимо да се приложи не само техниката на заместване). Можете да научите как да интегрирате някои дроби в урока Интегриране на някои дроби.

Ето още няколко типични примера за самостоятелно решение от същата опера:

Пример 11

Намерете неопределения интеграл.

Пример 12

Намерете неопределения интеграл.

Решения в края на урока.

Пример 13

Намерете неопределения интеграл.

Разглеждаме таблицата с производни и намираме нашия арккосинус: . Имаме в интегранта аркосинус и нещо подобно на неговата производна.

Общо правило:
пер обозначават самата функция(а не негово производно).

В такъв случай: . Остава да разберем в какво ще се превърне останалата част от интегранта.

В този пример ще опиша находката подробно, защото това е сложна функция.

Или по-кратко:
Според правилото за пропорцията изразяваме остатъка, от който се нуждаем:

По този начин:

Тук не е толкова лесно функцията да се постави под знака на диференциала.

Пример 14

Намерете неопределения интеграл.

Пример за самостоятелно решение. Отговорът е много близо.

Внимателните читатели ще забележат, че съм разгледал няколко примера с тригонометрични функции. И това не е случайно, т.к интеграли на тригонометрични функциидаден отделен урок. Освен това в посочения урок са дадени някои полезни насоки за промяна на променлива, което е особено важно за манекени, които не винаги и веднага разбират каква замяна трябва да се извърши в един или друг интеграл. Също така някои видове заместители могат да бъдат намерени в статията Определен интеграл. Примери за решения.

По-опитните студенти могат да се запознаят с типичен заместител в интеграли с ирационални функции. Заместването на коренна интеграция е специфично и техниката му на изпълнение се различава от тази, която разгледахме в този урок.

Пожелавам ти успех!

Пример 3:Решение :

Пример 4:Решение :

Пример 7:Решение :

Пример 9:Решение :

Замяна:

Пример 11:Решение :

Да заменим:

Пример 12:Решение :

Да заменим:

Пример 14:Решение :

Да заменим:

Интеграция по части. Примери за решения

Здравей отново. Днес в урока ще научим как да интегрираме по части. Методът на интегриране по части е един от крайъгълните камъни на интегралното смятане. На теста, изпита почти винаги се предлага на студента да реши интеграли от следните видове: най-простият интеграл (виж статиятаНеопределен интеграл. Примери за решения ) или интеграл за промяна на променливата (виж статиятаМетод на промяна на променлива в неопределен интеграл ) или интеграла само на метод на интегриране по части.

Както винаги, под ръка трябва да има: Таблица на интегралитеи Производна таблица. Ако все още ги нямате, моля, посетете склада на моя сайт: Математически формули и таблици. Няма да се уморя да повтарям - по-добре е да отпечатате всичко. Ще се опитам да представя целия материал последователно, просто и достъпно, няма особени затруднения при интегрирането по части.

Какъв проблем решава интегрирането по части? Методът на интегриране по части решава много важен проблем, той ви позволява да интегрирате някои функции, които не са в таблицата, работафункции, а в някои случаи - и частни. Както си спомняме, няма удобна формула: . Но има и този: е формулата за интегриране по части лично. Знам, знам, ти си единственият - с нея ще работим целия урок (вече е по-лесно).

4) , са обратни тригонометрични функции("арки"), "арки", умножени по някакъв полином.

Също така някои фракции се вземат на части, ние също ще разгледаме съответните примери подробно.

Интеграли от логаритми

Пример 1

Намерете неопределения интеграл.

Класически. От време на време този интеграл може да се намери в таблици, но е нежелателно да се използва готов отговор, тъй като учителят има авитаминоза през пролетта и той ще се кара много. Защото разглежданият интеграл в никакъв случай не е табличен - той се взема на части. Ние решаваме:

Прекъсваме решението за междинни обяснения.

Използваме формулата за интегриране по части:

Изчислете даден интеграл чрез пряко интегриране

не винаги успява. Един от най-ефективните методи

е метод за заместване или замяна на променлива на интегриране.

Същността на този метод се състои в това, че чрез въвеждане на нова интеграционна променлива е възможно да се намали дадения интеграл до

нов интеграл, който се взема чрез директно интегриране.

Помислете за този метод:

Нека е непрекъсната функция

трябва да намеря: (1)

Нека променим интеграционната променлива:

където φ (t) е монотонна функция, която има непрекъсната производна

и има комплексна функция f(φ(t)).

Прилагане към F (x) = F (φ (t)) формулата за диференциране на комплекса

функции, получаваме:

﴾F (φ (t))﴿′ = F′(x) ∙ φ′ (t)

Но F (x) = f (x) = f (φ (t)), така че

﴾F (φ (t))﴿′ = f (φ (t)) ∙ φ′ (t) (3)

По този начин функцията F(φ (t)) е първоизводна за функцията

f (φ (t)) ∙ φ′ (t), така че:

∫ f (φ (t)) ∙ φ′ (t) dt = F (φ (t)) + C (4)

Като се има предвид, че F (φ (t)﴿ = F (x), от (1) и (4) следва формулата за заместване

променлива в неопределения интеграл:

∫ f (x)dx = ∫ f(φ (t)) φ′ (t)dt (5)

Формула (5) се получава чрез замяна на x с φ (t) и dx с φ′ (t)dt

В резултата, получен след интегриране по формула (5) следва

върнете се към x. Това винаги е възможно, тъй като

позиция, функцията x = φ (t) е монотонна.

Добрият избор на заместител обикновено представлява добре позната работа.

ност. За преодоляването им е необходимо да се овладее техниката на диференциране

цитиране и имат добри познания за табличните интеграли.

Все пак можете да зададете Общи правилаи някои трикове

интеграция.

Правила за интегриране по метода на заместване:

1. Определете към кой табличен интеграл се редуцира този интеграл (като преди това сте преобразували интегранта, ако е необходимо).

2. Определете коя част от интегранта трябва да бъде заменена

нова променлива и запишете тази замяна.

3. Намерете диференциалите на двете части на записа и изразете диференциала

старата променлива (или израз, съдържащ този диференциал

rencial) чрез диференциала на новата променлива.

4. Направете подмяна под интеграла.

5. Намерете получения интеграл.

6. В резултат на това отидете на старата променлива.

Примери за решаване на интеграли чрез метода на заместване:

1. Намерете: ∫ x²(3+2x) dx

Решение:

нека направим заместване 3+2x = t

Намерете диференциала на двете части на заместването:

6x dx = dt, откъдето

Следователно:

∫ x (3+2x ) dx = ∫ t ∙ dt = ∫ t dt = ∙ + C = t + C

Заменяйки t с неговия заместващ израз, получаваме:

∫ x (3+2x) dx = (3+2x) + C

Решение:

= ∫ = e = e + C = e + C

Решение:

Решение:

Решение:

Понятието за определен интеграл.

Разликата в стойностите за всяка антипроизводна функция, когато аргументът се промени от до се нарича интеграл на тази функция в диапазона от a до b и се обозначава:

a и b се наричат ​​долна и горна граница на интегриране.

За да изчислите определения интеграл, трябва:

1. Намерете съответния неопределен интеграл

2. Заместете в получения израз вместо x, първо горната граница на интегриране в, а след това долната граница - a.

3. Извадете втория резултат от първия резултат от заместването.

Накратко, това правило е написано под формата на формули, както следва:

Тази формула се нарича формула на Нютон-Лайбниц.

Основните свойства на определения интеграл:

1. , където K=const

3. Ако , тогава

4. Ако функцията е неотрицателна на интервала , където , то

При замяна на старата интегрална променлива с нова в определен интеграл е необходимо да се заменят старите граници на интегриране с нови. Тези нови граници се определят от избраното заместване.

Приложение на определен интеграл.

Площ на криволинеен трапец, ограничен от крива, ос x и две прави линии иизчислено по формулата:

Обемът на тяло, образувано от въртене около абсцисната ос на криволинеен трапец, ограничен от крива, която не променя знака си от , абсцисната ос и две прави линии иизчислено по формулата:

С помощта на определен интеграл могат да се решат и редица физически задачи.

Например:

Ако скоростта на праволинейно движещо се тяло е известна функция на времето t, тогава пътят S, изминат от това тяло от време t \u003d t 1 до време t \u003d t 2, се определя по формулата:

Ако променливата сила е известна функция на пътя S (приема се, че посоката на силата не се променя), тогава работата A, извършена от тази сила по пътя от до, се определя по формулата:

Примери:

1. Изчислете площта на фигура, ограничена от линии:

y = ; y = (x-2) 2; 0x.

Решение:

а) Да построим графики на функции: y = ; у=(х-2)2

б) Определете фигурата, чиято площ искате да изчислите.

в) Определете границите на интегриране чрез решаване на уравнението: = (x-2) 2 ; х = 1

г) Изчислете площта на дадената фигура:

S = dx + 2 dx = 1 единица 2

2. Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии:

Y = x 2; x = y 2 .

Решение:

x 2 = ; x 4 \u003d x;

x (x 3 - 1) = 0

x 1 = 0; х2 = 1

S = - x 2) dx = ( x 3 \ 2 - ) │ 0 1 = единица 2

3. Изчислете обема на тялото, получено при завъртане около оста 0x на фигурата, ограничена с прави: y = ; x = 1.

Решение:

V = π dx = π ) 2 dx = π = π │ = π/2 единици 3

У дома тестматематика
Варианти на задачите.

Вариант номер 1

y = (x + 1) 2; y \u003d 1 - x; 0x

Вариант номер 2

1. Решете системата от уравнения по три начина:

2. Изчислете интегралите, като промените променливата:

3. Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии:

y \u003d 6 - x; y=x2+4

Вариант номер 3.

1. Решете системата от уравнения по три начина:

2. Изчислете интегралите, като промените променливата:

3. Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии:

y \u003d - x 2 + 5; у=х+3

Вариант номер 4.

1. Решете системата от уравнения по три начина:

2. Изчислете интегралите, като промените променливата:

3. Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии:

y=x2; х = 3; вол

Вариант номер 5.

1. Решете системата от уравнения по три начина:

2. Изчислете интегралите, като промените променливата:

3. Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии:

y \u003d 3 + 2x - x 2; вол

Вариант номер 6.

1. Решете системата от уравнения по три начина:

2. Изчислете интегралите, като промените променливата:

3. Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии:

y = x + 6 y = 8 + 2x – x2

Вариант номер 7

1. Решете системата от уравнения по три начина:

2. Изчислете интегралите, като промените променливата:

3. Изчислете обема на тялото, образувано от въртене около Ox на фигурата, ограничена с линии:

y = sin x ; y = 0 х = 0 x = π

Вариант номер 8.

1. Решете системата от уравнения по три начина:

2. Изчислете интегралите, като промените променливата:

Библиография

1. Написано D.T. Конспект на лекции по висша математика Части 1, 2. M. AIRIS PRESS, 2006.

2. Григориев В.П., Дубински Ю.А. Елементи на висшата математика. М. Академия, 2008

3. Вигодски М.Я. Наръчник по висша математика. М. Наука, 2001

4. Шипачев В.С. Висша математика. М. Висше училище, 2005

5. Шипачев В.С. Проблемна книга по висша математика. М. Висше училище, 2005

Промяната на променливата в неопределения интеграл се използва за намиране на интеграли, в които една от функциите е производна на друга функция. Нека има интеграл $ \int f(x) dx $, нека направим замяната $ x=\phi(t) $. Имайте предвид, че функцията $ \phi(t) $ е диференцируема, така че $ dx = \phi"(t) dt $ може да се намери.

Сега заместваме $ \begin(vmatrix) x = \phi(t) \\ dx = \phi"(t) dt \end(vmatrix) $ в интеграла и получаваме това:

$$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi"(t) dt $$

Този е формула за промяна на променлива в неопределен интеграл.

Алгоритъм на метода за заместване на променливи

По този начин, ако в задачата е даден интеграл от формата: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx $$ Препоръчително е да замените променливата с нова: $ $ t = \phi(x) $ $ $$ dt = \phi"(t) dt $$

След това интегралът ще бъде представен във форма, която е лесна за приемане с основните методи на интегриране: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx = \int f(t) dt $$

Не забравяйте също така да зададете заменената променлива обратно на $x$.

Примери за решения

Пример 1

Намерете неопределения интеграл чрез метода на промяната на променливата: $$ \int e^(3x) dx $$

Решение

Променяме променливата в интеграла на $ t = 3x, dt = 3dx $: $$ \int e^(3x) dx = \int e^t \frac(dt)(3) = \frac(1)(3) \int e^t dt = $$ Експоненциалният интеграл все още е същият според таблицата за интегриране, въпреки че $ t $ е записано вместо $ x $: $$ = \frac(1)(3) e^t + C = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ Ако не можете да разрешите проблема си, изпратете го до нас. Ние ще предоставим подробно решение. Ще можете да се запознаете с хода на изчислението и да съберете информация. Това ще ви помогне да получите кредит от учителя своевременно!

Отговор

$$ \int e^(3x) dx = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$

Методът се базира на следната формула: ò f(x)dx = ò f(j(t)) j`(t) dt, където x = j(t) е функция, диференцируема на разглеждания интервал.

Доказателство. Намерете производните по отношение на променливата t от лявата и дясната част на формулата.

Обърнете внимание, че лявата страна съдържа сложна функция, чийто междинен аргумент е x = j(t). Следователно, за да го диференцираме по отношение на t, първо диференцираме интеграла по отношение на x и след това вземаме производната на междинния аргумент по отношение на t.

(ò f(x)dx)` t = (ò f(x)dx)` x *x` t = f(x) j`(t)

Производна на дясната страна:

(ò f(j(t)) j`(t) dt)` t = f(j(t)) j`(t) = f(x) j`(t)

Тъй като тези производни са равни, по следствие от теоремата на Лагранж, лявата и дясната част на доказаната формула се различават с някаква константа. Тъй като самите неопределени интеграли са дефинирани до неопределен постоянен член, тази константа може да бъде пропусната в крайната нотация. Доказано.

Успешната промяна на променлива ни позволява да опростим първоначалния интеграл и в най-простите случаи да го намалим до табличен. При прилагането на този метод се разграничават методите на линейно и нелинейно заместване.

а) Разгледайте метода на линейното заместване, като използвате пример.

Пример 1. Тогава нека t = 1 – 2x

dx = d(½ - ½ t) = - ½ dt

Трябва да се отбележи, че новата променлива не трябва да се изписва изрично. В такива случаи се говори за преобразуване на функция под знака на диференциала или за въвеждане на константи и променливи под знака на диференциала, т.е. относно имплицитно заместване на променлива.

Пример 2Например, нека намерим òcos(3x + 2)dx. Според свойствата на диф
dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), тогава òcos(3x + 2)dx = ò(1/3)cos(3x + 2)d(3x +
+ 2) = (1/3)òcos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) + C.

И в двата разгледани примера за намиране на интегралите е използвано линейното заместване t = kx + b (k ¹ 0).

В общия случай е вярна следната теорема.

Теорема за линейно заместване. Нека F(x) е някаква първоизводна за функцията f(x). Тогава òf(kx + b)dx = (1/k)F(kx + b) + C, където k и b са някои константи, k ¹ 0.

Доказателство.

По дефиницията на интеграла, òf(kx + b)d(kx + b) = F(kx + b) + C. Ho
d(kx + b)= (kx + b)`dx = kdx. Изваждаме постоянния фактор k от интегралния знак: kòf(kx + b)dx = F(kx + b) + C. Сега можем да разделим лявата и дясната страна на равенството на k и да получим твърдението, което трябва да се докаже до записа на постоянен член.

Тази теорема гласи, че ако изразът (kx + b) се замести в дефиницията на интеграла ò f(x)dx = F(x) + C, тогава това ще доведе до появата на допълнителен фактор 1/k пред на антипроизводното.

Използвайки доказаната теорема, решаваме следните примери.

Пример 3

Да намерим. Тук kx + b = 3 – x, т.е. k = -1, b = 3. Тогава

Пример 4

Да намерим. Тук kx + b = 4x + 3, т.е. k = 4, b = 3. Тогава

Пример 5

Да намерим. Тук kx + b = -2x + 7, т.е. k = -2, b = 7. Тогава

.

Пример 6Да намерим. Тук kx + b = 2x + 0, т.е. k = 2, b = 0.

.

Нека сравним получения резултат с пример 8, който беше решен чрез метода на разлагане. Решавайки същия проблем по друг метод, получихме отговора . Да сравним получените резултати: . По този начин тези изрази се различават един от друг с постоянен член, т.е. получените отговори не си противоречат.

Пример 7Да намерим . Избираме пълен квадрат в знаменателя.

В някои случаи промяната на променливата не редуцира интеграла директно до табличен, но може да опрости решението, като направи възможно прилагането на метода на разлагане на следващата стъпка.

Пример 8Например, нека намерим. Нека заменим t = x + 2, тогава dt = d(x + 2) = dx. Тогава

,

където C \u003d C 1 - 6 (когато заместваме вместо t израза (x + 2) вместо първите два члена, получаваме ½x 2 -2x - 6).

Пример 9Да намерим. Нека t = 2x + 1, тогава dt = 2dx; dx = ½ dt; x = (t - 1)/2.

Заменяме израза (2x + 1) вместо t, отваряме скобите и даваме подобни.

Имайте предвид, че в процеса на трансформации преминахме към друг постоянен член, защото групата на постоянните членове в процеса на трансформации може да бъде пропусната.

б) Нека разгледаме метода на нелинейното заместване, използвайки пример.

Пример 1. Нека t = - x 2 . Освен това, човек може да изрази x чрез t, след това да намери израз за dx и да приложи промяна на променлива в необходимия интеграл. Но в този случай е по-лесно да се направи друго. Намерете dt = d(-x 2) = -2xdx. Обърнете внимание, че изразът xdx е фактор на подинтегралната функция на търсения интеграл. Изразяваме го от полученото равенство xdx = - ½ dt. Тогава

= ò (- ½)e t dt = (- ½)ò e t dt = (- ½)e t + C = (- ½) + C

Нека да разгледаме още няколко примера.

Пример 2Да намерим. Нека t = 1 - x 2 . Тогава

Пример 3Да намерим. Нека t = . Тогава

;

Пример 4В случай на нелинейно заместване също е удобно да се използва имплицитно заместване на променлива.

Например, нека намерим. Нека напишем xdx =
= (-1/4)d(3 - 2x 2) (имплицитно заменено с променливата t = 3 - 2x 2). Тогава

Пример 5Да намерим . Тук също въвеждаме променлива под диференциалния знак: (неявна промяна t = 3 + 5x 3). Тогава

Пример 6Да намерим. защото,

Пример 7Да намерим. Защото тогава

Нека разгледаме няколко примера, в които става необходимо да се комбинират различни замествания.

Пример 8Да намерим . Позволявам
t = 2x + 1, тогава x = (t – 1)/2; dx = ½ dt.

Пример 9Да намерим . Позволявам
t = x - 2, тогава x = t + 2; dx=dt.