Хармонично вълново уравнение

Уравнението на хармоничното трептене установява зависимостта на координатата на тялото от времето

Косинусовата графика в началния момент има максимална стойност, а синусовата има в началния момент нулева стойност. Ако започнем да изследваме трептенето от позицията на равновесие, тогава трептенето ще повтори синусоидата. Ако започнем да разглеждаме трептенето от позицията на максималното отклонение, тогава трептенето ще опише косинуса. Или такова трептене може да се опише с формулата на синуса с начална фаза.

Промяна в скоростта и ускорението по време на хармонично трептене

Не само координатата на тялото се променя с времето според закона на синуса или косинуса. Но такива величини като сила, скорост и ускорение също се променят по подобен начин. Силата и ускорението са максимални, когато трептящото тяло е в крайните положения, където преместването е максимално, и са равни на нула, когато тялото преминава през равновесното положение. Скоростта, напротив, в крайните позиции е равна на нула, а когато тялото премине равновесното положение, тя достига максималната си стойност.

Ако трептенето се опише по косинусния закон

Ако трептенето се опише по синусоидния закон

Максимални стойности на скоростта и ускорението

След анализ на уравненията на зависимостта v(t) и a(t), може да се предположи, че максималните стойности на скоростта и ускорението се вземат, когато тригонометричният коефициент е равен на 1 или -1. Определя се по формулата

трептящо движение- периодично или почти периодично движение на тяло, чиято координата, скорост и ускорение на редовни интервали приемат приблизително еднакви стойности.

Механични трептения възникват, когато когато тялото бъде извадено от равновесие, се появи сила, която се стреми да върне тялото обратно.

Преместване x - отклонение на тялото от равновесното положение.

Амплитуда А - модулът на максималното изместване на тялото.

Период на трептене T - време на едно трептене:

Честота на трептене

Броят на трептенията, направени от тялото за единица време: По време на трептения скоростта и ускорението се променят периодично. В равновесно положение скоростта е максимална, ускорението е нула. В точките на максимално изместване ускорението достига своя максимум, а скоростта изчезва.

ГРАФИКА НА ХАРМОНИЧНИТЕ ОСЦИЛАЦИИ

Хармоничентрептенията, възникващи според закона на синуса или косинуса, се наричат:

където x(t) - изместване на системата в момент t, A - амплитуда, ω - циклична честотафлуктуации.

Ако по вертикалната ос се нанесе отклонението на тялото от равновесното положение, а по хоризонталната ос - времето, тогава се получава графика на трептенето x = x(t) - зависимостта на преместването на тялото от времето. При свободни хармонични трептения това е синусоида или косинусова вълна. Фигурата показва графики на преместването x, проекциите на скоростта V x и ускорението a x спрямо времето.

Както се вижда от графиките, при максималното преместване x скоростта V на трептящото тяло е нула, ускорението a, а оттам и силата, действаща върху тялото, са максимални и са насочени противоположно на преместването. В равновесно положение преместването и ускорението са нулеви, скоростта е максимална. Проекцията на ускорението винаги има обратен знак на преместването.

ЕНЕРГИЯ НА ВИБРАЦИОННОТО ДВИЖЕНИЕ

Общата механична енергия на трептящо тяло е равна на сумата от неговата кинетична и потенциална енергия и при липса на триене остава постоянна:

В момента, когато преместването достигне своя максимум x = A, скоростта, а с нея и кинетичната енергия, изчезват.

В този случай общата енергия е равна на потенциалната енергия:

Общата механична енергия на трептящо тяло е пропорционална на квадрата на амплитудата на неговите трептения.

Когато системата премине равновесното положение, изместването и потенциалната енергия са равни на нула: x \u003d 0, E p \u003d 0. Следователно общата енергия е равна на кинетичната:

Общата механична енергия на трептящо тяло е пропорционална на квадрата на скоростта му в равновесно положение. Следователно:

МАТЕМАТИЧЕСКО МАХАЛО

1. Математическо махалое материална точка, окачена на безтегловна неразтеглива нишка.

В равновесно положение силата на гравитацията се компенсира от напрежението на нишката. Ако махалото се отклони и освободи, тогава силите и ще престанат да се компенсират взаимно и ще има резултантна сила, насочена към равновесното положение. Втори закон на Нютон:

При малки флуктуации, когато преместването x е много по-малко от l, материалната точка ще се движи почти по хоризонталната ос x. Тогава от триъгълника MAB получаваме:

защото sin a \u003d x / l, тогава проекцията на резултантната сила R върху оста x е равна на

Знакът минус показва, че силата R винаги е насочена срещу преместването x.

2. И така, по време на колебания на математическо махало, както и по време на колебания на пружинно махало, възстановяващата сила е пропорционална на изместването и е насочена в обратна посока.

Нека сравним изразите за възстановителната сила на математическото и пружинното махало:

Може да се види, че mg/l е аналог на k. Замяна на k с mg/l във формулата за периода на пружинно махало

получаваме формулата за периода на математическото махало:

Периодът на малките трептения на математическото махало не зависи от амплитудата.

Математическо махало се използва за измерване на времето, определяне на ускорението на свободното падане това мястоземната повърхност.

Свободните трептения на математическото махало при малки ъгли на отклонение са хармонични. Те възникват поради резултатната сила на гравитацията и напрежението на нишката, както и инерцията на товара. Резултатът от тези сили е възстановяващата сила.

Пример.Определете ускорението на свободното падане на планета, където махало с дължина 6,25 m има период на свободно трептене 3,14 s.

Периодът на трептене на математическото махало зависи от дължината на нишката и ускорението на свободното падане:

Като повдигнем на квадрат двете страни на уравнението, получаваме:

Отговор:ускорението на свободното падане е 25 m/s 2 .

Задачи и тестове по темата "Тема 4. "Механика. Вибрации и вълни.

• Напречни и надлъжни вълни. Дължина на вълната

  Уроци: 3 Задачи: 9 Тестове: 1

• Звукови вълни. Скорост на звука - Механични трептения и вълни. Звук 9 клас

1. Фигурата показва графика на потенциалната енергия на математическо махало (спрямо неговото равновесно положение) спрямо времето. В момента от време, съответстващ на точка D на графиката, общата механична енергия на махалото е: 1) 4 J 2) 12 J 3) 16 J 4) 20 J време. В момента кинетичната енергия на махалото е: 1) 0 J 2) 10 J 3) 20 J 4) 40 J 3. Фигурата показва диаграма на потенциалната енергия на математическо махало (спрямо неговото равновесие позиция) спрямо времето. В момента кинетичната енергия на махалото е: 1) 0 J 2) 8 J 3) 16 J 4) 32 J 4. Как ще се промени периодът на малки трептения на математическо махало, ако дължината на неговата нишка се увеличава 4 пъти? 1) увеличаване с 4 пъти 2) увеличение с 2 пъти 3) намаляване с 4 пъти 4) намаляване с 2 пъти 5. Фигурата показва зависимостта на амплитудата на постоянните трептения на махалото от честотата на движещата сила (резонанс крива). Амплитудата на трептене на това махало при резонанс е 1) 1 cm 2) 2 cm 3) 8 cm 4) 10 cm 6. При свободни трептения на товара върху нишката като махало кинетичната му енергия се променя от 0 J до 50 J , максималната стойност на потенциалната енергия е 50 J В какви граници се променя общата механична енергия на товара при такива трептения? 1) не се променя и е равно на 0 J 2) варира от 0 J до 100 J 3) не се променя и е равно на 50 J 4) не се променя и е равно на 100 J 7. Товарът осцилира върху пружина , движейки се по оста. Фигурата показва графика на зависимостта на координатите на товара от времето. В кои части от графиката силата на пружината, приложена към товара, извършва положителна работа? 1) 2) 3) 4) и и и и 8. Товарът се колебае върху пружина, движеща се по оста. Фигурата показва графика на зависимостта на координатите на товара от времето. В кои части от графиката силата на пружината, приложена към товара, извършва отрицателна работа? 1) 2) 3) 4) и и и и 9. Товарът се колебае върху пружина, движеща се по оста. Фигурата показва графика на зависимостта на проекцията на скоростта на товара върху тази ос от време на време. За първите 6 секунди на движение товарът е изминал разстояние от 1,5 м. Каква е амплитудата на трептенията на товара? 1) 0,5 м 2) 0,75 м 3) 1 м 4) 1,5 м Колко време след това кинетичната енергия на махалото ще достигне своя минимум за първи път? Игнорирайте въздушното съпротивление. 1) 2) 3) 4) 11. Математическо махало с период на трептене T е отклонено на малък ъгъл от равновесното положение и е пуснато с начална скорост, равна на нула (виж фигурата). Колко време след това потенциалната енергия на махалото ще достигне своя максимум за първи път? Игнорирайте въздушното съпротивление. 1) 2) 3) 4) 12. Математическо махало с период на трептене T е отклонено на малък ъгъл от равновесното положение и е пуснато с начална скорост, равна на нула (виж фигурата). Колко време след това кинетичната енергия на махалото ще достигне своя максимум за втори път? Игнорирайте въздушното съпротивление. 1) 2) 3) 4) 13. Тежест с маса 50 g, закрепена към лека пружина, се колебае свободно. Зависимостта на координатата x на този товар от времето t е показана на фигурата. Коравината на пружината е 1) 3 N/m 2) 45 N/m 3) 180 N/m 4) 2400 N/m 14. Как трябва да се промени твърдостта на пружината на махалото, за да се удвои честотата на нейното трептения? 1) намалете 2 пъти 2) увеличете 4 пъти 3) увеличете 2 пъти 4) намалете 4 пъти

Тест по физика Хармонични трептения за 9 клас с отговори. Тестът включва 10 въпроса с избираем отговор.

1. Изберете правилното твърдение(я).

А. трептенията се наричат ​​хармонични, ако възникват според синусоидалния закон
Б. трептенията се наричат ​​хармонични, ако възникват според закона на косинуса

1) само А
2) само Б
3) както А, така и Б
4) нито А, нито Б

2. Фигурата показва зависимостта на координатата на центъра на топка, окачена на пружина, от време на време. Амплитудата на трептене е

1) 10 см
2) 20 см
3) -10 см
4) -20 см

3. Фигурата показва графика на трептения на една от точките на струната. Според графиката амплитудата на трептене е равна на

1) 1 10 -3 m
2) 2 10 -3 m
3) 3 10 -3 m
4) 4 10 -3 m

4. Фигурата показва зависимостта на координатата на центъра на топка, окачена на пружина, от време на време. Периодът на трептене е

1) 2 s
2) 4 s
3) 6 s
4) 10 s

5. Фигурата показва графика на трептения на една от точките на струната. Според графиката периодът на тези трептения е равен на

1) 1 10 -3 s
2) 2 10 -3 s
3) 3 10 -3 s
4) 4 10 -3 s

6. Фигурата показва зависимостта на координатата на центъра на топка, окачена на пружина, от време на време. Честотата на трептене е

1) 0,25 Hz
2) 0,5 Hz
3) 2Hz
4) 4Hz

7. Фигурата показва графика х, вижте трептения на една от точките на струната. Според графиката честотата на тези трептения е равна на

1) 1000 Hz
2) 750Hz
3) 500Hz
4) 250Hz

8. Фигурата показва зависимостта на координатата на центъра на топка, окачена на пружина, от време на време. Какво е разстоянието, изминато от топката при две пълни трептения?

1) 10 см
2) 20 см
3) 40 см
4) 80 см

9. Фигурата показва зависимостта на координатата на центъра на топка, окачена на пружина, от време на време. Тази зависимост е