V části k otázce Jaké jsou dvě formy psaní čísel? daný autorem Prosphora nejlepší odpověď je V pozičních číselných soustavách závisí kvantitativní ekvivalent (hodnota) číslice na jejím místě (pozici) v zápisu čísla.
Pozice číslice v čísle se nazývá jeho číslice.
Číslice čísla se zvyšuje zprava doleva, od nízkých k vysokým číslicím.
Základem poziční číselné soustavy je celé číslo, které se rovná počtu číslic používaných k reprezentaci čísel v dané číselné soustavě.
Základ ukazuje, kolikrát se změní kvantitativní hodnota číslice, když se přesune na nízkou nebo vysokou číslici.
POLOHOVÉ ČÍSELNÉ SOUSTAVY S LIBOVOLNOU BÁZÍ
Je možné použít různé poziční číselné soustavy, jejichž základ je roven nebo větší než 2.
V číselných soustavách se základem q (q-ární číselná soustava) se čísla v rozšířeném tvaru zapisují jako součet řady mocnin základu q s koeficienty, což jsou čísla 0, 1, ..., q-1.
nebo
Aq – číslo v q-ární číselné soustavě,
q – základ číselné soustavy,
Ai – čísla patřící do abecedy dané číselné soustavy,
n – počet celých číslic čísla,
m – počet desetinných míst čísla.
Koeficienty ai jsou číslice čísla zapsaného v q-ární číselné soustavě.
Sbalená forma zápisu čísla:
V každodenním životě používáme zhroucenou formu psaní čísel,
nazývá se přirozený nebo digitální.
K zápisu zlomků se používají číslice se zápornými hodnotami mocnin základu.
SYSTÉM DESETINNÝCH ČÍSEL
Základ: q = 10.
Abeceda: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Sbalená forma zápisu čísla:
Rozšířená forma zápisu čísla:
Koeficienty ai jsou desetinné číslice.
Například číslo 123.4510 v rozšířeném tvaru by bylo zapsáno takto:
Vynásobením nebo dělením desetinného čísla 10 (základní hodnota) se desetinná čárka posune, čímž se oddělí část celého čísla od části zlomkové, o jedno místo doprava nebo doleva. Například:
123,4510 10 = 1234,510;
123,4510: 10 = 12,34510.

Notový zápis

Notový zápis - toto je způsob reprezentace čísel a odpovídající pravidla pro práci s čísly. Různé číselné soustavy, které existovaly v minulosti a které se používají dnes, lze rozdělit na nepoziční A poziční. Znaky používané při psaní čísel, jsou nazývány v číslech.

V nepoziční číselné soustavy význam číslice nezávisí na její pozici v čísle.

Příkladem nepoziční číselné soustavy je římská soustava (římské číslice). V římském systému se jako čísla používají latinská písmena:

Příklad 1.Číslo CCXXXII se skládá ze dvou set, tří desítek a dvou jednotek a rovná se dvě stě třiceti dvěma.

V římských číslicích se číslice píší zleva doprava v sestupném pořadí. V tomto případě se jejich hodnoty sečtou. Pokud je menší číslo napsáno vlevo a větší číslo vpravo, jejich hodnoty se odečítají.

Příklad 2

VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 – 1 = 4.

Příklad 3

MCMXCVIII = 1000 + (–100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

V poziční číselné soustavy hodnota označená číslicí v číselném zápisu závisí na jeho poloze. Počet použitých číslic se nazývá základ poziční číselné soustavy.

Číselná soustava používaná v moderní matematice je poziční desítková soustava. Její základ je deset, protože Jakákoli čísla se zapisují pomocí deseti číslic:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Polohovou povahu tohoto systému lze snadno pochopit na příkladu libovolného vícemístného čísla. Například v čísle 333 první tři znamená tři stovky, druhý - tři desítky, třetí - tři jedničky.

Zapsat čísla v poziční soustavě s radixem n Musí mít abeceda z nčísla Obvykle pro toto n < 10 используют n první arabské číslice a kdy n> 10 písmen se přidá k deseti arabským číslicím. Zde jsou příklady abeced několika systémů:

Pokud potřebujete uvést základ systému, ke kterému číslo patří, pak je tomuto číslu přiřazen dolní index. Například:

101101 2, 3671 8, 3B8F 16.

V číselné soustavě se základem q (q-ární číselná soustava) jednotky číslic jsou po sobě jdoucí mocniny čísla q. q jednotky libovolné kategorie tvoří jednotku další kategorie. Chcete-li napsat číslo q-vyžadován číselný systém q různé znaky (číslice) představující čísla 0, 1, ..., q– 1. Psaní čísla q PROTI q-ární číselná soustava má tvar 10.

Rozšířená forma zápisu čísla

Nechat Aq- číslo v základním systému q, ai -číslice daného číselného systému v číselném záznamu A, n+ 1 - počet číslic celé části čísla, m- počet číslic zlomkové části čísla:

Rozšířený tvar čísla A se nazývá záznam ve tvaru:

Například pro desetinné číslo:

Následující příklady ukazují rozšířenou formu hexadecimálních a binárních čísel:

V jakékoli číselné soustavě se její základ zapisuje jako 10.

Pokud jsou v desítkové soustavě zastoupeny všechny členy v rozšířeném tvaru nedesítkového čísla a výsledný výraz se vypočítá podle pravidel desítkové aritmetiky, získá se číslo v desítkové soustavě rovné danému. Tento princip se používá pro převod z nedesítkové soustavy do desítkové soustavy. Například převod výše napsaných čísel do desítkové soustavy se provádí takto:

Nechat Aq- číslo v základním systému q, ai -číslice daného číselného systému v číselném záznamu A, n+ 1 - počet číslic celé části čísla, m- počet číslic zlomkové části čísla:

Rozšířený tvar čísla A se nazývá záznam ve tvaru:

Například pro desetinné číslo:

Následující příklady ukazují rozšířenou formu hexadecimálních a binárních čísel:

V jakékoli číselné soustavě se její základ zapisuje jako 10.

Pokud jsou v desítkové soustavě zastoupeny všechny členy v rozšířeném tvaru nedesítkového čísla a výsledný výraz se vypočítá podle pravidel desítkové aritmetiky, získá se číslo v desítkové soustavě rovné danému. Tento princip se používá pro převod z nedesítkové soustavy do desítkové soustavy. Například převod výše napsaných čísel do desítkové soustavy se provádí takto:

Překlad desetinná čísla do jiných číselných soustav

Převod celého čísla

Celé desetinné číslo X je třeba převést na systém se základem q: X = (A n A n-1… A 1 A 0) q. Potřebujete najít platné číslice čísla: Ukažme číslo v rozšířené podobě a proveďte identickou transformaci:

Z toho je jasné, že A 0 je zbytek při dělení čísla X za číslo q. Výraz v závorkách je celočíselný kvocient tohoto dělení. Označme to podle X 1. Provedením podobných transformací dostaneme:

Proto, A 1 je zbytek divize X 1 za q. Pokračujeme-li v dělení se zbytkem, získáme posloupnost číslic požadovaného čísla. Číslo an v tomto řetězci dělení bude poslední kvocient, tím menší q.

Formulujme výsledné pravidlo: k převodu celočíselného desítkového čísla na číselnou soustavu s jiným základem potřebujete:

1) vyjádřit základ nové číselné soustavy v desítkové soustavě čísel a provést všechny následné akce podle pravidel desítkové aritmetiky;

2) dané číslo a výsledné neúplné podíly postupně dělíme základem nové číselné soustavy, dokud nezískáme neúplný podíl, který je menší než dělitel;

3) výsledné zůstatky, což jsou číslice čísla v nový systémčísla, uvést je do souladu s abecedou nového číselného systému;

4) vytvořte číslo v nové číselné soustavě a zapište jej od posledního podílu.

Příklad 1. Převeďte číslo 37 10 na binární.

K označení číslic v čísle používáme symboliku: A 5 A 4 A 3 A 2 A 1 A 0

Tedy: 37 10 = l00l0l 2

Příklad 2 Převeďte desetinné číslo 315 na osmičkové a šestnáctkové soustavy:

Z toho vyplývá: 315 10 = 473 8 = 13B 16. Připomeňme, že 11 10 = B 16.

Desetinný zlomek X < 1 требуется перевести в систему с основанием q: X = (0, A –1 A –2 … A-m+1 A–m) q. Potřebujete najít platné číslice čísla: A –1 ,A –2 , …, A–m .Předložte číslo v rozšířeném tvaru a vynásobte ho q:

Z toho je jasné, že A–1tam je celá část práce X za číslo q. Označme podle X 1zlomková část produkt a vynásobte jej q:

Proto, A–2 je celá část práce X 1 na číslo q. Pokračujeme v násobení a získáme posloupnost čísel. Nyní formulujme pravidlo: abyste mohli převést desetinný zlomek na číselnou soustavu s jiným základem, potřebujete:

1) postupně násobte dané číslo a výsledné zlomkové části součinů základem nové číselné soustavy, dokud se zlomková část součinu nerovná nule nebo dokud není dosaženo požadované přesnosti reprezentace čísla v nové číselné soustavě;

2) uvést výsledné celočíselné části děl, což jsou číslice čísla v nové číselné soustavě, do souladu s abecedou nové číselné soustavy;

3) složte zlomkovou část čísla v nové číselné soustavě, počínaje celočíselnou částí prvního součinu.

Příklad 3 Převeďte desetinný zlomek 0,1875 na binární, osmičkové a šestnáctkové soustavy.

Zde levý sloupec obsahuje celočíselnou část čísel a pravý sloupec obsahuje zlomkovou část.

Proto: 0,1875 10 = 0,0011 2 = 0,14 8 = 0,3 16

Převod smíšených čísel obsahující celočíselnou a zlomkovou část se provádí ve dvou fázích. Celé číslo a zlomkové části původního čísla jsou přeloženy odděleně pomocí vhodných algoritmů. Při konečném záznamu čísla v nové číselné soustavě je celočíselná část oddělena od zlomkové části čárkou (tečkou).

Téma „Číselné soustavy“ přímo souvisí s matematickou teorií čísel. Ve školních kurzech matematiky se však zpravidla neučí. Potřeba prostudovat toto téma v předmětu informatika souvisí s tím, že čísla v paměti počítače jsou reprezentována v binární číselné soustavě a pro vnější reprezentaci obsahu paměti a paměťových adres se používají hexadecimální nebo osmičkové soustavy. Jedná se o jedno z tradičních témat kurzu informatiky nebo programování. Toto téma, které sousedí s matematikou, přispívá i k základnímu matematickému vzdělávání školáků.

U kurzu informatiky je hlavním zájmem znalost binárního číselného systému. aplikace binární systémČísla v počítači lze uvažovat ze dvou hledisek: 1) binární číslování, 2) binární aritmetika, tzn. provádění aritmetických výpočtů na binárních číslech.

Binární číslování

S binárním číslováním se studenti setkávají v tématu „Reprezentace textu v paměti počítače" Když mluvíme o kódovací tabulce, učitel by měl studentům říci, že interní binární kód symbol je jeho sériové číslo v binární číselné soustavě. Například číslo písmene S v tabulce ASCII je 83. Osmibitový binární kód pro písmeno S rovna hodnotě toto číslo v binární číselné soustavě: 01010011.

Binární výpočty

Podle principu Johna von Neumanna počítač provádí výpočty v binární číselné soustavě. V rámci základního kurzu se stačí omezit na uvažování výpočtů s binárními celými čísly. Chcete-li provádět výpočty s vícemístnými čísly, musíte znát pravidla sčítání a pravidla násobení jednociferných čísel. Toto jsou pravidla:

Princip zaměnitelnosti sčítání a násobení funguje ve všech číselných soustavách. Techniky pro provádění výpočtů s vícemístnými čísly ve dvojkové soustavě jsou podobné jako v desítkové soustavě. Jinými slovy, procedury sčítání, odčítání a násobení „sloupcem“ a dělení „rohem“ ve dvojkové soustavě se provádějí stejným způsobem jako v desítkové soustavě.

Podívejme se na pravidla pro odčítání a dělení binárních čísel. Operace odčítání je opakem sčítání. Z výše uvedené tabulky sčítání vyplývají pravidla odčítání:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

Zde je příklad odečítání víceciferných čísel:

Získaný výsledek lze zkontrolovat přidáním rozdílu s podtrahendem. Výsledkem by mělo být klesající číslo.

Dělení je inverzní operace násobení.
V žádné číselné soustavě nelze dělit 0. Výsledek dělení 1 se rovná dividendě. Dělení binárního čísla 10 2 posune desetinné místo o jedno místo doleva, podobně jako při dělení desetinného čísla deseti. Například:

Dělení 100 posune desetinnou čárku o 2 místa doleva atd. V základní kurz nemusí přicházet v úvahu složité příklady dělení víceciferných binárních čísel. I když si s nimi zdatní studenti poradí, pochopí obecné principy.

Reprezentovat informace uložené v paměti počítače v jejich skutečné binární podobě je kvůli velkému počtu číslic značně těžkopádné. To se týká zaznamenání takových informací na papír nebo jejich zobrazení na obrazovce. Pro tyto účely je obvyklé používat smíšené binárně-osmičkové nebo binárně-hexadecimální systémy.

Mezi binární a hexadecimální reprezentací čísla existuje jednoduchý vztah. Při převodu čísla z jednoho systému do druhého odpovídá jedna hexadecimální číslice čtyřmístnému binárnímu kódu. Tato korespondence se odráží v binárně-hexadecimální tabulce:

Binární hexadecimální tabulka

Toto spojení vychází ze skutečnosti, že 16 = 2 4 a počet různých čtyřmístných kombinací čísel 0 a 1 je 16: od 0000 do 1111. Proto převod čísel z hexadecimálních na binární a naopak se provádí formálním převodem pomocí binárně-hexadecimální tabulky.

Zde je příklad převodu 32bitové binární soustavy na hexadecimální:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

Pokud je zadána hexadecimální reprezentace interní informace, je snadné ji převést na binární kód. Výhodou hexadecimální reprezentace je, že je 4x kratší než binární. Je vhodné, aby si studenti binárně-hexadecimální tabulku zapamatovali. Pak se pro ně hexadecimální reprezentace stane ekvivalentní binární.

V binární osmičkové soustavě každá osmičková číslice odpovídá trojici dvojkových číslic. Tento systém umožňuje zmenšit binární kód 3krát.

| Plánování lekce a učební materiály | 8. třída | Plánování lekcí na školní rok (podle učebnice N.D. Ugrinoviče) | Rozšířené a sbalené formy psaní čísel. Převod z libovolné na desítkovou číselnou soustavu

Lekce 19
Rozšířené a sbalené formy psaní čísel. Převod z libovolné na desítkovou číselnou soustavu

§ 4.1. Kódování číselných informací

4.1.2. Aritmetické operace v pozičních číselných soustavách

Aritmetické operace ve všech polohových číselných soustavách se provádějí podle stejných pravidel, která jsou vám dobře známá.

Přidání. Zvažme sčítání čísel v binární číselné soustavě. Je založen na tabulce pro sčítání jednociferných binárních čísel:

0 + 0 = 0,
0 + 1 = 1,
1 + 0 = 1,
1 + 1 = 10.

Je důležité věnovat pozornost skutečnosti, že při sčítání dvou jedniček se číslice přeteče a přenese se na číslici nejvýznamnější. K přetečení číslice dochází, když se hodnota číslice v ní rovná nebo je větší než základ číselné soustavy. Pro binární číselnou soustavu je tato hodnota dvě.

Sčítání vícebitových binárních čísel se provádí v souladu s výše uvedenou tabulkou sčítání, přičemž se berou v úvahu možné převody z číslic nízkého řádu na číslice vysokého řádu. Jako příklad sečteme binární čísla 110 2 a 11 2 do sloupce:

Zkontrolujme si správnost výpočtů přidáním v desítkové číselné soustavě. Převedeme binární čísla do desítkové číselné soustavy a poté je sečteme:

Nyní převedeme výsledek binárního sčítání na desítkové číslo:

Porovnejme výsledky – sčítání proběhlo správně.

Odčítání. Podívejme se na odečítání binárních čísel. Vychází z tabulky pro odečítání jednociferných binárních čísel.

Při odečtení většího čísla (1) od menšího čísla (0) se půjčka provede od nejvyšší číslice. V tabulce je půjčka označena 1 řádkem:

Odečítání vícebitových binárních čísel se provádí v souladu s výše uvedenou tabulkou odečítání, přičemž se berou v úvahu možné výpůjčky od nejvyšších číslic. Jako příklad odečteme binární čísla 110 2 a 11 2:

Násobení. Násobení je založeno na tabulce násobení pro jednociferná binární čísla:

Násobení vícemístných binárních čísel se provádí v souladu s výše uvedenou násobilkou obvyklé schéma, používané v desítkové číselné soustavě, se sekvenčním násobením násobiče další číslicí násobiče. Jako příklad vynásobme binární čísla 110 2 a 11 2:

Divize. Operace dělení se provádí pomocí algoritmu podobného algoritmu pro provádění operace dělení v desítkové soustavě čísel. Jako příklad vydělme binární číslo 110 2 11 2:

Pro aritmetické operace přes čísla vyjádřená v různé systémy notace, musíte je nejprve převést do stejného systému.

Úkoly k samostatnému plnění

4.6. Úkol s podrobnou odpovědí. Proveďte sčítání, odčítání, násobení a dělení binárních čísel 1010 2 a 10 2

Základem poziční číselné soustavy je celé číslo q, které je umocněno.

Základem poziční číselné soustavy je posloupnost čísel, z nichž každé určuje kvantitativní ekvivalent (váhu) symbolu v závislosti na jeho místě v číselném kódu.

Desetinný základ: …10 n, 10n –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – m ,…

Základ libovolné poziční číselné soustavy: ... qn, qn –1 , …, q 1 , q 0 , q –1 , …, q – m, …

Báze v jakémkoli systému je reprezentována jako 10, ale má jinou kvantitativní hodnotu. Ukazuje, kolikrát se změní kvantitativní hodnota číslice, když se přesune na sousední pozici. Je možných mnoho pozičních systémů, protože za základ číselného systému lze považovat libovolné číslo, které není menší než 2.

Název číselné soustavy odpovídá jejímu základu (desítková, dvojková, pětinová atd.).

V číselné soustavě se základem q (q-ární číselná soustava) jednotky číslic jsou po sobě jdoucí mocniny čísla q, jinými slovy, q jednotky libovolné kategorie tvoří jednotku další kategorie.

Zapsat čísla q-vyžadován číselný systém q různé znaky (číslice) představující čísla 0, 1, ..., q – 1.

Proto je základ poziční číselné soustavy roven počtu symbolů (znaků) v její abecedě. Psaní čísla q PROTI q-ární číselná soustava má tvar 10.

Příklad 1. Osmičková číselná soustava.

Základna: q = 8.

Abeceda: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 a 7.

Čísla: například 45023.152 8 ; 751 001 8 .

Příklad 2 Pětinásobný číselný systém .

Základna: q = 5.

Abeceda: 0, 1, 2, 3 a 4.

Čísla: například 20304 5 ; 324,03 5.

Příklad 3 Hexadecimální číselná soustava.

Základna: q = 16.

Abeceda: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Zde má pouze deset ze šestnácti číslic obecně přijímané označení 0-9. K zápisu zbývajících znaků abecedy (10, 11, 12, 13, 14 a 15) se obvykle používá prvních pět písmen latinské abecedy.

Čísla: například В5С3,1А2 16; 355.0FA01 8.

V poziční číselné soustavě libovolný reálné číslo lze prezentovat v následující podobě:

A q = ±( a n– 1 × qn –1 + a n– 2 × qn –2 +…+ A 0 × q 0 + A– 1 × q –1 + A– 2 × q –2 +…+ A –m × q–m), (1) nebo ±.

Tady A - samotné číslo; q- základ;
a já- čísla patřící do abecedy dané číselné soustavy; P - počet celých číslic; T - počet zlomkových číslic čísla.

Rozklad čísla podle vzorce (1) se nazývá rozšířený vstupní formulář . Jinak se této formě záznamu říká polynom nebo usedlý.

Příklad 1. Desetinné číslo A 10 = 5867,91 podle vzorce (1) je reprezentováno následovně:

A 10 = 5 × 10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 –1 + 1 × 10 –2.

Příklad 2 Vzorec (1) pro osmičkovou číselnou soustavu má tvar:

A 8 = ±( a n– 1 × 8 n –1 + a n– 2 × 8 n –2 +…+ A 0 × 8 0 + A–1 × 8 –1 + A–2 × 8 –2 +…+ dopoledne×8 – m),

Kde a já- čísla 0–7.

Osmičkové číslo A 8 = 7064,3 ve tvaru (1) se zapíše takto:

A 8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8 –1.

Příklad 3 Pětinásobné číslo A 5 = 2430,21 podle vzorce (1) se zapíše takto:

A 5 = 2 × 5 3 + 4 × 5 2 + 3 × 5" + 0 × 5° + 2 × 5 –1 + 1 × 5 –2.

Výpočtem tohoto výrazu můžete získat desetinný ekvivalent zadaného pětinásobného čísla: 365,44 10.

Příklad 4. V hexadecimální číselné soustavě je položka 3 A.F. 16 znamená:

3A.F. 16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.