Součet aritmetické progrese.

Součet aritmetické progrese je jednoduchá věc. Jak ve smyslu, tak ve vzorci. Na toto téma jsou ale nejrůznější úkoly. Od základních až po celkem solidní.

Nejprve pochopíme význam a vzorec částky. A pak se rozhodneme. Pro vlastní potěšení.) Význam částky je jednoduchý jako bučení. Chcete-li najít součet aritmetické progrese, stačí pečlivě sečíst všechny její členy. Pokud je těchto výrazů málo, můžete je přidat bez jakýchkoli vzorců. Ale pokud je toho hodně, nebo hodně... sčítání je otravné.) V tomto případě přichází na pomoc vzorec.

Vzorec pro výši částky je jednoduchý:

Pojďme zjistit, jaké druhy písmen jsou ve vzorci zahrnuty. Tím se mnohé vyjasní.

S n - součet aritmetického postupu. Výsledek sčítání každýčleny, s První Podle poslední. To je důležité. Přesně se sčítají Všechnočlenů v řadě, bez přeskakování nebo přeskakování. A přesně od toho První. V problémech, jako je nalezení součtu třetího a osmého členu nebo součtu pátého až dvacátého členu, přímá aplikace vzorce zklame.)

1 - Prvníčlen progrese. Zde je vše jasné, je to jednoduché Prvníčíslo řádku.

a n- posledníčlen progrese. Poslední číslo série. Není to příliš známé jméno, ale když se použije na množství, je to velmi vhodné. Pak uvidíte sami.

n - číslo posledního člena. Je důležité pochopit, že ve vzorci toto číslo se shoduje s počtem přidaných termínů.

Pojďme definovat pojem posledníčlen a n. Záludná otázka: který člen to bude poslední pokud je dán nekonečný aritmetický postup?)

Abyste mohli s jistotou odpovědět, musíte pochopit základní význam aritmetického postupu a... pozorně si úkol přečíst!)

Při úloze najít součet aritmetické posloupnosti se vždy objeví poslední člen (přímo nebo nepřímo), která by měla být omezena. Jinak konečná, konkrétní částka prostě neexistuje. Pro řešení nezáleží na tom, zda je daná posloupnost: konečná nebo nekonečná. Nezáleží na tom, jak je to dáno: řada čísel nebo vzorec pro n-tý člen.

Nejdůležitější je pochopit, že vzorec funguje od prvního členu postupu až po člen s číslem n. Ve skutečnosti celý název vzorce vypadá takto: součet prvních n členů aritmetické posloupnosti. Počet těchto úplně prvních členů, tzn. n, je určena výhradně úkolem. V úkolu jsou všechny tyto cenné informace často zašifrovány, ano... Ale nevadí, v příkladech níže tato tajemství odhalíme.)

Příklady úloh na součtu aritmetické posloupnosti.

Nejdříve, užitečné informace:

Hlavní potíž v úlohách zahrnujících součet aritmetického postupu spočívá ve správném určení prvků vzorce.

Autoři úkolů zašifrují právě tyto prvky s bezmeznou fantazií.) Zde je hlavní nebát se. Abychom pochopili podstatu prvků, stačí je jednoduše dešifrovat. Podívejme se na několik příkladů podrobně. Začněme úkolem založeným na skutečném GIA.

1. Aritmetický průběh je dán podmínkou: a n = 2n-3,5. Najděte součet jeho prvních 10 členů.

Dobrá práce. Snadno.) Co potřebujeme vědět, abychom určili množství pomocí vzorce? První člen 1, poslední termín a n, ano číslo posledního člena n.

Kde získám číslo posledního člena? n? Ano, přímo tam, pod podmínkou! Říká: najdi součet prvních 10 členů. No a s jakým číslem to bude? poslední, desátý člen?) Nebudete tomu věřit, jeho číslo je desáté!) Proto místo toho a n Dosadíme do vzorce 10 a místo toho n- deset. Opakuji, číslo posledního člena se shoduje s počtem členů.

Zbývá určit 1 A 10. To lze snadno vypočítat pomocí vzorce pro n-tý člen, který je uveden v zadání problému. Nevíte jak na to? Navštivte předchozí lekci, bez toho to nejde.

1= 21 - 3,5 = -1,5

10= 2,10 - 3,5 = 16,5

S n = S 10.

Zjistili jsme význam všech prvků vzorce pro součet aritmetické posloupnosti. Zbývá je pouze nahradit a počítat:

A je to. Odpověď: 75.

Další úkol založený na GIA. Trochu složitější:

2. Je dána aritmetická progrese (a n), jejíž rozdíl je 3,7; a 1 = 2,3. Najděte součet jeho prvních 15 členů.

Okamžitě napíšeme součtový vzorec:

Tento vzorec nám umožňuje najít hodnotu libovolného členu podle jeho čísla. Hledáme jednoduchou náhradu:

a15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Zbývá dosadit všechny prvky do vzorce pro součet aritmetické posloupnosti a vypočítat odpověď:

Odpověď: 423.

Mimochodem, pokud v součtovém vzorci místo a n Jednoduše dosadíme vzorec za n-tý člen a dostaneme:

Ukažme si podobné a získáme nový vzorec pro součet členů aritmetické posloupnosti:

Jak vidíte, zde to není povinné n-tý termín a n. V některých problémech tento vzorec hodně pomáhá, ano... Tento vzorec si můžete zapamatovat. Nebo jej můžete jednoduše zobrazit ve správný čas, jako zde. Koneckonců, vždy si musíte zapamatovat vzorec pro součet a vzorec pro n-tý člen.)

Nyní úkol ve formě krátkého šifrování):

3. Najděte součet všech kladných dvouciferných čísel, která jsou násobky tří.

Páni! Ani tvůj první člen, ani tvůj poslední, už vůbec ne postup... Jak žít!?

Budete muset přemýšlet hlavou a vytáhnout z podmínky všechny prvky součtu aritmetické progrese. Víme, co jsou dvouciferná čísla. Skládají se ze dvou čísel.) Jaké bude dvouciferné číslo První? 10, pravděpodobně.) A poslední věc dvouciferné číslo? 99, samozřejmě! Trojciferné ho budou následovat...

Násobky tří... Hm... To jsou čísla, která jsou dělitelná třemi, tady! Deset není dělitelné třemi, 11 není dělitelné... 12... je dělitelné! Takže se něco rýsuje. Již si můžete zapsat řadu podle podmínek problému:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Bude tato série aritmetickým postupem? Rozhodně! Každý termín se od předchozího liší striktně třemi. Pokud k termínu přidáte 2 nebo 4, řekněme výsledek, tzn. nové číslo již není dělitelné 3. Okamžitě můžete určit rozdíl aritmetické posloupnosti: d = 3. Bude se to hodit!)

Můžeme si tedy bezpečně zapsat některé parametry progrese:

Jaké to bude číslo? n poslední člen? Kdo si myslí, že 99 se fatálně mýlí... Čísla jdou vždy za sebou, ale naši členové skáčou přes tři. Neshodují se.

Zde jsou dvě řešení. Jedna cesta je pro super pracovité. Můžete si zapisovat postup, celou řadu čísel a prstem počítat počet členů.) Druhý způsob je pro přemýšlivé. Musíte si zapamatovat vzorec pro n-tý člen. Pokud použijeme vzorec na náš problém, zjistíme, že 99 je třicátý člen progrese. Tito. n = 30.

Podívejme se na vzorec pro součet aritmetické posloupnosti:

Díváme se a radujeme se.) Z výpisu problému jsme vytáhli vše potřebné k výpočtu částky:

1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

Zbývá jen elementární aritmetika. Dosadíme čísla do vzorce a vypočítáme:

Odpověď: 1665

Další typ populární hádanky:

4. Při aritmetickém postupu:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Najděte součet členů od dvacátého do třiceti čtyř.

Díváme se na vzorec pro částku a... rozčilujeme se.) Vzorec, připomenu, počítá částku od prvníhočlen. A v úloze je potřeba spočítat součet od dvacátého... Vzorec nebude fungovat.

Můžete samozřejmě napsat celý průběh v sérii a přidat výrazy od 20 do 34. Ale... je to nějak hloupé a trvá to dlouho, že?)

Existuje elegantnější řešení. Rozdělme naši sérii na dvě části. První část bude od prvního do devatenáctého období. Druhá část - od dvaceti do třiceti čtyř. Je jasné, že pokud spočítáme součet členů první části S 1-19, sečteme to se součtem podmínek druhé části S 20-34, dostaneme součet postupu od prvního termínu do třicátého čtvrtého S 1-34. Takhle:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Z toho můžeme vidět, že najděte součet S 20-34 lze provést jednoduchým odečtením

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Uvažují se obě částky na pravé straně od prvníhočlen, tzn. standardní sumární vzorec je pro ně docela použitelný. Začněme?

Extrahujeme parametry progrese z příkazu problému:

d = 1,5.

1= -21,5.

K výpočtu součtů prvních 19 a prvních 34 termínů budeme potřebovat 19. a 34. termíny. Vypočítáme je pomocí vzorce pro n-tý člen, jako v problému 2:

19= -21,5 + (19-1) 1,5 = 5,5

34= -21,5 + (34-1) 1,5 = 28

Nezůstalo nic. Od součtu 34 termínů odečtěte součet 19 termínů:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Odpověď: 262,5

Jedna důležitá poznámka! Při řešení tohoto problému existuje velmi užitečný trik. Místo přímé kalkulace co potřebujete (S 20–34), počítali jsme něco, co by se zdálo nepotřebné - S 1-19. A pak se rozhodli S 20-34, vyřazení nepotřebného z kompletního výsledku. Tento druh „finty s ušima“ vás často zachrání před zlými problémy.)

V této lekci jsme se podívali na problémy, u kterých stačí pochopit význam součtu aritmetické posloupnosti. No, musíte znát pár vzorců.)

Praktické rady:

Při řešení jakéhokoli problému zahrnujícího součet aritmetické posloupnosti doporučuji ihned sepsat dva hlavní vzorce z tohoto tématu.

Vzorec pro n-tý termín:

Tyto vzorce vám okamžitě řeknou, co hledat a jakým směrem myslet, abyste problém vyřešili. Pomáhá.

A nyní úkoly k samostatnému řešení.

5. Najděte součet všech dvouciferných čísel, která nejsou dělitelná třemi.

Super?) Nápověda je skrytá v poznámce k problému 4. No, problém 3 pomůže.

6. Aritmetický postup je dán podmínkou: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Najděte součet jeho prvních 24 členů.

Neobvyklé?) Toto je opakující se vzorec. O tom si můžete přečíst v předchozí lekci. Neignorujte odkaz, takové problémy se často vyskytují ve Státní akademii věd.

7. Vasja našetřil peníze na dovolenou. Až 4550 rublů! A rozhodla jsem se svému oblíbenému člověku (sám sobě) dopřát pár dní štěstí). Žijte krásně, aniž byste si něco odpírali. Utraťte 500 rublů první den a každý další den utraťte o 50 rublů více než ten předchozí! Dokud nedojdou peníze. Kolik dní štěstí měl Vasya?

Je to těžké?) Pomůže dodatečný vzorec z úkolu 2.

Odpovědi (neuspořádané): 7, 3240, 6.

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Pojďme se učit - se zájmem!)

Můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.

Odpovědět: série se rozchází.

Příklad č. 3

Najděte součet řady $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.

Protože spodní mez součtu je 1, zapíše se společný člen řady pod znaménko součtu: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Udělejme n-tý dílčí součet řady, tzn. Sečteme prvních $n$ členů dané číselné řady:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Proč píšu přesně $\frac(2)(3\cdot 5)$, a ne $\frac(2)(15)$, bude jasné z dalšího vyprávění. Zapsání dílčí částky nás však k našemu cíli nepřiblížilo ani o kousek. Potřebujeme najít $\lim_(n\to\infty)S_n$, ale když napíšeme:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\vpravo), $$

pak nám tento záznam, ve formě zcela správné, ve své podstatě nic nedá. Abychom našli limitu, musíme výraz pro částečný součet nejprve zjednodušit.

Existuje na to standardní transformace, která spočívá v rozkladu zlomku $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, který představuje obecný člen řady, na elementární zlomky. Samostatné téma je věnováno problematice rozkladu racionálních zlomků na elementární (viz např. ukázka č. 3 na této stránce). Rozbalením zlomku $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ na elementární zlomky dostaneme:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Čitatele zlomků na levé a pravé straně výsledné rovnosti srovnáme:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

Hodnoty $A$ a $B$ lze najít dvěma způsoby. Můžete otevřít závorky a změnit uspořádání výrazů, nebo můžete místo $n$ jednoduše nahradit nějaké vhodné hodnoty. Jen pro zpestření, v tomto příkladu půjdeme první cestou a v dalším nahradíme soukromé hodnoty $n$. Otevřením závorek a přeskupením podmínek dostaneme:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

Na levé straně rovnosti před $n$ předchází nula. Pokud chcete, pro přehlednost může být levá strana rovnosti reprezentována jako $0\cdot n+ 2$. Protože na levé straně rovnosti $n$ předchází nula a na pravé straně rovnosti $n$ předchází $2A+2B$, máme první rovnici: $2A+2B=0$. Okamžitě vydělme obě strany této rovnice 2, čímž dostaneme $A+B=0$.

Protože na levé straně rovnosti je volný člen roven 2 a na pravé straně rovnosti je volný člen roven $3A+B$, pak $3A+B=2$. Máme tedy systém:

$$ \left\(\začátek(zarovnáno) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(zarovnáno)\vpravo. $$

Důkaz provedeme metodou matematické indukce. V prvním kroku musíte zkontrolovat, zda je dokazovaná rovnost pravdivá $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ pro $n=1$. Víme, že $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, ale bude výraz $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ dávat hodnotu $\frac( 2 )(15)$, pokud do něj dosadíme $n=1$? Pojďme zkontrolovat:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Takže pro $n=1$ je splněna rovnost $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Tím je dokončen první krok metody matematické indukce.

Předpokládejme, že pro $n=k$ je rovnost splněna, tzn. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Dokažme, že stejná rovnost bude splněna pro $n=k+1$. Chcete-li to provést, zvažte $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

Protože $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, pak $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Podle výše uvedeného předpokladu $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$ tedy vzorec $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ bude mít podobu:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Závěr: vzorec $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ je správný pro $n=k+1$. Proto podle metody matematické indukce platí vzorec $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ pro libovolné $n\in N$. Rovnost byla prokázána.

Ve standardním kurzu vyšší matematiky se obvykle spokojí s „přeškrtáváním“ rušivých termínů, aniž by vyžadovali jakýkoli důkaz. Takže máme výraz pro n-tý částečný součty: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Pojďme najít hodnotu $\lim_(n\to\infty)S_n$:

Závěr: daná řada konverguje a její součet je $S=\frac(1)(3)$.

Druhý způsob, jak zjednodušit vzorec pro částečný součet.

Upřímně, sám tento způsob preferuji :) Dílčí částku si zapišme ve zkrácené verzi:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Dříve jsme získali $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, proto:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\vpravo). $$

Součet $S_n$ obsahuje konečný počet členů, takže je můžeme libovolně přeskládat. Chci nejprve přidat všechny výrazy ve tvaru $\frac(1)(2k+1)$ a teprve potom přejít k výrazům ve tvaru $\frac(1)(2k+3)$. To znamená, že dílčí částku budeme prezentovat takto:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\vpravo). $$

Rozšířený zápis je samozřejmě extrémně nepohodlný, takže výše uvedená rovnost může být zapsána kompaktněji:

$$ S_n=\součet\limity_(k=1)^(n)\vlevo (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\vpravo)=\součet\limity_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\součet\limity_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Nyní převedeme výrazy $\frac(1)(2k+1)$ a $\frac(1)(2k+3)$ do jednoho tvaru. Myslím, že je vhodné to zmenšit do podoby větší frakce (i když je možné použít i menší, to je věc vkusu). Protože $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (čím větší jmenovatel, tím menší zlomek), dáme zlomek $\frac(1)(2k+ 3) $ do tvaru $\frac(1)(2k+1)$.

Uvedu výraz ve jmenovateli zlomku $\frac(1)(2k+3)$ takto:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

A součet $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ lze nyní zapsat takto:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) ) )+1)=\součet\limity_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Pokud je rovnost $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ nevyvolává žádné otázky, pak pojďme dál. Pokud máte nějaké dotazy, rozšiřte poznámku.

Jak jsme získali převedenou částku? zobrazit\skrýt

Měli jsme řadu $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Zaveďme místo $k+1$ novou proměnnou – například $t$. Takže $t=k+1$.

Jak se změnila stará proměnná $k$? A změnilo se z 1 na $n$. Pojďme zjistit, jak se změní nová proměnná $t$. Pokud $k=1$, pak $t=1+1=2$. Pokud $k=n$, pak $t=n+1$. Takže výraz $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ nyní bude: $\sum\limits_(t=2)^(n +1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$

Máme součet $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Otázka: záleží na tom, které písmeno se v tomto množství použije? :) Jednoduchým napsáním písmene $k$ místo $t$ dostaneme následující:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

Takto získáme rovnost $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+ 1) \frac(1)(2k+1)$.

Dílčí součet tedy může být reprezentován následovně:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). $$

Všimněte si, že součty $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ a $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ se liší pouze v sumačních limitech. Udělejme tyto limity stejné. „Odebráním“ prvního prvku ze součtu $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ budeme mít:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\součet\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

„Odebráním“ posledního prvku ze součtu $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, dostaneme:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\součet\limity_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

Pak výraz pro částečný součet bude mít tvar:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\součet\limity_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\součet\limity_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\vpravo)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Pokud přeskočíte všechna vysvětlení, bude mít proces hledání zkráceného vzorce pro n-tý dílčí součet následující podobu:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\součet\limity_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\vpravo)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Dovolte mi připomenout, že jsme zlomek $\frac(1)(2k+3)$ zredukovali na tvar $\frac(1)(2k+1)$. Samozřejmě můžete i opačně, tzn. reprezentovat zlomek $\frac(1)(2k+1)$ jako $\frac(1)(2k+3)$. Výsledný výraz pro částečný součet se nezmění. V tomto případě schovám proces zjištění dílčí částky pod poznámku.

Jak najít $S_n$ při převodu na jiný zlomek? zobrazit\skrýt

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\součet\limity_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\součet\limity_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\vpravo) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). $$

Takže $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Najděte limit $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

Daná řada konverguje a její součet $S=\frac(1)(3)$.

Odpovědět: $S=\frac(1)(3)$.

Pokračování tématu hledání součtu řady bude probráno ve druhém a třetím díle.

Než se začneme rozhodovat problémy s aritmetickým postupem Podívejme se, co je to číselná posloupnost, protože aritmetická posloupnost je speciální případ číselné řady.

Číselná posloupnost je číselná množina, jejíž každý prvek má svůj vlastní sériové číslo . Prvky této množiny se nazývají členy posloupnosti. Sériové číslo prvku sekvence je označeno indexem:

První prvek sekvence;

Pátý prvek sekvence;

- „n-tý“ prvek sekvence, tj. prvek "stát ve frontě" u čísla n.

Mezi hodnotou prvku sekvence a jeho pořadovým číslem existuje vztah. Posloupnost tedy můžeme považovat za funkci, jejímž argumentem je pořadové číslo prvku posloupnosti. Jinými slovy, můžeme to říci posloupnost je funkcí přirozeného argumentu:

Pořadí lze nastavit třemi způsoby:

1 . Pořadí lze určit pomocí tabulky. V tomto případě jednoduše nastavíme hodnotu každého člena posloupnosti.

Někdo se například rozhodl pro osobní time management a pro začátek si spočítal, kolik času tráví na VKontakte během týdne. Zaznamenáním času do tabulky obdrží sekvenci sestávající ze sedmi prvků:

První řádek tabulky označuje číslo dne v týdnu, druhý - čas v minutách. Vidíme, že v pondělí Někdo strávil na VKontakte 125 minut, to znamená ve čtvrtek - 248 minut, a to znamená v pátek pouze 15.

2 . Sekvence může být specifikována pomocí vzorce n-tého členu.

V tomto případě je závislost hodnoty prvku sekvence na jeho čísle vyjádřena přímo ve formě vzorce.

Například pokud , tak

Abychom našli hodnotu prvku sekvence s daným číslem, dosadíme číslo prvku do vzorce n-tého členu.

Totéž uděláme, pokud potřebujeme najít hodnotu funkce, pokud je známa hodnota argumentu. Hodnotu argumentu dosadíme do rovnice funkce:

Pokud např. , Že

Ještě jednou podotýkám, že v posloupnosti, na rozdíl od libovolné číselné funkce, může být argumentem pouze přirozené číslo.

3 . Posloupnost lze zadat pomocí vzorce, který vyjadřuje závislost hodnoty čísla sekvenčního členu n na hodnotách předchozích členů. V tomto případě nám k nalezení jeho hodnoty nestačí znát pouze číslo členu posloupnosti. Musíme určit první člen nebo několik prvních členů posloupnosti.

Zvažte například sekvenci ,

Můžeme najít hodnoty členů sekvence v pořadí, počínaje třetí:

To znamená, že pokaždé, abychom našli hodnotu n-tého členu posloupnosti, se vrátíme k předchozím dvěma. Tato metoda určení sekvence se nazývá opakující se, z latinského slova recurro- vrať se.

Nyní můžeme definovat aritmetickou progresi. Aritmetická posloupnost je jednoduchý speciální případ číselné řady.

Aritmetický postup je číselná posloupnost, jejíž každý člen, počínaje druhým, je roven předchozímu přidanému ke stejnému číslu.

Číslo se volá rozdíl aritmetického postupu. Rozdíl aritmetické progrese může být kladný, záporný nebo roven nule.

Pokud title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} vzrůstající.

Například 2; 5; 8; jedenáct;...

Jestliže , pak je každý člen aritmetické posloupnosti menší než předchozí a progrese je klesající.

Například 2; -1; -4; -7;...

Jestliže , pak se všechny členy progrese rovnají stejnému číslu a progrese je stacionární.

Například 2;2;2;2;...

Hlavní vlastnost aritmetické progrese:

Podívejme se na obrázek.

To vidíme

, a současně

Sečtením těchto dvou rovností dostaneme:

.

Vydělme obě strany rovnosti 2:

Takže každý člen aritmetické posloupnosti, počínaje druhým, se rovná aritmetickému průměru dvou sousedních:

Navíc od

, a současně

, Že

, a proto

Každý člen aritmetického postupu počínaje title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Vzorec tého členu.

Vidíme, že členy aritmetické posloupnosti splňují následující vztahy:

a nakonec

Máme formule n-tého členu.

DŮLEŽITÉ! Každý člen aritmetické posloupnosti může být vyjádřen pomocí a. Znáte-li první termín a rozdíl aritmetického postupu, můžete najít kterýkoli z jeho termínů.

Součet n členů aritmetické posloupnosti.

V libovolném aritmetickém postupu jsou součty členů ekvidistantních od extrémních navzájem rovny:

Uvažujme aritmetickou progresi s n členy. Nechť součet n členů této posloupnosti je roven .

Uspořádejme členy progrese nejprve ve vzestupném pořadí čísel a poté v sestupném pořadí:

Přidejme do dvojic:

Součet v každé závorce je , počet párů je n.

Dostaneme:

Tak, součet n členů aritmetické posloupnosti lze nalézt pomocí vzorců:

Uvažujme řešení problémů aritmetického postupu.

1 . Posloupnost je dána vzorcem n-tého členu: . Dokažte, že tato sekvence je aritmetickou progresí.

Dokažme, že rozdíl mezi dvěma sousedními členy posloupnosti je roven stejnému číslu.

Zjistili jsme, že rozdíl mezi dvěma sousedními členy posloupnosti nezávisí na jejich počtu a je konstantní. Z definice je tedy tato posloupnost aritmetickou progresí.

2 . Vzhledem k aritmetickému postupu -31; -27;...

a) Najděte 31 podmínek postupu.

b) Určete, zda je v tomto postupu zahrnuto číslo 41.

A) Vidíme to;

Zapišme si vzorec pro n-tý člen našeho postupu.

Obecně

V našem případě , Proto