(lat. amplituda- velikost) je největší odchylka kmitajícího tělesa od jeho rovnovážné polohy.

Pro kyvadlo je to maximální vzdálenost, o kterou se kulička vzdálí od své rovnovážné polohy (obrázek níže). Pro kmity s malými amplitudami může být taková vzdálenost brána jako délka oblouku 01 nebo 02 a délky těchto segmentů.

Amplituda kmitů se měří v délkových jednotkách - metrech, centimetrech atd. Na grafu kmitání je amplituda definována jako maximální (modulo) pořadnice sinusové křivky (viz obrázek níže).

Doba oscilace.

Doba oscilace- je to nejkratší časový úsek, během kterého se oscilující systém vrátí do stejného stavu, ve kterém byl v počátečním časovém okamžiku, libovolně zvoleném.

Jinými slovy, perioda oscilace ( T) je doba, během níž dojde k jedné úplné oscilaci. Například na obrázku níže je to čas, který trvá, než se kyvadlo pohybuje z bodu nejvíce vpravo přes rovnovážný bod. O do bodu zcela vlevo a zpět bodem O opět úplně vpravo.

Během celé periody kmitání tak tělo urazí dráhu rovnající se čtyřem amplitudám. Perioda kmitání se měří v jednotkách času - sekundy, minuty atd. Periodu kmitání lze určit ze známého grafu kmitů (viz obrázek níže).

Koncepce „období kmitů“ platí přesně jen tehdy, když se hodnoty kmitající veličiny po určité době přesně opakují, tedy pro harmonické kmity. Tento koncept však platí i pro případy přibližně opakujících se veličin, například pro tlumené oscilace.

Frekvence kmitání.

Frekvence kmitání- to je počet kmitů provedených za jednotku času, např. za 1s.

Jednotka frekvence SI je pojmenována hertz(Hz) na počest německého fyzika G. Hertze (1857-1894). Pokud kmitočet oscilací ( proti) je rovný 1 Hz, to znamená, že každou sekundu dojde k jednomu kmitu. Frekvence a perioda oscilací souvisí se vztahy:

V teorii kmitů také používají pojem cyklický nebo kruhová frekvence ω . Souvisí to s normální frekvencí proti a periodu oscilace T poměry:

.

Cyklická frekvence je počet provedených kmitů za 2π sekundy

Je hertz (ruské označení: Hz; mezinárodní: Hz), pojmenované po německém fyzikovi Heinrichu Hertzovi.

Frekvence je nepřímo úměrná periodě oscilace: ν = 1/T .

Frekvence 1 MHz (10 −3 Hz) 1 Hz (100 Hz) 1 kHz (10 3 Hz) 1 MHz (10 6 Hz) 1 GHz (10 9 Hz) 1 THz (10 12 Hz)
Doba 1 ks (10 3 s) 1 s (10 0 s) 1 ms (10 −3 s) 1 µs (10 −6 s) 1 ns (10 −9 s) 1 ps (10 −12 s)

V přírodě jsou známy periodické procesy s frekvencemi od ~10 −16 Hz (frekvence rotace Slunce kolem středu Galaxie) do ~10 35 Hz (frekvence kmitů pole charakteristická pro kosmické záření s nejvyšší energií).

Video k tématu

Kruhová frekvence

Pokud je jednotka úhlové frekvence použita ve stupních za sekundu, vztah s běžnou frekvencí bude následující: ω = 360°ν.

Číselně je kruhová frekvence rovna počtu kmitů (otáček) za 2π sekundy. Zavedení kruhové frekvence (v jejím hlavním rozměru - radiánech za sekundu) nám umožňuje zjednodušit mnoho vzorců v teoretické fyzice a elektronice. Rezonanční kruhová frekvence oscilačního LC obvodu je tedy rovna ω L C = 1 / L C , (\displaystyle \omega _(LC)=1/(\sqrt (LC)),) zatímco cyklické rezonanční frekvence ν L C = 1 / (2 π L C). (\displaystyle \nu _(LC)=1/(2\pi (\sqrt (LC))).) Zároveň se řada dalších vzorců komplikuje. Rozhodujícím faktorem ve prospěch kruhové frekvence byly multiplikátory 2 π (\displaystyle 2\pi ) A 1/2 π (\displaystyle 1/2\pi ), objevující se v mnoha vzorcích při použití radiánů k měření úhlů a fází, zmizí po zavedení kruhové (úhlové) frekvence.

V mechanice, když uvažujeme rotační pohyb, analogem kruhové frekvence je úhlová rychlost.

Míra diskrétních událostí

Frekvence diskrétních událostí (například frekvence opakování pulzu) je fyzikální veličina rovna počtu diskrétních událostí vyskytujících se za jednotku času. Jednotkou frekvence diskrétních událostí je sekunda k mínus první mocnině (ruské označení: s −1; mezinárodní: s−1). Frekvence 1 s −1 se rovná frekvenci diskrétních událostí, při kterých dojde k jedné události za 1 s.

Frekvence otáčení

Frekvence otáčení je fyzikální veličina, která se rovná počtu celých otáček za jednotku času. Jednotkou rychlosti otáčení je sekunda mínus první výkon ( s −1, s−1), otáčky za sekundu. Často používanými jednotkami jsou otáčky za minutu, otáčky za hodinu atd.

Další veličiny související s frekvencí

Jednotky

Jednotkou SI cyklické frekvence je hertz (Hz). Jednotka byla původně představena v roce 1930 Mezinárodní elektrotechnickou komisí a v roce 1960 byla přijata pro všeobecné použití na 11. generální konferenci pro váhy a míry jako jednotka SI. Dříve byla jednotka cyklické frekvence cyklu za sekundu(1 cyklus za sekundu = 1 Hz) a derivace (kilocyklus za sekundu, megacyklus za sekundu, kilomegacyklus za sekundu, roven kilohertzům, megahertzům a gigahertzům).

Metrologické aspekty

K měření frekvence se používají různé typy frekvenčních měřičů, mezi které patří: k měření opakovací frekvence pulsů - elektronické počítací a kondenzátorové, k určování frekvencí spektrálních složek - rezonanční a heterodynové frekvenční měřiče a také spektrální analyzátory. Pro reprodukci kmitočtu s danou přesností se používají různá opatření - frekvenční standardy (vysoká přesnost), frekvenční syntetizéry, generátory signálů atd. Kmitočty se porovnávají frekvenčním komparátorem nebo pomocí osciloskopu pomocí Lissajousových obrazců.

Normy

K ověřování přístrojů na měření frekvence se používají národní frekvenční standardy. V Rusku národní frekvenční standardy zahrnují:

  • Státní primární standard jednotek času, frekvence a národního časového měřítka GET 1-98 se nachází na VNIIFTRI.
  • Sekundární standard jednotky času a frekvence OVP 1-10-82- nachází se v SNIIM (Novosibirsk).

Výpočty

Výpočet frekvence opakující se události se provádí s ohledem na počet výskytů této události během daného časového období. Výsledná částka se vydělí trváním odpovídajícího časového období. Pokud se například během 15 sekund vyskytlo 71 homogenních událostí, frekvence bude stejná

ν = 71 15 s ≈ 4,7 Hz (\displaystyle \nu =(\frac (71)(15\,(\mbox(s))))\cca 4,7\,(\mbox(Hz))))

Pokud je počet získaných vzorků malý, pak je přesnější technikou měření časového intervalu pro daný počet výskytů dané události, spíše než zjišťování počtu událostí v daném časovém období. Použití posledně jmenované metody zavádí náhodnou chybu mezi nulou a prvním čtením, zprůměruje polovinu čtení; to může vést k průměrné chybě ve vypočítané frekvenci Δν = 1/(2 Tm), nebo relativní chyba Δ ν /ν = 1/(2proti Tm ) , Kde Tm je časový interval a ν je naměřená frekvence. Chyba se snižuje s rostoucí frekvencí, takže tento problém je nejdůležitější pro nízké frekvence, kde počet vzorků N málo.

Metody měření

Stroboskopická metoda

Využití speciálního přístroje – stroboskopu – je jednou z historicky raných metod měření rychlosti otáčení nebo vibrací různých objektů. Proces měření využívá stroboskopický zdroj světla (obvykle jasná lampa, která periodicky produkuje krátké záblesky světla), jehož frekvence se nastavuje pomocí předem kalibrovaného časovacího obvodu. Světelný zdroj je nasměrován na rotující objekt a frekvence záblesků se pak postupně mění. Když se frekvence záblesků vyrovná s frekvencí otáčení nebo vibrací objektu, objekt má čas dokončit úplný oscilační cyklus a vrátit se do své původní polohy v intervalu mezi dvěma záblesky, takže při osvětlení zábleskovou lampou , bude tento objekt vypadat nehybně. U tato metoda existuje však nevýhoda: pokud rychlost otáčení objektu ( X) se nerovná stroboskopické frekvenci ( y), ale je mu úměrný celočíselným koeficientem (2 X , 3X atd.), pak bude objekt při osvětlení stále vypadat nehybně.

Stroboskopická metoda se také používá k jemnému doladění rychlosti otáčení (oscilace). V tomto případě je frekvence záblesků pevná a frekvence periodického pohybu objektu se mění, dokud se objekt nezačne jevit jako nehybný.

Beat metoda

Blízká stroboskopické metodě je metoda beatová. Vychází ze skutečnosti, že při smíchání kmitů dvou frekvencí (referenční ν a měřitelné v" 1 ) v nelineárním obvodu rozdílová frekvence Δν = |ν − ν" 1 |, nazývaná tepová frekvence (při lineárním sčítání kmitů je tato frekvence frekvencí obálky celkového kmitání). Metoda je použitelná, když je výhodnější měřit nízkofrekvenční kmity s frekvencí Δ F. V radiotechnice je tato metoda známá také jako metoda měření heterodynní frekvence. Zejména metoda beatu se používá k jemnému ladění hudebních nástrojů. V tomto případě zvukové vibrace pevné frekvence (například z ladičky), slyšené současně se zvukem laděného nástroje, vytvářejí periodický nárůst a pokles celkového zvuku. Při jemném dolaďování nástroje má frekvence těchto úderů tendenci k nule.

Aplikace frekvenčního měřiče

Vysoké frekvence se obvykle měří pomocí frekvenčního měřiče. Je to elektronický přístroj, který odhaduje frekvenci specifického opakujícího se signálu a zobrazuje výsledek na digitálním displeji nebo analogovém indikátoru. Diskrétní logické prvky digitálního frekvenčního měřiče umožňují zohlednit počet period oscilací signálu v daném časovém období, měřeno referenčními quartzovými hodinami. Periodické procesy, které nejsou elektrické povahy (jako je například rotace osy, mechanické vibrace nebo zvukové vlny), mohou být převedeny na periodický elektrický signál pomocí měřicího převodníku a v této podobě přiveden na vstup měřič frekvence. V současné době jsou zařízení tohoto typu schopna pokrýt rozsah až 100 Hz; tento údaj představuje praktický strop pro metody přímého počítání. Vyšší frekvence se měří pomocí nepřímých metod.

Metody nepřímého měření

Mimo rozsah dostupný pro frekvenční měřiče jsou frekvence elektromagnetických signálů často odhadovány nepřímo pomocí místních oscilátorů (tj. frekvenčních měničů). Referenční signál o předem určené frekvenci je kombinován v nelineárním směšovači (jako je dioda) se signálem, jehož frekvenci je třeba nastavit; výsledkem je heterodynní signál nebo - alternativně - údery generované frekvenčními rozdíly dvou původních signálů. Pokud jsou posledně jmenované dostatečně blízko u sebe ve svých frekvenční charakteristiky, pak se heterodynní signál ukáže být dostatečně malý, že jej lze měřit stejným frekvenčním měřičem. V důsledku tohoto procesu je tedy odhadován pouze rozdíl mezi neznámou frekvencí a referenční frekvencí, který by měl být určen jinými metodami. Pro pokrytí ještě vyšších frekvencí lze použít více směšovacích stupňů. V současné době probíhá výzkum s cílem rozšířit tuto metodu směrem k frekvencím infračerveného a viditelného světla (tzv. optická heterodynová detekce).

Příklady

Elektromagnetická radiace

Celé spektrum elektromagnetického záření se zvýrazněnou viditelnou částí

Viditelné světlo je elektromagnetické vlnění, které se skládá z oscilujících elektrických a magnetických polí pohybujících se prostorem. Frekvence vlny určuje její barvu: 4×10 14 Hz - červená, 8×10 14 Hz - fialová; mezi nimi v rozsahu (4...8)×10 14 Hz leží všechny ostatní barvy duhy. Elektromagnetické vlny s frekvencí menší než 4×10 14 Hz jsou pro lidské oko neviditelné, takové vlny se nazývají infračervené (IR) záření. Pod spektrem leží mikrovlnné záření a rádiové vlny. Světlo s frekvencí vyšší než 8×10 14 Hz je také pro lidské oko neviditelné; takové elektromagnetické vlny se nazývají ultrafialové (UV) záření. Jak se frekvence zvyšuje, elektromagnetická vlna se pohybuje do oblasti spektra, kde se nachází rentgenové záření, a na ještě vyšších frekvencích - do oblasti gama záření.

Všechny tyto vlny, od nejnižších frekvencí rádiových vln až po vysoké frekvence záření gama, jsou v podstatě stejné a všechny se nazývají elektromagnetické záření. Všechny se pohybují ve vakuu rychlostí světla.

Další charakteristikou elektromagnetického vlnění je vlnová délka. Vlnová délka je nepřímo úměrná frekvenci, takže elektromagnetické vlny s vyšší frekvencí mají kratší vlnovou délku a naopak. Ve vakuu vlnová délka

λ = c / ν , (\displaystyle \lambda =c/\nu,)

Kde S- rychlost světla ve vakuu. V prostředí, ve kterém je fázová rychlost šíření elektromagnetické vlny C′ se liší od rychlosti světla ve vakuu ( C′ = c/n, Kde n- index lomu), vztah mezi vlnovou délkou a frekvencí bude následující:

λ = c n ν. (\displaystyle \lambda =(\frac (c)(n\nu )).)

Další často používanou charakteristikou vlny je vlnové číslo (prostorová frekvence), které se rovná počtu vln, které se vejdou na jednotku délky: k= 1/A. Někdy se tato veličina používá s faktorem 2π, analogicky s cyklickou a kruhovou frekvencí k s = 2π/λ. V případě elektromagnetické vlny v médiu

k = 1 / λ = n vc. (\displaystyle k=1/\lambda =(\frac (n\nu )(c)).) k s = 2 π / λ = 2 π n ν c = n ω c . (\displaystyle k_(s)=2\pi /\lambda =(\frac (2\pi n\nu )(c))=(\frac (n\omega )(c)).)

Zvuk

Vlastnosti zvuku (mechanické elastické vibrace prostředí) závisí na frekvenci. Člověk může slyšet vibrace o frekvenci od 20 Hz do 20 kHz (s věkem se horní hranice frekvence slyšitelného zvuku snižuje). Zvuk s frekvencí nižší než 20 Hz (odpovídající notě mi

6. Oscilace

6.1.Základní pojmy a zákony

Pohyb se nazývá periodický, jestliže

x(t) = x(t + T ), kde T

Váhání

periodické

hnutí

rovnovážné pozice. Na obr. 6.1 c

kvalitní

vyobrazený

periodické

neharmonické

kolísání

ustanovení

rovnováha

x0 = 0.

Období T je čas pro

se provádí

váhání.

oscilací za jednotku času

Kruhová (cyklická) frekvence

ω= 2 πν =

Harmonický

se nazývají kmity, při kterých je posuv

na rovnovážné poloze v závislosti na čase

se mění podle zákona sinusového nebo kosinusového

x = A sin (ω0 t + α)

kde

amplituda kmitů (maximální posunutí bodu od

rovnovážná poloha), ω 0 - úhlová frekvence harmonické vibrace, ω 0 t + α - fáze, α - počáteční fáze (v t = 0).

Systém, který provádí harmonické kmity, se nazývá

klasický harmonický oscilátor nebo vibrační

Systém.

Rychlost

a zrychlení

harmonické vibrace

měnit podle zákonů

X = A ω0 cos (ω0 t + α),

d 2 x

= −A ω0 sin (ω0 t + α) .

Ze vztahů (6.6) a (6.4) získáme

a = −ω 2 x ,

z čehož vyplývá, že při harmonických kmitech je zrychlení přímo úměrné posunutí bodu z rovnovážné polohy a směřuje opačně k posunutí.

Z rovnic (6.6), (6.7) získáme

+ ω0 x = 0 .

Zavolá se rovnice (6.8). diferenciální rovnice harmonických kmitů , a (6.4) je jeho řešením. Střídání

(6.7) do druhého Newtonova zákona F = ma r získáme sílu, pod jejímž vlivem dochází k harmonickým kmitům

Tato síla, přímo úměrná posunutí bodu z rovnovážné polohy a směřující opačně k posunutí, se nazývá vratná síla, k se nazývá koeficient vratné síly. Elastická síla má tuto vlastnost. Síly jiné fyzikální povahy, podléhající zákonu (6.11),

se nazývají kvazielastické.

Oscilace vznikající pod vlivem sil majících

vlastnictví

jsou nazývány

vlastní

(volný, uvolnit

harmonické) vibrace.

Ze vztahů (6.3), (6.10) získáme kruhovou frekvenci a periodu

tyto výkyvy

T = 2π

Pro harmonické kmitání mají podle zákona (6.4) časové závislosti kinetické a potenciální energie tvar

mA2 ω 0

cos 2 (ω t + α),

mA2 ω 0

sin 2 (ω t + α) .

Celková energie v procesu harmonických kmitů je zachována

EK + U = konst.

Dosazením výrazů (6.4) a (6.5) pro x a v do (6.15) získáme

E = E K max = U max

mA2 ω 2

Příklad klasiky

harmonický

oscilátor je lehká pružina, ke které

zavěšené břemeno o hmotnosti m

(obr. 6.2). Součinitel

vratná síla k se nazývá koeficient

tuhost pružiny.

Z druhého Newtonova zákona

pro náklad

na pružině

– kx dostáváme

rovnice,

vhodný

rozdíl

rovnice

harmonický

kmitání (6.8) Proto zatížení pružiny

v nepřítomnosti síly odporu prostředí budou existovat

provádět harmonické kmity (6.4).

Harmonický

kolísání

reprezentovat jako průmět na souřadnicové osy vektoru, jehož velikost je rovna amplitudě A, rotujícího kolem počátku souřadnic s úhlovou rychlostí ω 0. Metoda je založena na této myšlence

vektorové diagramy přidání harmonických vibrací s

stejnou frekvenci, vyskytující se podél stejné osy

x 1 = A 1 sin (ω t + ϕ 1 ),

x 2 = A 2 sin (ω t + ϕ 2 ) .

Amplituda výsledného kmitání je určena

kosinová věta

− 2 A A cos (ϕ −ϕ

Počáteční fáze výsledného kmitu ϕ

Možná

zjištěné ze vzorce

tan ϕ =

A 1 hřích 1 + A 2 hřích 2

A cosϕ + A cosϕ

Při sčítání jednosměrných kmitů s blízkými

frekvence ω 1 a ω 2

dochází k úderům, jejichž frekvence je rovna ω 1 − ω 2.

Rovnice trajektorie body zapojené do dvou vzájemně kolmé vibrace

x = A 1 sin ((ω t + ϕ 1 ) ), (6.20) y = A 2 sin ω t + ϕ 2

vypadá jako

− 2

cos (ϕ −ϕ

) = hřích 2 (ϕ

−ϕ ) .

Pokud jsou počáteční fáze ϕ 1 = ϕ 2, pak rovnice trajektorie je přímka

x nebo y = -

ϕ = ϕ1 − ϕ2 = π 2 ,

rozdíl

bod se pohybuje po elipse

Fyzikální kyvadlo - je pevné tělo

schopný

spáchat

kolísání

pevná osa procházející bodem

vhodný

(obr.6.3). Vibrace jsou harmonické

při malých úhlech vychýlení.

Moment gravitace kolem osy,

míjení

je

vracející se

moment

je vyjádřeno

poměr

M = mgd sin

ϕ ≈ mgd ϕ.

Základní rovnice pro dynamiku rotačního pohybu má tvar (viz vzorec (4.18))

M = Ie, (6,23)

kde I je moment setrvačnosti kyvadla vůči ose procházející bodem O, ε je úhlové zrychlení.

Z (6.23), (6.22) získáme diferenciální rovnici harmonických kmitů fyzikálního kyvadla

d 2 ϕ

ϕ = 0 .

Jeho řešení ϕ = ϕ 0 sin ω 0 t ,

mgd.

Z (6.3) získáme vzorec pro periodu kmitu fyzikálního kyvadla

T = 2 π I .

M = − c ϕ .

Koeficient vratného momentu závisí na materiálu drátu a jeho rozměrech

kde G je modul pružnosti ve smyku, charakterizující elastické vlastnosti materiálu, r je poloměr drátu, L je jeho délka.

Základní rovnice rotační dynamiky

pohyb má formu

Jeho řešení má tvar ϕ = ϕ 0 sin (ω 0 t + α ),

kde ϕ je úhlové posunutí z rovnovážné polohy, ϕ 0 je amplituda

váhání.

Porovnáním rovnic (6.8) a (6.32) získáme hodnoty úhlové frekvence a periody torzních kmitů

T = 2π

Volné vibrace jsou tlumeny v důsledku přítomnosti odporových sil. Například, když hmotný bod vibruje ve viskózním médiu, při nízkých rychlostech na něj působí síla

odpor

r - koeficient

prostředí F odpor = − rv

= −rx,

odolnost vůči okolnímu prostředí. Proto z druhého Newtonova zákona

mx = − kx − rx

získáme diferenciální rovnici tlumených kmitů

Mx + mx = 0.

Jeho řešení pro případ, kdy

vypadá jako

x = Ae−βt

sin(ω t + α ),

Definice

Míra oscilačního pohybu je cyklická (nebo úhlová nebo kruhová) frekvence vibrací.

Jedná se o skalární fyzikální veličinu.

Cyklická frekvence pro harmonické kmity

Nechte hmotný bod provádět oscilace. V tomto případě hmotný bod prochází stejnou polohou ve stejných časových intervalech.

Nejjednodušší vibrace jsou harmonické vibrace. Zvažte následující kinematický model. Bod M s konstantní absolutní rychlostí ($v$) se pohybuje po kružnici o poloměru A. V tomto případě bude jeho úhlová rychlost označena $(\omega )_0$, tato rychlost je konstantní (obr. 1).

Průmět bodu $M$ na průměr kružnice (bod $N$), na osu X, osciluje od $N_1$ do $N_2\ $a zpět. Takové kmitání N bude harmonické. Pro popis kmitání bodu N je nutné zapsat souřadnici bodu N jako funkci času ($t$). Nechť v $t=0$ poloměr OM svírá s osou X úhel $(\varphi )_0$. Po určité době se tento úhel změní o $(\omega )_0t$ a bude se rovnat $(\omega )_0t+(\varphi )_0$, pak:

Výraz (1) je analytická forma záznamu harmonického kmitání bodu N podél průměru $N_1N_2$.

Přejděme k výrazu (1). Hodnota $A$ je maximální odchylka bodu kmitajícího od rovnovážné polohy (bod O - střed kružnice), nazývaná amplituda kmitů.

Parametr $(\omega )_0$ je frekvence cyklických oscilací. $\varphi =((\omega )_0t+(\varphi )_0$) - fáze kmitání; $(\varphi )_0$ je počáteční fáze oscilací.

Cyklickou frekvenci harmonických kmitů lze definovat jako parciální derivaci fáze kmitání s ohledem na čas:

\[(\omega )_0=\frac(?\varphi )(\částečné t)=\tečka(\varphi )\left(2\right).\]

Když $(\varphi )_0=0$, oscilační rovnice (1) se transformuje do tvaru:

Pokud je počáteční fáze oscilací rovna $(\varphi )_0=\frac(\pi )(2)$ , pak dostaneme rovnici oscilace ve tvaru:

Výrazy (3) a (4) ukazují, že pro harmonické kmitání je úsečka $x$ sinusovou nebo kosinusovou funkcí času. Na grafické znázornění Harmonické oscilace mají za následek kosinusovou nebo sinusovou vlnu. Tvar křivky je určen amplitudou kmitů a velikostí cyklické frekvence. Poloha křivky závisí na počáteční fázi.

Cyklickou frekvenci kmitů lze vyjádřit periodou (T) kmitů:

\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\levá(5\vpravo).\]

Cyklickou frekvenci spojíme s frekvencí $?$$?$ výrazem:

\[(\omega )_0=2\pi \nu \ \left(6\right).\]

Mezinárodní soustava jednotek (SI) jednotka cyklické frekvence je radián dělený sekundou:

\[\left[(\omega )_0\right]=\frac(rad)(s).\]

Dimenze cyklické frekvence:

\[(\dim \left((\omega )_0\right)=\frac(1)(t),\ )\]

kde $t$ je čas.

Speciální případy vzorců pro výpočet cyklické frekvence

Zatížení pružiny (ideálním modelem je pružinové kyvadlo) vykonává harmonické kmity s kruhovou frekvencí rovnou:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))\left(7\right),\]

$k$ - koeficient pružnosti pružiny; $m$ je hmotnost zatížení pružiny.

Malé oscilace fyzického kyvadla budou přibližně harmonické oscilace s cyklickou frekvencí rovnou:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(mga)(J))\left(8\right),\]

kde $J$ je moment setrvačnosti kyvadla vzhledem k ose otáčení; $a$ je vzdálenost mezi těžištěm kyvadla a závěsným bodem; $m$ je hmotnost kyvadla.

Příkladem fyzikálního kyvadla je matematické kyvadlo. Kruhová frekvence jeho kmitů je rovna:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\left(9\right),\]

kde $l$ je délka pozastavení.

Úhlová frekvence tlumených kmitů je následující:

\[\omega =\sqrt((\omega )^2_0-(\delta )^2)\left(10\right),\]

kde $\delta $ je koeficient útlumu; v případě tlumených kmitů se $(\omega )_0$ nazývá vlastní úhlová frekvence kmitů.

Příklady problémů s řešením

Příklad 1

Cvičení: Jaká je cyklická frekvence harmonických kmitů, jestliže maximální rychlost hmotného bodu je $(\dot(x))_(max)=10\ \frac(cm)(s)$ a jeho maximální zrychlení je $(\ddot(x))_(max)=100\ \frac( cm)(s^2)$?

Řešení: Základem pro řešení problému bude rovnice harmonických kmitů bodu, protože z podmínek je zřejmé, že se vyskytují podél osy X:

Rychlost kmitání zjistíme pomocí rovnice (1.1) a kinematického vztahu mezi souřadnicí $x$ a příslušnou složkou rychlosti:

Maximální hodnota rychlosti (amplituda rychlosti) se rovná:

Zrychlení bodu vypočítáme takto:

Ze vzorce (1.3) vyjádříme amplitudu, dosadíme ji do (1.5) a získáme cyklickou frekvenci:

\[(\dot(x))_(max)=A(\omega )_0\to A=\frac((\dot(x))_(max))((\omega )_0);;\ ( \ddot(x))_(max)=A(sch_0)^2=\frac((\dot(x))_(max))(sch_0)(sch_0)^2\to sch_0=\frac((\ ddot(x))_(max))((\tečka(x))_(max)).\]

Vypočítejme cyklickou frekvenci:

\[w_0=\frac(100)(10)=10(\frac(rad)(s)).\]

Odpovědět:$ш_0=10\frac((\rm rad))((\rm s))$

Příklad 2

Cvičení: K dlouhé beztížné tyči jsou připevněna dvě závaží stejné hmotnosti. Jedno závaží je uprostřed tyče, druhé je na jejím konci (obr. 2). Systém kmitá kolem vodorovné osy procházející volným koncem tyče. Jaká je cyklická frekvence kmitání? Délka tyče je $l$.

Řešení: Základem řešení problému je vzorec pro zjištění frekvence kmitání fyzického kyvadla:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(mga)(J))\left(2.1\right),\]

kde $J$ je moment setrvačnosti kyvadla vzhledem k ose otáčení; $a$ je vzdálenost mezi těžištěm kyvadla a závěsným bodem; $m$ je hmotnost kyvadla. Podle úlohy se hmotnost kyvadla skládá z hmotností dvou stejných kuliček (hmotnost jedné koule je $\frac(m)(2)$). V našem případě je vzdálenost $a$ rovna vzdálenosti mezi body O a C (viz obr. 2):

Najděte moment setrvačnosti soustavy dvou hmotných bodů. Ve vztahu k těžišti (pokud je osa rotace vedena bodem C) je moment setrvačnosti systému ($J_0$) roven:

Najdeme moment setrvačnosti naší soustavy vzhledem k ose procházející bodem O pomocí Steinerovy věty:

Namísto odpovídajících veličin dosadíme pravé strany výrazu (2.2) a (2.4) do (2.1):

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(mg\frac(3)(4)l\ )(\frac(5)(8)ml^2))=\sqrt(\frac(6g)( 5l)).\]

Odpovědět:$(\omega )_0=\sqrt(\frac(6g)(5l))$

Celková energie harmonického kmitání je tedy konstantní a úměrná druhé mocnině amplitudy posuvu . To je jedna z charakteristických vlastností harmonických kmitů. Konstantní součinitel k v případě kyvadla pružiny znamená tuhost pružiny a pro matematické kyvadlo k=mgH. V obou případech je koeficient k přenášen parametry oscilačního systému.

Celková energie mechanického oscilačního systému se skládá z kinetické a potenciální energie a je rovna maximální hodnotě kterékoli z těchto dvou složek:

Celková energie vibrací je tedy přímo úměrná druhé mocnině amplitudy posuvu nebo druhé mocnině amplitudy rychlosti.

Ze vzorce:

je možné určit amplitudu x m posuvných kmitů:


Amplituda posunutí během volných oscilací je přímo úměrná druhé odmocnině energie předané oscilačnímu systému v počátečním okamžiku, kdy byl systém vyveden z rovnováhy.

Kinematika mechanických volných vibrací

1 Výtlak, rychlost, zrychlení. Pro zjištění kinematických charakteristik (posun, rychlost a zrychlení) volných kmitů použijeme zákon zachování a přeměny energie, který pro ideální mechanický kmitavý systém je zapsán takto:





Protože derivace času φ " je konstantní, úhel φ závisí lineárně na čase:

Když to vezmeme v úvahu, můžeme napsat:

x = x m sin ω 0 t, υ = x m ω 0 cos ω 0 t

Tady je hodnota

je amplituda změny rychlosti:

υ = υ m cos ω 0 t

Závislost okamžité hodnoty zrychlení A od času t najdeme jako derivaci rychlosti υ vzhledem k času:

a = υ " = - ω 0 υ m sin ω 0 t,

a = -a m sin ω 0 t

znaménko „-“ ve výsledném vzorci udává, že znaménko průmětu vektoru zrychlení na osu, podél které dochází ke kmitání, je opačné než znaménko posunutí x.

Vidíme tedy, že s harmonickými oscilacemi se sinusově mění nejen výchylka, ale i rychlost a zrychlení. .

2 Frekvence cyklických oscilací. Veličina ω 0 se nazývá cyklická frekvence kmitů. Protože funkce sin α má ve svém argumentu α periodu 2π a harmonické kmity mají periodu T v čase, pak