حداقل نظریمفهوم حد در رابطه با دنباله اعداد قبلاً در مبحث "" معرفی شده است.
توصیه می شود ابتدا مطالب موجود در آن را مطالعه کنید.با رفتن به موضوع این مبحث، اجازه دهید مفهوم تابع را یادآوری کنیم. تابع نمونه دیگری از نقشه برداری است. ما ساده ترین مورد را در نظر خواهیم گرفت
عملکرد واقعی یکی استدلال واقعی(پیچیدگی سایر موارد بعداً مورد بحث قرار خواهد گرفت). عملکرد در این مبحث به این صورت درک می شود
قانونی که طبق آن به هر عنصر از مجموعه ای که تابع بر اساس آن تعریف می شود یک یا چند عنصر اختصاص می یابد
مجموعه، مجموعه ای از مقادیر تابع نامیده می شود. اگر به هر عنصر دامنه تعریف تابع یک عنصر اختصاص داده شود
مجموعه ای از مقادیر، سپس تابع را تک مقداری و در غیر این صورت تابع را چند مقداری می نامند. برای سادگی، ما فقط در مورد آن صحبت خواهیم کرد
توابع بدون ابهاممن فوراً می خواهم بر تفاوت اساسی بین یک تابع و یک دنباله تأکید کنم: مجموعه هایی که توسط یک نقشه برداری در این دو مورد به هم متصل می شوند به طور قابل توجهی متفاوت هستند.
برای اجتناب از نیاز به استفاده از اصطلاحات توپولوژی عمومی، تفاوت را با استفاده از استدلال غیر دقیق روشن خواهیم کرد. هنگام بحث در مورد حد
توالی، ما فقط در مورد یک گزینه صحبت کردیم: رشد نامحدود تعداد عنصر دنباله. با این افزایش تعداد، خود عناصر
سکانس‌ها بسیار متنوع‌تر رفتار کردند. آنها می توانند در یک محله کوچک به تعداد معین "انباشته شوند". آنها می توانند به طور نامحدود رشد کنند و غیره.
به طور کلی، مشخص کردن یک دنباله، مشخص کردن یک تابع در یک "حوزه تعریف" گسسته است. اگر در مورد تابعی صحبت کنیم که تعریف آن ارائه شده است
در ابتدای مبحث، مفهوم حد باید با دقت بیشتری ساخته شود. منطقی است که در مورد محدودیت عملکرد صحبت کنیم زمانی که آرگومان آن به یک مقدار معین تمایل دارد .
این صورت بندی سوال در رابطه با سکانس ها معنا نداشت. نیاز به شفاف سازی وجود دارد. همه آنها مربوط به
چگونه استدلال دقیقاً برای معنای مورد بحث تلاش می کند.بیایید به چند نمونه نگاه کنیم - در حال حاضر به طور خلاصه:
این توابع به ما اجازه می دهد تا موارد مختلفی را در نظر بگیریم. ما در اینجا نمودارهای این توابع را برای وضوح بیشتر ارائه ارائه می کنیم.یک تابع در هر نقطه از دامنه تعریف خود یک محدودیت دارد - این به طور مستقیم واضح است. هر نقطه از حوزه تعریف را که در نظر بگیریم،
وقتی آرگومان به مقدار انتخاب شده گرایش پیدا می کند، می توانید فوراً بگویید که تابع به چه مقداری گرایش دارد و اگر فقط آرگومان باشد حد محدود خواهد بود.
به بی نهایت تمایل ندارد نمودار تابع دارای پیچ خوردگی است. این روی خصوصیات تابع در نقطه شکست تأثیر می گذارد، اما از نقطه نظر حد
این نکته برجسته نشده است. تابع در حال حاضر جالب تر است: در این نقطه مشخص نیست که چه مقدار از حد را به تابع اختصاص دهیم.
اگر از سمت راست به نقطه ای نزدیک شویم، تابع به یک مقدار میل می کند، اگر از سمت چپ، تابع به مقدار دیگری میل می کند. در گذشته
هیچ نمونه ای از این وجود نداشت وقتی تابعی از سمت چپ یا از راست به صفر میل می کند، به همین ترتیب رفتار می کند و به سمت بی نهایت میل می کند -
در مقابل تابعی که به سمت بی نهایت میل می کند همانطور که آرگومان به سمت صفر میل می کند، اما علامت بی نهایت بستگی به این دارد که
طرف داریم به صفر نزدیک می شویم. در نهایت، تابع در صفر کاملاً غیرقابل درک رفتار می کند.بیایید مفهوم محدودیت را با استفاده از زبان "epsilon-delta" رسمی کنیم. تفاوت اصلی با تعریف محدودیت توالی نیاز خواهد بود
تمایل یک آرگومان تابع را به یک مقدار معین توصیف کنید. این امر مستلزم مفهوم نقطه حدی یک مجموعه است که در این زمینه کمکی است.
یک نقطه اگر در هر همسایگی باشد، نقطه حد یک مجموعه نامیده می شودحاوی نکات بی شماری است
متعلق و متفاوت از . کمی بعد روشن خواهد شد که چرا به چنین تعریفی نیاز است.بنابراین، عدد را حد تابع در نقطه می گویند، که نقطه حدی از مجموعه ای است که بر روی آن تعریف شده است.
تابع اگر
بیایید یک به یک به این تعریف نگاه کنیم. اجازه دهید در اینجا بخش‌های مرتبط با میل استدلال برای معنا و با میل تابع را برجسته کنیم
بها دادن . شما باید معنای کلی عبارت نوشته شده را درک کنید که تقریباً می توان آن را به صورت زیر تفسیر کرد.
تابع به سمت گرایش دارد، اگر عددی را از همسایگی به اندازه کافی کوچک نقطه بگیریم، این کار را خواهیم کرد
مقدار یک تابع را از همسایگی به اندازه کافی کوچک عدد بدست آورید. و هر چه همسایگی نقطه ای که مقادیر از آن گرفته می شود کوچکتر باشد
آرگومان، همسایگی نقطه ای که مقادیر تابع مربوطه در آن قرار می گیرد، کوچکتر خواهد بود.اجازه دهید دوباره به تعریف رسمی حد برگردیم و آن را با توجه به آنچه گفته شد مطالعه کنیم. عدد مثبت محله را محدود می کند
نقطه ای که از آن مقادیر آرگومان را می گیریم. علاوه بر این، مقادیر آرگومان، البته، از حوزه تعریف تابع هستند و با خود تابع منطبق نیستند.
نقطه پایان: ما داریم آرزو می نویسیم، تصادفی نیست! بنابراین، اگر مقدار استدلال را از همسایگی مشخص شده نقطه بگیریم،
سپس مقدار تابع در همسایگی نقطه قرار می گیرد.
در نهایت بیایید تعریف را با هم قرار دهیم. هر چقدر هم که محله نقطه را کوچک انتخاب کنیم، همیشه چنین همسایگی نقطه وجود خواهد داشت.
که هنگام انتخاب مقادیر استدلال از آن، خود را در مجاورت نقطه می یابیم. البته اندازه در این مورد همسایگی نقطه است
بستگی به این دارد که چه محله ای از نقطه مشخص شده است. اگر همسایگی مقدار تابع به اندازه کافی بزرگ باشد، پس گسترش مربوط به مقادیر
استدلال عالی خواهد بود. با کاهش همسایگی مقدار تابع، گسترش متناظر مقادیر آرگومان نیز کاهش خواهد یافت (شکل 2 را ببینید).برای روشن شدن برخی جزئیات باقی مانده است. اولاً، شرط محدود بودن یک نقطه، نیاز به نگرانی در مورد اینکه آیا یک نقطه وجود دارد را از بین می برد
از - همسایگی به طور کلی به حوزه تعریف تابع تعلق دارد. ثانیاً مشارکت در تعیین شرط حدبه معنای
که یک آرگومان می تواند به یک مقدار در سمت چپ و راست تمایل داشته باشد.برای مواردی که آرگومان تابع به بی نهایت تمایل دارد، مفهوم نقطه حد باید به طور جداگانه تعریف شود. حد نامیده می شود
نقطه مجموعه اگر برای هر عدد مثبت بازه شامل یک مجموعه بی نهایت باشد
امتیاز از مجموعهبه مثال ها برگردیم. عملکرد برای ما جالب نیست. بیایید نگاهی دقیق تر به سایر عملکردها بیندازیم.
مثال ها.
مثال 1. نمودار تابع دارای پیچ خوردگی است.
تابعبا وجود تکینگی در نقطه، در این نقطه محدودیتی دارد. ویژگی در صفر از دست دادن صافی است.
مثال 2. محدودیت های یک طرفه.
یک تابع در یک نقطه هیچ محدودیتی ندارد. همانطور که قبلاً اشاره شد، برای وجود یک حد لازم است که هنگام مراقبت
در سمت چپ و در سمت راست تابع به یک مقدار تمایل داشت. این بدیهی است که اینجا صادق نیست. با این حال، مفهوم محدودیت یک طرفه را می توان معرفی کرد.
اگر آرگومان از سمت مقادیر بزرگتر به یک مقدار معین گرایش داشته باشد، آنگاه از حد راست صحبت می کنیم. اگر در کنار مقادیر کوچکتر باشد -
در مورد حد چپ
در صورت کارکرد- حد راست دست با این حال، می توانیم مثالی بزنیم که نوسانات بی پایان سینوس با وجود یک حد (و دو طرفه) تداخل نداشته باشد.
یک مثال می تواند تابع باشد. نمودار زیر آورده شده است؛ به دلایل واضح، آن را تا پایان در مجاورت بسازید
منشا غیر ممکن است حد در صفر است.یادداشت.
1. رویکردی برای تعیین حد یک تابع وجود دارد که از حد یک دنباله استفاده می کند - به اصطلاح. تعریف هاینه در آنجا دنباله ای از نقاط ساخته می شود که به مقدار مورد نیاز همگرا می شود
آرگومان - سپس توالی مربوط به مقادیر تابع به حد تابع در این مقدار آرگومان همگرا می شود. معادل تعریف هاینه و تعریف در زبان
"epsilon-delta" ثابت شده است.
2. مورد توابع دو یا چند آرگومان به این دلیل پیچیده می شود که برای وجود حد در یک نقطه، لازم است مقدار حد برای هر راهی که آرگومان تمایل دارد یکسان باشد.
به مقدار لازم اگر فقط یک آرگومان وجود دارد، می توانید مقدار مورد نیاز را از سمت چپ یا از راست به دست آورید. با متغیرهای بیشتر، تعداد گزینه ها به طور چشمگیری افزایش می یابد. مورد توابع
متغیر مختلط نیاز به بحث جداگانه دارد.
textvc -محلهمجموعه‌ها در تحلیل کارکردی و رشته‌های مرتبط از این قبیل مجموعه‌ای هستند که هر نقطه از آن فاصله دارد مجموعه داده شدهنه بیشتر از قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.): \varepsilon
.
تعاریف
- اجازه دهید قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی
textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: (X,\varrho)یک فضای متریک وجود دارد، قادر به تجزیه عبارت (فایل اجراییtextvcپیدا نشد؛ به ریاضیات/README مراجعه کنید - کمک به تنظیم: x_0 \در X،و قادر به تجزیه عبارت (فایل اجراییtextvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضیات/README مراجعه کنید.): \varepsilon > 0. قادر به تجزیه عبارت (فایل اجراییtextvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.): \varepsilon-محیط اطراف قادر به تجزیه عبارت (فایل اجراییtextvcمجموعه ای نامیده می شود
textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: U_(\varepsilon)(x_0) = \( x\in X \mid \varrho(x,x_0)< \varepsilon \}.
- بگذارید یک زیر مجموعه داده شود قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی
textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید: A \subset X.سپس قادر به تجزیه عبارت (فایل اجراییtextvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.): \varepsilon-همسایگی این مجموعه مجموعه است
textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: U_(\varepsilon)(A) = \bigcup\limits_(x \in A) U_(\varepsilon)(x).
یادداشت
- قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی
textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.): \varepsilon-همسایگی نقطه قادر به تجزیه عبارت (فایل اجراییtextvcپیدا نشد؛ به ریاضیات/README مراجعه کنید - کمک به تنظیم: x_0بنابراین یک توپ باز با مرکز در نامیده می شود قادر به تجزیه عبارت (فایل اجراییtextvcپیدا نشد؛ به ریاضیات/README مراجعه کنید - کمک به تنظیم: x_0و شعاع قادر به تجزیه عبارت (فایل اجراییtextvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.): \varepsilon. - مستقیماً از این تعریف برمی آید که
textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: U_(\varepsilon)(A) = \(x\in X \mid \exists y\in A\; \varrho(x,y)< \varepsilon\}.
- قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی
textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.): \varepsilon- محله یک محله و به ویژه یک مجموعه باز است.
مثال ها
نظری در مورد مقاله محله اپسیلون بنویسید
گزیده ای از ویژگی های محله اپسیلون
-خب گوش بدیم؟ - دخترک با بی حوصلگی مرا هل داد.نزدیک شدیم... و من لمس نرم و شگفت انگیزی از یک موج درخشان را احساس کردم... این چیزی بود فوق العاده لطیف، شگفت آور محبت آمیز و آرام بخش، و در عین حال، به عمق "عمق" شگفت زده و کمی محتاط من نفوذ می کرد. روح... "موسیقی" آرام در امتداد پایم می چرخید، در میلیون ها سایه مختلف می لرزید، و با بالا آمدن به سمت بالا، شروع به پوشاندن من با چیزی فوق العاده زیبا، چیزی فراتر از هر کلمه ای کرد... احساس می کردم که دارم پرواز می کنم، اگرچه آنجاست. پرواز نبود، در واقعیت اتفاق نیفتاد. فوق العاده بود!.. هر سلولی در موج نو که می آمد حل شد و ذوب شد و طلای درخشان من را شست و همه چیز بد و غم انگیز را از بین برد و تنها نوری ناب و بکر در روحم باقی گذاشت...
من حتی احساس نکردم که چگونه وارد این معجزه درخشان شدم و تقریباً با سر در آن فرو رفتم. خیلی خوب بود و من هرگز نمی خواستم آنجا را ترک کنم ...
- خب دیگه بسه! وظیفه ای در انتظار ماست! - صدای قاطعانه استلا در زیبایی درخشان ظاهر شد. - خوشت آمد؟
- آه بله! - نفسم را بیرون دادم. - اینقدر نمی خواستم بیرون برم!..
- دقیقا! بنابراین برخی تا تجسم بعدی خود "حمام" می کنند ... و سپس دیگر هرگز به اینجا باز نمی گردند ...
به جز علائم نابرابری و مدول چه نمادهایی را می شناسید؟
از درس جبر نماد زیر را می دانیم:
- کمیت جهانی به معنای "برای هر"، "برای همه"، "برای همه" است، یعنی ورودی باید "برای هر اپسیلون مثبت" خوانده شود.
- کمیت وجودی، - یک مقدار متعلق به مجموعه اعداد طبیعی وجود دارد.
- یک چوب بلند عمودی به این صورت خوانده می شود: "چنین آن"، "چنین آن"، "چنین آن" یا "چنین که"، در مورد ما، بدیهی است که ما در مورد یک عدد صحبت می کنیم - بنابراین "چنین"؛
– برای همه «en» بزرگتر از ;
- علامت مدول به معنای فاصله است، یعنی. این مدخل به ما می گوید که فاصله بین مقادیر کمتر از اپسیلون است.
تعیین محدودیت توالی
و در واقع، بیایید کمی فکر کنیم - چگونه یک تعریف دقیق از دنباله را تدوین کنیم؟ ... اولین چیزی که در دنیا به ذهن می رسد درس عملی: "حد یک دنباله عددی است که اعضای دنباله بی نهایت به آن نزدیک می شوند."
خوب، بیایید دنباله را بنویسیم:
درک اینکه دنباله به عدد -1 بی نهایت نزدیک می شود، و اصطلاحات دارای اعداد زوج به "یک" نزدیک می شوند، دشوار نیست.
یا شاید دو حد وجود دارد؟ اما پس چرا هیچ سکانسی نمی تواند ده یا بیست عدد از آنها را داشته باشد؟ شما می توانید از این راه دور بروید. در این رابطه، منطقی است که فرض کنیم اگر دنباله ای حدی داشته باشد، تنها آن است.
توجه: دنباله محدودیت ندارد، اما دو دنباله فرعی را می توان از آن متمایز کرد (به بالا مراجعه کنید)، که هر کدام حد خود را دارند.
بنابراین، تعریف فوق غیرقابل دفاع است. بله، برای مواردی مانند (که من در توضیحات ساده شده مثال های عملی به درستی استفاده نکردم) کار می کند، اما اکنون باید یک تعریف دقیق پیدا کنیم.
تلاش دوم: "محدودیت یک دنباله عددی است که همه اعضای دنباله به آن نزدیک می شوند، به استثنای تعداد محدود آنها." این به حقیقت نزدیک‌تر است، اما هنوز کاملاً دقیق نیست. بنابراین، به عنوان مثال، نیمی از عبارت های یک دنباله به هیچ وجه به صفر نزدیک نمی شوند - آنها به سادگی با آن برابر هستند =) به هر حال، "چراغ چشمک زن" به طور کلی دو مقدار ثابت می گیرد.
توضیح این فرمول دشوار نیست، اما پس از آن یک سوال دیگر مطرح می شود: چگونه می توان تعریف را در نمادهای ریاضی نوشت؟ دنیای علمی برای مدت طولانی با این مشکل دست و پنجه نرم کرد تا اینکه این وضعیت توسط استاد معروف حل شد، که در اصل، تجزیه و تحلیل ریاضی کلاسیک را با تمام سختی آن رسمی کرد. کوشی پیشنهاد کرد که در منطقه اطراف فعالیت کند، که به طور قابل توجهی این نظریه را ارتقا داد.
یک نقطه خاص و همسایگی دلخواه آن را در نظر بگیرید:
ارزش "epsilon" همیشه مثبت است، و علاوه بر این، ما این حق را داریم که خودمان آن را انتخاب کنیم. اجازه دهید فرض کنیم که در یک محله معین، اعضای زیادی (نه لزوماً همه) از یک دنباله وجود دارد. اینکه مثلاً ترم دهم در همسایگی است چگونه یادداشت کنیم؟ بگذارید در سمت راست آن باشد. سپس فاصله بین نقاط و باید کمتر از “epsilon” باشد: . اما اگر "x دهم" در سمت چپ نقطه "الف" قرار گیرد، این اختلاف منفی خواهد بود و بنابراین علامت مدول باید به آن اضافه شود: .
تعریف: عددی حد یک دنباله نامیده می شود که برای هر یک از همسایگی های آن (از پیش انتخاب شده) یک عدد طبیعی وجود داشته باشد به طوری که تمام اعضای دنباله با اعداد بزرگتر در داخل همسایگی قرار گیرند:
یا به طور خلاصه: اگر
به عبارت دیگر، مهم نیست که چقدر مقدار "اپسیلون" را کوچک می گیریم، دیر یا زود "دم بی نهایت" دنباله به طور کامل در این همسایگی خواهد بود.
بنابراین، برای مثال، "دم نامتناهی" دنباله به طور کامل وارد هر محله کوچک دلخواه نقطه می شود. به شما یادآوری می کنم که دنباله ای که حد آن صفر است نامیده می شود بی نهایت کوچک
لازم به ذکر است که برای یک دنباله دیگر نمی توان گفت "یک دم بی پایان خواهد آمد" - اصطلاحات با اعداد فرد در واقع برابر با صفر هستند و "هیچ جا نخواهد رفت" =) به همین دلیل است که فعل "ظاهر خواهد شد" ” در تعریف استفاده می شود. و البته اعضای سکانسی مانند این نیز «به جایی نمی‌رسند». به هر حال، بررسی کنید که آیا تعداد محدودیت آن است یا خیر.
اکنون نشان خواهیم داد که دنباله محدودیتی ندارد. برای مثال، همسایگی نقطه را در نظر بگیرید. کاملاً واضح است که چنین عددی وجود ندارد که پس از آن همه عبارت‌ها در یک محله مشخص به پایان برسند - عبارت‌های فرد همیشه به «منهای یک» «بیرون می‌روند». به همین دلیل، هیچ محدودیتی در نقطه وجود ندارد.
ثابت کنید که حد دنباله صفر است. عددی را مشخص کنید که پس از آن همه اعضای دنباله تضمین می‌شوند که در هر محله کوچک دلخواه نقطه قرار دارند.
توجه: برای بسیاری از دنباله ها، عدد طبیعی مورد نیاز به مقدار بستگی دارد - از این رو نماد .
راه حل: یک همسایگی دلخواه یک نقطه را در نظر بگیرید و بررسی کنید که آیا عددی وجود دارد که همه عبارت‌های با اعداد بالاتر در این همسایگی قرار گیرند:
برای نشان دادن وجود عدد مورد نیاز، آن را از طریق بیان می کنیم.
از آنجایی که برای هر مقدار "en"، علامت مدول را می توان حذف کرد:
ما از اقدامات "مدرسه ای" با نامساوی استفاده می کنیم که در درس های نامساوی خطی و دامنه یک تابع تکرار کردم. در این مورد، یک شرایط مهم این است که "epsilon" و "en" مثبت هستند:
از آنجایی که ما در مورد اعداد طبیعی در سمت چپ صحبت می کنیم، و سمت راست به طور کلی کسری است، باید گرد شود:
توجه: گاهی اوقات یک واحد به سمت راست اضافه می شود تا در سمت امن باشد، اما در واقع این امر بیش از حد است. به طور نسبی، اگر نتیجه را با گرد کردن به پایین تضعیف کنیم، نزدیکترین عدد مناسب ("سه") همچنان نابرابری اصلی را برآورده می کند.
اکنون به نابرابری نگاه می کنیم و به یاد می آوریم که در ابتدا یک محله دلخواه را در نظر گرفتیم، یعنی. "epsilon" می تواند برابر با هر عدد مثبت باشد.
نتیجه : برای هر همسایگی کوچک دلخواه یک نقطه، مقداری پیدا شد که برای همه اعداد بزرگتر نابرابری . بنابراین، عدد بر اساس تعریف، حد یک دنباله است. Q.E.D.
به هر حال، یک الگوی طبیعی به وضوح از نتیجه به دست آمده قابل مشاهده است: هر چه محله کوچکتر باشد، تعداد آن بزرگتر است، پس از آن همه اعضای دنباله در این محله خواهند بود. اما مهم نیست که "اپسیلون" چقدر کوچک باشد، همیشه یک "دم بی نهایت" در داخل و خارج وجود خواهد داشت - حتی تعداد زیادی، اما محدود از عبارت ها.
تعریف کلی همسایگی یک نقطه روی خط اعداد در نظر گرفته شده است. تعاریف همسایگی اپسیلون، همسایگی سمت چپ، راست و سوراخ شده نقاط محدود و نامتناهی. ملک محله. یک قضیه در مورد هم ارزی استفاده از همسایگی اپسیلون و همسایگی دلخواه در تعیین حد یک تابع با توجه به کوشی اثبات می شود.
محتواتعیین همسایگی یک نقطه
همسایگی یک نقطه واقعی x 0
هر بازه باز حاوی این نقطه نامیده می شود:
.
اینجا ε 1
و ε 2
- اعداد مثبت دلخواه
اپسیلون - همسایگی نقطه x 0
مجموعه نقاطی است که فاصله آنها تا نقطه x است 0
کمتر از ε:
.
محله سوراخ شده نقطه x 0
همسایگی این نقطه است که خود نقطه x از آن مستثنی است 0
:
.
همسایگی نقاط پایانی
در همان ابتدا تعریفی از همسایگی یک نقطه ارائه شد. به عنوان تعیین شده است. اما شما می توانید به صراحت نشان دهید که همسایگی به دو عدد با استفاده از آرگومان های مناسب بستگی دارد:
(1)
.
یعنی همسایگی مجموعه ای از نقاط متعلق به یک بازه باز است.
برابر کردن ε 1
به ε 2
، اپسیلون می گیریم - همسایگی:
(2)
.
همسایگی اپسیلون مجموعه ای از نقاط متعلق به یک بازه باز با انتهای مساوی است.
البته می توان حرف اپسیلون را با هر دیگری جایگزین کرد و δ - همسایگی، σ - همسایگی و ... را در نظر گرفت.
در تئوری حد می توان از تعریف همسایگی بر اساس مجموعه (1) و مجموعه (2) استفاده کرد. استفاده از هر یک از این همسایگی ها نتایجی معادل می دهد (نگاه کنید به). اما تعریف (2) ساده تر است، بنابراین اپسیلون اغلب استفاده می شود - همسایگی یک نقطه تعیین شده از (2).
مفاهیم همسایگی سمت چپ، سمت راست و سوراخ شده نقاط انتهایی نیز به طور گسترده مورد استفاده قرار می گیرند. در اینجا تعاریف آنها آمده است.
همسایگی سمت چپ نقطه واقعی x 0
یک بازه نیمه باز است که روی محور واقعی در سمت چپ نقطه x قرار دارد 0
، از جمله خود نکته:
;
.
همسایگی سمت راست نقطه واقعی x 0
یک بازه نیمه باز است که در سمت راست نقطه x قرار دارد 0
، از جمله خود نکته:
;
.
محله های سوراخ شده از نقاط پایانی
محله های سوراخ شده نقطه x 0 - اینها همان محله هایی هستند که خود نقطه از آنها مستثنی شده است. آنها با یک دایره در بالای حرف نشان داده شده اند. در اینجا تعاریف آنها آمده است.
همسایگی سوراخ شده نقطه x 0
:
.
اپسیلون سوراخ شده - همسایگی نقطه x 0
:
;
.
سوراخ سمت چپ مجاورت:
;
.
مجاورت سمت راست سوراخ شده:
;
.
همسایگی نقاط در بی نهایت
در کنار نقاط انتهایی، مفهوم همسایگی نقاط در بی نهایت نیز معرفی شده است. همه آنها سوراخ می شوند زیرا هیچ عدد واقعی در بی نهایت وجود ندارد (نقطه در بی نهایت به عنوان حد یک دنباله بی نهایت بزرگ تعریف می شود).
.
;
;
.
تعیین همسایگی نقاط در بی نهایت به این صورت امکان پذیر بود:
.
اما به جای M، از , استفاده می کنیم، به طوری که همسایگی با ε کوچکتر زیرمجموعه ای از همسایگی با ε بزرگتر است، همانطور که برای محله های نقطه پایانی وجود دارد.
ملک محله
در مرحله بعد از خاصیت آشکار همسایگی یک نقطه (محدود یا در بینهایت) استفاده می کنیم. این در این واقعیت نهفته است که همسایگی‌های نقاط با مقادیر ε کمتر زیرمجموعه‌ای از محله‌هایی با مقادیر ε بیشتر هستند. در اینجا فرمول های دقیق تری وجود دارد.
بگذارید یک نقطه نهایی یا بی نهایت دور وجود داشته باشد. رهایش کن .
سپس
;
;
;
;
;
;
;
.
عکس آن نیز صادق است.
هم ارزی تعاریف حد یک تابع طبق کوشی
اکنون نشان خواهیم داد که در تعیین حد یک تابع با توجه به کوشی، می‌توانید از همسایگی دلخواه و همسایگی با انتهای مساوی استفاده کنید.
قضیه
تعاریف کوشی از حد تابعی که از همسایه‌های دلخواه و همسایه‌هایی با انتهای مساوی استفاده می‌کند، معادل هستند.
اثبات
فرمول بندی کنیم اولین تعریف حد یک تابع.
عدد a حد تابع در یک نقطه (متناهی یا بینهایت) است، اگر برای هر اعداد مثبت اعداد بسته به و برای همه متعلق به همسایگی مربوط به نقطه a باشد:
.
فرمول بندی کنیم تعریف دوم از حد یک تابع.
عدد a حد تابع در یک نقطه است اگر برای هر عدد مثبت عددی بسته به آن برای همه وجود داشته باشد:
.
اثبات 1 ⇒ 2
اجازه دهید ثابت کنیم که اگر یک عدد a حد یک تابع با تعریف 1 باشد، آنگاه با تعریف دوم نیز حدی است.
بگذارید تعریف اول برآورده شود. این به این معنی است که توابع و وجود دارد، بنابراین برای هر اعداد مثبت زیر برقرار است:
در کجا .
از آنجایی که اعداد دلخواه هستند، آنها را برابر می کنیم:
.
سپس چنین توابعی وجود دارد و بنابراین برای هر کدام موارد زیر برقرار است:
در کجا .
توجه کنید که .
اجازه دهید کوچکترین اعداد مثبت و . سپس با توجه به آنچه در بالا ذکر شد،
.
اگر پس از آن.
یعنی، ما چنین تابعی را پیدا کردیم، بنابراین برای هر کدام موارد زیر برقرار است:
در کجا .
این بدان معناست که عدد a حد تابع تعریف دوم است.
اثبات 2 ⇒ 1
اجازه دهید ثابت کنیم که اگر یک عدد a حد یک تابع با تعریف دوم باشد، در تعریف اول نیز حدی است.
بگذارید تعریف دوم برآورده شود. دو عدد مثبت و . و بگذار کمترین آنها باشد. سپس طبق تعریف دوم چنین تابعی وجود دارد، به طوری که برای هر عدد مثبت و برای همه، نتیجه می شود که
.
اما با توجه به , . بنابراین، از آنچه به دنبال آن است
.
سپس برای هر عدد مثبت و، دو عدد پیدا کردیم، بنابراین برای همه:
.
این بدان معنی است که عدد a با تعریف اول یک حد است.
قضیه ثابت شده است.
منابع:
L.D. کودریاوتسف. دوره تحلیل ریاضی. جلد 1. مسکو، 2003.