(لات. دامنه- قدر) - این بزرگترین انحراف جسم در حال نوسان از موقعیت تعادل است.

برای یک آونگ، این حداکثر فاصله ای است که توپ از موقعیت تعادل خود حرکت می کند (شکل زیر). برای نوسانات با دامنه های کوچک، این فاصله را می توان به عنوان طول قوس 01 یا 02 و همچنین طول این بخش ها در نظر گرفت.

دامنه نوسان بر حسب واحد طول اندازه گیری می شود - متر، سانتی متر و غیره. در نمودار نوسان، دامنه به عنوان حداکثر (در مقدار مطلق) منحنی سینوسی تعریف می شود (شکل زیر را ببینید).

دوره نوسان.

دوره نوسان- این کوچکترین بازه زمانی است که پس از آن سیستم، با ایجاد نوسان، دوباره به همان حالتی که در لحظه اولیه زمان در آن قرار داشت، به طور دلخواه برمی گردد.

به عبارت دیگر، دوره نوسان ( تی) زمانی است که برای آن یک نوسان کامل اتفاق می افتد. به عنوان مثال، در شکل زیر، این مدت زمانی است که وزن آونگ از سمت راست ترین نقطه در نقطه تعادل حرکت می کند. Oبه سمت چپ ترین نقطه و برگشت از طریق نقطه Oدوباره سمت راست.

بنابراین، برای یک دوره کامل نوسان، بدن مسیری برابر با چهار دامنه را طی می کند. دوره نوسان در واحد زمان اندازه گیری می شود - ثانیه، دقیقه و غیره. دوره نوسان را می توان از نمودار نوسان شناخته شده تعیین کرد (شکل زیر را ببینید).

مفهوم "دوره نوسان"، به طور دقیق، تنها زمانی معتبر است که مقادیر کمیت نوسانی دقیقاً پس از یک دوره زمانی معین، یعنی برای نوسانات هارمونیک، تکرار شوند. با این حال، این مفهوم همچنین برای مواردی که مقادیر تقریباً تکرار شونده، به عنوان مثال، برای نوسانات میرا شده.

فرکانس نوسان.

فرکانس نوسانتعداد نوسانات در واحد زمان است، به عنوان مثال، در 1 ثانیه.

واحد فرکانس SI نامگذاری شده است هرتز(هرتز) به افتخار فیزیکدان آلمانی G. Hertz (1857-1894). اگر فرکانس نوسان ( v) برابر است با 1 هرتز، پس این بدان معنی است که برای هر ثانیه یک نوسان ایجاد می شود. فرکانس و دوره نوسانات با روابط زیر مرتبط است:

در نظریه نوسانات نیز از مفهوم استفاده می شود چرخه ای، یا فرکانس دایره ای ω . مربوط به فرکانس نرمال است vو دوره نوسان تینسبت ها:

.

فرکانس چرخه ایتعداد نوسانات در هر است 2πثانیه

آیا هرتز (نام روسی: هرتز; بین المللی: هرتز) به نام هاینریش هرتز فیزیکدان آلمانی نامگذاری شده است.

فرکانس با دوره نوسان نسبت معکوس دارد: ν = 1/تی .

فرکانس	1 مگاهرتز (10-3 هرتز)	1 هرتز (10 0 هرتز)	1 کیلوهرتز (10 3 هرتز)	1 مگاهرتز (10 6 هرتز)	1 گیگاهرتز (10 9 هرتز)	1 هرتز (10 12 هرتز)
عادت زنانه	1 ks (10 3 s)	1 ثانیه (10 0 ثانیه)	1 میلی ثانیه (10-3 ثانیه)	1 میکرو ثانیه (10-6 ثانیه)	1 ns (10-9 s)	1 ثانیه (10-12 ثانیه)

فرآیندهای دوره‌ای در طبیعت با فرکانس‌هایی از ~10-16 هرتز (فرکانس چرخش خورشید به دور مرکز کهکشان) تا ~1035 هرتز (فرکانس نوسانات میدان مشخصه پر انرژی ترین پرتوهای کیهانی) شناخته شده است. .

ویدیو های مرتبط

فرکانس دایره ای

در صورت استفاده از درجه در ثانیه به عنوان واحد فرکانس زاویه ای، رابطه با فرکانس معمول به صورت زیر خواهد بود: ω \u003d 360 ° ν.

از نظر عددی فرکانس دایره ای برابر است با تعداد نوسانات (دوران) در 2π ثانیه. معرفی فرکانس دایره ای (در بعد اصلی آن - رادیان در ثانیه) به ما امکان می دهد بسیاری از فرمول ها را در فیزیک نظری و الکترونیک ساده کنیم. بنابراین، فرکانس دایره‌ای تشدید مدار LC نوسانی برابر است ω L C = 1 / L C , (\displaystyle \omega _(LC)=1/(\sqrt (LC))،)در حالی که چرخه ای است فرکانس تشدید ν L C = 1 / (2 π L C) . (\displaystyle \nu _(LC)=1/(2\pi (\sqrt (LC))).)در همان زمان، تعدادی از فرمول های دیگر پیچیده تر می شوند. توجه تعیین کننده به نفع فرکانس دایره ای این بود که ضرب کننده ها 2 π (\displaystyle 2\pi)و 1/2 π (\displaystyle 1/2\pi)که در بسیاری از فرمول ها هنگام استفاده از رادیان برای اندازه گیری زوایا و فازها ظاهر می شوند، با معرفی فرکانس دایره ای (زاویه ای) ناپدید می شوند.

در مکانیک، هنگام در نظر گرفتن حرکت دورانی، آنالوگ فرکانس دایره ای، سرعت زاویه ای است.

فرکانس رویداد گسسته

فراوانی رویدادهای گسسته (مثلاً نرخ تکرار پالس) یک کمیت فیزیکی برابر با تعداد رویدادهای گسسته ای است که در واحد زمان رخ می دهند. واحد بسامد رویدادهای گسسته یک ثانیه به منهای یک درجه است (نام روسی: s −1; بین المللی: s-1). فرکانس 1 s-1 برابر است با بسامد رویدادهای گسسته ای که در آن یک رویداد در 1 ثانیه رخ می دهد.

فرکانس چرخش

سرعت چرخش یک کمیت فیزیکی برابر با تعداد دور کامل در واحد زمان است. واحد سرعت چرخش یک ثانیه به منهای توان اول است ( s −1, s-1) انقلاب در ثانیه. واحدهایی که اغلب استفاده می شوند عبارتند از: دور در دقیقه، دور در ساعت و غیره.

سایر مقادیر مربوط به فرکانس

واحدها

در سیستم SI واحد فرکانس چرخه ای هرتز (هرتز، هرتز) است. این واحد ابتدا در سال 1930 توسط کمیسیون بین المللی الکتروتکنیکی معرفی شد و در سال 1960 توسط یازدهمین کنفرانس عمومی وزن ها و اندازه گیری ها به عنوان واحد SI برای استفاده عمومی به تصویب رسید. قبل از آن واحد فرکانس چرخه ای بود چرخه در ثانیه(1 چرخه در ثانیه \u003d 1 هرتز) و مشتقات (کیلو سیکل در ثانیه، مگاسیکل در ثانیه، کیلومتر گاسیکل در ثانیه، به ترتیب برابر با کیلوهرتز، مگاهرتز و گیگاهرتز).

جنبه های مترولوژیکی

برای اندازه گیری فرکانس از انواع فرکانس متر استفاده می شود که شامل: اندازه گیری نرخ تکرار پالس - شمارش الکترونیکی و خازن، تعیین فرکانس اجزای طیفی - فرکانس سنج رزونانسی و هترودینی و همچنین تحلیلگرهای طیف. برای بازتولید فرکانس با دقت معین، از معیارهای مختلفی استفاده می شود - استانداردهای فرکانس (دقت بالا)، سینت سایزرهای فرکانس، ژنراتورهای سیگنال و غیره. فرکانس ها را با مقایسه کننده فرکانس یا با استفاده از اسیلوسکوپ با استفاده از ارقام Lissajous مقایسه کنید.

استانداردها

استانداردهای ملی فرکانس برای کالیبراسیون ابزارهای اندازه گیری فرکانس استفاده می شود. در روسیه، استانداردهای فرکانس ملی عبارتند از:

• استاندارد اولیه ایالتی واحدهای زمان، فرکانس و مقیاس زمانی ملی GET 1-98 در VNIIFTRI قرار دارد.
• استاندارد ثانویه واحد زمان و فرکانس VET 1-10-82- واقع در SNIIM (نووسیبیرسک).

محاسبه

محاسبه فراوانی یک رویداد تکرار شونده با در نظر گرفتن تعداد وقوع این رویداد در یک دوره زمانی معین انجام می شود. مقدار حاصل بر طول دوره زمانی مربوطه تقسیم می شود. به عنوان مثال، اگر 71 رویداد همگن در 15 ثانیه رخ دهد، فرکانس خواهد بود

ν = 71 15 ثانیه ≈ 4.7 هرتز (\displaystyle \nu =(\frac (71)(15\,(\mbox(s)))\تقریباً 4.7\,(\mbox(Hz)))

اگر تعداد نمونه‌های به‌دست‌آمده کم باشد، روش دقیق‌تر اندازه‌گیری فاصله زمانی برای تعداد معینی از وقوع رویداد مورد نظر، به جای یافتن تعداد رویدادها در یک بازه زمانی معین است. استفاده از روش دوم یک خطای تصادفی بین صفر و اولین شمارش را معرفی می کند که به طور میانگین نصف شمارش می شود. این می تواند منجر به ظهور یک خطای متوسط ​​در فرکانس محاسبه شده Δν = 1/(2) شود Tm) یا خطای نسبی Δ ν /ν = 1/(2v Tm ) ، جایی که Tm فاصله زمانی و ν فرکانس اندازه گیری شده است. با افزایش فرکانس خطا کاهش می یابد، بنابراین این مشکلمهمترین است برای فرکانس های پایین، که در آن تعداد نمونهن تعداد کمی.

روش های اندازه گیری

روش استروبوسکوپی

استفاده از دستگاه مخصوص - استروبوسکوپ - یکی از روش های اولیه برای اندازه گیری سرعت چرخش یا ارتعاش اجسام مختلف است. فرآیند اندازه گیری از یک منبع نور استروبوسکوپی (معمولاً یک لامپ روشن که به صورت دوره ای فلاش های کوتاه نور ساطع می کند) استفاده می کند که فرکانس آن با استفاده از یک زنجیره زمان بندی از پیش کالیبره شده تنظیم می شود. یک منبع نور به سمت یک جسم در حال چرخش هدایت می شود و سپس سرعت فلاش به تدریج تغییر می کند. هنگامی که فرکانس فلاش ها با فرکانس چرخش یا ارتعاش جسم برابر می شود، جسم دوم زمان دارد تا یک چرخه نوسانی کامل را تکمیل کند و در فاصله بین دو چشمک به موقعیت اولیه خود بازگردد، به طوری که وقتی توسط یک لامپ بارق روشن می شود، این جسم ثابت به نظر می رسد. در این روشبا این حال، یک اشکال وجود دارد: اگر فرکانس چرخش جسم ( ایکس) با فرکانس بارق برابر نیست ( y، اما متناسب با آن با یک ضریب صحیح (2 ایکس , 3ایکسو غیره)، پس از آن شی همچنان در هنگام روشن شدن ثابت به نظر می رسد.

از روش استروبوسکوپی نیز برای تنظیم دقیق سرعت (نوسانات) استفاده می شود. در این حالت، فرکانس فلاش ها ثابت است و فرکانس حرکت دوره ای جسم تغییر می کند تا زمانی که شروع به ثابت نشان دادن کند.

روش ضرب و شتم

نزدیک به روش استروبوسکوپی، روش ضرب و شتم است. این مبتنی بر این واقعیت است که هنگام مخلوط کردن نوسانات دو فرکانس (مرجع ν و قابل اندازه گیری ν" 1 ) در مدار غیر خطی، فرکانس اختلاف Δν = |ν − ν" 1 | که فرکانس ضربان نامیده می شود (با افزودن خطی نوسانات، این فرکانس فرکانس پوشش نوسان کل است). این روش زمانی قابل استفاده است که اندازه گیری نوسانات فرکانس پایین با فرکانس Δ ترجیح داده شود. f. در مهندسی رادیو این روش به روش اندازه گیری فرکانس هترودین نیز معروف است. به ویژه از روش بیت برای تنظیم دقیق آلات موسیقی استفاده می شود. در این حالت، ارتعاشات صوتی با فرکانس ثابت (مثلاً از یک چنگال کوک) که همزمان با صدای یک ساز کوک شده شنیده می شود، یک تقویت دوره ای و تضعیف کل صدا را ایجاد می کند. با تنظیم دقیق ساز، فرکانس این ضربه ها به صفر میل می کند.

کاربرد فرکانس متر

فرکانس‌های بالا معمولاً با استفاده از فرکانس‌سنج اندازه‌گیری می‌شوند. این یک ابزار الکترونیکی است که فرکانس یک سیگنال تکراری خاص را ارزیابی می کند و نتیجه را روی نمایشگر دیجیتال یا نشانگر آنالوگ نشان می دهد. عناصر منطقی گسسته یک فرکانس‌سنج دیجیتالی امکان در نظر گرفتن تعداد دوره‌های نوسانات سیگنال در یک دوره زمانی معین را که از یک ساعت کوارتز مرجع شمارش می‌شود، ممکن می‌سازد. فرآیندهای دوره ای که ماهیت الکتریکی ندارند (مانند چرخش محور، ارتعاشات مکانیکی یا امواج صوتی) را می توان با استفاده از یک مبدل اندازه گیری به سیگنال الکتریکی دوره ای تبدیل کرد و در این شکل به ورودی فرکانس متر تغذیه کرد. . در حال حاضر، دستگاه هایی از این نوع قادر به پوشش محدوده تا 100 هرتز هستند. این شاخص یک سقف عملی برای روش های شمارش مستقیم است. فرکانس‌های بالاتر قبلاً با روش‌های غیرمستقیم اندازه‌گیری می‌شوند.

روش های اندازه گیری غیر مستقیم

خارج از محدوده موجود برای شمارنده های فرکانس، فرکانس سیگنال های الکترومغناطیسی اغلب به طور غیرمستقیم با استفاده از نوسانگرهای محلی (یعنی مبدل های فرکانس) تخمین زده می شود. یک سیگنال مرجع با فرکانس از پیش تعیین شده در یک میکسر غیر خطی (مثلاً یک دیود) با سیگنالی که فرکانس آن تنظیم می شود ترکیب می شود. نتیجه یک سیگنال هترودین است، یا - به طور متناوب - ضربات ایجاد شده توسط تفاوت فرکانس بین دو سیگنال اصلی. اگر دومی ها به اندازه کافی به یکدیگر نزدیک باشند ویژگی های فرکانس، سپس سیگنال هتروداین به اندازه ای کوچک است که با همان فرکانس متر اندازه گیری شود. بر این اساس، در نتیجه این فرآیند، تنها تفاوت بین فرکانس مجهول و فرکانس مرجع تخمین زده می شود که باید با روش های دیگر مشخص شود. برای پوشش فرکانس های بالاتر می توان از چندین مرحله اختلاط استفاده کرد. تحقیقات در حال حاضر برای گسترش این روش به سمت فرکانس های نور مادون قرمز و مرئی (به اصطلاح تشخیص هترودین نوری) در حال انجام است.

مثال ها

تابش الکترومغناطیسی

طیف کامل تابش الکترومغناطیسی با بخش قابل مشاهده اختصاصی

نور مرئی امواج الکترومغناطیسی است که از میدان های الکتریکی و مغناطیسی نوسانی تشکیل شده است که در فضا حرکت می کنند. فرکانس موج رنگ آن را تعیین می کند: 4 × 10 14 هرتز - قرمز، 8 × 10 14 هرتز - بنفش. بین آنها در محدوده (4...8)×10 14 هرتز همه رنگ های دیگر رنگین کمان قرار دارند. امواج الکترومغناطیسی با فرکانس کمتر از 4×10 14 هرتز برای چشم انسان نامرئی هستند، چنین امواجی را تابش فروسرخ (IR) می نامند. پایین تر از این طیف، تشعشعات مایکروویو و امواج رادیویی قرار دارند. نور با فرکانس بالاتر از 8×10 14 هرتز نیز برای چشم انسان نامرئی است. چنین امواج الکترومغناطیسی را تابش فرابنفش (UV) می نامند. با افزایش فرکانس، موج الکترومغناطیسی به منطقه ای از طیف که تابش اشعه ایکس در آن قرار دارد، و در فرکانس های بالاتر - به ناحیه تابش گاما می رود.

همه این امواج، از پایین ترین فرکانس های امواج رادیویی تا فرکانس های بالای پرتوهای گاما، اساساً یکسان هستند و همه آنها را تابش الکترومغناطیسی می نامند. همه آنها در خلاء با سرعت نور منتشر می شوند.

یکی دیگر از ویژگی های امواج الکترومغناطیسی طول موج است. طول موج با فرکانس نسبت معکوس دارد، بنابراین یک موج الکترومغناطیسی با فرکانس بالاتر، طول موج کوتاه تری دارد و بالعکس. در خلاء، طول موج

λ = c / ν، (\displaystyle \lambda =c/\nu،)

جایی که باسرعت نور در خلاء است. در محیطی که در آن سرعت فاز انتشار یک موج الکترومغناطیسی است جبا سرعت نور در خلاء متفاوت است ( ج′ = c/n، جایی که n- ضریب شکست)، رابطه بین طول موج و فرکانس به صورت زیر خواهد بود:

λ = c n ν . (\displaystyle \lambda =(\frac (c)(n\nu)).)

یکی دیگر از مشخصه های پرکاربرد موج، تعداد موج (فرکانس فضایی)، برابر با تعداد امواجی است که در واحد طول مناسب است: ک= 1/λ. گاهی اوقات این مقدار با ضریب 2π به قیاس با فرکانس چرخه ای و دایره ای استفاده می شود ک s = 2π/λ. در مورد موج الکترومغناطیسی در یک محیط

k = 1 / λ = n ν c . (\displaystyle k=1/\lambda =(\frac (n\nu )(c)).) k s = 2 π / λ = 2 π n ν c = n ω c . (\displaystyle k_(s)=2\pi /\lambda =(\frac (2\pi n\nu )(c))=(\frac (n\omega)(c)).)

صدا

خواص صوت (ارتعاشات الاستیک مکانیکی محیط) به فرکانس بستگی دارد. فرد می تواند ارتعاشاتی را با فرکانس 20 هرتز تا 20 کیلوهرتز بشنود (با افزایش سن، حد بالایی فرکانس صدای قابل شنیدن کاهش می یابد). صدایی با فرکانس کمتر از 20 هرتز (مرتبط با یک نت مایل

6. دودلی

6.1. مفاهیم و قوانین اساسی

حرکت اگر دوره ای نامیده می شود

x(t) = x(t + T)، که در آن T

تردید

تناوبی

ترافیک

موقعیت های تعادلی در شکل 6.1 ج

کیفیت

به تصویر کشیده شده است

دوره ای

غیر هارمونیک

نوسانات

مفاد

تعادل

x0 = 0.

دوره T زمان برای

متعهد شد

تردید.

نوسانات در واحد زمان

فرکانس دایره ای (چرخه ای).

ω= 2 πν =

هارمونیک

به ارتعاشاتی گفته می شود که در آن جابجایی

از موقعیت تعادل بسته به زمان

بر اساس قانون سینوس یا کسینوس متفاوت است

x = یک گناه (ω0 t + α)

جایی که A

دامنه نوسان (حداکثر جابجایی نقطه از

موقعیت تعادل)، ω 0 - فرکانس دایره ای نوسانات هارمونیک، ω 0 t + α - فاز، α - فاز اولیه (در t = 0).

سیستمی که نوسانات هارمونیک را انجام می دهد نامیده می شود

نوسان ساز هارمونیک کلاسیک یا ارتعاشی

سیستم.
سرعت					و شتاب		ارتعاشات هارمونیک
مطابق قانون تغییر کند
		X = A ω0 cos (ω0 t + α)،
	d2x
					= -A ω0 sin (ω0 t + α) .
از روابط (6.6) و (6.4) بدست می آوریم
a = −ω 2 x،

از این رو نتیجه می شود که در طول نوسانات هارمونیک، شتاب مستقیماً با جابجایی نقطه از موقعیت تعادل متناسب است و خلاف جابجایی است.

از معادلات (6.6)، (6.7) به دست می آوریم

	+ ω0 x = 0 .

معادله (6.8) نامیده می شودمعادله دیفرانسیل نوسانات هارمونیک ، و (6.4) راه حل آن است. جایگزین کردن

(6.7) در قانون دوم نیوتن F = ma r، نیرویی را بدست می آوریم که تحت آن نوسانات هارمونیک رخ می دهد.

این نیروی که با جابجایی نقطه از وضعیت تعادل نسبت مستقیم دارد و در مقابل جابجایی قرار دارد، نیروی بازگردان نامیده می شود، k نامیده می شود. ضریب نیروی بازیابی. این خاصیت دارای نیروی کشسانی است. نیروهای با ماهیت فیزیکی متفاوت، مشمول قانون (6.11)،

شبه الاستیک نامیده می شوند.

ارتعاشاتی که تحت عمل نیروهایی که دارند رخ می دهد

ویژگی			تماس گرفت	خود	(رایگان
ارتعاشات هارمونیک
از روابط (6.3)، (6.10) فرکانس دایره ای و دوره را به دست می آوریم
این نوسانات
		T = 2π

برای نوسانات هارمونیک، طبق قانون (6.4)، وابستگی انرژی جنبشی و پتانسیل به زمان شکل دارد.

mA2 ω 0

cos 2 (ω t + α) ,

mA2 ω 0

sin 2 (ω t + α) .

انرژی کل در فرآیند نوسانات هارمونیک حفظ می شود

	EK + U = const.
	با جایگزینی عبارات (6.4) و (6.5) برای x و v به (6.15)، به دست می آوریم
	E = E K max = U max			mA2 ω 2
	نمونه ای از یک کلاسیک					هارمونیک
	نوسان ساز یک فنر سبک است که به آن
	بار معلق جرمی m				(شکل 6.2). ضریب
	نیروی بازیابی k ضریب نامیده می شود
	سختی فنر		از قانون دوم نیوتن
	برای محموله	روی یک چشمه				- kx دریافت می کنیم
	معادله،	همزمان
	دیفرانسیل		معادله			هارمونیک
	نوسانات (6.8) در نتیجه، بار روی فنر
	در غیاب نیروهای مقاومت محیطی،
	انجام نوسانات هارمونیک (6.4).
	هارمونیک			نوسانات

به عنوان یک طرح بر روی محورهای مختصات یک بردار که قدر آن برابر با دامنه A است، نشان می دهد که با سرعت زاویه ای ω 0 به دور مبدا می چرخد. این دیدگاه مبتنی بر روش است

نمودارهای برداریاضافه شدن نوسانات هارمونیک با
فرکانس یکسان، در امتداد یک محور رخ می دهد
x 1 \u003d A 1 sin (ω t + ϕ 1)،
x 2 \u003d A 2 sin (ω t + ϕ 2 ) .
دامنه نوسان حاصل توسط
قضیه کسینوس				− 2 A A cos (φ −φ
فاز اولیه نوسان حاصل ϕ											شاید
از فرمول پیدا شد
tgϕ =		A 1 sin ϕ 1 + A 2 sin ϕ 2
		یک cosφ + یک cosφ
هنگام اضافه کردن نوسانات یک طرفه با نزدیک
فرکانس های ω 1 و ω 2				ضربانی رخ می دهد که فرکانس آن برابر با ω 1 − ω 2 است.

معادله مسیر نقطه شرکت در دوارتعاشات متقابل عمود بر هم

x = A 1 sin ((ω t + ϕ 1 ) ) , (6.20) y = A 2 sin ω t + φ 2

فرم را دارد

− 2

cos (φ-ϕ

) = گناه 2 (φ

−ϕ ) .

اگر فازهای اولیه ϕ 1 = ϕ 2، معادله مسیر یک خط مستقیم است.

x یا y = −

ϕ = ϕ1 − ϕ2 = π2،

تفاوت

نقطه به صورت بیضی حرکت می کند

آونگ فیزیکی یک جسم جامد است

قادر است

مرتکب شدن

نوسانات

محور ثابتی که از یک نقطه عبور می کند

همزمان

(شکل 6.3). ارتعاشات هارمونیک هستند

در زوایای انحراف کوچک

لحظه گرانش حول محور،

گذراندن

است

عودت

لحظه

بیان

نسبت

M = mgd sin

ϕ ≈ mgd ϕ.

معادله اصلی برای دینامیک حرکت چرخشی شکل دارد (به فرمول (4.18) مراجعه کنید)

M = I ε , (6.23)

جایی که I ممان اینرسی آونگ نسبت به محوری است که از نقطه O می گذرد، ε شتاب زاویه ای است.

از (6.23)، (6.22) معادله دیفرانسیل نوسانات هارمونیک یک آونگ فیزیکی را به دست می آوریم.

		d 2 ϕ			ϕ = 0 .
	محلول های آن ϕ = ϕ 0 sin ω 0 t،
			mgd.

از (6.3) فرمول دوره نوسان یک آونگ فیزیکی را به دست می آوریم

T = 2 π I.		M = - c φ . ضریب گشتاور بازیابی به جنس و ابعاد سیم بستگی دارد که در آن G مدول برشی است که خواص کشسانی ماده را مشخص می کند، r شعاع سیم، L طول آن است. معادله پایه دینامیک دورانی حرکت شکل دارد
محلول آن به شکل ϕ = ϕ 0 sin (ω 0 t + α) است،

جایی که ϕ جابجایی زاویه ای از موقعیت تعادل است، ϕ 0 دامنه است

نوسانات

با مقایسه معادلات (6.8) و (6.32)، مقادیر فرکانس زاویه ای و دوره ارتعاشات پیچشی را به دست می آوریم.

T = 2π

ارتعاشات آزاد به دلیل وجود نیروهای مقاومت میرا می شوند. به عنوان مثال، هنگامی که یک نقطه مادی در یک محیط چسبناک نوسان می کند، در سرعت های پایین نیرویی بر آن وارد می شود.

مقاومت											r - ضریب
					مقاومت F متوسط ​​= - rv	= -rx،
مقاومت محیطی بنابراین از قانون دوم نیوتن
mx = − kx − rx
معادله دیفرانسیل نوسانات میرا شده را بدست می آوریم
	M x + m x = 0 .
راه حل او برای مورد زمانی که
											فرم را دارد
x = A e-β t				sin(ω t + α ) ,

تعریف

اندازه گرفتن حرکت نوسانیبه صورت چرخه ای (یا زاویه ای یا دایره ای) عمل می کند فرکانس نوسان.

این یک کمیت فیزیکی اسکالر است.

فرکانس چرخه ای در نوسانات هارمونیک

بگذارید یک نقطه مادی نوسان کند. در این حالت نقطه مادی در فواصل زمانی معین از همان موقعیت عبور می کند.

ساده ترین ارتعاشات ارتعاشات هارمونیک هستند. مدل سینماتیک زیر را در نظر بگیرید. نقطه M با سرعت ثابت ($v$) در امتداد دایره ای به شعاع A حرکت می کند. در این حالت، سرعت زاویه ای آن با $(\omega )_0$ نشان داده می شود، این سرعت ثابت است (شکل 1).

طرح نقطه $M$ روی قطر دایره (نقطه $N$)، در محور X، از $N_1$ به $N_2$ نوسان می کند و بالعکس. چنین نوسان N، هارمونیک خواهد بود. برای توصیف نوسان نقطه N لازم است مختصات نقطه N را به صورت تابعی از زمان ($t$) بنویسیم. اجازه دهید برای $t=0$، شعاع OM یک زاویه $(\varphi )_0$ با محور X تشکیل دهد. پس از مدت زمان معینی، این زاویه با $(\omega )_0t$ تغییر می کند و برابر با $(\omega )_0t+(\varphi )_0$ خواهد بود، سپس:

عبارت (1) شکلی تحلیلی برای ثبت ارتعاش هارمونیک نقطه N در امتداد قطر $N_1N_2$ است.

اجازه دهید به بیان (1) بپردازیم. مقدار $A$ حداکثر انحراف نقطه ای است که از موقعیت تعادل (نقطه O - مرکز دایره) نوسان می کند، دامنه نوسانات نامیده می شود.

پارامتر $(\omega )_0$ - فرکانس نوسان چرخه ای. $\varphi =((\omega )_0t+(\varphi )_0$) - فاز نوسان. $(\varphi )_0$ - فاز اولیه نوسانات.

فرکانس چرخه ای نوسانات هارمونیک را می توان به عنوان مشتق جزئی فاز نوسان با توجه به زمان تعریف کرد:

\[(\omega )_0=\frac(?\varphi )(\partial t)=\dot(\varphi)\left(2\right).\]

در $(\varphi )_0=0$، معادله نوسان (1) به زیر تبدیل می شود:

اگر فاز اولیه نوسانات برابر با $(\varphi )_0=\frac(\pi )(2)$ باشد، معادله نوسان را به شکل زیر بدست می آوریم:

عبارات (3) و (4) نشان می دهد که با نوسانات هارمونیک، آبسیسا $x$ یک تابع سینوس یا کسینوس از زمان است. در تصویر گرافیکینوسانات هارمونیک، یک موج کسینوس یا یک سینوسی به دست می آید. شکل منحنی با دامنه نوسانات و مقدار فرکانس چرخه ای تعیین می شود. موقعیت منحنی به فاز اولیه بستگی دارد.

فرکانس نوسان چرخه ای را می توان بر حسب دوره (T) نوسانات بیان کرد:

\[(\omega)_0=\frac(2\pi )(T)\left(5\راست).\]

بیایید فرکانس چرخه ای را با فرکانس $?$$?$ با عبارت:

\[(\omega)_0=2\pi \nu \ \چپ(6\راست).\]

واحد فرکانس چرخه ای در سیستم بین المللی واحدها (SI) رادیان تقسیم بر ثانیه است:

\[\چپ[(\omega )_0\right]=\frac(rad)(s).\]

ابعاد فرکانس چرخه ای:

\[(\dim \left((\omega)_0\right)=\frac(1)(t),\ )\]

جایی که $t$ زمان است.

موارد خاص از فرمول برای محاسبه فرکانس چرخه ای

بار روی فنر (آونگ فنری یک مدل ایده آل است) نوسانات هارمونیک با فرکانس دایره ای برابر با:

\[(\omega)_0=\sqrt(\frac(k)(m))\left(7\راست)،\]

$k$ - ضریب کشش فنر. $m$ جرم بار روی فنر است.

نوسانات کوچک یک آونگ فیزیکی تقریباً نوسانات هارمونیک با فرکانس چرخه ای برابر با:

\[(\omega)_0=\sqrt(\frac(mga)(J))\left(8\راست)،\]

که در آن $J$ لحظه اینرسی آونگ در مورد محور چرخش است. $a$ - فاصله بین مرکز جرم آونگ و نقطه تعلیق. $m$ جرم آونگ است.

نمونه ای از آونگ فیزیکی، آونگ ریاضی است. فرکانس دایره ای نوسانات آن برابر است با:

\[(\omega)_0=\sqrt(\frac(g)(l))\left(9\راست)،\]

که $l$ طول تعلیق است.

فرکانس زاویه ای نوسانات میرا به صورت زیر است:

\[\omega =\sqrt((\omega )^2_0-(\delta)^2)\left(10\right),\]

جایی که $\delta $ ضریب میرایی است. در مورد میرایی نوسانی، $(\omega )_0$ فرکانس زاویه ای طبیعی نوسانات نامیده می شود.

نمونه هایی از مشکلات با راه حل

مثال 1

ورزش:فرکانس چرخه ای نوسانات هارمونیک چقدر است اگر حداکثر سرعت، بیشینه سرعتنقطه ماده برابر است با $(\dot(x))_(max)=10\ \frac(cm)(s)$ و حداکثر شتاب آن $(\ddot(x))_(max)=100\ \frac(cm)(s^2)$?

راه حل:مبنای حل مسئله معادله نوسانات هارمونیک یک نقطه خواهد بود، زیرا از شرایط مشخص است که آنها در امتداد محور X رخ می دهند:

سرعت نوسان را با استفاده از رابطه (1.1) و رابطه سینماتیکی بین مختصات $x$ و مولفه سرعت مربوطه پیدا می کنیم:

حداکثر مقدار سرعت (دامنه سرعت) برابر است با:

شتاب یک نقطه را به صورت زیر محاسبه می کنیم:

از فرمول (1.3) دامنه را بیان می کنیم، آن را در (1.5) جایگزین می کنیم، فرکانس چرخه ای را به دست می آوریم:

\[(\dot(x))_(max)=A(\omega)_0\to A=\frac((\dot(x))_(max))((\omega)_0);;\ ( \ddot(x))_(max)=A(w_0)^2=\frac((\dot(x))_(max))(w_0)(w_0)^2\to w_0=\frac((\ ddot(x))_(حداکثر))((\dot(x))_(حداکثر)).\]

بیایید فرکانس چرخه ای را محاسبه کنیم:

\[w_0=\frac(100)(10)=10(\frac(rad)(s)).\]

پاسخ:$w_0=10\frac((\rm rad))((\rm c))$

مثال 2

ورزش:دو وزنه از یک جرم روی یک میله بلند بی وزن ثابت شده است. یک بار در وسط میله قرار دارد، دیگری در انتهای آن است (شکل 2). این سیستم حول محور افقی که از انتهای آزاد میله می گذرد نوسان می کند. فرکانس چرخه ای نوسان چقدر است؟ طول میله $l$ است.

راه حل:مبنای حل مسئله، فرمول یافتن فرکانس نوسان یک آونگ فیزیکی است:

\[(\omega)_0=\sqrt(\frac(mga)(J))\left(2.1\راست)،\]

که در آن $J$ لحظه اینرسی آونگ در مورد محور چرخش است. $a$ - فاصله بین مرکز جرم آونگ و نقطه تعلیق. $m$ جرم آونگ است. جرم آونگ، با توجه به شرایط مسئله، از جرم دو توپ یکسان تشکیل شده است (جرم یک توپ $\frac(m)(2)$ است). در مورد ما، فاصله $a$ برابر با فاصله بین نقاط O و C است (شکل 2 را ببینید):

اجازه دهید گشتاور اینرسی سیستم جرم دو نقطه را پیدا کنیم. نسبت به مرکز جرم (اگر محور چرخش از نقطه C رسم شود)، ممان اینرسی سیستم ($J_0$) برابر است با:

ممان اینرسی سیستم ما در مورد محوری که از نقطه O می گذرد را می توان با استفاده از قضیه اشتاینر پیدا کرد:

اجازه دهید سمت راست عبارت (2.2) و (2.4) را به جای مقادیر متناظر با (2.1) جایگزین کنیم:

\[(\omega)_0=\sqrt(\frac(mg\frac(3)(4)l\ )(\frac(5)(8)ml^2))=\sqrt(\frac(6g)( 5l)).\]

پاسخ:$(\omega)_0=\sqrt(\frac(6g)(5l))$

بنابراین، انرژی کل یک نوسان هارمونیک ثابت و متناسب با مربع دامنه جابجایی است. . این یکی از ویژگی های مشخصه نوسانات هارمونیک است. در اینجا ضریب ثابت k در مورد آونگ فنر به معنای سفتی فنر و برای آونگ ریاضی k=mgH است. در هر دو مورد، ضریب k توسط پارامترهای سیستم نوسانی منتقل می شود.

انرژی کل یک سیستم نوسانی مکانیکی از انرژی های جنبشی و پتانسیل تشکیل شده و برابر است با حداکثر مقدار هر یک از این دو جزء:

بنابراین انرژی کل نوسانات با مجذور دامنه جابجایی یا مربع دامنه سرعت نسبت مستقیم دارد.

از فرمول:

می توان دامنه x m نوسانات جابجایی را تعیین کرد:

دامنه جابجایی در طول نوسانات آزاد به طور مستقیم با جذر انرژی داده شده به سیستم نوسانی در لحظه اولیه که سیستم از حالت تعادل خارج شد، متناسب است.

سینماتیک نوسانات آزاد مکانیکی

1 جابجایی، سرعت، شتاب.برای یافتن خصوصیات سینماتیکی (جابجایی، سرعت و شتاب) نوسانات آزاد، از قانون بقا و تبدیل انرژی استفاده می کنیم که برای یک سیستم نوسانی مکانیکی ایده آل به صورت زیر نوشته می شود:

از آنجایی که مشتق زمانی φ" ثابت است، زاویه φ به صورت خطی به زمان بستگی دارد:

با در نظر گرفتن این موضوع می توانیم بنویسیم:

x = x m sin ω 0 t، υ = x m ω 0 cos ω 0 t

اینجا ارزش

دامنه تغییر سرعت است:

υ = υ m cos ω 0 t

وابستگی مقدار شتاب لحظه ای آاز زمان t به عنوان مشتق سرعت υ نسبت به زمان می یابیم:

a = υ " = - ω 0 υ m sin ω 0 t،

a = -a m sin ω 0 t

علامت "-" در فرمول به دست آمده نشان می دهد که علامت پیش بینی بردار شتاب بر روی محوری که در امتداد آن نوسانات رخ می دهد مخالف علامت جابجایی x است.

بنابراین، می بینیم که با نوسانات هارمونیک، نه تنها جابجایی، بلکه سرعت و شتاب نیز به صورت سینوسی تغییر می کند. .

2 فرکانس نوسان چرخه ای.مقدار ω 0 فرکانس نوسان چرخه ای نامیده می شود. از آنجایی که تابع sin α دارای دوره 2π در آرگومان α است و نوسانات هارمونیک دارای دوره T در زمان هستند، پس