Elméleti minimum

A numerikus sorozatokra alkalmazott határérték fogalma már bemutatásra került a "" témakörben.
Javasoljuk, hogy először olvassa el az ott található anyagot.

A téma tárgyára térve felidézzük a függvény fogalmát. A függvény egy másik példa a leképezésre. A legegyszerűbb esetet fogjuk megvizsgálni
az egyik valódi funkciója igazi érv(mi a többi eset bonyolultsága - később lesz szó). A funkció ezen a témán belül úgy értendő, mint
az a törvény, amely szerint a halmaz minden eleméhez, amelyen a függvény definiálva van, egy vagy több elemet rendelnek
függvényértékek halmazának nevezett halmaz. Ha egy függvény hatókörének minden eleme egy elemhez van társítva
értékhalmazt, akkor a függvényt egyértékűnek, ellenkező esetben többértékűnek nevezzük. Itt az egyszerűség kedvéért csak arról fogunk beszélni
egyértelmű funkciókat.

Rögtön kiemelném a függvény és a sorozat közötti alapvető különbséget: a leképezéssel összekapcsolt halmazok ebben a két esetben lényegében különböznek egymástól.
Az általános topológia terminológiájának használatának elkerülése érdekében a különbséget pontatlan érveléssel magyarázzuk. Amikor a határról beszélünk
sorozatok esetén egyetlen lehetőségről beszéltünk: a sorozat elemeinek számának korlátlan növekedéséről. A szám növekedésével maguk az elemek
sorozatok sokkal másképp viselkedtek. Egy bizonyos számú kis környéken "felhalmozódhattak"; a végtelenségig növekedhettek, és így tovább.
Durván szólva egy sorozat hozzárendelése egy funkció hozzárendelése egy diszkrét "tartományhoz". Ha a függvényről beszélünk, aminek a definíciója adott
a téma elején, akkor körültekintőbben kell felépíteni a határ fogalmát. Érdemes a függvény határáról beszélni amikor érvelése egy bizonyos értékre hajlik .
A kérdés ilyen megfogalmazásának a sorozatokkal kapcsolatban nem volt értelme. Szükség van néhány pontosításra. Mindegyik kapcsolódik
hogy az érv pontosan hogyan hajlik a kérdéses értékre.

Nézzünk néhány példát – egyelőre csak futólag:


Ezek a funkciók lehetővé teszik számunkra, hogy számos esetet megvizsgáljunk. Itt bemutatjuk ezeknek a függvényeknek a grafikonjait a jobb átláthatóság érdekében.

A függvénynek a definíciós tartomány bármely pontján van határa – ez intuitív módon egyértelmű. Bármelyik pontját is vegyük a definíciós tartománynak,
azonnal megtudhatja, hogy a függvény milyen értékre hajlik, amikor az argumentum a kiválasztott értékre irányul, és a határ véges lesz, hacsak az argumentum nem
nem megy a végtelenbe. A függvény grafikonján törés van. Ez befolyásolja a függvény tulajdonságait a töréspontban, de a határ szempontjából
ez a pont nincs kiemelve. A függvény máris érdekesebb: jelenleg nem világos, hogy milyen határértéket rendeljünk a függvényhez.
Ha a jobb oldali pontot közelítjük meg, akkor a függvény egy értékre hajlik, ha balra, akkor a függvény egy másik értékre. Az előzőben
példák nem voltak. A függvény, amikor nullára hajlik, még a bal oldalon is, még a jobb oldalon is ugyanúgy viselkedik, a végtelenbe hajlik -
ellentétben a függvénnyel, amely a végtelen felé hajlik, mivel az argumentum nullára hajlik, de a végtelen jele attól függ, hogyan
oldalon nullához érünk. Végül a függvény nullán teljesen érthetetlenül viselkedik.

A határ fogalmát az epszilon-delta nyelv segítségével formalizáljuk. A fő különbség a sorozatkorlát definíciójától a szükséglet lesz
írja elő a függvény argumentumának vágyát valamilyen értékre. Ehhez szükség van egy halmaz határpontjának fogalmára, ami ebben az összefüggésben segédeszköz.
Egy pontot egy halmaz határpontjának nevezünk, ha bármely szomszédságban van végtelen számú pontot tartalmaz,
-hoz tartozó és attól eltérő. Kicsit később kiderül, miért van szükség ilyen meghatározásra.

Tehát a számot a függvény határértékének nevezzük abban a pontban, amely a halmaz határpontja, amelyen meghatározott
függvény ha

Elemezzük ezt a definíciót egyenként. Itt kiemeljük az érvelés vágyával kapcsolatos részeket az értékhez és a funkció vágyához
az értékhez. Meg kell érteni az írásbeli nyilatkozat általános jelentését, amely megközelítőleg a következőképpen értelmezhető.
A függvény hajlamos arra, hogy amikor , ha a pont elég kicsi környezetéből veszünk egy számot, akkor fogjuk
kapja meg a függvény értékét a szám kellően kis környezetéből. És a kisebb lesz annak a pontnak a környéke, ahonnan az értékeket vették
argumentum, annál kisebb lesz annak a pontnak a környéke, ahol a függvény megfelelő értékei esnek.

Térjünk vissza ismét a határ formális meghatározásához, és olvassuk el az imént elmondottak fényében. A pozitív szám korlátozza a környéket
pont, ahonnan az érv értékeit vesszük. Ezenkívül az argumentum értékei természetesen a függvény hatóköréből származnak, és nem esnek egybe magával a funkcióval.
pont: törekvést írunk, nem véletlen! Tehát ha az argumentum értékét a pont meghatározott -szomszédságából vesszük,
akkor a függvény értéke a pont -szomszédságába esik .
Végül összehozzuk a definíciót. Bármilyen kicsire is választjuk a -pont szomszédságát, mindig lesz ilyen -a pont szomszédsága,
hogy az argumentum értékei közül kiválasztva a pont szomszédságába jutunk. Természetesen a méret ebben az esetben egy pont környéke
attól függ, hogy a pont melyik környékét adták meg. Ha a függvény értékének szomszédsága elég nagy, akkor az értékek megfelelő szórása
az érv nagy lesz. A függvényérték környezetének csökkenésével az argumentum értékeinek megfelelő szórása is csökken (lásd 2. ábra).

Néhány részletet tisztázni kell. Először is, az a követelmény, hogy a pont határérték legyen, megszünteti annak szükségességét, hogy a ponttal törődjünk
from -neighborhood általában a függvény tartományába tartozik. Másodszor, részvétel a feltétel határának meghatározásában eszközök
hogy egy érv akár balról, akár jobbról közelíthet egy értéket.

Abban az esetben, ha a függvény argumentuma a végtelen felé hajlik, a határpont fogalmát külön kell meghatározni. határnak nevezik
alapérték, ha bármely pozitív szám esetén az intervallum megszámlálhatatlan halmazt tartalmaz
pontokat a halmazból.

Térjünk vissza a példákhoz. A funkció nem különösebben érdekel bennünket. Nézzük meg közelebbről a többi funkciót.

Példák.

1. példa A függvény grafikonja törést mutat.
Funkció egy pont szingularitása ellenére ezen a ponton van határa. A nullánál lévő szingularitás a simaság elvesztése.

2. példa Egyoldalú korlátok.
A függvénynek egy pontban nincs határa. Mint már említettük, a határérték meglétéhez szükséges, hogy mikor
a bal és a jobb oldalon a függvény azonos értékre törekedett. Itt nyilvánvalóan nem ez a helyzet. Azonban bevezethetjük az egyoldalú határ fogalmát.
Ha az argumentum a nagyobb értékek oldaláról egy adott értékre hajlik, akkor jobb oldali határról beszélünk; ha a kisebb értékek oldaláról -
a bal oldali határról.
Funkció esetén
- jobb oldali határérték Arra azonban tudunk példát mondani, amikor a szinusz végtelen ingadozása nem zavarja a határ (sőt, kétoldalú) létét.
Példa erre a függvény . A diagram lent látható; érthető módon építse a végére a környéken
eredete nem lehetséges. A határérték nullával egyenlő.

Megjegyzések .
1. A függvény határértékének meghatározására létezik egy olyan megközelítés, amely egy sorozat határértékét használja - az ún. Heine meghatározása. Ott egy pontsorozat jön létre, amely a kívánt értékhez konvergál
argumentum - akkor a függvényértékek megfelelő sorozata konvergál az argumentumérték függvényének határához. Heine definíciójának és nyelvdefiníciójának egyenértékűsége
"epsilon-delta" bevált.
2. Két vagy több argumentum függvényeinek esetét bonyolítja az a tény, hogy egy határérték létezéséhez egy ponton az szükséges, hogy a határérték azonos legyen minden olyan módon, ahogyan az argumentum
a szükséges értékre. Ha csak egy argumentum van, akkor balról vagy jobbról törekedhet a kívánt értékre. Több változó esetén az opciók száma drámaian megnő. A függvények esete
összetett változó, és külön tárgyalást igényel.

texvc - szomszédság halmaz a funkcionális elemzésben és a kapcsolódó diszciplínákban egy ilyen halmaz, amelynek minden pontját eltávolítjuk adott készlet nem több, mint Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): \varepsilon .

Definíciók

• Hadd Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): (X,\varrho) egy metrikus tér, Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): x_0 \in X,És Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README-t.): \varepsilon > 0. Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): \varepsilon-szomszédság Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc halmaznak nevezzük

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): U_(\varepsilon)(x_0) = \( x\in X \mid \varrho(x,x_0)< \varepsilon \}.

• Legyen adott egy részhalmaz Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): A \subset X. Akkor Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): \varepsilon-e halmaz szomszédságát halmaznak nevezzük

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): U_(\varepsilon)(A) = \bigcup\limits_(x \in A) U_(\varepsilon)(x).

Megjegyzések

• Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): \varepsilon-egy pont szomszédsága Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): x_0így nevezzük nyitott labdának középpontjában Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): x_0és sugár Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): \varepsilon.
• A definícióból egyenesen következik, hogy

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): U_(\varepsilon)(A) = \( x\in X \mid \exists y\in A\; \varrho(x,y)< \varepsilon\}.

• Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): \varepsilon-a szomszédság egy szomszédság, és különösen egy nyitott halmaz.

Példák

Írjon véleményt az "Epsilon szomszédságában" című cikkről

Az Epszilon környékét jellemzõ részlet

- Nos, mi... figyelj? A kislány türelmetlenül lökött.
Közel jártunk... És éreztem egy szikrázó hullám csodálatosan lágy érintését... Valami hihetetlenül gyengéd volt, meglepően gyengéd és megnyugtató, ugyanakkor meglepett és kissé óvatosságom legmélyére hatolt. lélek... Csendes „zene” futott végig a lábamon, milliónyi különböző árnyalatban vibrált, és felemelkedve valami mesésen gyönyörűséggel kezdett beburkolni, valami olyasmivel, ami dacol minden szóval... Éreztem, hogy repülök, bár nem volt repülés nem volt az igazi. Csodálatos volt!... Minden sejt feloldódott és megolvadt a közelgő új hullámban, és a szikrázó arany végigmosott rajtam, elvitt minden rosszat és szomorút, és csak a tiszta, ősfényt hagyta a lelkemben...
Nem is éreztem, ahogy beléptem és szinte fejjel belemerültem ebbe a csillogó csodába. Hihetetlenül jó volt, és soha nem akartam elmenni onnan...
- Rendben, elég volt már! Munka áll előttünk! Stella határozott hangja beletört a sugárzó szépségbe. - Tetszett?
- Oh hogy! fellélegeztem. - Nem akartam kimenni!
- Pontosan! Szóval egy kis "fürdő" a következő inkarnációig ... És akkor többé nem jönnek vissza ide ...

Milyen ikonokat ismer az egyenlőtlenségi jeleken és a modulusokon kívül?

Az algebra során a következő jelölést ismerjük:

- az univerzális kvantor jelentése - "bármelyikhez", "mindenkihez", "mindegyikhez", vagyis a bejegyzést "bármely pozitív epszilonra" kell olvasni;

– egzisztenciális kvantor, – van a természetes számok halmazához tartozó érték.

- egy hosszú függőleges pálca így olvasható: „ilyen”, „olyan”, „ilyen” vagy „ilyen”, esetünkben nyilván számról beszélünk - tehát „ilyenről”;

- minden "en"-nél nagyobb, mint ;

- a modulus előjele a távolságot jelenti, azaz. ez a bejegyzés azt mondja, hogy az értékek közötti távolság kisebb, mint epszilon.

Egy sorozat határának meghatározása

Valóban, gondoljunk egy kicsit – hogyan fogalmazzuk meg a sorozat szigorú meghatározását? ... Az első dolog, ami eszedbe jut a fényben gyakorlati foglalkozás: "egy sorozat határa az a szám, amelyhez a sorozat tagjai végtelenül közelítenek."

Oké, írjuk fel a sorrendet:

Könnyen belátható, hogy a részsorozat végtelenül közel van a -1 számhoz, a páros tagok pedig az „egyhez”.

Talán két határ? De akkor miért ne lehetne valamelyik sorozatban tíz-húsz darab? Így messzire juthatsz. Ebben a tekintetben logikus azt feltételezni, hogy ha egy sorozatnak van határa, akkor az egyedi.

Megjegyzés: a sorozatnak nincs határa, de két részszekvenciát lehet megkülönböztetni tőle (lásd fent), amelyek mindegyikének megvan a maga határértéke.

Így a fenti meghatározás tarthatatlannak bizonyul. Igen, működik olyan esetekben, mint (amit nem egészen helyesen használtam a gyakorlati példák egyszerűsített magyarázataiban), de most szigorú definíciót kell találnunk.

Második kísérlet: „egy sorozat határa az a szám, amelyet a sorozat ÖSSZES tagja megközelít, kivéve talán egy véges számát.” Ez közelebb áll az igazsághoz, de még mindig nem teljesen pontos. Tehát például egy sorozatban a kifejezések fele egyáltalán nem közelíti meg a nullát - egyszerűen egyenlők vele =) Egyébként a "villogó fény" általában két fix értéket vesz fel.

A megfogalmazást nem nehéz tisztázni, de ekkor felmerül egy másik kérdés: hogyan írjuk le a definíciót matematikai értelemben? A tudományos világ sokáig küzdött ezzel a problémával, mígnem a helyzetet a híres maestro megoldotta, aki lényegében a klasszikus matematikai elemzést teljes szigorában formalizálta. Cauchy azt javasolta, hogy városrészekkel operáljanak, ami jelentősen előremozdította az elméletet.

Tekintsünk egy pontot és annak tetszőleges környékét:

Az "epsilon" értéke mindig pozitív, ráadásul mi magunk választhatjuk meg. Tegyük fel, hogy egy adott szomszédságban van egy sorozat tagjainak halmaza (nem feltétlenül az összes). Hogyan lehet leírni, hogy például a tizedik kifejezés a környékre esett? Legyen a jobb oldalán. Ekkor a és a pontok közötti távolságnak kisebbnek kell lennie, mint "epsilon": . Ha azonban az „x tized” az „a” ponttól balra található, akkor a különbség negatív lesz, ezért a moduljelet hozzá kell adni: .

Definíció: egy számot akkor nevezünk egy sorozat határértékének, ha valamelyik (korábban kiválasztott) szomszédságában van természetes szám - OLYAN, hogy a sorozat ÖSSZES nagyobb számú tagja a szomszédságon belül lesz:

Vagy rövidebben: ha

Más szóval, bármennyire is kicsi az "epsilon" értéke, előbb-utóbb a sorozat "végtelen farka" TELJESEN ezen a környéken lesz.

Így például a sorozat "végtelen farka" TELJESEN bemegy a pont bármely tetszőlegesen kicsi -szomszédságába, így ez az érték a sorozat határa definíció szerint. Emlékeztetlek arra, hogy olyan sorozatot hívunk, amelynek határértéke nulla végtelenül kicsi.

Meg kell jegyezni, hogy egy sorozatra már nem lehet azt mondani, hogy „végtelen farok fog belépni” - a páratlan számú tagok valójában nullával egyenlőek, és „ne menj sehova” =) Ezért van az, hogy a „végtelenül bejön” ige ” szerepel a definícióban. És természetesen az ilyen sorozat tagjai, mint például a "nem mennek sehova". Egyébként ellenőrizze, hogy ez a szám lesz-e a korlát.

Mutassuk meg most, hogy a sorozatnak nincs határa. Vegyük például a pont környékét. Teljesen világos, hogy nincs ilyen szám, amely után az ÖSSZES tag ezen a környéken lesz - a páratlan tagok mindig "mínusz egyre" fognak "ugrani". Hasonló okból a ponton nincs korlátozás.

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat határértéke nulla. Adja meg azt a számot, amely után a sorozat minden tagja garantáltan a pont bármely tetszőleges kis szomszédságán belül lesz.

Megjegyzés: sok sorozatnál a kívánt természetes szám az értéktől függ - ezért a jelöléstől.

Megoldás: vegye figyelembe a pont tetszőleges -környékét, és ellenőrizze, hogy van-e szám - úgy, hogy MINDEN nagyobb számmal rendelkező kifejezés ezen a környéken belül legyen:

A szükséges szám meglétének kimutatásához a következőt fejezzük ki: .

Mivel bármely "en" értéknél a modulus jel eltávolítható:

Az "iskola" műveleteket egyenlőtlenségekkel használjuk, amelyeket a Lineáris egyenlőtlenségek és a függvénydefiníció tartománya leckékben megismételtem. Ebben az esetben fontos körülmény az, hogy az "epsilon" és az "en" pozitív:

Mivel a bal oldalon természetes számokról beszélünk, a jobb oldal pedig általában tört, ezért kerekíteni kell:

Megjegyzés: néha a viszontbiztosítási joghoz egy egység is hozzáadódik, de valójában ez túlzás. Viszonylagosan, ha az eredményt lefelé kerekítéssel is gyengítjük, akkor a legközelebbi megfelelő szám („három”) továbbra is kielégíti az eredeti egyenlőtlenséget.

És most megnézzük az egyenlőtlenséget, és felidézzük, hogy kezdetben önkényes -szomszédságnak tekintettünk, pl. Az "epsilon" bármely pozitív számmal egyenlő lehet.

Következtetés : a pont tetszőlegesen kicsi -környezetére olyan értéket találtunk, amelyre az egyenlőtlenség minden nagyobb számra érvényes. Így egy szám definíció szerint a sorozat határa. Q.E.D.

A kapott eredményből egyébként jól látható egy természetes minta: minél kisebb a -szomszédság, annál nagyobb szám után lesz a sorozat ÖSSZES tagja ezen a környéken. De nem számít, milyen kicsi az "epszilon", belül mindig lesz "végtelen farok" és kívül - még nagy, de véges számú tag.

A valós egyenesen lévő pont szomszédságának általános definícióját tekintjük. A végpontok és a végtelen epszilon környékeinek, balkezes, jobbkezes és kilyukadt környékeinek definíciói. Szomszédsági ingatlan. Bizonyítottunk egy tételt az epszilon szomszédság és egy tetszőleges szomszédság használatának egyenértékűségéről egy függvény Cauchy-határának meghatározásában.

Tartalom

Egy pont környezetének meghatározása

Valós x pont környéke 0 Az ezt a pontot tartalmazó nyílt intervallumot nevezzük:
.
Itt ε 1 és ε 2 tetszőleges pozitív számok.

Epszilon – az x pont szomszédsága 0 pontok halmazának nevezzük azt a távolságot, amelytől az x pontig 0 kisebb, mint ε:
.

Az x pont kilyukadt környéke 0 ennek a pontnak a szomszédságának nevezzük, amelyből magát az x pontot kizártuk 0 :
.

Szomszédsági végpontok

A legelején megadták egy pont szomszédságának definícióját. Jelölve: . De a megfelelő argumentumok használatával kifejezetten megadhatja, hogy egy környék két számtól függ:
(1) .
Vagyis a szomszédság egy nyitott intervallumhoz tartozó pontok halmaza.

Egyenlet ε 1 hogy ε 2 , epszilont kapunk - szomszédság:
(2) .
Az Epszilon - egy szomszédság - egy nyitott intervallumhoz tartozó pontok halmaza, egyenlő távolságú végekkel.
Természetesen az epszilon betűt bármilyen mással helyettesíthetjük, és tekinthetjük δ - szomszédság, σ - szomszédság stb.

A határok elméletében használhatjuk a szomszédság definícióját mind az (1), mind a (2) halmaz alapján. E környékek bármelyikének használata egyenértékű eredményeket ad (lásd ). De a (2) definíció egyszerűbb, ezért gyakran használják az epszilont - a (2) pontból meghatározott pont környékét.

A végpontok balkezes, jobbkezes és kilyukadt környezetének fogalmát is széles körben használják. Meghatározásukat mutatjuk be.

Valós x pont bal oldali környezete 0 az a félig nyitott intervallum, amely az x-től balra lévő valós tengelyen található 0 , beleértve magát a pontot is:
;
.

Valós x pont jobb oldali szomszédsága 0 az x-től jobbra található félig nyitott intervallum 0 , beleértve magát a pontot is:
;
.

Kilyukadt végpontok környékei

Az x pont kilyukadt környékei 0 ugyanazok a környékek, amelyekből maga a pont ki van zárva. A betű feletti kör azonosítja őket. Meghatározásukat mutatjuk be.

Az x pont kilyukadt környéke 0 :
.

Kilyukadt epszilon – az x pont környéke 0 :
;
.

Defektes bal oldali környék:
;
.

Defektes jobb oldali környék:
;
.

Pontok szomszédsága a végtelenben

A végpontokkal együtt bevezetik a végtelenben lévő pontok szomszédságának fogalmát is. Mindegyik szúrt, mert a végtelenben nincs valós szám (a végtelent egy végtelenül nagy sorozat határaként definiálják).

.
;
;
.

Meg lehetett határozni a végtelenül távoli pontok környékét, így:
.
De M helyett a -t használjuk, így egy kisebb ε-vel rendelkező szomszédság egy nagyobb ε-vel rendelkező szomszédság részhalmaza, akárcsak a végpontok környékei.

környékbeli ingatlan

Ezután egy pont (véges vagy végtelen) szomszédságának nyilvánvaló tulajdonságát használjuk. Ez abban rejlik, hogy a kisebb ε értékű pontok környékei a nagyobb ε értékű szomszédságok részhalmazai. Szigorúbb megfogalmazásokat mutatunk be.

Legyen véges vagy végtelenül távoli pont. Elengedni .
Akkor
;
;
;
;
;
;
;
.

A fordított állítások is igazak.

Egy függvény határértékének ekvivalenciája Cauchy szerint

Most megmutatjuk, hogy egy függvény határértékének Cauchy szerinti definíciójában tetszőleges szomszédságot és egyenlő távolságú végű szomszédságot is használhatunk.

Tétel
Egy függvény határértékének Cauchy-definíciói, amelyek tetszőleges szomszédságokat és egyenlő távolságú végű szomszédságokat használnak, egyenértékűek.

Bizonyíték

Fogalmazzuk meg egy függvény határának első meghatározása.
Az a szám a függvény határértéke egy pontban (véges vagy végtelenben), ha bármely pozitív számra léteznek és -től függő számok, úgy, hogy minden esetén az a pont megfelelő környezetéhez tartozik:
.

Fogalmazzuk meg egy függvény határának második meghatározása.
Az a szám a függvény határértéke a pontban, ha bármely pozitív számhoz létezik olyan szám, amely attól függ, hogy mindenre:
.

1. ⇒ 2. bizonyítás

Bizonyítsuk be, hogy ha az a szám az 1. definíció szerint a függvény határértéke, akkor a 2. definíció szerint a határértéke is egyben.

Tartsa meg az első definíciót. Ez azt jelenti, hogy vannak ilyen és függvények, tehát minden pozitív számra a következők érvényesek:
hol .

Mivel a és számok tetszőlegesek, egyenlőségjelet teszünk velük:
.
Ezután vannak és függvények, így bármelyikre a következők érvényesek:
hol .

Vedd észre, hogy.
Legyen a legkisebb pozitív szám és . Ezután, amint fentebb említettük,
.
Ha akkor .

Vagyis találtunk egy ilyen függvényt, így bármelyikre igaz a következő:
hol .
Ez azt jelenti, hogy az a szám a függvény határa és a második definíció szerint.

2. bizonyítás ⇒ 1

Bizonyítsuk be, hogy ha az a szám a függvény határértéke a 2. definíció szerint, akkor az 1. definíció szerint is határértéke.

A második definíció maradjon fenn. Vegyünk két pozitív számot és . És legyen a legkisebb közülük. Ekkor a második definíció szerint van egy olyan függvény, hogy minden pozitív számra és mindenre az következik, hogy
.

De szerint . Ezért a következőkből
.

Ezután bármely pozitív számra és két számot találtunk, tehát mindegyikre:
.

Ez azt jelenti, hogy az a szám egyben a határérték is az első definíció szerint.

A tétel bizonyítást nyert.

Referenciák:
L.D. Kudrjavcev. Matematikai elemzés tanfolyam. 1. kötet Moszkva, 2003.