집 PC 소프트웨어 산술 진행의 처음 10개 숫자의 합입니다. 산술 진행의 합입니다. 산술 진행의 합에 대한 작업의 예

산술 진행의 처음 10개 숫자의 합입니다. 산술 진행의 합입니다. 산술 진행의 합에 대한 작업의 예

산술 진행의 합입니다.

산술 진행의 합은 간단합니다. 의미와 공식 모두에서. 그러나이 주제에는 모든 종류의 작업이 있습니다. 초등부터 꽤 단단한.

먼저, 합계의 의미와 공식을 다루겠습니다. 그리고 나서 결정하겠습니다. 당신의 즐거움을 위해.) 합계의 의미는 낮추는 것만큼 간단합니다. 산술 진행의 합을 찾으려면 모든 멤버를 신중하게 추가하기만 하면 됩니다. 이러한 항이 적으면 수식 없이 추가할 수 있습니다. 하지만 많으거나 많으면...더하기 귀찮습니다.) 이 경우 공식이 저장됩니다.

합계 공식은 간단합니다.

수식에 어떤 종류의 문자가 포함되어 있는지 알아 봅시다. 이것은 많은 것을 정리할 것입니다.

에스앤 산술 진행의 합입니다. 가산 결과 모두회원들과 첫 번째~에 마지막.그건 중요해. 정확히 더하다 모두공백과 점프 없이 연속으로 멤버. 그리고 정확히는 다음부터 첫 번째. 3항과 8항의 합, 5항부터 20항까지의 합을 구하는 문제에서 공식을 직접 적용하는 것은 실망스러울 것입니다.)

1 - 첫번째진행의 멤버. 여기에 모든 것이 명확합니다. 간단합니다. 첫 번째행 번호.

엔- 마지막진행의 멤버. 행의 마지막 번호입니다. 별로 낯익은 이름은 아니지만, 금액에 적용하면 매우 적합합니다. 그러면 스스로 보게 될 것입니다.

N 마지막 멤버의 번호입니다. 공식에서 이 숫자가 추가된 구성원 수와 일치합니다.

개념을 정의하자 마지막회원 엔. 채우기 질문: 어떤 회원이 될 것입니까? 마지막,주어진 경우 끝없는산술 진행?

자신있는 답을 얻으려면 산술 진행의 기본 의미를 이해하고 ... 과제를주의 깊게 읽어야합니다!)

산술 진행의 합을 찾는 작업에서 마지막 항은 항상 (직접 또는 간접적으로) 나타납니다. 제한해야 하는 것.그렇지 않으면 유한한 특정 금액 그냥 존재하지 않습니다.솔루션의 경우 어떤 종류의 진행이 제공되는지(유한 또는 무한)는 중요하지 않습니다. 일련의 숫자로, 또는 n번째 멤버의 공식으로 지정하는 방법은 중요하지 않습니다.

가장 중요한 것은 수식이 진행의 첫 번째 항에서 숫자가 있는 항으로 작동한다는 것을 이해하는 것입니다. N.실제로 수식의 전체 이름은 다음과 같습니다. 산술 진행의 처음 n항의 합.이 첫 번째 구성원의 수, 즉. N, 작업에 의해서만 결정됩니다. 작업에서이 모든 귀중한 정보는 종종 암호화됩니다. 예 ... 그러나 아무 것도 아래의 예에서 이러한 비밀을 밝힐 것입니다.)

산술 진행의 합에 대한 작업의 예.

주로, 유용한 정보:

산술 진행의 합에 대한 작업의 주요 어려움은 공식의 요소를 올바르게 결정하는 것입니다.

과제의 저자는 무한한 상상력으로 바로 이러한 요소를 암호화합니다.) 여기서 가장 중요한 것은 두려워하지 않는 것입니다. 요소의 본질을 이해하면 요소를 해독하는 것으로 충분합니다. 몇 가지 예를 자세히 살펴보겠습니다. 실제 GIA를 기반으로 한 작업부터 시작하겠습니다.

1. 산술 진행은 a n = 2n-3.5 조건으로 주어집니다. 처음 10개 항의 합을 구합니다.

잘 했어. Easy.) 공식에 따라 양을 결정하려면 무엇을 알아야합니까? 첫 번째 멤버 1, 마지막 기간 엔, 예 마지막 용어의 번호 N.

마지막 회원 번호를 얻을 수있는 곳 N? 네, 같은 장소에, 그 상태로! 합을 찾으라고 한다 선착순 10명.자, 몇 번째가 될까요? 마지막, 10번째 멤버?) 믿기지 않으시겠지만, 그 숫자는 10번째!) 엔우리는 공식으로 대체 할 것입니다 10하지만 대신 N- 십. 다시 말하지만, 마지막 구성원의 수는 구성원의 수와 동일합니다.

결정될 일이다. 1그리고 10. 이것은 문제 설명에 제공된 n번째 항의 공식으로 쉽게 계산됩니다. 방법을 모르십니까? 이것 없이는 이전 수업을 방문하십시오.

1= 2 1 - 3.5 = -1.5

10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

에스앤 = 에스 10.

산술 진행의 합에 대한 공식의 모든 요소의 의미를 알아냈습니다. 그것들을 대체하고 계산하는 것이 남아 있습니다.

그게 전부입니다. 답: 75.

GIA를 기반으로 한 또 다른 작업. 조금 더 복잡합니다.

2. 산술 진행(an)이 주어지면 그 차이는 3.7입니다. a 1 \u003d 2.3. 처음 15개 항의 합을 구합니다.

우리는 즉시 합계 공식을 작성합니다.

이 공식을 사용하면 숫자로 모든 구성원의 값을 찾을 수 있습니다. 우리는 간단한 대체를 찾고 있습니다.

a 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

산술 진행의 합에 대한 공식의 모든 요소를 대체하고 답을 계산해야 합니다.

답: 423.

그건 그렇고, 합계 공식 대신에 엔 n번째 항의 공식을 대입하면 다음을 얻습니다.

우리는 비슷한 것을 제공하고 산술 진행의 구성원 합계에 대한 새로운 공식을 얻습니다.

보시다시피 필요가 없습니다 n번째 멤버 엔. 일부 작업에서는 이 공식이 많은 도움이 됩니다. 예... 이 공식을 기억할 수 있습니다. 그리고 여기와 같이 적시에 인출하기만 하면 됩니다. 결국, 합에 대한 공식과 n번째 항에 대한 공식은 모든 면에서 기억해야 합니다.)

이제 짧은 암호화 형태의 작업):

3. 3의 배수인 모든 양의 두 자리 숫자의 합을 구합니다.

어떻게! 첫 번째 멤버도, 마지막 멤버도, 진행 상황도 전혀... 어떻게 살지!?

머리로 생각하고 산술 진행 합계의 모든 요소를 조건에서 꺼내야합니다. 두 자리 숫자는 무엇입니까 - 우리는 알고 있습니다. 두 개의 숫자로 구성됩니다.) 두 자리 숫자는 첫 번째? 10, 아마도.) 마지막 것두 자리 숫자? 물론 99! 세 자리 숫자가 그를 따를 것입니다 ...

3의 배수... 흠... 이것들은 3으로 균등하게 나누어 떨어지는 숫자입니다, 여기! 10은 3으로 나눌 수 없고, 11은 나눌 수 없습니다... 12...는 나눌 수 있습니다! 그래서 뭔가가 떠오르고 있습니다. 문제의 조건에 따라 이미 시리즈를 작성할 수 있습니다.

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

이 시리즈는 산술 진행입니까? 물론! 각 용어는 이전 용어와 엄격하게 세 가지로 다릅니다. 2 또는 4가 항에 추가되면 결과, 즉 새 숫자는 더 이상 3으로 나누지 않습니다. 힙에 대한 산술 진행의 차이를 즉시 확인할 수 있습니다. d = 3.유용한!)

따라서 몇 가지 진행 매개변수를 안전하게 기록할 수 있습니다.

숫자는 어떻게 될까요? N마지막 멤버? 99가 치명적이라고 생각하시는 분들은...숫자-항상 연달아 나가고 우리 멤버들은 3위를 뛰어넘습니다. 그들은 일치하지 않습니다.

여기에는 두 가지 솔루션이 있습니다. 한 가지 방법은 열심히 일하는 사람을 위한 것입니다. 진행 상황, 전체 숫자 시리즈를 그리고 손가락으로 단어 수를 셀 수 있습니다.) 두 번째 방법은 사려 깊은 사람을 위한 것입니다. n번째 항의 공식을 기억해야 합니다. 공식을 문제에 적용하면 99가 진행의 30번째 구성원이라는 것을 알 수 있습니다. 저것들. n = 30.

산술 진행의 합에 대한 공식을 살펴봅니다.

우리는보고 기뻐합니다.) 우리는 문제의 조건에서 금액을 계산하는 데 필요한 모든 것을 꺼냈습니다.

1= 12.

30= 99.

에스앤 = 에스 30.

남은 것은 초등 연산입니다. 공식의 숫자를 대입하고 다음을 계산합니다.

답: 1665

인기 있는 퍼즐의 또 다른 유형:

4. 산술 진행은 다음과 같습니다.

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

20에서 34까지의 항의 합을 구하십시오.

우리는 합계 공식을보고 ... 우리는 화가났습니다.) 공식을 상기시켜 드리겠습니다. 합계를 계산합니다 처음부터회원. 그리고 문제에서 합계를 계산해야합니다. 스무살부터...공식이 작동하지 않습니다.

물론 전체 진행 상황을 연속으로 칠하고 멤버를 20에서 34로 넣을 수 있습니다. 그러나 ... 어쩐지 어리 석고 오랜 시간 동안 밝혀졌습니다.

더 우아한 솔루션이 있습니다. 시리즈를 두 부분으로 나누겠습니다. 첫 번째 부분은 첫 번째 임기부터 열아홉 번째 임기까지.두 번째 부분 - 스물에서 서른넷.첫 번째 부분의 항의 합을 계산하면 에스 1-19, 두 번째 부분의 구성원 합계에 추가합시다. 에스 20-34, 우리는 첫 번째 항에서 34번째 항까지 진행의 합을 얻습니다. 에스 1-34. 이와 같이:

에스 1-19 + 에스 20-34 = 에스 1-34

이것은 합을 찾는 것을 보여줍니다 에스 20-34간단한 빼기로 할 수 있습니다

에스 20-34 = 에스 1-34 - 에스 1-19

오른쪽의 두 합계가 고려됩니다. 처음부터회원, 즉 표준 합계 공식은 그들에게 꽤 적용 가능합니다. 시작하는 중인가요?

작업 조건에서 진행 매개변수를 추출합니다.

d = 1.5.

1= -21,5.

처음 19항과 처음 34항의 합을 계산하려면 19항과 34항이 필요합니다. 문제 2에서와 같이 n번째 항의 공식에 따라 계산합니다.

19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

아무것도 남아 있지 않습니다. 34항의 합에서 19항의 합을 뺍니다.

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

답: 262.5

중요한 메모 하나! 이 문제를 해결하는 데 매우 유용한 기능이 있습니다. 직접 계산 대신 필요한 것(S 20-34),우리는 계산했다 필요하지 않은 것 - S 1-19.그리고 그들은 결정했다. 에스 20-34, 전체 결과에서 불필요한 것을 버립니다. 그러한 "귀를 이용한 장난"은 종종 사악한 퍼즐에 저장됩니다.)

이번 시간에는 산술 진행의 합이 의미하는 바를 이해하기에 충분한 문제를 살펴보았습니다. 몇 가지 공식을 알아야 합니다.)

실용적인 조언:

산술 진행의 합에 대한 문제를 풀 때 이 주제의 두 가지 주요 공식을 즉시 작성하는 것이 좋습니다.

n번째 항의 공식:

이 공식은 문제를 해결하기 위해 무엇을 찾아야 하는지, 어떤 방향으로 생각해야 하는지 즉시 알려줍니다. 도움이 됩니다.

그리고 이제 독립적인 솔루션을 위한 작업입니다.

5. 3으로 나누어 떨어지지 않는 모든 두 자리 수의 합을 구하십시오.

멋지다?) 힌트는 문제 4의 메모에 숨겨져 있습니다. 음, 문제 3이 도움이 될 것입니다.

6. 산술 진행은 다음 조건에 의해 주어집니다. a 1 =-5.5; n+1 = n+0.5. 처음 24개 항의 합을 구합니다.

특이한가요?) 이것은 반복되는 공식입니다. 이전 강의에서 이에 대해 읽을 수 있습니다. 링크를 무시하지 마십시오. 이러한 퍼즐은 종종 GIA에서 발견됩니다.

7. Vasya는 휴가를 위해 돈을 모았습니다. 4550 루블만큼! 그리고 나는 가장 사랑하는 사람 (나 자신)에게 며칠의 행복을주기로 결정했습니다. 자신을 부정하지 않고 아름답게 살아라. 첫날에 500루블을 쓰고 다음 날에는 전날보다 50루블을 더 쓰세요! 돈이 다 떨어질 때까지. Vasya는 며칠 동안 행복 했습니까?

어려운가요?) 과제 2의 추가 공식이 도움이 될 것입니다.

답변(무질서하게): 7, 3240, 6.

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함수와 파생어에 대해 알 수 있습니다.

대답: 시리즈가 분기됩니다.

예 #3

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ 계열의 합을 찾습니다.

합계 하한이 1이므로 급수의 공통 항은 합계 기호 아래에 작성됩니다. $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. 급수의 n번째 부분합을 구성합니다. 즉, 주어진 숫자 시리즈의 처음 $n$ 멤버 합계:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

내가 $\frac(2)(15)$가 아니라 정확히 $\frac(2)(3\cdot 5)$를 쓰는 이유는 다음 설명에서 명확해질 것입니다. 그러나 부분 합계를 기록해도 목표에 한 발짝도 다가가지 못했습니다. 결국 $\lim_(n\to\infty)S_n$를 찾아야 하지만 다음과 같이 작성하면 됩니다.

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

형식이 완전히 올바른 이 기록은 본질적으로 우리에게 아무 것도 주지 않을 것입니다. 극한을 찾으려면 먼저 부분합 표현식을 단순화해야 합니다.

이에 대한 표준 변환이 있는데, 이는 급수의 공통 항을 나타내는 분수 $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$를 기본 분수로 분해하는 것으로 구성됩니다. 유리 분수를 기본 분수로 분해하는 문제에 대해서는 별도의 주제를 다룹니다(예: 이 페이지의 3번 예 참조). 분수 $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$를 기본 분수로 확장하면 다음과 같습니다.

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

결과 평등의 왼쪽과 오른쪽에 있는 분수의 분자를 동일시합니다.

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

$A$와 $B$의 값을 찾는 방법은 두 가지가 있습니다. 대괄호를 열고 용어를 재정렬하거나 $n$ 대신 적절한 값으로 간단히 대체할 수 있습니다. 변경을 위해 이 예에서는 첫 번째 방법으로 이동하고 다음으로 $n$의 개인 값을 대체합니다. 대괄호를 확장하고 용어를 재정렬하면 다음을 얻습니다.

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

방정식의 왼쪽에서 $n$ 앞에 0이 옵니다. 원하는 경우 등식의 왼쪽은 명확성을 위해 $0\cdot n+ 2$로 나타낼 수 있습니다. 등식의 왼쪽에서 $n$ 앞에 0이 있고 등식의 오른쪽에서 $2A+2B$가 $n$보다 앞서므로 첫 번째 방정식 $2A+2B=0$를 갖습니다. 이 방정식의 두 부분을 즉시 2로 나눈 후 $A+B=0$를 얻습니다.

등식의 왼쪽에 있는 자유항은 2이고 등식의 오른쪽에 있는 자유항은 $3A+B$와 같으므로 $3A+B=2$입니다. 그래서 우리는 시스템이 있습니다:

$$ \left\(\begin(정렬) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(정렬)\right. $$

증명은 수학적 귀납법으로 수행됩니다. 첫 번째 단계에서 필요한 동등성 $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$가 $n=1$에 대해 유지되는지 확인해야 합니다. 우리는 $S_1=u_1=\frac(2)(15)$를 알고 있지만 $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ 표현식은 $\frac( 2 )(15)$ $n=1$이 대입되면? 점검 해보자:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

따라서 $n=1$의 경우 등식 $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$가 충족됩니다. 이로써 수학적 귀납법의 첫 번째 단계가 완료됩니다.

$n=k$에 대해 평등이 성립한다고 가정합니다. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. $n=k+1$에 대해 동일한 평등이 성립함을 증명합시다. 이렇게 하려면 $S_(k+1)$를 고려하십시오.

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

$u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$이므로 $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. 위의 가정 $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$에 따르면 $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ 공식은 다음과 같습니다. 형태:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

결론: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ 공식은 $n=k+1$에 대해 참입니다. 따라서 수학적 귀납법에 따르면 $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ 공식은 모든 $n\in N$에 대해 참입니다. 평등이 입증되었습니다.

고등 수학의 표준 과정에서는 일반적으로 증명을 요구하지 않고 취소 용어를 "삭제"하는 것으로 만족합니다. 그래서 우리는 에 대한 표현이 있습니다 n번째 부분합계: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. $\lim_(n\to\infty)S_n$의 값 찾기:

결론: 주어진 급수는 수렴하고 그 합은 $S=\frac(1)(3)$입니다.

두 번째 방법은 부분합의 공식을 단순화하는 것입니다.

솔직히 저는 이 방법을 더 선호합니다 :) 부분합을 축약형으로 작성해 보겠습니다.

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

우리는 더 일찍 $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$를 얻었으므로 다음과 같습니다.

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right). $$

합계 $S_n$에는 유한한 수의 항이 포함되어 있으므로 원하는 대로 재정렬할 수 있습니다. 먼저 $\frac(1)(2k+1)$ 형식의 모든 항을 추가한 다음 $\frac(1)(2k+3)$ 형식의 항으로 이동합니다. 이것은 우리가 다음 형식으로 부분 합계를 나타낼 것임을 의미합니다.

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

물론 확장 표기법은 매우 불편하므로 위의 동등성을 더 간결하게 작성할 수 있습니다.

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

이제 $\frac(1)(2k+1)$ 및 $\frac(1)(2k+3)$ 표현식을 동일한 형식으로 변환합니다. 더 큰 분수처럼 보이게 하는 것이 편리하다고 생각합니다(더 작은 것을 사용해도 되지만, 그것은 취향의 문제입니다). $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (분모가 클수록 분수가 작음)이므로 분수 $\frac(1)(2k+ 3) $를 $\frac(1)(2k+1)$ 형식으로 변환합니다.

다음과 같이 분수 $\frac(1)(2k+3)$의 분모에 표현을 제시합니다:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

$\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ 합계는 이제 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

$\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $는 질문을 제기하지 않습니다. 그럼 더 가보겠습니다. 질문이 있으면 메모를 확장하십시오.

변환된 금액을 어떻게 얻었습니까? 표시/숨기기

$\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. $k+1$ 대신 새 변수를 도입해 보겠습니다(예: $t$). 따라서 $t=k+1$입니다.

이전 변수 $k$는 어떻게 변경되었습니까? 그리고 1에서 $n$로 변경되었습니다. 새로운 변수 $t$가 어떻게 변하는지 알아봅시다. $k=1$이면 $t=1+1=2$입니다. $k=n$이면 $t=n+1$입니다. 따라서 $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ 표현식은 이제 $\sum\limits_(t=2)^(n + 1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$

합은 $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$입니다. 질문: 이 합계에 어떤 문자를 사용해야 합니까? :) $t$ 대신 $k$ 문자를 간단하게 쓰면 다음을 얻습니다.

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

이것이 등식 $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1) \frac(1)(2k+1)$를 얻습니다.

따라서 부분합은 다음과 같은 형식으로 나타낼 수 있습니다.

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). $$

합계 $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ 및 $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$는 합산의 한계만 다릅니다. 이 제한을 동일하게 합시다. $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ 합계에서 첫 번째 요소를 "가져오기":

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$ 합계에서 마지막 요소를 "취"하면 다음을 얻습니다.

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

그런 다음 부분 합계에 대한 식은 다음 형식을 취합니다.

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

모든 설명을 건너 뛰면 n 번째 부분 합계에 대한 약식을 찾는 프로세스는 다음과 같은 형식을 취합니다.

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

분수 $\frac(1)(2k+3)$를 $\frac(1)(2k+1)$ 형식으로 줄였다는 것을 상기시켜 드리겠습니다. 물론 반대로 할 수도 있습니다. 분수 $\frac(1)(2k+1)$를 $\frac(1)(2k+3)$로 나타냅니다. 부분합의 최종 표현식은 변경되지 않습니다. 이 경우 메모 아래에 부분 합계를 찾는 과정을 숨깁니다.

다른 분수의 형태로 가져오면 $S_n$을 찾는 방법은 무엇입니까? 표시/숨기기

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). $$

따라서 $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$입니다. $\lim_(n\to\infty)S_n$ 한도 찾기:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

주어진 급수는 수렴하고 그 합은 $S=\frac(1)(3)$입니다.

대답: $S=\frac(1)(3)$.

급수의 합을 찾는 주제의 계속은 두 번째 및 세 번째 부분에서 고려됩니다.

결정을 시작하기 전에 산술 진행 문제, 산술 진행은 숫자 시퀀스의 특별한 경우이므로 숫자 시퀀스가 무엇인지 고려하십시오.

숫자 시퀀스는 각 요소가 고유한 숫자 집합입니다. 일련 번호 . 이 집합의 요소를 시퀀스의 구성원이라고 합니다. 시퀀스 요소의 서수는 인덱스로 표시됩니다.

시퀀스의 첫 번째 요소입니다.

시퀀스의 다섯 번째 요소입니다.

- 시퀀스의 "n번째" 요소, 즉 n번의 "대기열에 서 있는" 요소.

시퀀스 요소의 값과 서수 사이에는 종속성이 있습니다. 따라서 시퀀스를 인수가 시퀀스 요소의 서수인 함수로 간주할 수 있습니다. 다시 말해 이렇게 말할 수 있다. 시퀀스는 자연 인수의 함수입니다.

시퀀스는 세 가지 방법으로 지정할 수 있습니다.

1 . 순서는 테이블을 사용하여 지정할 수 있습니다.이 경우 시퀀스의 각 멤버 값을 설정하기만 하면 됩니다.

예를 들어, 누군가는 개인 시간 관리를 하기로 결정했고, 우선 그가 일주일 동안 VKontakte에 보낸 시간을 계산했습니다. 테이블에 시간을 쓰면 다음 7가지 요소로 구성된 시퀀스를 얻을 수 있습니다.

테이블의 첫 번째 줄에는 요일의 숫자가 포함되고 두 번째 줄에는 분 단위의 시간이 포함됩니다. 우리는 월요일에 누군가가 VKontakte에서 125분, 즉 목요일에 248분, 즉 금요일에 15분을 보냈다는 것을 알 수 있습니다.

2 . 시퀀스는 n번째 멤버 공식을 사용하여 지정할 수 있습니다.

이 경우 숫자에 대한 시퀀스 요소 값의 의존성은 공식으로 직접 표현됩니다.

예를 들어, 이면

주어진 숫자로 시퀀스 요소의 값을 찾으려면 요소 번호를 n번째 멤버의 공식으로 대체합니다.

인수의 값을 알고 있는 경우 함수의 값을 찾아야 하는 경우에도 동일한 작업을 수행합니다. 함수의 방정식에서 대신 인수의 값을 대체합니다.

예를 들어, , 그 다음에

다시 한 번, 임의의 숫자 함수와 달리 시퀀스에서 자연수만 인수가 될 수 있다는 점에 주목합니다.

3 . 시퀀스는 이전 멤버의 값에 대한 숫자 n이 있는 시퀀스 멤버 값의 종속성을 표현하는 공식을 사용하여 지정할 수 있습니다. 이 경우 값을 찾기 위해 시퀀스 멤버의 수만 아는 것만으로는 충분하지 않습니다. 시퀀스의 첫 번째 멤버 또는 처음 몇 개의 멤버를 지정해야 합니다.

예를 들어 시퀀스를 고려하십시오. ,