(łac. amplituda- wielkość) - jest to największe odchylenie ciała oscylującego od położenia równowagi.

W przypadku wahadła jest to maksymalna odległość, na jaką kula przemieszcza się z pozycji równowagi (rysunek poniżej). W przypadku oscylacji o małych amplitudach odległość tę można przyjąć jako długość łuku 01 lub 02, a także długości tych odcinków.

Amplituda oscylacji jest mierzona w jednostkach długości – metrach, centymetrach itp. Na wykresie oscylacji amplitudę definiuje się jako maksymalną (w wartości bezwzględnej) rzędną krzywej sinusoidalnej (patrz rysunek poniżej).

Okres oscylacji.

Okres oscylacji- jest to najmniejszy okres czasu, po którym układ wykonując oscylacje powraca ponownie do tego samego stanu, w jakim był w arbitralnie wybranym momencie początkowym.

Innymi słowy, okres oscylacji ( T) to czas, przez który ma miejsce jedna pełna oscylacja. Na przykład na poniższym rysunku jest to czas, w którym ciężar wahadła przesuwa się od skrajnego prawego punktu przez punkt równowagi O do skrajnego lewego punktu i z powrotem przez punkt O ponownie w prawo.

Dlatego przez cały okres oscylacji ciało porusza się po ścieżce równej czterem amplitudom. Okres oscylacji jest mierzony w jednostkach czasu - sekundach, minutach itp. Okres oscylacji można określić na podstawie dobrze znanego wykresu oscylacji (patrz rysunek poniżej).

Pojęcie „okresu oscylacji”, ściśle mówiąc, jest ważne tylko wtedy, gdy wartości wielkości oscylacyjnej są dokładnie powtarzane po pewnym czasie, to znaczy dla oscylacji harmonicznych. Jednak ta koncepcja jest również stosowana do przypadków w przybliżeniu powtarzających się ilości, na przykład dla drgania tłumione.

Częstotliwość drgań.

Częstotliwość oscylacji to liczba oscylacji na jednostkę czasu, na przykład w 1 s.

Nazwa jednostki częstotliwości w układzie SI herc(Hz) na cześć niemieckiego fizyka G. Hertza (1857-1894). Jeśli częstotliwość drgań ( v) jest równe 1 Hz, oznacza to, że na każdą sekundę wykonywana jest jedna oscylacja. Częstotliwość i okres oscylacji są powiązane zależnościami:

W teorii oscylacji stosuje się również pojęcie cykliczny, lub częstotliwość kołowa ω . Jest to związane z normalną częstotliwością v i okres oscylacji T proporcje:

.

Częstotliwość cykliczna to liczba oscylacji na 2π sekundy.

Czy herc (rosyjskie oznaczenie: Hz; międzynarodowy: Hz), nazwany na cześć niemieckiego fizyka Heinricha Hertza.

Częstotliwość jest odwrotnie proporcjonalna do okresu oscylacji: ν = 1/T .

Częstotliwość 1 MHz (10-3 Hz) 1 Hz (10 0 Hz) 1 kHz (10 3 Hz) 1 MHz (10 6 Hz) 1 GHz (10 9 Hz) 1 THz (10 12 Hz)
Okres 1 ks (10 3 s) 1 s (10 0 s) 1 ms (10-3 s) 1 µs (10-6 s) 1 ns (10-9 s) 1 ps (10-12 s)

W przyrodzie znane są procesy okresowe o częstotliwościach od ~10 −16 Hz (częstotliwość obrotu Słońca wokół centrum Galaktyki) do ~1035 Hz (częstotliwość oscylacji pola charakterystyczna dla najbardziej wysokoenergetycznych promieni kosmicznych) .

Powiązane wideo

Częstotliwość kołowa

W przypadku używania stopni na sekundę jako jednostki częstotliwości kątowej związek ze zwykłą częstotliwością będzie następujący: ω \u003d 360 ° ν.

Numerycznie częstotliwość kołowa jest równa liczbie oscylacji (obrotów) w 2π sekundach. Wprowadzenie częstotliwości kołowej (w jej podstawowym wymiarze - radianach na sekundę) pozwala uprościć wiele wzorów w fizyce teoretycznej i elektronice. Tak więc rezonansowa częstotliwość kołowa obwodu oscylacyjnego LC jest równa ω L do = 1 / L do , (\ Displaystyle \ omega _ (LC) = 1 / (\ sqrt (LC))),) podczas cykliczny częstotliwość rezonansowa vLC = 1 / (2 πLC). (\displaystyle \nu _(LC)=1/(2\pi (\sqrt (LC))).) Jednocześnie szereg innych formuł staje się bardziej skomplikowanych. Decydującą przesłanką na korzyść częstotliwości kołowej było to, że mnożniki 2 π (\displaystyle 2\pi) oraz 1/2 π (\displaystyle 1/2\pi), które pojawiają się w wielu wzorach przy użyciu radianów do pomiaru kątów i faz, znikają po wprowadzeniu częstotliwości kołowej (kątowej).

W mechanice, rozważając ruch obrotowy, analogią częstotliwości kołowej jest prędkość kątowa.

Dyskretna częstotliwość zdarzeń

Częstotliwość zdarzeń dyskretnych (na przykład częstotliwość powtarzania impulsów) jest wielkością fizyczną równą liczbie zdarzeń dyskretnych występujących w jednostce czasu. Jednostką częstotliwości zdarzeń dyskretnych jest sekunda do minus jednego stopnia (rosyjskie oznaczenie: s-1; międzynarodowy: s-1). Częstotliwość 1 s -1 jest równa częstotliwości zdarzeń dyskretnych, przy których jedno zdarzenie występuje w ciągu 1 s.

Częstotliwość rotacji

Prędkość obrotowa jest wielkością fizyczną równą liczbie pełnych obrotów na jednostkę czasu. Jednostką prędkości obrotowej jest sekunda do minus pierwszej potęgi ( s-1, s-1), obrót na sekundę. Często używane jednostki to obroty na minutę, obroty na godzinę itp.

Inne wielkości związane z częstotliwością

Jednostki

W układzie SI jednostką częstotliwości cyklicznej jest herc (Hz, Hz). Jednostka została pierwotnie wprowadzona w 1930 roku przez Międzynarodową Komisję Elektrotechniczną, aw 1960 przyjęta do powszechnego użytku przez XI Generalną Konferencję Miar jako jednostka SI. Wcześniej jednostką częstotliwości cyklicznej było cykl na sekundę(1 cykl na sekundę \u003d 1 Hz) i pochodne (kilocykl na sekundę, megacykl na sekundę, kilomegacykl na sekundę, równy odpowiednio kilohercowi, megahercowi i gigahercowi).

Aspekty metrologiczne

Do pomiaru częstotliwości wykorzystywane są różnego rodzaju mierniki częstotliwości, m.in.: do pomiaru częstości powtarzania impulsów - zliczanie elektroniczne i kondensatorowe, do wyznaczania częstotliwości składowych widmowych - mierniki częstotliwości rezonansowej i heterodynowej, a także analizatory widma. Aby odtworzyć częstotliwość z określoną dokładnością, stosuje się różne miary - standardy częstotliwości (wysoka dokładność), syntezatory częstotliwości, generatory sygnału itp. Porównaj częstotliwości z komparatorem częstotliwości lub za pomocą oscyloskopu za pomocą liczb Lissajous.

Normy

Do kalibracji przyrządów do pomiaru częstotliwości stosuje się krajowe wzorce częstotliwości. W Rosji krajowe normy częstotliwości obejmują:

  • Stanowy podstawowy standard jednostek czasu, częstotliwości i krajowej skali czasu GET 1-98 znajduje się w VNIIFTRI.
  • Wtórny wzorzec jednostki czasu i częstotliwości VET 1-10-82- znajduje się w SNIIM (Nowosybirsk).

Przetwarzanie danych

Obliczenie częstotliwości powtarzającego się zdarzenia odbywa się poprzez uwzględnienie liczby wystąpień tego zdarzenia w danym okresie czasu. Otrzymaną kwotę dzieli się przez czas trwania odpowiedniego okresu. Na przykład, jeśli 71 jednorodnych zdarzeń wystąpiło w ciągu 15 sekund, częstotliwość będzie

ν = 71 15 s ≈ 4,7 Hz (\displaystyle \nu =(\frac (71)(15\,(\mbox(s))))\ok 4,7\,(\mbox(Hz)))

Jeżeli liczba uzyskanych próbek jest mała, wówczas dokładniejszą techniką jest pomiar przedziału czasu dla danej liczby wystąpień danego zdarzenia, a nie znajdowanie liczby zdarzeń w danym przedziale czasu. Zastosowanie tej drugiej metody wprowadza losowy błąd między zerem a pierwszym zliczeniem, uśredniając połowę liczby; może to prowadzić do pojawienia się błędu średniego w obliczonej częstotliwości Δν = 1/(2 Tm) lub błąd względny Δ ν /ν = 1/(2v Tm ) , gdzie Tm to przedział czasu, a v to zmierzona częstotliwość. Błąd maleje wraz ze wzrostem częstotliwości, więc ten problem jest najważniejszy dla niskie częstotliwości, gdzie liczba próbek N mało.

Metody pomiaru

Metoda stroboskopowa

Zastosowanie specjalnego urządzenia – stroboskopu – jest jedną z historycznie wczesnych metod pomiaru prędkości obrotowej lub drgań różnych obiektów. W procesie pomiaru wykorzystuje się stroboskopowe źródło światła (zwykle jasną lampę, która okresowo emituje krótkie błyski światła), którego częstotliwość jest regulowana za pomocą wstępnie skalibrowanego łańcucha rozrządu. Źródło światła skierowane jest na obracający się obiekt, a następnie szybkość błysku stopniowo się zmienia. Kiedy częstotliwość błysków zrównuje się z częstotliwością rotacji lub wibracji obiektu, ten ostatni ma czas na zakończenie pełnego cyklu oscylacyjnego i powrót do swojej pierwotnej pozycji w przerwie między dwoma błyskami, tak aby po oświetleniu lampą stroboskopową, ten obiekt będzie wydawał się nieruchomy. Na Ta metoda, jednak istnieje wada: jeśli częstotliwość obrotu obiektu ( x) nie jest równe częstotliwości strobowania ( tak), ale proporcjonalnie do niego ze współczynnikiem całkowitym (2 x , 3x itp.), obiekt nadal będzie wyglądał nieruchomo, gdy zostanie oświetlony.

Metoda stroboskopowa służy również do precyzyjnego dostrajania prędkości (oscylacji). W takim przypadku częstotliwość błysków jest stała, a częstotliwość okresowego ruchu obiektu zmienia się, aż zacznie wydawać się nieruchoma.

metoda bicia

Zbliżona do metody stroboskopowej jest metoda bicia. Opiera się na fakcie, że podczas mieszania oscylacji dwóch częstotliwości (odniesienie ν i mierzalne " 1 ) w obwodzie nieliniowym częstotliwość różnicowa Δν = |ν − ν" 1 |, zwana częstotliwością dudnienia (z liniowym dodawaniem oscylacji, częstotliwość ta jest częstotliwością obwiedni całkowitej oscylacji). Metoda ma zastosowanie, gdy korzystniej jest mierzyć oscylacje o niskiej częstotliwości o częstotliwości Δ f. W radiotechnice metoda ta jest również znana jako metoda pomiaru częstotliwości heterodynowej. W szczególności metoda rytmu służy do dostrajania instrumentów muzycznych. W tym przypadku drgania dźwiękowe o stałej częstotliwości (na przykład z kamertonu), słyszane jednocześnie z dźwiękiem nastrojonego instrumentu, tworzą okresowe wzmocnienie i tłumienie całego dźwięku. Przy precyzyjnym dostrojeniu instrumentu częstotliwość tych uderzeń zmierza do zera.

Zastosowanie miernika częstotliwości

Wysokie częstotliwości są zwykle mierzone za pomocą miernika częstotliwości. Jest to przyrząd elektroniczny, który ocenia częstotliwość określonego powtarzającego się sygnału i wyświetla wynik na wyświetlaczu cyfrowym lub wskaźniku analogowym. Dyskretne elementy logiczne miernika częstotliwości cyfrowej umożliwiają uwzględnienie liczby okresów oscylacji sygnału w danym okresie czasu, liczonych od wzorcowego zegara kwarcowego. Procesy okresowe, które nie mają charakteru elektrycznego (takie jak np. obrót osi, drgania mechaniczne lub fale dźwiękowe) można za pomocą przetwornika pomiarowego przekształcić w okresowy sygnał elektryczny i w takiej postaci wprowadzić na wejście miernika częstotliwości . Obecnie urządzenia tego typu są w stanie pokryć zakres do 100 Hz; wskaźnik ten stanowi praktyczny pułap dla metod liczenia bezpośredniego. Wyższe częstotliwości są już mierzone metodami pośrednimi.

Pośrednie metody pomiaru

Poza zakresem dostępnym dla liczników częstotliwości, częstotliwości sygnałów elektromagnetycznych są często szacowane pośrednio, przy użyciu lokalnych oscylatorów (czyli przemienników częstotliwości). Sygnał odniesienia o określonej częstotliwości jest łączony w nieliniowym mikserze (takim jak na przykład dioda) z sygnałem, którego częstotliwość ma być ustawiona; wynikiem jest sygnał heterodynowy lub - alternatywnie - dudnienia generowane przez różnice częstotliwości między dwoma oryginalnymi sygnałami. Jeśli te ostatnie są wystarczająco blisko siebie w swoich charakterystyka częstotliwości, wtedy sygnał heterodynowy jest na tyle mały, że można go zmierzyć tym samym miernikiem częstotliwości. W związku z tym w wyniku tego procesu szacowana jest jedynie różnica między częstotliwością nieznaną a częstotliwością odniesienia, którą należy wyznaczyć innymi metodami. Kilka etapów mieszania może być użytych do pokrycia jeszcze wyższych częstotliwości. Obecnie trwają badania nad rozszerzeniem tej metody na częstotliwości podczerwone i widzialne (tzw. optyczna detekcja heterodynowa).

Przykłady

Promieniowanie elektromagnetyczne

Pełne spektrum promieniowania elektromagnetycznego z dedykowaną częścią widzialną

Światło widzialne to fale elektromagnetyczne, składające się z oscylujących pól elektrycznych i magnetycznych poruszających się w przestrzeni. Częstotliwość fali określa jej kolor: 4×10 14 Hz – czerwony, 8×10 14 Hz – fioletowy; pomiędzy nimi w zakresie (4...8)×10 14 Hz leżą wszystkie inne kolory tęczy. Fale elektromagnetyczne o częstotliwości mniejszej niż 4×10 14 Hz są niewidoczne dla ludzkiego oka, fale takie nazywane są promieniowaniem podczerwonym (IR). Dalej w widmie znajduje się promieniowanie mikrofalowe i fale radiowe. Światło o częstotliwości wyższej niż 8×10 14 Hz jest również niewidoczne dla ludzkiego oka; takie fale elektromagnetyczne nazywane są promieniowaniem ultrafioletowym (UV). Wraz ze wzrostem częstotliwości fala elektromagnetyczna przechodzi w obszar widma, w którym znajduje się promieniowanie rentgenowskie, a przy jeszcze wyższych częstotliwościach w obszar promieniowania gamma.

Wszystkie te fale, od najniższych częstotliwości fal radiowych do wysokich częstotliwości promieni gamma, są zasadniczo takie same i wszystkie nazywane są promieniowaniem elektromagnetycznym. Wszystkie rozchodzą się w próżni z prędkością światła.

Inną cechą fal elektromagnetycznych jest długość fali. Długość fali jest odwrotnie proporcjonalna do częstotliwości, więc fala elektromagnetyczna o wyższej częstotliwości ma krótszą długość fali i odwrotnie. W próżni długość fali

λ = c / ν , (\displaystyle \lambda =c/\nu ,)

gdzie Z to prędkość światła w próżni. W ośrodku, w którym prędkość fazowa propagacji fali elektromagnetycznej c′ różni się od prędkości światła w próżni ( c′ = c/n, gdzie n- współczynnik załamania), zależność między długością fali a częstotliwością będzie następująca:

λ = c n ν . (\displaystyle \lambda =(\frac (c)(n\nu)).)

Inną często używaną cechą fali jest liczba fal (częstotliwość przestrzenna), równa liczbie fal pasujących na jednostkę długości: k= 1/λ. Czasami ta wartość jest używana ze współczynnikiem 2π, analogicznie do częstotliwości cyklicznej i kołowej k s = 2π/λ . W przypadku fali elektromagnetycznej w ośrodku

k = 1 / λ = nvc . (\displaystyle k=1/\lambda =(\frac (n\nu)(c)).) k s = 2 π / λ = 2 π n ν c = n ω c . (\displaystyle k_(s)=2\pi /\lambda =(\frac (2\pi n\nu)(c))=(\frac (n\omega)(c)).)

Dźwięk

Właściwości dźwięku (mechaniczne drgania sprężyste ośrodka) zależą od częstotliwości. Osoba może słyszeć wibracje o częstotliwości od 20 Hz do 20 kHz (z wiekiem zmniejsza się górna granica częstotliwości słyszalnego dźwięku). Dźwięk o częstotliwości niższej niż 20 Hz (odpowiadający dźwiękowi) mi

6. Wahania

6.1.Podstawowe pojęcia i prawa

Ruch nazywa się okresowym, jeśli

x(t) = x(t + T ) , gdzie T

wahanie

okresowy

ruch drogowy

pozycje równowagi. Na rys.6.1 c

jakość

przedstawiony

czasopismo

nieharmoniczne

wahania

zaprowiantowanie

równowaga

x0 = 0.

Okres T to czas na

zaangażowany

wahanie.

oscylacje na jednostkę czasu

Częstotliwość kołowa (cykliczna)

ω= 2 πν =

Harmoniczny

nazywane są drganiami, w których przemieszczenie

od pozycji równowagi w zależności od czasu

zmienia się zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa

x = A grzech (ω0 t + α)

gdzie

amplituda oscylacji (maksymalne przesunięcie punktu od

pozycja równowagi), ω 0 - częstotliwość kołowa drgania harmoniczne, ω 0 t + α - faza, α - faza początkowa (w t = 0).

Nazywa się system, który wykonuje oscylacje harmoniczne

klasyczny oscylator harmoniczny lub wibracyjne

system.

Prędkość

i przyspieszenie

drgania harmoniczne

zmienić zgodnie z prawem

X = A ω0 cos (ω0 t + α) ,

d2x

= −A ω0 sin (ω0 t + α) .

Z relacji (6.6) i (6.4) otrzymujemy

a = −ω 2 x ,

stąd wynika, że ​​podczas drgań harmonicznych przyspieszenie jest wprost proporcjonalne do przemieszczenia punktu z położenia równowagi i jest skierowane przeciwnie do przemieszczenia.

Z równań (6.6), (6.7) otrzymujemy

+ 0 x = 0 .

Równanie (6.8) nazywa się równanie różniczkowe oscylacji harmonicznych , a (6.4) jest jego rozwiązaniem. Zastępowanie

(6.7) do drugiego prawa Newtona F = ma r , otrzymujemy siłę, przy której występują oscylacje harmoniczne

Siła ta, która jest wprost proporcjonalna do przemieszczenia punktu z położenia równowagi i skierowana przeciwnie do przemieszczenia, nazywana jest siłą przywracającą, k nazywa się przywracający współczynnik siły. Ta właściwość ma siłę sprężystości. Siły o innym charakterze fizycznym podlegające prawu (6.11),

nazywane są quasi-elastycznymi.

Wibracje, które występują pod działaniem sił, które mają

własność

nazywa

własny

(darmowy

drgania harmoniczne.

Z zależności (6.3), (6.10) otrzymujemy częstotliwość kołową i okres

te wahania

T = 2π

Dla drgań harmonicznych zgodnie z prawem (6.4) zależności energii kinetycznej i potencjalnej od czasu mają postać

mA2 ω 0

cos 2 (ωt + α) ,

mA2 ω 0

grzech 2 (ωt + α) .

Całkowita energia w procesie drgań harmonicznych jest zachowana

EK + U = const .

Podstawiając wyrażenia (6.4) i (6.5) dla x i v do (6.15) otrzymujemy

E = E K max = U max

mA2 ω 2

Przykład klasyka

harmoniczny

oscylator to lekka sprężyna, do której

zawieszony ładunek o masie m

(rys.6.2). Współczynnik

siła przywracająca k nazywana jest współczynnikiem

sztywność sprężyny.

Z drugiego prawa Newtona

za ładunek

na wiosnę

– kx dostajemy

równanie,

zbiegające się

mechanizm różnicowy

równanie

harmoniczny

oscylacje (6.8) W konsekwencji obciążenie sprężyny

przy braku sił oporu środowiska,

wykonać oscylacje harmoniczne (6.4).

Harmoniczny

wahania

przedstawić jako rzut na osie współrzędnych wektora, którego wielkość jest równa amplitudzie A, obracającego się wokół początku z prędkością kątową ω 0 . Ten pogląd jest oparty na metodzie

diagramy wektorowe dodanie oscylacji harmonicznych z

ta sama częstotliwość, występująca wzdłuż tej samej osi

x 1 \u003d grzech A 1 (ω t + ϕ 1),

x 2 \u003d grzech A 2 (ω t + ϕ 2 ) .

Amplituda oscylacji wynikowej jest określona przez

twierdzenie cosinus

− 2 A A cos (ϕ −ϕ

Początkowa faza oscylacji wynikowej ϕ

może

znalezione z formuły

tgϕ =

Grzech 1 ϕ 1 + Grzech 2 ϕ 2

A cosϕ + A cosϕ

Przy dodawaniu oscylacji jednokierunkowych z zamknięciem

częstotliwości ω 1 i ω 2

występują dudnienia, których częstotliwość jest równa ω 1 − ω 2 .

Równanie trajektorii punkt uczestniczenia w dwójkach wibracje wzajemnie prostopadłe

x = A 1 grzech ((ω t + ϕ 1 ) ) , (6.20) y = A 2 grzech ω t + ϕ 2

ma formę

− 2

cos (ϕ−ϕ

) = grzech 2 (ϕ

−ϕ ) .

Jeżeli początkowe fazy ϕ 1 = ϕ 2, to równanie trajektorii jest linią prostą

x , lub y = −

ϕ = ϕ1 − ϕ2 = π 2 ,

różnica

punkt porusza się po elipsie

fizyczne wahadło jest ciałem stałym

zdolny

popełniać

wahania

stała oś przechodząca przez punkt

zbiegające się

(rys.6.3). Wibracje są harmoniczne

przy małych kątach ugięcia.

moment ciężkości wokół osi,

przechodzący

jest

powracający

za chwilę

wyrażone

stosunek

M = mgd sin

mgd .

Podstawowe równanie dynamiki ruchu obrotowego ma postać (patrz wzór (4.18))

M = I , (6.23)

gdzie I jest momentem bezwładności wahadła wokół osi przechodzącej przez punkt O, ε jest przyspieszeniem kątowym.

Z (6.23), (6.22) otrzymujemy równanie różniczkowe drgań harmonicznych wahadła fizycznego

d 2

ϕ = 0 .

Jego rozwiązania ϕ = ϕ 0 sin ω 0 t ,

mgr.

Z (6.3) otrzymujemy wzór na okres drgań wahadła fizycznego

T = 2 π I .

M = − c ϕ .

Współczynnik momentu przywracającego zależy od materiału i wymiarów drutu

gdzie G jest modułem ścinania charakteryzującym właściwości sprężyste materiału, r jest promieniem drutu, L jest jego długością.

Podstawowe równanie dynamiki obrotowej

ruch ma formę

Jego rozwiązanie ma postać ϕ = ϕ 0 sin (ω 0 t + α ) ,

gdzie ϕ to przemieszczenie kątowe od położenia równowagi, ϕ 0 to amplituda

wahania.

Porównując równania (6.8) i (6.32) otrzymujemy wartości częstotliwości kątowej i okresu drgań skrętnych

T = 2π

Swobodne drgania zostają wytłumione dzięki obecności sił oporu. Na przykład, gdy punkt materialny oscyluje w lepkim ośrodku, przy niskich prędkościach działa na niego siła

opór

r - współczynnik

średni opór F = − rv

= -rx ,

odporność na środowisko. Więc z drugiego prawa Newtona

mx = − kx − rx

otrzymujemy równanie różniczkowe drgań tłumionych

M x + m x = 0 .

Jego rozwiązanie w przypadku, gdy

ma formę

x = A e−β t

sin(ω t + α ) ,

Definicja

Miara ruchu oscylacyjnego jest cykliczna (lub kątowa lub kołowa) częstotliwość oscylacji.

Jest to skalarna wielkość fizyczna.

Częstotliwość cykliczna przy oscylacjach harmonicznych

Niech punkt materialny wprawia w drgania. W takim przypadku punkt materialny przechodzi przez to samo położenie w regularnych odstępach czasu.

Najprostsze wibracje to wibracje harmoniczne. Rozważmy następujący model kinematyczny. Punkt M ze stałą prędkością ($v$) porusza się po okręgu o promieniu A. W tym przypadku jego prędkość kątowa będzie oznaczona przez $(\omega )_0$, ta prędkość jest stała (rys.1).

Rzut punktu $M$ na średnicę okręgu (punkt $N$), na oś X, oscyluje od $N_1$ do $N_2\ $i odwrotnie. Taka oscylacja N będzie harmoniczna. Aby opisać fluktuację punktu N, należy zapisać współrzędną punktu N w funkcji czasu ($t$). Niech dla $t=0$ promień OM tworzy kąt $(\varphi )_0$ z osią X. Po pewnym czasie kąt ten zmieni się o $(\omega )_0t$ i będzie równy $(\omega )_0t+(\varphi )_0$, wtedy:

Wyrażenie (1) jest analityczną formą rejestracji drgań harmonicznych punktu N wzdłuż średnicy $N_1N_2$.

Przejdźmy do wyrażenia (1). Wartość $A$ to maksymalne odchylenie punktu oscylującego od położenia równowagi (punkt O - środek okręgu), nazywane jest amplitudą oscylacji.

Parametr $(\omega )_0$ - częstotliwość oscylacji cyklicznych. $\varphi =((\omega )_0t+(\varphi )_0$) - faza oscylacji; $(\varphi )_0$ - początkowa faza oscylacji.

Częstotliwość cykliczną drgań harmonicznych można określić jako cząstkową pochodną fazy drgań względem czasu:

\[(\omega )_0=\frac(?\varphi )(\częściowy t)=\dot(\varphi )\lewo(2\prawo).\]

W $(\varphi )_0=0$ równanie oscylacji (1) jest przekształcane na:

Jeżeli początkowa faza oscylacji jest równa $(\varphi )_0=\frac(\pi )(2)$ , to otrzymujemy równanie oscylacji w postaci:

Wyrażenia (3) i (4) pokazują, że przy oscylacjach harmonicznych odcięta $x$ jest sinusem lub cosinusem funkcji czasu. Na obraz graficzny uzyskuje się oscylacje harmoniczne, falę kosinusoidalną lub sinusoidę. O kształcie krzywej decyduje amplituda oscylacji i wartość częstotliwości cyklicznej. Położenie krzywej zależy od fazy początkowej.

Częstotliwość oscylacji cyklicznych można wyrazić jako okres (T) oscylacji:

\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\lewo(5\prawo).\]

Połączmy częstotliwość cykliczną z częstotliwością $?$$?$ wyrażeniem:

\[(\omega )_0=2\pi \nu \ \lewo(6\prawo).\]

Jednostką częstotliwości cyklicznej w międzynarodowym układzie jednostek SI jest radian podzielony przez sekundę:

\[\lewo[(\omega )_0\prawo]=\frac(rad)(s).\]

Wymiar częstotliwości cyklicznej:

\[(\dim \left((\omega )_0\right)=\frac(1)(t),\ )\]

gdzie $t$ to czas.

Szczególne przypadki wzorów do obliczania częstotliwości cyklicznej

Obciążenie sprężyny (idealnym modelem jest wahadło sprężynowe) powoduje drgania harmoniczne o częstotliwości kołowej równej:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))\left(7\right),\]

$k$ - współczynnik sprężystości sprężyny; $m$ to masa obciążenia na sprężynie.

Małe drgania wahadła fizycznego będą w przybliżeniu drganiami harmonicznymi o częstotliwości cyklicznej równej:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(mga)(J))\lewo(8\prawo),\]

gdzie $J$ jest momentem bezwładności wahadła względem osi obrotu; $a$ - odległość środka masy wahadła od punktu zawieszenia; $m$ to masa wahadła.

Przykładem wahadła fizycznego jest wahadło matematyczne. Częstotliwość kołowa jego oscylacji jest równa:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\left(9\right),\]

gdzie $l$ to długość zawieszenia.

Częstość kątową tłumionych oscylacji określa się jako:

\[\omega =\sqrt((\omega )^2_0-(\delta )^2)\lewo(10\prawo),\]

gdzie $\delta $ jest współczynnikiem tłumienia; w przypadku tłumienia oscylacji $(\omega )_0$ nazywana jest naturalną częstotliwością kątową oscylacji.

Przykłady problemów z rozwiązaniem

Przykład 1

Ćwiczenie: Jaka jest cykliczna częstotliwość oscylacji harmonicznych, jeśli maksymalna prędkość punkt materialny jest równy $(\dot(x))_(max)=10\ \frac(cm)(s)$, a jego maksymalne przyspieszenie wynosi $(\ddot(x))_(max)=100\ \frac( cm)(s^2)$?

Rozwiązanie: Podstawą rozwiązania problemu będzie równanie oscylacji harmonicznych punktu, gdyż z warunków wynika, że ​​występują one wzdłuż osi X:

Obliczamy prędkość oscylacji za pomocą równania (1.1) i zależności kinematycznej współrzędnej $x$ i odpowiadającej jej składowej prędkości:

Maksymalna wartość prędkości (amplituda prędkości) jest równa:

Przyspieszenie punktu obliczamy jako:

Ze wzoru (1.3) wyrażamy amplitudę, podstawiamy ją w (1.5), otrzymujemy częstotliwość cykliczną:

\[(\dot(x))_(max)=A(\omega )_0\to A=\frac((\dot(x))_(max))((\omega )_0);;\ ( \ddot(x))_(max)=A(w_0)^2=\frac((\dot(x))_(max))(w_0)(w_0)^2\to w_0=\frac((\ dkropka(x))_(maks.))((\kropka(x))_(maks.)).\]

Obliczmy częstotliwość cykliczną:

\[w_0=\frac(100)(10)=10(\frac(rad)(s)).\]

Odpowiadać:$w_0=10\frac((\rm rad))((\rm c))$

Przykład 2

Ćwiczenie: Na długim, nieważkim pręcie zamocowane są dwa ciężarki o tej samej masie. Jeden ładunek znajduje się na środku pręta, drugi na jego końcu (rys. 2). System oscyluje wokół osi poziomej przechodzącej przez wolny koniec pręta. Jaka jest cykliczna częstotliwość oscylacji? Długość pręta wynosi $l$.

Rozwiązanie: Podstawą rozwiązania problemu jest wzór na znalezienie częstotliwości drgań wahadła fizycznego:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(mga)(J))\lewo(2.1\prawo),\]

gdzie $J$ jest momentem bezwładności wahadła względem osi obrotu; $a$ - odległość środka masy wahadła od punktu zawieszenia; $m$ to masa wahadła. Masa wahadła, zgodnie ze stanem zadania, składa się z mas dwóch identycznych kul (masa jednej kuli to $\frac(m)(2)$). W naszym przypadku odległość $a$ jest równa odległości między punktami O i C (patrz rys. 2):

Znajdźmy moment bezwładności układu dwóch mas punktowych. Względem środka masy (jeśli oś obrotu przebiega przez punkt C) moment bezwładności układu ($J_0$) wynosi:

Moment bezwładności naszego układu względem osi przechodzącej przez punkt O można znaleźć korzystając z twierdzenia Steinera:

Zastąpmy właściwe części wyrażenia (2.2) i (2.4) w (2.1) zamiast odpowiednich wielkości:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(mg\frac(3)(4)l\ )(\frac(5)(8)ml^2))=\sqrt(\frac(6g)( 5l)).\]

Odpowiadać:$(\omega )_0=\sqrt(\frac(6g)(5l))$

Zatem całkowita energia oscylacji harmonicznej jest stała i proporcjonalna do kwadratu amplitudy przemieszczenia . Jest to jedna z charakterystycznych właściwości oscylacji harmonicznych. Tutaj stały współczynnik k w przypadku wahadła sprężystego oznacza sztywność sprężyny, a dla wahadła matematycznego k=mgH. W obu przypadkach współczynnik k jest przekazywany przez parametry układu oscylacyjnego.

Całkowita energia mechanicznego układu oscylacyjnego składa się z energii kinetycznej i potencjalnej i jest równa maksymalnej wartości dowolnego z tych dwóch składników:

Dlatego całkowita energia oscylacji jest wprost proporcjonalna do kwadratu amplitudy przemieszczenia lub kwadratu amplitudy prędkości.

Z formuły:

można wyznaczyć amplitudę x m oscylacji przemieszczenia:


Amplituda przemieszczenia podczas drgań swobodnych jest wprost proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego energii przekazanej układowi oscylacyjnemu w początkowym momencie, gdy układ został wyprowadzony z równowagi.

Kinematyka mechanicznych swobodnych oscylacji

1 Przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie. Aby znaleźć charakterystyki kinematyczne (przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie) oscylacji swobodnych, posługujemy się prawem zachowania i transformacji energii, które dla idealnego mechanicznego układu oscylacyjnego jest zapisane w następujący sposób:





Ponieważ pochodna po czasie φ "jest stała, kąt φ zależy liniowo od czasu:

Mając to na uwadze, możemy napisać:

x = x m sin ω 0 t, υ = x m ω 0 cos ω 0 t

Tutaj wartość

to amplituda zmiany prędkości:

υ = υ m cos ω 0 t

Zależność chwilowej wartości przyspieszenia a od czasu t znajdujemy jako pochodną prędkości υ po czasie:

a = υ " = - ω 0 υ m sin ω 0 t,

a = -a m grzech ω 0 t

znak „-” w wynikowym wzorze wskazuje, że znak rzutu wektora przyspieszenia na oś, wzdłuż której występują oscylacje, jest przeciwny do znaku przemieszczenia x.

Widzimy więc, że przy drganiach harmonicznych nie tylko przemieszczenie, ale także prędkość i przyspieszenie zmieniają się sinusoidalnie .

2 Cykliczna częstotliwość oscylacji. Wartość ω 0 nazywana jest częstotliwością oscylacji cyklicznych. Ponieważ funkcja sin α ma w argumencie α okres 2π, a oscylacje harmoniczne mają okres T w czasie, to