Równanie fali harmonicznej

Równanie oscylacji harmonicznej określa zależność współrzędnej ciała od czasu

Wykres kosinusowy w momencie początkowym ma wartość maksymalną, a wykres sinusoidalny w momencie początkowym zerowa wartość. Jeśli zaczniemy badać oscylację z pozycji równowagi, oscylacja powtórzy sinusoidę. Jeśli zaczniemy rozważać oscylację od pozycji maksymalnego odchylenia, oscylacja będzie opisywała cosinus. Lub takie oscylacje można opisać wzorem sinus z początkową fazą.

Zmiana prędkości i przyspieszenia podczas oscylacji harmonicznych

Nie tylko współrzędna ciała zmienia się z czasem zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa. Ale w podobny sposób zmieniają się również takie wielkości, jak siła, prędkość i przyspieszenie. Siła i przyspieszenie są maksymalne, gdy oscylujące ciało znajduje się w skrajnych położeniach, w których przemieszczenie jest maksymalne, i są równe zeru, gdy ciało przechodzi przez położenie równowagi. Natomiast prędkość w skrajnych pozycjach jest równa zeru, a gdy ciało przekracza pozycję równowagi, osiąga maksymalną wartość.

Jeśli oscylacja jest opisana zgodnie z prawem cosinusa

Jeśli oscylacja jest opisana zgodnie z prawem sinusoidalnym

Maksymalne wartości prędkości i przyspieszenia

Po przeanalizowaniu równań zależności v(t) i a(t) można się domyślać, że maksymalne wartości prędkości i przyspieszenia przyjmuje się przy współczynniku trygonometrycznym równym 1 lub -1. Określone wzorem

Ruch oscylacyjny- okresowy lub prawie okresowy ruch ciała, którego współrzędna, prędkość i przyspieszenie w regularnych odstępach czasu przyjmują w przybliżeniu te same wartości.

Drgania mechaniczne pojawiają się, gdy ciało jest wytrącone z równowagi, pojawia się siła, która ma tendencję do przywracania ciała.

Przemieszczenie x - odchylenie ciała od pozycji równowagi.

Amplituda A - moduł maksymalnego przemieszczenia ciała.

Okres oscylacji T - czas jednej oscylacji:

Częstotliwość oscylacji

Liczba oscylacji wykonywanych przez ciało w jednostce czasu: Podczas oscylacji prędkość i przyspieszenie zmieniają się okresowo. W pozycji równowagi prędkość jest maksymalna, przyspieszenie wynosi zero. W punktach maksymalnego przemieszczenia przyspieszenie osiąga maksimum, a prędkość zanika.

WYKRES OSCYLACJI HARMONICZNYCH

Harmoniczny oscylacje zachodzące zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa nazywamy:

gdzie x(t) - przemieszczenie układu w czasie t, A - amplituda, ω - częstotliwość cykliczna wahania.

Jeżeli odchylenie ciała od położenia równowagi kreśli się wzdłuż osi pionowej, a czas wzdłuż osi poziomej, to otrzymujemy wykres oscylacji x = x(t) - zależność przemieszczenia ciała od czasu. Przy swobodnych oscylacjach harmonicznych jest to fala sinusoidalna lub cosinusoidalna. Rysunek przedstawia wykresy przemieszczenia x, rzutów prędkości V x i przyspieszenia a x w funkcji czasu.

Jak widać z wykresów, przy maksymalnym przemieszczeniu x prędkość V ciała oscylującego wynosi zero, przyspieszenie a, a co za tym idzie siła działająca na ciało, są maksymalne i skierowane przeciwnie do przemieszczenia. W położeniu równowagi przemieszczenie i przyspieszenie zanikają, prędkość jest maksymalna. Rzut przyspieszenia ma zawsze przeciwny znak przemieszczenia.

ENERGIA RUCHU WIBRACYJNEGO

Całkowita energia mechaniczna ciała oscylującego jest równa sumie jego energii kinetycznej i potencjalnej i przy braku tarcia pozostaje stała:

W momencie, gdy przemieszczenie osiąga maksimum x = A, zanika prędkość, a wraz z nią energia kinetyczna.

W tym przypadku całkowita energia jest równa energii potencjalnej:

Całkowita energia mechaniczna ciała oscylującego jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy jego drgań.

Gdy układ przejdzie przez pozycję równowagi, przemieszczenie i energia potencjalna są równe zeru: x \u003d 0, E p \u003d 0. Dlatego całkowita energia jest równa kinetyce:

Całkowita energia mechaniczna ciała oscylującego jest proporcjonalna do kwadratu jego prędkości w położeniu równowagi. W konsekwencji:

WAHADŁO MATEMATYCZNE

1. Wahadło matematyczne jest punktem materialnym zawieszonym na nieważkości, nierozciągliwej nici.

W pozycji równowagi siła grawitacji jest kompensowana przez napięcie nici. Jeśli wahadło zostanie odchylone i zwolnione, wtedy siły i przestaną się kompensować i powstanie siła wypadkowa skierowana do położenia równowagi. Drugie prawo Newtona:

W przypadku małych wahań, gdy przemieszczenie x jest znacznie mniejsze niż l, punkt materialny przesunie się prawie wzdłuż poziomej osi x. Następnie z trójkąta MAB otrzymujemy:

Dlatego grzech a \u003d x / l, to rzut wypadkowej siły R na oś x jest równy

Znak minus wskazuje, że siła R jest zawsze skierowana przeciw przemieszczeniu x.

2. Tak więc podczas drgań wahadła matematycznego, a także podczas drgań wahadła sprężynowego siła przywracająca jest proporcjonalna do przemieszczenia i jest skierowana w przeciwnym kierunku.

Porównajmy wyrażenia na siłę przywracającą wahadła matematycznego i sprężynowego:

Widać, że mg/l jest analogiem k. Zastąpienie k mg/l we wzorze na okres wahadła sprężystego

otrzymujemy wzór na okres wahadła matematycznego:

Okres małych drgań wahadła matematycznego nie zależy od amplitudy.

Wahadło matematyczne służy do pomiaru czasu, określenia przyspieszenia swobodnego spadania w to miejsce powierzchnia ziemi.

Swobodne drgania wahadła matematycznego przy małych kątach odchylenia są harmoniczne. Występują z powodu wypadkowej siły grawitacji i napięcia nici, a także bezwładności ładunku. Wypadkową tych sił jest siła przywracająca.

Przykład. Wyznacz przyspieszenie swobodnego spadania na planecie, na której wahadło o długości 6,25 m ma okres swobodnych oscylacji 3,14 s.

Okres drgań wahadła matematycznego zależy od długości nici i przyspieszenia swobodnego spadania:

Podnosząc obie strony równania do kwadratu, otrzymujemy:

Odpowiadać: przyspieszenie swobodnego spadania wynosi 25 m/s 2 .

Zadania i testy na temat „Temat 4. „Mechanika. Wibracje i fale.

• Fale poprzeczne i podłużne. Długość fali

  Lekcje: 3 Zadania: 9 Testy: 1

• Fale dźwiękowe. Prędkość dźwięku - Drgania mechaniczne i fale. Klasa dźwięku 9

1. Rysunek przedstawia wykres energii potencjalnej wahadła matematycznego (w stosunku do jego położenia równowagi) w funkcji czasu. W chwili czasu odpowiadającej punktowi D na wykresie całkowita energia mechaniczna wahadła wynosi: 1) 4 J 2) 12 J 3) 16 J 4) 20 J czas. W chwili czasu energia kinetyczna wahadła wynosi: 1) 0 J 2) 10 J 3) 20 J 4) 40 J 3. Rysunek przedstawia wykres energii potencjalnej wahadła matematycznego (w odniesieniu do jego równowagi pozycja) w funkcji czasu. W chwili czasu energia kinetyczna wahadła wynosi: 1) 0 J 2) 8 J 3) 16 J 4) 32 J 4. Jak zmieni się okres małych drgań wahadła matematycznego, jeśli długość jego nici zwiększa się 4 razy? 1) zwiększyć 4 razy 2) zwiększyć 2 razy 3) zmniejszyć 4 razy 4) zmniejszyć 2 razy 5. Rysunek pokazuje zależność amplitudy stałych drgań wahadła od częstotliwości siły napędowej (rezonans krzywa). Amplituda oscylacji tego wahadła w rezonansie wynosi 1) 1 cm 2) 2 cm 3) 8 cm 4) 10 cm 6. Przy swobodnych oscylacjach obciążenia nici jako wahadła jego energia kinetyczna zmienia się od 0 J do 50 J , maksymalna wartość energii potencjalnej wynosi 50 J W jakich granicach zmienia się całkowita energia mechaniczna obciążenia podczas takich oscylacji? 1) nie zmienia się i wynosi 0 J 2) zmienia się od 0 J do 100 J 3) nie zmienia się i wynosi 50 J 4) nie zmienia się i wynosi 100 J 7. Obciążenie oscyluje na sprężynie , poruszający się wzdłuż osi. Rysunek przedstawia wykres zależności współrzędnych obciążenia od czasu. W jakich częściach wykresu siła sprężyny przyłożona do obciążenia działa dodatnio? 1) 2) 3) 4) i i i i 8. Obciążenie oscyluje na sprężynie poruszającej się wzdłuż osi. Rysunek przedstawia wykres zależności współrzędnych obciążenia od czasu. W jakich częściach wykresu siła sprężyny przyłożona do obciążenia działa ujemnie? 1) 2) 3) 4) i i i i 9. Obciążenie oscyluje na sprężynie poruszającej się wzdłuż osi. Rysunek pokazuje od czasu do czasu wykres zależności rzutu prędkości obciążenia na tej osi. Przez pierwsze 6 sekund ruchu ładunek przebył odległość 1,5 m. Jaka jest amplituda oscylacji obciążenia? 1) 0,5 m 2) 0,75 m 3) 1 m 4) 1,5 m Po jakim czasie energia kinetyczna wahadła po raz pierwszy osiągnie minimum? Zignoruj ​​opór powietrza. 1) 2) 3) 4) 11. Wahadło matematyczne o okresie drgań T zostało odchylone o mały kąt od położenia równowagi i uwolnione z prędkością początkową równą zero (patrz rysunek). Po jakim czasie energia potencjalna wahadła po raz pierwszy osiągnie ponownie swoje maksimum? Zignoruj ​​opór powietrza. 1) 2) 3) 4) 12. Wahadło matematyczne o okresie drgań T zostało odchylone o mały kąt od położenia równowagi i uwolnione z prędkością początkową równą zero (patrz rysunek). Po jakim czasie energia kinetyczna wahadła po raz drugi osiągnie maksimum? Zignoruj ​​opór powietrza. 1) 2) 3) 4) 13. Ciężarek 50 g przymocowany do lekkiej sprężyny oscyluje swobodnie. Zależność współrzędnej x tego ładunku od czasu t pokazano na rysunku. Sztywność sprężyny wynosi 1) 3 N/m 2) 45 N/m 3) 180 N/m 4) 2400 N/m 14. Jak zmienić sztywność wahadła, aby podwoić częstotliwość drgań? 1) zmniejszyć 2 razy 2) zwiększyć 4 razy 3) zwiększyć 2 razy 4) zmniejszyć 4 razy

Test z fizyki Drgania harmoniczne dla uczniów klasy 9 wraz z odpowiedziami. Test zawiera 10 pytań wielokrotnego wyboru.

1. Wybierz prawidłowe oświadczenie(a).

A. drgania nazywamy harmonicznymi, jeśli występują zgodnie z prawem sinusoidalnym
B. drgania nazywamy harmonicznymi, jeśli występują zgodnie z prawem cosinusa

1) tylko A
2) tylko B
3) zarówno A, jak i B
4) ani A, ani B

2. Rysunek przedstawia zależność współrzędnej środka kuli zawieszonej od czasu do czasu na sprężynie. Amplituda oscylacji wynosi

1) 10 cm
2) 20 cm
3)-10 cm
4)-20 cm

3. Rysunek przedstawia wykres drgań jednego z punktów struny. Zgodnie z wykresem amplituda oscylacji jest równa

1) 1 10 -3 m²
2) 2 10 -3 m²
3) 3 10 -3 m²
4) 4 10 -3 m²

4. Rysunek przedstawia zależność współrzędnej środka kuli zawieszonej od czasu do czasu na sprężynie. Okres oscylacji to

1) 2 s
2) 4 s
3) 6 s
4) 10 s

5. Rysunek przedstawia wykres drgań jednego z punktów struny. Zgodnie z wykresem okres tych oscylacji jest równy

1) 1 10 -3 s
2) 2 10 -3 s
3) 3 10 -3 s
4) 4 10 -3 s

6. Rysunek przedstawia zależność współrzędnej środka kuli zawieszonej od czasu do czasu na sprężynie. Częstotliwość oscylacji wynosi

1) 0,25 Hz
2) 0,5 Hz
3) 2 Hz
4) 4Hz

7. Rysunek przedstawia wykres X, patrz drgania jednego z punktów struny. Zgodnie z wykresem częstotliwość tych oscylacji jest równa

1) 1000 Hz
2) 750Hz
3) 500 Hz
4) 250Hz

8. Rysunek przedstawia zależność współrzędnej środka kuli zawieszonej od czasu do czasu na sprężynie. Jaką odległość przebyła piłka w dwóch pełnych oscylacjach?

1) 10 cm
2) 20 cm
3) 40 cm
4) 80 cm

9. Rysunek przedstawia zależność współrzędnej środka kuli zawieszonej od czasu do czasu na sprężynie. Ta zależność jest