Чтобы преобразовать входной сигнал в удобную для хранения, воспроизведения и управления форму, необходимо обосновать требования к параметрам систем преобразования сигнала. Для этого надо математически описать связь между сигналами на входе, выходе системы и параметрами системы.
В общем случае система преобразования сигнала является нелинейной: при вхождении в нее гармонического сигнала на выходе системы возникают гармоники других частот. Параметры нелинейной системы преобразования зависят от параметров входного сигнала. Общей теории нелинейности не существует . Одним из способов описать связь между входным E вх (t ) и выходным E вых (t ) сигналами и параметром K нелинейности системы преобразования является следующий:
| (1.19) |
где t и t 1 – аргументы в пространстве выходного и входного сигналов соответственно.
Нелинейность системы преобразования определяется видом функции K .
Чтобы упростить анализ процесса преобразований сигнала, используют допущение о линейности систем преобразований. Это допущение применимо к нелинейным системам, если сигнал имеет малую амплитуду гармоник, либо когда систему можно рассматривать как совокупность линейного и нелинейного звеньев. Примером такой нелинейной системы являются светочувствительные материалы (подробный анализ их преобразующих свойств будет сделан ниже).
Рассмотрим преобразование сигнала в линейных системах. Система называется линейной , если ее реакция на одновременное воздействие нескольких сигналов равна сумме реакций, вызываемых каждым сигналом, действующим отдельно , т. е. выполняется принцип суперпозиции :
где t , t 1 – аргументы в пространстве выходного и входного сигналов соответственно;
E 0 (t , t 1) – импульсная реакция системы.
Импульсной реакцией системы называется выходной сигнал, если на вход подан сигнал, описываемый дельта-функцией Дирака. Эту функцию δ(x ) определяют тремя условиями:
| δ(t ) = 0 при t ≠ 0; | (1.22) | |
| (1.23) | ||
| δ(t ) = δ(–t ). | (1.24) |
Геометрически она совпадает с положительной частью вертикальной оси координат, т. е. имеет вид луча, выходящего вверх из начала координат. Физической реализацией дельта-функции Дирака в пространстве является точка с бесконечной яркостью, во времени – бесконечно короткий импульс бесконечно большой интенсивности, в спектральном пространстве – бесконечно сильное монохроматическое излучение.
Дельта-функция Дирака обладает следующими свойствами:
 | (1.25) | |
 | (1.26) |
Если импульс происходит не на нулевом отсчете, а при значении аргумента t 1 , то такую "сдвинутую" на t 1 дельта-функцию можно описать как δ(t –t 1).
Чтобы упростить выражение (1.21), связывающее выходной и входной сигналы линейной системы, принимают допущение о нечувствительности (инвариантности) линейной системы к сдвигу. Линейная система называется нечувствительной к сдвигу , если при сдвиге импульса импульсная реакция изменяет только свое положение, но не изменяет своей формы , т. е. удовлетворяет равенству:
| E 0 (t , t 1) = E 0 (t – t 1). | (1.27) |
Рис. 1.6. Нечувствительность импульсной реакции систем
или фильтров к сдвигу
Оптические системы, являясь линейными, чувствительны к сдвигу (не инвариантны): распределение, освещенность и размер "кружка" (в общем случае не являющегося кругом) рассеяния зависят от координаты в плоскости изображения. Как правило, в центре поля зрения диаметр "кружка" меньше, а максимальное значение импульсной реакции больше, чем по краям (рис.1.7).
Рис. 1.7. Чувствительность импульсной реакции к сдвигу
Для нечувствительных к сдвигу линейных систем выражение (1.21), связывающее входной и выходной сигналы, приобретает более простой вид:
Из определения свертки следует возможность представить выражение (1.28) в несколько ином виде:
что для рассматриваемых преобразований дает
| (1.32) |
Таким образом, зная сигнал на входе линейной и инвариантной к сдвигу системы, а также импульсную реакцию системы (отклик ее на единичный импульс), по формулам (1.28) и (1.30) можно математически определить сигнал на выходе системы, не реализуя физически саму систему.
К сожалению, из указанных выражений невозможно непосредственно найти одну из подынтегральных функций E вх (t ) или E 0 (t ) по второй и известному выходному сигналу.
Если линейная, нечувствительная к сдвигу система состоит из нескольких, последовательно пропускающих сигнал фильтрующих звеньев, то импульсная реакция системы представляет собой свертку импульсных реакций составляющих фильтров, что в сокращенном виде можно записать как
что соответствует сохранению неизменного значения постоянной составляющей сигнала при фильтрации (это станет очевидным при анализе фильтрации в частотной области).
Пример . Рассмотрим преобразование оптического сигнала при получении на светочувствительном материале миры с косинусоидальным распределением интенсивности. Мирой называется решетка или ее изображение, состоящие из группы полос определенной ширины. Распределение яркости в решетке обычно имеет прямоугольный или косинусоидальный характер. Миры необходимы для экспериментального изучения свойств фильтров оптических сигналов.
Схема устройства для записи косинусоидальной миры представлена на рис. 1.8.
Рис. 1.8. Схема устройства для получения миры
с косинусоидальным распределением интенсивности
Равномерно перемещающуюся со скоростью v фотопленку 1 освещают через щель 2 шириной A. Изменение освещенности во времени производится по косинусоидальному закону. Это достигается за счет прохождения светового пучка через осветительную систему 3 и два поляроидных фильтра 4 и 5. Поляроидный фильтр 4 равномерно вращается, фильтр 5 неподвижен. Вращение оси подвижного поляризатора относительно неподвижного обеспечивает косинусоидальное изменение интенсивности проходящего светового пучка. Уравнение изменения освещенности E (t ) в плоскости щели имеет вид:
Фильтрами в рассматриваемой системе являются щель и фотопленка. Так как подробный анализ свойств светочувствительных материалов будет приведен ниже, то проанализируем только фильтрующее действие щели 2. Импульсную реакцию E 0 (х ) щели 2 шириной A можно представить в виде:
 | (1.41) |
то окончательный вид уравнения сигнала на выходе щели следующий:
Сравнение Е вых (x ) и Е вх (x ) показывает, что они отличаются лишь наличием множителя в переменной части. График функции типа sinc представлен на рис. 1.5. Она характеризуется осциллирующим с постоянным периодом убыванием от 1 до 0.
Следовательно, при увеличении значения аргумента этой функции, т. е. при росте произведения w 1 A и уменьшении v , амплитуда переменной составляющей сигнала на выходе падает.
Кроме того, эта амплитуда будет обращаться в нуль, когда
Это имеет место при
Где n = ±1, ±2…
В таком случае вместо миры на пленке получится равномерное почернение.
Изменения постоянной составляющей сигнала а 0 не произошло, т. к. импульсная реакция щели здесь являлась нормированной в соответствии с условием (1.37).
Таким образом, регулируя параметры записи миры v , A , w 1 , можно подобрать оптимальную для данного светочувствительного материала амплитуду переменной составляющей освещенности, равную произведению a sinc ((w 1 A )/(2v )), и предотвратить брак.
Параметрическими (линейными цепями с переменными параметрами) , называются радиотехнические цепи, один или несколько параметров которых изменяются во времени по заданному закону. Предполагается, что изменение (точнее модуляция) какого-либо параметра осуществляется электронным методом с помощью управляющего сигнала. В радиотехнике широко применяются параметрические сопротивления R(t), индуктивности L(t) и емкости C(t).
Примером одного из современных параметрических сопротивлений может служить канал VLG-транзистора, на затвор которого подано управляющее (гетеродинное) переменное напряжение u г (t). В этом случае крутизна его стоко-затворной характеристики изменяется во времени и связана с управляющим напряжением функциональной зависимостью S(t)=S. Если к VLG-транзистору подключить еще и напряжение модулированного сигнала u(t), то его ток определится выражением:
i c (t)=i(t)=S(t)u(t)=Su(t). (5.1)
Как к классу линейных, к параметрическим цепям применим принцип суперпозиции. Действительно, если приложенное к цепи напряжение является суммой двух переменных
u(t)=u 1 (t)+u 2 (t), (5.2)
то, подставив (5.2) в (5.1), получим выходной ток также в виде суммы двух составляющих
i(t)=S(t)u 1 (t)+S(t)u 2 (t)= i 1 (t)+ i 2 (t) (5.3)
Соотношение (5.3) показывает, что отклик параметрической цепи на сумму двух сигналов равен сумме ее откликов на каждый сигнал в отдельности.
Преобразование сигналов в цепи с параметрическим сопротивлением. Наиболее широко параметрические сопротивления применяются для преобразования частоты сигналов. Отметим, что термин «преобразование частоты» не совсем корректен, поскольку частота сама по себе неизменна. Очевидно, это понятие возникло из-за неточного перевода английского слова «heterodyning – гетеродинирование». Гетеродинирование – это процесс нелинейного или параметрического смешивания двух сигналов различных частот для получения третьей частоты.
Итак, преобразование частоты – это линейный перенос (смешивание, трансформация, гетеродинирование, или транспонирование) спектра модулированного сигнала (а также любого радиосигнала) из области несущей частоты в область промежуточной частоты (или с одной несущей несущей частоты на другую, в том числе и более высокую) без изменения вида или характера модуляции.
Преобразователь частоты (рис.5.1) состоит из смесителя (СМ) – параметрического элемента (например, МДП-транзистора, варикапа или обычного диода с квадратичной характеристикой), гетеродина (Г) – вспомогательного автогенератора гармонических колебаний с частотой ω г, служащего для параметрического управления смесителем, и фильтра промежуточной частоты (обычно колебательного контура УПЧ или УВЧ).
Рис.5.1. Структурная схема преобразователя частоты
Принцип действия преобразователя частоты рассмотрим на примере переноса спектра однотонального АМ-сигнала. Положим, что под воздействием гетеродинного напряжения
u г (t)=U г cos ω г t (5.4)
крутизна характеристики МДП-транзистора преобразователя частоты изменяется во времени приближенно по закону
S(t)=S o +S 1 cos ω г t (5.5)
где S o и S 1 – соответственно среднее значение и первая гармоническая составляющая крутизны характеристики.
При поступлении на МДП-транзистор смесителя АМ-сигнала u AM (t)= U н (1+McosΩt)cosω o t переменная составляющая выходного тока в соответствии с (5.1) и (5.5) будет определяться выражением:
i c (t)=S(t)u AM (t)=(S o +S 1 cos ω г t) U н (1+McosΩt)cosω o t=
U н (1+McosΩt) (5.6)
Пусть в качестве промежуточной частоты параметрического преобразователя выбрана
ω пч =|ω г -ω о |. (5.7)
Тогда, выделив ее с помощью контура УПЧ из спектра тока (5.6), получим преобразованный АМ-сигнал с тем же законом модуляции, но существенно меньшей несущей частотой
i пч (t)=0,5S 1 U н (1+McosΩt)cosω пч t (5.8)
Заметим, что наличие только двух боковых составляющих спектра тока (5.6) определяется выбором предельно простой кусочно-линейной аппроксимации крутизны характеристики транзистора. В реальных схемах смесителей в спектре тока содержатся также составляющие комбинационных частот
ω пч =|mω г ±nω о |, (5.9)
где m и n – любые целые положительные числа.
Соответствующие временные и спектральные диаграммы сигналов с амплитудной модуляцией на входе и выходе преобразователя частоты показаны на рис. 5.2.
Рис.5.2. Диаграммы на входе и выходе преобразователя частоты:
а – временные; б – спектральные
Преобразователь частоты в аналоговых перемножителях . Современные преобоазователи частоты с параметрическими резистивными цепями построены на принципиально новой основе. В них в качестве смесителей используются аналоговые перемножители. Если на входы аналогового перемножителя подать два гармонических колебания некий модулированный сигнал:
u с (t)=U c (t)cosω o t (5.10)
и опорное напряжение гетеродина u г (t)=U г cos ω г t, то его выходное напряжение будет содержать две составляющие
u вых (t)=k a u c (t)u г (t)=0,5k a U c (t)U г (5.11)
Спектральная составляющая с разностной частотой ω пч =|ω г ±ω о | выделяется узкополосным фильтром УПЧ и используется в качестве промежуточной частоты преобразованного сигнала.
Преобразование частоты в цепи с варикапом . Если на варикап подать только гетеродинное напряжение (5.4), то его емкость приближенно будет изменяться во времени по закону (см.рис. 3.2 в части I):
C(t)=C o +C 1 cosω г t, (5.12)
где С о и С 1 – среднее значение и первая гармоническая составляющая емкости варикапа.
Положим, что на варикап воздействуют два сигнала: гетеродинное и (для упрощения расчетов) немодулированное гармоническое напряжение (5.10) с амплитудой U c . В этом случае заряд на емкости варикапа будет определяться:
q(t)=C(t)u c (t)=(С о +С 1 cosω г t)U c cosω o t=
С о U c (t)cosω o t+0,5С 1 U c cos(ω г - ω o)t+0,5С 1 U c cos(ω г + ω o)t, (5.13)
а ток, протекающий через него,
i(t)=dq/dt=- ω o С o U c sinω o t-0,5(ω г -ω o)С 1 U c sin(ω г -ω o)t-
0,5(ω г +ω o)С 1 U c sin(ω г +ω o)t (5.14)
Включив последовательно с варикапом колебательный контур, настроенный на промежуточную частоту ω пч =|ω г -ω о |, можно выделить желаемое напряжение.
С реактивным элементом типа варикапа (для сверхвысоких частот это варактор ) можно создать также параметрический генератор, усилитель мощности, умножитель частоты. Такая возможность основана на преобразовании энергии в параметрической емкости. Из курса физики известно, что энергия, накопленная в конденсаторе, связана с его емкостью С и зарядом на ней q формулой:
Э= q 2 /(2С). (5.15)
Пусть заряд остается постоянным, а емкость конденсатора уменьшается. Поскольку энергия обратно пропорциональна величине емкости, то приуменьшении последней энергия растет. Количественное соотношение такой связи получим, дифференцируя (5.15) по параметру С:
dЭ/dC= q 2 /2C 2 =-Э/С (5.16)
Это выражение также справедливо и для малых приращений емкости ∆С и энергии ∆Э, поэтому можно записать
∆Э=-Э (5.17)
Знак минус здесь показывает, что уменьшение емкости конденсатора (∆С<0) вызывает увеличение запасаемой в нем энергии (∆Э>0). Увеличение энергии происходит за счет внешних затрат на выполнение работы против сил электрического поля при уменьшении емкости (например, путем изменения напряжения смещения на варикапе).
При одновременном воздействии на параметрическую емкость (или индуктивность) нескольких источников сигналов с разными частотами, между ними будет происходить перераспределение (обмен) энергий колебаний. На практике энергия колебаний внешнего источника, называемого генератором накачки , через параметрический элемент передается в цепь полезного сигнала.
Для анализа энергетических соотношений в многоконтурных цепях с варикапом обратимся к обобщенной схеме (рис.5.3). В ней параллельно параметрической емкости С включены три цепи, две из которых содержат источники e 1 (t) и e 2 (t), создающие гармонические колебания с частотами ω 1 и ω 2 . Источники соединены через узкополосные фильтры Ф 1 и Ф 2 , пропускающие соответственно колебания с частотами ω 1 и ω 2 . Третья цепь содержит сопротивление нагрузки R н и узкополосный фильтр Ф 3 , так называемый холостой контур , настроенный на заданную комбинационную частоту
ω 3 = mω 1 +nω 2, (5.18)
где m и n – целые числа.
Для упрощения будем считать, что в схеме применены фильтры без омических потерь. Если в схеме источники e 1 (t) и e 2 (t) отдают мощности Р 1 и Р 2 , то сопротивление нагрузки R н потребляет мощность Р н. Для замкнутой системы в соответствии с законом сохранения энергии получим условие баланса мощностей:
Р 1 +Р 2 +Р н =0 (5.19)
Линейно-параметрические цепи-радиотехнические цепи, один или несколько параметров которых изменяются во времени по заданному закону, называют параметрическими (линейными цепями с переменными параметрами). Предполагается, что изменение какого-либо параметра осуществляют электронным методом с помощью управляющего сигнала. В линейно- параметрической цепи параметры элементов не зависят от уровня сигнала, но могут независимо изменяться во времени. Реально параметрический элемент получают из нелинейного элемента, на вход которого подают сумму двух независимых сигналов. Один из них несет информацию и имеет малую амплитуду, так что в области его изменений параметры цепи практически постоянны. Вторым является управляющий сигнал большой амплитуды, который изменяет положение рабочей точки нелинейного элемента, а следовательно, его параметр.
В радиотехнике широко применяют параметрические сопротивления R(t), параметрические индуктивности L(t) и параметрические емкости C(t).
Для параметрического сопротивления R(t) управляемым параметром является дифференциальная крутизна
Примером параметрического сопротивления может служить канал МДП- транзистора, на затвор которого подано управляющее (гетеродинное) переменное напряжение u Г (t). В этом случае крутизна его сток-затворной характеристики изменяется во времени и связана с управляющим напряжением зависимостью S(t) = S. Если к МДП-транзистору подключить еще и напряжение модулированного сигнала u(t) , то его ток определится выражением
Наиболее широко параметрические сопротивления применяют для преобразования частоты сигналов. Гетеродинирование - процесс нелинейного или параметрического смешивания двух сигналов разных частот для получения колебаний третьей частоты, в результате которого происходит смещение спектра исходного сигнала.
Рис. 24. Структурная схема преобразователя частоты
Преобразователь частоты (рис.24) состоит из смесителя (СМ) - параметрического элемента (например, МДП-транзистора, варикапа и т. д.), гетеродина (Г) - вспомогательного генератора гармонических колебаний с частотой ωг, служащего для параметрического управления смесителем, и фильтра промежуточной частоты (ФПЧ) - полосового фильтра
Принцип действия преобразователя частоты рассмотрим на примере переноса спектра однотонального АМ-сигнала. Допустим, что под воздействием гетеродинного напряжения
крутизна характеристики МДП-транзистора изменяется приближенно по закону
где S 0 и S 1 - соответственно среднее значение и первая гармоническая составляющая крутизны характеристики. При поступлении на преобразующий МДП-транзистор смесителя приемника АМ-сигнала
переменная составляющая выходного тока будет определяться выражением:
Пусть в качестве промежуточной частоты параметрического преобразователя выбрана частота
Пусть на входе линейного четырехполюсника (рис. 7.1) с передаточной функцией и импульсной характеристикой действует случайный процесс с заданными статистическими характеристиками; требуется найти статистические характеристики процесса на выходе четырехполюсника.
В гл. 4 были рассмотрены основные характеристики случайного процесса: распределение вероятностей; корреляционная функция; спектральная плотность мощности.
Определение последних двух характеристик является наиболее простой задачей. Иначе обстоит дело с определением закона распределения случайного процесса на выходе линейной цепи. В общем случае при произвольном распределении процесса на входе отыскание распределения на выходе инерционной цепи представляет собой весьма сложную задачу.
Рис. 7.1. Линейный четырехполюсник с постоянными параметрами
Лишь при нормальном распределении входного процесса задача упрощается, так как при любых линейных операциях с гауссовским процессом (усилении, фильтрации, дифференцировании, интегрировании и т. д.) распределение остается нормальным, изменяются лишь функции .
Поэтому, если задана плотность вероятности входного процесса (с нулевым средним)
то плотность вероятности на выходе линейной цепи
Дисперсия легко определяется по спектру или по корреляционной функции. Таким образом, анализ передачи гауссовских процессов через линейные цепи по существу сводится к спектральному (или корреляционному) анализу.
Последующие четыре параграфа посвящены преобразованию только спектра и корреляционной функции случайного процесса. Это рассмотрение справедливо при любом законе распределения вероятностей. Вопрос же о преобразовании закона распределения при негауссовских входных процессах рассматривается в § 7.6-7.7.
