Rovnica harmonických vĺn
Rovnica harmonických kmitov určuje závislosť súradníc tela od času
Kosínusový graf v počiatočnom okamihu má maximálnu hodnotu a sínusový graf má v počiatočnom okamihu nulová hodnota. Ak začneme skúmať kmitanie z rovnovážnej polohy, potom kmitanie zopakuje sínusoidu. Ak začneme uvažovať kmitanie z polohy maximálnej výchylky, tak kmitanie bude opisovať kosínus. Alebo môže byť takáto oscilácia opísaná sínusovým vzorcom s počiatočnou fázou.
Zmena rýchlosti a zrýchlenia počas harmonického kmitania
Nielen súradnice telesa sa menia s časom podľa zákona sínusu alebo kosínusu. Ale podobne sa menia aj veličiny ako sila, rýchlosť a zrýchlenie. Sila a zrýchlenie sú maximálne, keď je kmitajúce teleso v krajných polohách, kde je posunutie maximálne, a rovné nule, keď teleso prechádza rovnovážnou polohou. Rýchlosť je naopak v krajných polohách rovná nule a keď teleso prejde rovnovážnou polohou, dosiahne svoju maximálnu hodnotu.
Ak je oscilácia popísaná podľa kosínusového zákona
Ak je oscilácia popísaná podľa sínusového zákona
Maximálna rýchlosť a hodnoty zrýchlenia
Po analýze rovníc závislosti v(t) a a(t) možno uhádnuť, že maximálne hodnoty rýchlosti a zrýchlenia sa berú, keď sa trigonometrický faktor rovná 1 alebo -1. Určené vzorcom
oscilačný pohyb- periodický alebo takmer periodický pohyb telesa, ktorého súradnica, rýchlosť a zrýchlenie nadobúdajú v pravidelných intervaloch približne rovnaké hodnoty.
K mechanickému kmitaniu dochádza, keď sa telo dostane z rovnováhy a objaví sa sila, ktorá má tendenciu vrátiť telo späť.
Posun x - odchýlka telesa z rovnovážnej polohy.
Amplitúda A - modul maximálneho posunu tela.
Perióda kmitu T - čas jedného kmitu:
Oscilačná frekvencia
Počet kmitov, ktoré telo vykoná za jednotku času: Počas kmitov sa periodicky mení rýchlosť a zrýchlenie. V rovnovážnej polohe je rýchlosť maximálna, zrýchlenie nulové. V bodoch maximálneho posunutia dosiahne zrýchlenie maximum a rýchlosť zmizne.
GRAF HARMONICKÝCH KÝMOV
Harmonický oscilácie vyskytujúce sa podľa zákona sínusu alebo kosínusu sa nazývajú:
kde x(t) - posunutie systému v čase t, A - amplitúda, ω - cyklická frekvencia výkyvy.
Ak sa na zvislej osi vykreslí odchýlka telesa od rovnovážnej polohy a na vodorovnej osi čas, tak dostaneme graf kmitania x = x(t) - závislosť posunu telesa od času. Pri voľných harmonických kmitoch ide o sínusoidu alebo kosínusovú vlnu. Obrázok ukazuje grafy posunu x, projekcií rýchlosti V x a zrýchlenia a x v závislosti od času.
Ako je zrejmé z grafov, pri maximálnom posunutí x je rýchlosť V kmitajúceho telesa nulová, zrýchlenie a a tým aj sila pôsobiaca na teleso sú maximálne a smerujú opačne k posunutiu. V rovnovážnej polohe sa posun a zrýchlenie vytrácajú, rýchlosť je maximálna. Projekcia zrýchlenia má vždy opačné znamienko posunutia.
ENERGIA VIBRAČNÉHO POHYBU
Celková mechanická energia oscilujúceho telesa sa rovná súčtu jeho kinetických a potenciálnych energií a pri absencii trenia zostáva konštantná:
V momente, keď posun dosiahne svoje maximum x = A, rýchlosť a s ňou aj kinetická energia zaniknú.
V tomto prípade sa celková energia rovná potenciálnej energii:
Celková mechanická energia kmitajúceho telesa je úmerná druhej mocnine amplitúdy jeho kmitov.
Keď systém prejde rovnovážnou polohou, posunutie a potenciálna energia sa rovnajú nule: x \u003d 0, Ep \u003d 0. Celková energia sa teda rovná kinetickej:
Celková mechanická energia kmitajúceho telesa je úmerná druhej mocnine jeho rýchlosti v rovnovážnej polohe. V dôsledku toho:
MATEMATICKÉ KYVADLO
1. Matematické kyvadlo je hmotný bod zavesený na beztiažovej neroztiahnuteľnej nite.
V rovnovážnej polohe je gravitačná sila kompenzovaná napätím nite. Ak sa kyvadlo vychýli a uvoľní, sily a prestanú sa navzájom kompenzovať a výsledná sila bude smerovať do rovnovážnej polohy. Druhý Newtonov zákon:
Pre malé výkyvy, keď je posun x oveľa menší ako l, sa materiálový bod bude pohybovať takmer pozdĺž horizontálnej osi x. Potom z trojuholníka MAB dostaneme:
Pretože hriech \u003d x / l, potom sa priemet výslednej sily R na os x rovná
Znamienko mínus znamená, že sila R je vždy namierená proti posunutiu x.
2. Takže pri kmitoch matematického kyvadla, ako aj pri kmitoch pružinového kyvadla je vratná sila úmerná posunutiu a smeruje opačným smerom.
Porovnajme výrazy pre vratnú silu matematického a pružinového kyvadla:
Je zrejmé, že mg/l je analógom k. Nahradenie k za mg/l vo vzorci pre obdobie pružinového kyvadla
dostaneme vzorec pre periódu matematického kyvadla:
Perióda malých kmitov matematického kyvadla nezávisí od amplitúdy.
Na meranie času, určenie zrýchlenia voľného pádu sa používa matematické kyvadlo toto miesto zemského povrchu.
Voľné kmity matematického kyvadla pri malých uhloch vychýlenia sú harmonické. Vznikajú v dôsledku výslednej gravitačnej sily a napätia nite, ako aj zotrvačnosti bremena. Výsledkom týchto síl je vratná sila.
Príklad. Určte zrýchlenie voľného pádu na planéte, kde kyvadlo dlhé 6,25 m má periódu voľnej oscilácie 3,14 s.
Doba kmitania matematického kyvadla závisí od dĺžky závitu a zrýchlenia voľného pádu:
Umocnením oboch strán rovnice dostaneme:
odpoveď: zrýchlenie voľného pádu je 25 m/s 2 .
Úlohy a testy na tému "Téma 4. "Mechanika. Vibrácie a vlny.
- Priečne a pozdĺžne vlny. Vlnová dĺžka
Lekcie: 3 Zadania: 9 Testy: 1
- Zvukové vlny. Rýchlosť zvuku - Mechanické kmity a vlny. Zvuková trieda 9
1. Obrázok znázorňuje graf potenciálnej energie matematického kyvadla (vo vzťahu k jeho rovnovážnej polohe) v závislosti od času. V čase zodpovedajúcom bodu D na grafe je celková mechanická energia kyvadla: 1) 4 J 2) 12 J 3) 16 J 4) 20 J čas. V čase je kinetická energia kyvadla: 1) 0 J 2) 10 J 3) 20 J 4) 40 J 3. Na obrázku je znázornený graf potenciálnej energie matematického kyvadla (vzhľadom k jeho rovnováhe). pozícia) verzus čas. V okamihu času je kinetická energia kyvadla: 1) 0 J 2) 8 J 3) 16 J 4) 32 J 4. Ako sa zmení perióda malých kmitov matematického kyvadla, ak dĺžka jeho závitu? zvýši sa 4-krát? 1) zvýšenie o 4-krát 2) zvýšenie o 2-krát 3) zníženie o 4-krát 4) zníženie o 2-krát 5. Na obrázku je znázornená závislosť amplitúdy ustálených kmitov kyvadla od frekvencie hnacej sily (rezonancie). krivka). Amplitúda kmitu tohto kyvadla pri rezonancii je 1) 1 cm 2) 2 cm 3) 8 cm 4) 10 cm 6. Pri voľných kmitoch záťaže na nite ako kyvadla sa mení jeho kinetická energia od 0 J do 50 J , maximálna hodnota potenciálnej energie je 50 J V akých medziach sa pri takýchto kmitoch mení celková mechanická energia záťaže? 1) nemení sa a rovná sa 0 J 2) kolíše od 0 J do 100 J 3) nemení sa a rovná sa 50 J 4) nemení sa a rovná sa 100 J 7. Záťaž kmitá na pružine , pohybujúce sa pozdĺž osi. Na obrázku je znázornený graf závislosti súradníc zaťaženia od času. V ktorých častiach grafu pôsobí sila pružiny na zaťaženie kladne? 1) 2) 3) 4) a a a a 8. Záťaž kmitá na pružine, ktorá sa pohybuje pozdĺž osi. Na obrázku je znázornený graf závislosti súradníc zaťaženia od času. V ktorých častiach grafu pôsobí sila pružiny na záťaž zápornú prácu? 1) 2) 3) 4) a a a a 9. Záťaž kmitá na pružine, ktorá sa pohybuje pozdĺž osi. Na obrázku je znázornený graf závislosti priemetu rýchlosti zaťaženia na tejto osi z času na čas. Za prvých 6 sekúnd pohybu prešlo bremeno vzdialenosť 1,5 m Aká je amplitúda kmitov bremena? 1) 0,5 m 2) 0,75 m 3) 1 m 4) 1,5 m Ako dlho potom dosiahne kinetická energia kyvadla svoje minimum prvýkrát? Ignorujte odpor vzduchu. 1) 2) 3) 4) 11. Matematické kyvadlo s periódou kmitania T bolo vychýlené o malý uhol z rovnovážnej polohy a uvoľnené s počiatočnou rýchlosťou rovnajúcou sa nule (pozri obrázok). Ako dlho potom potenciálna energia kyvadla prvýkrát dosiahne svoje maximum? Ignorujte odpor vzduchu. 1) 2) 3) 4) 12. Matematické kyvadlo s periódou kmitania T bolo vychýlené o malý uhol z rovnovážnej polohy a uvoľnené s počiatočnou rýchlosťou rovnajúcou sa nule (pozri obrázok). Ako dlho potom dosiahne kinetická energia kyvadla svoje maximum druhýkrát? Ignorujte odpor vzduchu. 1) 2) 3) 4) 13. Závažie s hmotnosťou 50 g pripevnené na ľahkej pružine sa voľne kýve. Závislosť súradnice x tohto nákladu od času t je znázornená na obrázku. Tuhosť pružiny je 1) 3 N/m 2) 45 N/m 3) 180 N/m 4) 2400 N/m 14. Ako sa má meniť tuhosť pružiny kyvadla, aby sa zdvojnásobila frekvencia jej oscilácie? 1) zníženie o 2-krát 2) zvýšenie o 4-krát 3) zvýšenie o 2-krát 4) zníženie o 4-krát
Fyzikálny test Harmonické kmity pre žiakov 9. ročníka s odpoveďami. Test obsahuje 10 otázok s možnosťou výberu z viacerých odpovedí.
1. Vyberte správne tvrdenia.
A. kmity sa nazývajú harmonické, ak sa vyskytujú podľa sínusového zákona
B. kmity sa nazývajú harmonické, ak sa vyskytujú podľa kosínusového zákona
1) len A
2) len B
3) A aj B
4) ani A, ani B
2. Obrázok ukazuje závislosť súradnice stredu gule zavesenej na pružine z času na čas. Amplitúda oscilácie je
1) 10 cm
2) 20 cm
3) -10 cm
4) -20 cm
3. Na obrázku je znázornený graf kmitov jedného z bodov struny. Podľa grafu je amplitúda kmitania rovná
1) 110-3 m
2) 2 10-3 m
3) 3 10 -3 m
4) 410-3 m
4. Obrázok ukazuje závislosť súradnice stredu gule zavesenej na pružine z času na čas. Doba oscilácie je
1) 2 s
2) 4 s
3) 6 s
4) 10 s
5. Na obrázku je znázornený graf kmitov jedného z bodov struny. Podľa grafu sa perióda týchto kmitov rovná
1) 110-3 s
2) 2 10-3 s
3) 3 10 -3 s
4) 410-3 s
6. Obrázok ukazuje závislosť súradnice stredu gule zavesenej na pružine z času na čas. Frekvencia oscilácií je
1) 0,25 Hz
2) 0,5 Hz
3) 2 Hz
4) 4 Hz
7. Na obrázku je znázornený graf X, pozri oscilácie jedného z bodov struny. Podľa grafu sa frekvencia týchto kmitov rovná
1) 1000 Hz
2) 750 Hz
3) 500 Hz
4) 250 Hz
8. Obrázok ukazuje závislosť súradnice stredu gule zavesenej na pružine z času na čas. Akú vzdialenosť prejde loptička pri dvoch úplných kmitoch?
1) 10 cm
2) 20 cm
3) 40 cm
4) 80 cm
9. Obrázok ukazuje závislosť súradnice stredu gule zavesenej na pružine z času na čas. Táto závislosť je