(lat. amplitúda- veľkosť) - ide o najväčšiu odchýlku kmitajúceho telesa od rovnovážnej polohy.

Pre kyvadlo je to maximálna vzdialenosť, o ktorú sa guľa posunie zo svojej rovnovážnej polohy (obrázok nižšie). Pre kmity s malými amplitúdami možno túto vzdialenosť brať ako dĺžku oblúka 01 alebo 02, ako aj dĺžky týchto segmentov.

Amplitúda kmitov sa meria v jednotkách dĺžky - metre, centimetre atď. Na grafe kmitov je amplitúda definovaná ako maximálna (modulo) ordináta sínusovej krivky (pozri obrázok nižšie).

Doba oscilácie.

Doba oscilácie- toto je najmenšia doba, po ktorej sa systém, ktorý robí oscilácie, opäť vráti do rovnakého stavu, v akom bol v počiatočnom časovom okamihu, ktorý je ľubovoľne zvolený.

Inými slovami, perióda oscilácie ( T) je čas, za ktorý prebehne jedna úplná oscilácia. Napríklad na obrázku nižšie je to čas, za ktorý sa váha kyvadla presunie z bodu najviac vpravo cez rovnovážny bod. O do bodu úplne vľavo a späť cez bod O opäť úplne vpravo.

Počas celej periódy oscilácie teda telo prejde dráhu rovnajúcu sa štyrom amplitúdam. Perióda oscilácie sa meria v časových jednotkách - sekundách, minútach atď. Periódu oscilácií je možné určiť zo známeho grafu oscilácií (pozri obrázok nižšie).

Pojem „obdobie oscilácie“ v prísnom zmysle platí iba vtedy, keď sa hodnoty oscilačnej veličiny presne opakujú po určitom časovom období, to znamená pre harmonické oscilácie. Tento koncept sa však aplikuje aj na prípady približne opakujúcich sa veličín, napr tlmené oscilácie.

Oscilačná frekvencia.

Oscilačná frekvencia je počet kmitov za jednotku času, napríklad za 1 s.

Jednotka frekvencie SI je pomenovaná hertz(Hz) na počesť nemeckého fyzika G. Hertza (1857-1894). Ak frekvencia oscilácií ( v) rovná sa 1 Hz, potom to znamená, že každú sekundu sa vykoná jeden kmit. Frekvencia a perióda oscilácií súvisia so vzťahmi:

V teórii kmitov sa používa aj pojem cyklický, alebo kruhová frekvencia ω . Súvisí to s normálnou frekvenciou v a perióda oscilácie T pomery:

.

Cyklická frekvencia je počet kmitov za 2π sekúnd.

Je hertz (ruské označenie: Hz; medzinárodné: Hz), pomenované po nemeckom fyzikovi Heinrichovi Hertzovi.

Frekvencia je nepriamo úmerná perióde oscilácie: ν = 1/T .

Frekvencia 1 MHz (10 −3 Hz) 1 Hz (100 Hz) 1 kHz (10 3 Hz) 1 MHz (106 Hz) 1 GHz (10 9 Hz) 1 THz (10 12 Hz)
Obdobie 1 ks (10 3 s) 1 s (10 0 s) 1 ms (10 −3 s) 1 µs (10 −6 s) 1 ns (10 −9 s) 1 ps (10 −12 s)

V prírode sú známe periodické procesy s frekvenciami v rozsahu od ~10 -16 Hz (frekvencia otáčania Slnka okolo stredu Galaxie) do ~1035 Hz (frekvencia oscilácií poľa charakteristická pre kozmické žiarenie s najvyššou energiou) .

Podobné videá

Kruhová frekvencia

V prípade použitia stupňov za sekundu ako jednotky uhlovej frekvencie bude vzťah s obvyklou frekvenciou nasledujúci: ω \u003d 360 ° ν.

Číselne sa kruhová frekvencia rovná počtu kmitov (otáčok) za 2π sekundy. Zavedenie kruhovej frekvencie (v jej základnej dimenzii - radiánov za sekundu) nám umožňuje zjednodušiť mnohé vzorce v teoretickej fyzike a elektronike. Rezonančná kruhová frekvencia oscilačného LC obvodu je teda rovná ω L C = 1 / L C , (\displaystyle \omega _(LC)=1/(\sqrt (LC)),) zatiaľ čo cyklické rezonančná frekvencia ν L C = 1 / (2 π L C). (\displaystyle \nu _(LC)=1/(2\pi (\sqrt (LC))).) Zároveň sa množstvo ďalších vzorcov skomplikuje. Rozhodujúcim faktorom v prospech kruhovej frekvencie boli multiplikátory 2 π (\displaystyle 2\pi ) a 1/2 π (\displaystyle 1/2\pi ), ktoré sa objavujú v mnohých vzorcoch pri použití radiánov na meranie uhlov a fáz, zmiznú po zavedení kruhovej (uhlovej) frekvencie.

V mechanike pri uvažovaní o rotačnom pohybe je analógom kruhovej frekvencie uhlová rýchlosť.

Frekvencia diskrétnych udalostí

Frekvencia diskrétnych udalostí (napríklad frekvencia opakovania impulzov) je fyzikálna veličina rovnajúca sa počtu diskrétnych udalostí vyskytujúcich sa za jednotku času. Jednotkou frekvencie diskrétnych udalostí je sekunda až mínus jeden stupeň (ruské označenie: s -1; medzinárodné: s-1). Frekvencia 1 s −1 sa rovná frekvencii diskrétnych udalostí, pri ktorých dôjde k jednej udalosti za 1 s.

Frekvencia otáčania

Rýchlosť otáčania je fyzikálna veličina rovnajúca sa počtu úplných otáčok za jednotku času. Jednotkou rýchlosti otáčania je sekunda k mínus prvému výkonu ( s -1, s-1), otáčky za sekundu. Často používané jednotky sú otáčky za minútu, otáčky za hodinu atď.

Ďalšie veličiny súvisiace s frekvenciou

Jednotky

V sústave SI je jednotkou cyklickej frekvencie hertz (Hz, Hz). Jednotka bola pôvodne predstavená v roku 1930 Medzinárodnou elektrotechnickou komisiou a v roku 1960 bola prijatá na všeobecné použitie na 11. generálnej konferencii pre váhy a miery ako jednotka SI. Predtým bola jednotka cyklickej frekvencie cyklu za sekundu(1 cyklus za sekundu \u003d 1 Hz) a deriváty (kilocyklus za sekundu, megacyklus za sekundu, kilomegacyklus za sekundu, rovnajúci sa kilohertzom, megahertzom a gigahertzom).

Metrologické aspekty

Na meranie frekvencie sa používajú rôzne typy meračov frekvencie, vrátane: na meranie frekvencie opakovania impulzov - elektronické počítanie a kondenzátor, na určenie frekvencií spektrálnych komponentov - rezonančné a heterodynové frekvenčné merače, ako aj spektrálne analyzátory. Na reprodukciu frekvencie s danou presnosťou sa používajú rôzne opatrenia - frekvenčné štandardy (vysoká presnosť), frekvenčné syntetizátory, generátory signálov atď. Porovnajte frekvencie pomocou frekvenčného komparátora alebo pomocou osciloskopu pomocou Lissajousových čísel.

Normy

Na kalibráciu prístrojov na meranie frekvencie sa používajú národné frekvenčné etalóny. V Rusku národné frekvenčné štandardy zahŕňajú:

  • Štátny primárny štandard jednotiek času, frekvencie a národnej časovej stupnice GET 1-98 sa nachádza na VNIIFTRI.
  • Sekundárny štandard jednotky času a frekvencie OVP 1-10-82- nachádza sa v SNIIM (Novosibirsk).

Výpočtový

Výpočet frekvencie opakujúcej sa udalosti sa vykonáva s prihliadnutím na počet výskytov tejto udalosti počas daného časového obdobia. Výsledná suma sa vydelí trvaním zodpovedajúceho časového obdobia. Napríklad, ak sa v priebehu 15 sekúnd vyskytlo 71 homogénnych udalostí, frekvencia bude

ν = 71 15 s ≈ 4,7 Hz (\displaystyle \nu =(\frac (71)(15\,(\mbox(s))))\približne 4,7\,(\mbox(Hz))))

Ak je počet získaných vzoriek malý, potom je presnejšou technikou meranie časového intervalu pre daný počet výskytov príslušnej udalosti, a nie zisťovanie počtu udalostí v rámci daného časového intervalu. Použitie posledne menovanej metódy zavádza náhodnú chybu medzi nulou a prvým počtom, pričom sa spriemeruje polovica počtu; to môže viesť k výskytu priemernej chyby vo vypočítanej frekvencii Δν = 1/(2 Tm), alebo relatívna chyba Δ ν /ν = 1/(2v Tm ) , kde Tm je časový interval a ν je nameraná frekvencia. Chyba klesá so zvyšujúcou sa frekvenciou, takže tento problém je najdôležitejšia pre nízke frekvencie, kde je počet vzoriek N málo.

Metódy merania

Stroboskopická metóda

Použitie špeciálneho prístroja – stroboskopu – patrí medzi historicky rané metódy merania rýchlosti otáčania či vibrácií rôznych predmetov. Proces merania využíva stroboskopický svetelný zdroj (zvyčajne jasná lampa, ktorá periodicky vydáva krátke záblesky svetla), ktorého frekvencia sa nastavuje pomocou vopred nakalibrovanej rozvodovej reťaze. Svetelný zdroj je nasmerovaný na rotujúci objekt a potom sa rýchlosť zábleskov postupne mení. Keď sa frekvencia zábleskov vyrovná s frekvenciou otáčania alebo vibrácií objektu, objekt má čas dokončiť celý oscilačný cyklus a vrátiť sa do svojej pôvodnej polohy v intervale medzi dvoma zábleskami, takže pri osvetlení stroboskopickou lampou, tento objekt sa bude javiť ako nehybný. O túto metódu má to však nevýhodu: ak je frekvencia otáčania objektu ( X) sa nerovná frekvencii stroboskopu ( r), ale úmerne tomu s celočíselným koeficientom (2 X , 3X atď.), potom bude objekt pri osvetlení stále vyzerať ako nehybný.

Stroboskopická metóda sa používa aj na jemné doladenie otáčok (oscilácií). V tomto prípade je frekvencia zábleskov pevná a frekvencia periodického pohybu objektu sa mení, až kým sa nezačne javiť ako stacionárny.

beat metóda

Blízka stroboskopickej metóde je metóda tepovania. Vychádza zo skutočnosti, že pri zmiešaní kmitov dvoch frekvencií (referenčný ν a merateľné ν" 1 ) v nelineárnom obvode je rozdielová frekvencia Δν = |ν − ν" 1 |, nazývaná tepová frekvencia (pri lineárnom sčítaní vibrácií je táto frekvencia frekvenciou obálky celkových vibrácií). Metóda je použiteľná, keď je vhodnejšie merať nízkofrekvenčné vibrácie s frekvenciou Δ f. V rádiotechnike je táto metóda známa aj ako metóda merania heterodynovej frekvencie. Metóda beat sa používa najmä na jemné dolaďovanie hudobných nástrojov. V tomto prípade zvukové vibrácie pevnej frekvencie (napríklad z ladičky), počuté súčasne so zvukom ladeného nástroja, vytvárajú periodické zosilnenie a zoslabenie celkového zvuku. Pri jemnom doladení nástroja má frekvencia týchto úderov tendenciu k nule.

Aplikácia frekvenčného merača

Vysoké frekvencie sa zvyčajne merajú pomocou frekvenčného merača. Ide o elektronický prístroj, ktorý vyhodnocuje frekvenciu určitého opakujúceho sa signálu a zobrazuje výsledok na digitálnom displeji alebo analógovom indikátore. Diskrétne logické prvky digitálneho frekvenčného merača umožňujú vziať do úvahy počet periód oscilácií signálu v rámci daného časového obdobia, počítané z referenčných kremenných hodín. Periodické procesy, ktoré nie sú svojou povahou elektrické (ako napríklad rotácia osi, mechanické vibrácie alebo zvukové vlny), možno pomocou meracieho prevodníka previesť na periodický elektrický signál a v tejto forme priviesť na vstup merača frekvencie . V súčasnosti sú zariadenia tohto typu schopné pokryť rozsah do 100 Hz; tento ukazovateľ predstavuje praktický strop pre metódy priameho počítania. Vyššie frekvencie sa už merajú nepriamymi metódami.

Metódy nepriameho merania

Mimo rozsahu dostupného pre frekvenčné čítače sa frekvencie elektromagnetických signálov často odhadujú nepriamo pomocou lokálnych oscilátorov (to znamená frekvenčných meničov). Referenčný signál vopred určenej frekvencie je kombinovaný v nelineárnom zmiešavači (ako je napríklad dióda) so signálom, ktorého frekvencia sa má nastaviť; výsledkom je heterodynový signál alebo - alternatívne - údery generované frekvenčnými rozdielmi medzi dvoma pôvodnými signálmi. V prípade, že posledné sú dostatočne blízko seba vo svojich frekvenčné charakteristiky, potom je heterodynový signál dostatočne malý na to, aby sa dal merať rovnakým frekvenčným meračom. V dôsledku toho sa v dôsledku tohto procesu odhaduje iba rozdiel medzi neznámou frekvenciou a referenčnou frekvenciou, ktorý by sa mal určiť inými metódami. Na pokrytie ešte vyšších frekvencií je možné použiť niekoľko stupňov miešania. V súčasnosti prebieha výskum na rozšírenie tejto metódy smerom k frekvenciám infračerveného a viditeľného svetla (takzvaná optická heterodynová detekcia).

Príklady

Elektromagnetická radiácia

Celé spektrum elektromagnetického žiarenia s vyhradenou viditeľnou časťou

Viditeľné svetlo je elektromagnetické vlnenie, ktoré pozostáva z oscilujúcich elektrických a magnetických polí pohybujúcich sa priestorom. Frekvencia vlny určuje jej farbu: 4×10 14 Hz – červená, 8×10 14 Hz – fialová; medzi nimi v rozsahu (4...8)×10 14 Hz ležia všetky ostatné farby dúhy. Elektromagnetické vlny s frekvenciou menšou ako 4×10 14 Hz sú pre ľudské oko neviditeľné, takéto vlny sa nazývajú infračervené (IR) žiarenie. Ďalej v spektre leží mikrovlnné žiarenie a rádiové vlny. Svetlo s frekvenciou vyššou ako 8×10 14 Hz je tiež pre ľudské oko neviditeľné; takéto elektromagnetické vlny sa nazývajú ultrafialové (UV) žiarenie. So zvyšujúcou sa frekvenciou prechádza elektromagnetická vlna do oblasti spektra, kde sa nachádza röntgenové žiarenie, a pri ešte vyšších frekvenciách do oblasti gama žiarenia.

Všetky tieto vlny, od najnižších frekvencií rádiových vĺn až po vysoké frekvencie gama lúčov, sú v podstate rovnaké a všetky sa nazývajú elektromagnetické žiarenie. Všetky sa šíria vo vákuu rýchlosťou svetla.

Ďalšou charakteristikou elektromagnetických vĺn je vlnová dĺžka. Vlnová dĺžka je nepriamo úmerná frekvencii, takže elektromagnetická vlna s vyššou frekvenciou má kratšiu vlnovú dĺžku a naopak. Vo vákuu vlnová dĺžka

λ = c / ν , (\displaystyle \lambda =c/\nu ,)

kde s je rýchlosť svetla vo vákuu. V prostredí, v ktorom je fázová rýchlosť šírenia elektromagnetickej vlny c′ sa líši od rýchlosti svetla vo vákuu ( c′ = c/n, kde n- index lomu), vzťah medzi vlnovou dĺžkou a frekvenciou bude takýto:

λ = c n ν. (\displaystyle \lambda =(\frac (c)(n\nu )).)

Ďalšou často používanou charakteristikou vlny je vlnové číslo (priestorová frekvencia), ktoré sa rovná počtu vĺn, ktoré sa hodia na jednotku dĺžky: k= 1/A. Niekedy sa táto hodnota používa s koeficientom 2π, analogicky s cyklickou a kruhovou frekvenciou k s = 2π/λ. V prípade elektromagnetickej vlny v médiu

k = 1 / λ = n ν c. (\displaystyle k=1/\lambda =(\frac (n\nu )(c)).) k s = 2 π / λ = 2 π n ν c = n ω c. (\displaystyle k_(s)=2\pi /\lambda =(\frac (2\pi n\nu )(c))=(\frac (n\omega )(c)).)

Zvuk

Vlastnosti zvuku (mechanické elastické vibrácie média) závisia od frekvencie. Človek počuje vibrácie s frekvenciou 20 Hz až 20 kHz (s vekom sa horná hranica frekvencie počuteľného zvuku znižuje). Zvuk s frekvenciou nižšou ako 20 Hz (zodpovedá note mi

6. Zaváhania

6.1.Základné pojmy a zákony

Pohyb sa nazýva periodický ak

x(t) = x(t + T ), kde T

váhanie

periodické

dopravy

rovnovážne polohy. Na obr.6.1 c

kvality

zobrazené

periodikum

neharmonické

výkyvy

ustanovenia

rovnováha

x0 = 0.

Obdobie T je čas na

spáchaný

váhanie.

oscilácií za jednotku času

Kruhová (cyklická) frekvencia

ω= 2 πν =

Harmonický

sa nazývajú vibrácie, pri ktorých dochádza k posunu

z rovnovážnej polohy v závislosti od času

sa mení podľa sínusového alebo kosínusového zákona

x = A sin (ω0 t + α)

kde

amplitúda oscilácie (maximálna bodová odchýlka od

rovnovážna poloha), ω 0 - kruhová frekvencia harmonické vibrácie, ω 0 t + α - fáza, α - počiatočná fáza (v t = 0).

Systém, ktorý vykonáva harmonické kmity, sa nazýva

klasický harmonický oscilátor alebo vibračné

systém.

Rýchlosť

a zrýchlenie

harmonické vibrácie

zmeniť podľa zákona

X = A ω0 cos (ω0 t + α),

d2x

= −A ω0 sin (ω0 t + α) .

Zo vzťahov (6.6) a (6.4) získame

a = −ω 2 x ,

z čoho vyplýva, že pri harmonických kmitoch je zrýchlenie priamo úmerné posunutiu bodu z rovnovážnej polohy a smeruje opačne k posunutiu.

Z rovníc (6.6), (6.7) dostaneme

+ co0 x = 0 .

Volá sa rovnica (6.8). diferenciálna rovnica harmonických kmitov , a (6.4) je jeho riešením. Nahrádzanie

(6.7) do druhého Newtonovho zákona F = ma r získame silu, pri ktorej dochádza k harmonickým kmitom

Táto sila, ktorá je priamo úmerná posunutiu bodu z rovnovážnej polohy a smeruje opačne k posunutiu, sa nazýva vratná sila, k sa nazýva koeficient vratnej sily. Táto vlastnosť má silu elasticity. Sily inej fyzikálnej povahy podliehajúce zákonu (6.11),

sa nazývajú kvázi elastické.

Vibrácie, ktoré vznikajú pri pôsobení síl, ktoré majú

nehnuteľnosť

volal

vlastné

(zadarmo

harmonické vibrácie.

Zo vzťahov (6.3), (6.10) získame kruhovú frekvenciu a periódu

tieto výkyvy

T = 2π

Pre harmonické kmity majú podľa zákona (6.4) závislosti kinetickej a potenciálnej energie od času tvar

mA2 ω 0

cos 2 (ω t + α),

mA2 ω 0

sin 2 (ω t + α) .

Celková energia v procese harmonických kmitov je zachovaná

EK + U = konšt.

Dosadením výrazov (6.4) a (6.5) pre x a v do (6.15) dostaneme

E = E K max = U max

mA2 ω 2

Príklad klasiky

harmonický

oscilátor je ľahká pružina, ku ktorej

zavesené bremeno o hmotnosti m

(obr.6.2). Koeficient

vratná sila k sa nazýva koeficient

tuhosť pružiny.

Z druhého Newtonovho zákona

pre náklad

na pružine

– kx dostaneme

rovnica,

zhodujúce sa

diferenciál

rovnica

harmonický

oscilácie (6.8) V dôsledku toho zaťaženie pružiny

pri absencii síl odporu prostredia,

vykonávať harmonické kmity (6.4).

Harmonický

výkyvy

predstavujú ako priemet na súradnicové osi vektora, ktorého veľkosť sa rovná amplitúde A, rotujúceho okolo počiatku s uhlovou rýchlosťou ω 0 . Tento pohľad je založený na metóde

vektorové diagramy pridanie harmonických kmitov s

rovnakej frekvencie, vyskytujúcej sa pozdĺž tej istej osi

x 1 \u003d A 1 sin (ω t + ϕ 1),

x 2 \u003d A 2 sin (ω t + ϕ 2 ).

Amplitúda výsledného kmitania je určená

kosínusová veta

− 2 A A cos (ϕ −ϕ

Počiatočná fáza výsledného kmitania ϕ

možno

zistené zo vzorca

tgϕ =

A 1 sin ϕ 1 + A 2 sin ϕ 2

A cosϕ + A cosϕ

Pri pridávaní jednosmerných kmitov s blízko

frekvencie ω 1 a ω 2

dochádza k úderom, ktorých frekvencia sa rovná ω 1 − ω 2 .

Rovnica trajektórie bod účasť v dvoch vzájomne kolmé vibrácie

x = A 1 sin ((ω t + ϕ 1 ) ), (6.20) y = A 2 sin ω t + ϕ 2

má formu

− 2

cos (ϕ−ϕ

) = sin 2 (ϕ

−ϕ ) .

Ak sú počiatočné fázy ϕ 1 = ϕ 2, potom rovnica trajektórie je priamka

x alebo y = -

ϕ = ϕ1 − ϕ2 = π 2 ,

rozdiel

bod sa pohybuje po elipse

fyzické kyvadlo je pevné telo

schopný

zaviazať sa

výkyvy

pevná os prechádzajúca bodom

zhodujúce sa

(obr.6.3). Vibrácie sú harmonické

pri malých uhloch vychýlenia.

Moment gravitácie okolo osi,

absolvovanie

je

vracajúci sa

moment

vyjadrený

pomer

M = mgd sin

ϕ ≈ mgd ϕ.

Základná rovnica pre dynamiku rotačného pohybu má tvar (pozri vzorec (4.18))

M = Ie, (6,23)

kde I je moment zotrvačnosti kyvadla okolo osi prechádzajúcej bodom O, ε je uhlové zrýchlenie.

Z (6.23), (6.22) dostaneme diferenciálnu rovnicu harmonických kmitov fyzikálneho kyvadla.

d2ϕ

ϕ = 0 .

Jeho riešenia ϕ = ϕ 0 sin ω 0 t ,

mgd.

Z (6.3) získame vzorec pre periódu kmitania fyzického kyvadla

T = 2 π I .

M = − c ϕ .

Koeficient vratného momentu závisí od materiálu drôtu a rozmerov

kde G je modul pružnosti v šmyku charakterizujúci elastické vlastnosti materiálu, r je polomer drôtu, L je jeho dĺžka.

Základná rovnica rotačnej dynamiky

pohyb má formu

Jeho riešenie má tvar ϕ = ϕ 0 sin (ω 0 t + α ),

kde ϕ je uhlové posunutie z rovnovážnej polohy, ϕ 0 je amplitúda

výkyvy.

Porovnaním rovníc (6.8) a (6.32) získame hodnoty uhlovej frekvencie a periódy torzných vibrácií

T = 2π

Voľné vibrácie sú tlmené prítomnosťou odporových síl. Napríklad, keď hmotný bod kmitá vo viskóznom médiu, pri nízkych rýchlostiach naň pôsobí sila

odpor

r - koeficient

stredný F odpor = − rv

= -rx,

odolnosť voči životnému prostrediu. Takže z druhého Newtonovho zákona

mx = − kx − rx

získame diferenciálnu rovnicu tlmených kmitov

Mx + mx = 0.

Jeho riešenie pre prípad, keď

má formu

x = Ae−βt

sin(ω t + α ),

Definícia

Miera oscilačného pohybu je cyklická (alebo uhlová alebo kruhová) oscilačná frekvencia.

Ide o skalárnu fyzikálnu veličinu.

Cyklická frekvencia pri harmonických kmitoch

Nechajte hmotný bod robiť vibrácie. V tomto prípade hmotný bod prechádza rovnakou polohou v pravidelných intervaloch.

Najjednoduchšie vibrácie sú harmonické vibrácie. Zvážte nasledujúci kinematický model. Bod M s konštantnou rýchlosťou ($v$) sa pohybuje po kružnici s polomerom A. V tomto prípade bude jeho uhlová rýchlosť označená $(\omega )_0$, táto rýchlosť je konštantná (obr.1).

Priemet bodu $M$ na priemer kružnice (bod $N$) na osi X osciluje od $N_1$ do $N_2\ $a naopak. Takáto oscilácia N bude harmonická. Na popis fluktuácie bodu N je potrebné zapísať súradnicu bodu N ako funkciu času ($t$). Nech pre $t=0$ polomer OM zviera s osou X uhol $(\varphi )_0$. Po určitom čase sa tento uhol zmení o $(\omega )_0t$ a bude sa rovnať $(\omega )_0t+(\varphi )_0$, potom:

Výraz (1) je analytická forma zaznamenávania harmonickej vibrácie bodu N pozdĺž priemeru $N_1N_2$.

Prejdime k výrazu (1). Hodnota $A$ je maximálna odchýlka bodu, ktorý kmitá z rovnovážnej polohy (bod O - stred kružnice), nazýva sa amplitúda kmitov.

Parameter $(\omega )_0$ - frekvencia cyklického kmitania. $\varphi =((\omega )_0t+(\varphi )_0$) - fáza kmitania; $(\varphi )_0$ - počiatočná fáza kmitov.

Cyklickú frekvenciu harmonických kmitov možno definovať ako čiastočnú deriváciu fázy kmitania vzhľadom na čas:

\[(\omega )_0=\frac(?\varphi )(\čiastočné t)=\bodka(\varphi )\vľavo(2\vpravo).\]

Pri $(\varphi )_0=0$ sa oscilačná rovnica (1) transformuje na:

Ak sa počiatočná fáza oscilácií rovná $(\varphi )_0=\frac(\pi )(2)$ , potom dostaneme rovnicu oscilácie v tvare:

Výrazy (3) a (4) ukazujú, že pri harmonických osciláciách je úsečka $x$ sínusová alebo kosínusová funkcia času. O grafický obrázok harmonické kmity, získa sa kosínusová vlna alebo sínusoida. Tvar krivky je určený amplitúdou kmitov a hodnotou cyklickej frekvencie. Poloha krivky závisí od počiatočnej fázy.

Frekvencia cyklických oscilácií môže byť vyjadrená ako perióda (T) oscilácií:

\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\left(5\right).\]

Spojme cyklickú frekvenciu s frekvenciou $?$$?$ výrazom:

\[(\omega )_0=2\pi \nu \ \left(6\right).\]

Jednotkou cyklickej frekvencie v medzinárodnom systéme jednotiek (SI) je radián delený sekundou:

\[\left[(\omega )_0\right]=\frac(rad)(s).\]

Rozmer cyklickej frekvencie:

\[(\dim \left((\omega )_0\right)=\frac(1)(t),\ )\]

kde $t$ je čas.

Špeciálne prípady vzorcov na výpočet cyklickej frekvencie

Zaťaženie pružiny (ideálnym modelom je pružinové kyvadlo) vykonáva harmonické kmity s kruhovou frekvenciou rovnajúcou sa:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))\left(7\right),\]

$k$ - koeficient pružnosti pružiny; $m$ je hmotnosť zaťaženia pružiny.

Malé kmity fyzického kyvadla budú približne harmonické kmity s cyklickou frekvenciou rovnou:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(mga)(J))\left(8\right),\]

kde $J$ je moment zotrvačnosti kyvadla okolo osi rotácie; $a$ - vzdialenosť medzi ťažiskom kyvadla a závesným bodom; $m$ je hmotnosť kyvadla.

Príkladom fyzického kyvadla je matematické kyvadlo. Kruhová frekvencia jeho kmitov sa rovná:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\left(9\right),\]

kde $l$ je dĺžka pozastavenia.

Uhlová frekvencia tlmených kmitov je nasledovná:

\[\omega =\sqrt((\omega )^2_0-(\delta )^2)\left(10\right),\]

kde $\delta $ je tlmiaci faktor; v prípade tlmenia kmitov sa $(\omega )_0$ nazýva vlastná uhlová frekvencia kmitov.

Príklady problémov s riešením

Príklad 1

Cvičenie: Aká je cyklická frekvencia harmonických kmitov ak maximálna rýchlosť materiálový bod sa rovná $(\dot(x))_(max)=10\ \frac(cm)(s)$ a jeho maximálne zrýchlenie je $(\ddot(x))_(max)=100\ \frac( cm)(s^2)$?

Riešenie: Základom riešenia problému bude rovnica harmonických kmitov bodu, pretože z podmienok je zrejmé, že sa vyskytujú pozdĺž osi X:

Rýchlosť kmitania zistíme pomocou rovnice (1.1) a kinematického vzťahu medzi súradnicou $x$ a príslušnou zložkou rýchlosti:

Maximálna hodnota rýchlosti (amplitúda rýchlosti) sa rovná:

Zrýchlenie bodu vypočítame takto:

Zo vzorca (1.3) vyjadríme amplitúdu, dosadíme ju do (1.5), dostaneme cyklickú frekvenciu:

\[(\bodka(x))_(max)=A(\omega )_0\to A=\frac((\bodka(x))_(max))((\omega )_0);;\ ( \ddot(x))_(max)=A(w_0)^2=\frac((\bodka(x))_(max))(w_0)(w_0)^2\to w_0=\frac((\ ddot(x))_(max))((\bodka(x))_(max)).\]

Vypočítajme cyklickú frekvenciu:

\[w_0=\frac(100)(10)=10(\frac(rad)(s)).\]

odpoveď:$w_0=10\frac((\rm rad))((\rm c))$

Príklad 2

Cvičenie: Dve závažia rovnakej hmotnosti sú upevnené na dlhej beztiažovej tyči. Jedna záťaž je umiestnená v strede tyče, druhá je na jej konci (obr. 2). Systém osciluje okolo horizontálnej osi prechádzajúcej cez voľný koniec tyče. Aká je cyklická frekvencia kmitov? Dĺžka tyče je $l$.

Riešenie: Základom riešenia problému je vzorec na nájdenie frekvencie kmitov fyzického kyvadla:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(mga)(J))\left(2.1\right),\]

kde $J$ je moment zotrvačnosti kyvadla okolo osi rotácie; $a$ - vzdialenosť medzi ťažiskom kyvadla a závesným bodom; $m$ je hmotnosť kyvadla. Hmotnosť kyvadla podľa stavu úlohy pozostáva z hmotností dvoch rovnakých guľôčok (hmotnosť jednej gule je $\frac(m)(2)$). V našom prípade sa vzdialenosť $a$ rovná vzdialenosti medzi bodmi O a C (pozri obr. 2):

Nájdite moment zotrvačnosti sústavy dvoch bodových hmôt. Vo vzťahu k ťažisku (ak je os rotácie vedená cez bod C) sa moment zotrvačnosti systému ($J_0$) rovná:

Moment zotrvačnosti našej sústavy okolo osi prechádzajúcej bodom O možno nájsť pomocou Steinerovej vety:

Nahraďte pravú stranu výrazu (2.2) a (2.4) do (2.1) namiesto zodpovedajúcich veličín:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(mg\frac(3)(4)l\ )(\frac(5)(8)ml^2))=\sqrt(\frac(6g)( 5l)).\]

odpoveď:$(\omega )_0=\sqrt(\frac(6g)(5l))$

Celková energia harmonického kmitania je teda konštantná a úmerná druhej mocnine amplitúdy posunu . Toto je jedna z charakteristických vlastností harmonických kmitov. Konštantný koeficient k v prípade kyvadla pružiny znamená tuhosť pružiny a pre matematické kyvadlo k=mgH. V oboch prípadoch je koeficient k prenášaný parametrami oscilačného systému.

Celková energia mechanického oscilačného systému pozostáva z kinetickej a potenciálnej energie a rovná sa maximálnej hodnote ktorejkoľvek z týchto dvoch zložiek:

Preto je celková energia kmitov priamo úmerná druhej mocnine amplitúdy posunu alebo druhej mocnine amplitúdy rýchlosti.

Zo vzorca:

je možné určiť amplitúdu kmitov posunu x m:


Amplitúda posunu počas voľných oscilácií je priamo úmerná druhej odmocnine energie odovzdanej oscilačnému systému v počiatočnom momente, keď bol systém vyvedený z rovnováhy.

Kinematika mechanických voľných kmitov

1 Výtlak, rýchlosť, zrýchlenie. Na zistenie kinematických charakteristík (posunu, rýchlosti a zrýchlenia) voľných kmitov používame zákon zachovania a transformácie energie, ktorý je pre ideálny mechanický kmitavý systém napísaný nasledovne:





Keďže časová derivácia φ "je konštantná, uhol φ závisí lineárne od času:

S ohľadom na to môžeme napísať:

x = x m sin ω 0 t, υ = x m ω 0 cos ω 0 t

Tu je hodnota

je amplitúda zmeny rýchlosti:

υ = υ m cos ω 0 t

Závislosť okamžitej hodnoty zrýchlenia a od času t zistíme ako deriváciu rýchlosti υ vzhľadom na čas:

a = υ " = - ω 0 υ m sin ω 0 t,

a = -a m sin ω 0 t

znamienko „-“ vo výslednom vzorci znamená, že znamienko priemetu vektora zrýchlenia na os, pozdĺž ktorej dochádza k osciláciám, je opačné ako znamienko posunutia x.

Vidíme teda, že pri harmonických osciláciách sa sínusovo mení nielen posun, ale aj rýchlosť a zrýchlenie. .

2 Frekvencia cyklických oscilácií. Hodnota ω 0 sa nazýva frekvencia cyklického kmitania. Keďže funkcia sin α má v argumente α periódu 2π a harmonické kmity majú periódu T v čase, potom