Zostavte funkciu

Dávame do pozornosti službu na vykresľovanie funkčných grafov online, ku ktorej patria všetky práva spoločnosti Desmos. Na zadávanie funkcií použite ľavý stĺpec. Môžete ho zadať ručne alebo pomocou virtuálna klávesnica v spodnej časti okna. Ak chcete zväčšiť okno grafu, môžete skryť ľavý stĺpec aj virtuálnu klávesnicu.

Výhody online grafov

• Vizuálne zobrazenie predstavených funkcií
• Vytváranie veľmi zložitých grafov
• Vykresľovanie implicitne definovaných grafov (napr. elipsa x^2/9+y^2/16=1)
• Možnosť ukladať grafy a získať na ne odkaz, ktorý bude dostupný pre každého na internete
• Ovládanie mierky, farba čiary
• Schopnosť vykresľovať grafy podľa bodov, použitie konštánt
• Konštrukcia viacerých grafov funkcií súčasne
• Vykresľovanie v polárnych súradniciach (použite r a θ(\theta))

S nami je jednoduché vytvárať online grafy rôznej zložitosti. Stavba je hotová okamžite. Služba je žiadaná pre vyhľadávanie priesečníkov funkcií, pre zobrazenie grafov pre ich ďalší pohyb wordový dokument ako ilustrácie pri riešení problémov na analýzu behaviorálnych vlastností funkčných grafov. Optimálny prehliadač na prácu s grafmi na tejto stránke webu je Google Chrome. Pri použití iných prehliadačov nie je zaručené správne fungovanie.

Zoznámime sa s pojmom superpozícia (alebo impozícia) funkcií, ktorá spočíva v tom, že namiesto argumentu danej funkcie sa dosadí nejaká funkcia iného argumentu. Napríklad superpozícia funkcií dáva funkciu, podobne sa získajú funkcie

Vo všeobecnosti predpokladajme, že funkcia je definovaná v nejakej doméne a funkcia je definovaná v doméne a všetky jej hodnoty sú obsiahnuté v doméne. Potom premenná z, ako sa hovorí, cez y, je sama funkciou

Vzhľadom na danú hodnotu najprv nájdite hodnotu y z Y, ktorá jej zodpovedá (podľa pravidla charakterizovaného znamienkom), a potom nastavte zodpovedajúcu hodnotu y (podľa pravidla,

charakterizované znamienkom a jeho hodnota sa považuje za zodpovedajúcu zvolenému x. Výsledná funkcia z funkcie alebo komplexnej funkcie je výsledkom superpozície funkcií

Predpoklad, že hodnoty funkcie nepresahujú oblasť Y, v ktorej je funkcia definovaná, je veľmi významný: ak sa vynechá, môže to viesť k absurdite. Napríklad za predpokladu, že môžeme zvážiť iba tie hodnoty x, pre ktoré by inak výraz nedával zmysel.

Tu považujeme za užitočné zdôrazniť, že charakterizácia funkcie ako komplexnej nesúvisí s povahou funkčnej závislosti z na x, ale len so spôsobom, akým je táto závislosť špecifikovaná. Napríklad, nech pre y v pre Potom

Tu sa ukázalo, že funkcia je daná ako komplexná funkcia.

Teraz, keď bol koncept superpozície funkcií úplne objasnený, môžeme presne charakterizovať najjednoduchšie triedy funkcií, ktoré sa študujú v analýze: sú to predovšetkým vyššie uvedené elementárne funkcie a potom všetky tie, ktoré sú získané z pomocou štyroch aritmetických operácií a superpozícií postupne aplikovaných konečný počet krát. Hovoria o nich, že sú vyjadrené prostredníctvom elementárnych v konečnej podobe; niekedy sa všetky nazývajú aj elementárne.

Následne po zvládnutí zložitejšieho analytického aparátu (nekonečné rady, integrály) sa zoznámime aj s ďalšími funkciami, ktoré tiež zohrávajú dôležitú úlohu v analýze, ale už presahujú triedu elementárnych funkcií.

Nech sú 2 funkcie:

: A→B a g: D→F

Nech je definičný obor D funkcie g zahrnutý v definičnom obore funkcie f (DB). Potom sa dá definovať Nová funkcia – superpozícia (kompozícia, komplexná funkcia) funkcie f a g: z= g( (X)).

Príklady. f(x)=x2, g(x)=ex. f:R->R, g:R-*R .

(g(x))=e 2x, g((x))=.

Definícia

Nechajte dve funkcie. Potom ich zloženie je funkcia definovaná rovnosťou:

Vlastnosti zloženia

Zloženie je asociatívne:

Ak F= id X- mapovanie identity na X, teda

.

Ak G= id Y- mapovanie identity na Y, teda

.

Ďalšie vlastnosti

Počítateľné a nepočítateľné množiny.

Dve konečné množiny pozostávajú z rovnakého počtu prvkov, ak je možné medzi týmito množinami stanoviť korešpondenciu jedna ku jednej. Počet prvkov konečnej množiny je mohutnosťou množiny.

Pre nekonečnú množinu je možné vytvoriť vzájomnú korešpondenciu medzi celou množinou a jej časťou.

Najjednoduchšia z nekonečných množín je množina N.

Definícia. Množiny A a B sa nazývajú ekvivalent(АВ), ak medzi nimi možno nadviazať vzájomnú korešpondenciu.

Ak sú dve konečné množiny ekvivalentné, potom pozostávajú z rovnakého počtu prvkov.

Ak sú ekvivalentné množiny A a B ľubovoľné, potom hovoria, že A a B majú to isté moc. (moc = ekvivalencia).

Pre konečné množiny sa pojem mohutnosti zhoduje s pojmom počtu prvkov množiny.

Definícia. Súprava je tzv spočítateľné ak je možné stanoviť korešpondenciu jedna ku jednej medzi ňou a množinou prirodzených čísel. (To znamená, že spočítateľná množina je nekonečná, ekvivalentná množine N).

(Tj všetky prvky počítateľnej množiny môžu byť vymenované).

Vlastnosti vzťahu ekvivalencie.

1) AA - reflexivita.

2) AB, potom BA - symetria.

3) AB a BC, potom AC je tranzitivita.

Príklady.

1) n→2n, 2,4,6,… - párne prirodzené čísla

2) n→2n-1, 1,3,5,… sú nepárne prirodzené čísla.

Vlastnosti spočítateľných množín.

1. Nekonečné podmnožiny spočítateľnej množiny sú spočítateľné.

Dôkaz. Pretože A je spočítateľné, potom A: x 1, x 2, ... - zobrazené A v N.

ВА, В: →1,→2,… - priradené každému prvku В prirodzené číslo, t.j. mapované B na N. Preto je B spočítateľné. Ch.t.d.

2. Spojenie konečného (spočítateľného) systému spočítateľných množín je spočítateľné.

Príklady.

1. Množina celých čísel Z je spočítateľná, pretože množinu Z možno znázorniť ako spojenie spočítateľných množín A a B, kde A: 0,1,2, .. a B: -1, -2, -3, ...

2. Veľa usporiadaný páry ((m,n): m,nZ) (t.j. (1,3)≠(3,1)).

3 (!) . Množina racionálnych čísel je spočítateľná.

Q=. Medzi množinou ireducibilných zlomkov Q a množinou usporiadaných párov je možné vytvoriť korešpondenciu jedna ku jednej:

To. množina Q je ekvivalentná množine ((p,q))((m,n)).

Množina ((m,n)) - množina všetkých usporiadaných párov - je spočítateľná. V dôsledku toho je množina ((p,q)) tiež spočítateľná, a teda Q je spočítateľná.

Definícia. Iracionálne číslo je ľubovoľné nekonečné desatinné číslo neperiodické zlomok, t.j.  0 , 1  2 …

Množina všetkých desatinných zlomkov tvorí množinu reálne (reálne) čísla.

Množina iracionálnych čísel je nespočítateľná.

Veta 1. Množina reálnych čísel z intervalu (0,1) je nespočítateľná množina.

Dôkaz. Predpokladajme opak, t.j. že všetky čísla v intervale (0,1) sa dajú spočítať. Potom, keď tieto čísla zapíšeme ako nekonečné desatinné zlomky, dostaneme postupnosť:

x 1 \u003d 0, a 11 a 12 ... a 1n ...

x 2 \u003d 0,a 21 a 22 ... a 2n ...

…………………..

x n = 0, a n 1 a n 2 …a nn …

……………………

Uvažujme teraz reálne číslo x=0,b 1 b 2 ... b n ..., kde b 1 je akékoľvek číslo iné ako a 11, (0 a 9), b 2 - akékoľvek číslo iné ako a 22, (0 a 9) ,…, b n - akákoľvek číslica iná ako a nn , (0 a 9).

To. x(0,1), ale xx i (i=1,…,n), pretože inak b i =a ii. Došli k rozporu. Ch.t.d.

Veta 2. Akýkoľvek interval reálnej osi je nespočetná množina.

Veta 3. Množina reálnych (reálnych) čísel je nespočítateľná.

Hovorí sa, že každá množina, ktorá je ekvivalentná množine reálnych čísel kontinuitné sily(lat. kontinuum - súvislý, súvislý).

Príklad. Ukážme, že interval má mohutnosť kontinua.

Funkcia y \u003d tg x: → R zobrazí interval na celej číselnej osi (grafe).

Téma: „Funkcia: pojem, metódy priraďovania, hlavné charakteristiky. Inverzná funkcia. Superpozícia funkcií."

Epigraf lekcie:

„Niečo si naštuduj a nepremýšľaj

naučené - absolútne zbytočné.

Myslieť na niečo bez učenia

predbežný predmet myslenia

Konfucius.

Účel a psychologické a pedagogické úlohy hodiny:

1) Všeobecný vzdelávací (normatívny) cieľ: zopakujte si so žiakmi definíciu a vlastnosti funkcie. Zaviesť pojem superpozícia funkcií.

2) Úlohy matematického rozvoja žiakov: na neštandardnom vzdelávacom a matematickom materiáli pokračovať v rozvoji mentálnej skúsenosti žiakov, zmysluplnej kognitívnej štruktúry ich matematickej inteligencie, vrátane schopnosti logicko-deduktívneho a induktívneho, analytického a syntetického reverzibilného myslenia, k algebraickému a obrazovému grafické myslenie, k zmysluplnému zovšeobecňovaniu a konkretizácii, k reflexii a samostatnosti ako metakognitívnej schopnosti žiakov; pokračovať v rozvoji kultúry písanej a ústnej reči ako psychologických mechanizmov vzdelávacej a matematickej inteligencie.

3) Výchovné úlohy: pokračovať v osobnom vzdelávaní žiakov kognitívneho záujmu o matematiku, zodpovednosť, zmysel pre povinnosť, akademickú samostatnosť, komunikatívnu schopnosť spolupracovať so skupinou, učiteľom, spolužiakmi; autologická spôsobilosť pre súťažnú vzdelávaciu a matematickú činnosť, usilujúcu sa o jej vysoké a najvyššie výsledky (akmeický motív).

Typ lekcie: učenie sa nového materiálu; podľa kritéria vedúceho matematického obsahu - praktická lekcia; podľa kritéria typu informačnej interakcie medzi žiakmi a učiteľom - hodina spolupráce.

Vybavenie lekcie:

1. Náučná literatúra:

1) Kudryavtsev matematickej analýzy: Proc. pre študentov vysokých škôl a univerzít. V 3 zväzkoch T. 3. - 2. vydanie, prepracované. a dodatočné - M .: Vyššie. škola, 1989. - 352 s. : chorý.

2) Demidovičove úlohy a cvičenia v matematickej analýze. – 9. vyd. - M .: Vydavateľstvo "Nauka", 1977.

2. Ilustrácie.

Počas vyučovania.

1. Oznámenie témy a hlavného výchovno-vzdelávacieho cieľa vyučovacej hodiny; stimulácia zmyslu pre povinnosť, zodpovednosť, kognitívny záujem študentov o prípravu na stretnutie.

2. Opakovanie učiva o otázkach.

a) Definujte funkciu.

Jedným zo základných matematických pojmov je pojem funkcie. Pojem funkcie je spojený s vytvorením vzťahu medzi prvkami dvoch množín.

Nech sú dané dve neprázdne sady a. Zavolá sa zhoda f, ktorá zodpovedá každému prvku len s jedným prvkom funkciu a napísané y = f(x). Tiež hovoria, že funkcia f zobrazuje nastaviť nastaviť.

https://pandia.ru/text/79/018/images/image003_18.gif" width="63" height="27">.gif" width="59" height="26"> sa nazýva súbor hodnôt funkciu f a označujeme E(f).

b) Číselné funkcie. Funkčný graf. Spôsoby nastavenia funkcií.

Nech je daná funkcia.

Ak prvky množín a sú reálne čísla, potom sa volá funkcia f číselná funkcia . Volá sa premenná x argument alebo nezávislá premenná a y je funkciu alebo závislá premenná(od x). Pokiaľ ide o samotné množstvá x a y, hovorí sa, že sú v funkčná závislosť.

Graf funkcií y = f(x) je množina všetkých bodov roviny Oxy, pre každý z nich x je hodnota argumentu a y je zodpovedajúca hodnota funkcie.

Ak chcete definovať funkciu y = f(x), musíte zadať pravidlo, ktoré umožňuje, ak poznáte x, nájsť zodpovedajúcu hodnotu y.

Existujú tri najbežnejšie spôsoby definovania funkcie: analytická, tabuľková, grafická.

Analytická metóda: Funkcia je špecifikovaná ako jeden alebo viacero vzorcov alebo rovníc.

Napríklad:

Ak nie je zadaná doména funkcie y = f(x), predpokladá sa, že sa zhoduje s množinou všetkých hodnôt argumentu, pre ktoré má zodpovedajúci vzorec zmysel.

Najdokonalejšia je analytická metóda definovania funkcie, pretože ju sprevádzajú metódy matematickej analýzy, ktoré umožňujú plne preskúmať funkciu y = f(x).

Grafický spôsob: Nastaví graf funkcie.

Výhodou grafickej úlohy je jej viditeľnosť, nevýhodou jej nepresnosť.

Tabuľkovým spôsobom: Funkcia je špecifikovaná tabuľkou série hodnôt argumentov a zodpovedajúcich funkčných hodnôt. Napríklad známe tabuľky hodnôt goniometrické funkcie, logaritmické tabuľky.

c) Hlavné charakteristiky funkcie.

1. Zavolá sa funkcia y = f(x) definovaná na množine D dokonca , ak sú splnené podmienky a f(-x) = f(x); zvláštny , ak sú splnené podmienky a f(-x) = -f(x).

Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi Oy a nepárna funkcia je symetrická podľa počiatku. Napríklad sú párne funkcie; a y = sinx, https://pandia.ru/text/79/018/images/image014_3.gif" width="73" height="29"> sú všeobecné funkcie, t. j. ani párne, ani nepárne .

2. Nech je funkcia y = f(x) definovaná na množine D a nech . Ak pre akékoľvek hodnoty argumentov nerovnosť znamená nerovnosť: , potom sa zavolá funkcia zvyšujúci sa na scéne; ak , potom sa zavolá funkcia neklesajúci na https://pandia.ru/text/79/018/images/image021_1.gif" width="117" height="28 src="> sa funkcia zavolá. ubúdanie na ; - nerastúce .

Funkcie zvýšenia, nezväčšovania, znižovania a neznižovania na množine https://pandia.ru/text/79/018/images/image023_0.gif" width="13" height="13">hodnota D (x +T)D a platí rovnosť f(x+T) = f(x).

Na vykreslenie periodickej funkcie periódy T stačí nakresliť ju na ľubovoľný segment dĺžky T a periodicky ju rozširovať na celú oblasť definície.

Všimli sme si hlavné vlastnosti periodickej funkcie.

1) Algebraický súčet periodických funkcií s rovnakou periódou T je periodická funkcia s periódou T.

2) Ak má funkcia f(x) periódu T, tak funkcia f(ax) má periódu T/a.

d) Inverzná funkcia.

Nech je daná funkcia y = f(x) s definičným oborom D a množinou hodnôt E..gif" width="48" height="22">, potom funkcia x = z(y) s doménou definície E a množinou hodnôt D Takáto funkcia sa volá z(y). obrátene na funkciu f(x) a zapisuje sa v tomto tvare: . O funkciách y = f(x) a x = z(y) hovoríme, že sú vzájomne inverzné. Na nájdenie funkcie x = z(y) inverznej k funkcii y = f(x) stačí vyriešiť rovnicu f(x) = y vzhľadom na x.

Príklady:

1. Pre funkciu y = 2x je inverznou funkciou funkcia x = ½ y;

2. Pre funkciu inverzná funkcia je funkcia .

Z definície inverznej funkcie vyplýva, že funkcia y = f(x) má inverznú funkciu práve vtedy, ak f(x) definuje korešpondenciu jedna ku jednej medzi množinami D a E. Z toho vyplýva, že prísne monotónna funkcia má inverznú funkciu . Navyše, ak funkcia rastie (klesá), potom sa zvyšuje (klesá) aj inverzná funkcia.

3. Učenie sa nového materiálu.

Zložitá funkcia.

Nech je funkcia y = f(u) definovaná na množine D a funkcia u = z(x) na množine , a pre zodpovedajúcu hodnotu . Potom má množina funkciu u = f(z(x)), ktorá sa nazýva komplexná funkcia od x (alebo superpozícia dané funkcie, príp funkcia z funkcie ).

Volá sa premenná u = z(x). stredný argument komplexná funkcia.

Napríklad funkcia y = sin2x je superpozíciou dvoch funkcií y = sinu a u = 2x. Komplexná funkcia môže mať viacero medziľahlých argumentov.

4. Riešenie niekoľkých príkladov pri tabuli.

5. Záver vyučovacej hodiny.

1) teoretické a aplikované výsledky praktické stretnutie; diferencované hodnotenie úrovne duševných skúseností žiakov; úroveň ich osvojenia si témy, kompetencie, kvalita ústneho a písomného matematického prejavu; úroveň prejavenej tvorivosti; úroveň nezávislosti a reflexie; úroveň iniciatívy, kognitívneho záujmu o určité metódy matematického myslenia; úrovne spolupráce, intelektuálnej konkurencieschopnosti, snahy o vysoký výkon vzdelávacie a matematické aktivity a pod.;

2) oznámenie odôvodnených známok, bodov lekcie.

Superpozícia funkcií

Superpozícia funkcií f1, …, fm je funkcia f získaná vzájomným dosadením týchto funkcií a premenovaním premenných.

Nech sú dve zobrazenia a navyše neprázdna množina. Potom superpozícia alebo zloženie funkcií je funkcia definovaná rovnosťou pre ľubovoľnú.

Oblasť definície superpozície je množina.

Funkcia sa nazýva vonkajšia a vnútorná funkcia superpozície.

Funkcie prezentované ako zloženie „jednoduchších“ sa nazývajú komplexné funkcie.

Príklady použitia superpozície sú: riešenie sústavy rovníc substitučnou metódou; nájdenie derivácie funkcie; nájdenie hodnoty algebraického výrazu dosadením hodnôt daných premenných do neho.

Rekurzívne funkcie

Rekurzia je taký spôsob definovania funkcie, v ktorom sú hodnoty funkcie definované pre ľubovoľné hodnoty argumentov vyjadrené známym spôsobom prostredníctvom hodnôt funkcie definovanej pre menšie hodnoty. z argumentov.

Primitívna rekurzívna funkcia

Definícia konceptu primitívnej rekurzívnej funkcie je induktívna. Pozostáva zo špecifikácie triedy základných primitívnych rekurzívnych funkcií a dvoch operátorov (superpozícia a primitívna rekurzia), ktoré umožňujú vytvárať nové primitívne rekurzívne funkcie založené na existujúcich.

Medzi základné primitívne rekurzívne funkcie patria nasledujúce tri typy funkcií:

nula funkcia -- funkciažiadne argumenty, vždy sa vracia 0 .

Funkcia postupnosti s jednou premennou, ktorá priraďuje ľubovoľné prirodzené číslo bezprostredne nasledujúcemu prirodzenému číslu.

Funkcie, kde z n premenných, ktoré priraďujú ľubovoľnej usporiadanej množine prirodzených čísel číslo z tejto množiny.

Operátory substitúcie a primitívnej rekurzie sú definované takto:

Operátor superpozície (niekedy substitučný operátor). Nech je funkciou m premenných a nech je usporiadaná množina funkcií nepremenných. Potom výsledkom superpozície funkcií do funkcie je funkcia premenných, ktorá priradí číslo ľubovoľnej usporiadanej množine prirodzených čísel.

Operátor primitívnej rekurzie. Nech je funkciou n premenných a nech je funkciou premenných. Potom výsledkom aplikácie operátora primitívnej rekurzie na dvojicu funkcií je funkcia typovej premennej;

V tejto definícii možno premennú chápať ako počítadlo iterácií, -- as pôvodná funkcia na začiatku iteračného procesu, vydávanie určitej postupnosti funkcií premenných, počnúc a -- ako operátor, ktorý akceptuje ako vstupné premenné číslo iteračného kroku, funkciu v tomto iteračnom kroku a vráti funkciu na ďalší krok iterácie.

Množina primitívnych rekurzívnych funkcií je minimálna množina obsahujúca všetky základné funkcie a uzavreté pod špecifikovanými operátormi substitúcie a primitívnej rekurzie.

Z hľadiska imperatívneho programovania -- primitívne rekurzívne funkcie zodpovedajú programovým blokom, ktoré používajú iba aritmetické operácie, ako aj podmienený operátor a operátor aritmetického cyklu (operátor slučky, v ktorom je na začiatku cyklu známy počet iterácií). Ak programátor začne používať operátor cyklu while, pri ktorom nie je vopred známy počet iterácií a v princípe môže byť nekonečný, tak prechádza do triedy čiastočne rekurzívnych funkcií.

Uveďme niekoľko známych aritmetických funkcií, ktoré sú primitívne rekurzívne.

Funkciu sčítania dvoch prirodzených čísel () možno považovať za primitívnu rekurzívnu funkciu dvoch premenných, ktorá sa získa aplikáciou primitívneho operátora rekurzie na funkcie a druhá z nich sa získa dosadením hlavnej funkcie do hlavnej funkcie:

Násobenie dvoch prirodzených čísel možno považovať za primitívnu rekurzívnu funkciu dvoch premenných, ktorá sa získa ako výsledok aplikovania operátora primitívnej rekurzie na funkcie a druhá z nich sa získa dosadením hlavných funkcií do funkcie sčítania:

Symetrický rozdiel (absolútna hodnota rozdielu) dvoch prirodzených čísel () možno považovať za primitívnu rekurzívnu funkciu dvoch premenných, získanú použitím nasledujúcich substitúcií a primitívnych rekurzií: