Teoretické minimum

Pojem limity vo vzťahu k číselným radom už bol predstavený v téme "".
Odporúča sa, aby ste si najskôr prečítali materiál, ktorý obsahuje.

Keď prejdeme k téme tejto témy, pripomeňme si pojem funkcie. Funkcia je ďalším príkladom mapovania. Zvážime najjednoduchší prípad
reálna funkcia jedného skutočný argument(aká je zložitosť iných prípadov bude diskutovaná neskôr). Funkcia v rámci tejto témy sa chápe ako
zákon, podľa ktorého je každému prvku množiny, na ktorom je funkcia definovaná, priradený jeden alebo viac prvkov
množina, nazývaná množina funkčných hodnôt. Ak je každému prvku domény definície funkcie priradený jeden prvok
množina hodnôt, potom sa funkcia nazýva jednohodnotová, inak sa funkcia nazýva viachodnotová. Pre jednoduchosť budeme hovoriť len o
jednoznačné funkcie.

Hneď by som chcel zdôrazniť zásadný rozdiel medzi funkciou a postupnosťou: množiny spojené zobrazením sú v týchto dvoch prípadoch výrazne odlišné.
Aby sme sa vyhli potrebe používať terminológiu všeobecnej topológie, objasníme rozdiel pomocou nepresného uvažovania. Pri diskusii o limite
sekvencií, hovorili sme len o jednej možnosti: neobmedzený rast čísla sekvenčného prvku. S týmto nárastom počtu aj samotné prvky
sekvencie sa správali oveľa rôznorodejšie. Mohli sa „nahromadiť“ v malom susedstve určitého počtu; mohli neobmedzene rásť atď.
Zhruba povedané, zadanie sekvencie je špecifikáciou funkcie na diskrétnej „doméne definície“. Ak hovoríme o funkcii, ktorej definícia je uvedená
na začiatku témy by mal byť koncept limity konštruovaný opatrnejšie. Má zmysel hovoriť o limite funkcie keď jeho argument smeruje k určitej hodnote .
Táto formulácia otázky vo vzťahu k sekvenciám nedávala zmysel. Je potrebné urobiť nejaké objasnenia. Všetky súvisia s
ako presne sa argument usiluje o predmetný význam.

Pozrime sa na niekoľko príkladov – zatiaľ stručne:


Tieto funkcie nám umožnia zvážiť rôzne prípady. Pre lepšiu prehľadnosť uvádzame grafy týchto funkcií.

Funkcia v ktoromkoľvek bode svojej oblasti definície má limit – to je intuitívne jasné. Nech už vezmeme akýkoľvek bod domény definície,
môžete okamžite povedať, ku ktorej hodnote funkcia smeruje, keď argument smeruje k vybranej hodnote, a limit bude konečný, ak iba argument
neinklinuje k nekonečnu. Graf funkcie má zlom. To ovplyvňuje vlastnosti funkcie v bode zlomu, ale z pohľadu limity
tento bod nie je zvýraznený. Funkcia je už zaujímavejšia: v tomto bode nie je jasné, akú hodnotu limitu priradiť funkcii.
Ak sa k bodu priblížime sprava, tak funkcia smeruje k jednej hodnote, ak zľava, funkcia smeruje k inej hodnote. V predošlom
na to neboli žiadne príklady. Keď má funkcia tendenciu k nule, či už zľava alebo sprava, správa sa rovnako, má tendenciu k nekonečnu -
na rozdiel od funkcie, ktorá má tendenciu k nekonečnu, pretože argument má tendenciu k nule, ale znamienko nekonečna závisí od toho, s čím
strane sa blížime k nule. Nakoniec sa funkcia pri nule správa úplne nepochopiteľne.

Formalizujme koncept limity pomocou jazyka „epsilon-delta“. Hlavným rozdielom od definície sekvenčného limitu bude potreba
opísať tendenciu argumentu funkcie k určitej hodnote. To si vyžaduje koncepciu medzného bodu množiny, ktorá je v tomto kontexte pomocná.
Bod sa nazýva limitný bod množiny, ak je v akomkoľvek okolí obsahuje nespočetné množstvo bodov
patriace a odlišné od . O niečo neskôr bude jasné, prečo je takáto definícia potrebná.

Číslo sa teda nazýva limita funkcie v bode, ktorý je limitným bodom množiny, na ktorej je definované
funkcia ak

Pozrime sa na túto definíciu jednu po druhej. Vyzdvihnime tu časti spojené s túžbou argumentu po význame a s túžbou funkcie
ohodnotiť . Mali by ste pochopiť všeobecný význam písomného vyhlásenia, ktorý možno približne interpretovať nasledovne.
Funkcia má tendenciu k , ak vezmeme číslo z dostatočne malého okolia bodu , budeme
získať hodnotu funkcie z dostatočne malého okolia čísla. A čím menšie je okolie bodu, z ktorého sa preberajú hodnoty
argument, tým menšie bude okolie bodu, do ktorého budú padať hodnoty zodpovedajúcej funkcie.

Vráťme sa opäť k formálnej definícii limitu a čítajme ju vo svetle toho, čo bolo práve povedané. Kladné číslo obmedzuje okolie
bod, z ktorého budeme brať hodnoty argumentu. Okrem toho, hodnoty argumentu, samozrejme, sú z oblasti definície funkcie a nezhodujú sa so samotnou funkciou
bodka: píšeme ašpiráciu, nie náhodu! Ak teda vezmeme hodnotu argumentu zo špecifikovaného susedstva bodu,
potom hodnota funkcie bude spadať do -okolia bodu .
Nakoniec si dajme definíciu dokopy. Bez ohľadu na to, ako malé si vyberieme susedstvo bodu, vždy bude existovať také susedstvo bodu,
že pri výbere hodnôt argumentu z neho sa ocitneme v blízkosti bodu . Samozrejme, veľkosť je v tomto prípade okolie bodu
závisí od toho, aké okolie bodu bolo špecifikované. Ak je okolie funkčnej hodnoty dostatočne veľké, potom zodpovedajúce rozpätie hodnôt
argument bude veľký. Keď sa okolie hodnoty funkcie zníži, zníži sa aj zodpovedajúce rozpätie hodnôt argumentov (pozri obr. 2).

Zostáva objasniť niektoré podrobnosti. Po prvé, požiadavka, aby bol bod limitom, eliminuje potrebu starať sa o to, či ide o bod
zo -susedstva vo všeobecnosti patrí do oblasti definície funkcie. Po druhé, účasť na stanovení limitnej podmienky znamená
že argument môže smerovať k hodnote vľavo aj vpravo.

Pre prípad, keď má argument funkcie tendenciu k nekonečnu, by mal byť koncept limitného bodu definovaný samostatne. nazývaný limit
bod množiny, ak pre akékoľvek kladné číslo interval obsahuje nekonečnú množinu
bodov zo setu.

Vráťme sa k príkladom. Táto funkcia nás zvlášť nezaujíma. Pozrime sa bližšie na ďalšie funkcie.

Príklady.

Príklad 1 Graf funkcie má zlom.
Funkcia napriek singularite v bode má v tomto bode limit. Zvláštnosťou pri nule je strata hladkosti.

Príklad 2 Jednostranné limity.
Funkcia v bode nemá žiadne obmedzenie. Ako už bolo uvedené, pre existenciu limitu sa vyžaduje, aby pri obhospodarovaní
vľavo a vpravo funkcia smerovala k rovnakej hodnote. Toto tu zjavne neplatí. Je však možné zaviesť koncept jednostranného limitu.
Ak argument smeruje k danej hodnote zo strany väčších hodnôt, potom hovoríme o pravotočivej hranici; ak na strane menších hodnôt -
o ľavom limite.
V prípade funkcie
- pravotočivá limita Môžeme však uviesť príklad, kedy nekonečné kmity sínusu nezasahujú do existencie limity (a obojstrannej).
Príkladom môže byť funkcia . Graf je uvedený nižšie; z pochopiteľných dôvodov ho dostavte v okolí
pôvod je nemožný. Limit v je nula.

Poznámky.
1. Existuje prístup k určeniu limity funkcie, ktorý využíva limitu postupnosti – tzv. Heineho definícia. Tam je zostrojená postupnosť bodov, ktorá konverguje k požadovanej hodnote
argument - potom zodpovedajúca postupnosť funkčných hodnôt konverguje k limitu funkcie pri tejto hodnote argumentu. Ekvivalencia Heineho definície a definície v jazyku
"epsilon-delta" je dokázané.
2. Prípad funkcií dvoch alebo viacerých argumentov je komplikovaný skutočnosťou, že pre existenciu limity v bode sa vyžaduje, aby hodnota limity bola rovnaká pre akýkoľvek spôsob, akým argument smeruje.
na požadovanú hodnotu. Ak existuje iba jeden argument, môžete sa snažiť o požadovanú hodnotu zľava alebo sprava. S väčším počtom premenných sa počet možností dramaticky zvyšuje. Prípad funkcií
komplexná premenná si vyžaduje samostatnú diskusiu.

texvc - susedstvo množiny vo funkčnej analýze a príbuzných disciplínach sú takou množinou, ktorej každý bod je vzdialený daný set nie viac ako Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): \varepsilon .

Definície

• Nechaj Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): (X,\varrho) existuje metrický priestor, Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozrite si math/README - pomoc s nastavením.): x_0 \in X, A Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): \varepsilon > 0. Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): \varepsilon-okolie Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc volal súpravu

Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): U_(\varepsilon)(x_0) = \( x\in X \mid \varrho(x,x_0)< \varepsilon \}.

• Nech je daná podmnožina Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): A \subset X. Potom Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): \varepsilon-okolie tejto množiny je množina

Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): U_(\varepsilon)(A) = \bigcup\limits_(x \in A) U_(\varepsilon)(x).

Poznámky

• Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): \varepsilon-okolie bodu Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozri math/README - pomoc s nastavením.): x_0 preto sa volá otvorená lopta so stredom at Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozri math/README - pomoc s nastavením.): x_0 a polomer Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): \varepsilon.
• Z definície priamo vyplýva, že

Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): U_(\varepsilon)(A) = \( x\in X \mid \existuje y\in A\; \varrho(x,y)< \varepsilon\}.

• Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): \varepsilon-susedstvo je susedstvo a najmä otvorený súbor.

Príklady

Napíšte recenziu na článok "Epsilon susedstvo"

Úryvok charakterizujúci štvrť Epsilon

- No, budeme počúvať? – netrpezlivo ma tlačilo dievčatko.
Prišli sme blízko... A ja som pocítil nádherne jemný dotyk iskrivej vlny... Bolo to niečo neuveriteľne nežné, prekvapivo láskavé a upokojujúce a zároveň prenikajúce do samotných „hĺbok“ môjho prekvapeného a mierne opatrného duša... Tichá „hudba“ bežala po mojej nohe, vibrovala v miliónoch rôznych odtieňov a stúpajúc nahor ma začala zahaľovať niečím rozprávkovo krásnym, niečím, čo sa vymyká slovám... Cítil som, že lietam, hoci tam nebol to let, v skutočnosti sa to nestalo. Bolo to úžasné!... Každá bunka sa rozpustila a roztopila v nastupujúcej novej vlne a trblietavé zlato ma obmývalo, odnieslo všetko zlé a smutné a v mojej duši zostalo len čisté, nedotknuté svetlo...
Ani som necítila, ako som vstúpila a ponorila sa do tohto žiarivého zázraku takmer bezhlavo. Bolo to neuveriteľne dobré a nikdy som odtiaľ nechcel odísť.
- No, už toho bolo dosť! Čaká nás úloha! – Stellin asertívny hlas prepukol do žiarivej krásy. - Páčilo sa ti to?
- Ó áno! – vydýchol som si. – Nechcelo sa mi toľko chodiť von!
- Presne tak! Niektorí sa teda „kúpu“ až do svojej ďalšej inkarnácie... A potom sa sem už nikdy nevrátia...

Aké symboly okrem znakov nerovnosti a modulu poznáte?

Z kurzu algebry poznáme nasledujúci zápis:

– univerzálny kvantifikátor znamená „pre každého“, „pre všetkých“, „pre každého“, to znamená, že záznam by mal znieť „pre akékoľvek kladné epsilon“;

– existenčný kvantifikátor, – existuje hodnota patriaca do množiny prirodzených čísel.

– dlhá zvislá palica znie takto: „taký ten“, „taký ten“, „taký to“ alebo „taký to“, v našom prípade samozrejme hovoríme o čísle – teda „také to“;

– pre všetky „en“ väčšie ako ;

– znamienko modulu znamená vzdialenosť, t.j. tento záznam nám hovorí, že vzdialenosť medzi hodnotami je menšia ako epsilon.

Stanovenie limitu sekvencie

A popravde, zamyslime sa trochu – ako sformulovať striktnú definíciu postupnosti? ...Prvá vec, ktorá ma na svete napadne praktická lekcia: "limita postupnosti je číslo, ku ktorému sa členovia postupnosti nekonečne približujú."

Dobre, zapíšme si postupnosť:

Nie je ťažké pochopiť, že podsekvencia sa blíži k číslu –1 nekonečne blízko a členy s párnymi číslami k „jednotke“.

Alebo možno existujú dva limity? Ale prečo ich potom nemôže mať každá sekvencia desať alebo dvadsať? Takto môžete zájsť ďaleko. V tomto ohľade je logické predpokladať, že ak má postupnosť limitu, potom je jediná.

Poznámka: postupnosť nemá žiadnu hranicu, ale možno od nej odlíšiť dve podsekvencie (pozri vyššie), z ktorých každá má svoju hranicu.

Vyššie uvedená definícia sa teda ukazuje ako neudržateľná. Áno, funguje to pre prípady ako (ktoré som v zjednodušených vysvetleniach praktických príkladov nepoužil celkom správne), ale teraz musíme nájsť presnú definíciu.

Pokus dva: „limit postupnosti je číslo, ku ktorému sa približujú VŠETCI členovia postupnosti, možno s výnimkou ich konečného počtu“. To je bližšie k pravde, ale stále nie úplne presné. Takže napríklad polovica členov sekvencie sa vôbec nepribližuje k nule - jednoducho sa jej rovnajú =) Mimochodom, „blikajúce svetlo“ má vo všeobecnosti dve pevné hodnoty.

Formuláciu nie je ťažké objasniť, ale potom vyvstáva ďalšia otázka: ako napísať definíciu v matematických symboloch? Vedecký svet dlho zápasil s týmto problémom, kým situáciu nevyriešil slávny maestro, ktorý v podstate formalizoval klasickú matematickú analýzu v celej jej prísnosti. Cauchy navrhol pôsobiť v okolí, čo výrazne posunulo teóriu dopredu.

Zvážte určitý bod a jeho ľubovoľné susedstvo:

Hodnota „epsilon“ je vždy pozitívna a navyše máme právo si ju sami vybrať. Predpokladajme, že v danom susedstve je veľa členov (nie nevyhnutne všetky) nejakej postupnosti. Ako zapísať fakt, že napríklad desiaty termín je v susedstve? Nech je to na pravej strane. Potom by vzdialenosť medzi bodmi a mala byť menšia ako „epsilon“: . Ak sa však „x desatina“ nachádza naľavo od bodu „a“, potom bude rozdiel záporný, a preto k nemu treba pridať znamienko modulu: .

Definícia: Číslo sa nazýva limita postupnosti, ak pre ktorékoľvek z jeho susedstiev (vopred vybraté) existuje prirodzené číslo TAKÉ, že VŠETCI členovia postupnosti s väčšími číslami budú vnútri okolia:

Alebo v skratke: ak

Inými slovami, bez ohľadu na to, akú malú hodnotu „epsilon“ vezmeme, skôr či neskôr bude „nekonečný chvost“ sekvencie ÚPLNE v tomto susedstve.

Napríklad „nekonečný chvost“ postupnosti bude ÚPLNE prechádzať do ľubovoľného malého susedstva bodu, takže táto hodnota je podľa definície limitom postupnosti. Pripomínam, že sa volá postupnosť, ktorej limita je nula nekonečne malý.

Treba poznamenať, že pre postupnosť už nie je možné povedať „príde nekonečný chvost“ - výrazy s nepárnymi číslami sa v skutočnosti rovnajú nule a „nikam nepôjdu“ =) Preto sa sloveso „objaví“. “ sa používa v definícii. A, samozrejme, členovia sekvencie, ako je táto, tiež „nikam nejdú“. Mimochodom, skontrolujte, či počet je jeho limit.

Teraz ukážeme, že postupnosť nemá žiadne obmedzenie. Zvážte napríklad okolie bodu . Je úplne jasné, že neexistuje také číslo, po ktorom VŠETKY výrazy skončia v danom susedstve – nepárne výrazy vždy „vyskočia“ na „mínus jeden“. Z podobného dôvodu v bode neexistuje žiadny limit.

Dokážte, že limit postupnosti je nula. Zadajte číslo, po ktorom budú všetky členy postupnosti zaručene v ľubovoľnom malom okolí bodu.

Poznámka: pre mnohé postupnosti závisí požadované prirodzené číslo od hodnoty - preto zápis .

Riešenie: zvážte ľubovoľné susedstvo bodu a skontrolujte, či existuje také číslo, že VŠETKY výrazy s vyššími číslami budú v tomto susedstve:

Aby sme ukázali existenciu požadovaného čísla, vyjadríme ho prostredníctvom .

Pretože pre akúkoľvek hodnotu „en“ možno znamienko modulu odstrániť:

Používame „školské“ akcie s nerovnosťami, ktoré som si zopakoval v lekciách Lineárne nerovnosti a Doména funkcie. V tomto prípade je dôležitou okolnosťou, že „epsilon“ a „en“ sú kladné:

Keďže hovoríme o prirodzených číslach vľavo a pravá strana je vo všeobecnosti zlomková, je potrebné ju zaokrúhliť:

Poznámka: niekedy je jednotka pridaná na pravú stranu, aby ste boli na bezpečnej strane, ale v skutočnosti je to prehnané. Relatívne povedané, ak zoslabíme výsledok zaokrúhlením nadol, potom najbližšie vhodné číslo („trojka“) aj tak vyhovie pôvodnej nerovnosti.

Teraz sa pozrieme na nerovnosť a zapamätáme si, že pôvodne sme uvažovali o ľubovoľnom -susedstve, t.j. "epsilon" sa môže rovnať akémukoľvek kladnému číslu.

Záver : pre ľubovoľne malé -okolie bodu sa našla taká hodnota, že pre všetky väčšie čísla bola nerovnosť . Číslo je teda podľa definície limitom postupnosti. Q.E.D.

Mimochodom, zo získaného výsledku je jasne viditeľný prirodzený vzor: čím menšie susedstvo, tým väčšie číslo, po ktorom budú VŠETCI členovia sekvencie v tomto susedstve. Ale bez ohľadu na to, aký malý je „epsilon“, vždy bude existovať „nekonečný chvost“ vo vnútri a vonku – dokonca veľký, ale konečný počet výrazov.

Uvažuje sa o všeobecnej definícii okolia bodu na číselnej osi. Definície okolia epsilon, ľavostranné, pravostranné a prepichnuté susedstvá konečných a nekonečných bodov. Nehnuteľnosť v susedstve. Je dokázaná veta o ekvivalencii použitia epsilonového okolia a ľubovoľného okolia pri určovaní limity funkcie podľa Cauchyho.

Obsah

Určenie okolia bodu

Okolie skutočného bodu x 0 Akýkoľvek otvorený interval obsahujúci tento bod sa nazýva:
.
Tu ε 1 a ε 2 - ľubovoľné kladné čísla.

Epsilon - okolie bodu x 0 je množina bodov vzdialená od bodu x 0 menej ako ε:
.

Prepichnuté okolie bodu x 0 je okolie tohto bodu, z ktorého je samotný bod x vylúčený 0 :
.

Okolie koncových bodov

Hneď na začiatku bola uvedená definícia okolia bodu. Označuje sa ako . Môžete však explicitne uviesť, že susedstvo závisí od dvoch čísel pomocou vhodných argumentov:
(1) .
To znamená, že okolie je množina bodov patriacich do otvoreného intervalu.

Rovnanie ε 1 na ε 2 , dostaneme epsilon - okolie:
(2) .
Okolie epsilon je množina bodov patriacich do otvoreného intervalu s rovnako vzdialenými koncami.
Samozrejme, písmeno epsilon môže byť nahradené akýmkoľvek iným a zvážiť δ - susedstvo, σ - susedstvo atď.

V teórii limitov je možné použiť definíciu okolia na základe množiny (1) aj množiny (2). Použitie ktoréhokoľvek z týchto susedstiev poskytuje ekvivalentné výsledky (pozri). Ale definícia (2) je jednoduchšia, preto sa často používa epsilon - okolie bodu určeného z (2).

Koncepty ľavostranných, pravostranných a prepichnutých susedstiev koncových bodov sú tiež široko používané. Tu sú ich definície.

Ľavé okolie reálneho bodu x 0 je polootvorený interval umiestnený na reálnej osi naľavo od bodu x 0 vrátane samotného bodu:
;
.

Pravostranné okolie reálneho bodu x 0 je polootvorený interval umiestnený napravo od bodu x 0 vrátane samotného bodu:
;
.

Prepichnuté susedstvá koncových bodov

Prepichnuté oblasti bodu x 0 - toto sú tie isté štvrte, z ktorých je samotný bod vylúčený. Sú označené krúžkom nad písmenom. Tu sú ich definície.

Prepichnuté okolie bodu x 0 :
.

Prepichnutý epsilon - okolie bodu x 0 :
;
.

Prepichnutá blízkosť ľavej strany:
;
.

Prepichnuté okolie pravej strany:
;
.

Okolie bodov v nekonečne

Spolu s koncovými bodmi je predstavený aj koncept okolia bodov v nekonečne. Všetky sú prepichnuté, pretože v nekonečne neexistuje žiadne reálne číslo (bod v nekonečne je definovaný ako limit nekonečne veľkej postupnosti).

.
;
;
.

Okolie bodov v nekonečne bolo možné určiť takto:
.
Ale namiesto M použijeme , takže okolie s menším ε je podmnožinou okolia s väčším ε, ako v prípade susedstiev koncových bodov.

Nehnuteľnosť v susedstve

Ďalej použijeme zjavnú vlastnosť okolia bodu (konečného alebo v nekonečne). Spočíva v tom, že okolia bodov s menšími hodnotami ε sú podmnožinami susedstiev s väčšími hodnotami ε. Tu sú prísnejšie formulácie.

Nech existuje konečný alebo nekonečne vzdialený bod. Nechaj to tak .
Potom
;
;
;
;
;
;
;
.

Opak je tiež pravdou.

Ekvivalencia definícií limity funkcie podľa Cauchyho

Teraz si ukážeme, že pri určovaní limity funkcie podľa Cauchyho môžete použiť ako ľubovoľné okolie, tak aj okolie s rovnako vzdialenými koncami.

Veta
Cauchyho definície limity funkcie, ktoré používajú ľubovoľné susedstvá a susedstvá s rovnako vzdialenými koncami, sú ekvivalentné.

Dôkaz

Poďme formulovať prvá definícia limity funkcie.
Číslo a je limita funkcie v bode (konečnom alebo v nekonečne), ak pre akékoľvek kladné čísla existujú čísla, ktoré závisia od a ktoré pre všetky patria do zodpovedajúceho okolia bodu a:
.

Poďme formulovať druhá definícia limity funkcie.
Číslo a je limita funkcie v bode, ak pre akékoľvek kladné číslo existuje číslo závislé od toho pre všetky:
.

Dôkaz 1 ⇒ 2

Dokážme, že ak číslo a je limitou funkcie podľa 1. definície, potom je limitou aj podľa 2. definície.

Nech je splnená prvá definícia. To znamená, že existujú funkcie a , takže pre všetky kladné čísla platí:
kde .

Keďže čísla sú ľubovoľné, prirovnáme ich:
.
Potom sú tu také funkcie a , takže pre všetky platí:
kde .

Všimni si .
Dovoliť byť najmenšie z kladných čísel a . Potom, podľa toho, čo bolo uvedené vyššie,
.
Ak potom.

To znamená, že sme našli takúto funkciu, takže pre všetky platí:
kde .
To znamená, že číslo a je limita funkcie podľa druhej definície.

Dôkaz 2 ⇒ 1

Dokážme, že ak číslo a je limitou funkcie podľa 2. definície, potom je limitou aj podľa 1. definície.

Nech je splnená druhá definícia. Zoberme si dve kladné čísla a . A nech je to najmenší z nich. Potom podľa druhej definície existuje taká funkcia , takže pre každé kladné číslo a pre všetky vyplýva, že
.

Ale podľa ,. Preto z toho, čo z toho vyplýva
.

Potom pre všetky kladné čísla a , sme našli dve čísla, takže pre všetky :
.

To znamená, že číslo a je podľa prvej definície limita.

Veta bola dokázaná.

Referencie:
L.D. Kudrjavcev. Kurz matematickej analýzy. Zväzok 1. Moskva, 2003.