Σπίτι Comp. γνώση γραφής Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό κέντρο γλωσσικής κατάρτισης avtf kts. Κυκλική διαδικασία κωδικοποίησης Κυκλικός κώδικας

Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό κέντρο γλωσσικής κατάρτισης avtf kts. Κυκλική διαδικασία κωδικοποίησης Κυκλικός κώδικας

Αντίστοιχη με αυτή τη λέξη, από επίσημη μεταβλητή Χ. Μπορεί να φανεί ότι αυτή η αντιστοιχία δεν είναι απλώς ένα προς ένα, αλλά και ισομορφική. Δεδομένου ότι οι "λέξεις" αποτελούνται από γράμματα από το πεδίο, μπορούν να προστεθούν και να πολλαπλασιαστούν (στοιχείο προς στοιχείο) και το αποτέλεσμα θα είναι στο ίδιο πεδίο. Το πολυώνυμο που αντιστοιχεί στον γραμμικό συνδυασμό του ζεύγους των λέξεων και είναι ίσο με το γραμμικό συνδυασμό των πολυωνύμων αυτών των λέξεων

Αυτό μας επιτρέπει να θεωρήσουμε το σύνολο λέξεων μήκους n σε ένα πεπερασμένο πεδίο ως γραμμικό χώρο πολυωνύμων με βαθμό το πολύ n-1 πάνω από το πεδίο

Αλγεβρική περιγραφή

Εάν η κωδική λέξη που προκύπτει από μια κυκλική μετατόπιση κατά ένα bit προς τα δεξιά από τη λέξη, τότε το αντίστοιχο πολυώνυμο της ντο 1 (Χ) προκύπτει από την προηγούμενη πολλαπλασιάζοντας με x:

Εκμεταλλευόμενος το γεγονός ότι

Μετατόπιση προς τα δεξιά και αριστερά, αντίστοιχα ιαπορρίψεις:

Αν ένα Μ(Χ) είναι ένα αυθαίρετο πολυώνυμο πάνω από το πεδίο σολφά(q) και ντο(Χ) - κωδική λέξη του κυκλικού ( n,κ) κωδικός, λοιπόν Μ(Χ)ντο(Χ)Μορε(Χ n − 1) επίσης η κωδική λέξη αυτού του κώδικα.

Δημιουργία πολυωνύμου

ΟρισμόςΤο δημιουργούμενο πολυώνυμο του κυκλικού ( n,κ) κωδικός ντοονομάζεται τέτοιο μη μηδενικό πολυώνυμο από ντο, ο βαθμός του οποίου είναι ο μικρότερος και ο συντελεστής στον υψηλότερο βαθμό σολ r = 1 .

Θεώρημα 1

Αν ένα ντο- κυκλικό ( n,κ) κωδικός και σολ(Χ) είναι το δημιουργούμενο πολυώνυμο του και μετά ο βαθμός σολ(Χ) είναι ίσο με r = n − κ και κάθε κωδική λέξη μπορεί να αναπαρασταθεί μοναδικά ως

ντο(Χ) = Μ(Χ)σολ(Χ) ,

όπου πτυχίο Μ(Χ) μικρότερο ή ίσο με κ − 1 .

Θεώρημα 2

σολ(Χ) είναι το δημιουργούμενο πολυώνυμο του κυκλικού ( n,κ) του κώδικα είναι διαιρέτης του διωνύμου Χ n − 1

Συνέπειες:Έτσι, ως πολυώνυμο παραγωγής, μπορείτε να επιλέξετε οποιοδήποτε πολυώνυμο, διαιρέτη Χ n− 1 . Ο βαθμός του επιλεγμένου πολυωνύμου θα καθορίσει τον αριθμό των συμβόλων ελέγχου r, αριθμός σύμβολα πληροφοριών κ = n − r .

Γεννητικός πίνακας

Τα πολυώνυμα είναι γραμμικά ανεξάρτητα, διαφορετικά Μ(Χ)σολ(Χ) = 0 για μη μηδενικό Μ(Χ), κάτι που είναι αδύνατο.

Αυτό σημαίνει ότι οι κωδικές λέξεις μπορούν να γραφτούν, όπως για τους γραμμικούς κώδικες, ως εξής:

, όπου σολείναι μήτρα παραγωγής, Μ(Χ) - ενημερωτικήπολυώνυμος.

Μήτρα σολμπορεί να γραφτεί σε συμβολική μορφή:

Έλεγχος Matrix

Για κάθε κωδική λέξη ενός κυκλικού κώδικα, . Να γιατί μήτρα ελέγχουμπορεί να γραφτεί ως:

Κωδικοποίηση

Απρογραμμάτιστος

Με τη μη συστηματική κωδικοποίηση, η κωδική λέξη λαμβάνεται ως το γινόμενο ενός πολυωνύμου πληροφοριών από ένα πολυώνυμο που δημιουργεί

ντο(Χ) = Μ(Χ)σολ(Χ) .

Μπορεί να υλοποιηθεί χρησιμοποιώντας πολυωνυμικούς πολλαπλασιαστές.

Συστηματικός

Με τη συστηματική κωδικοποίηση, η κωδική λέξη σχηματίζεται με τη μορφή υπομπλοκ πληροφοριών και επιταγής

Αφήστε τη λέξη πληροφοριών να σχηματίσει τις υψηλότερες δυνάμεις της κωδικής λέξης, λοιπόν

ντο(Χ) = Χ r Μ(Χ) + μικρό(Χ),r = n − κ

Στη συνέχεια, από την κατάσταση, προκύπτει

Αυτή η εξίσωση ορίζει τον κανόνα της συστηματικής κωδικοποίησης. Μπορεί να εφαρμοστεί χρησιμοποιώντας γραμμικά φίλτρα πολλαπλών κύκλων (MLF)

Παραδείγματα

Δυαδικός (7,4,3) κώδικας

Ως διαχωριστικό Χ 7 − 1 επιλέγουμε ένα γεννητικό πολυώνυμο τρίτου βαθμού σολ(Χ) = Χ 3 + Χ + 1 , τότε ο κωδικός που προκύπτει θα έχει μήκος n= 7, αριθμός συμβόλων ελέγχου (βαθμός του πολυωνύμου που δημιουργεί) r= 3 , αριθμός συμβόλων πληροφοριών κ= 4 , ελάχιστη απόσταση ρε = 3 .

Γεννητικός πίνακαςκώδικας:

όπου η πρώτη γραμμή είναι μια πολυωνυμική καταχώρηση σολ(Χ) συντελεστές σε αύξουσα σειρά. Οι υπόλοιπες γραμμές είναι κυκλικές μετατοπίσεις της πρώτης γραμμής.

Έλεγχος μήτρας:

όπου η i-η στήλη, ξεκινώντας από το 0, είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης Χ Εγώσε ένα πολυώνυμο σολ(Χ), γραμμένο με αύξουσα σειρά δυνάμεων, ξεκινώντας από την κορυφή.

Έτσι, για παράδειγμα, η 3η στήλη είναι , ή σε διανυσματικό συμβολισμό .

Είναι εύκολο να το επαληθεύσετε σολH Τ = 0 .

Δυαδικός (15,7,5) κωδικός BCH

Ως γενεσιουργό πολυώνυμο σολ(Χ) μπορείτε να επιλέξετε το γινόμενο δύο διαιρετών Χ 15 − 1 ^

σολ(Χ) = σολ 1 (Χ)σολ 2 (Χ) = (Χ 4 + Χ + 1)(Χ 4 + Χ 3 + Χ 2 + Χ + 1) = Χ 8 + Χ 7 + Χ 6 + Χ 4 + 1 .

Στη συνέχεια, κάθε κωδική λέξη μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας το γινόμενο του πολυωνύμου πληροφοριών Μ(Χ) με πτυχίο κ− 1 έτσι:

ντο(Χ) = Μ(Χ)σολ(Χ) .

Για παράδειγμα, η λέξη πληροφοριών αντιστοιχεί στο πολυώνυμο Μ(Χ) = Χ 6 + Χ 5 + Χ 4 + 1 , μετά την κωδική λέξη ντο(Χ) = (Χ 6 + Χ 5 + Χ 4 + 1)(Χ 8 + Χ 7 + Χ 6 + Χ 4 + 1) = Χ 14 + Χ 12 + Χ 9 + Χ 7 + Χ 5 + 1 , ή σε διανυσματική μορφή

δείτε επίσης

Συνδέσεις

Ίδρυμα Wikimedia. 2010 .

Δείτε τι είναι οι "Κυκλικοί κωδικοί" σε άλλα λεξικά:

συντομευμένοι κυκλικοί κώδικες- - [L.G. Sumenko. Αγγλικά Ρωσικά Λεξικό Τεχνολογιών Πληροφορικής. Μ.: GP TsNIIS, 2003.] Θέματα ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣγενικά EN συντομευμένοι κυκλικοί κωδικοί ...

Μη δυαδικοί κυκλικοί κώδικες που σας επιτρέπουν να διορθώνετε σφάλματα σε μπλοκ δεδομένων. Τα στοιχεία του διανύσματος κώδικα δεν είναι bit, αλλά ομάδες bit (μπλοκ). Οι κώδικες Reed Solomon που λειτουργούν με bytes (οκτάδες) είναι πολύ συνηθισμένοι. Ο κώδικας του Reed Solomon είναι ... Wikipedia

Κωδικοί Golay- Μια οικογένεια τέλειων γραμμικών κωδικών μπλοκ με διόρθωση σφαλμάτων. Ο πιο χρήσιμος είναι ο δυαδικός κώδικας Golay. Ο τριαδικός κώδικας Golay είναι επίσης γνωστός. Οι κώδικες Golay μπορούν να θεωρηθούν ως κυκλικοί κώδικες. …… Εγχειρίδιο Τεχνικού Μεταφραστή

Η ανίχνευση σφαλμάτων στην τεχνολογία επικοινωνίας είναι μια ενέργεια που στοχεύει στην παρακολούθηση της ακεραιότητας των δεδομένων κατά την εγγραφή / αναπαραγωγή πληροφοριών ή κατά τη μετάδοσή τους μέσω των γραμμών επικοινωνίας. Διαδικασία διόρθωσης σφαλμάτων (error correction) για ανάκτηση πληροφοριών μετά από ... ... Wikipedia

Αυτή είναι μια υποκατηγορία γραμμικών κωδίκων που έχουν την ιδιότητα πολύτιμου λίθου ότι μια κυκλική μετάθεση συμβόλων σε ένα κωδικοποιημένο μπλοκ αποδίδει ένα άλλο πιθανό κωδικοποιημένο μπλοκ του ίδιου κώδικα. Οι κυκλικοί κώδικες βασίζονται στην εφαρμογή των ιδεών της αλγεβρικής θεωρίας πεδίου Galois1.

Πολλοί από τους πιο σημαντικούς κώδικες προστασίας από θόρυβο συστημάτων επικοινωνίας, -

ιδιαίτερα κυκλικές, βασίζονται σε πεπερασμένες αριθμητικές δομές

Γήπεδα Galois. πεδίοονομάζεται το σύνολο των στοιχείων που είναι πεπερασμένο πεδίο

Οι βαθμοί λειτουργίας είναι σε εισαγωγικά επειδή δεν είναι πάντα γενικά αποδεκτοί. αριθμητικές πράξεις. Το πεδίο έχει πάντα ένα μηδενικό στοιχείο (0), ή μηδέν, και ένα μεμονωμένο στοιχείο (1), ή ένα. Εάν αριθμός qστοιχεία του πεδίου είναι περιορισμένα, τότε το πεδίο καλείται τελικό πεδίο, ή πεπερασμένο πεδίο Galois, και συμβολίζεται GF(q) yόπου q-παραγγελία πεδίου. Το μικρότερο πεδίο Galois είναι το πεδίο δύο στοιχείων GF( 2), που αποτελείται από δύο μόνο στοιχεία 1 και 0. Για να

1 Evariste Galois (1811 - 1832) - Γάλλος μαθηματικός, που έθεσε τα θεμέλια της σύγχρονης άλγεβρας.

εκτέλεση εργασιών σε στοιχεία GF( 2) δεν οδήγησαν σε υπέρβαση αυτού του πεδίου, εκτελούνται modulo 2 (γενικά, αυτό καθορίζεται από τη σειρά του πεδίου για απλά πεδία Galois).

Το πεδίο έχει μια σειρά από συγκεκριμένες μαθηματικές ιδιότητες. Για τα στοιχεία του πεδίου ορίζονται οι πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού και τα αποτελέσματα αυτών των πράξεων πρέπει να ανήκουν στο ίδιο σύνολο.

Για πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού, ακολουθούνται οι συνήθεις κανόνες μαθηματικής συσχέτισης - ένα + (σι + γ) = (α + σι)+ γ, ανταλλαγή - α + β = β + ακαι ένα β = β ένακαι διανομή - ένα (σι+ γ) = ένα σι + ένα Με.

Για κάθε στοιχείο πεδίου έναπρέπει να υπάρχει ένα αντίστροφο στοιχείο με πρόσθεση (-ένα)κι αν έναδεν ισούται με μηδέν, αντίστροφο στοιχείο με πολλαπλασιασμό (th').

Το πεδίο πρέπει να περιέχει μονάδα πρόσθετου -στοιχείο 0, έτσι ώστε ένα + 0 = έναγια οποιοδήποτε στοιχείο πεδίου ένα.

Το πεδίο πρέπει να περιέχει πολλαπλασιαστική μονάδα -στοιχείο 1, έτσι ώστε aL = αγια οποιοδήποτε στοιχείο πεδίου ένα.

Για παράδειγμα, υπάρχουν πεδία πραγματικούς αριθμούς, ρητοί αριθμοί, μιγαδικοί αριθμοί. Αυτά τα πεδία περιέχουν άπειρο αριθμό στοιχείων.

Στην πραγματικότητα, όλα τα σύνολα που σχηματίζονται από την κυκλική μετάθεση μιας κωδικής λέξης είναι επίσης κωδικές λέξεις. Έτσι, για παράδειγμα, οι κυκλικές μεταθέσεις του συνδυασμού 1000101 θα είναι επίσης συνδυασμοί κωδικών 0001011, 0010110, 0101100, κ.λπ. Αυτή η ιδιότητα καθιστά δυνατή τη μεγάλη απλοποίηση του κωδικοποιητή και του αποκωδικοποιητή, ειδικά στην ανίχνευση σφαλμάτων και τη διόρθωση μεμονωμένων σφαλμάτων. Η προσοχή στους κυκλικούς κώδικες οφείλεται στο γεγονός ότι οι υψηλές διορθωτικές τους ιδιότητες υλοποιούνται με βάση σχετικά απλές αλγεβρικές μεθόδους. Ταυτόχρονα, για την αποκωδικοποίηση ενός αυθαίρετου γραμμικού κώδικα μπλοκ, μεθόδους πίνακααπαιτούν μεγάλη ποσότητα μνήμης αποκωδικοποιητή.

Ένας κυκλικός κώδικας ονομάζεται γραμμικό μπλοκ (n, k)-ένας κωδικός που χαρακτηρίζεται από την ιδιότητα της κυκλικότητας, δηλ. μια μετατόπιση προς τα αριστερά κατά ένα βήμα οποιασδήποτε επιτρεπόμενης κωδικής λέξης δίνει επίσης μια επιτρεπόμενη κωδική λέξη που ανήκει στον ίδιο κώδικα και για την οποία το σύνολο των κωδικών λέξεων αντιπροσωπεύεται από ένα σύνολο πολυωνύμων βαθμού (Π- 1) ή λιγότερο διαιρούμενο με το δημιουργούμενο πολυώνυμο g(x)βαθμός r=n-kyπου είναι παράγοντας διωνύμου Χ n+

Σε έναν κυκλικό κώδικα, οι κωδικές λέξεις αντιπροσωπεύονται από πολυώνυμα (πολυώνυμα)

όπου Π -μήκος κωδικού? Α Ι -Συντελεστές πεδίου Galois (τιμές συνδυασμού κωδικών).

Για παράδειγμα, για τον συνδυασμό κωδικών 101101, η καταχώρηση πολυωνύμου έχει τη μορφή

Παραδείγματα κυκλικών κωδικών είναι οι κωδικοί ζυγού ελέγχου, οι κωδικοί επανάληψης, οι κωδικοί Hamming, οι κωδικοί υπολογιστή και οι κωδικοί turbo.

Κωδικός Hamming. Οι δυνατότητες διόρθωσης σφαλμάτων στον κώδικα Hamming σχετίζονται με την ελάχιστη απόσταση κωδικού d0.Όλα τα πολλαπλά σφάλματα διορθώνονται q= cnt (δ 0- l)/2 (εδώ cnt σημαίνει "ακέραιο μέρος") και ανιχνεύονται σφάλματα πολλαπλότητας d 0 - 1. Άρα, με περίεργη ισοτιμία d Q = 2 και εντοπίζονται μεμονωμένα σφάλματα. Στον κώδικα Hamming d 0 = 3. Εκτός από τα ψηφία πληροφοριών, L= log 2 Q περιττά bit ελέγχου, όπου Q-αριθμός bits πληροφοριών. Παράμετρος μεγάλοστρογγυλοποιείται στην επόμενη υψηλότερη ακέραια τιμή. Ο κωδικός ελέγχου L-bit είναι το ανεστραμμένο αποτέλεσμα της κατά bit πρόσθεσης (προσθήκη modulo 2) των αριθμών αυτών των bit πληροφοριών των οποίων οι τιμές είναι ίσες με ένα.

Παράδειγμα 7.7

Ας έχουμε τον κύριο κωδικό 100110, δηλ. Q= 6. Ας ορίσουμε έναν επιπλέον κωδικό.

Λύση

Το βρίσκουμε μεγάλο= 3 και ο κωδικός του συμπληρώματος είναι

όπου P είναι το σύμβολο της πράξης πρόσθεσης bitwise, και μετά την αντιστροφή έχουμε 000. Τώρα το πρόσθετο θα μεταδοθεί με τον κύριο κωδικό. Στον δέκτη υπολογίζεται και πάλι ο πρόσθετος κωδικός και συγκρίνεται με τον μεταδιδόμενο. Ο κωδικός σύγκρισης είναι σταθερός και εάν είναι διαφορετικός από το μηδέν, τότε η τιμή του είναι ο αριθμός του ψηφίου του κύριου κωδικού που ελήφθη εσφαλμένα. Έτσι, εάν ληφθεί ο κωδικός 100010, τότε ο υπολογισμένος πρόσθετος κωδικός είναι ίσος με το αντίστροφο του 010Ш10 = 100, δηλ. 011, που σημαίνει σφάλμα στο 3ο ψηφίο.

Μια γενίκευση των κωδίκων Hamming είναι οι κυκλικοί κώδικες BCH, οι οποίοι σας επιτρέπουν να διορθώσετε πολλαπλά σφάλματα στην κωδική λέξη που λάβατε.

Κώδικες Reed-Solomonβασίζονται σε πεδία Galois, ή πεπερασμένα μηδενικά. Αριθμητικές πράξεις πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση κ.λπ. πάνω από στοιχεία ενός πεπερασμένου μηδενός δίνουμε ένα αποτέλεσμα που είναι επίσης στοιχείο αυτού του μηδενός. Ο κωδικοποιητής ή ο αποκωδικοποιητής Reed-Solomon πρέπει απαραίτητα να εκτελεί αυτές τις λειτουργίες. Όλες οι λειτουργίες για την εφαρμογή του κώδικα απαιτούν ειδικό υλικό ή εξειδικευμένο λογισμικό.

Κωδικοί Turbo.Οι περιττοί κωδικοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν τόσο ανεξάρτητα όσο και με τη μορφή κάποιου συνδυασμού πολλών κωδικών, όταν τα σύνολα χαρακτήρων ενός πλεονάζοντος κωδικού θεωρούνται ως σύμβολα στοιχειωδών πληροφοριών ενός άλλου πλεονάζοντος κώδικα. Αυτή η ένωση έγινε γνωστή ως καταρράκτηκώδικας. Το μεγάλο πλεονέκτημα των συνδυασμένων κωδικών είναι ότι η χρήση τους καθιστά δυνατή την απλοποίηση του κωδικοποιητή και ιδιαίτερα του αποκωδικοποιητή σε σύγκριση με παρόμοιες συσκευές μη διαδοχικών κωδικών του ίδιου μήκους και πλεονασμού. Η διαδοχική κωδικοποίηση οδήγησε στη δημιουργία κωδικών turbo. Turbocodeονομάζεται δομή παράλληλου σήματος που αποτελείται από δύο ή περισσότερους συστηματικούς κώδικες. Η βασική αρχή της κατασκευής τους είναι η χρήση πολλών κωδικοποιητών παράλληλων συστατικών. Τόσο οι μπλοκ όσο και οι συνελικτικοί κώδικες, οι κωδικοί Hamming, ο κωδικός υπολογιστή, ο BCH, κ.λπ. μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως κωδικοί εξαρτημάτων. Η χρήση διάτρησης (διάτρησης) επιτρέπει την αύξηση της σχετικής ταχύτητας του κώδικα στροβίλου προσαρμόζοντας την ικανότητα διόρθωσης του στα στατιστικά χαρακτηριστικά του κανάλι επικοινωνίας. Η αρχή σχηματισμού του κωδικού στροβίλου είναι η εξής: το σήμα εισόδου Χ,που αποτελείται από Προς την bit, τροφοδοτείται παράλληλα με Νπαρεμβολείς. Κάθε ένα από τα τελευταία είναι μια συσκευή που μεταθέτει στοιχεία σε ένα μπλοκ από Προς την bit σε ψευδοτυχαία σειρά. Το σήμα εξόδου από τους παρεμβολείς - αναδιατεταγμένα σύμβολα - τροφοδοτείται στους αντίστοιχους στοιχειώδεις κωδικοποιητές. Δυαδικές ακολουθίες x p i= 1,2,..., JV, στην έξοδο του κωδικοποιητή υπάρχουν σύμβολα ελέγχου, τα οποία, μαζί με bits πληροφοριών, συνθέτουν μια ενιαία κωδική λέξη. Η χρήση ενός παρεμβολέα καθιστά δυνατή την πρόληψη της εμφάνισης αλληλουχιών συσχετισμένων σφαλμάτων κατά την αποκωδικοποίηση κωδίκων turbo, κάτι που είναι σημαντικό όταν χρησιμοποιείται η παραδοσιακή μέθοδος επαναλαμβανόμενης αποκωδικοποίησης στην επεξεργασία. Ανάλογα με την επιλογή του κωδικού στοιχείου, οι κωδικοί turbo χωρίζονται σε συνελικτικούς κωδικούς turbo και κωδικούς προϊόντων μπλοκ.