در بخش سوال دو شکل نوشتن اعداد چیست؟ توسط نویسنده ارائه شده است Prosphoraبهترین پاسخ این است در سیستم های اعداد موقعیتی، معادل کمی (مقدار) یک رقم به مکان (موقعیت) آن در نماد عدد بستگی دارد.
به موقعیت یک رقم در یک عدد، رقم آن می گویند.
رقم یک عدد از راست به چپ، از رقم کم به رقم بالا افزایش می یابد.
پایه یک سیستم اعداد موقعیتی یک عدد صحیح است که برابر با تعداد ارقامی است که برای نمایش اعداد در یک سیستم عددی معین استفاده می شود.
پایه نشان می دهد که مقدار کمی یک رقم با انتقال آن به کمترین یا مهم ترین رقم چند برابر تغییر می کند.
سیستم های عددی موقعیتی با پایه دلخواه
می توان از انواع سیستم های اعداد موقعیتی استفاده کرد که پایه آنها مساوی یا بزرگتر از 2 باشد.
در سیستم های اعداد با پایه q (سیستم اعداد q-ary) اعداد به صورت بسط یافته به صورت مجموع یک سری توان های پایه q با ضرایب نوشته می شوند که عبارتند از اعداد 0، 1، ...، q-1.
یا
Aq - عدد در سیستم عددی q-ary،
q - پایه سیستم اعداد،
Ai - اعداد متعلق به الفبای یک سیستم عددی معین،
n - تعداد ارقام صحیح عدد،
m - تعداد ارقام کسری عدد.
ضرایب ai ارقام یک عدد است که در سیستم عددی q-ary نوشته می شود.
شکل جمع‌شده نوشتن یک عدد:
ما از شکل فرو ریخته نوشتن اعداد در زندگی روزمره استفاده می کنیم،
طبیعی یا دیجیتال نامیده می شود.
برای نوشتن کسری از ارقام با مقادیر منفی توان پایه استفاده می شود.
سیستم اعداد اعشاری
پایه: q = 10.
الفبا: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9.
شکل جمع‌شده نوشتن یک عدد:
شکل گسترده نوشتن یک عدد:
ضرایب ai ارقام اعشاری هستند.
به عنوان مثال، عدد 123.4510 به صورت بسط داده شده به صورت زیر نوشته می شود:
ضرب یا تقسیم یک عدد اعشاری بر 10 (مقدار پایه) نقطه اعشار را حرکت می دهد و قسمت صحیح را از قسمت کسری، یک مکان به راست یا چپ جدا می کند. مثلا:
123.4510 10 = 1234.510;
123,4510: 10 = 12,34510.

نشانه گذاری

نشانه گذاری - این روشی برای نمایش اعداد و قوانین مربوطه برای کار بر روی اعداد است. سیستم های اعداد مختلفی که در گذشته وجود داشته و امروزه مورد استفاده قرار می گیرند را می توان به دو دسته تقسیم کرد غیر موضعیو موضعی. علائمی که هنگام نوشتن اعداد استفاده می شود، نامیده می شوند در اعداد

که در سیستم های اعداد غیر موقعیتی معنای یک رقم به موقعیت آن در عدد بستگی ندارد.

نمونه ای از سیستم اعداد غیر موقعیتی، سیستم رومی (اعداد رومی) است. در سیستم رومی، از حروف لاتین به عنوان اعداد استفاده می شود:

مثال 1.عدد CCXXXII از دویست، سه ده و دو واحد تشکیل شده و برابر با دویست و سی و دو است.

در اعداد رومی، اعداد از چپ به راست به ترتیب نزولی نوشته می شوند. در این حالت مقادیر آنها با هم جمع می شوند. اگر یک عدد کوچکتر در سمت چپ و یک عدد بزرگتر در سمت راست نوشته شود، مقادیر آنها کم می شود.

مثال 2.

VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 – 1 = 4.

مثال 3.

MCMXCVIII = 1000 + (–100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

که در سیستم های اعداد موقعیتی مقدار مشخص شده با یک رقم در نماد اعداد به موقعیت آن بستگی دارد. تعداد ارقام استفاده شده را پایه سیستم اعداد موقعیتی می نامند.

سیستم اعداد مورد استفاده در ریاضیات مدرن است سیستم اعشاری موقعیتی. پایه آن ده است، زیرا هر عددی با ده رقم نوشته می شود:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

ماهیت موقعیتی این سیستم با استفاده از مثال هر عدد چند رقمی به راحتی قابل درک است. به عنوان مثال، در عدد 333، سه اول به معنای سه صد، دوم - سه ده، سوم - سه یک است.

برای نوشتن اعداد در یک سیستم موقعیتی با ریشه nباید داشته باشد الفبااز جانب nشماره معمولا برای این n < 10 используют nاولین اعداد عربی و چه زمانی n> 10 حرف به ده عدد عربی اضافه می شود. در اینجا نمونه هایی از حروف الفبای چندین سیستم آورده شده است:

اگر شما نیاز به نشان دادن پایه سیستمی دارید که یک شماره به آن تعلق دارد، یک زیرنویس به این شماره اختصاص داده می شود. مثلا:

101101 2, 3671 8, 3B8F 16.

در یک سیستم اعداد با پایه q (q-سیستم اعداد آری) واحدهای ارقام توان های متوالی یک عدد هستند q. qواحدهای هر دسته، واحد دسته بعدی را تشکیل می دهند. برای نوشتن یک عدد q-سیستم شماره آری مورد نیاز است qعلائم مختلف (اعداد) نشان دهنده اعداد 0، 1، ...، q– 1. نوشتن یک عدد q V q-سیستم اعداد آری به شکل 10 است.

شکل گسترده نوشتن یک عدد

اجازه دهید ق- شماره در سیستم پایه q, آی -ارقام یک سیستم عددی معین موجود در رکورد اعداد آ, n+ 1 - تعداد ارقام قسمت صحیح عدد، متر- تعداد ارقام قسمت کسری عدد:

شکل گسترش یافته عدد آرکورد به شکل زیر نامیده می شود:

به عنوان مثال، برای یک عدد اعشاری:

مثال های زیر شکل بسط یافته اعداد هگزادسیمال و باینری را نشان می دهد:

در هر سیستم عددی، پایه آن 10 نوشته می شود.

اگر تمام عبارات به صورت بسط داده شده یک عدد غیر اعشاری در سیستم اعشاری نشان داده شوند و عبارت حاصل مطابق با قوانین حساب اعشاری محاسبه شود، آنگاه عددی در سیستم اعشاری برابر با عدد داده شده به دست می آید. این اصل برای تبدیل از سیستم غیر اعشاری به سیستم اعشاری استفاده می شود. به عنوان مثال، تبدیل اعداد نوشته شده در بالا به سیستم اعشاری به صورت زیر انجام می شود:

اجازه دهید ق- شماره در سیستم پایه q, آی -ارقام یک سیستم عددی معین موجود در رکورد اعداد آ, n+ 1 - تعداد ارقام قسمت صحیح عدد، متر- تعداد ارقام قسمت کسری عدد:

شکل گسترش یافته عدد آرکورد به شکل زیر نامیده می شود:

به عنوان مثال، برای یک عدد اعشاری:

مثال های زیر شکل بسط یافته اعداد هگزادسیمال و باینری را نشان می دهد:

در هر سیستم عددی، پایه آن 10 نوشته می شود.

اگر تمام عبارات به صورت بسط داده شده یک عدد غیر اعشاری در سیستم اعشاری نشان داده شوند و عبارت حاصل مطابق با قوانین حساب اعشاری محاسبه شود، آنگاه عددی در سیستم اعشاری برابر با عدد داده شده به دست می آید. این اصل برای تبدیل از سیستم غیر اعشاری به سیستم اعشاری استفاده می شود. به عنوان مثال، تبدیل اعداد نوشته شده در بالا به سیستم اعشاری به صورت زیر انجام می شود:

ترجمه اعداد اعشاریبه سایر سیستم های اعداد

تبدیل عدد صحیح

عدد اعشاری کامل ایکسباید به یک سیستم با پایه تبدیل شود q: ایکس = (آ n آ n-1… آ 1 آ 0) q. باید ارقام مهم عدد را پیدا کنید: اجازه دهید عدد را به شکل بسط یافته ارائه کنیم و تبدیل یکسان را انجام دهیم:

از اینجا معلوم است که آ 0 باقیمانده هنگام تقسیم یک عدد است ایکسدر هر عدد q. عبارت داخل پرانتز ضریب صحیح این تقسیم است. بیایید آن را با علامت گذاری کنیم ایکس 1. با انجام تبدیل های مشابه، به دست می آوریم:

از این رو، آ 1 باقیمانده تقسیم است ایکس 1 در هر q. با ادامه تقسیم با باقی مانده، دنباله ای از ارقام عدد مورد نظر را به دست خواهیم آورد. عدد یکدر این زنجیره تقسیمات، آخرین ضریب، کوچکتر خواهد بود q.

اجازه دهید قانون حاصل را فرموله کنیم: برای تبدیل یک عدد اعشاری صحیح به یک سیستم عددی با پایه متفاوت، شما نیاز دارید:

1) اساس سیستم اعداد جدید را در سیستم اعداد اعشاری بیان کنید و تمام اقدامات بعدی را طبق قوانین حساب اعشاری انجام دهید.

2) عدد داده شده و ضرایب ناقص حاصل را به ترتیب بر پایه سیستم اعداد جدید تقسیم کنید تا زمانی که یک ضریب ناقص کوچکتر از مقسوم علیه بدست آوریم.

3) ترازهای حاصل که ارقام عدد در است سیستم جدیداعداد، آنها را با الفبای سیستم اعداد جدید مطابقت دهید.

4) یک عدد را در سیستم اعداد جدید بنویسید و آن را از آخرین ضریب شروع کنید.

مثال 1.عدد 37 10 را به باینری تبدیل کنید.

برای تعیین ارقام در یک عدد از نمادگرایی استفاده می کنیم: آ 5 آ 4 آ 3 آ 2 آ 1 آ 0

از این رو: 37 10 = l00l0l 2

مثال 2.عدد اعشاری 315 را به سیستم های هشت و هگزادسیمال تبدیل کنید:

به شرح زیر است: 315 10 = 473 8 = 13B 16. به یاد بیاورید که 11 10 = B 16.

کسر اعشاری ایکس < 1 требуется перевести в систему с основанием q: ایکس = (0, آ –1 آ –2 … آ–m+1 آ-m) q. باید ارقام مهم عدد را پیدا کنید: آ –1 ,آ –2 , …, آ–m .عدد را به صورت بسط داده شده ارائه دهید و در آن ضرب کنید q:

از اینجا معلوم است که آ-1 یک بخش کامل از کار وجود دارد ایکسدر هر عدد q. بیایید نشان دهیم ایکس 1قسمت کسریحاصل ضرب کنید و در آن ضرب کنید q:

از این رو، آ-2 یک بخش کامل از کار است ایکسهر عدد 1 عدد q. با ادامه ضرب، دنباله ای از اعداد به دست می آید. حالا بیایید یک قانون را تدوین کنیم: برای تبدیل کسر اعشاری به یک سیستم عددی با پایه متفاوت، شما نیاز دارید:

1) عدد داده شده و قطعات کسری حاصل از حاصل را در پایه سیستم اعداد جدید ضرب کنید تا قسمت کسری حاصل برابر با صفر شود یا دقت لازم برای نمایش عدد در سیستم اعداد جدید حاصل شود.

2) قسمت های صحیح حاصل از آثار را که ارقام عدد در سیستم اعداد جدید هستند مطابق با الفبای سیستم اعداد جدید قرار دهید.

3) قسمت کسری عدد را در سیستم اعداد جدید بنویسید و از قسمت صحیح اولین محصول شروع کنید.

مثال 3.کسر اعشاری 0.1875 را به سیستم های باینری، اکتال و هگزادسیمال تبدیل کنید.

در اینجا ستون سمت چپ شامل قسمت صحیح اعداد و ستون سمت راست شامل قسمت کسری است.

از این رو: 0.1875 10 = 0.0011 2 = 0.14 8 = 0.3 16

تبدیل اعداد مختلطشامل اجزای صحیح و کسری در دو مرحله انجام می شود. قسمت های صحیح و کسری عدد اصلی به طور جداگانه با استفاده از الگوریتم های مناسب ترجمه می شوند. در ثبت نهایی یک عدد در سیستم اعداد جدید، قسمت صحیح با یک کاما (نقطه) از قسمت کسری جدا می شود.

مبحث "سیستم های اعداد" ارتباط مستقیمی با نظریه اعداد ریاضی دارد. با این حال، به عنوان یک قاعده، در دوره های ریاضی مدرسه مطالعه نمی شود. لزوم مطالعه این مبحث در درس علوم کامپیوتر به این موضوع مربوط می شود که اعداد در حافظه کامپیوتر در سیستم اعداد باینری نمایش داده می شوند و از سیستم های هگزا دسیمال یا اکتال برای نمایش خارجی محتویات حافظه و آدرس های حافظه استفاده می شود. این یکی از مباحث سنتی دوره های علوم کامپیوتر یا برنامه نویسی است. این مبحث به دلیل همجواری با ریاضیات، به آموزش ریاضی اساسی دانش‌آموزان نیز کمک می‌کند.

برای یک دوره علوم کامپیوتر، علاقه اصلی آشنایی با سیستم اعداد باینری است. استفاده از سیستم اعداد باینری در رایانه را می توان از دو جنبه در نظر گرفت: 1) شماره گذاری باینری، 2) حساب باینری، یعنی. انجام محاسبات حسابی روی اعداد باینری

شماره گذاری باینری

دانش آموزان در مبحث «نمایندگی متن در.» با شماره گذاری باینری مواجه می شوند حافظه کامپیوتر" هنگام صحبت در مورد جدول کدگذاری، معلم باید به دانش آموزان بگوید که داخلی کد باینرینماد اوست شماره سریالدر سیستم اعداد باینری به عنوان مثال، تعداد حرف S در جدول اسکی 83 است. کد باینری هشت بیتی برای حرف S برابر با ارزشاین عدد در سیستم اعداد باینری: 01010011.

محاسبات باینری

طبق اصل جان فون نویمان، یک کامپیوتر محاسبات را در سیستم اعداد باینری انجام می دهد. در چارچوب دوره پایه، کافی است خود را به در نظر گرفتن محاسبات با اعداد صحیح باینری محدود کنیم. برای انجام محاسبات با اعداد چند رقمی باید قوانین جمع و قوانین ضرب اعداد تک رقمی را بدانید. این قوانین هستند:

اصل جابجایی جمع و ضرب در همه سیستم های عددی کار می کند. تکنیک های انجام محاسبات با اعداد چند رقمی در سیستم باینری شبیه به سیستم اعشاری است. به عبارت دیگر، مراحل جمع، تفریق و ضرب در یک "ستون" و تقسیم بر یک "گوشه" در سیستم باینری به همان روشی که در سیستم اعشاری انجام می شود انجام می شود.

بیایید به قوانین تفریق و تقسیم اعداد باینری نگاه کنیم. عمل تفریق معکوس جمع است. از جدول جمع بالا قوانین تفریق به شرح زیر است:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

در اینجا مثالی از تفریق اعداد چند رقمی آورده شده است:

نتیجه به‌دست‌آمده را می‌توان با اضافه کردن تفاوت با زیرمجموعه بررسی کرد. نتیجه باید یک عدد کاهشی باشد.

تقسیم عمل معکوس ضرب است.
در هر سیستم عددی نمی توانید بر 0 تقسیم کنید. حاصل تقسیم بر 1 برابر است با سود تقسیمی. تقسیم یک عدد دودویی بر 10 2 اعشار را یک مکان به سمت چپ حرکت می دهد، مشابه تقسیم اعشار بر ده. مثلا:

تقسیم بر 100 نقطه اعشار را 2 مکان به سمت چپ حرکت می دهد و غیره. که در دوره پایهممکن است در نظر گرفته نشود نمونه های پیچیدهتقسیم اعداد باینری چند رقمی اگرچه دانش آموزان توانمند می توانند با آنها کنار بیایند، اما با درک اصول کلی.

نمایش اطلاعات ذخیره شده در حافظه کامپیوتر به شکل دودویی واقعی آن به دلیل تعداد زیاد ارقام بسیار دشوار است. این به ثبت چنین اطلاعاتی بر روی کاغذ یا نمایش آن بر روی صفحه اشاره دارد. برای این اهداف، مرسوم است که از سیستم های مختلط باینری-اکتال یا باینری-هگزادسیمال استفاده شود.

یک رابطه ساده بین نمایش باینری و هگزادسیمال یک عدد وجود دارد. هنگام تبدیل یک عدد از یک سیستم به سیستم دیگر، یک رقم هگزادسیمال مربوط به یک کد باینری چهار رقمی است. این مطابقت در جدول باینری-هگزادسیمال منعکس شده است:

جدول هگزادسیمال باینری

این ارتباط بر اساس این واقعیت است که 16 = 2 4 و تعداد ترکیب های چهار رقمی مختلف اعداد 0 و 1 16 است: از 0000 تا 1111. بنابراین تبدیل اعداد از هگزا دسیمال به باینری و بالعکس با تبدیل رسمی با استفاده از جدول باینری-هگزادسیمال انجام می شود..

در اینجا مثالی از تبدیل باینری 32 بیتی به هگزادسیمال آورده شده است:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

اگر یک نمایش هگزادسیمال از اطلاعات داخلی داده شود، تبدیل آن به کد باینری آسان است. مزیت نمایش هگزا دسیمال این است که 4 برابر کوتاهتر از باینری است. برای دانش آموزان توصیه می شود که جدول باینری-هگزادسیمال را حفظ کنند. سپس در واقع برای آنها نمایش هگزا دسیمال معادل باینری خواهد شد.

در سیستم هشت دودویی، هر رقم هشتی مربوط به سه عدد از ارقام باینری است. این سیستم به شما امکان می دهد کد باینری را 3 برابر کاهش دهید.

| برنامه ریزی درسی و مواد درسی | کلاس هشتم | برنامه ریزی دروس برای سال تحصیلی (طبق کتاب درسی N.D. Ugrinovich) | شکل های بسط و فرو ریخته نوشتن اعداد. تبدیل سیستم اعداد دلخواه به اعشاری

درس 19
شکل های بسط و فرو ریخته نوشتن اعداد. تبدیل سیستم اعداد دلخواه به اعشاری

§ 4.1. رمزگذاری اطلاعات عددی

4.1.2. عملیات حسابی در سیستم های اعداد موقعیتی

عملیات محاسباتی در تمامی سیستم های اعداد موقعیتی بر اساس همان قوانینی انجام می شود که برای شما کاملاً شناخته شده است.

اضافهبیایید جمع اعداد در سیستم اعداد باینری را در نظر بگیریم. بر اساس جدولی برای جمع اعداد باینری تک رقمی است:

0 + 0 = 0,
0 + 1 = 1,
1 + 0 = 1,
1 + 1 = 10.

توجه به این نکته مهم است که هنگام جمع دو عدد، رقم سرریز می شود و به مهم ترین رقم منتقل می شود. سرریز رقم زمانی اتفاق می افتد که مقدار یک رقم در آن مساوی یا بزرگتر از پایه سیستم اعداد شود. برای سیستم اعداد باینری این مقدار دو است.

جمع اعداد باینری چند بیتی مطابق با جدول جمع بالا و با در نظر گرفتن انتقال احتمالی از ارقام مرتبه پایین به ارقام مرتبه بالا انجام می شود. به عنوان مثال، اجازه دهید اعداد باینری 110 2 و 11 2 را به یک ستون اضافه کنیم:

بیایید صحت محاسبات را با اضافه کردن در سیستم اعداد اعشاری بررسی کنیم. بیایید اعداد باینری را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنیم و سپس آنها را اضافه کنیم:

حالا بیایید نتیجه جمع دودویی را به یک عدد اعشاری تبدیل کنیم:

بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم - اضافه کردن به درستی انجام شد.

منها کردن.بیایید به تفریق اعداد باینری نگاه کنیم. بر اساس جدولی برای تفریق اعداد باینری تک رقمی است.

وقتی عدد بزرگتر (1) را از عدد کوچکتر (0) کم می کنیم، از بالاترین رقم وام گرفته می شود. در جدول، وام با یک خط مشخص شده است:

تفریق اعداد باینری چند بیتی مطابق با جدول تفریق بالا با در نظر گرفتن وام های احتمالی از بالاترین ارقام انجام می شود. به عنوان مثال، بیایید اعداد باینری 110 2 و 11 2 را کم کنیم:

ضرب.ضرب بر اساس جدول ضرب اعداد باینری تک رقمی است:

ضرب اعداد باینری چند رقمی مطابق جدول ضرب فوق انجام می شود طرح معمول، در سیستم اعداد اعشاری، با ضرب متوالی ضرب در رقم بعدی ضریب استفاده می شود. به عنوان مثال، بیایید اعداد باینری 110 2 و 11 2 را ضرب کنیم:

بخش.عملیات تقسیم با استفاده از الگوریتمی مشابه الگوریتم انجام عملیات تقسیم در سیستم اعداد اعشاری انجام می شود. به عنوان مثال، بیایید عدد باینری 110 2 را بر 11 2 تقسیم کنیم:

برای عملیات حسابیبیش از اعداد بیان شده در سیستم های مختلفنماد، ابتدا باید آنها را به همان سیستم تبدیل کنید.

وظایف برای تکمیل مستقل

4.6. یک کار با پاسخ دقیق.انجام جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد باینری 1010 2 و 10 2

پایه سیستم اعداد موقعیتی عدد صحیح q است که به یک توان افزایش می یابد.

اساس یک سیستم اعداد موقعیتی، دنباله ای از اعداد است که هر کدام معادل کمی (وزن) یک نماد را بسته به جایگاه آن در کد عددی تعیین می کنند.

پایه اعشاری: …10 n, 10n –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – متر ,…

اساس یک سیستم اعداد موقعیتی دلخواه: ... qn, qn –1 , …, q 1 , q 0 , q –1 , …, q – متر, …

پایه در هر سیستمی به صورت 10 نشان داده می شود، اما مقدار کمی متفاوتی دارد. این نشان می دهد که مقدار کمی یک رقم زمانی که به یک موقعیت مجاور منتقل می شود، چند بار تغییر می کند. بسیاری از سیستم های موقعیتی ممکن است، زیرا هر عددی که کمتر از 2 نباشد را می توان به عنوان پایه سیستم اعداد در نظر گرفت.

نام سیستم اعداد مربوط به پایه آن (اعشاری، دودویی، کوینری و غیره) است.

در یک سیستم اعداد با پایه q (q-سیستم اعداد آری) واحدهای ارقام توان های متوالی یک عدد هستند q،به عبارت دیگر، qواحدهای هر دسته، واحد دسته بعدی را تشکیل می دهند.

برای نوشتن اعداد در q-سیستم شماره آری مورد نیاز است qعلائم مختلف (اعداد) نشان دهنده اعداد 0، 1، ...، q – 1.

بنابراین، پایه یک سیستم اعداد موقعیتی برابر با تعداد نمادها (علائم) در الفبای آن است. نوشتن یک عدد q V q-سیستم اعداد آری به شکل 10 است.

مثال 1.سیستم اعداد هشتگانه

پایه: q = 8.

حروف الفبا: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6 و 7.

اعداد: به عنوان مثال 45023.152 8 ; 751,001 8 .

مثال 2.سیستم اعداد پنج برابری .

پایه: q = 5.

حروف الفبا: 0، 1، 2، 3 و 4.

اعداد: به عنوان مثال، 20304 5 ; 324.03 5.

مثال 3.سیستم اعداد هگزادسیمال

پایه: q = 16.

الفبا: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، A، B، C، D، E، F.

در اینجا، تنها ده رقم از شانزده رقم دارای نام پذیرفته شده 0-9 هستند. برای نوشتن بقیه حروف الفبا (10، 11، 12، 13، 14 و 15)، معمولاً از پنج حرف اول الفبای لاتین استفاده می شود.

اعداد: به عنوان مثال، В5С3،1А2 16؛ 355.0FA01 8.

در سیستم اعداد موقعیتی، هر عدد واقعیرا می توان به شکل زیر ارائه کرد:

ق = ±( a n-1× qn –1 + a n-2× qn –2 +…+ آ 0 × q 0 + آ-1× q –1 + آ-2× q –2 +…+ آ –متر × q–m)، (1) یا ±.

اینجا آ -خود شماره؛ q-ریشه;
و من- اعداد متعلق به الفبای یک سیستم عددی معین. پ -تعداد ارقام صحیح؛ تی -تعداد ارقام کسری یک عدد

تجزیه یک عدد بر اساس فرمول (1) نامیده می شود فرم ورود گسترده . در غیر این صورت به این شکل ضبط گفته می شود چند جمله اییا آرام بخش

مثال 1.عدد اعشاری آ 10 = 5867.91 طبق فرمول (1) به صورت زیر نمایش داده می شود:

آ 10 = 5 × 10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 –1 + 1 × 10 –2.

مثال 2.فرمول (1) برای سیستم اعداد اکتالی به شکل زیر است:

آ 8 = ±( a n-1 × 8 n –1 + a n-2 × 8 n –2 +…+ آ 0 × 8 0 + آ–1 × 8 –1 + آ–2×8 –2 +…+ صبح×8 – متر),

جایی که و من- اعداد 0-7.

عدد اکتال 8 = 7064.3 در شکل (1) به صورت زیر نوشته می شود:

آ 8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8 –1.

مثال 3.عدد پنج برابری آ 5 = 2430.21 مطابق فرمول (1) به صورت زیر نوشته می شود:

آ 5 = 2 × 5 3 + 4 × 5 2 + 3 × 5 اینچ + 0 × 5 درجه + 2 × 5 –1 + 1 × 5 –2.

با محاسبه این عبارت می توانید معادل اعشاری عدد پنج برابری مشخص شده را بدست آورید: 365.44 10.

مثال 4.در سیستم اعداد هگزادسیمال ورودی 3 است A.F. 16 یعنی:

3A.F. 16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.