Ennek segítségével online számológép Egész és tört számokat konvertálhat egyik számrendszerből a másikba. Részletes megoldást adunk magyarázatokkal. A fordításhoz írja be az eredeti számot, állítsa be az eredeti szám számrendszerének alapját, állítsa be annak a számrendszernek az alapját, amelyre a számot konvertálni kívánja, majd kattintson a "Fordítás" gombra. Lásd alább az elméleti részt és a numerikus példákat.
Az eredmény már meg is érkezett!
Egész és tört számok fordítása egyik számrendszerből bármely másikba - elmélet, példák és megoldások
Léteznek pozíciós és nem pozíciós számrendszerek. A mindennapi életben használt arab számrendszer pozicionális, míg a római nem. Pozíciós számrendszerekben egy szám pozíciója egyértelműen meghatározza a szám nagyságát. Tekintsük ezt a 6372-es szám példáján a decimális számrendszerben. Számozzuk meg ezt a számot jobbról balra nullától kezdve:
Ekkor a 6372-es szám a következőképpen ábrázolható:
6372=6000+300+70+2 =6 10 3 +3 10 2 +7 10 1 +2 10 0 .
A 10-es szám határozza meg a számrendszert (jelen esetben 10). Az adott szám pozíciójának értékeit foknak vesszük.
Tekintsük az 1287,923 valós decimális számot. Számozzuk a szám nulla helyétől kezdve a tizedesvesszőtől balra és jobbra:
Ekkor az 1287.923 szám a következőképpen ábrázolható:
1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1 10 3 +2 10 2 +8 10 1 +7 10 0 +9 10 -1 +2 10 -2 +3 10 -3.
Általában a képlet a következőképpen ábrázolható:
C n s n + C n-1 s n-1 +...+C 1 s 1 + C 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k
ahol C n egy egész szám a pozícióban n, D -k - törtszám a (-k) pozícióban, s- számrendszer.
Néhány szó a számrendszerekről A decimális számrendszerben egy szám számjegyek halmazából áll (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), az oktális számrendszerben számjegykészlet (0,1, 2,3,4,5,6,7), bináris rendszerben - számjegykészletből (0,1), hexadecimális számrendszerben - számjegykészletből ( 0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), ahol A,B,C,D,E,F a 10-es számoknak felel meg, 11, 12, 13, 14, 15. Az 1. táblázatban a számok szerepelnek különböző rendszerek leszámolás.
Asztal 1 | |||
---|---|---|---|
Jelölés | |||
10 | 2 | 8 | 16 |
0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 10 | 2 | 2 |
3 | 11 | 3 | 3 |
4 | 100 | 4 | 4 |
5 | 101 | 5 | 5 |
6 | 110 | 6 | 6 |
7 | 111 | 7 | 7 |
8 | 1000 | 10 | 8 |
9 | 1001 | 11 | 9 |
10 | 1010 | 12 | A |
11 | 1011 | 13 | B |
12 | 1100 | 14 | C |
13 | 1101 | 15 | D |
14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Számok átalakítása egyik számrendszerből a másikba
A számok egyik számrendszerből a másikba történő fordításához a legegyszerűbb, ha először a számot decimális számrendszerré alakítjuk át, majd a decimális számrendszerből a szükséges számrendszerre fordítjuk.
Számok konvertálása tetszőleges számrendszerből decimális számrendszerbe
Az (1) képlet segítségével bármilyen számrendszerből számokat konvertálhat decimális számrendszerré.
Példa 1. Alakítsa át a 1011101.001 számot bináris számrendszerről (SS) decimális SS-re. Megoldás:
1 2 6 +0 2 5 + 1 2 4+ 1 2 3+ 1 2 2+ 0 2 1+ 1 20+ 0 2-1 + 0 2-2 + 1 2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125
Példa2. Alakítsa át a 1011101.001 számot oktális számrendszerről (SS) decimális SS-re. Megoldás:
Példa 3 . Alakítsa át az AB572.CDF számot hexadecimálisról decimális SS-re. Megoldás:
Itt A- 10-re cserélve, B-11-kor, C- 12-kor, F-15-kor.
Számok átalakítása decimális számrendszerből másik számrendszerbe
Ha a számokat a decimális számrendszerből egy másik számrendszerbe szeretné lefordítani, külön kell lefordítania a szám egész részét, és törtrész számok.
A szám egész részét a decimális SS-ből egy másik számrendszerbe fordítja át - a szám egész részét a számrendszer alapjával osztva (bináris SS esetén - 2-vel, 8-jegyű SS-nél - 8-cal , 16 számjegy esetén - 16-tal stb. ), hogy teljes maradékot kapjunk, amely kisebb, mint az SS alapja.
Példa 4 . Fordítsuk le a 159-es számot decimális SS-ről bináris SS-re:
159 | 2 | ||||||
158 | 79 | 2 | |||||
1 | 78 | 39 | 2 | ||||
1 | 38 | 19 | 2 | ||||
1 | 18 | 9 | 2 | ||||
1 | 8 | 4 | 2 | ||||
1 | 4 | 2 | 2 | ||||
0 | 2 | 1 | |||||
0 |
ábrából látható. 1, a 159-es szám 2-vel osztva a 79-es hányadost adja, a maradék pedig 1-et. Továbbá a 79-es szám 2-vel osztva a 39-es hányadost adja, a maradék pedig 1-et, és így tovább. Ennek eredményeként az osztás maradékából (jobbról balra) összeállítva egy számot kapunk bináris SS-ben: 10011111 . Ezért írhatjuk:
159 10 =10011111 2 .
Példa 5 . Alakítsuk át a 615-ös számot decimális SS-ről oktális SS-re.
615 | 8 | ||
608 | 76 | 8 | |
7 | 72 | 9 | 8 |
4 | 8 | 1 | |
1 |
Amikor egy számot decimális SS-ről oktális SS-re konvertálunk, szekvenciálisan el kell osztanunk a számot 8-cal, amíg 8-nál kisebb egész maradékot nem kapunk. Ennek eredményeként az osztás maradékából (jobbról balra) egy számot állítunk össze. kap egy számot oktális SS-ben: 1147 (lásd 2. ábra). Ezért írhatjuk:
615 10 =1147 8 .
Példa 6 . Fordítsuk le az 19673 számot a decimális számrendszerből hexadecimális SS-re.
19673 | 16 | ||
19664 | 1229 | 16 | |
9 | 1216 | 76 | 16 |
13 | 64 | 4 | |
12 |
A 3. ábrán látható, hogy az 19673-as számot egymás után 16-tal elosztva 4, 12, 13, 9 maradékot kaptunk. A hexadecimális számrendszerben a 12-es szám C-nek, a 13-as szám pedig D-nek felel meg. hexadecimális számunk 4CD9.
A helyes tizedesjegyek konvertálásához ( valós szám nulla egész résszel) s bázisú számrendszerbe, ezt a számot egymás után meg kell szorozni s-vel, amíg a tört rész meg nem lesz. nettó nulla, vagy nem kapjuk meg a szükséges számú számjegyet. Ha a szorzás olyan számot eredményez, amelynek egész része nem nulla, akkor ezt az egész részt nem vesszük figyelembe (sorosan szerepelnek az eredményben).
Nézzük meg példákkal a fentieket.
Példa 7 . Fordítsuk le a 0,214-es számot a decimális számrendszerből bináris SS-re.
0.214 | ||
x | 2 | |
0 | 0.428 | |
x | 2 | |
0 | 0.856 | |
x | 2 | |
1 | 0.712 | |
x | 2 | |
1 | 0.424 | |
x | 2 | |
0 | 0.848 | |
x | 2 | |
1 | 0.696 | |
x | 2 | |
1 | 0.392 |
A 4. ábrából látható, hogy a 0,214 számot egymás után megszorozzuk 2-vel. Ha a szorzás eredménye egy olyan szám, amelynek egész része nem nulla, akkor az egész részt külön írjuk (a számtól balra), és a számot nulla egész résszel írjuk fel. Ha szorozva egy nulla egész részt tartalmazó számot kapunk, akkor attól balra nullát írunk. A szorzási folyamat addig folytatódik, amíg a tört részben tiszta nullát nem kapunk, vagy el nem érjük a szükséges számú számjegyet. Félkövér számokat (4. ábra) felülről lefelé írva a kettes rendszerben megkapjuk a szükséges számot: 0. 0011011 .
Ezért írhatjuk:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Példa 8 . Fordítsuk le a 0,125-ös számot a decimális számrendszerből bináris SS-re.
0.125 | ||
x | 2 | |
0 | 0.25 | |
x | 2 | |
0 | 0.5 | |
x | 2 | |
1 | 0.0 |
A 0,125 szám decimális SS-ből binárissá konvertálásához ezt a számot egymás után meg kell szorozni 2-vel. A harmadik szakaszban 0-t kaptunk, így a következő eredményt kaptuk:
0.125 10 =0.001 2 .
Példa 9 . Fordítsuk le a 0,214-es számot a decimális számrendszerből hexadecimális SS-re.
0.214 | ||
x | 16 | |
3 | 0.424 | |
x | 16 | |
6 | 0.784 | |
x | 16 | |
12 | 0.544 | |
x | 16 | |
8 | 0.704 | |
x | 16 | |
11 | 0.264 | |
x | 16 | |
4 | 0.224 |
A 4. és 5. példát követve a 3, 6, 12, 8, 11, 4 számokat kapjuk. De hexadecimális SS-ben a C és B számok a 12 és 11 számoknak felelnek meg.
0,214 10 =0,36C8B4 16 .
Példa 10 . Fordítsuk le a 0,512-es számot a decimális számrendszerből oktális SS-re.
0.512 | ||
x | 8 | |
4 | 0.096 | |
x | 8 | |
0 | 0.768 | |
x | 8 | |
6 | 0.144 | |
x | 8 | |
1 | 0.152 | |
x | 8 | |
1 | 0.216 | |
x | 8 | |
1 | 0.728 |
Kapott:
0.512 10 =0.406111 8 .
Példa 11 . Fordítsuk le a 159.125 számot a decimális számrendszerből bináris SS-re. Ehhez külön fordítjuk le a szám egész részét (4. példa) és a szám tört részét (8. példa). Ezeket az eredményeket kombinálva a következőket kapjuk:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Példa 12 . Fordítsuk le az 19673.214 számot a decimális számrendszerből hexadecimális SS-re. Ehhez külön fordítjuk le a szám egész részét (6. példa) és a szám tört részét (9. példa). Ezeket az eredményeket tovább kombinálva kapjuk.
A számológép lehetővé teszi egész és tört számok konvertálását egyik számrendszerből a másikba. A számrendszer alapja nem lehet kevesebb 2-nél és több 36-nál (végül is 10 számjegy és 26 latin betű). A számok nem haladhatják meg a 30 karaktert. Törtszámok beírásához használja a szimbólumot. vagy, . Egy szám egyik rendszerből a másikba való konvertálásához írja be az eredeti számot az első mezőbe, az eredeti számrendszer alapját a másodikba, és annak a számrendszernek az alapját, amelyre a számot konvertálni szeretné, a harmadik mezőbe, majd kattintson a "Belépés" gombra.
eredeti szám rögzítve -adik számrendszer.
Egy szám rekordját szeretném bevinni 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -adik számrendszer.
Szerezzen bejegyzést
Elkészült fordítások: 3446071
Ez is érdekes lehet:
- Igazságtáblázat-kalkulátor. SDNF. SKNF. Zhegalkin polinom
Számrendszerek
A számrendszerek két típusra oszthatók: helyzetiés nem pozicionális. Mi az arab rendszert használjuk, ez pozicionális, és van a római is - csak nem pozicionális. A helymeghatározó rendszerekben egy számjegy helye egy számban egyértelműen meghatározza a szám értékét. Ez könnyen megérthető, ha megnézzük néhány szám példáját.
1. példa. Vegyük az 5921-es számot a decimális számrendszerben. A számot jobbról balra nullától kezdve számozzuk:
Az 5921-es szám a következő formában írható fel: 5921 = 5000+900+20+1 = 5 10 3 +9 10 2 +2 10 1 +1 10 0 . A 10-es szám a számrendszert meghatározó jellemző. Az adott szám pozíciójának értékeit foknak vesszük.
2. példa. Tekintsük az 1234.567 valós decimális számot. Számozzuk a szám nulla helyétől kezdve a tizedesvesszőtől balra és jobbra:
Az 1234.567 szám a következőképpen írható fel: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1 10 3 +2 10 2 +3 10 1 +4 10 0 +5 10 -1 -2 6 +7 10 -3 .
Számok átalakítása egyik számrendszerből a másikba
A legtöbb egyszerű módon egy szám egyik számrendszerből a másikba való áthelyezése a szám először a decimális számrendszerbe történő fordítása, majd a kapott eredmény a szükséges számrendszerbe.
Számok konvertálása tetszőleges számrendszerből decimális számrendszerbe
Ahhoz, hogy egy számot bármilyen számrendszerből decimálissá alakítsunk, elegendő a számjegyeit az 1. vagy 2. példához hasonlóan nullától (a tizedesvesszőtől balra lévő számjegytől) kezdve számozni. Keressük meg a számjegyek szorzatának összegét. a szám a számrendszer alapja szerint ennek a számjegynek a pozíciójának hatványához:
1.
Alakítsa át a 1001101.1101 2 számot decimális számrendszerré.
Megoldás: 10011.1101 2 = 1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 +1 2 -1 +1 2 -2 +0 2 -3 +1 2 - 4 = 16+2+1+0,5 +0,25+0,0625 = 19,8125 10
Válasz: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Alakítsa át az E8F.2D 16 számot decimális számrendszerré.
Megoldás: E8F.2D 16 = 14 16 2 +8 16 1 +15 16 0 +2 16 -1 +13 16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Válasz: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10
Számok átalakítása decimális számrendszerből másik számrendszerbe
A számok tizedes számrendszerből másik számrendszerbe való konvertálásához a szám egész és tört részét külön kell lefordítani.
Egy szám egész részének átalakítása decimális számrendszerből másik számrendszerbe
Az egész részt a decimális számrendszerből egy másik számrendszerbe konvertáljuk úgy, hogy a szám egész részét elosztjuk a számrendszer alapjával, amíg egy egész maradékot nem kapunk, amely kisebb, mint a számrendszer alapja. Az átvitel eredménye rekord lesz a maradványokból, az utolsótól kezdve.
3.
A 273 10 szám átalakítása oktális számrendszerré.
Megoldás: 273 / 8 = 34 és a maradék 1, 34 / 8 = 4 és a maradék 2, 4 kisebb, mint 8, így a számítás kész. A maradványok rekordja így fog kinézni: 421
Vizsgálat: 4 8 2 +2 8 1 +1 8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , az eredmény ugyanaz. Tehát a fordítás helyes.
Válasz: 273 10 = 421 8
Tekintsük a helyes tizedes törtek különböző számrendszerekbe fordítását.
Egy szám tört részének átalakítása decimális számrendszerből másik számrendszerbe
Emlékezzünk vissza, hogy a megfelelő tizedes tört valós szám nulla egész számmal. Ahhoz, hogy egy ilyen számot N-es számrendszerré lefordíthasson, következetesen meg kell szoroznia a számot N-vel mindaddig, amíg a tört részt nullázza, vagy el nem éri a szükséges számú számjegyet. Ha a szorzás során olyan számot kapunk, amelynek egész része nem nulla, akkor az egész részt a továbbiakban nem vesszük figyelembe, mivel az szekvenciálisan kerül be az eredménybe.
4.
Konvertálja a 0,125 10 számot bináris számrendszerré.
Megoldás: 0,125 2 = 0,25 (0 az egész rész, amely az eredmény első számjegye lesz), 0,25 2 = 0,5 (0 az eredmény második számjegye), 0,5 2 = 1,0 (1 az eredmény harmadik számjegye , és mivel a tört rész nulla, a fordítás kész).
Válasz: 0.125 10 = 0.001 2
Megadhat egész számokat, például 34-et, vagy tört számokat, például 637,333-at. Törtszámok esetén a tizedesvessző utáni fordítás pontosságát jelzi.
Ezzel a számológéppel a következők is használatosak:
A számok ábrázolásának módjai
Bináris (bináris) számok - minden számjegy egy bit értékét jelenti (0 vagy 1), a legjelentősebb bit mindig a bal oldalra kerül, a szám után a „b” betű kerül. A könnyebb érzékelés érdekében a notebookokat szóközökkel lehet elválasztani. Például 1010 0101b.Hexadecimális (hexadecimális) számok - minden tetrádot egy karakter jelöl 0 ... 9, A, B, ..., F. Egy ilyen ábrázolás többféleképpen jelölhető, csak a „h” karaktert használjuk itt az utolsó után hexadecimális számjegy. Például A5h. A programszövegekben ugyanaz a szám jelölhető 0xA5-ként és 0A5h-ként is, a programozási nyelv szintaxisától függően. A számok és a szimbolikus nevek megkülönböztetése érdekében egy nem szignifikáns nulla (0) kerül hozzáadásra a legjelentősebb hexadecimális számjegyhez, amelyet egy betű képvisel.
Tizedesjegyek (tizedes) számok - minden bájtot (szót, duplaszót) egy közönséges szám képvisel, és a decimális ábrázolás jelét ("d" betű) általában elhagyják. Az előző példák bájtjának decimális értéke 165. A bináris és hexadecimális jelöléssel ellentétben a decimálissal nehéz fejben meghatározni az egyes bitek értékét, amit néha meg kell tenni.
Octal (oktális) számok - minden bithármas (az elválasztás a legkisebb szignifikánstól kezdődik) 0-7 számként van írva, a végére az "o" jel kerül. Ugyanezt a számot 245o-nak írják. Az oktális rendszer kényelmetlen, mert a bájt nem osztható fel egyenlően.
Algoritmus számok konvertálására egyik számrendszerből a másikba
Teljes fordítás decimális számok bármely más számrendszerhez úgy történik, hogy a számot elosztjuk az alappal új rendszer számozást addig, amíg a maradék kisebb számmal marad, mint az új számrendszer alapja. Az új szám az osztás maradékaként kerül kiírásra, az utolsóval kezdve.A helyes tizedes tört átalakítása másik PSS-re úgy történik, hogy a számnak csak a tört részét szorozzuk meg az új számrendszer alapjával, amíg minden nulla a törtrészben marad, vagy amíg el nem érjük a megadott fordítási pontosságot. Minden szorzási művelet eredményeként az új szám egy számjegye keletkezik, a legmagasabbtól kezdve.
A helytelen tört fordítása az 1. és 2. szabály szerint történik. Az egész és a tört részt egybe kell írni, vesszővel elválasztva.
1. példa.
Fordítás 2-től 8-ig 16-ig számrendszer.
Ezek a rendszerek kettő többszörösei, ezért a fordítás a megfelelési táblázat segítségével történik (lásd alább).
Egy szám bináris számrendszerből oktális (hexadecimális) számmá alakításához a bináris számot három (hexadecimálisan négy) számjegyből álló csoportokra kell osztani, vesszőtől jobbra és balra, a szélső csoportokat nullákkal kiegészítve. ha szükséges. Mindegyik csoportot a megfelelő oktális vagy hexadecimális számjegy helyettesíti.
2. példa. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
itt 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
Ha hexadecimálisra konvertál, a számot négy számjegyű részekre kell osztani, ugyanazokat a szabályokat követve.
3. példa. 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
itt 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13
A számok 2-ről, 8-ról és 16-ról decimális rendszerre való átalakítása úgy történik, hogy a számot különálló számokra bontjuk, és megszorozzuk a rendszer alapjával (amelyből a számot lefordítják) a megfelelő hatványra emelve. sorozatszám a lefordított számban. Ebben az esetben a számok a tizedesvesszőtől balra vannak számozva (az első szám 0-val) növekvővel, jobbra pedig csökkenővel (azaz negatív előjellel). A kapott eredményeket összeadjuk.
4. példa.
Példa bináris számrendszerről decimális számrendszerre való konvertálásra.
1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Példa az oktális számrendszerből decimálissá való átváltásra. 108,5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Példa hexadecimális számrendszerről decimális számrendszerre való konvertálásra. 108,5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10
Még egyszer megismételjük a számok egyik számrendszerből egy másik PSS-be való fordításának algoritmusát
- A decimális számrendszerből:
- ossza el a számot a fordítandó számrendszer alapjával;
- keresse meg a maradékot a szám egész részének elosztása után;
- írd fel az osztás összes maradékát fordított sorrendben;
- A bináris rendszerből
- A decimális számrendszerre való konvertáláshoz meg kell találnia a 2. bázis szorzatainak összegét a megfelelő kisülési fok szerint;
- Egy szám oktálissá alakításához a számot triádokra kell bontani.
Például 1000110 = 1000 110 = 106 8 - Egy szám binárisról hexadecimálisra konvertálásához fel kell osztania a számot 4 számjegyű csoportokra.
Például 1000110 = 100 0110 = 46 16
A számrendszerek megfelelőségi táblázata:
Bináris SS | Hexadecimális SS |
0000 | 0 |
0001 | 1 |
0010 | 2 |
0011 | 3 |
0100 | 4 |
0101 | 5 |
0110 | 6 |
0111 | 7 |
1000 | 8 |
1001 | 9 |
1010 | A |
1011 | B |
1100 | C |
1101 | D |
1110 | E |
1111 | F |
Átalakítandó táblázat oktális rendszer leszámolás
2. példa. Alakítsa át a 100,12 számot decimálisról oktálisra és fordítva. Magyarázza meg az eltérések okait!
Megoldás.
1. szakasz. .
A felosztás többi részét fordított sorrendben írjuk. A számot a 8-as számrendszerben kapjuk: 144
100 = 144 8
Egy szám tört részének lefordításához egymás után megszorozzuk a tört részt 8-as bázissal. Ennek eredményeként minden alkalommal felírjuk a szorzat egész részét.
0,12*8 = 0,96 (egész rész 0
)
0,96*8 = 7,68 (egész rész 7
)
0,68*8 = 5,44 (egész rész 5
)
0,44*8 = 3,52 (egész rész 3
)
A számot a 8-as számrendszerben kapjuk: 0753.
0.12 = 0.753 8
100,12 10 = 144,0753 8
2. szakasz. Szám konvertálása decimálisról oktálisra.
Fordított átalakítás oktálisról decimálisra.
Az egész rész lefordításához meg kell szorozni a szám számjegyét a megfelelő számjegyfokkal.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100
A tört rész lefordításához el kell osztani a szám számjegyét a számjegy megfelelő fokával
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199
144,0753 8 = 100,96 10
A 0,0001 (100,12 - 100,1199) különbség az oktálisra konvertálás során fellépő kerekítési hibából adódik. Ez a hiba csökkenthető, ha nagyobb számú számjegyet veszünk (például nem 4-et, hanem 8-at).