함수 빌드

우리는 회사에 모든 권리가있는 온라인 기능 그래프를 그리는 서비스에주의를 기울입니다. 데스모스. 왼쪽 열을 사용하여 기능을 입력합니다. 수동으로 또는 다음을 사용하여 입력할 수 있습니다. 가상 키보드창 하단에 있습니다. 차트 창을 확대하려면 왼쪽 열과 가상 키보드를 모두 숨길 수 있습니다.

온라인 차트 작성의 이점

  • 도입된 기능의 시각적 표시
  • 매우 복잡한 그래프 작성
  • 암시적으로 정의된 그래프 그리기(예: 타원 x^2/9+y^2/16=1)
  • 차트를 저장하고 인터넷의 모든 사람이 사용할 수 있는 링크를 얻을 수 있는 기능
  • 스케일 제어, 선 색상
  • 점으로 그래프를 그리는 기능, 상수 사용
  • 여러 함수 그래프를 동시에 구성
  • 극좌표로 플로팅(r 및 θ(\theta) 사용)

우리와 함께 온라인에서 다양한 복잡성의 그래프를 쉽게 구축할 수 있습니다. 시공은 즉시 이루어집니다. 이 서비스는 기능의 교차점을 찾고 추가 이동에 대한 그래프를 표시하기 위해 요구됩니다. 워드 문서함수 그래프의 행동 특징을 분석하기 위한 문제 해결의 일러스트레이션으로. 사이트의 이 페이지에서 차트 작업을 위한 최적의 브라우저는 구글 크롬. 다른 브라우저를 사용하는 경우 올바른 작동이 보장되지 않습니다.

주어진 함수의 인수 대신 다른 인수의 일부 함수가 대체된다는 사실로 구성된 함수의 중첩(또는 부과) 개념에 대해 알아봅시다. 예를 들어, 함수의 중첩은 함수를 제공합니다.

일반적으로 기능이 도메인에 정의되어 있고 기능이 도메인에 정의되어 있고 모든 값이 도메인에 포함되어 있다고 가정하면 변수 z는 y를 통해 말했듯이 그 자체가 다음의 함수입니다.

주어진 from에 대해, 먼저 그것에 대응하는 값 y를 찾고(Y에서 값 y의 부호를 특징으로 하는 규칙에 따라, 그런 다음 해당 값 y를 설정합니다(규칙에 따라,

부호로 특징 지어지며 그 값은 선택한 x에 해당하는 것으로 간주됩니다. 함수 또는 복잡한 함수의 결과 함수는 함수 중첩의 결과입니다.

함수의 값이 함수가 정의된 영역 Y를 넘지 않는다는 가정은 상당히 중요합니다. 생략하면 불합리한 결과가 발생할 수 있습니다. 예를 들어, 표현식이 의미가 없는 x 값만 고려할 수 있다고 가정합니다.

여기서 우리는 복잡한 기능의 특성화는 x에 대한 z의 기능적 종속성의 본질과 연결되지 않고 오직 이 종속성이 지정되는 방식과 관련이 있다는 점을 강조하는 것이 유용하다고 생각합니다. 예를 들어 y에 대해 다음을 입력합니다.

여기에서 함수는 복잡한 함수로 주어졌습니다.

이제 함수 중첩의 개념이 완전히 명확해졌으므로 분석에서 연구되는 함수의 가장 단순한 클래스를 정확하게 특성화할 수 있습니다. 4개의 산술 연산과 중첩을 사용하여 유한한 횟수만큼 연속적으로 적용했습니다. 그들은 그것들에 대해 최종 형태의 초등적인 것을 통해 표현된다고 말합니다. 때로는 모두 초급이라고도 합니다.

결과적으로 더 복잡한 분석 장치(무한 급수, 적분)를 마스터하면 분석에서 중요한 역할을 하지만 이미 기본 기능의 클래스를 넘어선 다른 기능에 대해서도 알게 될 것입니다.


2개의 함수가 있다고 하자:

: A→B 및 g: D→F

함수 g의 영역 D가 함수 f의 영역에 포함된다고 하자(DB). 그러면 다음을 정의할 수 있습니다. 새로운 기능 – 중첩(구성, 복합 함수)기능 f 및 g: 지= g((엑스)).

예. f(x)=x 2 , g(x)=e x . f:R→R, g:R→R .

(g(x))=e 2x , g((x))=.

정의

두 가지 기능을 하자. 그런 다음 구성은 평등에 의해 정의된 함수입니다.

컴포지션 속성

    구성은 연관됩니다.

    만약 에프= 아이디 엑스- ID 매핑에 엑스, 그건

.

    만약 G= 아이디 와이- ID 매핑에 와이, 그건

.

추가 속성

셀 수 있는 집합과 셀 수 없는 집합입니다.

두 개의 유한 집합은 이러한 집합 간에 일대일 대응이 설정될 수 있는 경우 동일한 수의 요소로 구성됩니다. 유한 집합의 요소 수는 집합의 카디널리티입니다.

무한 집합의 경우 전체 집합과 그 부분 사이에 일대일 대응을 설정할 수 있습니다.

무한집합 중 가장 단순한 것은 N집합이다.

정의.집합 A와 B를 호출한다. 동등한(AB) 만약 그들 사이에 일대일 대응이 성립될 수 있다면.

두 개의 유한 집합이 동일하면 동일한 수의 요소로 구성됩니다.

등가 집합 A와 B가 임의적이면 A와 B가 동일하다고 말합니다. 힘. (힘 = 등가).

유한 집합의 경우 카디널리티 개념은 집합의 요소 수 개념과 일치합니다.

정의.세트라고 합니다 셀 수 있는그것과 자연수 집합 사이에 일대일 대응을 확립하는 것이 가능한 경우. (즉, 셀 수 있는 집합은 집합 N과 동일하며 무한합니다.)

(즉, 셀 수 있는 집합의 모든 요소를 ​​열거할 수 있습니다).

등가 관계 속성.

1) AA - 반사성.

2) AB, BA - 대칭.

3) AB와 BC, AC는 전이성이다.

예.

1) n→2n, 2,4,6,… - 짝수 자연수

2) n→2n-1, 1,3,5,… 는 홀수 자연수입니다.

셀 수 있는 집합의 속성.

1. 셀 수 있는 집합의 무한 부분 집합은 셀 수 있습니다.

증거. 왜냐하면 A는 셀 수 있고 A: x 1, x 2, ... - N에 A가 표시됩니다.

ВА, В: →1,→2,… - 각 요소에 자연수 할당 B를 N으로 매핑합니다. 따라서 B는 셀 수 있습니다. 채널

2. 가산 집합의 유한(가산) 시스템의 합집합은 가산입니다.

예.

1. 정수 집합 Z는 셀 수 있습니다. 집합 Z는 가산 집합 A와 B의 합집합으로 나타낼 수 있습니다. 여기서 A: 0,1,2,.. 및 B: -1,-2,-3,…

2. 많은 질서 있는쌍 ((m,n): m,nZ) (즉, (1,3)≠(3,1)).

3 (!) . 유리수 집합은 셀 수 있습니다.

질문=. 기약 분수 집합 Q와 순서쌍 집합 사이에 일대일 대응을 설정할 수 있습니다.

저것. 집합 Q는 집합 ((p,q))((m,n))과 동일합니다.

집합 ((m,n)) - 모든 순서 쌍의 집합 -는 셀 수 있습니다. 결과적으로 집합 ((p,q))도 셀 수 있으므로 Q도 셀 수 있습니다.

정의.무리수는 임의의 무한소수 비정기적분수, 즉  0 , 1  2 …

모든 소수의 집합은 집합을 형성합니다. 실수(실제) 숫자.

무리수의 집합은 셀 수 없습니다.

정리 1. 많은 실수구간(0,1)에서 는 셀 수 없는 집합입니다.

증거. 반대로 가정하십시오. 간격 (0,1)의 모든 숫자를 열거할 수 있습니다. 그런 다음 이 숫자를 무한 소수로 쓰면 다음과 같은 시퀀스를 얻습니다.

x 1 \u003d 0, a 11 a 12 ... a 1n ...

x 2 \u003d 0,a 21 a 22 ... a 2n ...

…………………..

x n =0,an 1 an 2 … an nn …

……………………

이제 실수 x=0,b 1 b 2 ... b n ...을 고려하십시오. 여기서 b 1은 a 11, (0 및 9), b 2 - a 22가 아닌 임의의 숫자, (0 및 9) ,…, b n - a nn , (0 및 9) 이외의 모든 숫자.

저것. x(0,1), 하지만 xx i(i=1,…,n) 때문에 그렇지 않으면 b i =a ii 입니다. 그들은 모순에 이르렀습니다. 채널

정리 2.실제 축의 모든 간격은 셀 수 없는 집합입니다.

정리 3.실수(실수) 숫자의 집합은 셀 수 없습니다.

실수의 집합과 동일한 모든 집합을 연속체의 힘(위도 연속체 - 연속, 연속).

예시. 간격이 연속체의 카디널리티를 갖는다는 것을 보여줍시다.

함수 y \u003d tg x: → R은 전체 숫자 선(그래프)에 간격을 표시합니다.

주제: “기능: 개념, 할당 방법, 주요 특성. 역함수. 기능의 중첩."

공과의 서사시:

“무언가를 공부하고 생각하지 말라.

배웠습니다 - 절대적으로 쓸모가 없습니다.

공부하지 않고 무언가를 생각하다

생각의 예비 주제

공자.

수업의 목적과 심리적, 교육적 과제:

1) 일반 교육(규범) 목표: 학생들에게 함수의 정의와 속성을 반복합니다. 함수의 중첩 개념을 소개합니다.

2) 학생들의 수학적 발달 과제: 비표준 교육 및 수학 자료에 학생들의 정신적 경험, 논리적 연역 및 귀납, 분석 및 종합적 가역적 사고, 대수 및 비유 능력을 포함한 수학 지능의 의미 있는 인지 구조 개발 그래픽 사고, 의미 있는 일반화 및 구체화, 학생의 메타인지 능력으로서의 반성과 독립성, 교육 및 수학적 지능의 심리적 메커니즘으로 서면 및 구두 연설 문화의 발전을 계속합니다.

3) 교육 과제: 수학에 대한 학생들의 인지적 관심, 책임감, 의무감, 학문적 독립성, 그룹, 교사, 급우와 협력하는 의사 소통 능력에 대한 개인 교육을 계속합니다. 경쟁적인 교육 및 수학적 활동에 대한 자율적 능력, 높고 가장 높은 결과를 위해 노력하는 것(극단적 동기).


수업 유형: 새로운 자료를 배우기; 주요 수학 내용의 기준에 따라 - 실제 수업; 학생과 교사 간의 정보 상호 작용 유형 기준에 따라 - 협력의 교훈.

레슨 장비:

1. 교육 문헌:

1) 수학적 분석의 Kudryavtsev: Proc. 대학 및 대학의 학생들을 위해. 3권에서 T. 3. - 2nd ed., Revised. 그리고 추가 - 남: 더 높습니다. 학교, 1989. - 352 p. : 아픈.

2) Demidovich 문제 및 수학적 분석 연습. – 9판. - M .: 출판사 "Nauka", 1977.

2. 삽화.

수업 중.

1. 수업의 주제 및 주요 교육 목표의 발표; 세션을 준비하는 학생들의 의무감, 책임감, 인지적 관심의 자극.

2. 질문에 대한 자료의 반복.

a) 기능을 정의합니다.

기본적인 수학적 개념 중 하나는 함수의 개념입니다. 함수의 개념은 두 집합의 요소 간의 관계를 설정하는 것과 관련이 있습니다.

비어있지 않은 두 세트를 주어라. 각 요소를 하나의 요소와만 일치시키는 일치 f가 호출됩니다. 기능 y = f(x)로 작성되었습니다. 그들은 또한 함수 f 디스플레이 설정하도록 설정합니다.

https://pandia.ru/text/79/018/images/image003_18.gif" width="63" height="27">.gif" width="59" height="26">라고 합니다. 값의 집합함수 f이고 E(f)로 표시됩니다.

b) 숫자 기능. 함수 그래프. 기능을 설정하는 방법.

함수를 주어보자.

집합의 요소가 실수이면 함수 f가 호출됩니다. 수치 함수 . 변수 x가 호출됩니다. 논쟁또는 독립 변수이고 y는 기능또는 종속변수(x에서). 수량 x와 y 자체에 관해서는 다음과 같습니다. 기능적 의존.

함수 그래프 y = f(x)는 Oxy 평면의 모든 점의 집합입니다. 각 점에 대해 x는 인수의 값이고 y는 함수의 해당 값입니다.

함수 y = f(x)를 정의하려면 x를 알고 해당 y 값을 찾을 수 있는 규칙을 지정해야 합니다.

함수를 정의하는 가장 일반적인 세 ​​가지 방법은 분석, 표, 그래픽입니다.

분석 방법: 함수가 하나 이상의 공식 또는 방정식으로 지정됩니다.

예를 들어:

함수 y = f(x)의 영역이 지정되지 않은 경우 해당 수식이 의미가 있는 인수의 모든 값 집합과 일치하는 것으로 가정합니다.

함수를 설정하는 분석 방법은 함수 y = f(x)를 완전히 탐색할 수 있는 수학적 분석 방법을 동반하기 때문에 가장 완벽합니다.

그래픽 방식: 함수의 그래프를 설정합니다.

그래픽 작업의 장점은 가시성이며 단점은 부정확성입니다.

표 방식: 함수는 일련의 인수 값과 해당 함수 값의 테이블로 지정됩니다. 예를 들어 잘 알려진 값 테이블 삼각 함수, 로그 테이블.

c) 기능의 주요 특성.

1. 집합 D에 정의된 함수 y = f(x)가 호출됩니다. 조차 , 조건이 충족되고 f(-x) = f(x); 이상한 , 조건이 충족되고 f(-x) = -f(x)인 경우.

짝수 함수의 그래프는 Oy 축에 대해 대칭이고 홀수 함수는 원점에 대해 대칭입니다. 예를 들어, 짝수 함수입니다. 및 y = sinx, https://pandia.ru/text/79/018/images/image014_3.gif" width="73" height="29"> 는 일반 함수, 즉 짝수도 홀수도 아닙니다.


2. 함수 y = f(x)가 집합 D에 정의되고 let . 인수의 값에 대해 불평등은 불평등을 의미합니다. , 함수가 호출됩니다. 증가 세트에 ; 만약에 , 함수가 호출됩니다. 비감소 https://pandia.ru/text/79/018/images/image021_1.gif" width="117" height="28 src="> 함수가 호출됩니다. 쇠약해지는 에 ; - 비증가 .

https://pandia.ru/text/79/018/images/image023_0.gif" width="13" height="13">D 값(x +T)D 및 등식 f(x+T) = f(x)가 유지됩니다.

주기 T의 주기 함수를 플롯하려면 길이 T의 임의의 세그먼트에 플롯하고 주기적으로 정의의 전체 영역으로 확장하는 것으로 충분합니다.

우리는 주기적 함수의 주요 속성에 주목합니다.

1) 주기 T가 같은 주기 함수의 대수합은 주기 T를 갖는 주기 함수입니다.

2) 함수 f(x)에 주기 T가 있으면 함수 f(ax)에는 주기 T/a가 있습니다.

d) 역함수.

함수 y = f(x)에 정의 D의 도메인과 값 집합 E..gif" width="48" height="22">가 주어지면 함수 x = z(y) 정의 도메인 E 및 값 집합 D 이러한 함수 z(y)가 호출됩니다 뒤집다 함수 f(x)에 다음 형식으로 작성됩니다. . 함수 y = f(x) 및 x = z(y)는 상호 역함수라고 합니다. 함수 y = f(x)에 역함수 x = z(y)를 찾으려면 x에 대해 방정식 f(x) = y를 푸는 것으로 충분합니다.

예:

1. 함수 y = 2x의 경우 역함수는 함수 x = ½ y입니다.

2. 기능을 위해 역함수는 함수입니다.

역함수의 정의에 따르면 f(x)가 집합 D와 E 사이의 일대일 대응을 정의하는 경우에만 y = f(x) 함수가 역함수를 갖습니다. 엄격하게 단조로운 함수에는 역함수가 있습니다. . 또한 함수가 증가(감소)하면 역함수도 증가(감소)합니다.

3. 새로운 자료를 배운다.

복잡한 기능.

함수 y = f(u)를 집합 D에 대해 정의하고 함수 u = z(x)를 집합에 대해 정의하고 해당 값에 대해 . 그런 다음 집합에는 u = f(z(x))라는 함수가 있습니다. 복잡한 기능 x에서 (또는 위에 놓기 주어진 기능, 또는 기능에서 기능 ).

변수 u = z(x)가 호출됩니다. 중간 인수복잡한 기능.

예를 들어, 함수 y = sin2x는 두 함수 y = sinu 및 u = 2x의 중첩입니다. 복잡한 함수에는 여러 중간 인수가 있을 수 있습니다.

4. 칠판에 몇 가지 예의 해결책.

5. 공과의 결론.

1) 이론 및 응용 결과 실습; 학생들의 정신적 경험 수준에 대한 차별화된 평가; 주제, 능력, 구두 및 서면 수학 연설의 품질에 대한 동화 수준; 발현된 창의성의 수준; 독립성과 반성의 수준; 주도성 수준, 수학적 사고의 특정 방법에 대한 인지적 관심; 협력 수준, 지적 경쟁력, 고성능교육 및 수학 활동 등;

2) 합당한 점수, 수업 포인트 발표.

기능의 중첩

함수 f1, … , fm의 중첩은 이러한 함수를 서로 대체하고 변수의 이름을 변경하여 얻은 함수 f입니다.

두 개의 매핑과 비어 있지 않은 집합이 있다고 가정합니다. 그런 다음 함수의 중첩 또는 구성은 모두에 대한 평등으로 정의된 함수입니다.

중첩의 정의 영역은 집합입니다.

함수를 외부 함수라고 하고 중첩을 위한 내부 함수라고 합니다.

"단순한" 것의 조합으로 제시된 함수를 복합 함수라고 합니다.

중첩 사용의 예는 다음과 같습니다. 대체 방법으로 연립방정식 풀기; 함수의 도함수 찾기; 주어진 변수의 값을 대수식에 대입하여 대수식의 값을 찾는 것.

재귀 함수

재귀는 인수의 임의의 값에 대해 정의되는 함수의 값이 더 작은 값에 대해 정의되는 함수의 값을 통해 알려진 방식으로 표현되는 함수를 정의하는 그런 방식입니다 인수의.

기본 재귀 함수

기본 재귀 함수 개념의 정의는 귀납적입니다. 기본 기본 재귀 함수의 클래스와 기존 기능을 기반으로 새로운 기본 재귀 함수를 빌드할 수 있는 두 개의 연산자(중첩 및 기본 재귀)를 지정하는 것으로 구성됩니다.

기본 기본 재귀 함수에는 다음 세 가지 유형의 함수가 포함됩니다.

영 기능 -- 기능인수 없음, 항상 반환 0 .

임의의 자연수를 바로 뒤에 오는 자연수에 할당하는 1변수 승계 함수입니다.

여기서, n개의 변수에서 이 집합의 숫자를 정렬된 자연수의 집합에 할당하는 함수입니다.

대체 및 기본 재귀 연산자는 다음과 같이 정의됩니다.

중첩 연산자(때로는 대체 연산자). 를 m 변수의 함수라고 하고 각각 비변수 함수의 정렬된 집합이라고 하자. 그런 다음 함수로 함수를 중첩한 결과는 정렬된 자연수의 집합에 숫자를 할당하는 변수의 함수입니다.

기본 재귀 연산자. 를 n 변수의 함수라 하고 변수의 함수라 하자. 그런 다음 기본 재귀 연산자를 한 쌍의 함수에 적용한 결과는 유형 변수의 함수입니다.

이 정의에서 변수는 반복 카운터로 이해될 수 있습니다. 원래 기능반복 프로세스의 시작 부분에서 변수의 특정 시퀀스를 발행하고, 그리고 -- 입력 변수로 받아들이는 연산자로, 반복 단계 번호, 이 반복 단계에서 함수를 실행하고 함수를 반환합니다. 다음 반복 단계.

원시 재귀 함수의 집합은 모든 항목을 포함하는 최소 집합입니다. 기본 기능지정된 대체 및 기본 재귀 연산자 아래에서 닫힙니다.

명령형 프로그래밍의 관점에서 -- 기본 재귀 함수는 다음을 사용하는 프로그램 블록에 해당합니다. 산술 연산, 만큼 잘 조건 연산자및 산술 루프 연산자(루프 시작 시 반복 횟수를 알고 있는 루프 연산자). 프로그래머가 반복 횟수를 미리 알 수 없고 원칙적으로 무한할 수 있는 while 루프 연산자를 사용하기 시작하면 부분 재귀 함수 클래스로 넘어갑니다.

기본적으로 재귀적이며 잘 알려진 여러 산술 함수를 지적해 보겠습니다.

두 개의 자연수()를 더하는 함수는 함수에 기본재귀연산자를 적용한 결과로 얻은 두 변수의 기본재귀함수로 볼 수 있으며, 두 번째는 main함수를 main함수에 대입하여 얻는다. 기능:

두 자연수의 곱셈은 기본 재귀 연산자를 함수에 적용한 결과로 얻은 두 변수의 기본 재귀 함수로 간주할 수 있으며, 두 번째는 주 함수와 덧셈 함수를 대입하여 얻습니다.

두 자연수()의 대칭적 차이(차이의 절대값)는 다음과 같은 대입과 기본 재귀를 적용하여 얻은 두 변수의 기본 재귀 함수로 간주할 수 있습니다.